(完整版)第一类曲面积分习题
9.4 第一类曲面(对面积的)积分
M = ∫∫ f ( x, y , z )dS
S
当积分曲面是封闭曲面时,常记 当积分曲面是封闭曲面时 常记
f ( x, y, z)dS ∫∫
S
9.4.2 第一类曲面积分的计算法
按照曲面的不同情况分为以下三种: 按照曲面的不同情况分为以下三种:
1. 若曲面Σ :
则
Σ
z = z( x, y)
∫∫ f ( x , y , z )dS
Σ
2 2 其中 Σ 为抛物面 z = x + y (0 ≤ z ≤ 1).
依对称性知: 解 依对称性知:
z
抛物面 z = x 2 + y 2 轴对称, 关于z轴对称,
被积函数| xyz |关于 xoz 、 yoz 坐标面对称
y
x
为第一卦限部分曲面) 有 ∫∫ = 4 ∫∫ 成立,( Σ 1为第一卦限部分曲面
∫∫ f ( x, y, z)dS =∫∫ f ( x, y, z)dS +∫∫ f ( x, y, z)dS. Σ Σ Σ
1 2
Remark: (1)当曲面 Σ 为光滑或分片光滑曲面片 当曲面 为光滑或分片光滑曲面片,f(x,y,z)在Σ 在 续时,f(x,y,z)在 Σ 上必可积 以下恒设此 条 上必可积,以下恒设此 以下恒设此2条 上连 续时 在 件满足. 件满足 (2)第一类曲面积分有如定积分类似的性质 从略 第一类曲面积分有如定积分类似的性质,从略 第一类曲面积分有如定积分类似的性质 从略. (3)第一类曲面积分的物理意义 曲面的质量 第一类曲面积分的物理意义:曲面的质量 第一类曲面积分的物理意义
Σ Σ1
dS = 1 + z ′x 2 + z ′y 2 dxdy
第二章第二节第一型曲面积分doc
第18 章 曲面积分第二节 第一类型曲面积分1、 第一类型曲面积分的定义问题:设∑是3R 中一张有面积的曲面,∑上按面密度)(p ρρ=分布着某种物质,问如何求出分布在∑上物质的总质量?沿用以前用过的作法,将∑分成若干小块n S S S ,,,21 ,并在每一小块i S 上任意取定一点i p ,这时小块i S 上的质量)()(i i i S p m σρ≈,n i ,,2,1 =。
于是曲面片∑上的质量就近似地等于)()(1i ini S pσρ∑= 。
当我们把曲面片∑无限细分时,上面的和式的极限就可以定义为展布在曲面片∑上物质的质量M ,即)()(lim1i ini S pM σρ∑==。
以上的实例引导出下面的第一类型曲面积分的定义。
定义18.2 设∑是3R 中一张可求面积的曲面片,f 是定义在∑上的函数,分割T 把∑分成若干更小的曲面片n S S S ,,,21 。
定义分割T 的宽度为},,2,1,max{||||n i diamS T i ==,在每一小片i S 上任意取定一点i p ,如果和数)()(1i i ni S p f σ∑=当0||||→T 时有有限的极限,并且其极限值不依赖于分割及点ip 在iS上的选择,那么称这个极限值为函数f 沿曲面∑的第一型曲面积分,记作σd f ⎰∑,或dSf ⎰⎰∑。
2、 第一类型曲面积分的计算公式由曲面面积元素的表达式dudv r r d v u ||||⨯=σ,或从定义出发,求出右端的极限,便可得出第一型曲面积分的计算公式:(1) 设正则曲面∑有参数向量方程)),(),,(),,((),(v u z v u y v u x v u r r ==,∆∈),(v u ,f 是定义在∑上的连续函数,则σd f ⎰∑dudvr r v u z v u y v u x f v u ||||)),(),,(),,((⨯=⎰⎰∆dudvF EG v u z v u y v u x f ⎰⎰∆-=2)),(),,(),,((;(2) 当曲面∑是由显式D y x y x z ∈=),(),,(ϕ表达时,其中D 是有面积的平面区域,)(1D C ∈ϕ,f 是定义在∑上的连续函数,则有σd f ⎰∑dxdyzx y x y x f D⎰⎰∂∂+∂∂+=22)()(1)),(,,(ϕϕϕ。
练习题4第一类曲面积分
第九章练习题4:对面积的曲面积分 王克金基本概念 1.第一类曲面积分dS ∑⎰⎰= ;答案:∑的面积2.设曲面∑为:2222x y z a ++=,则222()x y z dS ∑++=⎰⎰ ; 答案:44a π 解222222()44x y z d S a d S a a aππ∑∑++==⋅=⎰⎰⎰⎰对称性1. 设∑:2222x y z a ++=.则2z dS ∑⎰⎰ = ;443a π 答案:443a π 解 积分曲面关于三个坐标面对称,故222z dS x dS y dS ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2221()3x y z dS ∑=++⎰⎰ =443a π 2. 设∑是球面2222x y z R ++=在第一卦限部分,2x dS ∑⎰⎰=_______ 答案:46R π解 由()22222213x dS y dS z dS x y z dS ∑∑∑∑===++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ =224114386R R R ππ⋅⋅= 3.设∑为球面2222R z y x =++,则22()84x y dS ∑+⎰⎰=( )C (A )24R π (B )545R π(C )24R π (D )R π4答案:(C )解 由于积分曲面关于三个坐标面对称,且满足轮换,故有2222224114()4333x dS x y z dS R R R ππ∑∑=++=⋅=⎰⎰⎰⎰,所求利用上述结论,为238x dS ∑⎰⎰,故选C 。
平面1. 设∑是yoz 平面上的圆域221y z +≤,则()222d xy z S ∑++⎰⎰等于( )D(A )0 (B )π (C )4π (D )2π 答案:(D )解 在∑上,0x =,被积函数化为22y z +,原积分化为二重积分为()222Dy z dydz π+=⎰⎰,选D2.若∑为平面1234x y z ++=在第一卦限中的部分,则4(2)3z x y dS ∑++=⎰⎰解 ∑在xoy 的投影为03(1):202xy x y D x ⎧≤≤-⎪⎨⎪≤≤⎩,=4(2)43xyD z x y dS ∑++==⎰⎰⎰⎰.3.设∑为平面1234x y z ++=在第一卦限内的部分,则423z x y dS ∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰=( )D (A) 23(1)204xdx dy -⎰⎰。
曲面积分1
Dxz
(3) 若曲面Σ : x x( y, z ) 则
f ( x , y, z )dS
2 f [ x( y, z ) , y , z ] 1 x 2 xz dydz y
D yz
3
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
例 求 x 2dS , : x 2 y 2 z 2 a 2
【思考】 两类曲面积分的定义一个与 的方向无关, 一个与
的方向有关, 上述联系公式是否矛盾 ?
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4. 常用计算公式及方法 面积分 第一类 (对面积) 第二类 (对坐标) 代入曲面方程 (方程不同时,分片积分) 第一类: 面积投影 第二类: 有向投影 (4) 确定积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面 转化 二重积分
: z x 2 y 2 , dS 2d 积分曲面
zdS D
x y
2
2
2d
Dxy : x y 2 x
2 2
极 坐 标
xy
2 d
π 2 0
π 2 π 2
2 cos
0
d
16 2 cos 3 d 3
16 2 32 2 2. 3 3 9
1.对面积的曲面积分
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
对面积的曲面积分的计算法
思想是: 化为二重积分计算. 按照曲面的不同情况分为以下四种:
(1) 若曲面Σ : z z( x , y )
则
曲面的面积元素
2 dS 1 z x z 2 dxdy y
f ( x , y, z )dS 将曲面方程代入被积函数
数学分析22.1第一型曲面积分(含习题及参考答案)
第二十二章 曲面积分 1 第一型曲面积分一、第一型曲面积分的概念定义1:设S 是空间中可求面积的曲面,f(x,y,z)为定义在S 上的函数,对曲面S 作分割T ,它把S 分成n 个小曲面块S i (i=1,2,…,n), 以△S i 记小曲面块S i 的面积,分割T 的细度T =ni ≤≤1max {S i 的直径},在S i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ) (i=1,2,…,n),若极限i ni i i i T S f ∆∑=→1),,(lim ζηξ存在, 且与分割T 及(ξi ,ηi ,ζi ) (i=1,2,…,n)的取法无关,则称此极限为f(x,y,z)在S 上的第一型曲面积分,记作⎰⎰SdS z y x f ),,(.性质:1、存在性:若f(x,y,z)在光滑曲面S 上连续,则第一型曲面积分存在.2、可加性:若曲面S 由互不相交的曲面S 1,S 2,…,S k 组成,且⎰⎰iS dS z y x f ),,((i=1,2,…,k)都存在,则⎰⎰SdS z y x f ),,(也存在,且⎰⎰SdS z y x f ),,(=∑⎰⎰=ki S idS z y x f 1),,(.3、线性:若⎰⎰Si dS z y x f ),,( (i=1,2,…,k)存在,c i (i=1,2,…,k)为常数,则⎰⎰∑=S k i ii dS z y x f c 1),,(=∑⎰⎰=ki SiidS z y x f c 1),,(.4、若⎰⎰SdS z y x f ),,(与⎰⎰SdS z y x g ),,(都存在,且f(x,y,z)≤g(x,y,z),则⎰⎰SdS z y x f ),,(≤⎰⎰SdS z y x g ),,(.5、若⎰⎰SdS z y x f ),,(存在,则⎰⎰SdS z y x f |),,(|也存在,且⎰⎰SdS z y x f ),,(≤⎰⎰SdS z y x f |),,(|.6、若⎰⎰SdS z y x f ),,(存在,S 的表面积为s ,则存在常数c ,使得⎰⎰SdS z y x f ),,(=cs, 这里),,(infz y x f S≤c ≤),,(sup z y x f S.注:当f(x,y,z)=1时, 曲面积分⎰⎰SdS 就是曲面块S 的面积.二、第一型曲面积分的计算定理22.1:设光滑曲面S :z=z(x,y), (x,y)∈D ,函数f(x,y,z)在S 上连续,则⎰⎰SdS z y x f ),,(=⎰⎰++Dy x dxdy z z y x z y x f 221)),(,,(. 证:由定义知⎰⎰SdS z y x f ),,(=i ni i i i T S f ∆∑=→1),,(lim ζηξ, 其中 △S i =⎰⎰∆++iD y x dxdy z z 221=i i i y i i xD z z ∆++),(),(122ηξηξ. ∴⎰⎰SdS z y x f ),,(=i i i y i i x ni i i i i T D z z z f ∆++∑=→),(),(1)),(,,(lim 221ηξηξηξηξ =⎰⎰++Dy x dxdy z z y x z y x f 221)),(,,(.例1:计算⎰⎰SzdS,其中S 是球面x 2+y 2+z 2=a 2被平面z=h(0<h<a)所截的顶部.解:曲面S 的方程为z=222y x a --, 定义域为圆域x 2+y 2≤a 2-h 2.∵221yxz z ++=222222221y x a y y x a x --+--+=222yx a a--,∴⎰⎰Sz dS =⎰⎰--⋅--D dxdy y x a ay x a 2222221=⎰⎰--D dxdy y x a a 222=⎰⎰--2202220h a rdr ra a d πθ=2a πln h a.例2:计算⎰⎰++SdS z y x )(222, 其中(1)S :x 2+y 2+z 2=a 2;(2)S :x 2+y 2+z 2=2az.解:(1)⎰⎰++SdS z y x )(222=⎰⎰SdS a 2= a 2·4πa 2=4πa 4.(2)⎰⎰++SdS z y x )(222=⎰⎰SazdS 2=⎰⎰12S azdS +⎰⎰22S azdS ,其中S 1=z 1=a+)222y x a --, (x,y)∈D; S 2=z 2=a-222y x a --, (x,y)∈D.∵21211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =22221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =222yx a a --, ∴⎰⎰12S azdS =⎰⎰----+Ddxdy y x a a y x a a a 222222)(2,⎰⎰22S azdS =⎰⎰-----Ddxdy yx a ay x a a a 222222)(2,∴⎰⎰++SdS z y x )(222=4⎰⎰--Ddxdy y x a a 2223=4a3⎰⎰-ar a rdr d 02220πθ=8πa 4.注:在由参量形式表示的光滑曲面S :⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(v u z z v u y y v u x x , (u,v)∈D上的第一型曲面积分的计算公式为:⎰⎰SdS z y x f ),,(=⎰⎰-Ddudv F EG v u z v u y v u x f 2)),,(),,(),,((, 其中E=x u 2+y u 2+z u 2, F=x u x v +y u y v +z u z v , G=x v 2+y v 2+z v 2, 且雅可比行列式),(),(v u y x ∂∂,),(),(v u z y ∂∂,),(),(v u x z ∂∂中至少有一个不等于0.例3:计算⎰⎰SzdS ,其中S 为螺旋面的一部分.⎪⎩⎪⎨⎧===vz v u y vu x sin cos , (u,v)∈D :⎩⎨⎧≤≤≤≤π200v a u . 解:E=x u 2+y u 2+z u 2=cos 2v+sin 2v=1; G=x v 2+y v 2+z v 2=u 2sin 2v+u 2cos 2v+1=u 2+1; F=x u x v +y u y v +z u z v =-usinvcosv+ucosvsinv=0;∴⎰⎰SzdS =⎰⎰+Ddudv u v 12=dv v du u a⎰⎰+π20021=2π2[])1ln(122++++a a a a .习题1、计算下列第一型曲面积分:(1)⎰⎰++SdS z y x )(,其中S 为上半球面x 2+y 2+z 2=a 2, z ≥0;(2)⎰⎰+SdS y x )(22,其中S 为立体22y x +≤z ≤1的边界曲面;(3)⎰⎰+Syx dS 22,其中S 为柱面x 2+y 2=R 2被平面z=0, z=H 所截取的部分; (4)⎰⎰SxyzdS ,其中S 为平面x+y+z=1在第一卦限中的部分.解:(1)∵z=222yx a --, z x 2=22z x , z y 2=22z y , ∴221y x z z ++=222zx a a --. 又D={(x,y)|x 2+y 2≤a 2}. ∴⎰⎰++SdS z y x )(=()⎰⎰----++Ddxdyz x a y x a y x a 222222 =a ⎰⎰+-+πθθθ20220)1sin cos (rd r a r r dr a=2πa ⎰ardr 0=πa 3.(2)S=S 1+S 2, 其中S 1:z 1=22y x +, S 2:z 2=1.∵21⎪⎭⎫⎝⎛∂∂x z =222y x x +; 21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y z =222y x y +; ∴21211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =2. 又22221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =1, D={(x,y)|x 2+y 2≤1}; ∴⎰⎰+1)(22S dS y x =⎰⎰+Ddxdy y x )(222=⎰⎰103202dr r d πθ=22π; ⎰⎰+2)(22S dS y x =⎰⎰+Ddxdy y x )(22=⎰⎰1320dr r d πθ=2π; ∴⎰⎰+SdS y x )(22=⎰⎰+1)(22S dS y x +⎰⎰+2)(22S dS y x =)12(2+π.(3)⎰⎰+Sy x dS 22=⎰⎰SdS R 21=21R ·2πRH=RH π2. (4)z=1-x-y, z x =-1, z y =-1, ∴221y x z z ++=3.又D={(x,y)|x+y ≤1,0≤x ≤1}, ∴⎰⎰SxyzdS =⎰⎰--Ddxdy y x xy )1(3=⎰⎰---xdyy x xy dx 1010)1(3=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-10432612121613dx x x x x =1203.2、求均匀曲面:x 2+y 2+z 2=a 2, x ≥0,y ≥0,z ≥0的质心. 解:∵z=222yx a --, z x 2=2222y x a x --, z x 2=2222yx a y --,∴221y x z z ++=222y x a a--, 又曲面面积为21πa 2,D 为四分之一圆域x 2+y 2≤a 2在第一象限部分.∴x =⎰⎰SxdS a22π=dr r a ar d a a⎰⎰-022222cos 2θθππ=⎰20cos 2πθθd a =2a ;y =⎰⎰SydS a 22π=dr r a ar d a a⎰⎰-022222sin 2θθππ=⎰20sin 2πθθd a =2a;z =⎰⎰SzdS a22π=dr ar d a a⎰⎰222πθπ=2a . ∴曲面的质心为(2a ,2a ,2a ).3、求密度为ρ的均匀球面x 2+y 2+z 2=a 2 (z ≥0)对于z 轴的转动惯量. 解:J z =⎰⎰SdS z ρ2=ρdr r a ar d a⎰⎰-02220πθ=34πa 4ρ.4、计算.⎰⎰SdS z2, 其中S 为圆锥表面的一部分S :⎪⎩⎪⎨⎧===θθϕθϕcos sin sin sin cos r z r y r x , (r,φ)∈D :⎩⎨⎧≤≤≤≤πϕ200a r ,θ为常数(0<θ<2π). 解:E=x r 2+y r 2+z r 2=cos 2φsin 2θ+sin 2φsin 2θ+cos 2θ=1; G=x φ2+y φ2+z φ2=r 2sin 2φsin 2θ+r 2cos 2φsin 2θ=r 2sin 2θ; F=x r x φ+y r y φ +z r z φ=-rsin φcos φsin θ+rsin φcos φsin θ=0; ∴⎰⎰S dS z 2=⎰⎰⋅Ddrd r r ϕθθsin cos 22=sin θcos 2θdr r d a⎰⎰0320πϕ=24a πsin θcos 2θ.。
(完整版)(整理)第一类曲面积分
第四节 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)曲面积分有两种一种是对坐标的曲面积分,一种是对面积的曲面积分. 一 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的基本概念与性质设有一曲面型构件∑的物体,在点(,,)x y z 处的密度为()z y x f ,,,求此物体的质量. 求解的方法是, 将曲面∑分为若干个小块i ∆∑(1,2,i n =),其面积分别记为i S ∆(1,2,i n =),在小块曲面i ∆∑上任意取一点()i i i M ςηξ,,,若密度函数()z y x f ,,是连续变化的则可以用点()i i i M ςηξ,,处的密度近似小块i S ∆上的密度.于是小块i ∆∑的质量为()i i i f ςηξ,,i S ∆,将所有这样的小块的面积加起来,就是物体的质量的近似值.即()∑=∆≈ni i i i i S f m 1,,ςηξ当n 个小的曲面的直径的最大值0→λ时,上面的式子右端的极限值如果存在,则将此极限值定义为曲面的质量.即()∑=→∆=ni i i i i S f m 1,,lim ςηξλ.总之, 以上解决问题的方法就是: 先把它分成一些小片,估计每一小片上的质量并相加,最后取极限以获得精确值. 这同积分思想相一致. 为此我们定义对面积的曲面积分.定义13.3 设函数()z y x f ,,是定义在光滑曲面(或分片光滑曲面)∑上的有界函数.将曲面分为若干个小块i ∆∑(1,2,,i n =),其面积分别记为()n i S i ,...,2,1=∆,在小块曲面i∆∑上任意取一点()i i i M ςηξ,,,若极限()∑=→∆ni i i i i S f 1,,lim ςηξλ存在,则称此极限值为函数()z y x f ,,在曲面∑上对面积的曲面积分(或称第一类曲面积分).记为()⎰⎰∑ds z y x f ,,.即()⎰⎰∑ds z y x f ,,=()∑=→∆ni iiiiS f 1,,lim ςηξλ.其中λ表示所有小曲面i ∆∑的最大直径, ()z y x f ,,称为被积函数, ∑称为积分曲面.对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分具有相似的性质.如1) ()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑±=±ds z y x g ds z y x f ds z y x g z y x f ,,,,,,,,;2) ()()⎰⎰⎰⎰∑∑=ds z y x f k ds z y x kf ,,,,;3)()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+=2121,,,,,,ds z y x f ds z y x f ds z y x f .二 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的计算设积分曲面由单值函数()y x z z ,=确定,曲面在坐标面xoy 上的投影为xy D ,函数()y x z z ,=在xy D 具有连续偏导数(即曲面∑是光滑曲面).按照对面积的曲面积分的定义有()()iiiini S f dS z y x f ∆=∑⎰⎰=→∑ςηξλ,,lim ,,1. 设对曲面∑的第i 块i ∆∑在坐标面xoy 上的投影为()i σ∆,则i S ∆可以表示为下面的二重积分:()()()⎰⎰∆++=∆idxdy z y x f z y x f S y x i σ,,,,122有二重积分的中值定理有()()i i i i y i i i xi z z S σςηξςηξ∆++=∆,,,,122其中()i i i ςηξ,,是小曲面i S ∆上的任意一点,()i i ηξ,为()i σ∆内任意一点,所以()()i i i ni f dS z y x f ςηξλ,,lim ,,1∑⎰⎰=→∑=()()i i i i y i i i xz z σςηξςηξ∆++,,,,122 注意到()i i i z ηξς,=,从而得到二重积分的计算公式()()()()()⎰⎰⎰⎰++=∑xyD y xdxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f ,,1,,,,,22. 这个公式是很容易理解和记忆的,因为曲面∑的方程是()y x z z ,=,曲面的面积元素为dxdy z z dS y x 221++=,曲面在坐标面XOY 上的投影是xy D ,于是对面积的曲面积分就化为二重积分了.将这个过程简单归纳如下:1) 用y x ,的函数()y x z z ,=代替z ; 2) 用dxdy z z y x 221++换dS ;3) 将曲面投影到坐标面XOY 上得到投影xy D .简单地说就是“一代二换三投影”.例13.16 计算曲面积分dSz ∑⎰⎰,其中曲面∑是由平面()a h h z <<=0截球面 2222a z y x =++的顶部.图13-16 解: 曲面∑的方程为222y x a z --=,它在坐标面xoy 上的投影为圆形的闭区域:2222h a y x -≤+.222221yx a a z z y x --=++,所以dS z ∑⎰⎰=222xyD adxdy a x y --⎰⎰ 利用极坐标计算上面的积分,得到()2222222220022012ln 2ln2xya h D a h dS ardrd ardrd d z a r a r aa a r a hπθθθππ-∑-==--⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰例13.17 计算曲面积分()⎰⎰∑++21y x dS,其中曲面∑是由平面1=++z y x 以及三个坐标面所围成的四面体的表面.图13-17解:如上图,曲面∑由曲面4321,,,∑∑∑∑组成,其中4321,,,∑∑∑∑分别是平面1=++z y x ,0,0,0===z y x 上的部分.()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=++⎰⎰⎰⎰-∑212ln 31311021021xy x dydx y x dS;()()2ln 1111021022-=+=++⎰⎰⎰⎰-∑zy dydz y x dS;()()2ln 1111021023-=+=++⎰⎰⎰⎰-∑zx dxdz y x dS;()()212ln 11102124-=++=++⎰⎰⎰⎰-∑xy x dydx y x dS. 所以()()()()2ln 13233212ln 3212ln 2ln 12ln 112-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=++⎰⎰∑y x dS习题13.41. 计算()x y z dS ∑++⎰⎰. 其中∑为上半球面222z a x y =--. 2. 计算||I xyz dS ∑=⎰⎰. 其中∑为曲面22z x y =+介于二平面0,1z z ==之间的部分. 3. 计算22()x y dS ∑+⎰⎰. 其中∑是锥面22z x y =+及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面. 4. 求抛物面壳221()2z x y =+(01)z ≤≤的质量, 此壳的面密度的大小为z ρ=.5. 求面密度为0ρ的均匀半球壳2222x y z a ++=(0)z ≥对于z 轴的转动惯量. 6. 计算21(1)dS x y ∑++⎰⎰. 其中∑为四面体1x y z ++≤, 0x ≥, 0y ≥及0z ≥的边界面.参考答案1. 3a π2.3.4.21)15π 5. 4043a πρ6.1)ln 2+. 第五节 对坐标的曲面积分一 对坐标的曲面积分的概念和性质为了讨论对坐标的曲面积分,首先要对曲面作一些说明. 1. 曲面的侧在曲面∑上的任意一点P 处作曲面的法线向量,有两个方向,取定其中的一个方向n ,当点P 在曲面上不越过边界连续运动时,法线向量n 也随着连续变动,这种连续变动又回到P 时,法线向量n 总是不改变方向,则称曲面∑是双侧的,否则,称曲面是单侧的.如著名的M o bius 带就是单侧曲面.今后我们只讨论曲面是双侧的. 例如曲面()y x z z ,=,如果z 轴的正方向是竖直向上的,则有上侧和下侧.又如空间中的闭曲面有内侧和外侧之分.我们可以通过曲面上的法向量的指定来确定曲面的侧.例如对于曲面()y x z z ,=,若取定的法向量n 是朝上的,那么实际上就是取定曲面为上侧;对于封闭曲面,若取定的法向量n 是由内指向外的,则取定的曲面是外侧.选定了曲面的侧的曲面称为有向曲面. 2. 流向曲面一侧的流量设稳定的不可压缩的液体以速度()()()k z y x R j z y x Q i z y x P v ,,,,,,++=流向有向曲面∑,求液体在单位时刻内流过曲面指定侧的流量.其中函数()()()z y x R z y x Q z y x P ,,,,,,,,都是曲面∑上的连续函数.如果流体流过平面上的一个面积为A 的闭区域,且流体在闭区域上各点处的流速为常向量v ,又设n 是该平面上的单位法向量,那么在单位时间内流过这个闭区域的流体组成一个底面积为A ,斜高为||v 的斜柱体,其体积即流量为n v A v A V ⋅==θcos这就是通过闭区域A 流向n 所指的一侧的流量.对于一般的曲面∑,我们可以将它划分为若干个小块i ∆∑,在∑是光滑的和v 是连续的前提下,只要i ∆∑的直径很小,我们就可以用i ∆∑上任意一点()i i i ςηξ,,处的流速()()()()k R j Q i P v v i i i i i i i i i i i i i ςηξςηξςηξςηξ,,,,,,,,++==近似替代i ∆∑上各点处的流速,以此点处的曲面∑的单位法向量k j i n i i i γβαcos cos cos ++=代替i ∆∑上各点处的单位向量,从而得到通过i ∆∑流向指定侧的流量的近似值为i i i S n v ∆⋅()n i ,...,2,1=,(i S ∆为i ∆∑的面积) 于是通过曲面∑指定侧的流量近似地为()()()ii i i i ni ii i i i i i i ini i i S R Q P S n v ∆++=∆⋅≈Φ∑∑==]cos ,,cos ,,cos ,,[11γςηξβςηξαςηξ注意到()yz i i i S S ∆=∆αcos ;()zx i i i S S ∆=∆βcos ;()xy i i i S S ∆=∆λcos .因此上式可以写为()()()()()()],,,,,,[1xy i i i i ni xz i i i i yz i i i i S R S Q S P ∆+∆+∆=Φ∑=ςηξςηξςηξ当所有小块的直径的最大值0→λ时,上面和的极限就是流量Φ的精确值.在实际问题中还有很多的类似的极限,由此我们可以得到对坐标的曲面积分的定义. 3. 对坐标的曲面积分的定义定义13.4 设∑是逐片光滑的有向曲面,函数()z y x R ,,在曲面∑上有界,将∑划分为若干个小块i ∆∑,i ∆∑在坐标面xoy 上的投影为()xy i S ∆,取i ∆∑中的任意一点(,,)i i i ξηζ,若各个小块的直径的最大值0λ→时,极限()()∑=→∆ni xy i i i i S R 1,,lim ςηξλ存在,称此极限为函数()z y x R ,,在曲面∑上对坐标y x ,的曲面积分(或第二类曲面积分).记为()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,,即()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,=()()∑=→∆ni xyi iiiS R 1,,lim ςηξλ.类似地,可以定义函数()z y x P ,,在曲面∑上对坐标z y ,的曲面积分(或第二类曲面积分)()⎰⎰∑dydz z y x P ,,,以及函数()z y x Q ,,在曲面∑上对坐标z x ,的曲面积分(或第二类曲面积分)()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,如下:()⎰⎰∑dydz z y x P ,,=()()∑=→∆ni yziiiiS P 10,,lim ςηξλ;()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,=()()∑=→∆ni zxi iiiS Q 1,,lim ςηξλ.在应用中通常是上面三种积分的和,即()⎰⎰∑dydz z y x P ,,+()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,+()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,,简记为()()()⎰⎰∑++dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,.如果∑是有向封闭曲面,通常记为()()()⎰⎰∑++dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,,并规定取曲面的外侧.4.性质1) 对坐标的曲面积分与对坐标的曲线积分具有类似的性质:()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+++++=++1221.,,,,,,Pdxdy Qdxdz Pdydz Pdxdy Qdxdz Pdydz dxdyz y x P dxdz z y x Q dydz z y x P2) 设∑时有向曲面,∑-表示与∑取相反侧的曲面,则有()()()()()()⎰⎰⎰⎰∑∑-++-=++dxdyz y x P dxdz z y x Q dydz z y x P dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,,,,,,,二 对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)的计算方法 下面以计算曲面积分()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,为例来说明如何计算对坐标的曲面积分.取曲面∑的上侧,且曲面由方程()y x z z ,=给出,那么曲面∑的法向量n 与z 轴的正方向的夹角为锐角,曲面∑的面积元素dS 在坐标面xoy 上的投影dxdy 为正值.若xy D 为曲面∑在坐标面xoy 上的投影区域.由对坐标的曲面积分的定义()()()xy i iiini S R dxdy z y x R ∆=∑⎰⎰=→∑ςηξλ,,lim ,,1可以得到()()()⎰⎰⎰⎰=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R ,,,,,.如果积分曲面取∑的下侧,那么曲面∑的法向量n 与z 轴的正方向的夹角为钝角,所以曲面∑在坐标面xoy 上的投影dxdy 为负值,从而有()()()⎰⎰⎰⎰-=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R ,,,,,.类似地,如曲面∑由方程()z y x x ,=给出,则有()()(),,,,,yzD P x y z dzdy P x y z y z dzdy ∑=±⎰⎰⎰⎰;等式右边的符号这样决定:如积分曲面∑时方程()z y x x ,=所给出的曲面的前侧,则取正号;如果是后侧,则取负号.如曲面∑由方程()z x y y ,=给出,则有()()()⎰⎰⎰⎰±=∑xzD dzdx z z x y x P dxdz z y x Q ,,,,,.等式右边的符号这样决定:如积分曲面∑时方程()z x y y ,=所给出的曲面的右侧,则取正号;如果是左侧,则取负号.对于曲面积分()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,的计算,我们可以简单的归纳出如下的计算步骤:a) 用y x ,的函数()y x z z ,=来代替z ; b) 将曲面∑投影到坐标面xoy 上,得到xy D ;c) 对曲面∑定向从而确定符号,上侧取正号,下侧取负号. 简称为“一代二投三定向”,将曲面积分化为二重积分计算. 例13.18 计算曲面积分⎰⎰∑++zdxdyydzdx xdydz ,其中∑是半球面1222=++z y x ,0≥z 的上侧.解:球面上点()z y x ,,处的单位法线向量为},,{z y x n =,速度},,{z y x v =,所以()222{,,}{,,}2xdydz ydzdx zdxdy x y z x y z dSx y z dS π∑∑∑++=⋅=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰例13.19 计算曲面积分⎰⎰∑xyzdxdy ,其中∑是球面1222=++z y x外侧在0,0≥≥y x 的部分.解:将曲面∑分为21,∑∑两部分,1∑的方程为2211y x z ---=;2∑的方程为2221y x z --=.2xyD xyzdxdy ∑=⎰⎰⎰⎰(1xy xyD D xyzdxdy xy dxdy∑=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以15212sin 21cos sin 212102320222=-=-=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑dr r r d rdrd r r r dxdy y x xy xyzdxdy xyxyD D πθθθθθ习题13.51. 计算2xz dydz ∑⎰⎰. 其中∑是上半球面z =. 2. 计算zdxdy xdydz ydzdx ∑++⎰⎰. 其中∑为柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截部分的外侧. 3. 计算2(1)()z x y dxdy ∑++⎰⎰. 其中∑为半球面2221xy z ++=(0)y ≥朝y 轴正向的一侧.4. 求矢量场F xyi yz j xzk =++穿过在第一卦限中的球面2221x y z ++=外侧的通量.5. 计算22x y zdxdy ∑⎰⎰. 其中∑是球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧.参考答案 1. 5215R π 2. 6π 3. 415π 4. 316π 5.72105R π 第六节 两类曲面积分之间的联系设有向曲面∑有方程()y x z z ,=给出,∑在坐标面xoy 上地投影区域为xy D ,函数()y x z z ,=在区域xy D 上具有连续的一阶偏导数,()z y x R ,,是曲面∑上的连续函数。
1计算下列第一型曲面积分
体表面并取外侧为正向。 解:由对称性, xydydz yzdzdx axdxdy,
S
3 zxdxdy 3 (1 x y ) xdxdy
S Dxy
( 沿其余三面为
0)
x dx 3 xy x 2 y y 2 0 2 0 1 x 3 (1 x) x x 2 (1 x)dx 0 2 1 3 1 1 3 (1 x) x 1 x (1 x)dx x(1 x) 2 dx 0 2 0 2 3 1! 2! 1 3 B(2,4) 2 4! 8 2
a a x2 y2
2
dxdy
z
S S
3
ds
1
ds
1 1 a2 2
1 a2 2 a a a2 2
a 2 x 2 y 2
Dxy
a a2 x2 y2
dxdy
2
§22.1
习题
§22.1
2 2 2 2
习题
3.求密度为的均匀球面 x + y + z = a (z0),对于 z 轴的转动惯量,质点 A 对于轴 l 的转动惯量 J 是质点 A 的质量 m 和 A 与 l 的距离 r 上的平方的乘积 J = m r2 对于一般物体, J x ( y 2 z 2 ) ( x, y, z )dV
S
3 ( z x)dxdy
S
3 ( z x)dxdy ( z x)dxdy S2 S1
S1
4
§22.1
习题
§22.1
曲线积分与曲面积分第一类曲面积分
Σ1 o Ry
∫∫ ∫∫ I =
Σ
dS R2 + z2
=
2
Σ1
dS R2 + z2
x
dS =
1+
x
2 y
+
xz2
d
ydz
z
= 1 + ( − y )2 + 0d yd z
H
R2 − y2
= R d ydz R2 − y2
Dyz OR y
∫∫ ∴
I
=
2
Σ1
dS R2 + z2
Σ1 : x = R2 − y2 , ( y, z) ∈ Dyz
n
∫∫ ∑ Σ
f
( x,
y, z)dS
=
lim
λ→0
i =1
f
(ξi ,ηi , ζi
)ΔSi .
积 分 曲 面
被 积 表 达
面 积 元
式
素
积分和式
注 1º 当函数 f (x, y, z) 在曲面 ∑ 上连续时,
曲面积分 ∫∫ f ( x, y, z)dS 存在. Σ
2º 曲面形构件的质量可以表示为
分割、近似、求和、取极限;
(4)均为黎曼和的极限. 因此可以给出上述五种积分定义的统一表述式.
定义10.4 设 I 是Rn中的一个有界的几何形 体(直线段、
平面闭区域、空间闭区域、曲线段或曲面),f ( x)是在
在I 上有定义并且有界的数量值函数。将 I 任意划分为
n 个“子块”:ΔI1, ΔI2,L,ΔIn,并将ΔIi的度量(长度,面积,
D yz
2o 若曲面 Σ: y = y( x, z) ( x, z) ∈ Dxz, 则
第一类曲面积分 例题
下面是一个关于第一类曲面积分的例题:问题:计算曲面积分$\iint_S x^2 \,dS$,其中曲面$S$ 是球体$x^2 + y^2 + z^2 = 4$ 在$z \geq 0$ 的上半部分。
解答:首先,我们需要找到曲面$S$ 的参数方程。
由于曲面是一个球体,可以使用球坐标来描述。
在球坐标系中,令$x = r \sin\theta \cos\phi$,$y = r \sin\theta \sin\phi$,$z = r \cos\theta$,其中$r \geq 0$,$0 \leq \theta \leq \pi/2$,$0 \leq \phi \leq 2\pi$。
将这个参数方程代入球体方程$x^2 + y^2 + z^2 = 4$,得到:$(r \sin\theta \cos\phi)^2 + (r \sin\theta \sin\phi)^2 + (r \cos\theta)^2 = 4$整理得到$r = 2\sin\theta$。
接下来,计算曲面元素$dS$。
曲面元素$dS$ 在球坐标系中的表示为$dS = r^2 \sin\theta \,dr \,d\theta \,d\phi$。
将要求解的曲面积分$\iint_S x^2 \,dS$ 转化为球坐标系下的积分形式:$\iint_S x^2 \,dS = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} (r \sin\theta \cos\phi)^2 \cdot (r^2 \sin\theta) \,d\theta \,d\phi$展开并计算上述积分,最终得到结果为$\frac{8\pi}{15}$。
因此,曲面积分$\iint_S x^2 \,dS$ 的值为$\frac{8\pi}{15}$。
第一类曲面积分习题(可编辑修改word版)
1+ x 2 y 2R 2 - x 2 - y 2 R 2 - x 2 - y 2 + R 2 - x 2 - y 2R 2 - x 2 - y 2Rx 2 + y 2 = R 2 - h 2∑⎰⎰ 222∑例 1.计算积分⎰⎰ 顶部。
1dS , ∑ 是球面 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 被平面 z = h ( 0 < h < R )截出的 ∑z例 2.计算积分⎰⎰ xydS , ∑ 是圆柱面 x 2 + y 2 = 1与平面 z = 0 , x + z = 2 围成的立体的全表面。
例 3. 求 F (t ) =⎰⎰∑f (x , y , z )dS , 其 中 ∑ 为 x 2 + y 2 + z 2 = t 2 ( t > 0 ), 被 积 函 数⎧x 2 + y f (x , y , z ) = ⎨ z ≥ x 2 + y 2。
⎩ 0 z <例 4.计算积分1dS ,⑴ ∑ 是球面 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ;⑵ ∑ 是介于平面 z = 0∑x + y + z, z = 1之间的圆柱面 x 2 + y 2 = R 2 。
例 5.计算积分⎰⎰ z 2dS ,其中∑ : x 2 + y 2 + z 2 = R 2 。
例 6. 计 算 积 分⎰⎰∑(x + y + z )dS , ∑ 是 上 半 球 面 z = x 2 + y 2 截出的顶部。
例 7.计算曲面积分⎰⎰∑(xy + yz + zx )dS , ∑ 为锥面 z ( a > 0 )所截下的部分。
例 8.计算半径为 a 的均匀半球壳的重心。
x 2 + y 2 + z 2= 2 被 旋 转 抛 物 面被圆柱面 x 2 + y 2 = 2ay例 1.计算积分⎰⎰ 顶部。
解: ∑ : z = 1dS , ∑ 是球面 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 被平面 z = h ( 0 < h < R )截出的 ∑zxoy 面上的投影区域 D : x 2 + y 2 = R 2 - h 2 ,R = = R 2 - x 2 - y 21dS =∑z1 ⋅R dDx 2 + y 2x 2 + y 2 R 2 - x 2 - y 2 1+ z 2+ z 2x y ⎰⎰⎰⎰R 2 -h 2R 2-h 21+ y 2+ y 2x z 1+ x 2 1- x 2 + 0 1- x 21- x 21- x 2x 2 + y 2 RR ⎰ ∑1 1122 23 3 3132 31 2 12333132⎰231 = ⎰⎰DR 2 - x 2- y 2 ⎰⎰DR 2 - r 22r 00 R 2- r 2d =rdrd = R d dr= 2R ⋅ (- 1 ln(R 2 - r 2 ) = R ⋅ (2 ln R - 2 l n h ) = 2R ln R2 0h例 2.计算积分⎰⎰ xydS , ∑ 是圆柱面 x 2 + y 2 = 1与平面 z = 0 , x + z = 2 围成的立体的全表面。
数学分析22.1第一型曲面积分(含习题及参考答案)
第二十二章 曲面积分 1 第一型曲面积分一、第一型曲面积分的概念定义1:设S 是空间中可求面积的曲面,f(x,y,z)为定义在S 上的函数,对曲面S 作分割T ,它把S 分成n 个小曲面块S i (i=1,2,…,n), 以△S i 记小曲面块S i 的面积,分割T 的细度T =ni ≤≤1max {S i 的直径},在S i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ) (i=1,2,…,n),若极限i ni i i i T S f ∆∑=→1),,(lim ζηξ存在, 且与分割T 及(ξi ,ηi ,ζi ) (i=1,2,…,n)的取法无关,则称此极限为f(x,y,z)在S 上的第一型曲面积分,记作⎰⎰SdS z y x f ),,(.性质:1、存在性:若f(x,y,z)在光滑曲面S 上连续,则第一型曲面积分存在.2、可加性:若曲面S 由互不相交的曲面S 1,S 2,…,S k 组成,且⎰⎰iS dS z y x f ),,((i=1,2,…,k)都存在,则⎰⎰SdS z y x f ),,(也存在,且⎰⎰SdS z y x f ),,(=∑⎰⎰=ki S idS z y x f 1),,(.3、线性:若⎰⎰Si dS z y x f ),,( (i=1,2,…,k)存在,c i (i=1,2,…,k)为常数,则⎰⎰∑=S k i ii dS z y x f c 1),,(=∑⎰⎰=ki SiidS z y x f c 1),,(.4、若⎰⎰SdS z y x f ),,(与⎰⎰SdS z y x g ),,(都存在,且f(x,y,z)≤g(x,y,z),则⎰⎰SdS z y x f ),,(≤⎰⎰SdS z y x g ),,(.5、若⎰⎰SdS z y x f ),,(存在,则⎰⎰SdS z y x f |),,(|也存在,且⎰⎰SdS z y x f ),,(≤⎰⎰SdS z y x f |),,(|.6、若⎰⎰SdS z y x f ),,(存在,S 的表面积为s ,则存在常数c ,使得⎰⎰SdS z y x f ),,(=cs, 这里),,(infz y x f S≤c ≤),,(sup z y x f S.注:当f(x,y,z)=1时, 曲面积分⎰⎰SdS 就是曲面块S 的面积.二、第一型曲面积分的计算定理22.1:设光滑曲面S :z=z(x,y), (x,y)∈D ,函数f(x,y,z)在S 上连续,则⎰⎰SdS z y x f ),,(=⎰⎰++Dy x dxdy z z y x z y x f 221)),(,,(. 证:由定义知⎰⎰SdS z y x f ),,(=i ni i i i T S f ∆∑=→1),,(lim ζηξ, 其中 △S i =⎰⎰∆++iD y x dxdy z z 221=i i i y i i xD z z ∆++),(),(122ηξηξ. ∴⎰⎰SdS z y x f ),,(=i i i y i i x ni i i i i T D z z z f ∆++∑=→),(),(1)),(,,(lim 221ηξηξηξηξ =⎰⎰++Dy x dxdy z z y x z y x f 221)),(,,(.例1:计算⎰⎰SzdS,其中S 是球面x 2+y 2+z 2=a 2被平面z=h(0<h<a)所截的顶部.解:曲面S 的方程为z=222y x a --, 定义域为圆域x 2+y 2≤a 2-h 2.∵221yxz z ++=222222221y x a y y x a x --+--+=222yx a a--,∴⎰⎰Sz dS =⎰⎰--⋅--D dxdy y x a ay x a 2222221=⎰⎰--D dxdy y x a a 222=⎰⎰--2202220h a rdr ra a d πθ=2a πln h a.例2:计算⎰⎰++SdS z y x )(222, 其中(1)S :x 2+y 2+z 2=a 2;(2)S :x 2+y 2+z 2=2az.解:(1)⎰⎰++SdS z y x )(222=⎰⎰SdS a 2= a 2·4πa 2=4πa 4.(2)⎰⎰++SdS z y x )(222=⎰⎰SazdS 2=⎰⎰12S azdS +⎰⎰22S azdS ,其中S 1=z 1=a+)222y x a --, (x,y)∈D; S 2=z 2=a-222y x a --, (x,y)∈D.∵21211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =22221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =222yx a a --, ∴⎰⎰12S azdS =⎰⎰----+Ddxdy y x a a y x a a a 222222)(2,⎰⎰22S azdS =⎰⎰-----Ddxdy yx a ay x a a a 222222)(2,∴⎰⎰++SdS z y x )(222=4⎰⎰--Ddxdy y x a a 2223=4a3⎰⎰-ar a rdr d 02220πθ=8πa 4.注:在由参量形式表示的光滑曲面S :⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(v u z z v u y y v u x x , (u,v)∈D上的第一型曲面积分的计算公式为:⎰⎰SdS z y x f ),,(=⎰⎰-Ddudv F EG v u z v u y v u x f 2)),,(),,(),,((, 其中E=x u 2+y u 2+z u 2, F=x u x v +y u y v +z u z v , G=x v 2+y v 2+z v 2, 且雅可比行列式),(),(v u y x ∂∂,),(),(v u z y ∂∂,),(),(v u x z ∂∂中至少有一个不等于0.例3:计算⎰⎰SzdS ,其中S 为螺旋面的一部分.⎪⎩⎪⎨⎧===vz v u y vu x sin cos , (u,v)∈D :⎩⎨⎧≤≤≤≤π200v a u . 解:E=x u 2+y u 2+z u 2=cos 2v+sin 2v=1; G=x v 2+y v 2+z v 2=u 2sin 2v+u 2cos 2v+1=u 2+1; F=x u x v +y u y v +z u z v =-usinvcosv+ucosvsinv=0;∴⎰⎰SzdS =⎰⎰+Ddudv u v 12=dv v du u a⎰⎰+π20021=2π2[])1ln(122++++a a a a .习题1、计算下列第一型曲面积分:(1)⎰⎰++SdS z y x )(,其中S 为上半球面x 2+y 2+z 2=a 2, z ≥0;(2)⎰⎰+SdS y x )(22,其中S 为立体22y x +≤z ≤1的边界曲面;(3)⎰⎰+Syx dS 22,其中S 为柱面x 2+y 2=R 2被平面z=0, z=H 所截取的部分; (4)⎰⎰SxyzdS ,其中S 为平面x+y+z=1在第一卦限中的部分.解:(1)∵z=222yx a --, z x 2=22z x , z y 2=22z y , ∴221y x z z ++=222zx a a --. 又D={(x,y)|x 2+y 2≤a 2}. ∴⎰⎰++SdS z y x )(=()⎰⎰----++Ddxdyz x a y x a y x a 222222 =a ⎰⎰+-+πθθθ20220)1sin cos (rd r a r r dr a=2πa ⎰ardr 0=πa 3.(2)S=S 1+S 2, 其中S 1:z 1=22y x +, S 2:z 2=1.∵21⎪⎭⎫⎝⎛∂∂x z =222y x x +; 21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y z =222y x y +; ∴21211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =2. 又22221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =1, D={(x,y)|x 2+y 2≤1}; ∴⎰⎰+1)(22S dS y x =⎰⎰+Ddxdy y x )(222=⎰⎰103202dr r d πθ=22π; ⎰⎰+2)(22S dS y x =⎰⎰+Ddxdy y x )(22=⎰⎰1320dr r d πθ=2π; ∴⎰⎰+SdS y x )(22=⎰⎰+1)(22S dS y x +⎰⎰+2)(22S dS y x =)12(2+π.(3)⎰⎰+Sy x dS 22=⎰⎰SdS R 21=21R ·2πRH=RH π2. (4)z=1-x-y, z x =-1, z y =-1, ∴221y x z z ++=3.又D={(x,y)|x+y ≤1,0≤x ≤1}, ∴⎰⎰SxyzdS =⎰⎰--Ddxdy y x xy )1(3=⎰⎰---xdyy x xy dx 1010)1(3=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-10432612121613dx x x x x =1203.2、求均匀曲面:x 2+y 2+z 2=a 2, x ≥0,y ≥0,z ≥0的质心. 解:∵z=222yx a --, z x 2=2222y x a x --, z x 2=2222yx a y --,∴221y x z z ++=222y x a a--, 又曲面面积为21πa 2,D 为四分之一圆域x 2+y 2≤a 2在第一象限部分.∴x =⎰⎰SxdS a22π=dr r a ar d a a⎰⎰-022222cos 2θθππ=⎰20cos 2πθθd a =2a ;y =⎰⎰SydS a 22π=dr r a ar d a a⎰⎰-022222sin 2θθππ=⎰20sin 2πθθd a =2a;z =⎰⎰SzdS a22π=dr ar d a a⎰⎰222πθπ=2a . ∴曲面的质心为(2a ,2a ,2a ).3、求密度为ρ的均匀球面x 2+y 2+z 2=a 2 (z ≥0)对于z 轴的转动惯量. 解:J z =⎰⎰SdS z ρ2=ρdr r a ar d a⎰⎰-02220πθ=34πa 4ρ.4、计算.⎰⎰SdS z2, 其中S 为圆锥表面的一部分S :⎪⎩⎪⎨⎧===θθϕθϕcos sin sin sin cos r z r y r x , (r,φ)∈D :⎩⎨⎧≤≤≤≤πϕ200a r ,θ为常数(0<θ<2π). 解:E=x r 2+y r 2+z r 2=cos 2φsin 2θ+sin 2φsin 2θ+cos 2θ=1; G=x φ2+y φ2+z φ2=r 2sin 2φsin 2θ+r 2cos 2φsin 2θ=r 2sin 2θ; F=x r x φ+y r y φ +z r z φ=-rsin φcos φsin θ+rsin φcos φsin θ=0; ∴⎰⎰S dS z 2=⎰⎰⋅Ddrd r r ϕθθsin cos 22=sin θcos 2θdr r d a⎰⎰0320πϕ=24a πsin θcos 2θ.。
第一类曲面积分
性质2 性质2
对定侧曲面的可加性
设 S = S 1 U S 2 , S 1 I S 2 = φ , S 1 , S 2 为与 S 同侧 的定侧曲面, 的定侧曲面,则 r r r r r r ∫∫ F ⋅ dS = ∫∫ F ⋅ dS + ∫∫ F ⋅ dS
S S1 S2
8
性质3 性质3
方向性
S S1上侧 S2下侧
曲面S1 和S2 向xOy 面的投影均是
Dxy : x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0.
16
曲面S1 和S2 向xOy 面的投影均是
Dxy : x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0.
z
1
∫∫ xyz dxdy = ∫∫ xyz dxdy + ∫∫ xyz dxdy
cos γ < 0
三定号: 上侧取“ 三定号: S 上侧取“ ”号;S 下侧取“ ”号 下侧取“ . + −
cos γ > 0
10
2. 如果S由 x = x( y, z) 给出 则有 ,
∫∫ P( x, y, z)dydz = ∫∫ P[ x( y, z), y, z]dydz
S前侧 Dyz
∫∫ P( x, y, z)dydz = −∫∫ P[x( y, z), y, z]dydz
18
例3
计算
x 2dydz + y 2dxdz + z 2dxdy , 其中 S 是长方体 ∫∫
S
0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c 表面的外侧. 表面的外侧.
解
S = S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 ,
曲面积分习题课_
∑
x P
y Q
y Q
z R
dS z R
y
cosα cos β cosγ = ∫∫
∑
x P
2. 旋度
i 称向量 x P j y Q k 为向量场的旋度 (rotA) . z R
R Q P R Q P = ( )i + ( ) j + ( )k. y z z x x y
2. 基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 (2) 利用高斯公式 注意公式使用条件
两类关系公式的另一种表达形式
向量点积法
设∑ : z = f ( x , y ), 法向量为 { f x′ , f y′ , 1},
I = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
∑
= ∫∫ { P , Q , R} { f x′ , f y′ ,1}dxdy
∑
′ ′ 将∑在xoy面投影± ∫∫ {P, Q, R} { fx , f y , 1}dxdy.
解 设( X , Y , Z )为∏ 上任意一点 , 则得出 ∏ 的方程为 则得出∏ xX yY + + zZ = 1 2 2 由点到平面的距离公式,得 由点到平面的距离公式 得 1 ρ ( x, y, z ) = x2 y2 2 + +z 4 4
x2 y2 由z = 1 2 2
z = x x x2 y2 2 1 2 2
∑ + ∑1 + ∑ 2
∫∫
ydydz xdzdx + z 2dxdy ,
= ∫∫∫ 2zdv
( = 柱坐标) dθ ∫ rdr ∫ 2 zdz + ∫ dθ ∫ rdr ∫ 2 zdz ∫
(完整版)第一类曲面积分习题
例 1 . 计算积分1 dS , 是球面 x 2y 2z 2R 2被平面 z h ( 0 h R )截出的z顶部。
例 2. 计算积分òxydS ,是圆柱面 x 2y 2 1与平面 z0 , x z 2 围成的立体的全表面。
例 3 . 求 F (t )f ( x, y, z)dS , 其 中为 x 2 y 2 z 2t 2 ( t 0 ), 被 积 函 数f ( x, y, z) x 2y zx 2 y 2。
zx 2y 2例 4.计算积分1dS ,⑴ 是球面 x 2y 2z 2R 2;⑵ 是介于平面 z 0 ,222x yz之间的圆柱面 x 2y 2R 2 。
z 1例 5. 计算积分 z 2dS ,此中: x 2y 2 z 2 R 2 。
例 6.计算积分 (xyz)dS , 是上半球面 x 2 y 2z 2 2 被旋转抛物面 zx 2y 2截出的顶部。
例 7.计算曲面积分( xy yz zx)dS , 为锥面 zx 2 y 2 被圆柱面 x 2 y 22ay( a 0 )所截下的部分。
例 8. 计算半径为 a 的平均半球壳的重心。
例 1 . 计算积分1dS , 是球面 x 2y 2 z 2R 2 被平面 z h ( 0 hR )截出的z顶部。
解:: zR 2 x 2 y 2 ,在 xoy 面上的投影地区 D : x 2 y 2 R 2 h 2 ,1 z2 z 21x 2y 2R RxyR2x 2 y 2R2x 2 y 2R2x 2y 211RddSzDR 2 x 2 y 2R 2 x 2 y 2x 2y 2R 2 h 2R 2dRrdrd R2R 2h 2r2 drR 2 x 2y 22 dR 2rDDR r2 R ( 1 ln( R 2 r 2 ) 0 R 2h 2R (2ln R2ln h) 2RlnR2h例 2. 计算积分 ò xydS ,是圆柱面 x 2 y 21与平面 z 0 , x z 2 围成的立体的全表面。
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例1.计算积分1dS z ∑⎰⎰,∑是球面2222
x y z R ++=被平面z h =(0h R <<)截出的
顶部。
例2.计算积分xydS ∑
⎰⎰
Ò,∑是圆柱面221x y +=与平面0z =,2x z +=围成的立体的
全表面。
例3.求()(,,)F t f x y z dS ∑
=
⎰⎰
,其中∑为2222x y z t ++=(0t >)
,被积函
数2(,,)0
z x y
f x y z z ≥⎧+=⎨
⎩<
例4.计算积分
222
1dS x y z ∑++⎰⎰,⑴∑是球面2222
x y z R ++=;⑵∑是介于平面0z =,1z =之间的圆柱面222x y R +=。
例5.计算积分2z dS ∑
⎰⎰
,其中∑:2222x y z R ++=。
例6.计算积分()x y z dS ∑
++⎰⎰
,∑是上半球面2222x y z ++=被旋转抛物面22
z x y =+截出的顶部。
例7.计算曲面积分
()xy yz zx dS ∑
++⎰⎰
,∑
为锥面z =被圆柱面222x y ay
+=(0a >)所截下的部分。
例8.计算半径为a 的均匀半球壳的重心。
例1.计算积分1dS z
∑⎰⎰,∑是球面2222
x y z R ++=被平面z h =(0h R <<)截出的顶部。
解:∑
:z =
xoy 面上的投影区域D :2222x y R h +=-,
=
=
1dS z ∑⎰⎰σ=⎰⎰
222
D R d R x y σ=--⎰⎰22D R rdrd R r θ=-⎰⎰22200r R d dr R r πθ=-⎰
2212(ln(2R R r π=⋅-
-(2ln 2ln )2ln R
R R h R h
ππ=⋅-= 例2.计算积分xydS ∑
⎰⎰
Ò,∑是圆柱面221x y +=与平面0z =,2x z +=围成的立体的
全表面。
解:123∑=∑+∑+∑
1∑:0z =,1D :2
2
1x y +≤;
1
1
1
0D D xydS xyd σσ∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰
2∑:2z x =-, 2D :221x y +≤
2
2
2
0D D xydS xyd σσ∑==⎰⎰
⎰⎰
3∑:221x y +=,33132∑=∑+∑,31∑
:y =32∑
:y = 31∑、32∑在xoz 面上的投影区域均为3D ,且3D 由2x z +=,1x =,1x =-,0
z =
==
xydS ∑
⎰⎰
Ò1
2
3
xydS ∑∑∑=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰3
31
32
xydS xydS xydS ∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
3
3
(D D x σσ=+⎰⎰⎰⎰3
2D xd σ=⎰⎰
111
2x dx xdz --=⎰⎰
1
124
2(1)2()33
x x dx -=-=-=-⎰
例3.求()(,,)F t f x y z dS ∑
=
⎰⎰
,其中∑为2222x y z t ++=(0t >),被积函
数
2(,,)0
z x y
f x y z z ≥⎧+=⎨
⎩<
解:12∑=∑+∑,其中
1∑:2222x y z t ++=
(z ≥; 2∑:2222x y z t ++=
(z <;故
2
2
(,,)00f x y z dS dS ∑∑==⎰⎰
⎰⎰;
1∑
:z =xoy 面的投影区域为D :2
2
2
2
t x y +≤,则
==1
12(,,)()f x y z dS x y dS ∑∑=+=
⎰⎰
⎰⎰2(D
x y σ+⎰⎰
2
t σ=
⎰⎰
22t θ=
⎰⎰
22
cos t d πθθ=⎰⎰
220
1cos 2122t d πθθ+=⋅⎰
22()2
t t r π
=-
32222
{()223t t r t π=--
33332(2)}23t t t π=--
-4
812
t -=
()(,,)F t f x y z dS ∑
=
⎰⎰
1
2
(,,)(,,)f x y z dS f x y z dS ∑∑=+=
⎰⎰
⎰⎰
4
812
t - 例4.计算积分
2221dS x y z ∑++⎰⎰,
⑴∑是球面2222
x y z R ++=;⑵∑是介于平面0z =,1z =之间的圆柱面222x y R +=。
解:⑴ 因为∑:2
2
2
2
x y z R ++=,故
2221dS x y z ∑++⎰⎰2
22114dS R R R
π∑==⋅=⎰⎰; ⑵ ∑:2
2
2
x y R +=,则
221
dS R z ∑+⎰⎰;
12∑=∑+∑,1∑
:y =,2∑
:y =,在xoz 面上的投影
区域相同均为D :R x R -≤≤,01z ≤≤
,且对于y =,均有
==
2221
dS
x y z ∑++⎰⎰122
1
dS
R z ∑=+⎰⎰
2
22
1
dS R z
∑++⎰⎰
22
12D R z σ=+⎰⎰
1220
12R R
dz R z -=+⎰
⎰12arctan
R
π= 例5.计算积分
2z dS ∑
⎰⎰
,其中∑:2222x y z R ++=。
解:12∑=∑+∑,其中1∑
:z =
2∑
:z =;
== D :2
2
2
x y R +=
2z dS ∑
⎰⎰
1
2
22z dS z dS ∑∑=+⎰⎰
⎰⎰22D
σ=⎰⎰
2R σ=⎰⎰
3424
233
R R R ππ=⋅=
或因为积分曲面具有轮换对称性,即
222z dS x dS y dS ∑
∑
∑
==⎰⎰
⎰⎰⎰⎰,则
2222
1()3z dS x y z dS ∑∑
=++⎰⎰⎰⎰2224
44333
R R dS R R ππ∑
=
=⋅=⎰⎰ 例6.计算积分()x y z dS ∑
++⎰⎰
,∑是上半球面2222x y z ++=被旋转抛物面22
z x y =+截出的顶部。
解:∑关于xoz 、yoz 坐标面对称,故
0ydS ∑
=⎰⎰
,0xdS ∑
=⎰⎰,故
∑
:z =,D :221x y +≤
=
()x y z dS
∑
++⎰⎰
zdS ∑==
⎰⎰D
σ
⎰⎰
D
d σ==
例7.计算曲面积分
()xy yz zx dS ∑
++⎰⎰
,∑
为锥面z =被圆柱面222x y ay
+=(0a >)所截下的部分。
解:因为锥面、圆柱面均关于yoz 面对称,故曲面∑关于yoz 面对称,而xy xz +关于x 恰
好是奇函数,yz 关于x 是偶函数,从而
22y ay
=sin a θ
()xy yz zx dS ∑
++⎰⎰
yzdS ∑
=⎰⎰1
2yzdS ∑=⎰⎰
1∑
:z =,1D 如图所示。
()xy yz zx dS ∑++⎰⎰12yzdS ∑=
⎰⎰12D σ=⎰⎰
1
D σ=
1
sin D r r rdrd θθ=⋅⋅
2
2sin 3
sin a d r d π
θθθθ=
⎰
2
4
(2sin )sin 4
a d π
θθθ=
2
508sin a
d π
θθ=
442853a =⋅=
例8.计算半径为a 的均匀半球壳的重心。
解:设半球壳为上半球壳,即∑
:z =
D :222x y a +≤;由球面的均匀
性,重心在对称轴z 轴上,即0==y x ,且
2
2a dS π=⎰⎰∑
=
⎰⎰∑zdS ⎰⎰
--⋅
--D
d y x a a y x a σ2
222223a d a D
πσ==⎰⎰
所以,⎰⎰⎰⎰∑
∑=
dS
zdS z 2
22
3a
a a ==ππ,重心坐标为)2,0,0(a 。