(完整版)第一类曲面积分习题
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例1.计算积分1dS z ∑⎰⎰,∑是球面2222
x y z R ++=被平面z h =(0h R <<)截出的
顶部。 例2.计算积分xydS ∑
⎰⎰
Ò,∑是圆柱面221x y +=与平面0z =,2x z +=围成的立体的
全表面。
例3.求()(,,)F t f x y z dS ∑
=
⎰⎰
,其中∑为2222x y z t ++=(0t >)
,被积函
数2(,,)0
z x y
f x y z z ≥⎧+=⎨
⎩<
例4.计算积分
222
1dS x y z ∑++⎰⎰,⑴∑是球面2222
x y z R ++=;⑵∑是介于平面0z =,1z =之间的圆柱面222x y R +=。
例5.计算积分2z dS ∑
⎰⎰
,其中∑:2222x y z R ++=。
例6.计算积分()x y z dS ∑
++⎰⎰
,∑是上半球面2222x y z ++=被旋转抛物面22
z x y =+截出的顶部。 例7.计算曲面积分
()xy yz zx dS ∑
++⎰⎰
,∑
为锥面z =被圆柱面222x y ay
+=(0a >)所截下的部分。
例8.计算半径为a 的均匀半球壳的重心。
例1.计算积分1dS z
∑⎰⎰,∑是球面2222
x y z R ++=被平面z h =(0h R <<)截出的顶部。 解:∑
:z =
xoy 面上的投影区域D :2222x y R h +=-,
=
=
1dS z ∑⎰⎰σ=⎰⎰
222
D R d R x y σ=--⎰⎰22D R rdrd R r θ=-⎰⎰22200r R d dr R r πθ=-⎰
2212(ln(2R R r π=⋅-
-(2ln 2ln )2ln R
R R h R h
ππ=⋅-= 例2.计算积分xydS ∑
⎰⎰
Ò,∑是圆柱面221x y +=与平面0z =,2x z +=围成的立体的
全表面。
解:123∑=∑+∑+∑
1∑:0z =,1D :2
2
1x y +≤;
1
1
1
0D D xydS xyd σσ∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰
2∑:2z x =-, 2D :221x y +≤
2
2
2
0D D xydS xyd σσ∑==⎰⎰
⎰⎰
3∑:221x y +=,33132∑=∑+∑,31∑
:y =32∑
:y = 31∑、32∑在xoz 面上的投影区域均为3D ,且3D 由2x z +=,1x =,1x =-,0
z =
==
xydS ∑
⎰⎰
Ò1
2
3
xydS ∑∑∑=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰3
31
32
xydS xydS xydS ∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
3
3
(D D x σσ=+⎰⎰⎰⎰3
2D xd σ=⎰⎰
111
2x dx xdz --=⎰⎰
1
124
2(1)2()33
x x dx -=-=-=-⎰
例3.求()(,,)F t f x y z dS ∑
=
⎰⎰
,其中∑为2222x y z t ++=(0t >),被积函
数
2(,,)0
z x y
f x y z z ≥⎧+=⎨
⎩<
解:12∑=∑+∑,其中
1∑:2222x y z t ++=
(z ≥; 2∑:2222x y z t ++=
(z <;故
2
2
(,,)00f x y z dS dS ∑∑==⎰⎰
⎰⎰;
1∑
:z =xoy 面的投影区域为D :2
2
2
2
t x y +≤,则
==1
12(,,)()f x y z dS x y dS ∑∑=+=
⎰⎰
⎰⎰2(D
x y σ+⎰⎰
2
t σ=
⎰⎰
22t θ=
⎰⎰
22
cos t d πθθ=⎰⎰
220
1cos 2122t d πθθ+=⋅⎰
22()2
t t r π
=-
32222
{()223t t r t π=--
33332(2)}23t t t π=--
-4
812
t -=
()(,,)F t f x y z dS ∑
=
⎰⎰
1
2
(,,)(,,)f x y z dS f x y z dS ∑∑=+=
⎰⎰
⎰⎰
4
812
t - 例4.计算积分
2221dS x y z ∑++⎰⎰,
⑴∑是球面2222
x y z R ++=;⑵∑是介于平面0z =,1z =之间的圆柱面222x y R +=。
解:⑴ 因为∑:2
2
2
2
x y z R ++=,故
2221dS x y z ∑++⎰⎰2
22114dS R R R
π∑==⋅=⎰⎰; ⑵ ∑:2
2
2
x y R +=,则
221
dS R z ∑+⎰⎰;
12∑=∑+∑,1∑
:y =,2∑
:y =,在xoz 面上的投影
区域相同均为D :R x R -≤≤,01z ≤≤
,且对于y =,均有
==
2221
dS
x y z ∑++⎰⎰122
1
dS
R z ∑=+⎰⎰
2
22
1
dS R z
∑++⎰⎰