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1.1.2 概率的定义及其运算
一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm) ，则每盒至多有一球的概率是：
ABC ABC ABC ABC
A3 :“恰有两人命中目标”:
ABC ABC ABC
A4 :“最多有一人命中目标”: BC AC AB
A5 :“三人均命中目标”:
ABC
A6 :“三人均未命中目标”:
A B C
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1.1.2 概率的定义及其运算
从直观上来看，事件A的概率是指事件A发生的可能 性。 古典概型与概率
例1.1.5:设盒中有3个白球，2个红球，现从 盒中任抽2个球，求取到一红一白的概率。
解:设A-----取到一红一白
N () C52
N ( A) C31C21
P(A)
C31C
1 2
C52
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1.1.2 概率的定义及其运算
一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从 中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是
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1.1.1 随机事件及其运算
随机试验(简称“试验”) 随机试验的特点 1.可在相同条件下重复进行； 2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果; 3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。 随机试验可表为E
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例1.1.1随机试验例：
E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E3:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数； E4: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E5:在一批灯泡中任取一只，测其寿命。
1.包含关系 “ A发生必导致B发生”记为AB
A＝B AB且BA.
2.和事件： “事件A与B至少有一个发生”，记作
n
AB
Ai
n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作 i1
3.积事件:A与B同时发生，记作 AB＝AB
n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 A1A2…An
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简称“事件”.记作A、B、C等 任何事件均可表示为样本空间的某个子集. 称事件A发生当且仅当试验的结果是A中的元素 两个特殊事件: 必然事件Ω 、不可能事件Φ .
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1.1.1 随机事件及其运算
例1.1.2 对于试验E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正面 出现的次数 ，以下随机事件:
Ω1={0，1，2，3} -----必然事件Ω A＝“至少出一个正面” ＝{1，2，3}； 而对试验E5：在一批灯泡中任取一只，测其寿命。 Ω2={x:0≤x≤ ∞(小时）}。 B＝“灯泡寿命超过1000小时”
＝{x:1000<x<∞ (小时）}
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1.1.1 随机事件及其运算
4.差事件：A－B称为A与B的差事件,表示事件A 发生而B不发生
5.事件的互斥：AB＝ 表示事件A、B不能同时 发生
6.事件的互逆 AB＝ , 且AB＝ 记作B A，称为A的对立事件 ; 易见A B AB
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1.1.1 随机事件及其运算
事件的运算规律 1、交换律：AB＝BA，AB＝BA 2、结合律：(AB)C＝A(BC)，(AB)C＝A(BC) 3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)， (AB)C＝(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：
P( A) N ( A) N ()
P(A)具有如下性质：
(1) 0 P(A) 1；
(2) P()＝1； P( )=0
(3) AB＝，则 P( A B )＝ P(A) ＋P(B)
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1.1.2 概率的定义及其运算
例1.1.4甲有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女 的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
p
C C k nk M NM CNn
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1.1.2 概率的定义及其运算
例1.1.6:将3个球随机的放入3个盒子中去，问：
（1）每盒恰有一球的概率是多少？
（2）空一盒的概率是多少？
解:设A:每盒恰有一球,B:空一盒
N() 33 N (A) 3! P( A) 2
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P(B) 1 P{空两盒} P{全有球}
第一部分 概率统计基础知识
随机事件及其概率 随机变量及其分布 随机变量的数字特征 数理统计的基本概念 参数估计 假设检验 方差分析
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1.1 随机事件及其概率
随机事件及其运算 概率的定义及其运算 条件概率 全概率公式与贝叶斯公式 事件的独立性
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A B A B, AB A B
可推广 Ak Ak , Ak Ak .
k
k
k
k
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1.1.1 随机事件及其运算
例1.1.3甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、
B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的
运算关系表示下列事件：
A1 :“至少有一人命中目标”: A2 :“恰有一人命中目标”:
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1.1.1 随机事件及其运算
样本空间 实验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记
为Ω 样本点
试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本 点,记为ω 基本事件
由一个样本点组成的单点集
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1.1.1 随机事件及其运算
随机事件 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”,
解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩
T是女孩
N(Ω)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT N(A)={HHH,HHT,HT,THT,TTH} H,HTT,TTH,THT
P(A) N}(A) 7 N() 8
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1.1.2 概率的定义及其运算
若某实验E满足 1.有限性：样本空间Ω＝{ω1, ω 2 , … , ωn }; 2.等可能性：P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn). 则称E为古典概型也叫等可能概型。
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1.1.2 概率的定义及其运算
古典概型中的概率: 设事件A中所含样本点个数为N(A) ，以N(Ω)记样 本空间Ω中样本点总数，则有