龙格-库塔法
龙格-库塔方法
一、Taylor展开法
设
y′ = f ( x, y)
y( x0 ) =
y0
(1)
在[a,b]上有解 y( x),将y( xn+1 )在xn处泰勒展开
y( xn+1 )
=
y( xn ) +
hy′( xn ) +
h2 2!
y′′( xn ) +
h3 3!
y′′′( xn ) +
k4 = f ( xn + h, yn + hk1 − hk2 + hk3 )
为了分析经典R-K公式的计算量和计算精度， 将四阶经典R-K公式与一阶显式Euler公式及二阶改 进的Euler公式相比较。一般说来，公式的级数越 大，计算右端项 f 的次数越多，计算量越大。在 同样步长的情况下，Euler方法每步只计算一个函 数值，而经典方法要计算4个函数值。四阶R-K法的
0.5 0.397312
改进Euler法 h=0.05
0.095123 0.181193 0.259085 0.329563 0.393337
经典R-K法 h=0.1 0.09516250 0.18126910 0.25918158 0.32967971 0.39346906
准确解
y(xn )
0.09516258 0.18126925 0.25918178 0.32967995 0.39346934
h 2 k1 )
k3
=
f (xn
+
3 4
h,
yn
+
3 4 hk2 )
四阶龙格—库塔公式有：
古典公式：
yn+1 = k1 = f k2 = f
数值计算中的龙格库塔算法
数值计算中的龙格库塔算法龙格库塔算法，又称龙格-库塔算法，是一种数值计算方法，主要用于求解微分方程。
它的好处是通过迭代得到更加精确的数值解，对于很多科学和工程问题，如天体力学、化学反应动力学、电路分析等，都有广泛的应用。
一、初识龙格库塔算法最早提出龙格库塔算法的是瑞士数学家卡尔·龙格和德国数学家马丁·库塔，他们在20世纪初期分别提出了一种求解常微分方程组的方法，后来又被合并为一种更为完善的算法，即现在我们所说的龙格库塔算法。
它的基本思想是将微分方程分解成一系列递推的步骤，通过不断迭代，逐渐逼近准确的解。
龙格库塔算法的核心是求出微分方程在某个时刻的斜率。
一般而言，我们可以使用欧拉法或者梯形法来求解，但这些方法往往会出现舍入误差，导致数值解偏离实际解。
相比之下，龙格库塔算法则将微分方程的初始值向前推进一个尽可能小的步长，通过不断缩小步长的大小进行迭代，在保证精度的同时大大提高了计算效率。
在实际应用中，我们通常会使用四阶龙格库塔算法（RK4）来求解微分方程。
具体做法是先求出微分方程在 $t$ 时刻的斜率$k_1$，然后将$t$ 向前推进一半的步长，求出此时的斜率$k_2$，再用 $k_2$ 推进一半的步长，求出此时的斜率 $k_3$，最后以$k_3$ 推进一个步长，求出微分方程在 $t+h$ 时刻的斜率 $k_4$。
最终的数值解为：$$y_{n+1} = y_n + \frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)h$$其中 $y_{n+1}$ 表示下一个时刻的函数值，$y_n$ 表示当前时刻的函数值，$h$ 表示步长。
这个公式看起来比较复杂，但实际上只是对斜率的加权平均。
通过不断迭代，我们就可以得到越来越精确的解。
二、优缺点及应用与其他数值计算方法相比，龙格库塔算法具有以下优点：1. 高精度：通过四阶跑格库塔公式，可达到高精度计算。
2. 稳定可靠：在每一步均会进行收敛性检验，确保计算结果准确无误。
龙格-库塔(Runge-Kutta)法
龙格-库塔（Runge-Kutta）法 1.1 龙格-库塔(Runge-Kutta)法的基本思想
Euler公式可改写成
yi1 yi hK1 K1 f ( xi , yi )
则yi+1的表达式y(xi+1)与的Taylor展开式的前两项 完全相同,即局部截断误差为 O(h 2 ) 。
为了进一步提高精度，设除 xi p 外再增加一点
xiq xi qh ( p q 1)
并用三个点 xi ,xi p , xiq 的斜率k1,k2,k3加权平均
得出平均斜率k*的近似值，这时计算格式具有形式:
yi1 yi h(1 )k1 k2 k3
k1 f (xi , yi ) k2 f (xi ph, yi phk1 )
格式。
若取 1 0 ,则 2 法的计算公式为
1,
p
1 2
，此时二阶龙格-库塔
ky1i
1
f
yi hk2 ( xi , yi )
k
2
h
f
(
x
i
1
,
yi
2
2 k1 )
i 0,1,2, n 1
此计算公式称为变形的二阶龙格—库塔法。式中
x 1 i 2
为区间
xi , xi1
的中点。
1.3 三阶龙格-库塔法
拉法,将 xi p 视为 xi1，即可得
k2 f (xi ph, yi phk1 ) 对常微分方程初值问题(7.1)式的解 y=y(x),根据微 分中值定理，存在点 (xi , xi1 ) ，使得
也即
y(xi1 ) y(xi ) y( )( xi1 xi )
y( xi1 ) y( xi ) hK
龙格库塔法
一、高阶泰勒法
假设初值问题
龙格—库塔法 龙格 库塔法
dy = f (t , y ) dt y (a) = α 的解y (t)及f (t , y )足够光滑.
将y (ti +1 )在ti处作n阶泰勒展开, 得
a≤t ≤b
(1)
y′′(ti ) 2 y ( n ) (ti ) n y ( n +1) (ξ i ) n +1 y (ti +1 ) = y (ti ) + y′(ti )h + h +L+ h + h n! 2! (n + 1)! 其中, ti < ξ i < ti +1.
2
i
i
1
3
i
i
2
4
i
i
3
i +1
i
6123 Nhomakorabea4
作业 教材P198 习题3
(2)
(3)
首先将y (ti +1 )在ti处展成幂级数 h2 y (ti +1 ) = y (ti ) + hy′(ti ) + y′′(ti ) + O(h 3 ) 2 将 y′(t ) = f (t , y (t )) y′′(t ) = f t′(t , y (t )) + f y (t , y (t )) f (t , y (t )) 代入上式, 得 h2 y (ti +1 ) = y (ti ) + hf + ( f t + ff y ) + O(h 3 ) (3) 2 其中f , f t , f y′分别表示相应函数在点(ti , y (ti ))处的函数值.
82第二节 龙格—库塔法
k
(1)
h h k 若令 yn1 y xn hy xn y xn y xn (2) 2! k! 则 y xn1 yn1 O hk 1
y0 k1 2 k2 hf x0 h 2, y0 k1 2
y0 k3
k4 hf x0 h, y0 k3
y0 k2 2 k3 hf x0 h 2, y0 k2 2
k
x1 x0 h y1 y0 k
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0.1832292
0.1584376
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接上图
0.4 0.5 0.5 0.6 0.6 1.341667 1.416026 1.412676 1.482627 1.483281 0.0745394 0.0710094 0.0708400 0.0673253
0.1416245
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由表8-4可见，虽然四阶龙格-库塔方法每步要 计算四次 f 的值，但以h=0.2为步长ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ计算结果就
有5 位有效数字，而欧拉法与预估计-校正方法以
h=0.1为步长的计算结果才具有2 位与3 位有效数字.
如果步长 h 也取0.2，则结果的精度会更低.
即公式(2)为k 阶方法.
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二、龙格-库塔方法(R-K方法)
R-K方法不是通过求导数的方法构造近似公式, 而是通过计算不同点上的函数值, 并对这些函数值作 线性组合, 构造近似公式, 再把近似公式与解的泰勒 展开式进行比较, 使前面的若干项相同 , 从而使近似 公式达到一定的阶数.
matlab龙格库塔法程序,给出实例
一、介绍龙格库塔法龙格库塔法（Runge-Kutta method）是一种数值计算方法，用于求解常微分方程的数值解。
它通过多步迭代的方式逼近微分方程的解，并且具有较高的精度和稳定性。
二、龙格库塔法的原理龙格库塔法采用迭代的方式来逼近微分方程的解。
在每一步迭代中，计算出当前时刻的斜率，然后根据这个斜率来求解下一个时刻的值。
通过多步迭代，可以得到微分方程的数值解。
三、龙格库塔法的公式龙格库塔法可以表示为以下形式：k1 = f(tn, yn)k2 = f(tn + h/2, yn + h/2 * k1)k3 = f(tn + h/2, yn + h/2 * k2)k4 = f(tn + h, yn + h * k3)yn+1 = yn + h/6 * (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)其中，k1、k2、k3、k4为斜率，h为步长，tn为当前时刻，yn为当前时刻的解，yn+1为下一个时刻的解。
四、使用matlab实现龙格库塔法在MATLAB中，可以通过编写函数来实现龙格库塔法。
下面是一个用MATLAB实现龙格库塔法的简单例子：```matlabfunction [t, y] = runge_kutta(f, tspan, y0, h)t0 = tspan(1);tf = tspan(2);t = t0:h:tf;n = length(t);y = zeros(1, n);y(1) = y0;for i = 1:n-1k1 = f(t(i), y(i));k2 = f(t(i) + h/2, y(i) + h/2 * k1);k3 = f(t(i) + h/2, y(i) + h/2 * k2);k4 = f(t(i) + h, y(i) + h * k3);y(i+1) = y(i) + h/6 * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4);endend```以上就是一个简单的MATLAB函数，可以利用该函数求解给定的微分方程。
第三部分龙格-库塔方法
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
于是有
其中
y ( xn +1 ) − y ( xn ) = y '(ξ ), ξ ∈ ( xn , xn +1 ) h y ( xn +1 ) = y ( xn ) + hf (ξ , y (ξ ))
k * = f (ξ , y (ξ )) 称作区间 [ xn , xn +1 ] 上的平均斜率。 上的平均斜率 平均斜率。 问题：计算近似值y ( xn +1 ) 的关键是如何选择算法确定平均斜率 k *
（15）
f ( xn +1 , yn + h ( − k1 + 2 k 2 ))
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注释1 可以用Taylor展示证明格式（14） 注释1：可以用Taylor展示证明格式（14）具有三阶精 展示证明格式
度，并且还可以用类似的方法得到四阶及其以上的更高 阶精度的Runge-Kutta格式 阶精度的Runge-Kutta格式。 Runge 格式。
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h yn + （ k1 + 2 k 2 + 2 k3 +k 4） 6 f ( xn , y n ) h f ( x 1 , yn + k1 ) n+ 2 2 h f ( x 1 , yn + k 2 ) n+ 2 2 f ( xn +1 , yn + hk3 ) （16）
四阶龙格－ 四阶龙格－库塔格式计算结果
xn
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
yn
欧拉格式计算结果 xn yn y ( xn )
龙格库塔法介绍
yn
hf
(xn, yn ))]，
(x, y,h) 1[ f (x, y) f (x h, y hf (x, y))],
2
|
( x,
y1,
h)
(x,
y2 ,
h)
|
[L
2
L 2
(1
hL)]
|
y1
y2
|,
L
L(1
h0L)，h 2
h0.
类似地,不难验证其他龙格 库塔方法的收敛性.
这里c1,c2,c3,2,3, 21, 31, 32均为待定参数.
Tn1 y(xn1) yn1 O(h4 )
(3.11)
c1 c2 c3 1
2
21
3 31 32
c22
c33
1 2
cc232223c2332
将步长折半，从xn用两步求xn1处的近似值，则有
y(xn1)
h
yn21
2c
h 2
5
.
从而
h
y ( xn 1) y ( xn 1)
yn21 ynh1
1， 16
得到事后估计式：
y ( xn 1)
h
yn21
1 15
(
h
yn21
ynh1).
通过检查步长折半前后计算结果的偏差，
y(x) (x, y(x),0) 0 p 1 单步法(4.1)收敛. 定义4 若单步法(4.1)增量函数(x, y,h)是否满足
龙格-库塔法
四阶龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题1.算法原理对于一阶常微分方程组的初值问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋯⋯==⋯⋯=⋯⋯⋯⋯=⋯⋯=0020********'212'2211'1)(,,)(,)())(,),(),(,()())(,),(),(,()())(,),(),(,()(n n n n n n n y x y y x y y x y x y x y x y x f x y x y x y x y x f x y x y x y x y x f x y ， 其中b x a ≤≤。
若记Tn Tn Tn y x f y x f y x f y x f y y y y x y x y x y y x y )),(,),,(),,((),(),,,())(),(),(()(2102010021⋯⋯=⋯⋯=⋯⋯=，，则可将微分方程组写成向量形式⎩⎨⎧=≤≤=0')()),(,()(y a y b x a x y x f x y微分方程组初值问题在形式上和单个微分方程处置问题完全相同，只是数量函数在此变成了向量函数。
因此建立的单个一阶微分方程初值问题的数值解法，可以完全平移到求解一阶微分方程组的初值问题中，只不过是将单个方程中的函数转向向量函数即可。
标准4阶R-K 法的向量形式如下：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++==++++=+),()21,2()21,2(),()22(61342312143211K y h x hf K K y h x hf K K y h x hf K y x hf K K K K K y y n n n n n n n n n n 其分量形式为n j K y K y K y h x hf K K y K y K y h x hf K K y K y K y h x hf K y y y x hf K K K K K y y n ni i i i j j n nii i i j j n nii i i j j ni i i i j j j j j j i j i j ,,2,1).,,,;(),2,2,2;2(),2,2,2;2(),,,,;(),22(6132321314222212131212111221143211,1,⋯⋯=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+⋯⋯+++=+⋯⋯+++=+⋯⋯+++=⋯⋯=++++=++，，2.程序框图3.源代码%该函数为四阶龙格-库塔法function [x,y]=method(df,xspan,y0,h)%df为常微分方程，xspan为取值区间，y0为初值向量，h为步长x=xspan(1):h:xspan(2);m=length(y0);n=length(x);y=zeros(m,n);y(:,1)=y0(:);for i=1:n-1k1=feval(df,x(i),y(:,i));k2=feval(df,x(i)+h/2,y(:,i)+h*k1/2);k3=feval(df,x(i)+h/2,y(:,i)+h*k2/2);k4=feval(df,x(i)+h,y(:,i)+h*k3);y(:,i+1)=y(:,i)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;end%习题9.2clear;xspan=[0,1];%取值区间h=0.05;%步长y0=[-1,3,2];%初值df=@(x,y)[y(2);y(3);y(3)+y(2)-y(1)+2*x-3];[xt,y]=method(df,xspan,y0,h)syms t;yp=t*exp(t)+2*t-1;%微分方程的解析解yp1=xt.*exp(xt)+2*xt-1%计算区间内取值点上的精确解[xt',y(1,:)',yp1']%y(1,:)为数值解，yp1为精确解ezplot(yp,[0,1]);%画出解析解的图像hold on;plot(xt,y(1,:),'r');%画出数值解的图像4.计算结果。
龙格库塔方程
龙格库塔方程1.介绍龙格-库塔（RK）方法是求解常微分方程（ODE）最常见的数值方法之一。
对于大多数非线性ODE问题，解析解并不存在或难以获得，因此需要使用数值方法来近似计算解。
RK方法通过迭代逼近ODE的解来得到精确性可控、收敛性好、易实现的数值解。
RK方法的基本思想是将ODE中的一阶导数转化为一组计算步骤，以得到相邻时间点之间的函数值和一阶导数的近似值，然后将其结合起来得到一个更精确的解。
2.RK方法的推导RK方法的推导过程是基于欧拉方法的，欧拉方法是RK方法的一阶近似。
假设有ODE$\frac{dx}{dt}=f(x,t)$，欧拉方法的迭代公式为$$x_{n+1}=x_n+hf(x_n,t_n)$$其中$h$是时间步长，$t_n=n*h$。
这个公式的意思是，从$x_n$开始，用一阶导数$f(x_n,t_n)$来列出切线，然后沿着切线向前移动$h$个单位，得到$x_{n+1}$。
更高阶的RK方法则基于更精细的近似。
例如，经典的四阶RK方法（RK4）迭代公式为：\begin{align*}k_1&=f(x_n,t_n)\\k_2&=f(x_n+\frac{h}{2}k_1,t_n+\frac{h}{2})\\k_3&=f(x_n+\frac{h}{2}k_2,t_n+\frac{h}{2})\\k_4&=f(x_n+h k_3,t_n+h)\\x_{n+1}&=x_n+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)\end{align*}其中，$k_1$是欧拉方法的一阶导数解，依次计算得到更高阶的导数近似值$k_2-k_4$。
3.RK方法的优势RK方法与其他数值方法相比具有众多优点。
首先，RK方法的精度可控。
通过增加迭代次数或者近似阶次，RK 方法可以获得任意高的精度。
这个特性非常适用于涉及长时间尺度和小尺度特征的问题，例如天气预报，需要同时精确地处理地球的自转和大气的扰动。
常微分方程龙格库塔法
常微分方程龙格库塔法在数学的世界里，有一种神秘的生物叫常微分方程。
它们就像是一道道难解的难题，让很多人抓耳挠腮，心里直叫苦。
不过，别担心，今天我们要聊的就是一种解这些难题的法宝——龙格库塔法。
听起来高大上，但其实它并没有那么可怕，反而可以说是我们的好帮手。
想象一下，你在山顶上，俯瞰着山谷。
你能看到小溪、绿树，还有那些蜿蜒的小路。
常微分方程就像是这些小路，虽然看起来复杂，但其实我们只需要找到合适的路径，顺着它一路走下去。
龙格库塔法就像是一双好鞋，能让你在这条路上走得稳稳当当，不用担心摔跤。
你可能会问，什么是龙格库塔法呢？简单来说，它就是一种数值解法，帮助我们在找不到解析解的时候，用一些聪明的方法来近似解决。
这玩意儿有几个版本，最常用的就是四阶龙格库塔法。
你可以把它想象成一个厨师，做菜的时候得先准备好材料，对吧？龙格库塔法也是如此，得先准备好初始条件和方程。
然后，它就开始了它的“烹饪”过程。
先把这些材料混合，取一些小样本，然后再慢慢调味，最后出炉的就是你想要的结果。
想想看，这个过程就像是我们做饭时不断尝味道，直到找到最佳口感。
你可能会觉得，这个方法听起来简单，但它却隐藏着许多智慧。
在每一步中，我们都得计算出一些斜率，这些斜率就像是那条小溪的流速，告诉我们水的流动方向。
通过这些信息，我们就能预测下一个位置在哪里。
每一步都在“拼图”，一点一点把整个图案拼凑起来。
这也挺像我们的生活，逐步向前，调整方向，不断摸索，最终才能看到那幅完整的画面。
这个过程并不是一帆风顺的。
方程可能会“发脾气”，变得特别复杂，让你心里直犯嘀咕。
不过别灰心，龙格库塔法就像是个灵活的解题高手，总能找到突破口。
关键在于，咱们要有耐心，细致入微，才能真正领悟它的奥秘。
数学就像一场旅行，虽然有时会迷路，但只要不放弃，最后总能找到回家的路。
别忘了，随着计算机技术的发展，龙格库塔法也有了更便捷的实现方式。
你只需要轻轻一按，电脑就能帮你完成复杂的计算，简直像是给了你一双“魔法手”。
龙格库塔法
2020/4/25
10
令 y(xi1) yi1 对应项的系数相等，得到
c1 c2 1 ,
a2c2
1 2
,
b21c2
1 2
这里有 4 个未知 数，3 个方程。
存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格 - 库塔格式。
2020/4/25
• 1.在运动流体的整个空间，可绘出一系列的流线，称为流 线簇。流线簇的疏密程度反映了该时刻流场中速度的不同。 2.当为非定常流时，流线的形状随时间改变：对于定常流， 流线的形状和位置不随时间而变化。 3.定常流的流线和迹线重合。 4.一般情况下，流线不能相交，不能折转，只能是一条光 滑曲线。
龙格库塔法
2020/4/25
5
引入记号
y(xi1) y(xi ) K
K hy(i) hf i, y(i)
yi1 yi K
K可以认为是y y(x)在区间[xi , xi1]上的平均斜率
y
只要使用适当的方法求 出y(x)在区
y y(x)
间[xi , xi1]上平均斜率的近似值 K
K
就可得到相应的Runge-Kutta方法
2!
3!
4!
2020/4/25
20
龙格—库塔方法的推导基于Taylor展开方法，因而它要求所求的解具有
较好的光滑性。如果解的光滑性差，那么，使用四阶龙格—库塔方法求得的数 值解，其精度可能反而不如改进的欧拉方法。在实际计算时，应当针对问题的 具体特点选择合适的算法。对于光滑性不太好的解，最好采用低阶算法而将步 长h 取小。
23 4 5 6
龙格—库塔法分析Lorenz方程课程设计
参数的选择
初始条件：确定初始状态
迭代次数：根据计算精度要求选择 合适的迭代次数
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
步长：选择合适的步长，保证计算 精度
误差控制：设置误差阈值，保证计 算结果的准确性
求解过程的实现
迭代：使用龙格-库塔法进行 迭代求解，如x1, y1, z1
更新：更新x, y, z的值，如 x2, y2, z2
数值解法的步骤
确定初始条件：设定初始时刻的变量值 建立差分方程：将微分方程转化为差分方程 迭代求解：通过迭代方法求解差分方程 结果分析：对求解结果进行分析和讨论
数值解法的实现方式
欧拉法：一种简单的数值积 分方法，用于求解微分方程
龙格-库塔法：一种常用的数 值积分方法，用于求解微分 方程
改进的欧拉法：在欧拉法的 基础上进行改进，提高了计
算精度
龙格-库塔法的优缺点：优点 是计算精度高，缺点是计算 量较大
Part Five
龙格—库塔法求解 Lorenz方程的步骤
初始条件的设定
确定初始条件：设定初始时刻的变 量值
设定初始条件精度：设定初始条件 的精度要求
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
设定初始条件范围：设定初始条件 的取值范围
设定初始条件稳定性：确保初始条 件在求解过程中保持稳定
结合实际案例，提高解决实际问题的 能力
关注相关领域的最新研究成果，拓宽 知识面
培养团队协作和沟通能力，提高团队 合作效率
加强自我学习和自我提升，不断提高 自己的专业素养和技能水平
THANKS
汇报人：
解析解的局限 性：Lorenz方 程的解析解难 以求解，需要 数值解法来求
龙格库塔法
c1
c2
1
0,
1 2
c2
0
即常数c1, c2 , 满足条件
c1 c2 1
c2
1 2
方程组有三个未知数，但只有两个方程，因此可得到
局部截断误差为O(h3 )的计算公式.
如果取c1
c2
1 ,
2
1,递推公式为
y0
k1 f (ti , yi )
k2 f (ti h, yi hk1)
yi
代入上式, 得
yi1 yi h(c1 f c2 f ) c2h( ft ffy ) O(h2 )
在局部截断误差的前提假设yi y(ti )下,得
y(ti1)
yi1
h(c1
c2
1)
f
h2(1 2
c2 )( ft
ffy ) O(h3)
要使局部截断误差y(ti1) yi1 O(h3 ),当且仅当
§9-3 龙格—库塔法
一、高阶泰勒法
假设初值问题
dy f (t, y) a t b dt
(1)
y(a)
的解y(t)及f (t, y)足够光滑.
将y(ti1)在ti处作n阶泰勒展开 , 得
y(ti1)
y(ti )
y(ti )h
y(ti ) h2 2!
y(n) (ti ) hn n!
y(n1) (i ) hn1
f
(ti
1 2
h,
yi
1 2 hk1)
(10)
yi1 yi hk2 )
公式(8)、(9)、(10)三式是三种常见的二阶龙格—库塔公式
局部截断误差为 O(h3).
三、三、四阶龙格—库塔法
三阶龙格—库塔法
龙格-库塔方法
8.2 龙格-库塔方法8.2.1 二阶龙格-库塔方法常微分方程初值问题：做在点的泰勒展开：这里。
取，就有(8.11) 截断可得到近似值的计算公式，即欧拉公式：若取，式（8.11）可写成：或（8.12）截断可得到近似值的计算公式：或上式为二阶方法，一般优于一阶的欧拉公式（8.2），但是在计算时，需要计算在点的值，因此，此法不可取。
龙格-库塔设想用在点和值的线性组合逼近式（8.12）的主体，即用（8.13）逼近得到数值公式：（8.14）或更一般地写成对式（8.13）在点泰勒展开得到：将上式与式（8.12）比较，知当满足时有最好的逼近效果，此时式（8.13）－式（8.14）。
这是4个未知数的3个方程，显然方程组有无数组解。
若取，则有二阶龙格-库塔公式，也称为改进欧拉公式：（8.15）若取，则得另一种形式的二阶龙格-库塔公式，也称中点公式：（8.16）从公式建立过程中可看到，二阶龙格-库塔公式的局部截断误差仍为，是二阶精度的计算公式。
类似地，可建立高阶的龙格-库塔公式，同时可知四阶龙格-库塔公式的局部截断误差为，是四阶精度的计算公式。
欧拉法是低精度的方法，适合于方程的解或其导数有间断的情况以及精度要求不高的情况，当解需要高精度时，必须用高阶的龙格-库塔等方法。
四阶龙格-库塔方法应用面较广，具有自动起步和便于改变步长的优点，但计算量比一般方法略大。
为了保证方法的收敛性，有时需要步长取得较小，因此，不适于解病态方程。
8.2.2 四阶龙格-库塔公式下面列出常用的三阶、四阶龙格-库塔计算公式。
三阶龙格-库塔公式（1）（8.17）（2）（8.18）(3)（8.19）四阶龙格-库塔公式（1）（8.20）（2）（8.21）例8.3用四阶龙格-库塔公式（8.20）解初值问题：解：取步长，计算公式为：计算结果列表8.3中。
表8.3 计算结果8.2.3 步长的自适应欧拉方法和龙格-库塔方法在计算时仅用到前一步的值，我们称这样的方法为单步法。
第3讲(龙格-库塔方法)
易见，它与二阶泰勒级数方法仅相差 O( h3 )!
这一分析给我们提供了一个重要信息，那就是 我们所遇到的泰勒级数方法中求导数的困难是可以 克服的，改进的欧拉方法就没有用到导数，而是借 助于函数在某些点处的值 (复合函数的思想）。
又 y( x ) df ( x , y( x )) f x f y y f x f y f dx
故二阶泰勒级数方法为 h2 yi 1 yi h f ( xi , yi ) ( f x ( xi , yi ) f ( xi , yi ) f y ( xi , yi )) 2! 更高阶方法更复杂，主要是求导复杂！
yi 1
h2 hk ( k ) yi h y y yi i i 2! k!
这样的数值方法称为k 阶泰勒级数方法。
yi 1
h2 hk ( k ) yi h y y yi i i 2! k!
泰勒级数方法也是单步法，且其局部截断误差为
h2 hk ( k ) LTE y( xi 1 ) y( xi ) hy( xi ) y( xi ) y ( x i ) 2! k!
第二节 龙格-库塔方法
（Runge-Kutta）
根据局部截断误差与整体误差的关系可知， 局部截断误差的阶是衡量一个方法优劣的重要依据。 考虑用提高局部截断误差的阶来提高数值方法的 精度。 泰勒级数法 龙格―库塔方法
一、泰勒级数方法
d y f ( x, y ), x I 如果初值问题 d x 的精确解 y(x) 在 I y( x ) y 0 0
数值分析9-3(龙格-库塔方法)
总结词
除了Python和MATLAB，还有许多其他编 程语言可以用于实现龙格-库塔方法。
详细描述
例如C、Java和R等编程语言也提供了相应 的数值计算库或框架，可以实现龙格-库塔 方法。使用这些语言实现龙格-库塔方法需 要一定的编程基础和对相应语言的数值计算 库的了解。
龙格-库塔方法可以用于求解偏微分方程的数值解，通过将偏微分方程转化为常微分方程组，利用龙格 -库塔方法进行迭代求解，能够得到较为精确的结果。
积分方程的数值解
积分方程是描述函数与积分之间的关 系的数学模型，常见于物理、工程等 领域。
VS
龙格-库塔方法也可以用于求解积分 方程的数值解，通过将积分方程转化 为常微分方程组，利用龙格-库塔方 法进行迭代求解，能够得到较为精确 的结果。
重要性及应用领域
龙格-库塔方法是数值分析中非常重要的内容， 它为解决常微分方程提供了一种有效的数值方 法。
在科学、工程和经济学等领域中，许多问题都 可以转化为求解常微分方程的问题，因此龙格库塔方法具有广泛的应用价值。
例如，在物理学、化学、生物学、金融学等领 域中，龙格-库塔方法被广泛应用于模拟和预测 各种动态系统的行为。
数值分析9-3：龙格-库塔方法
目录
• 引言 • 龙格-库塔方法概述 • 龙格-库塔方法在数值分析中的应用 • 龙格-库塔方法的实现与编程 • 龙格-库塔方法的改进与优化 • 结论与展望
01 引言
主题简介
龙格-库塔方法是一种用于求解常微 分方程的数值方法。
它通过构造一个离散化的时间序列来 逼近微分方程的解，并利用已知的离 散点来计算新的离散点，逐步逼近微 分方程的真实解。
02 龙格-库塔方法概述
定义与原理
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龙格－库塔法
格－库塔法（Runge-Kutta）数值分析中，龙格－库塔法（Runge-Kutta）是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。
这些技术由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明。
经典四阶龙格库塔法
龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格库塔法”。
令初值问题表述如下。
则，对于该问题的RK4由如下方程给出：
其中
这样，下一个值(y n+1)由现在的值(y n)加上时间间隔(h)和一个估算的斜率的乘积决定。
该斜率是以下斜率的加权平均：
∙k1是时间段开始时的斜率；
∙k2是时间段中点的斜率，通过欧拉法采用斜率k1来决定y在点t n + h/2的值；
∙k3也是中点的斜率，但是这次采用斜率k2决定y值；
∙k4是时间段终点的斜率，其y值用k3决定。
当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值：
RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是h5阶，而总积累误差为h4阶。
注意上述公式对于标量或者向量函数(y可以是向量)都适用。
显式龙格库塔法
显示龙格－库塔法是上述RK4法的一个推广。
它由下式给出
其中
(注意：上述方程在不同著述中由不同但却等价的定义)。
要给定一个特定的方法，必须提供整数s (阶段数)，以及系数 a ij (对于1 ≤ j < i ≤ s), b i (对于i = 1, 2, ..., s)和c i (对于i = 2, 3, ..., s)。
这些数据通常排列在一个助记工具中，称为龙格库塔表：
0 c2 a21 c3 a31 a32c s a s1 a s2a s,s − 1 b1 b2b s − 1 b s
龙格库塔法是自洽的，如果
如果要求方法有精度p则还有相应的条件，也就是要求舍入误差为O(h p+1)时的条件。
这些可以从舍入误差本身的定义中导出。
例如，一个2阶精度的2段方法要求b1 + b2 = 1, b2c2 = 1/2, 以及b2a21 = 1/2。