第四章 滤波器的设计
数字信号处理第四章 模拟滤波器频率变换、冲激响应不变法、双线性变换法
4.4 冲激响应不变法
一、基本原理
＝
x(t)
y(t)
取样
取样
x(n) = x(nT)
?
y(n) = y(nT)
?
＝
响应不变
4.4 冲激响应不变法
一、基本原理
其中
取样
其中
另，根据数字系统响应
冲激响应不变原则！
4.4 冲激响应不变法
一、基本原理
模拟滤波器：
（M<N）
部分分式分解
冲激响应不变准则：
数字滤波器：
因此，双线性变换不改变系统稳定性
4.4 双线性变换法
4、频率预畸变
0
高频进行压缩
无混叠，有畸变
频率越高，畸变越大
预畸变
预畸变公式：
根据数字滤波器设计指标，求对应模拟滤波器设计指标时，需预先进行畸变
4.4 双线性变换法
5、双线性变换法设计滤波器步骤
（1）确定数字滤波器技术指标
（Hz表示）
（弧度表示）或
1）带通：计算几何中心
0
若
，则
代替
若
，则
代替
若
，则令
4.2.4 模拟滤波器的频率变换
带通带阻滤波器衰减参数选择
几何对称：
若实际给出的指标不满足几何对称，如何应对？
2）带阻：计算几何中心
0
若
，则
代替
若
，则
代替
若
，则令
固定靠近
的两个值
以让过渡带更窄为选择标准（靠近中心，指标更严）
模拟转数字滤波器
已知一个模拟滤波器H(s)，如何得到数字滤波器H(z)？
3）设计归一化低通滤波器，得到传输函数
4.5 IIR数字滤波器的基本结构
例1：已知某三阶数字滤波器的
5 2 3 z 1 z 2 系统函数为： 3 3 H ( z) 1 1 1 1 1 2 (1 z )(1 z z ) 试画出其直接II型级联型结构。 3 2 2
解：
将系统函数H(z)表达为一阶、二阶实系数分式之积 5 1 2 2 3 z z 1 3 3 H (z) 1 1 1 1 z 1 1 z 1 z 2 3 2 2 3 y[k ] x[k ]
11
z 1 z 1
11 21
1L
2L
z 1 z 1
1L
2L
21
基于直接II型的级联型结构
H ( z) A
i 1 L
1 1,i z 1 2,i z 2 1 1,i z 1 2,i z 2
2、IIR数字滤波器的级联型结构
并联型结构信号流图
0
x[k ]
11
H ( z) 0
k 1
L
0,k 1,k z 1 1 1,k z 1 2,k z 2
01
z 1 z 1
y[k ]
11
21
0L
1L
2L
z 1 z 1
1L
基于直接II型的
5 2 3 z 1 z 2 3 3 H ( z) 1 1 1 1 1 2 (1 z )(1 z z ) 3 2 2
5 1 2 2 3 z z 3 3 将系统函数H(z)表达为： H ( z ) 1 1 1 2 1 3 1 z z z 6 3 6
二阶基本节
H ( z) A
L
1 1,i z 1 2,i z 2
LC带通滤波器的设计与仿真设计毕业设计(论文)
1.3.3 滤波器的前景....................................................7
1.3.4几种新型滤波器介绍..........................................8
●阻带滤波器：它的阻带限定在两个有限频率ƒ1与ƒ2之间，阻带两侧都有通带。
1.1.2 滤波器的种类
根据使用的波段和元件的不同，滤波器有很多种类，而且随着技术的发展，种类还在不断增加。总的来说，滤波器可分为两大类：无源滤波器和有源滤波器。
在无源滤波器中，所使用的是无源元件。他们在个体或组合的情况下，能够把一种形式的能量变换为另一种形式，并重新变回到原来的形式，换言之，它们必须是谐振性的。例如，在一个LC谐振电路中，在电容器的电场和电感线圈的磁场之间不断发生着能量的反复交换。因此，如果两个不同储能装置当相互偶合时，能够以很小的损耗实现能量的交换，它们就可以被利用为滤波器元件。
结束语.................................................................................43
致谢....................................................................................45
摘要
随着电子信息的发展，滤波器作为信号处理的不可缺少的部分，也得到了迅速的发展。LC滤波器作为滤波器的一个重要组成部分，它的应用相当的广泛。因此对于它的设计也受到人们的广泛关注。如何设计利用简单的方法设计出高性能的LC滤波器是人们一直研究的课题。
第四章IIR 数字滤波器设计和实现3
北京邮电大学信息与通信工程学院
1
IIR DF 实现结构：直接型
IIR DF 的差分方程为:
M
N
y(n) aix(n i) biy(n i)
i0
i 1
对其两边进行Z变换,得
M
N
Y (Z ) ai zi X (z) bi ziY (z)
i0
i 1
其系统函数为：
解：对 H(z) 进行因式分解，得：
1 2z1 z2
1 z1
H(z) 0.1432
1 0.1309z1 0.3355z2 1 0.0492z1
它包含一个 2 阶子网络和一个 1 阶子网络，其级联型实现结构如图：
x(n) 0.1309 z1 2 0.3355 z1 1
最优化问题---零极点搭配，级联的顺序。
级联实现很灵活，分子中的任何一个因子都可以和分母中的任何 一个因子相配合组成一个Hi(z)，而这些 Hi(z) 的级联次序又有 K! 种排列方法。
无限精度运算: 具有相同的转移函数H(z)----理论上。
有限字长运算: 不同的搭配，排列产生不同的误差，最小误 差对应的排列----优化问题，而且每级网络产生的误差有传 递积累现象。
yi (n)
1i
z 1 a1i
2i
z 1 a2i
北京邮电大学信息与通信工程学院
19
IIR DF 实现结构：级联型
级联型结构的特点
优点---零极点的独立性
子网络的零极点是整个系统的零极点，调整任意零极点不影响其 他任意的零极点，因此，它有一定的独立性，便于准确实现 H(z) 特性，便于调整。
3
IIR DF 实现结构：直接 I 型
第四章滤波电路
四、无源元件的选择
电阻的选择
主要考虑精度、功率和温度系数。 炭膜电阻：便宜，噪声大，温度系数大。 金属膜电阻：各方面都要好一些，但相对贵 一些。 贴片电阻：精度通常在1％～5％之间。阻值 大、功率大的电阻其体积通常也大。
电容的选择
瓷片电容：一般适于高频场合。 独石电容：体积小，容量大，高低频都 可以用；但误差较大，常用于旁路或者 低频隔直。 钽电容：自放电很小，频率特性比铝电 解好的多，比较贵。
一般取R1＝R2，C1＝C2
20lgA/dB
20
α=0.1
α=0.2
0 0 -1
α=2.5 -20
α=1.67 α=1.25 α=0.8
-40
α=0.33 α=0.5
lg(ω/ω0)
1
a) 幅频特性
-60
第二节 RC有源滤波电路
2、高通滤波器
C1 ui(t)
C2
R1
∞
+
+
R2
-N
R R0 uo(t)
（四）二阶滤波器
1、二阶低通滤波器 二阶低通滤波器的传递函数的一般形式为
它的固有频率为a01/2，通带增 益Kp=b0/a0，阻尼系数为a1/w0。
其幅频特性与相频特性为
第一节 滤波器的基本知识
20lgA/dB
20
α=0.1
α=0.2
0 0 -1
α=2.5 -20
α=1.67 α=1.25 α=0.8
α=0.2 α=0.33 α=0.5
0°-1
0
b)
图4-4
1 lg(ω/ω0) b) 相频特性
第一节 滤波器的基本知识
3、二阶带通滤波器 二阶带通滤波器的传递函数的一般形式为
第四章_滤波电路
第四章 信号滤波目前在一般测控系统中, RC 有源滤波器,特别是由各种形式一阶与二阶有源滤波电路构成的滤波器应用最为广泛.它们的结构简单,调整方便,也易于集成化,实用电路多采用运算放大器作有源器件,几乎没有负载效应,利用这些简单的一阶与二阶电路级联,也很容易实现复杂的高阶传递函数,在信号处理领域得到广泛应用.由于一阶电路比较简单,也可由RC 无源网络实现,性能不够完善,应用不多,所以本节只介绍压控电压源型、无限增益多路反馈型与双二阶环型这三种常用的二阶有源滤波电路。
4.1压控电压源型滤波电路u i )图4.1 压控电压源滤波电路图4.1是压控电压源滤波电路基本结构，点划线框内由运算放大器与电阻R 和0R 构成的同相放大器称为压控电压源，压控电压源也可以由任何增益有限的电压放大器实现，如使用理想运算放大器，压控增益R R /1K 0f +=该电路传递函数为[]24315432121)1()()(H Y Y Y K Y Y Y Y Y Y Y Y K s f f +-+++++=式中51~Y Y ——所在位置元件的复导纳，对于电阻元件i i R Y /1=，对于电容元件)5~1(==i sC Y i i 。
51~Y Y 选用适当电阻Ｒ、电容Ｃ元件，该电路可构成低通、高通与带通三种二阶有源滤波电路．１.低通滤波电路在图4.1中，取1Y 与2Y 为电阻，3Y 与5Y 为电容，4Y =0开路，可构成低通滤波电路，如图4.2a 所示，滤波器的参数为RR 1K K 0f p +==21210C C R R 1=ω22f2110C R K -1R 1R 1C 1+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=αω 2．高通滤波电路在图4.1中，取3Y 与5Y 为电阻，1Y 与2Y 为电容，4Y =0开路，可构成高通滤波电路，如图4.2b 所示，该电路相当于图4.2a 低通电路中，电阻R 与电容C 位置互换，滤波参数为RR K K f 0p 1+==21210C C R R 1=ω11f 2120C R K -1C 1C 1R 1+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=αωu i )a ）1R )b ）)c ）2R a ）低通滤波电路 b ）高通滤波电路 c ）带通滤波电路图4.2 压控电压源型二阶滤波电路3．带通滤波电路R )图4.3 压控电压源型二阶带阻滤波电路用压控电压源构成的二阶带阻滤波电路也有多种形式，图4.3是一种基于RC 双T 网络的二阶带阻滤波电路，双T 网络必须具有平衡式结构，()()32121321R C C R R C R R ++=，或213R //R R =，213C //C C =。
第四章递归最小二乘自适应滤波器
4.2 矩阵求逆引理
设A和B是两个M×M正定阵，它们之间的关系为 是两个M
A = B−1 +CD−1CH
(4-14)
其中，D 其中，D是N×M正定阵，C是M×N矩阵。根据矩阵求 正定阵，C 逆引理，可将A 逆引理，可将A的逆矩阵表示为
A−1 = B− B (D+CH B )−1CH B C C
u(i) =[u(i), u(i −1 L (i −M +1 T ), u )]
(4-3)
式中W 式中W（n）是n时刻抽头权向量，定义为 ）是n
w(n) =[ω0(n),ω (n),L ωM−1(n)]T , 1
(4-4)
注意，在代价函数 ξ(n) 定义的观测区间１≤i ≤n内，横向 定义的观测区间１≤ ≤n内，横向 滤波器的抽头权值保持不变． 式（4 式（4-1）中的加权因子β(n,i) 满足如下关系 0< β(n,i)≤1 i=1,2,…n (4-5)
y(i) = wH (n)u(i)
2)正则化项 2)正则化项
δλ w(n) =δλ w (n)w(n)
n 2 n H
式中δ是一个正实数，称为正则化参数．除了因子 δλ 外， 正则化项只取决于抽头权向w(n).将这一项包含在代价函 数中，以便通过平滑作用来稳定递归最小二乘问题的解。
n
河南工业大学信息科学与工程学院
^
^ 2
λ
2
^
形式，其中 F(w)是由RLS滤波器实现的输入输出映射关 系，D是差分算子。式（4-7）的正则化项通常用在RLS滤 波器设计中。
河南工业大学信息科学与工程学院
4.1.2 正则方程的变形
将式（4 将式（4-7）展开并进行整理，我们发现，在代价函数 δ(n)中增加正则化项 δλ w ) ，相当于将抽头输入向量 (n)中增加正则化项 (n
第4章5-7 数字滤波器的原理和设计方法
为了减小波纹幅度，一方面可以加大窗的长度N，但效果并不 显著；另一方面可采用不同的窗函数来改善不均匀收敛性。图 4.50所示的是几种常用的窗函数：
它们的定义式和频谱函数分述如下： 1、矩形窗
2、Bartlett窗（三角形窗）
3、汉宁(Hanning)窗(升余弦窗)
或
ห้องสมุดไป่ตู้
利用傅里叶变换的调制特性，即利用 和
图4.53所示的是用这5种窗函数设计的低通FIR数字滤波器的频 率响应特性。窗函数的长度N＝51，理想低通滤波器的截止频 ωc=π/2。 从图中可看出，用矩形窗设计的滤波器的过渡带最窄，但阻带 衰减指标最差，仅有-21dB左右。而用布莱克曼窗设计的阻带衰 减指标最好，可达-74dB，但过渡带最宽，约为矩形窗的3倍。
对比等式两边，有
如果把变量代换的有理函数F(z-1)看成是一个系统函数，那么该系 统的幅频特性曲线在任何ω处恒为1，这样的函数就是全通函数。 任何全通函数都可表示为
其中αk是F(z-1)的极点。为了满足稳定性的要求，必须有|αk|<1。这 样，通过选择适当的N值和αk值，可以得出各种各样的映射。
1)低通→低通的z平面变换
这里用v-1是因为系统函数的标准形 式,一般写成z-1的形式，换到v平面 即是v-1。
频率变换中的变量代换公式必须满足下列条件： (1)F(z-1)必须是z-1的有理函数； (2)v平面的单位圆内部映射到z平面的单位圆内部。
从这些条件出发，我们可推导出频率变换的实用公式。 设v平面单位圆是v=ejθ，z平面单位圆是z=ejω，则
其中 矩形窗ωR(n)的频谱的图形如下 图所示。
ω从-2π/N到-2π/N之间的WR(ω)称 为窗函数的主瓣，主瓣两侧呈衰 减振荡的部分称为旁瓣。
脉冲响应不变法.
极点为s1= 0.567 8 + 0.565 4j, s2= 0.567 8 0.565 4j
利用
Al ssi
1eAsilTz1
可得DF的系统函数为：
H(z)
0.348z41
10.951z710.322z12
例2：利用BW模拟滤波器及脉冲响应不变法设计一数字
滤波器，满足Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB。
1
Normalized frequency
原因：BW型滤波器不是带限的，脉冲响应不变法设计的 数字滤波器存在频谱混叠。
例3：利用BW模拟滤波器及脉冲响应不变法设计一数
字滤波器，满足Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As25dB 。
措施：1)增加待设计DF的阻带衰减
Gain in dB
wp,ws 滤波器
H(s)
H(z)
的转换
如何将模拟滤波器转变为数字滤波器? 1. 脉冲响应不变法 2. 双线性变换法
1、脉冲响应不变法的基本原理
对模拟滤波器的单位冲激响应h(t)等间隔抽样 来获得数字滤波器的单位脉冲响应h[k]：
h[k]h(t)tkT
即，数字滤波器的单位脉冲响应h[k] = 模拟 滤波器的单位冲激响应h(t)的取样值h(kT) 。
%Design DF BW low-pass filter using impulse invariance %DF BW LP specfication Wp=0.2*pi; Ws=0.6*pi; Ap=2; As=15; Fs=1; %Sampling frequency(Hz) %Analog Butterworth specfication wp=Wp*Fs; ws=Ws*Fs; %determine the order of AF filter N=buttord(wp,ws,Ap,As,'s'); %determine the 3-db cutoff frequency of BW filter from pass-band specfication wc=wp/(10^(0.1*Ap)-1)^(1/N/2); %determine the AF-BW filter
数字信号处理第四章-数字滤波器的结构
3).H (z)
Y (z) X (z)
(1 bz1) (1 az1)
y(n) ay(n 1) x(n) bx(n 1)
9
10
11
w w
12
转置流图：
w(n) y(n)
原流图：
w(n) ay(n 1) x(n) bx(n 1) 两边作Z变换：
w(n) x(n) aw(n 1) y(n) w(n) bw(n 1) 两边作Z变换：
乘法系数为复数，运算量增加； 系统的稳定性依赖于零、极点相互抵消，对实
现的精度要求很高。在存在有限字长效应的情 况下，有可能造成系统不稳定。
54
确保所有零点、极点在单位圆内。 55
（h(n)为实数）
第k对 极点， 即第k 个与第 N-k个 谐振器 合并
56
谐振频 率不变
还有两点需要注意：（存在实根） 57
1
前言
线性时不变系统用单位冲击响应来表示 系统函数实际上单位冲击响应的Z变换 系统函数反映线性时不变系统的特性 大多数的信号处理可看成是对信号的滤波操作 数字滤波器实际上就是线性时不变系统
因此数字滤波器可以表示为：
2
前言
M
bk zk
H(z) Y(z) / X (z)
k 0 N
1 ak zk
从信号流图中：
可以清楚地看到系统中的运算步骤和运 算结构。FFT时用到了该特点。
运算结构可以直观反映所需的存储单元 和运算次数。由于是数字实现，必然存 在系统误差，运算结构同时也可以反映 系统误差的累积问题。 下面讨论的IIR和FIR滤波器结构将涉及 上述问题。
14
1
15
无限冲击响应滤波器的特点
82
iir带阻滤波器设计课程设计
iir带阻滤波器设计课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解IIR带阻滤波器的原理，掌握其数学表达式和频率响应特性。
2. 学生能描述不同类型的IIR带阻滤波器的设计方法和应用场景。
3. 学生能运用所学知识分析IIR带阻滤波器的稳定性、线性相位等特性。
技能目标：1. 学生能够运用模拟滤波器设计方法，如Butterworth、Chebyshev等，设计IIR带阻滤波器。
2. 学生能够使用MATLAB等工具软件进行IIR带阻滤波器的仿真和性能分析。
3. 学生能够根据实际需求，调整滤波器参数以满足特定应用场景。
情感态度价值观目标：1. 学生培养对电子工程领域滤波器技术的兴趣，提高学习积极性。
2. 学生能够认识到IIR带阻滤波器在信号处理、通信等领域的重要作用，增强社会责任感。
3. 学生在团队协作中发挥个人优势，培养合作精神和沟通能力。
课程性质：本课程为电子工程及相关专业高年级的专业课程，旨在帮助学生掌握IIR带阻滤波器的设计方法及其在信号处理中的应用。
学生特点：学生具备一定的电路理论基础和信号处理基础知识，具有较强的逻辑思维能力和实践操作能力。
教学要求：结合课程性质和学生特点，本课程要求学生在理解理论知识的基础上，注重实践操作和性能分析，培养解决实际问题的能力。
通过课程学习，使学生能够独立设计并优化IIR带阻滤波器，为后续相关课程和实际工程应用打下坚实基础。
二、教学内容1. IIR带阻滤波器基本原理- IIR滤波器的定义及分类- IIR带阻滤波器的数学模型- 频率响应特性分析2. IIR带阻滤波器设计方法- 模拟滤波器设计原理- Butterworth、Chebyshev等滤波器设计方法- 数字滤波器的设计与实现3. IIR带阻滤波器性能分析- 稳定性分析- 线性相位特性- 鲁棒性分析4. IIR带阻滤波器应用案例- 信号处理领域应用- 通信领域应用- 其他领域应用5. 实践教学环节- MATLAB软件操作- IIR带阻滤波器设计与仿真- 性能优化与参数调整教学大纲安排：第一周：IIR滤波器基本原理及分类，介绍数学模型和频率响应特性第二周：模拟滤波器设计方法，学习Butterworth、Chebyshev等滤波器设计方法第三周：数字滤波器设计，分析IIR带阻滤波器的稳定性、线性相位等性能第四周：IIR带阻滤波器应用案例，了解其在不同领域的应用第五周：实践教学，使用MATLAB进行IIR带阻滤波器设计与性能分析教学内容与教材关联性：本教学内容与教材第四章“无限脉冲响应（IIR）滤波器设计”相关，涵盖了IIR带阻滤波器的基本理论、设计方法、性能分析及实际应用。
模拟低通滤波器设计
2、切比雪夫I（CB I）型模拟低通滤波器
sinh(x)=[exp(x) - exp(-x)] / 2 5. CB I型 LP的设计步骤 cosh(x)=[exp(x) + exp(-x)] / 2 arcsin h(1/ ) (4)求滤波器的极点Sk： 其中， N (2k 1) π (2k 1) π sk wC [ sinh( ) sin jcosh( ) cos ], k 1, 2, , N 2N 2N k k 或者,s wc a cos( ) jwcb sin( ), k 1,......, N
k k s k wc a cos( ) jwcb sin( ), k 0,1,......, 2 N 1 2N N 2N N
2、切比雪夫I（CB I）型模拟低通滤波器
3. CB I型 LPF极点分布特点
(1) H(s)和H(-s)的2N个极点分布在一个中心在原点，长半轴 为ωcb(长轴与虚轴重合)，短半轴为ωca(短轴与实轴重合)的 椭圆上； (2) 极点分布对称于虚轴，且虚轴上无极点，也对称于实轴； (3) N为奇数时，实轴上有极点(- ωca，0)和(ωca，0)， N为偶数时，实轴上无极点。
2、切比雪夫I（CB I）型模拟低通滤波器
4. CB I型 LPF极点坐标的确定
(1) 确定纵坐标
作一个圆心在原点、半径为ωcb的大圆，在圆上均布2N个 点，且虚轴上无点，点的分布对称于虚轴，则这2N个点的纵 坐标即是2N个极点的纵坐标。 (2) 确定横坐标 作一个圆心在原点、半径为ωca的小圆，在圆上均布2N个 点，且虚轴上无点，点的分布对称于虚轴，则这2N个点的横 坐标即是2N个极点的横坐标。
光学滤波器的设计与制备
光学滤波器的设计与制备第一章：引言在光学领域，滤波器是一种常见的光学元件，可以用于改变光波的波长、强度、偏振方向等特性，在光学成像、光纤通信、激光系统等领域有广泛的应用。
本文将就光学滤波器的设计与制备进行探讨。
第二章：光学滤波器的基本原理光学滤波器是通过选择性地透过或折射光线，从而达到滤波的效果。
光学滤波器的基本原理是产生了光学薄膜干涉现象，利用薄膜在不同位置的反射和透射作用，将特定波长的光线从光谱中分离提取，而不同波长的光则被滤掉。
第三章：光学滤波器的设计光学滤波器的设计关键在于薄膜的制备和选择。
首先，设计者需要分析所需要过滤的波长范围，确定光学滤波器的结构和材料参数。
然后，选择合适的光学材料进行薄膜制备，一般使用的材料有SiO2、TiO2、Al2O3等。
最后，对薄膜进行测试和反馈修正，确保光学滤波器的性能符合要求。
第四章：光学滤波器的制备光学滤波器的制备主要是通过物理气相沉积和分子束外延等技术。
在物理气相沉积中，将需要使用的光学材料在高真空下加热，形成蒸汽并沉积在基片上，形成所需要的光学薄膜。
在分子束外延中，将所需要使用的材料进行分子束照射，通过原子重组形成光学薄膜。
在制备过程中，需要时刻注意气压、温度和时间等参数的调节，以确保薄膜的质量和性能。
第五章：光学滤波器的应用光学滤波器的应用非常广泛，主要分为以下几个领域：1. 光学成像：可以用于增强图像的对比度、分辨率和饱和度等性能，以达到更好的成像效果。
2. 光纤通信：可以用于选择性地过滤特定波长的光信号，增强光信号的传输质量和稳定性。
3. 激光系统：可以用于选择性地过滤特定波长的激光光束，以达到所需要的激光波长和性能要求。
第六章：结论光学滤波器是一种非常重要的光学元件，可以用于改变光波的特性，从而达到特定的应用目的。
光学滤波器的设计和制备需要考虑多个因素，包括波长范围、材料参数、薄膜制备工艺等。
通过科学的设计和制备，可以制备出性能稳定、可靠的光学滤波器，以满足各种应用需求。
第四章-数字滤波器的基本结构
1
4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器 的基本结构
FIR滤波器的特点: (1) 系统的单位冲激响应h(n)是有限长的，即只在有限个
n值处不为0； (2) 系统函数H(z)在|z|>0处收敛，在|z|>0处只有零点，对
于因果系统，全部极点均位于z=0处； (3) 结构上主要采用非递归结构，即没有输出到输入的
z1 z1 z1
h(N-1) h(N-2) h(N-3) h(N-4)
x(n) 直接转置型
图17
z 1 y(n)
h(1) h(0)
4
4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器 的基本结构
二、级联型
将H(z)分解为二阶因式的乘积形式，称之为级联型结构
N
2
N 1
H (z) (0k 1k z1 2k z2 ) h(n) zn
（4-7）式说明h(n)对(N-1)/2是偶对称或奇对称的。
下面从上式出发推导线性相位FIR滤波器结构
设 h(n)=h(N-n-1), N取偶数
8
4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器 的基本结构
N 1
N 1 2
N
H (z) h(n) zn h(n) zn h(n) zn
n0
N 1
H (z) h(n) zn
n0
N 11 2
h(n)
zn
h(
N
1)
N 1
z2
N 1
h(n) zn
n0
2
n N 11
2
令 m=N-1-n，得
H
(z)
N 11 2
h(n)
zn
h(
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长度为N的哈明窗定义为：
2n w[n] 0.54 0.46 cos N 1 n (n 1) / 2 其他处为零
4.4.3 哈明窗
4.4.3 哈明窗
4.4.4 布莱克曼窗
长度为N的布莱克曼窗定义为：
2n 4n w[n] 0.42 0.5 cos 0.08 cos N 1 N 1
第二步.
12000 f1 10000 1600 Hz 2
f1 16000 1 2 2 0.64 fs 50000 sin( n1 ) sin( 0.64n) h1[n] n n
4.5.1 低通FIR滤波器设计步骤
第三步,选择窗函数.因为阻带衰减75dB,在表中选
点。-3dB点大约出现在此频率的一半处，即π/M。 因为-3dB点要在0.302弧度处，所以可以确定M：
得：M=10.4
M
0.302
4.2 论滑动平均滤波器
因此，十一项滑动平均滤波器的-3dB频率比要求
的稍低些。滤波器脉冲响应为：
1 10 h[n] [n k ] 11 k 0 差分方程为：
4.1 有限脉冲响应滤波器基础
通常通过离散时间傅立叶变换求出滤波器频 率响应的幅度可确定滤波器形状
H () bk e jk
k 0 M
4.2 论滑动平均滤波器
以五项滑动平均滤波器例设计，此滤波器的 差分方程为：
y[n] 0.2( x[n] x[n 1] x[n 2] x[n 3] x[n 4])
1 是滤波器得截止频率
下图得滤波器得截止频率为：1 0.25
4.3 逼近理想低通滤波器
4.3 逼近理想低通滤波器
设计时 1的选择必须大于所要求的通带边缘频率
4.3 逼近理想低通滤波器
参数δp定义了通带波纹：滤波器通带内偏离单位增 益的最大值
通带边缘增益定义为1- δp
4.4.5 凯塞窗
4.4.5 凯塞窗
4.5 低通FIR滤波器的设计
窗函数法设计滤波器时，低通滤波器通带边缘 频率Ω1的选择必须考虑到所有项引起的模。
设计的通带边缘频率 要求的通带频率 (过渡带宽度 )/ 2
4.5 低通FIR滤波器的设计
4.5 低通FIR滤波器的设计
窗类型 矩形 汉宁 哈明 布莱克曼 窗函数
4.5 低通FIR滤波器的设计
解
由表可知有两个窗函数最符合阻带要求，即布莱
克曼和β=8的凯塞窗。 布莱克曼窗需要的项数为： 16000 5.98 95.68 95 1000 β=8的凯塞窗需要的项数为： 16000 5.25 84 85 1000
4.5 低通FIR滤波器的设计
4.5.1 低通FIR滤波器设计步骤
第四步计算滤波器的脉冲响应,并移位
y[n] 0.0002x[n 1] 0.002x[n 3] 0.0064x[n 5] 0.0142x[n 7] 0.0272x[n 9] 0.0495x[n 11] 0.0972x[n 13] 0.3153x[n 15] 0.5 x[n 16] 0.3153x[n 17] 0.0972x[n 19] 0.0495x[n 21] 0.0272x[n 23] 0.0142x[n 25] 0.0064x[n 27] 0.002x[n 29] 0.0002x[n 31]
脉冲响应为：
h[n] 0.2( [n] [n 1] [n 2] [n 3] [n 4])
传输函数为：
H ( z ) 0.2(1 z 1 z 2 z 3 z 4 )
4.2 论滑动平均滤波器
频率响应为：
H () 0.2(1 e j e j 2 e j 3 e j 4 )
器的脉冲响应h1[n]中：
sin( n1 ) h1[n] n
4.5.1 低通FIR滤波器设计步骤
3、从表中选择满足阻带衰减及其他滤波器要求
的窗函数，用表中N的公式计算所需窗的非零项 数目。选择奇函数，计算窗函数ω[n] 4、对于 n ( N 1) / 2 ，从式 h[n] h1[n][n] 计 算脉冲响应，对于其他n值h[n]=0，此脉冲响应 是非因果的 将脉冲响应右移(N-1)/2,确保第一个非零值在n=0 处,使此低通滤波器为因果
1 10 y[n] x[n k ] 11 k 0
4.2 论滑动平均滤波器
4.3 逼近理想低通滤波器
1 h1[n] sin( n1 ) n
对于n=0时，将脉 冲响应表示为sinc 函数，定义：
sin x sin c x x
4.3 逼近理想低通滤波器
4.3 逼近理想低通滤波器
第二步:
f1 2500 1 2 2 0.5 fs 10000 sin( n1 ) sin( 0.5n) h1[n] n n
4.5.1 低通FIR滤波器设计步骤
第三步,选择窗函数.因为阻带衰减40dB,在表中选
择汉宁窗,并且:
fs 10000 N 3.32 3.32 33.2 T .W . 1000 选择N=33.窗函数变成: 2n 2n w[n] 0.5 0.5 cos 0.5 0.5 cos N 1 32 其中 16 n 16
n ( N 1) / 2
其他处为零
4.4.1 矩形窗
4.4.1 矩形窗
4.4.1 矩形窗
4.4.2 汉宁窗
长度为N的汉宁窗定义为：
2n w[n] 0.5 0.5 cos N 1 n (n 1) / 2其他处为零
4.4.2 汉宁窗
4.4.2 汉宁窗
4.4.3 哈明窗
择布莱克曼窗(可以避免复杂的计算),并且: fs 50 N 5.98 5.98 24.9 T .W . 12 选择N=25.窗函数变成:
2n 4n w[n] 0.42 0.5 cos 0.08cos 24 24
其中 12 n 12
4.2 论滑动平均滤波器
例1 设计滑动平均滤波器，要求他的-3dB频率为
480Hz，采样频率为10kHz。
解：
数字滤波器-3dB点在480Hz处，采样频率为
10kHz。也就是数字频率
f 480 2 2 0.302弧度 fs 10000
4.2 论滑动平均滤波器
对于M项滑动平均滤波器，2π/M处出现第一个零
2n N 1 2n 0.54 0.46 cos N 1 0.5 0.5 cos
0.42 0.5 cos 2n N 1 4n 0.08 cos N 1
项数
fs T .W . f 3.32 s T .W . f 3.44 s T .W . 0.91 f 5.98 s T .W . f 4.33 s ( 6) T .W . 5.25 fs ( 8) T .W . f 6.36 s ( 10) T .W .
4.5.1 低通FIR滤波器设计步骤
第四步计算滤波器的脉冲响应,并移位
y[n] 0.001x[n 2] 0.002x[n 3] 0.002x[n 4] 0.010x[n 5] 0.009x[n 6] 0.018x[n 7] 0.049x[n 8] 0.020x[n 9] 0.110x[n 10] 0.280x[n 11] 0.640x[n 12] 280x[n 13] 0.110x[n 14] 0.020x[n 15] 0.049x[n 16] 0.018x[n 17] 0.009x[n 18] 0.010x[n 19] 0.002x[n 20] 0.002x[n 21] 0.001x[n 22]
k 0 M
4.1 有限脉冲响应滤波器基础
FIR滤波器的z变换表达示通过z变换的时移特 性得到： M
Y ( z ) bk z k X ( z )
k 0
可得到滤波器在z域的传输函数：
Y ( z) M H ( z) bk z k X ( z ) b0 b1 z 1 b2 z 2 bM z M X ( z ) k 0
4.3 逼近理想低通滤波器
4.4 窗函数
窗函数的作用是从理想低通脉冲响应的无限 个采样点中选取有限个采样点，这个重要的 步骤使脉冲响应采样值可实现为一个实际滤 波器
4.4.1 矩形窗
矩形窗函数由理想脉冲响应与有限长矩形窗 相乘得到：
h[n] h1[n]w[n]
N项矩形窗为
[n] 1
注：
如果向上近似，滤波器性能略高于设计要求； 如果向下近似，滤波器性能将低于设计要求
4.5.1 低通FIR滤波器设计步骤
加窗低通FIR滤波器的设计步骤：
1、在过渡带宽度的中间，选择通带边缘频率
（Hz）
f1 要求的通带频率 (过渡带宽度 )/ 2
2、计算Ω1=2πf1/fs，并将此值代入理想低通滤波
n (n 1) / 2
其他处为零
4.4.4 布莱克曼窗
4.4.4 布莱克曼窗
4.4.5 凯塞窗
长度为N的凯塞窗定义为：
2n 2 I 0[ 1 ( ) ] N 1 w[n] I0[ ]
n (n 1) / 2其他处为零 I0(x)是零阶修正第一类贝塞尔函数,定义为: ( x / 2) j 2 I 0 1 [ ] j! j 1 0.1102 A 0.9587 A所期望的阻带衰减值