定积分的证明题
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题目1证明题 容易
d X
证明 (x -t) f (t)dt = f (x) - f (a) dx J a
解答_
X
a (x-t)f (t)dt
X
= [(X —t)df(t)
X X
=(X
一
t)f(t)
a + [
f(t)dt
X
= (^-X) f (a) + [ f (t)dt
d X
^X a
(X -t)f(t)dt
--f(a) f(x)
f (x) - f (a)。
题目2证明题
容易
由积分中值定理，在[0,…]上存在点',使
4 Iim 4 Sin n XdX= Iim Sin n (
0) G 三[0,] n
》：：0
n
匚
4
4
Iim Sin n 4 J 0
Q 0 . sin ：： 1 .Iim Sin n
=0
n _O
π
.Iim 4 Sin n XdX= 0。
—0 0
题目3证明题 一般
b 设函数 f (x)在［a,b ］内可导，且 f(a)=0, f(x)dx = 0 -a
证明：在［a,b ］内至少存在一点•使f 「)=0。 解答_ 由积分中值定理，在(a,b)存在一点'1，使
b ［
f (x)dx = f (： 1)(b -a) = 0
f ( 1
) =0
在区间［a ， 1］上,应用罗尔定理，可知存 在一点 二(a ， ' 1)
(a,b)使f ( J=0b
题目4证明题 一般
设 f (x) = f (x +a)，
na
a
证明：当n 为正整数时 0 f (x)dx = n .°f(x)dx
解答
利用积分中值定理证明 解答
π
:Ijm 4
Sin n
XdX 二 0 n 0 0
2
na
a
2a
na
证明：
f(x)dx= f(x)dx f(x)dx
f(x)dx =0
=0
^a
=( n
丄)a
f(x) = f (x a)
2 a
a a
a
a f(x)dxx =y a 0 f(y a)dy = 0 f(y)dy = O f(x)dx 3a
a
a
2a f (x)dxx = y 2a O f (y 2a)dy = 0 f(y a)dy
a a
=.0f(y)dy = 0f(x)dx
na
a
(n 仆 f (x)dx x =y (n - 1)a O f (y (n — 1)a)dy
a
=0f(y)dy
a
0f(x)dx
na a
.0 f(x)dx= n 0f(x)dx°
题目5证明题
一般
1 1
证明：X m (I-X)n dx X n (I-X)m dx o
解答_
证:令X =1 -t 贝 UdX = -d 且X =0 时,t =1 X =1 时,t =0
1
•
x m (1-x)n dx
=.1(1-t)m t(dt)
1
= 0t n
(1 - t)m dt
1
=J 0χn (1-x)m dx
题目6证明题 一般
设f (x)在［a,b ］上有定义，且对［a,b ］上任意两点x, y,
有 f (x) - f (y) _ X - y.则f (x)在［a,b ］上可积,且
1
解答
b
1
a
f(x)dx -(b-a)f(a)兰；(b-a)
< X -a(x _ a)
即 f (a) -(x -a) Ef(X)Ef (a) (x -a) 由定积分的不等性质，有
b
［［f (a) —(x —a)］dx
b a
f(x)dx
b
a ［f(a) (X -a)］dx -
b
a f (x)dx -(
b - a) f (a)
”:(b-a)2 _ 2
b
几［
f (x)dx -(b -a) f (a)
题目7证明题
一般
设f (x)在［a,b ］上的连续，在(a,b)内可导，且f(a) = f (b) = 0. 、
b
2
证明：4 I L f (x)dx 兰 M (b —a),其中 M=
SUP f "(x)
I a
_ L-
1
(a,x)
2
(x,b)
= 1,2
I f 2
∣f(x)dx≤M I a 2
(x —a)dx =M (b —a)
b b
M 2
a b f (x)dx 乞 M a b (b-x)dx (b-a)
2
2
8
两式相加,有
f ∣f(x)dx 兰 M
(b —a)2。 a 4
题目8证明题 一般
设f (x)在［a,b ］上正值，连续，则在 (a,b)内至少存在一点 匚 b 1 b
使 a f(x)dx = f(x)dx f(x)dx
证明：∖∕x E (a,b)因为 ∆y =| f (x +&) - f (x) ≤ A *
.Iim L y =O
.f (x)在［a, b ］上连续，于是f (X)在［a, b ］上可积. 又由题设知If(X) — f (a)
(b-a)2 2
-1(b -a)2。 2
a : ∙x :
b 解答_
证明：由假设并利用微分中值 定理,有
f (X) = f (X) -f (a) =(x -a)f (
1
f (x) = f (x) - f (b) = (x -b) f ( 2) 又由 M
=SUPf (X)故 f ( i ) EM. i a :X Ib 取绝对值，有f (X) _(x -a)M f (x) _(b -x)M
a -b
a -b