数学建模与问题解决——解直角三角形的应用
解直角三角形的应用ppt课件
（参考数据：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，
tan63°≈2.0， ≈1.73）
26.4 解直角三角形的应用
解：（1）∵MC=AB=10 cm，∠ACM=63°，
重 ∴AM=MC·tan∠ACM=MC·tan63°≈10×2.0=20（cm）.
难
题 答：AM 的长为 20 cm；
直接测量的物体高度或长度
26.4 解直角三角形的应用
归纳总结
考
点
（1）仰角和俯角是视线相对于水平视线而言的，可巧记
清
单 为“上仰下俯”；（2）实际问题中遇到仰角或俯角时，要
解
读 放在直角三角形或转化到直角三角形中运用，注意确定水平
视线；（3）在解有关俯角、仰角的问题中，常作水平线或
铅垂线来构造直角三角形.
，
∴tan30°=
=
−
+
=
，解得
x=60 +90，经检验
x=60 +90 是原方程的解且符合题意，∴AB=（60 +90） m
，
26.4 解直角三角形的应用
变式衍生 3 某中学依山而建，校门 A 处有一坡角
重
难
题 α=30°的斜坡 AB，长度为 30 m，在坡顶 B 处测得教学
26.4 解直角三角形的应用
（2）如答案图，过点 D 作 DH⊥AB，垂足为点 H，则
重
难
题 DG=BH=30 m，DH=BG.设 BC=x m，
型
在 Rt△ABC 中，∠ACB=45°，
突
破
∴AB=BC·tan45°=x m，
∴AH=AB-BH=（x-30） m，
解直角三角形---应用举例
反思归纳
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面 图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函 数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案．
应用知识，解决问题
如图，用⊙O 表示地球，点 F 是组合体的位置，FQ 是⊙O 的切线，切点 Q 是从组合体观测地球时的最远点．
1、 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC 40m的D处观 察旗杆顶部A的仰角60°，观察底部B的仰角为45°
，求旗杆的高度（精确到0.1m）
60
某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C 处有生命迹象， 已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距3米，探测线与地面 的夹角分别是30°和60°（如下图所示），试确定生命所 在点C的深度。（结果精确到0.1米，参考数据：）
• 学习目标： 1．能把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会
• 把实际问题转化为数学问题来解决，进一步提高 数学建模能力；
2．通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互 余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分 析问题、解决问题的能力．
• 学习重点： 将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元 素之间的关系，从而利用所学知识解决实际问题．
变式一
热气球的探测器显示，从热气球 的底部A处看这栋楼底部C的俯角为 60°，看这栋楼M处的俯角为45°， 且CM之间的距离为10米，求：热气 球A处与高楼的水平距离（结果保留 根号）
B
A
30° 6405°°
D
M
C
变式二
从这栋楼的底部C处看热气球底 部A处的仰角为60°，从这栋楼的M 处看热气球底部A处的仰角为45°， 且CM之间的距离为10米，求：热气 球的高度（结果保 留根号）
解直角三角形及其应用
o
F
A
E
B
例2：计算6tan45 -2cos60
o
o
一般地，当ɑ，β为任意角时，sin(ɑ+β)与 sin(ɑ-β)的值可以用下面的公式求得： sin(ɑ+β)=sinɑ cosβ+cosɑ sinβ sin(ɑ-β)=sinɑ cosβ-cosɑ sinβ 例如： o o o o o o sin90 =sin(60 +30 )=sin60 cos30 +cos60 sin o 30 = 3 3 1 1 =1
A F H B C
A F H B E G
C
D
2 3
5 3
10 5
5 5
2 2 2 2
类似的可以求得sin15 的值是
o
例3：某市在创建文明城市活动中，对道路进 行美化。如图，道路两旁分别有两个高度相同 的路灯AB和CD，两个路灯之间的距离BD长为 24米，小明在点E(B,E,D,G在一条直线上）处 o 测得路灯AB顶部A点的仰角为45 ,然后沿BE方 向前进8米到达点G处，测得路灯CD顶端的C 点仰角为30。已知小明的两个观测点F,H距离 地面的高度EF,GH均为1.6米，求路灯AB的高 度。(精确到0.1米，参考数据 2≈1.41， 3≈ 1.73）
1、由直角三角形中已知的边和角，计算出未 知的边和角的过程，叫做解直角三角形。
解直角三角形需要除直角之外的两个元素，且至少有一个元素是边。
2、锐角三角函数：我们把正弦、余弦、正切 统称为“锐角三角函数”。
3、正弦=对边/斜边 余弦=邻边/斜边 正切=对边/邻边 （特殊三角函数值的记忆）
例1：如图，在Rt∆ABC中，∠C=90 ， o ∠A=30 ,E为AB上一点且AE:EB=4:1,EF⊥AC 于点F,连接FB，则tan∠CFB=
解直角三角形在实际生活中的应用
解直角三角形在实际生活中的应用山东 李浩明在现实生活中, 有许多和解直角三角形有关的实际问题，如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等，解决这类问题其关键是把具体问题抽象成“直角三角形”模型，利用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解决.下面举例说明，供大家参考．一、航空问题例1．（2008年桂林市）汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30︒，B 村的俯角为60︒（如图1）．求A 、B1.414 1.732==）分析:要求A 、B 两个村庄间的距离,由题意知AB =PB ，在Rt △PBC 中,可求得60PBC ∠=︒，又因为PC =450，所以可通过解直角三角形求得PB.解：根据题意得：30A ∠=︒，60PBC ∠=︒，所以6030APB ∠=︒-︒，所以A P B A ∠=∠，所以AB =PB .在Rt BCP ∆中，90,60C PBC ∠=︒∠=︒，PC =450，所以PB=450sin 60==︒.所以520AB PB ==≈(米) 答：A 、B 两个村庄间的距离为520米． 二、测量问题例2.（2008年湛江市）如图2所示，课外活动中，小明在离旗杆AB 10米的C 处，QB CP A 45060︒30︒图1用测角仪测得旗杆顶部A 的仰角为40︒，已知测角仪器的高CD =1.5米，求旗杆AB 的高(精确到0.1米) ．分析:要求AB 的高,由题意知可知CD=BE ,先在Rt △ADE 中求出AE 的长,再利用AB=BE +AE 求出AB 的长.解：在Rt △ADE 中，tan ∠ADE =DEAE. ∵DE =10，∠ADE =40︒.∴AE =DE tan ∠ADE =10tan 40︒≈100.84⨯=8.4. ∴AB =AE +EB =AE +DC =8.4 1.59.9+=.答：旗杆AB 的高为9.9米． 三、建桥问题例4.（2008年河南）如图所示，A 、B 两地之间有一条河，原来从A 地到B 地需要经过DC ，沿折线A →D →C →B 到达，现在新建了桥EF ，可直接沿直线AB 从A 地到达B 地．一直BC =11km ，∠A =45°，∠B =37°．桥DC 和AB 平行，则现在从A 地到达B 地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km ．参考数据： 1.412≈，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）. 分析:要求现在比原来少走多少路程，就需要计算两条路线路程之差，如图构造平行四边形DCBG ，将两条路线路程之差转化为AD DG AG +-，作高线DH ,将△ADG 转化为两个直角三角形，先在在Rt DGH △中求DH 、GH ，再在Rt ADH △中求AD 、AH,此题即可得解.解：如图，过点D 作DH AB ⊥于H ，DG CB ∥交AB 于G ．DC AB ∥，∴四边形DCBG 为平行四边形．∴DC GB =，11GD BC ==．∴两条路线路程之差为AD DG AG +-． 在Rt DGH △中，sin37110.60 6.60DH DG =⋅≈⨯=， cos37110.808.80GH DG =⋅⨯≈≈．在Rt ADH △中，1.41 6.609.31AD =⨯≈≈．6.60AH DH =≈．∴(9.3111)(6.608.80)AD DG AG +-=+-+≈即现在从A 地到B 地可比原来少走约4.9km ． 四、图案设计问题例4.（2008年上海市）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图4所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交点．由于图纸中圆O 的半径r 的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i =是坡面CE 的坡度），求r 的值．分析:要求圆O 的半径r 的值，需在直角三角形ODH 中来解决,而已知的条件太少，需要先在直角三角形CEH 中，根据条件5CE =、坡面CE 的坡度1:0.75i =求出EH 、CH ，然后在直角三角形ODH 中利用勾股定理列出方程，从而求出r 的值．解：由已知OCDE ⊥，垂足为点H ，则90CHE ∠=．图41:0.75i =，43CH EH ∴=． 在Rt HEC △中，222EH CH EC +=．设4CH k =，3(0)EH k k =>，又5CE =，得222(3)(4)5k k +=，解得1k =．∴3EH =，4CH =．∴7DH DE EH =+=，7OD OA AD r =+=+，4OH OC CH r =+=+． 在Rt ODH △中，222OH DH OD +=，∴222(4)7(7)r r ++=+． 解得83r =．航海中的安全问题船只在海上航行，特别要注意安全问题，这就需要运用数学知识进行有关的计算，以确保船只航行的安全性.请看下面两例.例1 （深圳市）如图1，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东60的方向上．该货船航行30分钟后到达B 处，此时再测得该岛在北偏东30的方向上，已知在C 岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．分析：问题的关键是弄清方位角的概念，过点C 作CD ⊥AB 于D ，然后通过解直角三角形求出CD 的长，通过列方程解决几何问题也是一种常用方法.解：由已知，得AB=24×21=12，∠CAB=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，所以∠C=30°，所以∠C=∠CAB ，所以CB=AB=12.在Rt △CBD 中，sin ∠CBD=CB CD ，所以CD=CB ·sin ∠CBD=12×3623=.∵936> 所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险．例2 如图2，一艘渔船在A 处观测到东北方向有一小岛C ，已知小岛C 周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B 处，在B 处测得小岛C 在北偏东60°方向上，这时渔船改变航线向正东（即BD ）方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？分析：先将实际问题转化为解直角三角形的问题.可有如下两种方法求解. 解法一：如图3，过点B 作BM ⊥AH 于M ，则BM//AF.所以∠ABM=∠BAF=30°. 在Rt △BAM 中，AM=21AB=5，BM=35. 过点C 作CN ⊥AH 于点N ，交BD 于K. 在Rt △BCK 中，∠CBK=90°-60°=30°. 设CK=x ，则BK=3x.在Rt △CAN 中，因为∠CAN=90°-45°=45°，所以AN=NC.所以AM+MN=CK+KN. 又NM=BK ，BM=KN ，所以x+35=5+3x.解得x=5. 因为5>4.8，所以渔船没有进入养殖场的危险.解法二：如图4，过点C 作CE ⊥BD 于E.所以CE//GB//FA. 所以∠BCE=∠GBC=60°，∠BCA=∠FAC=45°. 所以∠BCA=∠BCE-∠ACE=60°-45°=15°. 又∠BAC=∠FAC-∠FAB=45°-30°=15°，D图2图3图4所以∠BCA=∠BAC.所以BC=AB=10.在Rt △BCE 中，CE=BC ·cos ∠BCE=BC ·cos60°=10×21=5. 也5>4.8，所以渔船没有进入养殖场的危险.实际中的仰角和俯角问题在进行测量时，从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角;从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角.计算原理:视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角、俯角和另一边，利用解直角的知识就可以求出物体的高度.梳理总结：⑴仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的；可巧记为“上仰下俯”.在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽象为数学问题.⑵在测量山的高度时，要用“化曲为直”的原则把曲的山坡“化整为零地分成一些小段，把每一小段山坡长近似地看作直的，测出仰角求出每一小段山坡对应的高，再把每部分高加起来，就得到这座山的高度.例1 (成都)如图2，甲、乙两栋高楼的水平距离BD 为90米，从甲楼顶部C 点测得乙楼顶部A 点的仰角α为30︒，测得乙楼底部B 点的俯角β为60︒，求甲乙两栋高楼各有多高？(计算过程和结果都不取近似值.分析:过点C 作CE ⊥AB 于点E, 在Rt △BCE 和Rt △ACE 中, BE 和AE 可用含CE(即为水平距离)的式子表示出来,从而求得两楼的高.解:作CE ⊥AB 于点E,∵CE ∥DB,CD ∥AB,且∠CDB=090,∴四边形BECD 是矩形. ∴CD=BE,CE=BD.图 1 E图2在Rt △BCE 中, ∠β=060,CE=BD=90米. ∵,tan CEBE=β∴BE=CE 39060tan 90tan 0=⨯=⋅β(米). ∴CD=BE=390(米).在Rt △ACE 中, ∠α=030,CE=90米. ∵ ,tan CEAE=α∴AE=CE 330339030tan 90tan 0=⨯=⨯=⋅α(米). ∴AB=AE+BE=3120390330=+(米). 答:甲楼高为390米,乙楼高为3120米.反思:仰角和俯角问题是解直角三角形中的常见题型,作辅助线构造直角三角形(一般同时得到两个直角三角形)并解之是解决这类问题的常用方法.例2 （乐山）如图3，小山上有一棵树．现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端A 到水平地面的距离AB ．要求：⑴画出测量示意图；⑵写出测量步骤（测量数据用字母表示）； ⑶根据（2）中的数据计算AB ．分析：要测量底步不能到达的物体的高度,要转化为双直角三角形问题,测量方案如图2,计算的关键是求 AE,可设AE=x,则在Rt △AGF 和 Rt △AEF 中, 利用三角函数可得αtan x HE =,βtan x EF = ,再根据HE-FE=CD=m 建立方程即可. 解：（1）测量图案（示意图）如图4所示（2）测量步骤：第一步：在地面上选择点C 安装测角仪，测得此时树尖A 的仰角AHE α=∠;第二步：沿CB 前进到点D ，用皮尺量出C D ，之间的距离CD m =;AB图3AE F H CDB图4第三步：在点D 安装测角仪，测得此时树尖A 的仰角AFE β=∠; 第四步：用皮尺测出测角仪的高h . （3）计算： 令AE=x,则,tan HE x =α得αtan x HE =,又,tan EF x =β得βtan xEF =, ∵HE-FE=HF=CD=m, ∴,tan tan m xx =-βα 解得αββαtan tan tan tan -⋅=m x ，∴AB=.tan tan tan tan h m +-⋅αββα反思：在多个直角三角形中一定要认真分析各条线段之间的关系(包括三角函数关系、相等关系),运用方程求解,有时可起到事半功倍之效.快乐套餐:1.(泰安)如图5，一游人由山脚A 沿坡角为30的山坡AB 行走600m ，到达一个景点B ，再由B 沿山坡BC 行走200m 到达山顶C ，若在山顶C 处观测到景点B 的俯角为45，则山高CD 等于 （结果用根号表示）2.(安徽)如图6，某幢大楼顶部有一块广告牌CD ，甲乙两人分别在相距8米的A 、B 两处测得D 点和C 点的仰角分别为45°°和60°，且A 、B 、E 三点在一条直线上，若BE=15米，求这块广告牌的高度．(1.73，计算结果保留整数)ABCD图5第19题图EDCB A450600图6参考答案:1. (300 .2. ∵AB＝8，BE＝15，∴AE＝23，在Rt△AED中，∠DAE＝45°,∴DE＝AE＝23.在Rt△BEC中，∠CBE＝60°,∴CE＝BE·tan60°＝CD＝CE－DE＝23≈2.95≈3.即这块广告牌的高度约为3米.。
解直角三角形的应用2
B
c a b
┌ C
解直角三角形的原则： （1）有角先求角，无角先求边 （2）有斜用弦, 无斜用切； 宁乘毋除, 取原避中。
合作与探究
【例1】直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处， 此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别 为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .
cos B
c
斜边 c 斜边 c aA的对边a a b B的对边 b b tan A tan B c A 的邻边 b cos A B的邻边 sin A cos B sin B a
由锐角求三角函数值 计算器 由三角函数值求锐角
温故而知新
请自己在右边直 角三角形中添加 适当条件，并解 这个直角三角形
变题4：（2008桂林）汶川地震后，抢险队派一架直升 飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的 P点，测得A村的俯角为30°，B村的俯角为60°（如 图5）．求A、B两个村庄间的距离．（结果精确到米， 2 1.414， 3 1.732 ）. 参考数据
Q P
答案：AB≈520（米）
当堂反馈
1.如图1，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地 基间的水平距离BD为100m，塔高CD为 (100 3 50) m 3 ，则下面结论中正确的是（ C ） A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60° C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°
图1
2.如图2，在离铁塔BE 120m的A处， 用测角仪测量塔顶的仰角为30°， 已知测角仪高AD=1.5m，则塔高 (40 3 _________ 1.5)m BE= （根号保留）．
60 °
解直角三角形及其应用--知识讲解
解直角三角形及其应用—知识讲解【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.要点二、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，角锐角、对边 (如∠A ，a)∠B=90°－∠A ，，斜边、锐角(如c ，∠A)∠B=90°－∠A ，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h 和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA ，PB ，PC 的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA ，OB ，OC ，OD 的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】 类型一、解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a ＝4； (2)a ＝1，3b =． 【答案与解析】(1)∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°．由tan bB a =知，tan 4tan6043b a B ==⨯=°． 由cos a B c =知，48cos cos 60a c B ===°． (2)由tan 3bB a==得∠B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°．∵ 222a b c +=，∴ 2242c a b =+==．【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)． (1)首先用两锐角互余求锐角∠A ，再利用∠B 的正切、余弦求b 、c 的值；(2)首先用正切求出∠B 的值，再求∠A 的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c 的值． 举一反三：【高清课程名称：解直角三角形及其应用 高清ID 号：395952 关联的位置名称（播放点名称）：例1（1）-（3）】【变式】（1）已知∠C=90°，a=23，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知sinA=23, c=6 ，求a 和b ； 【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°； （2）a=4；b=252．（2016•包头）如图，已知四边形ABCD 中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E ． （1）若∠A=60°，求BC 的长； （2）若sinA=，求AD 的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）【思路点拨】（1）要求BC 的长，只要求出BE 和CE 的长即可，由题意可以得到BE 和CE 的长，本题得以解决； （2）要求AD 的长，只要求出AE 和DE 的长即可，根据题意可以得到AE 、DE 的长，本题得以解决． 【答案与解析】解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6，又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，∴CE==8，∴BC=BE ﹣CE=6﹣8；（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，∴设BE=4x ，则AE=5x ，得AB=3x ， ∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10， ∴tanE====，解得，DE=，∴AD=AE ﹣DE=10﹣=，即AD 的长是．【总结升华】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答．类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．如图所示，BC 是半圆⊙O 的直径，D 是AC 的中点，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，(1)求证：△ABE ∽△DBC ； (2)已知BC ＝52，CD ＝52，求sin ∠AEB 的值； (3)在(2)的条件下，求弦AB 的长．【答案与解析】(1)∵ AD CD =，∴ ∠1＝∠2，又BC 是⊙O 的直径，∴ ∠BAC ＝∠BDC ＝90°． ∴ △ABE ∽△DBC ．(2)由△ABE ∽△DBC ，∴ ∠AEB ＝∠DCB ． 在Rt △BDC 中，BC ＝52，CD ＝52， ∴ BD ＝225BC CD -=， ∴ sin ∠AEB ＝sin ∠DCB ＝525552BD BC ==． (3)在Rt △BDC 中，BD ＝5，又∠1＝∠2＝∠3，∠ADE ＝∠BDA ，∴ △AED ∽△BAD ． ∴AD DE DB AD=，∴ 2AD DE DB =．又∵52CD AD==，∴ CD2＝(BD－BE)·BD，即25(5)52BE⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，∴354BE=．在Rt△ABE中，AB＝BEsin∠AEB＝32355452⨯=．【总结升华】本题综合了三角函数、相似三角形、勾股定理、圆等方面知识，尤其涉及三角函数问题，都是通过找出或构造直角三角形来解决问题． (1)根据圆周角定理易证△ABE∽△DBC．(2)利用(1)的结论，将∠AEB转化为Rt△BCD中的DCB∠．(3)在Rt△ABE中求AB．举一反三：【高清课程名称：解直角三角形及其应用高清ID号：395952关联的位置名称（播放点名称）：例2】【变式】如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为多少?【答案与解析】解：作DE⊥AB于E，如图，∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB为等腰直角三角形，AB=AC=6，∴∠A=45°，在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，在Rt△BED中，tan∠DBE==，∴BE=5x，∴x+5x=6，解得x=，∴AD=×=2．类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD 的坡度为1:3i =（i ＝1:3是指铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)． 【答案与解析】(1)作AG ⊥BC 于G ，DE ⊥BC 于E ，在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==． (2)在Rt △DEC 中，∵ 3tan 3DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°．又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AG AFG FG ∠=，即3535FB =+，解得535 3.66(m)FB =-=． 答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ．【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.1米，参考数据3＝1.73)．【答案与解析】过点C 作CE ⊥AB 于E ．∵ ∠D ＝90°－60°＝30°，∠ACD ＝90°－30°＝60°， ∴ ∠CAD ＝180°－30°－60°＝90°．∵ CD ＝10，∴ AC ＝12CD ＝5． 在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin ∠ACE ＝5×sin 30°＝52， CE ＝AC ·cos ∠ACE ＝5×cos 30°＝532， 在Rt △BCE 中，∵ ∠BCE ＝45°， ∴ 5553(31)222AB AE BE =+=+=+≈6.8(米)． ∴ 雕塑AB 的高度约为6.8米．【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角）过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊．。
解直角三角形的应用(19张ppt)课件
选择合适的解法
根据实际情况选择合适的解法，如近似计算、 精确计算等。
注意单位统一
在实际应用中，要注意单位统一，避免计算 错误。
考虑多解情况
在某些情况下，解直角三角形可能存在多个 解，需要全面考虑。
06
练习与巩固
基础练习题
总结词
掌握基本概念和公式
直角三角形中的角度和边长关系
理解直角三角形中锐角、直角和钝角之间 的关系，以及边长与角度之间的勾股定理 。
利用三角函数定义求解
总结词
通过已知角度和邻边长度，求对边或 斜边长度。
详细描述
根据三角函数定义，已知一个锐角和它 所对的边，可以通过三角函数求出其他 两边。例如，已知∠A=30°和a=1，可 以通过三角函数sin(30°)求出对边b。
利用勾股定理求解
总结词
通过已知两边的长度，求第三边长度。
详细描述
向。
确定建筑物的角度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的角度和方向。
确定建筑物的长度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的长度和方向。
物理问题中的运用
确定物体的运动轨迹
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的运动轨 迹和方向。
确定物体的受力情况
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的受力情 况和方向。
04
实际应用案例
测高问题
01
02
03
测量山的高度
通过测量山脚和山顶的仰 角，利用解直角三角形的 知识，可以计算出山的高 度。
测量楼的高度
利用解直角三角形的知识， 通过测量楼底和楼顶的仰 角，可以计算出楼的高度。
测量树的高度
通过测量树底部和树顶部 的仰角，利用解直角三角 形的知识，可以计算出树 的高度。
九年级数学解直角三角形的应用
直角三角形中，斜边上的中线 等于斜边的一半。
三角函数的概念
正弦（sin）
正切（tan）
直角三角形中锐角的对边与斜边的比 值。
直角三角形中锐角的对边与邻边的比 值。
余弦（cos）
直角三角形中锐角的邻边与斜边的比 值。
特殊角的三角函数值
30度
01
sin=1/2，cos=√3/2，tan=√3/3
45度
学习目标
掌握解直角三角形的 基本方法，包括利用 勾股定理、三角函数 等求解。
培养数学逻辑思维和 推理能力，增强数学 素养。
理解解直角三角形在 解决实际问题中的应 用，提高解决实际问 题的能力。
02 基础知识回顾
直角三角形的性质
直角三角形中，直角所对的边 是斜边，其余两边为两腰。
直角三角形中，两锐角互余， 即两个锐角的和为90度。
06 总结与回顾
本章重点回顾
掌握解直角三角形的基本概念和性质。海等领域。
理解正弦、余弦、正切等三角函数的 意义和性质。
学习方法总结
注重基础知识的学习和掌握，理解概念和性质。 多做练习题，加深对知识的理解和运用。
结合实际应用，提高解决实际问题的能力。
综合练习题
1、题目
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，将 Rt△ABC 对折使点 A 与点 B 重合，折痕为 MN，则 tan∠ANB 的值是 _______．
2、题目
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，将 Rt△ABC 对折使点 A 与点 B 重合，折痕为 MN，则 sin∠ANB 的值是 _______．
实例
已知直角三角形两条直角 边分别为3和4，则斜边长 度为5。
解直角三角形的应用
测高问题 练习： 如图，河对岸有水塔AB.在C处测得塔顶A
的仰角为30º,向塔前进12m到达D,在D处测得A的仰角 为45º,求塔高.
A
30°
45°
C
DLeabharlann B12m解题步骤小结
测高问题
1、首先要弄清题意，结合实际问题中的示 意图分清题目中的已知条件和所求结论。
2、找出与问题有关的直角三角形，或通过作 辅助线构造有关的直角三角形，把实际问题 转化为解直角三角形的问题。
坡度问题
检测1：如图，水库大坝横断面是梯形，坝顶 BC宽为8m，坝高30m，斜坡AB的坡度ί=1: ， 斜边CD的3 坡度为ί’=1:1，
求斜坡AB的长，坡角α和坝底AD宽。
B
i 1: 3
α
A
E
C
i' 1: 1
F
D
坡度问题
检测2: 修建一条铁路要经过一座高山，需在山腰
B处开凿一条隧道BC。经测量，西山坡的坡度i＝5:3， 由山顶A观测到点C的俯角为60°，AC的长为60m，如 图所示，试求隧道BC的长.
1.解直角三角形,就是在直角三角形中,知道除直角外的其他五个元 素中的两个(其中至少有一个是边),求出其它元素的 过程.
2.与之相关的应用题有:求山高或建筑物的高;测量河的宽度或物体 的长度;航行航海问题等.解决这类问题的关键就是把实际问题 转化为数学问题,结合示意图,运用解直角三角形的知识.
3.当遇到30º,45º,60º等特殊角时,常常添加合适的辅助线分割出包含 这些角度的直角三角形来解决某些斜三角形的问题.
解直角三角形的应用
解直角三角形的应用
▪ 测高问题 ▪ 坡度问题 ▪ 航海问题
一、测高问题
解直角三角形的实际应用题的解题步骤
解直角三角形的实际应用题的解题步骤一、引言在数学中，直角三角形是研究的重要对象之一，其特殊的性质和广泛的应用使其成为数学学习中的重要内容。
解直角三角形的实际应用题，是数学知识与实际问题相结合的体现，也是数学运用能力的考验。
在本文中，我们将探讨解直角三角形的实际应用题的解题步骤，希望能帮助读者更深入地理解这一内容。
二、实际应用题的解题步骤1. 理解问题解题的第一步是要充分理解问题。
在解直角三角形的实际应用题时，我们需要明确问题的背景和要求，理解其中涉及的相关知识点。
如果题目是要求求解某个角的值或某条边的长度，我们需要明确所给信息和要求，以便有针对性地进行求解。
2. 标注已知量和未知量解题的第二步是要标注已知量和未知量。
在直角三角形中，我们通常会遇到三边、三角或边角关系的已知量和未知量，标注清楚有助于我们更清晰地把握问题的本质。
通过标注已知量和未知量，我们可以更好地运用三角函数关系进行求解。
3. 应用三角函数关系接下来，我们需要应用三角函数关系进行求解。
根据已知量和未知量的不同组合，我们可以选择使用正弦、余弦或正切等三角函数来建立方程，然后通过解方程来求解未知量。
这一步需要我们熟练掌握三角函数的性质和运用技巧，以便准确地进行计算和推导。
4. 检验和解答问题我们需要检验和解答问题。
在求解过程中，我们得到的答案可能是角的大小或边的长度，需要通过检验来验证我们的答案是否符合题意。
在解答问题时，我们也需要根据问题的要求给出完整的答案和解释，以便清晰地呈现解题过程和结果。
三、个人观点和总结解直角三角形的实际应用题需要我们熟练掌握三角函数的运用和技巧，也需要我们对实际问题有较强的理解和分析能力。
在解题过程中，我们要善于应用已知信息，创造性地建立方程，以及正确地运用三角函数关系，才能得到准确的答案。
通过解直角三角形的实际应用题，我们不仅能够巩固数学知识，还能培养解决实际问题的能力，这对我们的学习和生活都具有重要意义。
解直角三角形应用题
解直角三角形应用题直角三角形是日常生活中常见的一种三角形，因为其特定的角度关系，使得对其进行一系列数学运算以及技术应用都显得方便和便捷。
在学习和应用直角三角形的过程中，解决一些应用题也是非常有必要的。
本文将详细介绍一些解直角三角形应用题的重要方法与技巧。
一、三边比例与角度多少在某些情况下，通过已知直角三角形的三边比例，可以推算出其内部的角度关系。
如下所示，已知直角三角形的三边比例，求其内部所有角度的大小。
根据直角三角形的定义，可以知道斜边上对应的角度是直角，那么只需要求出其余两个角度就可以了。
设三边长度分别为a，b，c，设两个内角为A，B，那么根据三角函数的定义可以得到下列方程组：sin A = a / ccos A = b / ctan A = a / b通过这些公式，可以得到角A和角B的大小。
当然，如果只有两个角度是已知的，也可以借助三角函数式子求得第三个角度。
二、三角形上一点对角度的影响已知直角三角形ABC中，C为直角，AB=c，已知点D在斜边AC上，且满足AD=BC，求角度B和角度C的大小。
这就是典型的直角三角形应用题。
首先，因为AD和BC长度相等，那么可知三角形ACD和三角形BCD的面积相等，根据三角形面积公式得到：AD×CD/2 = BC×CD/2AD = BC×CD/AC将已知数据代入，化简得到：CD=2AC/(1+√5)接着，根据对应角的两点组合定理可得到如下关系式：tan B = BD/AB = AD/ABsin C = BD/BC = AD/AC代入已知的数据，得到：tan B = (2AC / (1+√5)) / csin C = (2AC / (1+√5)) / √(AC^2 + c^2)通过这些方程，可以计算出角B和角C的大小。
三、海伦公式海伦公式（Heron's formula）是解任意形状三角形面积的重要公式之一。
对于任意形状的三角形，海伦公式的表述如下所示：S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))其中，S表示三角形的面积，a，b，c表示三角形的三边长度，p则表示三角形半周长，即：p = (a+b+c)/2在求解直角三角形的面积时，可以运用海伦公式。
【中考数学】解直角三角形的应用
解直角三角形的实际应用，“盘它”解直角三角形的实际应用是历年中考的热点，其中大多会利用直角三角形解决和高度（或宽度）、航行、坡度及实物情景有关的问题,考查数学抽象、数学建模，落地核心素养.小伙伴们只要掌握了其中解题的技巧，这个分，咱们拿定了！“七嘴八舌”说考情陕西：我们10年考了4次，都是在第20题解答题，考锐角三角函数的实际应用，涉及方位角、俯仰角，均为一个特殊角、一个非特殊角，结果要精确.2019年根据中考说明变化，会考查两个特殊角，结果保留根号.河南：我们近10年仅2010年未考查，均在解答题的19题或20题考查，考查的模型有：背对背型，母子型，涉及的角度为一个特殊角和一个非特殊角，两个角都为特殊角和非特殊角，一个非特殊角.云南：我们是昆明必考题型，省卷近3年未考查，题型为解答题，背景涉及仰俯角、方向角、坡度坡角，设问为1问，多是求高度，长度，宽度，距离，涉及的角度有：两个特殊角，一个特殊角和一个非特殊角.安徽：我们是必考题型，题型为解答题，背景涉及仰俯角、夹角、坡角，设问为1问，多是求高度，长度，距离等，涉及的角度有：两个特殊角，一个特殊角和一个非特殊角.山西：我们在选填中考查了3次，解题时均需构造一个直角三角形来解决问题，解答题中需作一条或两条高线，构造出三个三角形或两个三角形和一个矩形，求得线段长，再利用线段和差进行求解.江西：我们把这类题叫做几何应用题，是江西近10年的必考题型，考查背景均与生活实际紧密相关，以从实物中抽象几何模型为主，涉及到的几何图形背景有直角三角形、特殊平行四边形、圆等，解题过程除用到锐角三角函数知识外，2012、2016年均可用相似知识解题，2010年考查的为相似的实际应用.说来说去还得练聚焦类型一利用直角三角形解决高度问题（建筑物或树高等）1.如图，在一个坡角为20°的斜坡上有一棵树，高为AB，当太阳光线与水平线成52°角时，测得该树在斜坡上的树影BC的长为10m，求树高AB（精确到0.1m）.（已知：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364，sin52°≈0.788，cos52°≈0.616，tan52°≈1.280）第1题图解：如解图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，在Rt△BCD中，BC=10m，∠BCD=20°，∴CD=BC•cos20°≈10×0.940=9.40m，BD=BC•sin20°≈10×0.342=3.42m；在Rt△ACD中，CD≈9.40m，∠ACD=52°，∴AD=CD•tan52°≈9.40×1.280=12.032m，∴AB=AD－BD=12.032-3.42≈8.6m，答：树高约8.6米．第1题解图2.如图，亮亮在教学楼距水平地面5米高的窗口C处测得正前方旗杆顶部A点的仰角为45°，旗杆底部B点的俯角为30°，升旗时国旗上端悬挂在距地面2米处，若国旗随国歌冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端．（1）求旗杆AB的高度；（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，精确到0.1米）（2）国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？第2题图确作辅助线，构造直角三角形来进行求解.这就是典型的“背靠背型”.解：（1）如解图，过点C作CH⊥AB于点H．第2题解图在Rt △BCH 中，∵∠BCH =30°，BH =5米，∴CH =3BH =53（米），在Rt △ACH 中，∵∠ACH =45°，∴AH =HC =53（米），∴AB =AH +BH =5+53≈13.7（米）.答：旗杆AB 的高度约为13.7米；（2）国旗上升的速度=452-7.13≈0.26（米/秒）．答：国旗应以0.26米/秒的速度匀速上升.3.如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD 的高度．该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住．每层高度相等．测角仪支架离地1.5米，在A 处测得五楼顶部点D 的仰角为60°，在B 处测得四楼顶部点E 的仰角为30°，AB ＝14米．求居民楼的高度(精确到0.1米．参考数据：3≈1.73)．第3题图解：设每层楼高为x 米，由题意得：MC ′＝MC －CC ′＝2.5－1.5＝1米，∴DC ′＝5x ＋1，EC ′＝4x ＋1，在Rt △DC ′A ′中，∠DA′C ′＝60°，这个图形，我们可以看出两个直角三角形中，两条直角边有公共部分，据此我们通过线段之间的和差关系解决问题.这就是典型的“拥抱型”.在Rt△EC′B′中，∠EB′C′＝30°，∴C′B′＝'tan30EC°＝3(4x＋1)，∵A′B′＝C′B′－C′A′＝AB，∴3(4x＋1)－33(5x＋1)＝14，解得x≈3.18，则居民楼高约为5×3.18＋2.5＝18.4米．∴居民楼高度约为18.4米．4.如图，A为某旅游景区的最佳观景点，游客可从B处乘坐缆车先到达小观景平台DE观景，然后再由E处继续乘坐缆车到达A处，返程时从A处乘坐升降电梯直接到达C处，已知：AC⊥BC于C，DE∥BC，BC＝110米，DE＝9米，BD ＝60米，α＝32°，β＝68°，求AC的高度．(参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48)第4题图解：如解图，过点D作DF⊥BC于点F，延长DE交AC于点G，则GC＝DF，DG＝FC，在Rt△BDF中，DF＝BD·sinα＝BD·sin32°≈60×0.53＝31.8(米)，BF＝BD·cosα＝BD·cos32°≈60×0.85＝51(米)，∴FC＝BC－BF≈110－51＝59(米),EG＝DG－DE＝FC－DE≈59－9＝50(米)．在Rt△AEG中，AG＝EG·tanβ＝EG·tan68°≈50×2.48＝124(米)，∴AC＝AG＋GC＝AG＋DF≈124＋31.8＝155.8(米)．答：AC 的高度约为155.8米．第4题解图聚焦类型二利用直角三角形解决航行问题5.如图所示，某船向正东航行，在B 处望见某岛A 在北偏东60°，前进6海里到达C 处，测得该岛在北偏东30°.已知在该岛周围6海里内有暗礁，问该船继续向东航行，有无触礁的危险？请说明理由.第5题图解：如解图，过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D .在Rt △ACD 中，CD =AD ·tan30°=33AD ，在Rt △ABD 中，BD =AD ·tan60°=3AD ，∵BD -CD =6海里,∴3AD -33AD =6，解得AD =33海里.∵33<6，在该船沿BC 向正东航行过程中，离点A 的最近距离是否大于6海里是解题关键，所以需要正确作出辅助线.这就是典型的“母子型”.∴该船继续向东航行有触礁的危险.第5题解图6.为了保证端午龙舟赛在某市一段水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到该水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB 由西向东行驶．在A 处测得岸边一建筑物P 在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B 处时，测得建筑物P 在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P 到赛道AB 的距离(结果保留根号)．第6题图解：如解图，过点P 作PC ⊥AB 于点C ，由题意知∠PAC ＝60°，∠PBC ＝30°.在Rt △PAC 中，AC ＝33PC .在Rt △PBC 中，BC ＝3PC .∴AB ＝AC ＋BC ＝33PC ＋3PC ＝10×40＝400，∴PC ＝1003，∴建筑物P 到赛道AB 的距离为1003米．要求点P 到赛道AB 的距离，即过点P 作垂线，其中已知线段AB 是关键.这就是典型的“背靠背型”.第6题解图聚焦类型三利用直角三角形解决坡度问题7.如图，水库大坝的横断面是梯形ABCD，其中AB∥CD，坝高20米，坡角α＝45°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡度为1∶3，坝顶面加宽1米，求加固后坝底增加的宽度AF的长．(3≈1.732)第7题图解：如解图，过点D作DG⊥AB于G，过点E作EH⊥AB于H，在Rt△ADG中，∠DAG＝45°，DG＝20，∴AG＝20，∵背水面EF的坡度为1∶3，EH＝20，∴FH＝203，∴AF＝FH＋HG－AG＝203＋1－20≈15.64，∴加固后坝底增加的宽度AF的长约为15.64米．第7题解图聚焦类型四利用直角三角形解决实物情景题8.在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，AB始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC绕着转轴B旋转．已知连接杆BC的长度为20cm，BD=43cm，压柄与托板的长度相等．（1）当托板与压柄的夹角∠ABC=30°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度；（2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座垂直，如图②．求这个过程中，点E滑动的距离．（结果保留根号）第8题图解：（1）如解图，过点D作DH⊥BE于点H．在Rt△BDH中，∵∠DHB=90°，BD=43cm，∠ABC=30°，1BD=23cm，BH=3DH=6cm，∴DH=2∵AB=CB=20cm，AE=2cm，∴EH=20-2-6=12cm，∴在Rt△DEH中，由勾股定理得DE=239cm．第8题解图（2）在Rt △BDE 中，∵DE =239，BD =43，∠DBE =90°，∴BE =217cm ，∴这个过程中，点E 滑动的距离为（18-23）cm ．专家密招赶紧看1.解题依据如图，在Rt △ABC 中，三边之间的关系：a 2+b 2=c 2（勾股定理）锐角之间的关系：∠A +∠B =90°边角之间的关系（锐角三角函数）：sin A =c a ，cos A =c b ，tan A =b a2.基本图形（1）母子型图形分析：已知三角形中的两角(∠1和∠2)及其中一边，在三角形外作高BC ，构造两个直角三角形求解，公共边BC 是解题的关键．（2）背靠背型在基本图形的基础上，通过恰当地作高，构造直角三角形，而一个三角形有三条高，所以基本图形大都是直角三角形或直角三角形结合特殊四边形.图形分析：已知三角形中的两角(∠A 和∠B )及一边(AC 或BC )，在三角形内作高CD ，构造两个直角三角形求解，公共边CD是解题的关键．（3）拥抱型图形分析：单独解每个三角形，再利用线段的和差.（4）三角形＋矩形模型图形分析：过较短的底AB作直角梯形的高BE ，构造矩形和直角三角形，先解直角三角形再利用线段和差求解．图形分析：过较短的底AD 作梯形的两条高AE 和DF ，构造一个矩形和两个直角三角形，先分别解两个直角三角形再利用线段和差求解．（5）实物情景模型此类问题需要构造直角三角形模型（特点类似前面几个类型），结合相关的几何知识进行求解.小编说：这些基本图形的都有一个共同之处，小伙伴发现了没？3.解题一般步骤注：解题完毕后，可能会存在一些较为特殊的数据，例如含有复杂的小数等，因此，要特别注意所求数据是否符合实际意义，同时还要注意题目中对结果的精确度有无要求.4.解题小贴士小编解析一下咯：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦，无斜边时，就用正切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可以由已知数据又可用由中间数据求解时，则用已知数据，尽量避免用中间数据.角的关系有互余，边的关系有勾股；有斜边用正余弦，没有斜边用正切；选用乘法毋用除，采取原始避中间.。
解直角三角形的应用1课件
开始影响B市，台风中心移动到P2时，
台风影响结束． 由(1)得BH＝160，由条件得BP1＝BP2＝200，
∴P1P2＝2 2002－ 1602＝240， [8分] 240 ∴台风影响的时间t＝ ＝8(小时)． [10分] 30
探究提高
此类问题一般求出危险区域中心的距离，看其是否小于圆形
危险区域的半径，其实质是判断圆和直线的位置关系．求影响 情况，通常以此为圆心，以台风影响半径为半径画圆，交台风
条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河 对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向 北前行40m到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根 据以上数据，求这条河的宽度．(参考数值：tan 31°≈3 ) 5
解：如图，过点C作CD⊥AB于D ， 由题意∠DAC＝31°，∠DBC＝45°， 设CD＝BD＝x， 则AD＝AB＋BD＝40＋x，
三、典型模块的命题方向 ——知识模块
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2.解三角形 【安徽2011】19．如图，某高速公路建设中需 要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500m高 度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两 点处的俯角分别为60°和45°．求隧道AB的长 ( ≈1.73 )．
3
三、典型模块的命题方向 ——知识模块
tan45° ＋tan60° 1＋ 3 ＝ ＝ 1－tan45° ×tan60° 1－1× 3
4＋2 3 1＋ 32 ＝ ＝ ＝－(2＋ 3 )． －2 1－ 31＋ 3
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的
俯角α为60°，底端C点的俯角β为75°，此时直升飞机与建筑物 CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．
中考数学复习：专题7-12 解直角三角形在实际生活中的应用
专题12 解直角三角形在实际生活中的应用【专题综述】在现实生活中, 有许多和解直角三角形有关的实际问题，如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等，解决这类问题其关键是把具体问题抽象成“直角三角形”模型，利用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解决.【方法解读】一、航空问题例1：抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30︒，B 村的俯角为60︒（如图）．求A 、B 两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据2 1.4143 1.732==，）【举一反三】（2016内蒙古巴彦淖尔市）如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m 的高空C 处时，测得A 处渔政船的俯角为45°，测得B 处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB 是（ ）A ．30003mB ．3000(31)+mC ．3000(31)-mD ．15003m二、测量问题例2：如图所示，课外活动中，小明在离旗杆AB 10米的C 处，用测角仪测得旗杆顶部A 的仰角为40︒，已知测角仪器的高CD =1.5米，求旗杆AB 的高(精确到0.1米) ．【举一反三】我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住。
若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm,你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？请说出你的思路。
三、建桥问题例3：如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．一直BC=11km，∠A=45°，∠B=37°．桥DC和AB平行，2 ，sin37°≈0.60，则现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km．参考数据： 1.41cos37°≈0.80）.【举一反三】黄冈市为了改善市区交通状况，计划修建一座新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长（精确到0.1米）．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0. 24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．四、图案设计问题例4. “创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O的半径OC所在的直线为对称轴的轴对称图形，A是OD与圆O的交点．由于图纸中圆O的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中i 是坡面CE的坡度），求r的值．1:0.75【举一反三】如图，为了测量某电线杆（底部可到达）的高度，准备了如下的测量工具：①平面镜；②皮尺；③长为2米的标杆；④高为1.5m的测角仪（测量仰角、俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：（1）画出你的测量方案示意图，并根据你的测量方案写出你所选用的测量工具；（2）结合你的示意图，写出求电线杆高度的思路．【强化训练】1．如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？2．如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD． (参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20)．3．如图，在我市的上空一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行，沿航线AB的正下方有两个景点水城明珠大剧院（记为点C），光岳楼（记为点D），飞机在A处时，测得景点C、D在飞机的前方，俯角分别为60°和30°．飞机飞行了3千米到B处时，往后测得景点C的俯角为30°．而景点D恰好在飞机的正下方，求水城明珠大剧院与光岳楼之间的距离（最后结果精确到0.1千米）4．某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）5．在某飞机场东西方向的地面l上有一长为1km的飞机跑道MN（如图），在跑道MN的正西端14.5千米处有一观察站A．某时刻测得二架匀速直线降落的飞机位于点A的北偏西30°，且与点A相距15千米的B处；经过1分钟，又测得该飞机位于点A的北偏东60°，且与点A相距5万千米的C处．⑴该飞机航行的速度是多少千米／小时？（结果保留根号）⑵如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN之间？请说明理由。
解直角三角形在实际问题中的运用优秀课件
AE＝ 352－252 ≈24.5,
O
∴cos∠AOE＝
25 35
∴∠AOE≈44.4°,
E
10 A
C
∴∠AOC≈88.8°
单位: 厘米
D
S扇形OAC≈
88.8×352π 360
≈948.8(㎝),
∴S＝S扇形OAC－S△AOC ≈948.8－612.5＝336(㎝2)
S△AOC≈ 12×2×24.5×25 ＝612.5(㎝2)
＝250(1+ 3 ) (m). 答:船的航速约为14km/h.
做一做
1.某船自西向东航行，在A处测得某岛在北偏东60°的
方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东45°的方向
上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？
B
（2）轮船要继续前进多少千米？
30°
45°
A
8千米
D
C
例4、如图，两建筑物的水平距离BC为24m,从点A测得点D 的 俯角α＝30°,测得点C 的俯角β＝60°,求AB 和CD 两座建
例3、海防哨所0发现,在它的北偏西30°,距离哨所500 m的A 处有一艘船向正东方向行驶,经过3分时间后到达哨所东北方 向的B处.问船从A处到B处的航速是多少km/h(精确到1km/h)?
北
A
B
30°
东
O
北
【解析】 在Rt△AOC中,
C
OA＝500 m, ∠AOC＝ A
B
∴3A0°C, ＝OAsin∠AOC
练一练
1.某人沿着坡角为45°的斜坡走了310 2 m，则此人的
垂直高度增加了__3_1_0__m .
2.已知堤坝的横断面是等腰梯形ABCD，上
解直角三角形的应用
解直角三角形的应用利用直角三角形中的已知元素(至少有一条是边)求得其余元素的过程叫做解直角三角形,解直角三角形有以下两方面的应用：1．为线段、角的计算提供新的途径．解直角三角形的基础是三角函数的概念,三角函数使直角三角形的边与角得以转化,突破纯粹几何关系的局限．2．解实际问题．测量、航行、工程技术等生活生产的实际问题,许多问题可转化为解直角三角形获解,解决问题的关键是在理解有关名词的意义的基础上,准确把实际问题抽象为几何图形,进而转化为解直角三角形．【例题】【例1】 如图,已知电线杆AB 直立于地面上,它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上,如果CD 与地面成45°,∠A ＝60°,CD ＝4m,BC ＝(2264-)m,则电线杆AB 的长为 ．【例2】 如图,在四边形ABCD 中,AB=24-,BC -1,CD=3,∠B=135°,∠C ＝90°,则∠D 等于( )A ．60°B ．67．5°C ．75°D ．无法确定注：因直角三角形元素之间有很多关系,故用已知元素与未知元素的途径常不惟一,选择怎样的途径最有效、最合理呢？请记住：有斜用弦,无斜用切,宁乘勿除．在没有直角的条件下,常通过作垂线构造直角三角形；在解由多个直角三角形组合而成的问题时,往往先解已具备条件的直角三角形,使得求解的直角三角形最终可解．【例3】 如图,在△ABC 中,∠=90°,∠BAC=30°,BC=l,D 为BC 边上一点,tan ∠ADC 是方程2)1(5)1(322=+-+x x xx 的一个较大的根?求CD 的长．【例4】 如图,自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD,AB=3米,BC=0．5米 ,车厢底部距离地面1．2米,卸货时,车厢倾斜的角度θ=60°．问此时车厢的最高点A 距离地面多少米?(精确到1米)【例5】 如图,甲楼楼高16米,乙楼坐落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°,此时,求：(1)如果两楼相距20米,那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?(2)如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应当是多少米?注：在解决一个数学问题后,不能只满足求出问题的答案,同时还应对解题过程进行多方面分析和考察,思考一下有没有多种解题途径,每种途径各有什么优点与缺陷,哪一条途径更合理、更简捷,从中又能给我们带来怎样的启迪等． 若能养成这种良好的思考问题的习惯,则可逐步培养和提高我们分析探索能力．练习巩固1．如图,在△ABC 中,∠A=30°,tanB=31,BC=10,则AB 的长为 ． 2．如图,在矩形ABCD 中．E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点,若tan ∠AEH=34,四边形EFGH 的周长为40cm,则矩形ABCD 的面积为 ．3．如图,旗杆AB,在C 处测得旗杆顶A 的仰角为30°,向旗杆前北进10m,达到D,在D 处测得A 的仰角为45°,则旗杆的高为 ．4．上午9时,一条船从A 处出发,以每小时40海里的速度向正东方向航行,9时30分到达B 处,从A 、B 两处分别测得小岛M 在北偏东45°和北偏东15°方向,那么B 处船与小岛M 的距离为( )A ．20海里B ．20海里C ．315海里D ．3205．已知a 、b 、c 分别为△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边,若关于x 的方程02)(2=-+-+b c ax x c b 有两个相等的实根,且sinB ·cosA —cosB ·sinA ＝0,则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形6．如图,在四边形ABCD 中,∠A ＝135°,∠B=∠D=90°,BC=32,AD=2,则四边形ABCD 的面积是( )A ．24B ．34C ． 4D ．67．如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D,CD=1,已知AD 、BD 的长是关于x 的方程02=++q px x 的两根,且tanA —tanB=2,求p 、q 的值．8．如图,某电信部门计划修建一条连结B 、C 两地的电缆,测量人员在山脚A 点测得B 、C 两地的仰角分别为30°、45°,在B 地测得C 地的仰角为60°．已知C 地比A 地高200米,则电缆BC 至少长多少米?(精确到0.1米)9．如图,在等腰Rt △ABC 中,∠C=90°,∠CBD ＝30,则DCAD = ．10．如图,正方形ABCD 中,N 是DC 的中点．M 是AD 上异于D 的点,且∠NMB=∠MBC,则tan ∠ABM ＝ ．11．在△ABC 中,AB=26-,BC=2,△ABC 的面积为l,若∠B 是锐角,则∠C 的度数是 ．12．已知等腰三角形的三边长为 a 、b 、c,且c a =,若关于x 的一元二次方程022=+-c bx x 的两根之差为2,则等腰三角形的一个底角是( )A ． 15°B ．30°C ．45°D ．60°13．如图,△ABC 为等腰直角三角形,若AD=31AC,CE=31BC,则∠1和∠2的大小关系是( ) A ．∠1>∠2 B ．∠1<∠2 C ．∠1＝∠2 D ．无法确定14．如图,在正方形ABCD 中,F 是CD 上一点,AE ⊥AF,点E 在CB 的延长线上,EF 交AB 于点G ．(1)求证：DF ×FC ＝BG ×EC ；(2)当tan ∠DAF=31时,△AEF 的面积为10,问当tan ∠DAF=32时,△AEF 的面积是多少?15．在一个三角形中,有一边边长为16,这条边上的中线和高线长度分别为10和9,求三角形中此边所对的角的正切值．16．台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力．据气象观测,距沿海某城市A 的正南方向220千米B 处有一台风中心,其中心最大风力为12级,每远离台风中心20千米,风力就会减弱一级,该台风中心现正在以15千米／时的速度沿北偏东30°方向往C 处移动,且台风中心风力不变,若城市所受风力达到或超过四级,则称为受台风影响．(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由．(2)若会受到台风影响,那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?17．如图,山上有一座铁塔,山脚下有一矩形建筑物ABCD,且建筑物周围没有开阔平整地带．该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得,从A、D、C三点可看到塔顶端H．可供使用的测量工具有皮尺、测角器．(1)请你根据现有条件,充分利用矩形建筑物,设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案．具体要求如下：①测量数据尽可能少；②在所给图形上,画出你设计的测量平面图,并将应测数据标记在图形上(如果测A、D间距离,用m表示；如果测D、C间距离,用n表示；如果测角,用α、β、γ等表示．测角器高度不计)．(2)根据你测量的数据,计算塔顶端到地面的高度HG(用字母表示)．。