第三讲 线性规划
第1章线性规划(3)(1).ppt
排班1 √ √ √ √
170
排班2 √ √ √ √
160
排班3
√ √ √ √
175
排班4
√ √ √ √ 180
排班5
√ √ 195
最少需要人数 48 79 65 87 64 73 82 43 52 15
解:这是一个纯成本收益平衡问题
（1）决策变量 ❖ 本问题的决策是不同排班的人数。 ❖ 设：xi为排班i的人数 (i＝1,2,,5 ) （2）目标函数 ❖ 本问题的目标是人员总费用(工资)最少
（i＝F1,F2;j=C1,C2,C3) （2）目标函数
本问题的目标是使得公司总运输成本最低
Min z 700xF1-C1 900xF1-C2 800xF1-C3 800xF2-C1 900xF2-C2 700xF2-C3
（3）约束条件
① 从工厂运送出去的产品数量等于其产量 ② 顾客收到的产品数量等于其订货量 ③ 非负
▪ 使用的资源数量 可用的资源数量
▪ 问题的目标：最有效地利用各种资源，使 获利最大
对资源分配问题，必须收集三种数据：
（1）每种资源的可供量； （2）每一种活动所需要的各种资源的数量,
对于每一种资源与活动的组合,单位活动所 消耗的资源量必须首先估计出来； （3）每一种活动对总的绩效测度（如总利润） 的单位贡献（如单位利润）。
▪ 每一时点的资金限制就表现为累计的资金。
年份 0（现在）
1 2 3 净现值
办公楼项目 40 100 190 200 45
宾馆项目 80 160 240 310 70
购物中心项目 90 140 160 220 50
可用资金 25 45 65 80
数学模型（线性规划模型）
线性规划PPT课件
线性规划的基本定理
线性规划的解存在性
对于任何线性规划问题，都存在至少一个最优解。
最优解的唯一性
在某些情况下，线性规划问题的最优解是唯一的，这取决于目标函 数和约束条件的形状和位置。
解的稳定性
线性规划问题的最优解是稳定的，即使目标函数或约束条件略有变 化，最优解也不会发生大的变化。
03
线性规划的求解方法
优缺点：内点法具有全局收敛性和对初始点不敏 感的优点，但计算量较大，需要较高的计算资源 。
椭球法
01
总结词：几何方法
02
03
04
详细描述：椭球法是一种基 于几何方法的线性规划算法。 它将可行解的边界表示为椭 球，通过迭代移动椭球中心
来逼近最优解。
算法步骤：椭球法的基本步 骤包括初始化、构建椭球和 迭代更新。在每次迭代中， 根据当前椭球的位置和方向 来更新中心和半径，直到满
运输问题
总结词
运输问题是线性规划在物流和供应链管理中的重要应用，旨在优化运输成本、 运输时间和运输量等目标。
详细描述
运输问题通常需要考虑多个出发地、目的地、运输方式和运输成本等因素。通 过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输成本最低、运输时间 最短，同时满足运输量和运输路线的限制。
投资组合优化问题
03
单纯形法
单纯形法是线性规划的标 准算法，通过迭代和优化， 找到满足约束条件的最大 或最小目标函数值。
初始解
在应用单纯形法之前，需 要先找到一个初始解，这 可以通过手动计算或使用 软件工具来实现。
迭代过程
单纯形法通过不断迭代和 优化，逐步逼近最优解， 每次迭代都需要重新计算 目标函数值和最优解。
线性规划的几何意义
线性规划(3)
解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域； （2）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线； （3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案。
可行域上的最优解 应用
解下列线性规划问题：
1、求 Z = 3x －y 的最大值和最小值，使式中
Z = 3x － y 的最值
y
y=x 1
作直线 y = 3x
y
o
x
有关概念
由x，y 的不等式(或方程)组成的不等式组称为x， y 的约束条件。关于x，y 的一次不等式或方程组 成的不等式组称为x，y 的线性约束条件。欲达
到最大值或最小值所涉及的变量x，y 的解析式 称为目标函数。关于x，y 的一次目标函数称为 线性目标函数。求线性目标函数在线性约束条件
下的最大值或最小值问题称为线性规划问题。满 足线性约束条件的解（x，y）称为可行解。所有 可行解组成的集合称为可行域。使目标函数取得 最大值或最小值的可行解称为最优解。
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
Z min = 7. 6 此时应派A、B O 卡车各4 辆
x
x=6 y = －0.9x
y x
x
y
1
y 1
(3)如果你是公司的经理，为使公司所花的成 本费最小，每天应派出A型卡车、B型卡车各 为多少辆
2、某木器厂生产圆桌和衣柜两种木料，第一 种有 72 米 3，第二种有 56 米 3，假设生产每 种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌和
4.2线性规划ppt课件
目录
• 线性规划简介 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的软件实现 • 线性规划案例分析 • 线性规划的优化策略
01
线性规划简介
线性规划的定义
线性规划是数学优化技术的一种 ，它通过将问题转化为线性方程 组，并寻找满足一定约束条件的 解，以实现目标函数的最优解。
线性规划问题通常由决策变量、 约束条件和目标函数三部分组成
运输问题
总结词
运输问题是在物流和供应链管理中常见的线性规划应用，旨在优化运输成本和时 间。
详细描述
运输问题通常涉及多个起点、终点和运输方式，需要考虑运输成本、时间、容量 和路线等约束条件。通过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输 成本最低或运输时间最短。
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题是在金融领域中常见的线性规划应用，旨 在实现风险和收益之间的平衡。
对偶问题在理论研究和实际应用中都 具有重要的意义，可以用于求解一些 特殊类型的问题，如运输问题、分配 问题等。
对偶问题具有一些特殊的性质，如对 偶变量的非负性、对偶问题的最优解 与原问题的最优解之间的关系等。
初始解的确定
初始解的确定是线性规划求解过程中的 一个重要步骤，一个好的初始解可以大
大减少迭代次数，提高求解效率。
。
决策变量是问题中需要求解的未 知数，约束条件是限制决策变量 取值的条件，目标函数是要求最
大或最小的函数。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型通常由一 组线性不等式和等式约束以及 一个线性目标函数组成。
线性不等式和等式约束条件可 以用来表示各种资源和限制条 件。
目标函数是决策变量的线性函 数，表示要优化的目标。
2019-2020年高考数学二轮复习 专题1 高考客观题常考知识 第3讲 不等式与线性规划 理
2019-2020年高考数学二轮复习专题1 高考客观题常考知识第3讲不等式与线性规划理不等式的解法1.设f(x)=则不等式f(x)<2的解集为( B )(A)(,+∞) (B)(-∞,1)∪[2,)(C)(1,2]∪(,+∞) (D)(1,)解析:原不等式等价于或即或解得2≤x<或x<1.故选B.2.(xx山东卷)若函数f(x)=是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值范围为( C )(A)(-∞,-1) (B)(-1,0)(C)(0,1) (D)(1,+∞)解析:f(-x)==,由f(-x)=-f(x)得=-,即1-a·2x=-2x+a,化简得a·(1+2x)=1+2x,所以a=1.f(x)=.由f(x)>3,得0<x<1,故选C.3.(xx陕西西安市模拟)关于x的不等式x2-2ax-3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=12,则实数a的值等于.解析:因为关于x的不等式x2-2ax-3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),所以x1+x2=2a,x1·x2=-3a2,又x2-x1=12,(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1·x2,所以144=4a2+12a2=16a2,解得a=±3,因为a<0,所以a=-3.答案:-3简单的线性规划问题4.(xx北京卷)若x,y满足,则z=x+2y的最大值为( D )(A)0 (B)1 (C) (D)2解析:由x,y的约束条件可画出可行域(如图所示),其中A（,）,B(0,1),易知直线x+2y-z=0经过点B(0,1)时,z取最大值2,故选D.5.(xx浙江温州市第二次适应测试)若实数x,y满足不等式组且z=y-2x的最小值等于-2,则实数m的值等于( A )(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2解析:由z=y-2x,得y=2x+z,作出不等式对应的可行域,平移直线y=2x+z,由平移可知当直线y=2x+z经过点A时,直线y=2x+z的截距最小,此时z取得最小值为-2, 即y-2x=-2,由解得即A(1,0),点A也在直线x+y+m=0上,则m=-1.故选A.6.(xx贵州遵义市第二次联考)若则目标函数z=的取值范围是( A )(A)[2,5] (B)[1,5] (C)[,2] (D)[2,6]解析:z==1+2,可理解为求斜率的最值问题,画出可行域如图阴影部分,可知k=在(1,2)点处最大,最大为2;在(2,1)点处最小,最小为,所以z的取值范围为[2,5].故选A.7.(xx河南开封市模拟)设不等式组表示的平面区域为D,若指数函数y=a x的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是.解析:作出区域D的图象,联系指数函数y=a x的图象,能够看出,当图象经过区域的边界点C(2,9)时,a可以取到最大值3,而显然只要a大于1,图象必然经过区域内的点.则a的取值范围是1<a≤3.答案:(1,3]基本不等式的应用8.(xx甘肃省河西五地市高三第一次联考)函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A 在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,则+的最小值为( B )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(1,1),又点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,所以m+n=1,所以+=(m+n)(+)=2++≥2+2=4,当且仅当m=n=时取等号.故选B.9.(xx河南郑州市第一次质量预测)某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则xy的最大值为( C )(A)32 (B)32 (C)64 (D)64解析:设该三棱锥的高为h,由三视图知,两式相减并整理得x2+y2=128.又因为xy≤==64(仅当x=y时取等号).10.(xx广东深圳市第一次调研考试)已知向量a=(-1,1),b=(1,)(x>0,y>0),若a⊥b,则x+4y的最小值为.解析:由a⊥b得-1+=0,+=1,(x+4y)·(+)=5++≥2+5=9.（当且仅当=时取等号）答案:9一、选择题1.(xx四川资阳市三模)已知loa<lob,则下列不等式一定成立的是( A )(A)（）a<()b (B)>(C)ln(a-b)>0 (D)3a-b<1解析:因为y=lox是定义域上的减函数,且loa<lob,所以a>b>0.又因为y=()x是定义域R上的减函数,所以()a<()b;又因为y=x b在(0,+∞)上是增函数,所以（）b<（）b;所以（）a<（）b,选项A正确.2.(xx湖南卷)若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为( A )(A)-7 (B)-1 (C)1 (D)2解析:画出可行域如图所示.当直线y=3x-z过点C(-2,1)时,z取最小值,故z min=3×(-2)-1=-7.故选A.3.(xx广西柳州市、北海市、钦州市1月份模拟)设变量x,y满足约束条件则z=2x×的最小值为( B )(A) (B) (C) (D)解析:可得z=2x-2y,设m=x-2y,不等式组表示的平面区域如图阴影部分,平移直线l:y=x,由图象可知直线l经过点A时,其截距最大,m最小,z最小,解方程组得A(2,2),则z最小=.4.(xx江西南昌市第一次模拟)已知实数x,y满足若目标函数z=2x+y的最大值与最小值的差为2,则实数m的值为( C )(A)4 (B)3 (C)2 (D)-解析:作出可行域如图,根据目标函数的几何意义可转化为直线y=-2x+z的截距,可知在N点z取最小值,在M点z取最大值.因为N(m-1,m),M(4-m,m),所以z M-z N=2(4-m)+m-2(m-1)-m=10-4m=2,所以m=2.5.(xx甘肃省河西五地市高三第一次联考)已知集合{(x,y)|}表示的平面区域为Ω,若在区域Ω内任取一点P(x,y),则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为( D )(A) (B) (C) (D)解析:作出不等式组对应的平面区域如图,则对应的区域为△AOB.由解得即B(4,-4).由解得即A（,）.直线2x+y-4=0与x轴的交点坐标为(2,0),则△OAB的面积S=×2×+×2×4=.点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=×π×()2=,由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=.故选D.6.(xx陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( D )甲乙原料限额A(吨) 3 2 12B(吨) 1 2 8解析:设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,每天获得的利润为z万元,则有z=3x+4y,由题意得x,y满足不等式组表示的可行域是以O(0,0),A(4,0),B(2,3),C(0,4)为顶点的四边形及其内部.根据线性规划的有关知识,知当直线3x+4y-z=0过点B(2,3)时,z取最大值18,故该企业每天可获得最大利润为18万元.故选D.7.设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f(),r=[f(a)+f(b)],则下列关系式中正确的是( C )(A)q=r<p (B)q=r>p(C)p=r<q (D)p=r>q解析:由题意得p=ln ,q=ln ,r=(ln a+ln b)=ln =p,因为0<a<b,所以>,所以ln >ln ,所以p=r<q.故选C.8.(xx四川南充市第一次高考适应性考试)若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)满足约束条件且最大值为40,则+的最小值为( B )(A) (B) (C)1 (D)4解析:不等式表示的平面区域为如图阴影部分,当直线z=ax+by(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线2x-y-6=0的交点(8,10)时,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值40,即8a+10b=40,即4a+5b=20,而+=(+)=+(+)≥+1=.故选B.9.(xx山东卷)已知x,y满足约束条件当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2时, a2+b2的最小值为( B )(A)5 (B)4 (C) (D)2解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A(2,1)处取得最小值,故2a+b=2.法一将2a+b=2两边分别平方得4a2+b2+4ab=20,而4ab=2×a×2b≤a2+4b2,当且仅当a=2b, 即a=,b=时取等号.所以20≤4a2+b2+a2+4b2=5(a2+b2),所以a2+b2≥4,即a2+b2的最小值为4.故选B.法二将2a+b=2看作平面直角坐标系aOb中的直线,则a2+b2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方,故其最小值为坐标原点到直线2a+b=2距离的平方,即()2=4.故选B.10.(xx重庆卷)若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为( B )(A)-3 (B)1 (C) (D)3解析:作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,由图可知,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则m>-1.由解得即A(1-m,1+m).由解得即B(-m,+m).因为S△ABC=S△ADC-S△BDC=(2+2m)[(1+m)-(+m)]=(m+1)2=,所以m=1或m=-3(舍去),故选B.11.(xx四川宜宾市二诊)已知集合A={x∈R|x4+mx-2=0},满足a∈A的所有点M(a,)均在直线y=x的同侧,则实数m的取值范围是( A )(A)(-∞,-)∪(,+∞)(B)(-,-1)∪(1,)(C)(-5,-)∪(,6)(D)(-∞,-6)∪(6,+∞)解析:因为集合A={x∈R|x4+mx-2=0},所以方程的根显然x≠0,原方程等价于x3+m=,原方程的实根是曲线y=x3+m与曲线y=的交点的横坐标,而曲线y=x3+m是由曲线y=x3向上或向下平移|m|个单位而得到的,若交点(x i,)(i=1,2)均在直线y=x的同侧,因直线y=x与y=交点为(-,-),(,);所以结合图象可得或解得m>或m<-.故选A.12.已知函数f(x)=x+sin x(x∈R),且f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,则当y≥1时,的取值范围是( A )(A)[,] (B)[0,] (C)[,] (D)[0,]解析:因为f(-x)=-x+sin(-x)=-f(x),且f′(x)=1+cos x≥0,所以函数f(x)为奇函数,且在R上是增函数.所以由f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,得f(y2-2y+3)≤f(-x2+4x-1),所以y2-2y+3≤-x2+4x-1,即(x-2)2+(y-1)2≤1,其表示圆(x-2)2+(y-1)2=1及其内部.表示满足的点P与定点A(-1,0)连线的斜率.结合图形分析可知,直线AC的斜率=最小,切线AB的斜率tan∠BAX=tan 2∠PAX===最大.故选A.二、填空题13.(xx江苏卷)不等式<4的解集为.解析:不等式<4可转化为<22,由指数函数y=2x为增函数知x2-x<2,解得-1<x<2,故所求解集为(-1,2).答案:(-1,2)14.(xx新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是.解析:由题意,得函数f(x)的草图如图所示.因为f(x-1)>0,所以|x-1|<2,所以-2<x-1<2,所以-1<x<3.答案:(-1,3)15.(xx合肥八中段考)若正数a,b满足a+2b=3,且使不等式+-m>0恒成立,则实数m的取值范围是.解析:不等式+-m>0恒成立,即3(+)>3m恒成立.又正数a,b满足a+2b=3,(a+2b)(+)=+++2≥,当且仅当a=b=1时取“=”,所以实数m的取值范围是(-∞,).答案:(-∞,)16.(xx浙江卷)已知函数f(x)=则f(f(-3))= ,f(x)的最小值是.解析:因为-3<1,所以f(-3)=lg[(-3)2+1]=lg 10=1,所以f(f(-3))=f(1)=1+-3=0.当x≥1时,f(x)=x+-3≥2-3(当且仅当x=时,取“=”),当x<1时,x2+1≥1,所以f(x)=lg(x2+1)≥0,又因为2-3<0,所以f(x)min=2-3.答案:0 2-3。
线性规划-讲义-3
4)、解的几种情况： 4)、解的几种情况： 唯一解 无穷多解－最优表中非基变量检验数有为0者。 无穷多解－最优表中非基变量检验数有为0 无界解 max, σ j > 0 但Pj ≤ 0 min, σ j < 0 但Pj ≤ 0 无可行解－最优表中人工变量在基中， 无可行解－最优表中人工变量在基中，且＝0。 建模有问题 5)、 5)、退化解问题
表2 -2
-1/3 -1/3
两阶段法步骤 n 原问题 max S=Σ Cj xj n j=1 Σ aij xj =bi ( i=1,2, …,m) xj ≥ 0 m 作辅助问题 min W=Σ yi n i=1 Σ aij xj + yi =bi ( i=1,2, …,m) Xj ， yi ≥ 0 阶段：解辅助问题， 第1阶段：解辅助问题，当进行到最优表时 ①、若W=0, 则得到原问题的一个基本可行 转入第2阶段 阶段。 解，转入第 阶段。 ②、若W>0, 则判定原问题无可行解 阶段： 第2阶段：用求出的初始基可行解求最优解。 阶段 用求出的初始基可行解求最优解。
人工变量： x6 , x7 人工变量：
cj
XB b*
0
x1
0
x2
0
x3
0
x4
0
x5
-1
x6
-1
x7
x4 11 3 x6 x7 1 - W’ 0
XB b*
1 -4 -2
0
x1
-2 1 0
0
x2
1 2 1
0
x3
1 0 0
0
x4
0 -1 0
0
x5
0 1 0
-1
x6
0 0 1
-1
x7
运筹学 第二章线性规划 第三讲 单纯形法
[1] 1 2 -1↑
1 0 0 0
1 0 0 0
1 -1 -2 1
0 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 1 0
5→ 6 21
5 1 11
5 6 21/2
表中λj≥0( j=1,2,…,5), 所以最优解为X=(0,5,0,1,11 )T , 最 优值 Z=2x1－2x2－x4=－2×5－1=－11。
大值，因此原问题只要有可行解，新的线性规划问
题的最优解中人工变量的取值一定为0， 这种方
法称为大M单纯形法（简称大M法）。
2.5 单纯形法 Simplex Method
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
大M法中加入人工变量后新的线性规划问题为
max Z’=c1x1+c2x2+…+cnxn –Mxn+1 – … –Mxn+m
【解】首先将数学模型化为标准形式
2.5 单纯形法 Simplex Method
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
max Z 3x1 2 x 2 x3
式中x4，x5为松弛变量，x5可 4 x1 3x 2 x3 x 4 4 作为一个基变量，第一、三 x x 2 x x 10 约束中分别加入人工变量x6 、 1 2 3 5 x7 ， 目 标 函 数 中 加 入 2 x1 2 x 2 x3 1 ―Mx6―Mx7一项，得到人工 x j 0, j 1,2,,5 变量单纯形法数学模型
0 0 1
Z＝2 x1 2 x2 (6 x1 x2 ) 6 x1 x2
1-1-3第三讲 不等式、线性规划、计数原理与二项式定理
菜 单
隐 藏
高考新课标专题复习 ·数学（理）
研热点 聚 焦 突 破
析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
[例4]
(2012年高考北京卷)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选 )
两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(
A．24
C．12
B．18
D．6
[解析] 根据所选偶数为0和2分类讨论求解． 当选0时，先从1，3，5中选2个数字有C 种方法，然后从选中的2 个数字中选1个排在末位有C种方法，剩余1个数字排在首位，共有C C＝6(种)方法；当选2时，先从1，3，5中选2个数字有C 种方法，然后 从选中的2个数字中选1个排在末位有C 种方法，其余2个数字全排列， 共有C C A ＝12(种)方法．依分类加法计数原理知共有6＋12＝18(个) 奇数． [答案] B
菜 单 隐 藏
高考新课标专题复习 ·数学（理）
研热点 聚 焦 突 破
析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
[解析] 利用线性规划知识，求解目标函数的取值范围． 如图，
根据题意得C(1＋ ，2)． 作直线－x＋y＝0，并向左上或右下平移， 过点B(1，3)和C(1＋ ，2)时， z＝－x＋y取范围的边界值， 即－(1＋ )＋2<z<－1＋3，∴1－<z<2.
析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
1．加法计数原理与乘法计数原理针对的分别是“分类”与“分 步”问题．
2．排列数
m An ＝
n！ . （n－m）！
山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
组合数 Cm＝ n
n！ . m！（n－m）！
3．组合数性质
第三讲 线性规划(二)
定理：若检验数全小于等于零，且某一个非基变量 的检验数为0，则线性规划问题有无穷多最优解。 （无穷多最优解情况） 证明：设通过迭代已得最优解 X 0
按前述规则将非基变量 xm k 换入基变量中， 得到新基可行解 ，可知 仍为最优解。于是 X X 与 X 0连线上所有的点都是最优解。 X 命题成立。
B=(P3，P4 ，P5 ）=
1 0 0
0
0
1 0
0 1
x3, x4 , x5是基变量，x1,
x2,是非基变量。
用非基变量表示的方程： x3 = 8- x1 - 2x2 x4 = 16- 4x1 (I) x5 = 12 - 4x2 S = 0+ 2x1 +3x2 称(I) 为消去系统，
令非基变量 （ x1 , x2）T=（0，0） T 得基础可行解： x(1)=(0,0,8,16,12) T S1=0 经济含义：不生产产品甲乙，利润为零。 分析：S = 0+ 2x1 + 3x2 （分别增加单位产品甲、乙，目标函数 分别增加2、3，即利润分别增加2百元、 3百元。） 增加单位产品对目标函数的贡献， 这就是检验数的概念。
x1 = 2-x3+（1/2)x5 x4 = 8+ 4x3 -2 x5 x2 =3-(1/4) x5 S = 13-2x3+（1/4）x5
令新的非基变量（ x3，x5 ）=（0，0）T 得到新的基础可行解： x(3)=(2,3,0, 16 , 0) T S3=13 经济含义：生产甲产品2个，乙产品3个， 获得利润1300元。
增加单位产品甲（x2）比乙对目标函数 的贡献大（检验数最大），把非基变量 x2换成基变量，称x2为换入基变量，而 把基变量x5换成非基变量，称x5为换出 基变量。 （在选择出基变量时，一定保证消去系 统为正消去系统）（最小比值原则）
第3章 线性规划.ppt
x2
400
300 A
250 B
x2 250
x1 x2 300
0
200
300
x1
2x1 x2 400 16
第3章 线性规划
3. 无最优解(目标函数值
x2
为无穷大或无穷小)。
若例3-4中式(b),(c)的约 250
成立,则称x为凸集D的极点。即在凸集上不能表 示成相异两点凸组合的点，称为极点；在线性 规划问题的凸集上称之为顶点。
20
第3章 线性规划
3. 基本解：对于有n个变量、m个约束方程的标 准线性规划问题，取其m个变量，若这些变量在 约束方程中的系数列向量线性无关，则它们组 成一组基本变量。确定了一组基本变量后，其 它n-m个变量称为非基本变量。
变量约束： xi 0, 1 i 4
6
第3章 线性规划
一、线性规划问题的标准形式（※）
1. 标准形式
目标函数： 约束条件：
n
max z cj xj j 1
n
aij xj b0i , i 1, 2,
j 1
, m, (b0i 0)
变量约束： xj 0, j 1, 2, , n
通常把上述三个式子描述的问题称为标准线
5. 基本可行解：如果基本解中的每一个变量都是非 负的，即满足变量约束 xj 0, (1 j n) 的基本解称 为基本可行解。如果在基本可行解中至少有一个基 本变量为零，则该解称为退化的基本可行解，反之， 称为非退化的基本可行解。
注：基本可行解既是基本解、又是可行解，它对应 于线性规划问题可行域的顶点。
9
第3章 线性规划
第03章线性规划
第3章线性规划数学规划是系统工程中最重要的分析方法之一，是运筹学的主要分支。
它包括线性规划、非线性规划、整数规划和动态规划等。
30年代初出现的线性规划，1947年丹茨基（George B．Dantzig）发明单纯形法，理论上才得到完善。
随着电子计算机的发展，成千上万个约束条件和变量的大型线性规划问题都可以求解。
因此，无论从理论的成熟性看，还是从应用的广泛性看，线性规划都是运筹学的一个重要分支。
它在工业、农业、交通运输、军事和计划管理等各方面都愈来愈得到广泛地应用。
l 线性规划问题及其数学模型在生产过程中，要想提高工作效率和经济效益，一般有两条途径：一是进行技术改造，改进生产手段和条件。
（比如增添设备、改进工艺、挖掘潜力等）二是在生产手段和条件都不变的情况下，改善生产的组织和计划管理，作出最优安排，使生产手段和条件得到充分的利用。
线性规划方法就是解决后一类问题的工具。
后一类问题又可分为两个方面：一是在一定限制条件下，使得工作成果尽可能大；二是为完成既定任务，使资源消耗尽可能小。
例3一1 资源利用问题。
某工厂计划生产A、B两种产品，生产这两种产品需要煤、电力和劳动力三种资源。
已知该厂可利用的煤有360t，电力有200kw，劳动日有300个，生产每千克产品的资源消耗量和能获得的利润如表3—1所示。
问该厂应生产A，B两种产品各多少千克才能使总利润最大？解设生产A，B两种产品各为x1，x2kg，则该问题可归结为，求一组变量x l，x2满足下列条件：使得总利润f=7x1+12x2取得最大值。
例3－2 下料问题。
某工厂制造一种机床，每台机床需A、B、C三种不同长度的轴各一根，其毛坯长度；A为2.9m，B为2.1m，C为1.5m，它们用同一种圆钢来下料，每根圆钢长为7.4m。
要造100台机床，问如何下料最好？试建立其数学模型（不考虑下料截口损耗）。
”解将各种可能的下料方案排列如表3－2。
设所用圆钢总数为f根，第j种下料方案。
线性规划课件ppt
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。
第三讲：线性规划
线性规划问题的求解在理论上有单纯形法， 在实际建模中常用以下解法： 1. 图解法 2. LINGO 软件包； 3. Excel中的规划求解； 4. MATLAB软件包.
3.2 用MATLAB优化工具箱解线性规划
1. 模型：
min z=cX
s.t. AX b
命令：x=linprog（c, A, b）
优化模型的分类
实际问题中 min(或 max) z f ( x), x ( x1 ,, x n ) T 的优化模型 s.t. gi ( x) 0, i 1, 2,, m x是决策变量 线性规划(LP) 二次规划(QP) 非线性规划(NLP) f(x)是目标函数 数学规划 0-1整数规划 一般整数规划 纯整数规划(PIP) 混合整数规划(MIP) gi(x)0是约束条件
结果为： x = 9.0000 0.0000 fval =360 即只需聘用9个一级检验员.
注：本问题应还有一个约束条件：x1、x2取整数.故它是
一个整数线性规划问题.这里把它当成一个线性规划来解， 求得其最优解刚好是整数：x1=9，x2=0，故它就是该整数 规划的最优解.若用线性规划解法求得的最优解不是整数， 将其取整后不一定是相应整数规划的最优解，这样的整数 规划应用专门的方法求解.
[2] x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB, X0） 注意：[1] 若没有等式约束: Aeq X beq , 则令Aeq=[ ], beq=[ ]. [2]其中X0表示初始点 4. 命令：[x,fval]=linprog(…) 返回最优解ｘ及ｘ处的目标函数值fval.
min z 13x1 9x2 10x3 11x4 12x5 8x6
第三讲 二元一次不等式组与简单的线性规划问题
4
y3
2
o
2
4
6
8
x
x 2y 8 0
x4
设甲、乙两种产品分别生产x、y件,由己知 条件可得二元一次不等式组：
x 2 y 8, 4 x 16, 4 y 12, x 0, y 0.
y
4
y3
2
o
2
4
6
8
x
x 2y 8 0
B (-1,-1)
1
（2，-1） A
例 2、
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件 甲产品使用4个A配件耗时1h, 每生产一件乙产品使用4个B配 件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配 件,按每天工作8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?
把有关数据列表表示如下: 甲产品 (1件) 乙产品 (1件) 0 4 2
y
o
x
x+y=0
y
(x。,y。)
x+y>0
o
x
(x , y)
0
x+y<0
x+y=0
点 的集合{（x，y）|x-y+1=0}表示 什么图形？
想 一 想 ？在平面直角坐+1=0
-1 (x，y）
o
x
（x。，y。） x0>x，y=y0 x0-y0+1> x-y+1
x4
若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品 获利3万元,采用哪种生产安排利润最大? 设生产甲产品 x 件，乙产品 y 件时，工厂获得 的利润为 z ，则 z 2 x 3 y.即 y 2 x z 3 3
第三讲 线性规划与非线性规划
1
2 x 2
6 x 2
s.t.
1 1 0 0
1 x1 2 x 2 x1 x 2
2 2
2、 输入命令：
H=[1 -1; -1 2]; c=[-2 ;-6];A=[1 1; -1 2];b=[2;2]; Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0];VUB=[]; [x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
1．先建立M-文件fun.m定义目标函数: function f=fun(x); f=-2*x(1)-x(2);
2．再建立M文件mycon2.m定义非线性约束： function [g,ceq]=mycon2(x) g=[x(1)^2+x(2)^2-25;x(1)^2-x(2)^2-7];
3. 主程序fxx.m为: x0=[3;2.5]; VLB=[0 0];VUB=[5 10]; [x,fval,exitflag,output] =fmincon('fun',x0,[],[],[],[],VLB,VUB,'mycon2')
例 2
min z 6 x1 3 x 2 4 x 3 s .t . x 1 x 2 x 3 120 x1 30 0 x 2 50 x 3 20
min z ( 6
3
x1 4) x 2 x3
s .t .
(0
1
x1 0) x2 50 x 3 x1 1) x 2 120 x 3
1 2
2 x2
s.t.
运筹学03-线性规划
500 / 10 = 50 元
说明在一定范围内每增加（减少）1个台时的设备能力就 可增加（减少）50元利润，称为该约束条件的对偶价格。
21
假设原料 A 增加10 千克时，即 b2变化为410，这时可行域扩大 ，但最优解仍为 x2 = 250 和 x1 + x2 = 300 的交点 x1 = 50 ，x2 = 250 。此变化对总利润无影响，该约束条件的对偶价格为 0。 解释：原最优解没有把原料 A 用尽，有50千克的剩余，因此增 加10千克值增加了库存，而不会增加利润。 在一定范围内，当约束条件右边常数增加1个单位时 （1）若约束条件的对偶价格大于0，则其最优目标函数值得 到改善（变好）； （2）若约束条件的对偶价格小于0，则其最优目标函数值受 到影响（变坏）； （3）若约束条件的对偶价格等于0，则最优目标函数值不变。
C c1 c2 cn
价值向量
a1n a2n a mn
b1 b2 b b m
x1 x2 X x n
a11 a 21 A a m1
1
s.t
约束条件
(2) 线性规划模型标准形式
价值系数
Max
技术系数
Z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 ,, xn 0 b1,b2 , ,bm 0
例1.
目标函数： Max z = 50 x1 + 100 x2
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第三章 不等式 第三讲 线性规划问题
科目 高三数学 班级 姓名 时间 2015-10-02
一．复习目标：
1.能用二元一次不等式(组) 表示平面区域，会求表示区域的面积
2.会求目标函数最值及约束条件、目标函数中的参变量的取值范围.
3.能利用线性规划方法设计解决实际问题的最优方案．
二．学习过程：
(一)知识梳理：阅读课本，自主梳理总结以下几个问题：
1.如何用二元一次不等式(组)表示平面区域？
2.线性规划的相关概念
(1)什么是约束条件？目标函数？线性规划问题？
(2)什么是可行域？可行解？最优解？
3.利用图解法解决线性规划问题的一般步骤
第一步：设出 ，列出 ，确立 ， 第二步：根据约束条件，画出 ，
第三步：作出目标函数的等值线(等值线是指 )． 第四步：求出 ．在可行域内平行移动目标函数等值线，从图中能判定问题有 ，或者是有 ，或是 ． 思考：
(1)点P 1和P 2位于直线Ax ＋By ＋C ＝0的两侧(或异侧)的充要条件是什么？
(2)可行解与最优解有何关系？最优解是否唯一？
(二）题型分析与研究
考点一 二元一次不等式(组)表示平面区域
例1.不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≤≥-+≤-+203062y y x y x 表示的平面区域的面积为
考点二 求目标函数的最值 (常见的目标函数有哪些？)
例3.(1)设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤--≥-+10202y y x y x ，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值
为
(2)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≤-+≥-+≥--083012022y x y x y x ，所表示的区域上一动
点，则直线OM 斜率的最小值为
(3)变量x ，y 满足⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤-+≤+-102553034x y x y x ,(1)设z ＝y x ，求z 的最小值;(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围．
考点三 求线性规划中的参数问题
例3.(1)x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ,若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯．．一．
，则实数a 的值为
(2)当实数x ，y 满足⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤--≤-+101042x y x y x 时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范
围是________．
考点四 线性规划的实际应用
例4.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y ，表示每天的利润W (元)；
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？。