新教材高中数学第五章三角函数5.1.1任意角应用案巩固提升新人教A版必修第一册11

新教材高中数学第五章三角函数5.1.1任意角应用案巩固提升新人教A版必修第一册11
[A 基础达标]
1．下列角的终边位于第二象限的是( )
A．420°B．860°
C．1 060°D．1 260°
解析：选B.420°＝360°＋60°，终边位于第一象限；
860°＝2×360°＋140°，终边位于第二象限；
1 060°＝2×360°＋340°，终边位于第四象限；
1 260°＝3×360°＋180°，终边位于x轴非正半轴．故选B.
2．与1 303°终边相同的角是( )
A．763°B．493°
C．－137°D．－47°
解析：选C.因为1 303°＝4×360°－137°，
所以与1 303°终边相同的角是－137°.
3．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°＜β＜180°}，则A∩B＝( )
A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}
C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°}
解析：选C.令k＝－1，0，1，2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.
4．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是( )
解析：选C.当k＝2n，n∈Z时，n·360°＋45°≤α≤n·360°＋90°，n∈Z；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋225°≤α≤n·360°＋270°，n∈Z.故选C.
5．若角α，β的终边相同，则α－β的终边落在( )
A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上
C．x轴上D．y轴的非负半轴上
解析：选A.因为角α，β的终边相同，故α－β＝k·360°，k∈Z.所以α－β的终边落在x轴的非负半轴上．
6．在0°～360°范围内，与－120°终边相同的角是________．
解析：与－120°终边相同的角为α＝－120°＋k ·360°(k ∈Z )，由0°≤－120°＋
k ·360°＜360°，k ∈Z ，得1
3≤k ＜43
，
又k ∈Z ，
所以k ＝1，此时α＝－120°＋360°＝240°. 答案：240°
7．50°角的始边与x 轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．
解析：顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1 080°，又50°＋(－1 080°)＝－1 030°，故所得的角为－1 030°.
答案：－1 030°
8．终边在第一或第三象限的角的集合是________．
解析：因为终边在第一象限的角的集合为{α|k ·360°<α<90°＋k ·360°，k ∈Z }，终边在第三象限的角的集合为{α|180°＋k ·360°<α<270°＋k ·360°，k ∈Z }，故终边在第一或第三象限的角的集合为{α|k ·180°<α<90°＋k ·180°，k ∈Z }．
答案：{α|k ·180°<α<90°＋k ·180°，k ∈Z }
9．已知角的集合M ＝{α|α＝30°＋k ·90°，k ∈Z }，回答下列问题： (1)集合M 有几类终边不相同的角？
(2)集合M 中大于－360°且小于360°的角是哪几个？ (3)写出集合M 中的第二象限角β的一般表达式．
解：(1)集合M 的角可以分成四类，即终边分别与－150°角，－60°角，30°角，120°角的终边相同的角．
(2)令－360°<30°＋k ·90°<360°，k ∈Z ， 则－133<k <11
3
，k ∈Z ，
所以k ＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，
所以集合M 中大于－360°且小于360°的角共有8个，
分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°. (3)集合M 中的第二象限角与120°角的终边相同， 所以β＝120°＋k ·360°，k ∈Z .
10．已知角β为以O 为顶点，x 轴为始边，逆时针旋转60°所成的角． (1)写出角β的集合S ；
(2)写出S 中适合不等式－360°<β<720°的元素．
解：(1)由题可知，角β的集合S ＝{β|β＝60°＋k ·180°，k ∈Z }．
(2)在S ＝{β|β＝60°＋k ·180°，k ∈Z }中， 取k ＝－2，得β＝－300°， 取k ＝－1，得β＝－120°， 取k ＝0，得β＝60°， 取k ＝1，得β＝240°， 取k ＝2，得β＝420°， 取k ＝3，得β＝600°.
所以S 中适合不等式－360°<β<720°的元素分别是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.
[B 能力提升]
11．若α是第二象限角，那么α
2和2α都不是( )
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
解析：选B.由α是第二象限角可知α
2是第一或第三象限角，2α是第三或第四象限角，
所以α
2
和2α都不是第二象限角．
12．角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角
α＝________．
解析：因为5α与α的始边和终边相同，所以这两个角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝k ·360°，α＝k ·90°.
又180°<α<360°，令k ＝3，得α＝270°. 答案：270°
13．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．
解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k ·360°，k ∈Z ， 因为α，β都是锐角，所以0°＜α＋β＜180°. 取k ＝1，得α＋β＝80°.①
因为α－β＝670°＋k ·360°，k ∈Z .因为α，β都是锐角， 所以－90°＜α－β＜90°.取k ＝－2，得α－β＝－50°.② 由①②，得α＝15°，β＝65°.
[C 拓展探究]
14．如图，一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，若两只蚂蚁同时从点A (1，0)按逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α
角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14秒回到A 点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．
解：根据题意可知14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α＝m ·360°，m ∈Z ，14β＝n ·360°，n ∈Z .
由于两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，又由0°<α<β<180°，知0°<2α<2β<360°，
进而知2α，2β都是钝角， 即90°<2α<2β<180°， 即45°<α<β<90°，
所以45°<α＝m 7·180°<90°，45°<β＝n
7·180°<90°，
所以74<m <72，74<n <7
2.
因为α<β，
所以m <n ，又m ，n ∈Z ， 所以m ＝2，n ＝3， 所以α＝⎝
⎛⎭
⎪⎫3607°，
β＝⎝
⎛⎭
⎪⎫5407°.。