几何中线段的最值问题

D

C

B

A

A

B

C

D

A

B

C

D

几何中线段的最值问题

一、 一条线段的最值问题一 （1）借助旋转求最值 2013通州一模

24．已知：2AD =，4BD =，以AB 为一边作等边三角形ABC .使C 、D 两点落在直线AB 的两侧. （1）如图，当∠ADB=60°时，求AB 及CD 的长；

（2）当∠ADB 变化，且其它条件不变时，求CD 的 最大值，及相应∠ADB 的大小.

2011丰台一模

25.已知:在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，以AB 为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:

（1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ； （2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ； （3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.

A D

B

C

图1 图2 图3

（2）借助直角三角形性质求最值

（1）勾股定理

（2）直角三角形斜边中线等于斜边一半

（3）直角三角形斜边的两条重要的线段，一是斜边上的高，另一个是斜边上的中线，直角三角形斜边上的高是直角顶点到斜边上所有点之中距离最短的，其长度可以用两直角边乘积除

以斜边求得．

【例1】如图，在ΔABC中，∠C=90°，AC=2,BC=1,点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C 随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是

【例2】如图，△ABC 是边长为定值m的正三角形，C点与原点重合，点B在第一象限点，点A 在x轴上。

②求出AC边上的高线BD的长度；

③当点C在y轴的正半轴滑动时，试求出点O到CA距离的最大值；

④已知点P是△ABC内切圆的圆心，请求出OP的最大值。

2011海淀一模

25．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，tan ∠BAC =1

2

. 点D 在边AC 上（不与A ，C 重合），连结BD ，

F 为BD 中点.

（1）若过点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CF 、EF 、CE ，如图1． 设CF kEF ，则k = ； （2）若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得D 、E 、B 三点共线，点F 仍为BD 中点，如图2所示．

求证：BE -DE =2CF ；

（3）若BC =6，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD 中点，

求线段CF 长度的最大值．

B

C

A D

E

F

B D

E

A F

C

B

A

C

1

图2

图备图

2010海淀一模

25.已知：AOB △中，2AB OB ==，COD △中，3CD OC ==,ABO DCO =∠∠. 连接AD 、BC ，点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点.

图1 图2

(1) 如图1，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且60ABO =o ∠，则PMN △的形状是________________，此时

AD

BC

=________； (2) 如图2，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且2ABO α=∠，证明PMN BAO △∽△，并计算AD BC

的值（用含α的式子表示）；

(3) 在图2中，固定AOB △，将COD △绕点O 旋转，直接写出PM 的最大值.

28．正方形ABCD 的边长为3，点E ，F 分别在射线DC ，DA 上运动，且DE=DF ．连接BF ，

作EH ⊥BF 所在直线于点H ，连接CH .

（1）如图1，若点E 是DC 的中点，CH 与AB 之间的数量关系是 ；

（2）如图2，当点E 在DC 边上且不是DC 的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立

给出证明；若不成立，说明理由；

（3）如图3，当点E ，F 分别在射线DC ，DA 上运动时，连接DH ，过点D 作直线DH 的垂线，交直线BF 于

点K ，连接CK ，请直接写出线段CK 长的最大值．

（3）与圆相关

2014燕山

24.如图1，已知ABC ∆是等腰直角三角形，︒=∠90BAC ,点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，使点A 、C 分别在DG 和DE 上，连接 AE ，BG ．

（1）试猜想线段BG 和AE 的数量关系是 ； （2）将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转)3600(︒≤<︒αα， ①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论； ②若4==DE BC ，当AE 取最大值时，求AF 的值．

2013昌平一模

24．在△ABC 中，AB =4，BC =6，∠ACB =30°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1． （1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数； （2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△CBC 1的面积为3，求△ABA 1的面积；

（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转的过程中，点

P 的对应点是点P 1，直接写出线段EP 1长度的最大值与最小值．

C 1

C B

A 1

A

图2

A 1

C 1

A

B

C

图1

图3P

P 1

E A A C 1

2015房山一模

28．如图1，已知线段BC =2，点B 关于直线AC 的对称点是点D ，点E 为射线CA 上一点，且ED =BD ，连接DE ，

BE .

(1) 依题意补全图1，并证明：△BDE 为等边三角形；

(2) 若∠ACB =45°，点C 关于直线BD 的对称点为点F ，连接FD 、FB .将△CDE 绕点D 顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△''C DE ，点E 的对应点为E ′，点C 的对应点为点C ′.

①如图2，当α=30°时，连接'BC ．证明：EF ='BC ；

②如图3，点M 为DC 中点，点P 为线段''

C E 上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM 长度的取值范围？