第五章傅里叶函数

第五章 傅里叶函数 §5.1 傅里叶级数

以上函数是将其展为幂级数，除此外，还有一个常见的情况是将函数展为三角级数（每一项是三角函数），三角函数是周期性。

一般是周期性函数展为三角级数

一．周期函数的傅里叶展开

1、周期是2π的函数即f(x)=f(x+2π)的三角展开为： f(x)=0a +1(cos sin )k k k a kx b kx ∞

=+∑

其中：k a =1

()cos f k d π

πξξξπ

-

⎰

k b =1

()sin f k d π

πξξξπ

-

⎰ (1)

0a =

1

()2f d π

πξξπ

-

⎰

2、周期为2的函数，即f(x)=f(x+2)的三角展开和傅里叶展开： f(x)=0a +1(cos

sin

)k k k k x

k x

a b ππ∞

=+∑

其中：系数：0a =1

()cos 2k f d πξ

ξξ-

⎰

k a =1()cos k f d πξ

ξξ-

⎰

………(2) k b =

1

()sin

k f d πξ

ξξ-

⎰

可将0a 、

k a 合并后来表示：k a =1

()cos

k

k f d πξ

ξξσ-

⎰

k=0、1、2……

其中：k σ= 2..................0.

1.....................k 0k =⎧⎨≠⎩

时

3、三角级数的性质

（1）、周期性

（2）、正交性： 指的是：

1

cos

cos

k n d πξ

πξ

ξ-

⎰

= 1..................

0.....................k k n n =⎧⎨

≠⎩当 (3)

1

sin

sin

k n d πξ

πξ

ξ-

⎰

= 1..................

0.....................k k n n =⎧⎨

≠⎩当 (3)、完备性

1

sin

sin k n d πξ

πξ

ξ-

⎰

=0 略……

完备方程： 当n →∞时，对一致连续f(x)： []2()f x dx -

⎰=22

220

0cos sin .......(4)k k k k k x k x a b ππ∞

∞

==⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑ （4）、狄里希里定理（傅氏级数的收敛性）

周期函数()f x 若满足：（1）处处连续或在每个周期只有有

限个第一关键断点。

（2）、处处连续或在每个周期只有

有限个极值。

则()f x 展开的傅氏级数收敛，且：

级数和 = []()................(5)1

(0)(0) (2)

f x f x f x ⎧

⎨++-⎩连续点间断点 二、奇函数和偶函数的傅里叶展开

1、若周期函数f(x)是奇函数，则因为傅氏展开成0a =0 k a =0 因为三角级数中，没有余弦级数项。

k=1

1

2

()sin

()sin

........(6)f(x)=sin

k k k x

k x

b f d f d k x

b ππξξξξπ-

-

∞

=

=

⎧⎨⎩

⎰

⎰

∑而因为

特点：奇函数在x=0和x=处为零：f(0)=f()=0

2、对于偶函数： 因为 k b =()sin

k x

f d πξξ-⎰的被积函数是奇函数。

所以 k b =0 即级数只在余弦项：

01()cos

........(7)2()cos k k k

k

k x

f x a a k x a f d ππξξ

σ∞

=-

=+⎧

⎨

⎩=∑⎰

2 0

1................k 0k k σ=⎧=⎨

≠⎩ 特点：'()f x 是正弦函数，所以'()f θ='()f =0 三、定义在有限区间的函数的傅里叶展开。

对于在有限区间上有定义的函数，可争取某种拓延的法 ，使其成为某种周期函数g(x),使g(x)在原区间等于f(x), 即可作傅里叶展开。

例如：在（0，）上的f(x)，可构造g(x)(,)∈-

使得在（0，）上有()()g x f x ≡

则g(x)的展开式(,)∈-，显然有（0，）区间 此展开式等于f(x)。

例题1、已知f(x)=x ，(0,)x ∈.试将此函数分别在(0,)上 延拓为偶函数和奇函数： 解：（1） 令.....0()-x............-0

x x g x x ≥≥⎧

=⎨

<<⎩ （偶函数余弦展开）

（2） 令g(x)=x (,)x ∈- （奇函数正弦展开）