第三章-一元线性回归模型
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Econometrics
第三章一元线性回归模型（教材第二、三章）
第三章一元线性回归模型
3.1 回归的涵义
3.2 随机扰动项的来源
3.3 参数的最小二乘估计
3.4 参数估计的性质
3.5 显著性检验
3.6 拟合优度
3.7 预测
学习要点
回归模型的涵义，参数的OLS估计及其性质，显著性检验
3.1 回归的涵义
回归分析（regression analysis ）
f 用于研究一个变量（称为被解释变量或应变量）与另一个或多个变量（称为解释变量或自变量）之间的关
系。
f Y 代表被解释变量，X 代表解释变量；解释变量有多个时，用X
1，X 2，X 3等表示。
f 例：商品的需求量与该商品价格、消费者收入以及其他竞争性商品价格之间的关系。
总体回归函数（f 例：学生的家庭收入与数学分数有怎样的关系？
3.1 回归的涵义
3.1 回归的涵义
总体回归函数（population regression function，PRF）
f根据上面数据做散点图
3.1 回归的涵义
总体回归函数（f 上图中，圆圈点称为条件均值；条件均值的连线称为总体回归线。
3.1 回归的涵义
样本回归函数（sample regression function, SRF ）
f 实际中往往无法获得整个总体的数据，怎么估计总体回归函数？即如何求参数B 1、B 2？
f 通常，我们仅仅有来自总体的一个样本。f 我们的任务就是根据样本信息估计总体回归函数。
f 怎么实现？
3.1 回归的涵义
样本回归函数（sample regression function, SRF ）
f 表2-2、2-3的数据都是从表2-1中随机抽取得到的。
3.1 回归的涵义
样本回归函数（sample regression function, SRF）
f通过散点得到两条“拟合”样本数据的样本回归线。
3.1 回归的涵义
样本回归函数（f 可用样本回归函数（
3.1 回归的涵义
样本回归函数（sample regression function, SRF）
f回归分析：根据样本回归函数估计总体回归函数。
3.1 回归的涵义
“线性”回归的特殊含义
f 对“线性”有两种解释：变量线性和参数线性。变量线性：例如前面的总体（或样本）回归函数；下
3.2 随机扰动项的来源
f 总体回归函数说明在给定的家庭收入下，美国学生平均的数学分数。
f 但对于某一个学生，他的数学分数可能与该平均水平有偏差。
f 可以解释为，个人数学分数等于这一组的平均值加上或减去某个值。用数学公式表示为：
其中，表示随机扰动项，简称扰动项。扰动项是一个随机变量，通常用概率分布来描述。
12i i i
Y B B X u =++i u
3.2 随机扰动项的来源
f 对于回归模型
f 称为被解释变量（explained variable ）
也称应变量或因变量（dependent variable ）称为解释变量（explanatory variable ）
也称自变量（independent variable ）
称为参数（parameter ）
称为随机扰动项（random error term ）
12i i i
Y B B X u =++i u i Y i X 12,B B
3.2 随机扰动项的来源
f 上式如何解释？
可以认为，在给定家庭收入水平
3.2 随机扰动项的来源
f
3.2 随机扰动项的来源
f性质1：扰动项代表了未纳入模型变量的影响。例如
个人健康状况、居住区域等等。
包括了决定数学分数的所有变量，其内在随机性也不
可避免，这是做任何努力都无法解释的。
等于真实值。
f性质4：“奥卡姆剃刀原则”——即描述应该尽可能
简单，只要不遗漏重要的信息，此时可以把影响Y的
次要因素归入随机扰动项。
3.3 参数的最小二乘估计
参数估计：普通最小二乘法（OLS ）
f 根据样本回归函数估计总体回归函数，要回答两个问题：
如何估计PRF ？
如何验证估计的PRF 是真实的PRF 的一个“好”的估计值？
f 这里先回答第一个问题。
f 回归分析中使用最广泛的是普通最小二乘法（method of ordinary least squares, OLS ）
3.3 参数的最小二乘估计
参数估计：普通最小二乘法（OLS ）
f 最小二乘原理：由于不能直接观察PRF ：所以用SRF
来估计它，因而f 最好的估计方法是，选择使得残差尽可能小。12i i i
Y B B X u =++12i i i Y b b X e =++12ˆ i i i
i i
i i
e Y Y Y Y Y b b X =−=−=−−实际的估计的12b b 、i e
3.3 参数的最小二乘估计
参数估计：普通最小二乘法（f 普通最小二乘法就是要选择参数方和
3.3 参数的最小二乘估计
参数估计：普通最小二乘法（f 如何确定根据微积分，当