2000-2019-(近20年)考研数学一真题

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历年考研数学一真题及答案(1987-2013)

2019年考研数学一真题附答案解析

2019年考研数学一真题解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】（C ）【详解】当0x →时，331tan ()3x x x o x =++，所以331tan ()3x x x o x -=-+，所以3k =． 2．设函数,0()ln ,0x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则0x =是()f x 的（）（A ）可导点，极值点（B ）不可导的点，极值点（C ）可导点，非极值点（D ）不可导点，非极值点【答案】（B ）【详解】（1）01ln(00)lim ln lim 0,(00)lim 0,(0)01x x x x f x x f x x f x++-→→→-+===-===，所以函数在0x =处连续；（2）0ln (0)lim x x xf x++→'==-∞，所以函数在0x =处不可导；（3）当0x <时，2(),()20f x x f x x '=-=->，函数单调递增；当10x e<<时，()1ln 0f x x '=+<，函数单调减少，所以函数在0x =取得极大值．3．设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（）（A ）1n n u n ∞=∑ （B ）11(1)n n n u ∞=-∑ (C ）111n n n u u ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ （D ）2211()n n n u u ∞+=-∑【答案】（D ）【详解】设{}n u 是单调增加的有界数列，由单调有界定理知lim n n u →∞存在，记为lim n n u u →∞=；又设n ∀，满足n u M ≤，则221111()()2()n n n n n n n n u u u u u u M u u ++++-=+-≤-，且2210n n u u +-≥，则对于正项对于级数2211()n n n uu ∞+=-∑，前n 项和：221111111()2()2()22nnn k kk k n n k k S uu M u u M u u Mu Mu ++++===-≤-=-≤→∑∑也就是2211()n n n uu ∞+=-∑收敛．4．设函数2(,)xQ x y y=，如果对于上半平面(0)y >内任意有向光滑封闭曲线C 都有 (,)(,)0CP x y dx Q x y dy +=⎰那么函数(,)P x y 可取为（）（A ）22x y y - （B ）221x y y - （C ）11x y- （D ）1x y -【答案】（D ）【详解】显然，由积分与路径无关条件知21P Q y x y ∂∂≡=∂∂，也就是1(,)()P x y C x y=-+，其中()C x 是在(,)-∞+∞上处处可导的函数．只有（D ）满足．5．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是（）（A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222123y y y ---【答案】（C ）【详解】假设λ是矩阵A 的特征值，由条件22A A E +=可得220λλ+-=，也就是矩阵A 特征值只可能是1和2-．而1234A λλλ==，所以三个特征值只能是1231,2λλλ===-，根据惯性定理，二次型的规范型为222123y y y --．6．如图所示，有三张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程123(1,2,3)i i i i a x a y a z d i ++==组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则（）（A ）()2,()3r A r A == （B ）()2,()2r A r A == （C ）()1,()2r A r A == （D ）()1,()1r A r A == 【答案】（A ）【详解】(1)显然三个平面没有共同交点，也就是非齐次方程组无解，从而()()r A r A <；（2）从图上可看任何两个平面都不平行，所以()2r A ≥；7．设,A B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是（）（A ）()()()P A B P A P B =+ （B ） ()()()P AB P A P B =（C ）()()P AB P B A = （D ）()()P AB P AB =【答案】（C ）【详解】选项（A ）是,A B 互不相容；选项（B ）是,A B 独立，都不能得到()()P A P B =；对于选项（C ），显然，由()()(),()()()P AB P A P AB P B A P B P AB =-=-，()()()()()()()()P AB P B A P A P AB P B P AB P A P B =⇔-=-⇔=8．设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ．则{1}P X Y -<（）（A ）与μ无关，而与2σ有关（B ）与μ有关，而与2σ无关（C ）与μ，2σ都有关（D ）与μ，2σ都无关【答案】（A ）【详解】由于随机变量X 与Y 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ，则2~(0,2)X Y N σ-，从而{1}{11}21P X Y P X Y P -<=-≤-<=≤≤=Φ- 只与2σ有关．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．设函数()f u 可导，(sin sin )z f y x xy =-+，则11cos cos z zx x y y∂∂⋅+⋅=∂∂ ．【答案】cos cos y x x y+ 解：cos (sin sin ),cos (sin sin )z zx f y x y y f y x x x y∂∂''=-⋅-+=⋅-+∂∂ 11cos cos cos cos z z y xx x y y x y∂∂⋅+⋅=+∂∂ 10．微分方程2220yy y '--=满足条件(0)1y =的特解为y = ．【答案】y =【详解】把方程变形2220yy y '--=得22()()20y y '--=，即222(2)22x d y dx y Ce y y +=⇒+=⇒=+由初始条件(0)1y =确定3C =，所以y =11.幂级数1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑在(0,)+∞内的和函数()S x = . 看不清楚题目是1(1)(2)!n n n x n ∞=-∑还是0(1)(2)!n n n x n ∞=-∑，我以1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑给出解答．【答案】1【详解】注意20(1)cos ,(,)(2)!n nn x x x n ∞=-=∈-∞+∞∑，从而有：110(1)(1)(1)11,(0,)(2)!(2)!(2)!n n n n nn n n n x x n n n ∞∞∞===---==-=∈+∞∑∑∑ 12．设∑为曲面22244(0)x y z z ++=≥的上侧，则∑= ．【答案】32.3【详解】显然曲面∑在xOy 平面的投影区域为22{(,)|4}xy D x y x y =+≤22220432dxdy dxdy 2sin 3x y y y d r dr πθθ∑∑+≤====⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 13．设123(,,)A ααα=为三阶矩阵，若12,αα线性无关，且3122ααα=-+，则线性方程组0Ax =的通解为．【答案】121x k -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，其中k 为任意常数．【详解】显然矩阵A 的秩()2r A =，从而齐次线性方程组0Ax =的基础解系中只含有一个解向量．由3122ααα=-+可知12320ααα-+-=也就是121x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭为方程组基础解系，通解为121x k -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，其中k 为任意常数．14．设随机变量X 的概率密度为,02()20,xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，()F x 为其分布函数，()E X 其数学期望，则{()()1}P F X E X >-= ．【答案】2.3【详解】20,01(){},0241,2x F x P X x x x x <⎧⎪⎪=≤=≤<⎨⎪≥⎪⎩，2204()23x E X dx ==⎰．012{()()1}{()}{133P F X E X P F X P X >-=>=>=-=三、解答题15．（本题满分10分）设函数()y x 是微分方程22x y xy e-'+=满足条件(0)0y =的特解．（1）求()y x ；（2）求曲线()y y x =的凸凹区间及拐点．【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程．先求解对应的线性齐次方程0y xy '+=的通解：22x y Ce -=，其中C 为任意常数；再用常数变易法求22x y xy e-'+=通解，设22()x y C x e-=为其解，代入方程，得2222(),()1x x C x eeC x --''==，1()1C x dx x C ==+⎰，也就是通解为：221()x y x C e-=+把初始条件(0)0y =代入，得10C =，从而得到22().x y x xe -=（2）2222232222(),()(1),()(3)(x x x x y x xey x ex y x x x ex x x e----'''==-=-=令()0y x ''=得1230,x x x ===．当x <0x <<0y ''<，是曲线的凸区间；当0x <<或x >0y ''>，是曲线的凹区间．曲线的拐点有三个，分别为3322()--．16．（本题满分10分）设,a b 为实数，函数222z ax by =++在点(3,4)处的方向导数中，沿方向34l i j =--的方向导数最大，最大值为10．（1）求常数,a b 之值；（2）求曲面222(0)z ax by z =++≥的面积．【详解】（1）222z ax by =++，则2,2z zax by x y∂∂==∂∂；所以函数在点(3,4)处的梯度为()(3,4)(3,4)|,6,8z z gradf a b x y ⎛⎫∂∂==⎪∂∂⎝⎭；gradf = 由条件可知梯度与34l i j =--方向相同，且10gradf ==．也就得到2683410a b⎧=⎪--=解出11a b =-⎧⎨=-⎩或11a b =⎧⎨=⎩（舍）．即11a b =-⎧⎨=-⎩．（2）22202133Sx y S dS d ππθ+≤====⎰⎰⎰⎰⎰． 17．（本题满分10分）求曲线sin (0)xy e x x -=≥与x 轴之间形成图形的面积．【详解】先求曲线与x 轴的交点：令sin 0x e x -=得,0,1,2,x k k π==当2(21)k x k ππ<<+时，sin 0xy e x -=>；当2(22)k x k πππ+<<+时，sin 0x y e x -=<．由不定积分1sin (sin cos )2x xe xdx e x x C --=-++⎰可得 2221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππ+---=+⎰，22221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππππ+----+=-+⎰所求面积为22202200220022220sin sin sin 11(1)(1)2211111(1)(1)22121k k xxx k k k k k k k k k k S exdx e xdx e xdxe e e e e e e e e e ππππππππππππππππππ∞∞+∞++---+==∞∞-----==-∞-----===-=++++=+=+=--∑∑⎰⎰⎰∑∑∑18．（本题满分10分）设1(0,1,2,)n a x n ==⎰（1）证明：数列{}n a 单调减少，且21(2,3,)2n n n a a n n --==+；（2）求极限1lim n n n a a →∞-．【详解】（1）证明：1n a x =⎰，110(0,1,2,)n n a x n ++==⎰当(0,1)x ∈时，显然有1n nxx +<，1110(0n n n n a a x x ++-=-<⎰，所以数列{}n a 单调减少；先设220sin cos ,0,1,2,nn n I xdx dx n ππ===⎰⎰则当2n ≥时，12222202sin sin cos (1)sin cos (1)()nn n n n n I xdx xd x n x xdxn I I πππ---==-=-=--⎰⎰⎰也就是得到22,0,1,1n n n I I n n ++==+令sin ,[0,]2x t t π=∈，则122222201sin cos sin sin 2nnn n n n n a xt tdt dt tdt I I I n πππ++===-=-=+⎰⎰⎰⎰ 同理，2211n n n n a I I I n --=-=-综合上述，可知对任意的正整数n ，均有212n n a n a n --=+，即21(2,3,)2n n n a a n n --==+；（2）由（1）的结论数列{}n a 单调减少，且21(2,3,)2n n n a a n n --==+ 2111111222n n n n n a n n n a a a n n a n ------=>⇒>>+++ 令n →∞，由夹逼准则，可知1lim1nn n a a →∞-=．19．（本题满分10分）设Ω是由锥面222(2)(1)(01)x y z z +-=-≤≤与平面0z =围成的锥体，求Ω的形心坐标．【详解】先计算四个三重积分：22211120(2)(1)1(1)3zD x y z dv dz dxdy dzdxdy z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211120(2)(1)(1)12zD x y z zdv zdz dxdy zdzdxdy z z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211(2)(1)0zD x y z xdv dz xdxdy dzxdxdy Ω+-≤-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211120(2)(1)22(1)3zD x y z ydv dz ydxdy dzydxdy z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 0xdvx dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，2ydvy dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，14zdvz dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．从而设形心坐标为1(,,)(0,2,)4x y z =．注：其实本题如果明白本题中的立体是一个圆锥体，则由体积公式显然13dv πΩ=⎰⎰⎰，且由对称性，明显0x =，2y =．20．（本题满分11分）设向量组1231112,3,123a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为3R 空间的一组基，111β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标为1b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭．（1）求,,a b c 之值；（2）证明：23,,ααβ也为3R 空间的一组基，并求23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵．【详解】（1）由123b c βααα=++可得11231231b c b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解方程组，得32.2a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩且当3a =时，()123111111,,23301110123012ααα===≠，即123,,ααα线性无关，确实是3R 空间的一组基．（2）()23111111,,33100220231011ααβ==-=≠-，显然23,,ααβ线性无关，当然也为3R 空间的一组基．设()()23123,,,,a P αβααα=，则从23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵为()()1123123111111011111110,,,,3312330.50.512330.501231123 1.50.501230.500P ααβααα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪===--=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21．（本题满分11分）已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似．（1）求,x y 之值；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=．【详解】（1）由矩阵相似的必要条件可知：A BtrA trB⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2(24)241x y x y --+=-⎧⎨-+=+⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩．（2）解方程组221232(2)(2)(1)0002E A λλλλλλλ+--=--=+-+=+得矩阵A 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-；分别求解线性方程组()0(1,2,3)i E A x i λ-==得到分属三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231112,1,2004ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()1123111,,212004P ξξξ-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭，则1P 可逆，且11212P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；同样的方法，可求得属于矩阵B 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231100,3,00014ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()2123110,,030001P ηηη-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则2P 可逆，且12212P BP -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；由前面111122P AP P BP --=，可知令112111212004P PP --⎛⎫⎪==-- ⎪⎪⎝⎭，就满足1P AP B -=． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为：{1}P Y p =-=，{1}1P Y p ==-，(01)p <<．令Z XY =．（1）求Z 的概率密度；（2）p 为何值时，,X Z 不相关；（3）此时，,X Z 是否相互独立．【详解】（1）显然X 的概率密度函数为,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩．先求Z XY =的分布函数：(){}{}{,1}{,1}(1){}{}1()(1())Z X X F z P Z z P XY z P X z Y P X z Y p P X z pP X z F z p F z =≤=≤=≤=+≥-=-=-≤+≥-=-+--（）再求Z XY =的概率密度：,0()(())()(1)()0,0(1),0z Z Z X X z pe z f z F z pf z p f z z p e z -⎧<⎪'==-+-==⎨⎪->⎩（2）显然()1,()1;()12E X D X E Y p ===-；由于随机变量,X Y 相互独立，所以()()()()12E Z E XY E X E Y p ===-；22()()()()24E XZ E X Y E X E Y p ===-；(,)()()()12COV X Z E XZ E X E Z p =-=-；要使,X Z 不相关，必须(,)()()()120COV X Z E XZ E X E Z p =-=-=，也就是0.5p =时,X Z 不相关；（3）,X Z 显然不相互独立，理由如下：设事件{1}A X =>，事件{1}B Z =<，则11(){1}x P A P X e dx e +∞--=>==⎰；11(){1}{1,1}{1,1}12P B P Z P X Y P X Y e -=<=>-=-+<==-；11(){1,1}{1,1}(1,}{1}{1}P AB P X Z P X XY P X Y P X P Y pe x -=><=><=><=>⋅=-=，当0.5p =时，显然()()()P AB P A P B ≠，也就是,X Z 显然不相互独立．23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为22()2,()0,x A e x f x x μσμσμ--⎧⎪≥=⎨⎪<⎩，其中μ是已知参数，σ是未知参数，A 是常数，12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本．（1）求常数A 的值；（2）求2σ的最大似然估计量．【详解】（1）由()1f x dx +∞-∞=⎰可知222()201x Aedx ed μσμσ---+∞+∞===⎰⎰所以A =似然函数为212()22121,(,,;)(,)0,ni i X n n i n i n i A ex L X X X f x μσμσσσ=--=⎧∑⎪⎪≥==⎨⎪⎪⎩∏其他，取对数，得22212211ln (,,,;)ln ln()()22nn ii n L X X X n A Xσσμσ==---∑11 解方程221222221ln (,,,;)11()0()22()n n i i d L X X X n X d σμσσσ==-+-=∑，得未知参数2σ的最大似然估计量为2211()ni i X n σμ==-∑．。

2000考研数一真题答案及详细解析

2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题
(1)【答案】
4
【详解】 I 1 2x x2 dx 1 1 (x 1)2 dx
0Байду номын сангаас
0
解法 1：用换元积分法：设 x 1 sin t ，当 x 0 时，sin t 1，所以下限取；当 x 1 2
时， sin t 0 ，所以上限取 0 .
f
(x,
y,
z)dS
若f (x, y, z)关于y为奇函数若f (x, y, z)关于y为偶函数
其中 S1 S {y 0} .
性质 3：设 f (x, y, z) 在分块光滑曲面 S 上连续， S 关于 xoy 平面对称，则
0
S
f
(x,
y,
z)dS
2
S1
f
(x,
y,
z)dS
若f (x, y, z)关于z为奇函数若f (x, y, z)关于z为偶函数
性无关知， r 1,, m r 1,, m m, 因此 1,, m 线性无关，充分性成立；当m
= 1时，考虑1 (1, 0)T , 1 (0,1)T 均线性无关，但1 与 1 并不是等价的，必要性不成立.
(D) 剩下(D)为正确选项. 事实上，矩阵 A 1,, m 与矩阵 B 1,, m 等价 ⇔ r A =r B ⇔ r 1,, m r 1,, m m, 因此是向量组 1,, m 线性无关的充要
1
lim
x0
2 1
ex
4
ex
sin x
x
1.
四【详解】根据复合函数的求导公式，有
z x
f1 ' y
f

2000年-2019年考研数学一历年真题（完整版）

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)1202x x dx -⎰=_____________.(2)曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________. (3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________.(4)已知方程组12312112323120x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦无解,则a = _____________.(5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为19,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当a xb <<时,有(A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x >(C)()()()()f x g x f b g b >(D)()()()()f x g x f a g a >(2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部分,则有 (A)14SS xdS xdS =⎰⎰⎰⎰(B)14SS ydS xdS =⎰⎰⎰⎰(C)14SS zdS xdS =⎰⎰⎰⎰(D)14SS xyzdS xyzdS =⎰⎰⎰⎰(3)设级数1nn u∞=∑收敛,则必收敛的级数为(A)1(1)nn n un ∞=-∑(B)21nn u∞=∑(C)2121()n n n uu ∞-=-∑(D)11()nn n uu ∞+=+∑(4)设n 维列向量组1,,()m m n <αα 线性无关,则n 维列向量组1,,m ββ 线性无关的充分必要条件为(A)向量组1,,m αα 可由向量组1,,m ββ 线性表示 (B)向量组1,,m ββ 可由向量组1,,m αα 线性表示(C)向量组1,,m αα 与向量组1,,m ββ 等价 (D)矩阵1(,,)m =A αα 与矩阵1(,,)m =B ββ 等价(5)设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,则随机变量X Y ξ=+与 X Y η=-不相关的充分必要条件为(A)()()E X E Y =(B)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y -=-(C)22()()E X E Y =(D)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y +=+三、(本题满分6分)求142e sin lim().1exx xxx→∞+++四、(本题满分5分)设(,)()x xz f xy g y y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数,求2.z x y∂∂∂五、(本题满分6分)计算曲线积分224L xdy ydxI x y -=+⎰ ,其中L 是以点(1,0)为中心,R 为半径的圆周(1),R >取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间0x >内任意的光滑有向封闭曲面,S 都有2()()e 0,x Sxf x dydz xyf x dzdx zdxdy --=⎰⎰其中函数()f x 在(0,)+∞内具有连续的一阶导数,且0lim ()1,x f x +→=求()f x .七、(本题满分6分) 求幂级数113(2)nn nn x n ∞=+-∑的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.八、(本题满分7分)设有一半径为R 的球体0,P 是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到0P 距离的平方成正比(比例常数0k >),求球体的重心位置.九、(本题满分6分)设函数()f x 在[0,]π上连续,且()0,()cos 0.f x dx f x xdx ππ==⎰⎰试证:在(0,)π内至少存在两个不同的点12,,ξξ使12()()0.f f ξξ==十、(本题满分6分)设矩阵A 的伴随矩阵*10000100,10100308⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 且113--=+ABA BA E ,其中E 为4阶单位矩阵,求矩阵B .十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n 年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为n x 和,n y 记成向量.n n x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求11n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭与n n x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的关系式并写成矩阵形式:11.n n n n x x y y ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A(2)验证1241,11-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ηη是A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.(3)当111212x y ⎛⎫⎪⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭时,求11.n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为(01)p p <<,各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X ,求X 的数学期望()E X 和方差()D X .十三、(本题满分6分)设某种元件的使用寿命X 的概率密度为2()2e (;)0x x f x x θθθθ-->⎧=⎨≤⎩,其中0θ>为未知参数.又设12,,,n x x x 是X 的一组样本观测值,求参数θ的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设e (sin cos )(,x y a x b x a b =+为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)222z y x r ++=,则(1,2,2)div(grad )r -= _____________.(3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)设24+-=A A E O ,则1(2)--A E = _____________.(5)()2D X =,则根据车贝晓夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P _____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y '=的图形为(A) (B)(C) (D)(2)设),(y x f 在点(0,0)的附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f 则 (A)(0,0)|3dz dx dy =+(B)曲面),(y x f z =在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}(C)曲线(,)0z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}(D)曲线(,)0z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}(3)设0)0(=f 则)(x f 在x =0处可导⇔(A)20(1cos )lim h f h h→-存在(B) 0(1e )lim h h f h→-存在(C)2(sin )limh f h h h →-存在(D)hh f h f h )()2(lim-→存在(4)设1111400011110000,11110000111100⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ,则A 与B (A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似(D)不合同且不相似(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 相关系数为(A) -1 (B)0(C)12(D)1三、(本题满分6分)求2arctan e e xxdx ⎰.四、(本题满分6分) 设函数),(y x f z =在点(1可微,且3)1,1(,2)1,1(,1)1,1(='='=y x f f f ,)),(,()(x x f x f x =ϕ,求13)(=x x dxd ϕ.五、(本题满分8分)设()f x = 21a r c t a n 010x x x x x +≠=,将)(x f 展开成x 的幂级数,并求∑∞=--1241)1(n n n的和.六、(本题满分7分) 计算222222()(2)(3)LI y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰ ,其中L 是平面 2=++z y x 与柱面1=+y x 的交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分)设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f .证明:(1)对于)1,0()0,1( -∈∀x ,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使 )(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立.(2)5.0)(lim 0=→x x θ.八、(本题满分8分)设有一高度为t t h )((为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间?九、(本题满分6分)设12,,,s ααα 为线性方程组=AX O 的一个基础解系,1112221223121,,,s s t t t t t t =+=+=+βααβααβαα ,其中21,t t 为实常数,试问21,t t 满足什么条件时12,,,s βββ 也为=AX O 的一个基础解系?十、(本题满分8分)已知三阶矩阵A 和三维向量x ,使得2,,A A x x x 线性无关,且满足3232=-A A A x x x .(1)记2(,,),=P A A x x x 求B 使1-=A PBP . (2)计算行列式+A E .十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为(01),p p <<且中途下车与否相互独立.Y 为中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率. (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.十二、(本题满分7分)设2~(,)X N μσ抽取简单随机样本122,,,(2),n X X X n ≥样本均值∑==ni i X n X 2121,∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2(,求().E Y2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)⎰∞+exx dx2ln = _____________.(2)已知2e 610y xy x ++-=,则(0)y ''=_____________. (3)02='+''y y y 满足初始条件1(0)1,(0)2y y '==的特解是_____________. (4)已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型216y f =,则a =_____________.(5)设随机变量),(~2σμN X ,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为0.5,则μ=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)考虑二元函数),(y x f 的四条性质:①),(y x f 在点),(00y x 处连续, ②),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数连续, ③),(y x f 在点),(00y x 处可微, ④),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数存在. 则有:(A)②⇒③⇒① (B)③⇒②⇒① (C)③⇒④⇒①(D)③⇒①⇒④(2)设0≠n u ,且1lim =∞→n n u n ,则级数)11()1(11+++-∑n n n u u 为(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛性不能判定.(3)设函数)(x f 在+R 上有界且可导,则 (A)当0)(lim =+∞→x f x 时,必有0)(lim ='+∞→x f x(B)当)(lim x f x '+∞→存在时,必有0)(l i m ='+∞→x f x(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时,必有0)(lim 0='+→x f x (D) 当)(lim 0x f x '+→存在时,必有0)(lim 0='+→x f x .(4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d z c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设X 和Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y ,分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y ,则(A))(x f X ＋)(y f Y 必为密度函数 (B) )(x f X )(y f Y 必为密度函数 (C))(x F X ＋)(y F Y 必为某一随机变量的分布函数 (D) )(x F X )(y F Y 必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分)设函数)(x f 在0x =的某邻域具有一阶连续导数,且0)0()0(≠'f f ,当0→h 时,若)()0()2()(h o f h bf h af =-+,试求b a ,的值.四、(本题满分7分) 已知两曲线)(x f y =与2arctan 0e x t y dt -=⎰在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限)2(lim nnf n ∞→.五、(本题满分7分) 计算二重积分22max{,}e x y Ddxdy ⎰⎰,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D .六、(本题满分8分)设函数)(x f 在R 上具有一阶连续导数,L 是上半平面(y >0)内的有向分段光滑曲线,起点为(b a ,),终点为(d c ,).记dy xy f y yx dx xy f y y I ]1)([)](1[1222-++=⎰, (1)证明曲线积分I 与路径L 无关.(2)当cd ab =时,求I 的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数∑∞==03)!3()(n nn x x y (+∞<<∞-x )满足微分方程e x y y y '''++=.(2)求幂级数∑∞==03)!3()(n nn x x y 的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy 面,其底部所占的区域为}75|),{(22≤-+=xy y x y x D ,小山的高度函数为),(y x h xy y x +--=2275.(1)设),(00y x M 为区域D 上一点,问),(y x h 在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为),(00y x g ,写出),(00y x g 的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D 的边界线上找出使(1)中),(y x g 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵1234(,,,)=A αααα, 1234,,,αααα均为四维列向量,其中234,,ααα线性无关,1232=-ααα.若1234=+++βαααα,求线性方程组x =A β的通解.十、(本题满分8分) 设,A B 为同阶方阵,(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,A B 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分)设维随机变量X 的概率密度为()f x = 1c o s 0220 xx x≤≤其它对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于3π的次数,求2Y 的数学期望.十二、(本题满分7分) 设总体X 的概率分布为X0 1 2 3P2θ)1(2θθ-2θθ21-其中θ(102θ<<)是未知参数,利用总体X 的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3.求θ的矩估计和最大似然估计值.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1))1ln(12)(cos lim x x x +→ = .(2)曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是 . (3)设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n,则2a = .(4)从2R 的基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭αα到基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵为 . (5)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =60x01x y ≤≤≤其它,则=≤+}1{Y X P .(6)已知一批零件的长度X (单位:cm)服从正态分布)1,(μN ,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则μ的置信度为0.95的置信区间是 .(注:标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数()f x 在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则()f x 有(A)一个极小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点(2)设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A)n n b a <对任意n 成立 (B)n n c b <对任意n 成立 (C)极限n n n c a ∞→lim 不存在(D)极限n n n c b ∞→lim 不存在(3)已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续,且1)(),(lim 2220,0=+-→→y x xyy x f y x ,则 (A)点(0,0)不是(,)f x y 的极值点 (B)点(0,0)是(,)f x y 的极大值点 (C)点(0,0)是(,)f x y 的极小值点(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点 (4)设向量组I:12,,,r ααα 可由向量组II:12,,,s βββ 线性表示,则 (A)当s r <时,向量组II 必线性相关 (B)当s r>时,向量组II 必线性相关(C)当s r <时,向量组I 必线性相关(D)当s r >时,向量组I 必线性相关(5)设有齐次线性方程组0x =A 和0x =B ,其中,A B 均为n m ⨯矩阵,现有4个命题: ① 若0x =A 的解均是0x =B 的解,则秩()≥A 秩()B ② 若秩()≥A 秩()B ,则0x =A 的解均是0x =B 的解 ③ 若0x =A 与0x =B 同解,则秩()=A 秩()B ④ 若秩()=A 秩()B , 则0x =A 与0x =B 同解以上命题中正确的是 (A)①② (B)①③(C)②④(D)③④(6)设随机变量21),1)((~XY n n t X =>,则 (A)2~()Y n χ (B)2~(1)Y n χ-(C)~(,1)Y F n(D)~(1,)Y F n三、(本题满分10分)过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1)求D 的面积A .(2)求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V .四、(本题满分12分)将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.五、(本题满分10分)已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界.试证: (1)sin sin sin sin ee e e yx y xLLx dy y dx x dy y dx ---=-⎰⎰ .(2)sin sin 2e e 2.y x Lx dy y dx π--≥⎰六、(本题满分10分)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为.0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<.问(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深? (2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m 表示长度单位米.)七、(本题满分12分)设函数()y y x =在),(+∞-∞内具有二阶导数,且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1)试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为()y y x =满足的微分方程.(2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.八、(本题满分12分) 设函数()f x 连续且恒大于零,⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ,⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ,其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω,}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1)讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性. (2)证明当0t >时,).(2)(t G t F π>九、(本题满分10分)设矩阵322232223⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,010101001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ,1*-=B P A P ,求2+B E 的特征值与特征向量,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.十、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax , :2l 032=++a cy bx , :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数的数学期望.(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二、(本题满分8分) 设总体X 的概率密度为()f x =2()2e 0x θ--x x θ>≤其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ,记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (1)求总体X 的分布函数()F x . (2)求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ.(3)如果用θˆ作为θ的估计量,讨论它是否具有无偏性.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . (2)已知(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ . (3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为__________.(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===302sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,,(D)αγβ,,(8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得 (A)()f x 在(0,)δ内单调增加(B)()f x 在)0,(δ-内单调减少 (C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f >(D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >(9)设∑∞=1n na为正项级数,下列结论中正确的是(A)若n n na ∞→lim =0,则级数∑∞=1n na收敛(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim ,则级数∑∞=1n na发散(C)若级数∑∞=1n n a 收敛,则0lim 2=∞→n n a n (D)若级数∑∞=1n na发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim(10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=ttydx x f dy t F 1)()(,则)2(F '等于(A)2(2)f(B)(2)f (C)(2)f -(D) 0(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010(C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110(12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(13)设随机变量X 服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于(A)2αu(B)21α-u(C)21α-u(D) α-1u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11,则(A)21Cov(,)X Y nσ=(B)21Cov(,)X Y σ= (C)212)(σnn Y X D +=+(D)211)(σnn Y X D +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分12分)设2e e a b <<<,证明2224ln ln ()eb a b a ->-. (16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时)(17)(本题满分12分) 计算曲面积分,)1(322233d x d y z d z d x y d y d z x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程10nx nx +-=,其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x ,并证明当1α>时,级数1n n x α∞=∑收敛.(19)(本题满分12分)设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值.(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,n n n a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A 是否可相似对角化.(22)(本题满分9分)设,A B 为随机事件,且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,令 ;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数.XY ρ(23)(本题满分9分)设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββ其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本,求:(1)β的矩估计量. (2)β的最大似然估计量.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 _____________.(2)微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为____________. (3)设函数181261),,(222z y x z y x u +++=,单位向量}1,1,1{31=n ,则)3,2,1(nu∂∂=.________.(4)设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域,∑是Ω的整个边界的外侧,则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα,如果1=A ,那么=B .(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X , 再从X ,,2,1 中任取一个数,记为Y , 则}2{=Y P =____________.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→,则()f x 在),(+∞-∞内(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点(8)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ⇔表示"M 的充分必要条件是",N 则必有(A)()F x 是偶函数()f x ⇔是奇函数(B)()F x 是奇函数()f x ⇔是偶函数(C)()F x 是周期函数()f x ⇔是周期函数 (D)()F x 是单调函数()f x ⇔是单调函数(9)设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数,ψ具有一阶导数,则必有(A)2222y ux u ∂∂-=∂∂(B)2222yu x u ∂∂=∂∂(C)222yu y x u ∂∂=∂∂∂(D)222xu y x u ∂∂=∂∂∂(10)设有三元方程ln e 1xz xy z y -+=,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y =(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y = (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y = (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z = (11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ (B)02≠λ(C)01=λ(D)02=λ(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B A B 分别为,A B 的伴随矩阵,则(A)交换*A 的第1列与第2列得*B (B)交换*A 的第1行与第2行得*B (C)交换*A 的第1列与第2列得*-B(D)交换*A 的第1行与第2行得*-B(13)设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为X Y0 1 0 0.4a 1b0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立,则(A)0.2,0.3a b == (B)0.4,0.1a b == (C)0.3,0.2a b ==(D)0.1,0.4a b ==(14)设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,2S 为样本方差,则(A))1,0(~N X n(B)22~()nS n χ(C))1(~)1(--n t SXn (D)2122(1)~(1,1)nii n X F n X=--∑三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分) 设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ,]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y x xy .]1[22 (16)(本题满分12分) 求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数()f x .(17)(本题满分11分)如图,曲线C 的方程为()y f x =,点(3,2)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数()f x 具有三阶连续导数,计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x(18)(本题满分12分)已知函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==. 证明: (1)存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f .(2)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f (19)(本题满分12分)设函数)(y ϕ具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分24()22Ly dx xydyx yφ++⎰的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线,C 有24()202Cy dx xydyx y φ+=+⎰.(2)求函数)(y ϕ的表达式. (20)(本题满分9分)已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.(1)求a 的值；(2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形. (3)求方程),,(321x x x f =0的解. (21)(本题满分9分)已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵12324636k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B (k 为常数),且=AB O ,求线性方程组0x =A 的通解.(22)(本题满分9分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =10 01,02x y x <<<<其它求:(1)(,)X Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X . (2)Y X Z -=2的概率密度).(z f Z (23)(本题满分9分)设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求:(1)i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =. (2)1Y 与n Y 的协方差1Cov(,).n Y Y2006年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)0ln(1)lim 1cos x x x x→+=-. (2)微分方程(1)y x y x-'=的通解是 .(3)设∑是锥面22z x y =+(01z ≤≤)的下侧,则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰ .(4)点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = . (5)设矩阵2112⎛⎫=⎪-⎝⎭A ,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2=+BA B E ,则B = .(6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则{}max{,}1P X Y ≤= .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A)0dx y <<∆ (B)0y dy <∆< (C)0y dy ∆<<(D)0dy y <∆<(8)设(,)f x y 为连续函数,则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于(A)22120(,)x xdx f x y dy -⎰⎰(B)22120(,)x dx f x y dy -⎰⎰(C)22120(,)y ydy f x y dx -⎰⎰(C)22120(,)y dy f x y dx -⎰⎰(9)若级数1nn a∞=∑收敛,则级数(A)1nn a∞=∑收敛 (B)1(1)nn n a ∞=-∑收敛(C)11n n n a a ∞+=∑收敛(D)112n n n a a ∞+=+∑收敛 (10)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1(,)0y x y ϕ≠.已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=(B)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠(C)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=(D)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠(11)设12,,,,s ααα 均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是 (A)若12,,,,s ααα 线性相关,则12,,,,s A αA αA α 线性相关 (B)若12,,,,s ααα 线性相关,则12,,,,s A αA αA α 线性无关(C)若12,,,,s ααα 线性无关,则12,,,,s A αA αA α 线性相关 (D)若12,,,,s ααα 线性无关,则12,,,,s A αA αA α 线性无关.(12)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ,则(A)1-=C P AP (B)1-=C PAP(C)T =C P AP(D)T=C PAP(13)设,A B 为随机事件,且()0,(|)1P B P A B >=,则必有(A)()()P A B P A >(B)()()P A B P B >(C)()()P A B P A = (D)()()P A B P B =(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<则(A)12σσ< (B)12σσ>(C)12μμ<(D)12μμ>三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分10分) 设区域D=(){}22,1,0x y x y x +≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰. (16)(本题满分12分)设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==. 求:(1)证明lim n x x →∞存在,并求之.(2)计算211lim n x n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. (17)(本题满分12分) 将函数()22xf x x x =+-展开成x 的幂级数.(18)(本题满分12分) 设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且()22z fx y =+满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂. (1)验证()()0f u f u u'''+=. (2)若()()10,11,f f '==求函数()f u 的表达式. (19)(本题满分12分) 设在上半平面(){},0D x y y =>内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的0t >都有()()2,,f tx ty t f x y =.证明: 对L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ,都有(,)(,)0Lyf x y dx xf x y dy -=⎰ .(20)(本题满分9分)已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩ 有3个线性无关的解,(1)证明方程组系数矩阵A 的秩()2r =A . (2)求,a b 的值及方程组的通解. (21)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TT=--=-αα是线性方程组0x =A 的两个解.(1)求A 的特征值与特征向量.(2)求正交矩阵Q 和对角矩阵A ,使得T=Q AQ A . (22)(本题满分9分)随机变量x 的概率密度为()()21,1021,02,,40,令其它x x f x x y x F x y ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<=⎨⎪⎪⎪⎩为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(1)求Y 的概率密度()Y f y . (2)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. (23)(本题满分9分)设总体X 的概率密度为(,0)F X = 10θθ- 0112x x <<≤<其它,其中θ是未知参数(01)θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数,求θ的最大似然估计.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)(1)当0x +→时,与x 等价的无穷小量是(A)1ex-(B)1ln1xx+-(C)11x +-(D)1cos x -(2)曲线1ln(1e )x y x=++,渐近线的条数为 (A)0 (B)1 (C)2(D)3(3)如图,连续函数()y f x =在区间[3,2],[2,3]--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[2,0],[0,2]-的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设()()xF x f t dt =⎰.则下列结论正确的是(A)3(3)(2)4F F =-- (B)5(3)(2)4F F =(C)3(3)(2)4F F =(D)5(3)(2)4F F =--(4)设函数()f x 在0x =处连续,下列命题错误的是 (A)若0()limx f x x→存在,则(0)0f =(B)若0()()limx f x f x x→+- 存在,则(0)0f =(C)若0()limx f x x→ 存在,则(0)0f '=(D)若0()()limx f x f x x→-- 存在,则(0)0f '=(5)设函数()f x 在(0, +∞)上具有二阶导数,且"()0f x >, 令()1,2,,,n u f n n == 则下列结论正确的是(A)若12u u >,则{n u }必收敛(B)若12u u >,则{n u }必发散(C)若12u u <,则{n u }必收敛(D)若12u u <,则{n u }必发散(6)设曲线:(,)1L f x y =((,)f x y 具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点,N Γ为L 上从点M 到N 的一段弧,则下列小于零的是(A)(,)x y dx Γ⎰(B)(,)f x y dy Γ⎰(C)(,)f x y ds Γ⎰(D)'(,)'(,)x y f x y dx f x y dy Γ+⎰(7)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线形相关的是 (A),,122331---αααααα (B),,122331+++αααααα (C)1223312,2,2---αααααα(D)1223312,2,2+++αααααα(8)设矩阵211121112--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ,100010000⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ,则A 与B(A)合同,且相似(B)合同,但不相似 (C)不合同,但相似(D)既不合同,也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为()01p p <<,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A)23(1)p p -(B)26(1)p p -(C)223(1)p p -(D)226(1)p p -(10)设随即变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 与Y 不相关,()X f x ,()Y f y 分别表示,X Y 的概率密度,则在Y y =的条件下,X 的条件概率密度|(|)XYf x y 为(A)()X f x(B)()Y f y(C)()X f x ()Y f y (D)()()X Y f x f y二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上) (11)31211e x dx x⎰=_______.(12)设(,)f u v 为二元可微函数,(,)y x z f x y =,则zx∂∂=______. (13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32e x y y y -+=的通解为y =____________. (14)设曲面:||||||1x y z ++=∑,则(||)x y ds ∑+⎰⎰=_____________.(15)设矩阵01000010********⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A ,则3A 的秩为________.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________.三、解答题(17－24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (17)(本题满分11分)求函数 2222(,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)|4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值.(18)(本题满分10分) 计算曲面积分23,I xzdydz zydzdx xydxdy ∑=++⎰⎰其中∑为曲面221(01)4y z x z =--≤≤的上侧.(19)(本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值,()(),()()f a g a f b g b ==,证明:存在(,)a b ξ∈,使得 ()()f g ξξ''''=. (20)(本题满分10分) 设幂级数nn n a x∞=∑ 在(,)-∞+∞内收敛,其和函数()y x 满足240,(0)0,(0) 1.y xy y y y ''''--===(1)证明:22,1,2,.1n n a a n n +==+ (2)求()y x 的表达式. (21)(本题满分11分)设线性方程组1231232123020,40x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321,x x x a ++=-有公共解,求a 的值及所有公共解. (22)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵A 的特征向量值12311,2, 2.(1,1,1)T λλλ===-=-α是A 的属于特征值1λ的一个特征向量,记534,=-+B A A E 其中E 为3阶单位矩阵.(1)验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B .(23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他 (1)求{2}.P X Y >(2)求Z X Y =+的概率密度. (24)(本题满分11分)设总体X 的概率密度为1,021(;),12(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他12,,n X X X 是来自总体x 的简单随机样本,X 是样本均值(1)求参数θ的矩估计量ˆθ.(2)判断24X 是否为2θ的无偏估计量,并说明理由.。

2019考研数学一考试真题答案解析(完整版)

2019考研数学一考试真题答案解析（完整版）来源：文都教育1.3tan 3x x x -- 若要tan x x -与b x 同阶无穷小，3k \=\选C2.①00(0)lim 0x x x f --®-¢==00ln (0)lim lim ln x x x x f x +++¢==不存在0x \=处()f x 不可导②当0x <时2()f x x =-()20f x x ¢=-> ()f x \单增当0x >时()ln f x x x =()ln 1f x x ¢=+ 1(0,e )x -Î时()0f x ¢<.()f x \单减0x \=为()f x 的极值点\选B.3.（D ）∵{a n }单调增加有界∴由单调有界收敛定理可得{u n }极限存在，设lim n n u A →∞=.()2211n n n uu ∞+=-∑则的前n 项和为22222112211n u nn S u u u u u u ++=-++-=-…222111lim lim n n n n S u u A u +→∞→∞=-=-.选（D ）4.由题意知，积分与路径无关则P Q y x∂∂=∂∂存在u (x ,y )使得(,),(,)u u P x y Q x y x y∂∂==∂∂∵xQ =∴(,)()x u x y c x y =-+则1()u P c x x y∂'==-+∂又∵x 可为0∴排除e ，选（D ）5.选（C ）解：由22A A E +=得22λλ=+，λ为A 的特征值，2=-l 或1，又1234A =λλλ=，故1231λ=λ=-2λ=，，规范形为222123y y y --，选（C ）6.选（A ）解：由条件知3张平面无公共交点，方程组无解，故()()r A r A ¹.又两平面交于一条直线，故()2r A =，因此()2,()3,r A r A ==选（A ）.7.选（C ）解：()()()P AB P A P AB =-()()()P B A P B P AB =-()()()()P A P B P AB P B A =\=选（C ）8.解：因为22(,)(,)X N u Y N u s s X 与Y 相互独立2(0,2)X Y N s \-{}121222X YP X Y P s s s -÷ç\-<==F -÷ç÷ç\与u 无关，即与2s 有关选择（A ）9.解析：'(sin sin )(cos )'(sin sin )(cos )z f y x x y x z f y x y x y∂=--+∂∂=-+∂所以11111'(sin sin )(cos )cos '(sin sin )cos cos cos cos cos cos cos cos z z x f y x x y yf y x x x y y x x y y y x x y∂∂+⋅=--⋅+⋅+⋅-+∂∂=+10.解析：2222'202'222yy y y y yy dy dx y --=+==+两边积分得2ln(2)ln y x C+=+22xy Ce +=由y (0)=1得C =3所以32x y e =-11.解析：200(1)(1)()()cos (2)!(2)!n n n n n n s x x x x n n ∞∞==--===∑∑12.解析：2222222222242222004444d 4(4)d d ||d d 2d sin 323x y x y x y x z x y x x y x y y x y y x y r d πθθθ+≤+≤+≤--∑=----====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰13.解：∵12,αα线性无关.∴()2r A ≥∵3132ααα=-+∴()3r A <∴()2r A =∴Ax =0为基础解系有()321n r A -=-=∵12320ααα-+=∴1231(,,)201ααα⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭∴通解为12.1k k R ⎛⎫ ⎪-∈ ⎪ ⎪⎝⎭14.X 的p.d.f 为02()20x x f x else⎧<<⎪=⎨⎪⎩3222200022232231184d d |22236300()024121{()1}{()}{2}2}32d 231412(4)144333x x EX x x x x x x F x x x P F x Ex P F x P x P x x P x x x =⋅====<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩≥-=≥=≥≠<⎫=<<=⎬⎭==-=-=⎰⎰⎰15.解：22()()e x P x x Q x -==∵()d ()d e ()e d P x x P x x y Q x x c -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰22222d d 2222e e e d ee e d e ()x x x x x x x x x x c x c x c -----⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦=+⎰⎰∵y (0)=0∴c=0∴2e x y x -=∴22222222232222()e e ()(1)e ()2e (1)e()(3)e (3)(3)ex x x x x x x y x x x x y x x x x x x x x x -------'=+-=-''=-+--=-=+-令()0y x ''=∴123033x x x ===当30x -<<或3x >()0y x ''>∴y (x )的凹区间为(3,0)和3,)+∞当3x <或03x <<时，()0y x ''<.∴y (x )的凸区间为(,3)3)-∞和所以曲线y (x )的拐点为（0，0），3322(3,3),(3,3--16.解：（1）在点（3，4）处的梯度方向为(3,4)grad |((3,4),(3,4))(6,8)x y z z z a b ''==且(3,4)|grad ||10,z =由题意知36510,48510a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩故1.1a b =-⎧⎨=-⎩（2）由（1）知222z x y =--，由0z ≥得222x y +≤，令22{,|2}D x y x y =+≤，曲面面积为222222200222032221d 14()d 14d 12144)82(14)|43133x y D DS z z x y x y x ya r r rr r r πθπππ''=++=++=+=⨯++=⨯+=⎰⎰⎰17.解析：（1）22e 2x y xy x ¢-=()222222()d 2222e e d 2e e e d 2e d 2e x x xdx x x x x x x y ex C x x C xx C xx C 通解--÷ç÷ç=×+÷ç÷÷ç÷ç÷ç=×+÷ç÷÷ç÷ç=+÷ç÷ç=òòò由e (e f C +0C =所以22()=e x f x x （2）()2222222121222411e d e d e d e =e -e 222x x x xx V x xx xx p p p p p ÷ç÷ç=÷ç÷÷ç=×==òòò18.设1201(0,1,2,)n a x x dx n =-=⎰…（1）证明：数列{}n a 单调减少，且21(2,3,);2n n n a a n n --==+ （2）求1lim .nn n a a →∞-解析（1）1112212100011(1)10.n n n n a a x x dx x x dx x x x dx ----=---=--<⎰⎰⎰则{}n a 单调递减.1/2/2222200011sin sin cos sin (1sin ),2nn n n n n a x x dxx t t tdt t t dt I I I n ππ+=--⋅=⋅-=-=+⎰⎰⎰则2222111,.(2)(2)n n n n n n n a I a a I n n n n ------===++则（2）由（1）知，{}n a 单调递减，则211111, 1.222n n n n n an n n a a a n n n a ------=><<+++即由夹逼准则知，1lim 1.nn n a a →∞-=19.设W 是由锥面()222(1)(01)x y z z z +-=-与平面0z =围成的锥体，求W 的形心坐标.解：令()(){}222(,)1z D x y x y z z =+-£-，形心为(),x y z ，由于W 关于yOz 面对称.故0x =()1010*******20122300120d d d d d d d d d d z+sin d (1)d 311d (1)(1)sin d 233(1)d 14z z D D z z y x y y vy vzx y z r r r z zz z z z z z p p q q p q q p p p W W-===-=-+-=-=òò11200d 31d d d (1)d d z D z vz z x y z z z vpp p W W ===×-=，故W 的形心坐标为110,,÷ç÷ç÷ç.20.（1）由题意可知，123b c b a a a =++即1111112323112323b c b c a b c ab c ++=×+×+=++++023122b c b c a b c ì+=ïïïï++=íïïï+=-ïî即110023111202b c a ×=-110011001100231101110111120201020013A =----101110111002011101020102001300130013-----2,2,3b c a \==-=2323111111(2),,33100220,,231011ααβααβ==-=≠∴-线性无关.且向数量个数为3个23,,ααβ∴是Ｒ3的一个基.2323123123002(,,)2,2)(,,)102011ααβαααααααα⎛⎫ ⎪=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭（,,002102011P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭()123123002100102010102010011001011001100100210011010100121001002110101210021101(,,)01(,,)21002P E P ααβααα-⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪∴=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪∴-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭即23(,,)ααβ到123(,,)ααα的过渡矩阵为11010121002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭21.2212102201000200A x B y --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦与相似（1）1231~413()()242210(2)010(1)(2)(2)00021,2,21211211201242000001210001001000022A Bx y x tr A tr B y x y E B x x A E A E λλλλλλλλλξλ∴-=+=⎧∴=⇒⇒⎨=-+=-⎩---=+=++-=-=-=-=---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+=-→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦=-+=T 时,　＝(-,,)时,()2311321410440125201050211240000000004212122102221200100112004000000211,122040A E P ξλξξξξ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦---⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦T T ＝(-,,)时,　＝(-,,0), 111122P AP --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦1223310310100000113000100041010022010010001000000010010322030001100004000B E x B E x B E x λλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+=→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+=→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦T T 时，（-，，）时，（，，）时，（，，121232212212121211221()22122()1211030122001040130111212004101100()3000006100011011000P x x x P BP B P P B P P A PP P PP P iE -----⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-=---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦--→T ）故＝03310010001101100010001100100311000030100011001103⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦22.（1）随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧<≥-=-0,00,1)(x x e x F x X {}{}{}{}())(1)()1(1,1,)(z F p z F p Y z X P Y z X P z XY P z Z P z F X X Z --+-=-=-≥+=≤=≤=≤=当0<z 时，()z X Z pe z F p z F =--=)(1)(当0≥z 时，()p e p z F p z F p z F z X X Z +--=--+-=-)1)(1()(1)()1()(则⎩⎨⎧≤>-=-0,0,)1()(z pe z e p z f z z Z （2）p EY EX XY E EZ EX 21)(,1-=⋅===()())21(221)()()()()(222p p EX DX Y E X E Y X E XZ E -=-+===当())()(2Z E X E XZ E =时，Z X ,不相关.即)21(221p p -=-，可得21=p .（3）因为{}{}01,1,11,1=≥-=≤=-≤≤X Y X P Z X P 又{}111--=≤e X P ，{}11-=-≤peZ P 则{}{}{}111,1-≤⋅≤≠-≤≤Z P X P Z X P ，故不独立.23.（1）由1222222222)(2)(==-=⎰⎰∞+----∞+πσμσμσμσμμA x d e A dx e A x x 可得：π2=A .（2）设n x x x ,,,21 为样本值，似然函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧>∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--else x x x e L n x n nn i i ,0,,,,2121212122μπσσμσ 当μ>n x x x ,,,21 时，()()()()2122221ln 2ln 2ln 2ln ∑----==n i i x n n L μσσπσ令()()()0)(2112ln 1222222=∑-+-==n i i x n d L d μσσσσ，可得()nx n i ∑=-=1212μσ故2σ的最大似然估计量为()n X n i ∑=-=1212μσ .。

考研数学一真题及答案解析参考

考研数学⼀真题及答案解析参考2019年考研数学⼀真题⼀、选择题，1~8⼩题，每⼩题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有⼀个选项是符合题⽬要求的.1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶⽆穷⼩，则=k . . ..2.设函数>≤=,0,ln ,0,)(x x x x x x x f 则0=x 是)(x f 的A.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，⾮极值点.D.不可导点，⾮极值点.3.设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是A..1∑∞=n n nu B.nn nu 1)1(1∑∞=-. C.∑∞=+-111n n n u u . D.()∑∞=+-1221n n n u u . 4.设函数2),(y xy x Q =，如果对上半平⾯（0>y ）内的任意有向光滑封闭曲线C 都有?=+Cdy y x Q dx y x P 0),(),(，那么函数),(y x P 可取为A.32y x y -.B.321yx y -. C.yx 11-. D.yx 1-. 5.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+，且4=A ，则⼆次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++.B.232221y y y -+. C.232221y y y --.D.232221y y y ---.6.如图所⽰，有3张平⾯两两相交，交线相互平⾏，它们的⽅程组成的线性⽅程组的系数矩阵和增⼴矩阵分别记为A A ,，则A..3)(,2)(==A r A rB..2)(,2)(==A r A rC..2)(,1)(==A r A rD..1)(,1)(==A r A r7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是 A.).()()(B P A P B A P +=Y B.).()()(B P A P AB P = C.).()(A B P B A P =D.).()(B A P AB P =8.设随机变量X 与Y 相互独⽴，且都服从正态分布),(2σµN ，则{}1<-Y X P A.与µ⽆关，⽽与2σ有关. B.与µ有关，⽽与2σ⽆关.C.与2,σµ都有关.D.与2,σµ都⽆关.⼆、填空题：9~14⼩题，每⼩题4分，共24分. 9. 设函数)(u f 可导，,)sin (sin xy x y f z +-=则yz cosy x z cosx +11=. 10. 微分⽅程02'22=--y y y 满⾜条件1)0(=y 的特解=y .11. 幂级数nn n x n ∑∞=-0)!2()1(在)0∞+，（内的和函数=)(x S .12. 设∑为曲⾯)0(44222≥=++z z y x 的上侧，则dxdy z x z--2244=.13. 设），，（321αααA =为3阶矩阵.若21αα，线性⽆关，且2132ααα+-=，则线性⽅程组0=x A 的通解为.14. 设随机变量X 的概率密度为<<=，其他，020,2)(x xx f ）（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）（. 三、解答题：15~23⼩题，共94分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）设函数)(x y 是微分⽅程2'2x e xy y -=+满⾜条件0)0(=y 的特解.（1）求)(x y ；（2）求曲线)(x y y =的凹凸区间及拐点. 16.（本题满分10分）设b a ,为实数，函数222by ax z ++=在点（3，4）处的⽅向导数中，沿⽅向j i l 43--=的⽅向导数最⼤，最⼤值为10.（1）求b a ,；（2）求曲⾯222by ax z ++=（0≥z ）的⾯积. 17.求曲线)0(sin ≥=-x x e y x 与x 轴之间图形的⾯积. 18.设dx x x a n n ?-=1 021，n =（0，1，2…）（1）证明数列{}n a 单调减少，且221-+-=n n a n n a （n =2，3…）（2）求1lim-∞→n nn a a .19.设Ω是锥⾯())10()1(2222≤≤-=-+z z y x 与平⾯0=z 围成的锥体，求Ω的形⼼坐标.20.设向量组TT T a )3,,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321===ααα，为3R 的⼀个基，T)1,1,1(=β在这个基下的坐标为Tc b )1,,(.（1）求c b a ,,.（2）证明32,a a ，β为3R 的⼀个基，并求,,32a a β到321,,a a a 的过度矩阵.21.已知矩阵----=20022122x A 与-=y B 00010012相似（1）求y x ,.（2）求可可逆矩阵P ，使得.1B AP P =-22.设随机变量X 与Y 相互独⽴，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为{}{}),10(,11,1<<-===-=p p Y P p Y P 令XY Z =（1）求z 的概率密度.（2）p 为何值时，X 与Z 不相关. （3）X 与Z 是否相互独⽴?23.（本题满分11分）设总体X 的概率密度为其中µ是已知参数，0>σ是未知参数，A 是常数，n X …X X ，，21来⾃总体X 的简单随机样本.（1）求A ；（2）求2σ的最⼤似然估计量2019年全国硕⼠研究⽣⼊学统⼀考试数学试题解析（数学⼀）9.yxx y cos cos + 10.23-x e 11.x cos 12.332 13. ，T )1,2,1(-k k 为任意常数. 14. 解：（1）)()()(2 222c x ec dx e ee x y x xdxx xdx+=+??=---?，⼜0)0(=y ，故0=c ，因此.)(221x xe x y -=（2）22221221221)1(x x x ex ex ey ----=-='，22222122132121)3()3()1(2x x x x ex x e x x xex xey -----=-=---=''，令0=''y 得3,0±=x所以，曲线)(x y y =的凹区间为)0,3(-和),3(+∞，凸区间为)3,(--∞和)3,0(,拐点为)0,0(，)3,3(2 3---e ，)3,3(23-e .15. 解：（1）)2,2(by ax z =grad ，)8,6()4,3(b a z =grad ，由题设可得，4836-=-ba ，即b a =，⼜()()108622=+=b a z grad ，所以，.1-==b a（2）dxdy y z x z S y x ??≤+??+??+=22222)()(1=dxdy y x y x ??≤+-+-+22222)2()2(1 =dxdy y x y x ??≤+++22222441=ρρρθπd d ??2241=20232)41(12 12ρπ+?= .313π19.由对称性，2,0==y x ，--===ΩΩ102102101)1()1(dz z dz z z dxdy dz dxdy zdz dv zdv z zzD D ππ=.4131121)1()1(1212==--??dz z dz z z20.（1）123=b c βααα++即11112311231b c a ???????? ? ? ? ?++= ? ? ? ? ? ? ? ?????????，解得322a b c =??=??=-?.（2）()23111111=331011231001ααβ→-，，，所以()233r ααβ=，，，则23ααβ，，可为3R 的⼀个基.则()()1231231101=0121002P ααβααα-??=-??，，，，. 21.（1）A 与B 相似，则()()tr A tr B =，A B =，即41482x y x y -=+??-=-?，解得3 2x y =??=-?（2）A 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=20α?? ?- ? ；2=1λ-，22=10α-?? ? ? ???；3=2λ-，31=24α-??. 所以存在()1123=P ααα,,，使得111212P AP -??=Λ=-??-. B 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=00ξ?? ? ?；2=1λ-，21=30ξ?? ?- ? ；3=2λ-，30=01ξ??. 所以存在()2123=P ξξξ,,，使得122212P AP -??=Λ=-??-. 所以112211=P AP P AP --=Λ，即1112112B P P APP P AP ---== 其中112111212004P PP --??==--. 22.解：（I ）Z 的分布函数(){}{}{}{}(){},1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤从⽽当0z ≤时，()z F z pe =；当0z >时，()()()()1111z z F z p p e p e --=+--=--则Z 的概率密度为()(),01,0z zpez f z p e z -. （II ）由条件可得()()()()()()()()()22E XZ E X E Z E X E Y E X E Y D X E Y -=-=，⼜()()1,12D X E Y p ==-，从⽽当12p =时，(),0Cov X Z =，即,X Z 不相关.（III ）由上知当12p ≠时，,X Z 相关，从⽽不独⽴；当12p =时，121111111111,,,,2222222222112P X Z P X XY P X X P X X F e -≤≤=≤≤=≤≥-+≤≤???==- ?⽽12112P X e -??≤=-，121111112222222P Z P X P X e -≤=≤+≥-=-?????? ?????????，显然1111,2222P X Z P X P Z≤≤≠≤≤，即,X Z 不独⽴.从⽽,X Z 不独⽴.23.解：（I ）由()2221x Aedx µσµσ--+∞=?t =201t e dt +∞-==?，从⽽A =（II ）构造似然函数()()22112212,,1,2,,,,,,0,ni i n x i n A e x i n L x x x µσµσσ=--?∑≥= ?=? L L 其他，当,1,2,,i x i nµ≥=L 时，取对数得()22211ln ln ln 22ni i n L n A x σµσ==---∑，求导并令其为零，可得()22241ln 1022nii d L n x d µσσσ==-+-=∑，解得2σ的最⼤似然估计量为()211n ii x n µ=-∑.。

2019考研数学一真题答案

数学期望，则 P{F ( X ) EX − 1} = 【答案】 . 【解答】由条件可得 EX = .
2 3

+
−
xf ( x)dx =
2
0
x2 4 dx = ，且可求得分布函数 2 3
0, x 0, 2 1 2 x F ( x) = , 0 x 2, 故可得 P{F ( X ) EX − 1} = P{F ( X ) } = . 3 3 4 1, x 2.
B. D.
2. 4.
x3 ，所以选 C. 3
2、设函数 f ( x) =
x x , x 0, 则 x = 0 是 f ( x) 的 x ln x, x 0,
B. 不可导点，极值点. D. 不可导点，非极值点.
A. 可导点，极值点. C. 可导点，非极值点. 【答案】B
x →0 x →0
(−1) n n x 在 (0, +) 内的和函数 S ( x) = n = 0 (2n)!

.
【答案】 cos x . 12、设为曲面 x + y + 4 z = 4 ( z 0) 的上侧，则
2 2 2

4 − x 2 − 4 z 2 dxdy =
.
【答案】【解答】
32 . 3
r ( A) = 1, r ( A) = 1.
【答案】A. 【解答】因为 3 张平面无公共交线，则说明方程组 Ax = b 无解，即 r ( A) r ( A) .
又因为 3 张平面两两相交，且交线相互平行，则齐次方程组 Ax = 0 只有一个线性无关解，所以 r ( A) = 2 . 故答案选 A. 7、设 A, B 为随机事件，则 P ( A) = P ( B ) 充分必要条件是 A. P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ). C. P( AB) = P( B A). 【答案】C 【解析】 P( AB) = P( B A) P( A) − P( AB) = P( B) − P( AB) P( A) = P( B) ；选 C.

2019-2021考研数学一真题(含完整答案)

在这个基下的坐标为( b, c,1)飞
(I)求a,b,c; (II)证明生立3 '/J为 R3 的一个基并，求生立3 '/J到叮生立3 的过渡矩阵．
—3—
(21) (本题满分11分）
-2
厂已知矩阵A=
。�
l J与B =
=�
[�
一�]
�]相似．
(I) 求x,y; (II)求可逆矩阵P使得p-1AP = B.
(22) 设随机变量 X1，X2，X3 相互独立，其中 X1 与 X2 均服从标准正态分布，X3 的概率分布为
P {X3
= 0} = P {X3
= 1} =
1 2
，Y
= X3X1 + (1 − X3)X2.
(I) 求二维随机变量 (X1, Y ) 的分布函数，结果用标准正态分布函数 Φ(x) 表示.
=
z−c3 c2
相交于一点，记向量
αi = abii，i = 1, 2, 3，则 (
)
ci
(A)α1 可由 α2，α3 线性表示.
(B)α2 可由 α1，α3 线性表示.
(C)α3 可由 α1，α2 线性表示.
(D)α1，α2，α3 线性无关.
(7)
设 A，B，C
为三个随机事件，且
P (A)
(A)´0x(et2 − 1)dt.
(B)´0x
ln(1
+
√ t3)dt.
) (C)´0sin x sin t2dt.
(D)´01−cos
x
√ sin3
tdt.
(2) 设函数 f (x) 在区间 (−1, 1) 内有定义，且 lim f (x) = 0，则 ( )

2019年全国研究生招生考试考研数学一历年真题及详解

2019年全国研究生招生考试考研数学一真题及详解一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

）1.当x→0时，若x－tanx与xk是同阶无穷小，则k＝（）。

A．1B．2C．3D．4【答案】C【考点】无穷小的比较，泰勒展开式；【解析】tanx在x＝0处的泰勒展开式为：tanx＝x＋（1/3）x3＋o（x3）。

因此当x→0时有x－tanx～－（1/3）x3，即x－tanx与－（1/3）x3是x→0时的等价无穷小，进一步可得x－tanx与x3是同阶无穷小，所以k＝3。

故选C。

2.设函数则x＝0是f（x）的（）。

A．可导点，极值点B．不可导点，极值点C．可导点，非极值点D．不可导点，非极值点【答案】B【考点】函数在一点处的性质；【解析】由于因此f＋′（0）不存在，因此x＝0是f（x）不可导点。

又当－1＜x＜0时，f（x）＝x|x|＜0＝f（0），当0＜x＜1时，f（x）＝xlnx＜0＝f（0）。

因此x＝0是f（x）的极大值点。

故选B。

3.设{un}是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（）。

A．B．C．D．【答案】D【考点】数项级数的收敛性判别；【解析】由单调有界定理，数列{un}的极限存在。

令级数的部分和Sn＝（un＋12－un2）＋（un2－un－12）＋…＋（u22－u12）＝un＋12－u12。

因此故部分和Sn的极限也存在，从而级数收敛。

故选D。

4.设函数Q（x，y）＝x/y2，如果对上半平面（y＞0）内的任意有向光滑封闭曲线C都有那么函数P（x，y）可取为（）。

A．y－x2/y3B．1/y－x2/y3C．1/x－1/yD．x－1/y【答案】D【考点】曲线积分与路径无关的等价条件；【解析】由题意可知，y＞0时积分与路径无关，因而∂Q/∂x＝∂P/∂y＝1/y2，排除选项A和B。

虽然C选项满足上述条件，但其在y轴正半轴无意义，故选D。

5.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵。

考研数学一真题答案解析

P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 ，那么函数 P(x, y) 可取为
C
x2 A. y .
y3
1 x2 B. .
y y3
11 C. .
xy
1 D. x .
y
【答案】D
P Q 1
【答案解析】由题意可知
y

x

y2
且要保证对于上半平面任意光滑闭曲线都成立，
故也包含 x=0 一条线，故选 D。A、B 偏导数不符合，C 在 x=0 处不连续，不成立。
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● 3平面中有两平面相交，另一平面与其中一平面平行，下图（3）. （3）秩 A 3 ，秩 A 1 .根据秩的定义易知这不可能. （4）秩 A 2 秩 A 时，因秩 A 秩 A 2 n 3（未知数个数），方程组有无穷多个解，因而 3平面有无穷多个交点，又因秩 A 2 ,必有两平面相交，秩 A 2 ,A 说明 3平面中至少有 2 个平面互异，于是可能有：
5.设 A 是 3 阶实对称矩阵，E 是 3 阶单位矩阵.若 A2 A 2E ，且 A 4 ，则二次型 xT Ax
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的规范形为
A. y12 y22 y32 .
B. y12 y22 y32 .
C. y12 y22 y32 .
D. y12 y22 y32 .
对泰勒不熟悉的同学，本题也可以用洛必达法则.
x x , x 0,
2.设函数 f (x)
则 x 0 是 f (x) 的
x ln x, x 0,
A.可导点，极值点.
B.不可导点，极值点.
C.可导点，非极值点.

考研数学一真题答案解析

个不同平面，即
● 3个平面重合，下图（8）.
7.设 A, B 为随机事件，则 P( A) P(B) 的充分必要条件是 A. P( A B) P(A) P(B).
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B. P( AB) P( A)P(B).
C. P( AB) P(B A).
D. P( AB) P(AB).
● 3平面平行，且 3平面互异，下图（6）. ● 3平面平行，其中有两平面重合，这时有两平面互异，下图（7）. （6）秩 A 1 秩 A 时，因秩 A 秩 A 1 n 3 ，方程组有无穷多个解. 3平面有无穷多个交点，由秩 A 1知，没有两平面相交.而秩 A 1,说明 3平面中至少有1个平面互异. 如果有 2 个或 3个平面互异，则它们必平行，这与 3平面有无穷多个交点矛盾，于是只有一
D
其中 D : x2 y2 4 由二重积分得对称性
y dxdy 4
2 sind
2 r 2dr 32
D
0
0
3
13.设（1，2，3）为 3 阶矩阵.若 1，2 线性无关，且3 1 22 ，则线性方
程组 x 0 的通解为 ________.
.
1 【答案】 x k 2 ， k R
（2）求曲面 z 2 ax2 by2 （ z 0 ）的面积.
【答案解析】(1)
1
un un1
.
D.
u2 n1
un2
.
n1
【答案】D
【答案解析】
选项
A：
u n
单调递增有界，知
un
收敛,
故lim n
u n
u
0 ，也就是 n 趋近无穷时，
u n
1
,故根据极限形式的比较审敛发，

考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编20(题后含答案及解析)

考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编20(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设则A与BA．合同且相似．B．合同但不相似．C．不合同但相似．D．不合同且不相似．正确答案：A解析：因为A为实对称矩阵，且易求出A的特征值为λ1=4，λ2=λ3=λ4=0，所以必有正交矩阵P，使得P—1AP—PTAP==B即A既相似于B，也合同于B，所以(A)正确．知识模块：二次型2．设矩阵A=，则A与BA．合同，且相似．B．合同，但不相似．C．不合同，但相似．D．既不合同，也不相似．正确答案：B解析：由A的特征方程｜λE一A｜==(λ一3)2λ=0得A的全部特征值为λ1，λ2=3，λ3=0，由此知A不相似于对角矩阵B(因为A的相似对角矩阵的主对角线元素必是A的全部特征值3，3．0)，但油A的特征值知3元二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的秩及正惯性指数均为(二次型f=xTAx经适当的正交变换可化成标准形f=3y12+3y22，再经可逆线性变换可化成规范形f=z12+z22。

而f的矩阵A 与f的规范形的矩阵B=diag(1，1，0)是合同的)．知识模块：二次型3．设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则A的正特征值的个数为A．0B．1C．2D．3正确答案：B解析：由图形知该二次曲面为双叶双曲面，其标准方程为λ1x’2—λ2y’2—λ3z’2=1，其中λi＞0(i=1，2，3)，由于用正交变换化成的标准方程中各变量平方项的系数为A的特征值，故A的特征值为：λ1＞0，一λ2＜0，一λ3＜0，因此A的正特征值的个数为1．知识模块：二次型4．设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22—y32，其中P=(e1，e2，e3)．若Q=(e1，e2，e3)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为A．2y12—y22+y32．B．2y12+y22—y32．C．2y12—y22—y32．D．2y12+y22+y32．正确答案：A解析：设二次型的矩阵为A，则由题意知矩阵P的列向量e1，e2，e3是矩阵A的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是2，1，一1．即有Ae1=2e1，Ae2=2e2，A3=23从而有AQ=A(e1，—e3，e2)=(Ae1，—Ae3，Ae2)一(2e1，—(—e3)，e2)=(e1，—e3，e2) 矩阵Q的列向量e1，—e3，e2仍是A的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是2，一1，1．矩阵Q是正交矩阵，有Q —1=QT，上式两端左乘Q—1，得Q—1AQ=QTAQ=从而知f在正交变换x=Py 下的标准形为f=2y12—y22+y32．于是选A．知识模块：二次型5．设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3，则f(x1，x2，x3)=2在空间直角坐标下表示的二次曲面为A．单叶双曲面．B．双叶双曲面．C．椭球面．D．柱面．正确答案：B解析：二次型f(x1，x2，x3)的矩阵为A=，由得A的全部特征值为λ1=5，λ2=λ3=一1，因此，二次曲面方程f(x1，x2，x3)=2在适当的旋转变换下可化成方程5y12—y22—y32=2，由此可知该二次曲面是双叶双曲面．知识模块：二次型填空题6．已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=6y12，则a=___________．正确答案：2解析：由题设条件知，f的矩阵为由于在正交变换下化f所成的标准形中，变量平方项的系数为A的全部特征值，故由f的标准形知A的特征值为6，0，0．再由特征值的性质：A全部特征值之和等于A的主对角线元素之和，即6+0+0=a+a+a便得a=2．知识模块：二次型7．若二次曲面的方程x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz=4经正交变换化为y12+4z12=4，则a=___________．正确答案：1解析：由题设条件知二次曲面方程左端的二次型的秩为2，即矩阵A=的秩为2．于是有0=det(A)==一(a一1)2所以，a=1．知识模块：二次型8．设二次型f(x1，x2，x3)=x12—x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数为1，则a的取值范围是___________．正确答案：[一2．2]．解析：对f配方，可得f=(x3+ax3)!一(x2一2x3)。

2019年考研数学一真题答案解析

2019年考研数学一真题解析一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则=k A.1. B.2.C.3. D.4.【答案】C【答案解析】根据泰勒公式有331~tan x x x --，故选C.对泰勒不熟悉的同学，本题也可以用洛必达法则. 2.设函数⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x x x x x f 则0=x 是)(x f 的A.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.【答案B 】【答案解析】由于xx x x 0ln lim 0-+→不存在（极限为无穷属于极限不错在），故0=x 是)(x f 的不可导点.且当0)0(0)(,10;0)(,0=<<<<<f x f x x f x 且，由极值定义可知，0=x 是)(x f 的极值点，故选B.3.设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是A..1∑∞=n n nu B.nn nu 1)1(1∑∞=-.C.∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111n n n u u . D.()∑∞=+-1221n n n u u.【答案】D 【答案解析】选项A ：n u 单调递增有界，知{}n u 收敛, 故lim nn u u →∞=≠0，也就是n 趋近无穷时，,n u n n 1故根据极限形式的比较审敛发，n n u n ∞=∑1与n n ∞=∑11同敛散，而n n∞=∑11发散，故选项A 发散。

本选项也可举反例=arctan n n u ；选项B ：n u 单调递增有界，知{}n u 收敛.故1lim ，故lim0nn n nu u u →∞→∞=≠≠0，由数列收敛的必要条件可知B 发散。

本选项也可举反例=arctan n n u ；选项C ：该选项最具迷惑性，一般项趋近0，是正项级数，单调减.但这种正项级数是否收敛取决于递减的速度。

2000-历年考研数学一真题(答案+解析)

--历年考研数学一真题1987-2017（答案+解析）(经典珍藏版)最近三年＋回顾过去最近三年篇（2015－2０17）2０15年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题 1—8小题．每小题４分,共3２分.１.设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续,其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为（A ）0 （Ｂ)1 (C)２（D)３【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点,以及一个二阶导数不存在的点0x =.但对于这三个点,左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点.而另外两个点的两侧二阶导数是异号的,对应的点才是拐点，所以应该选(C)2.设21123()x x y e x e =+-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解，则(Ａ)321,,a b c =-==- (B ）321,,a b c ===- （C)321,,a b c =-== (D)321,,a b c ===【详解】线性微分方程的特征方程为20r ar b ++=,由特解可知12r =一定是特征方程的一个实根.如果21r =不是特征方程的实根，则对应于()x f x ce =的特解的形式应该为()x Q x e ,其中()Q x 应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符,所以21r =也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得213212(),a b =-+=-=⨯=,同时*x y xe =是原来方程的一个解，代入可得1c =-应该选（A) 3．若级数1nn a∞=∑条件收敛，则33,x x ==依次为级数11()nnn na x ∞=-∑的（A)收敛点，收敛点（Ｂ）收敛点，发散点（Ｃ)发散点,收敛点 (D ）发散点,发散点--【详解】注意条件级数1n n a ∞=∑条件收敛等价于幂级数1n n n a x ∞=∑在1x =处条件收敛,也就是这个幂级数的收敛为1，即11limn n na a +→∞=,所以11()n n n na x ∞=-∑的收敛半径111lim()nn n na R n a →∞+==+,绝对收敛域为02(,)，显然33,x x ==依次为收敛点、发散点,应该选（B ）4.设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy ==与直线3,y x y ==所围成的平面区域,函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰( )(Ａ)1321422sin sin (cos ,sin )d f r r rdrπθπθθθθ⎰⎰（Ｂ)231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰（C ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D)231422sin sin (cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰【详解】积分区域如图所示,化成极坐标方程：221212122sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=22141412222sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=也就是Ｄ：432sin sin r ππθθθ⎧<<⎪⎪⎨<<22所以(,)D f x y dxdy =⎰⎰23422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰，所以应该选（B ）.５.设矩阵2211111214,A a b d a d ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若集合{}12,Ω=,则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件是（Ａ),a d ∉Ω∉Ω （Ｂ）,a d ∉Ω∈Ω（C ）,a d ∈Ω∉Ω (D),a d ∈Ω∈Ω【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：--22221111111111111201110111140311001212(,)()()()()B A b ad a d a d a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭方程组无穷解的充分必要条件是3()(,)r A r A b =<，也就是120120()(),()()a a d d --=--=同时成立,当然应该选（D)．６.设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中()123,,P e e e =,若()132,,Q e e e =-,则123(,,)f x x x 在x Qy =下的标准形为(A)2221232y y y -+ （B ）2221232y y y +- （C)2221232y y y -- (D ） 2221232y y y ++【详解】()()132123100100001001010010,,,,Q e e e e e e P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,100001010T T Q P ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭211T T T T f x Ax y PAPy y y ⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪-⎝⎭所以100100100210001001001100010*********T T Q AQ P AP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎪⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝故选择(A ）.７.若,A B 为任意两个随机事件,则（ )（A)()()()P AB P A P B ≤ （B)()()()P AB P A P B ≥(C ）2()()()P A P B P AB +≤(D)2()()()P A P B P AB +≥【详解】()(),()(),P A P AB P B P AB ≥≥所以2()()()P A P B P AB +≤故选择（C)．8．设随机变量,X Y 不相关，且213,,EX EY DX ===,则2(())E X X Y +-=( )(A)3- (B ）3 （C ） 5- （D)5【详解】22222(())()()()E X X Y E X E XY EX DX EX EXEY EX+-=+-=++---故应该选择（D).二、填空题(本题共6小题，每小题4分,满分２4分. 把答案填在题中横线上) 9.20ln(cos )limx x x →=【详解】200122ln(cos )tan lim lim x x x x x x →→-==-． 10.221sin cos x x dx xππ-⎛⎫+= ⎪+⎝⎭⎰ .【详解】只要注意1sin cos xx+为奇函数，在对称区间上积分为零,所以22202214sin .cos x x dx xdx x ππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰1１.若函数(,)z z x y =是由方程2cos ze xyz x x +++=确定,则01(,)|dz = ．【详解】设2(,,)cos zF x y z e xyz x x =+++-，则1(,,)sin ,(,,),(,,)z x y z F x y z yz x F x y z xz F x y z e xy '''=+-==+且当01,x y ==时，z =,所以010101001010010010(,)(,)(,,)(,,)|,|,(,,)(,,)y x z z F F z zx y F F ''∂∂=-=-=-=∂∂'' 也就得到01(,)|dz =.dx -１2．设Ω是由平面1x y z ++=和三个坐标面围成的空间区域,则23()dxdydz x y z Ω++=⎰⎰⎰ ．【详解】注意在积分区域内,三个变量,,x y z 具有轮换对称性，也就是dxdydz dxdydz dxdydz x y z ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1120236631()dxdydz dxdydz ()zD x y z z zdz dxdy z z dz ΩΩ++===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰13.n 阶行列式2002120200220012-=- ．【详解】按照第一行展开,得1111212122()()n n n n n D D D +---=+--=+,有1222()n n D D -+=+由于1226,D D ==,得11122222()n n n D D -+=+-=-.１4.设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布10110(,;,;)N ,则--{}0P XY Y -<= ．【详解】由于相关系数等于零，所以Ｘ，Y 都服从正态分布,1101~(,),~(,)X N Y N ,且相互独立. 则101~(,)X N -．{}{}{}{}1111101001001022222(),,P XY Y P Y X P Y X P Y X -<=-<=<->+>-<=⨯+⨯=三、解答题 15．（本题满分10分)设函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++,3()g x kx =在0x →时为等价无穷小,求常数,,a b k 的取值.【详解】当0x →时,把函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++展开到三阶的马克劳林公式,得233332331236123()(())(())()()()()x x f x x a x o x bx x x o x a aa xb x x o x =+-+++-+=++-+++ 由于当0x →时,(),()f x g x 是等价无穷小,则有10023a ab a k ⎧⎪+=⎪⎪-+=⎨⎪⎪=⎪⎩,解得，11123,,.a b k =-=-=-１6.（本题满分１0分）设函数)(x f y =在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且02()f =,求()f x 的表达式．【详解】)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+令0y =,得000()()f x x x f x =-' 曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积为--00000142()()(()()f x S f x x x f x =--='整理,得218y y '=，解方程,得118C x y =-,由于02()f =，得12C =所求曲线方程为84.y x=- 17．(本题满分10分）设函数(,)f x y x y xy =++，曲线223:C x y xy ++=,求(,)f x y 在曲线C 上的最大方向导数.【详解】显然11,f fy x x y∂∂=+=+∂∂． (,)f x y x y xy=++在(,)x y 处的梯度()11,,f f gradf y x x y ⎛⎫∂∂==++ ⎪∂∂⎝⎭(,)f x y 在(,)x y 处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度的模gradf =所以此题转化为求函数2211(,)()()F x y x y =+++在条件223:C x y xy ++=下的条件极值.用拉格朗日乘子法求解如下：令2222113(,,)()()()L x y x y x y xy λλ=++++++-解方程组22212021203()()x y F x x y F y y x x y xy λλλλ⎧'=+++=⎪⎪'=+++=⎨⎪++=⎪⎩,得几个可能的极值点()11112112,,(,),(,),(,)----,进行比较，可得，在点21,x y ==-或12,x y =-=处,方向导数取到最3.= １8．(本题满分１0分)（1)设函数(),()u x v x 都可导,利用导数定义证明(()())()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+;(２）设函数12(),(),,()n u x u x u x 都可导,12()()()()n f x u x u x u x =，写出()f x 的求导公式.【详解】（１）证明:设)()(x v x u y=)()()()(x v x u x x v x x u y -++=∆∆∆()()()()()()()()u x x v x x u x v x x u x v x x u x v x =+∆+∆-+∆++∆---v x u x x uv ∆∆∆)()(++=xux u x x v x u x y ∆∆∆∆∆∆∆)()(++= 由导数的定义和可导与连续的关系00'lim lim[()()]'()()()'()x x y u uy v x x u x u x v x u x v x x x x∆→∆→∆∆∆==+∆+=+∆∆∆（2）12()()()()n f x u x u x u x =1121212()()()()()()()()()()()n n nf x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x ''''=+++19.(本题满分1０分）已知曲线Ｌ的方程为z z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩,起点为0()A ,终点为00(,)B ,计算曲线积分2222()()()Ly z dx z x y dy x y dz ++-+++⎰.【详解】曲线L的参数方程为cos ,cos x ty t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩起点0()A 对应2t π=,终点为00(,)B 对应2t π=-．22222222()()()cos )(cos )))(cos )cos Ly z dx z x y dy x y dzt t d t t d t t d tππ-++-+++=+++-⎰⎰2202sin .tdt π==20．(本题满分11分）设向量组123,,ααα为向量空间3R 的一组基，113223332221,,()k k βααβαβαα=+==++.（1)证明:向量组123,,βββ为向量空间3R 的一组基;(2)当k 为何值时,存在非零向量ξ，使得ξ在基123,,ααα和基123,,βββ下的坐标相同，并求出所有的非零向量.ξ【详解】(1)()12312321020201(,,),,k k βββααα⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭，因为201212024021201k k kk ==≠++，且123,,ααα显然线性无关，所以123,,βββ是线性无关的，当然是向量空间3R 的一组基.--(2）设非零向量ξ在两组基下的坐标都是123(,,)x x x ，则由条件112233112233x x x x x x αααβββ++=++可整理得:1132231320()()x k x x k ααααα++++=,所以条件转化为线性方程组()1321320,,k k x ααααα++=存在非零解.从而系数行列式应该等于零，也就是12312310110101001002020(,,)(,,k k k k αααααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭由于123,,ααα显然线性无关,所以10110020kk=，也就是0k =．此时方程组化为()112121312230,,()x x x x x x ααααα⎛⎫⎪=++= ⎪ ⎪⎝⎭，由于12,αα线性无关,所以13200x x x +=⎧⎨=⎩，通解为1230x C x x C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭,其中C 为任意常数.所以满足条件的0C C ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭其中C 为任意不为零的常数．21.(本题满分1１分）设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．(1)求,a b 的值；(２)求可逆矩阵P ,使1P AP -为对角矩阵.【详解】（1)因为两个矩阵相似,所以有trA trB =,A B =．也就是324235a b a a b b +=+=⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩. (2）由2120050150031()()E B λλλλλλ--=-=--=--，得A ，B的特征值都为12315,λλλ===解方程组0()E A x -=,得矩阵Ａ的属于特征值121λλ==的线性无关的特征向量为12231001.ξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；--解方程组50()E A x -=得矩阵A 的属于特征值35λ=的线性无关的特征向量为3111ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭令()123231101011,,P ξξξ--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,则1100010005.P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2２．(本题满分１１分）设随机变量X 的概率密度为22000ln ,(),x x f x x -⎧>=⎨≤⎩ 对Ｘ进行独立重复的观测,直到第2个大于3的观测值出现时停止,记Y 为次数.求Y 的分布函数；（1）求Y 的概率分布; （2）求数学期望.EY 【详解】（1）Ｘ进行独立重复的观测，得到观测值大于3的概率为313228()ln x P X dx +∞->==⎰显然Y 的可能取值为234,,,且2211117171234888648()(),,,,k k k P Y k C k k ---⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2）设22322221111()()(),()n nn n n n x S x n n xx x x x x ∞∞∞-===''''⎛⎫⎛⎫''=-====< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑2221717116648648()()()k k n E Y kP Y k k k S -∞∞==⎛⎫⎛⎫===-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为1110,(;),x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他其中θ为未知参数，12,,,n X X X 是来自总体的简单样本.(1)求参数θ的矩估计量；(２）求参数θ的最大似然估计量. 【详解】(1）总体的数学期望为111112()()E X xdx θθθ==+-⎰ 令()E X X =,解得参数θ的矩估计量:21ˆX θ=-. (2）似然函数为12121110,,,,()(,,,;),n nn x x x L x x x θθθ⎧≤≤⎪-=⎨⎪⎩其他显然()L θ是关于θ的单调递增函数，为了使似然函数达到最大,只要使θ--尽可能大就可以,所以参数θ的最大似然估计量为12ˆmin(,,,).n x x x θ=2０16年全国硕士研究生入学统一考试数学(一）试卷一、选择题:1~8小题，每小题4分，共３2分,下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。

2000-2017历年考研数学一真题(答案+解析)

历年考研数学一真题1987-2017 （答案+解析）（经典珍藏版）最近三年+回顾过去最近三年篇（2015-2017）2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x=在(,)-∞+∞的拐点个数为（A）0（B）1 （C）2 （D）3 【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0x ．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C ）2．设21123()x x y e x e =+-是二阶常系数非齐次线性微分方程xy ay by ce '''++=的一个特解，则（A ）321,,a b c =-==-（B ）321,,a b c ===-（C ）321,,a b c =-==（D ）321,,a b c ===【详解】线性微分方程的特征方程为20r ar b ++=，由特解可知12r =一定是特征方程的一个实根．如果21r=不是特征方程的实根，则对应于()xf x ce=的特解的形式应该为()x Q x e，其中()Q x应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符，所以21r=也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得213212(),a b =-+=-=⨯=，同时*xy x e=是原来方程的一个解，代入可得1c =-应该选（A ）３．若级数1nn a∞=∑条件收敛，则3x x ==依次为级数11()nnn na x ∞=-∑的（Ａ）收敛点，收敛点（Ｂ）收敛点，发散点(Ｃ）发散点，收敛点（Ｄ）发散点，发散点【详解】注意条件级数1nn a∞=∑条件收敛等价于幂级数1n nn a x∞=∑在1x=处条件收敛，也就是这个幂级数的收敛为1，即11lim nnnaa+→∞=，所以11()nnnna x∞=-∑的收敛半径111lim()nnnnaRn a→∞+==+，绝对收敛域为02 (,)，显然3x x ==依次为收敛点、发散点，应该选（B ）４．设D 是第一象限中由曲线21,x y xy==与直线,y x y ==所围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（）（Ａ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r rdrπθπθθθθ⎰⎰（Ｂ）34(cos ,sin )d f r r rdrππθθθ⎰（Ｃ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r drπθπθθθθ⎰⎰（Ｄ）34(cos ,sin )d f r r drππθθθ⎰【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：也就是D：43r ππθ⎧<<⎪⎪⎨<< 所以(Df x y=⎰⎰34(cos ,sin )d f r r rdrππθθθ⎰，所以应该选（B ）． 5．设矩阵2211111214,A a b d a d ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若集合{}12,Ω=，则线性方程组Ax b=有无穷多解的充分必要条件是（A ）,a d ∉Ω∉Ω（B ）,a d ∉Ω∈Ω（C ）,a d ∈Ω∉Ω（D ）,a d ∈Ω∈Ω【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：方程组无穷解的充分必要条件是3()(,)r A r A b =<，也就是120120()(),()()a a d d --=--=同时成立，当然应该选（D ）． 6．设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py=下的标准形为2221232y y y +-，其中()123,,P e e e =，若()132,,Q e e e =-，则12(,,)f x x x 在x Qy=下的标准形为（A ）2221232y y y -+（B ）2221232y y y +-（C ）2221232y y y --（D ）2221232y y y ++【详解】()()132123100100001001010010,,,,Q e e e e e e P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，100001010T TQ P ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭所以10000100100T T Q AQ P AP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=-=-=-⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选择（A ）． 7．若,A B为任意两个随机事件，则（）（A ）()()()P AB P A P B ≤（B ）()()()P AB P A P B ≥（C ）2()()()P A P B P AB +≤（D）2()()()P A P B P AB +≥【详解】()(),()(),P A P AB P B P AB ≥≥所以2()()()P A P BP AB +≤故选择（C ）． 8．设随机变量,X Y不相关，且21,,EX EY DX ===，则2(())E X X Y +-=（）（A ）3-（B ）3（C ） 5-（D ）5【详解】222(())()()(E X X Y E X E XY EX DX E+-=+-=+故应该选择（D ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．20ln(cos )limx x x→=【详解】200122ln(cos )tan limlim x x x x x x →→-==-．10．221sin cos x x dx x ππ-⎛⎫+= ⎪+⎝⎭⎰．【详解】只要注意1sin cos xx+为奇函数，在对称区间上积分为零，所以22202214sin .cos x x dx xdx x ππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰11．若函数(,)z z x y =是由方程2cos z e xyz x x +++=确定，则01(,)|dz =．【详解】设2(,,)cos z F x y z e xyz x x =+++-，则且当01,x y ==时，0z =，所以010101001010010010(,)(,)(,,)(,,)|,|,(,,)(,,)y x z z F F z zx y F F ''∂∂=-=-=-=∂∂''也就得到01(,)|dz =.dx -12．设Ω是由平面1x y z ++=和三个坐标面围成的空间区域，则23()dxdydz x y z Ω++=⎰⎰⎰．【详解】注意在积分区域内，三个变量,,x y z具有轮换对称性，也就是 13．n阶行列式200212020022012-=-．【详解】按照第一行展开，得1111212122()()n n n n n D D D +---=+--=+，有1222()n n D D -+=+由于1226,D D ==，得11122222()n n n D D -+=+-=-．14．设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布10110(,;,;)N ，则{}0P X Y Y -<=．【详解】由于相关系数等于零，所以X ，Y 都服从正态分布，1~(X N ，且相互独立．则101~(,)X N -．三、解答题 15．（本题满分10分）设函数1()ln(f x xa x=+++，3()g x kx =在x →时为等价无穷小，求常数,,a b k的取值．【详解】当x →时，把函数1()ln()sin f x x a x bx x=+++展开到三阶的马克劳林公式，得由于当0x →时，(),(f x g x是等价无穷小，则有10023a ab a k ⎧⎪+=⎪⎪-+=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得，11123,,.a b k =-=-=- 16．（本题满分10分）设函数)(x f y =在定义域I上的导数大于零，若对任意的0x I∈，曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线x x =及x轴所围成区域的面积恒为4，且02()f =，求()f x 的表达式．【详解】)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+ 令0y =，得000()()f x x x f x =-'曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线x x =及x轴所围成区域的面积为整理，得218y y '=，解方程，得118C x y =-，由于02()f =，得12C =所求曲线方程为84.y x=-17．（本题满分10分）设函数(,)f x y xyxy=++，曲线223:C x y xy ++=，求(,)f x y 在曲线C上的最大方向导数．【详解】显然11,f f y x x y∂∂=+=+∂∂．(,)f x y x y xy=++在(,)x y 处的梯度()11,,f f gradf y xx y ⎛⎫∂∂==++ ⎪∂∂⎝⎭(,)f x y 在(,)x y 处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度的模gradf =所以此题转化为求函数2211(,)()()F x y x y =+++在条件223:C x y xy ++=下的条件极值．用拉格朗日乘子法求解如下：令2222113(,,)()()()L x y x y x y xy λλ=++++++-解方程组22212021203()()x y F x x y F y y x x y xy λλλλ⎧'=+++=⎪⎪'=+++=⎨⎪++=⎪⎩，得几个可能的极值点()11112112,,(,),(,),(,)----，进行比较，可得，在点21,x y ==-或12,x y =-=处，方向导数取到最3.=18．（本题满分10分）（1）设函数(),()u x v x 都可导，利用导数定义证明(()(ux v xu '''=+；（2）设函数12(),(),,()n u x u x u x 都可导，12()()()()n f x u x u x u x =，写出()f x 的求导公式．【详解】（1）证明：设)()(x v x u y =由导数的定义和可导与连续的关系（2）12()()()()n f x u x u x u x =19．（本题满分10分）已知曲线L 的方程为z z x⎧=⎪⎨=⎪⎩起点为0()A ，终点为00(,)B ，计算曲线积分2222()()()Ly z dx z x y dy x y dz++-+++⎰．【详解】曲线L 的参数方程为cos ,cos x ty t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩起点00(,)A 对应2t π=，终点为00(,)B 对应2t π=-．20．（本题满分11分）设向量组123,,ααα为向量空间3R 的一组基，11322221,,()k k βααβαβαα=+==++．（1）证明：向量组123,,βββ为向量空间3R 的一组基；（2）当k为何值时，存在非零向量ξ，使得ξ在基123,,ααα和基123,,βββ下的坐标相同，并求出所有的非零向量.ξ【详解】（1）()12312321020201(,,),,k k βββααα⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭，因为201212024021201kk kk ==≠++，且123,,ααα显然线性无关，所以12,,βββ是线性无关的，当然是向量空间3R 的一组基．（2）设非零向量ξ在两组基下的坐标都是123(,,)x x x ，则由条件可整理得：1132231320()()x k x x k ααααα++++=，所以条件转化为线性方程组()1321320,,k k x ααααα++=存在非零解．从而系数行列式应该等于零，也就是由于12,,ααα显然线性无关，所以101010020kk=，也就是0k =．此时方程组化为()11212130,,()x x x xx x αααα⎛⎫⎪=++=⎪ ⎪⎝⎭，由于12,αα线性无关，所以1320x x x +=⎧⎨=⎩，通解为1230x C x x C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，其中C为任意常数．所以满足条件的0C C ξ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪-⎝⎭其中C为任意不为零的常数． 21．（本题满分11分）设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪-⎝⎭相似于矩阵1200031B b-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求,a b的值；（2）求可逆矩阵P，使1AP -为对角矩阵．【详解】（1）因为两个矩阵相似，所以有t r A t=，A B=．也就是32235aba a bb +=+=⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩．（2）由212050131()(E B λλλλλλ--=-=--=--，得A，B的特征值都为12315,λλλ===解方程组()E A x-=，得矩阵A的属于特征值121λλ==的线性无关的特征向量为12231001.ξξ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；解方程组50()E A x-=得矩阵A的属于特征值35λ=的线性无关的特征向量为3111ξ-⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭令()123231101011,,P ξξξ--⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭，则1100010005.P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭22．（本题满分11分）设随机变量X 的概率密度为22000ln ,(),x x f x x -⎧>=⎨≤⎩对X 进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y为次数．求Y的分布函数；（1）求Y的概率分布；（2）求数学期望.EY 【详解】（1）X进行独立重复的观测，得到观测值大于3的概率为显然Y的可能取值为234,,,且2211117171888648()(),k kkP Y k C k k---⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）设2222211 ()()()n n nn n nx S x n n x x xx ∞∞∞-===''⎛⎛⎫''=-===⎪-⎝⎭⎝∑∑∑23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为其中θ为未知参数，12,,,nX X X 是来自总体的简单样本．（1）求参数θ的矩估计量；（2）求参数θ的最大似然估计量．【详解】（1）总体的数学期望为令()E X X=，解得参数θ的矩估计量：21ˆX θ=-．（2）似然函数为显然()L θ是关于θ的单调递增函数，为了使似然函数达到最大，只要使θ尽可能大就可以，所以参数θ的最大似然估计量为12ˆmin(,,,).nx x x θ=2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。

考研数学一真题及答案

考研数学一真题（一）一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分。

答案写在题中横线上）(1)曲线的斜渐近线方程为。

【答案】【解析】所以斜渐近线方程为。

综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(2)微分方程满足的解为。

【答案】【解析】原方程等价于所以通解为将代入可得综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程(3)设函数,单位向量，则。

【答案】【解析】因为所以综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度(4)设是由锥面与半球面围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则。

【答案】。

【解析】综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算(5)设均为三维列向量，记矩阵如果，那么。

【答案】2。

【解析】【方法一】【方法二】由于两列取行列式，并用行列式乘法公式，所以综上所述，本题正确答案是2。

【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质，行列式按行(列)展开定理(6)从数中任取一个数，记为，再从中任一个数，记为,则。

【答案】。

【解析】【方法一】先求出的概率分布，因为是等可能的取，故关于的边缘分布必有,而只从中抽取，又是等可能抽取的概率为所以即：X Y12341000200304所以【方法二】1综上所述，本题正确答案是。

【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）(7)设函数,则(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点 (D)恰有三个不可导点【答案】C 。

【解析】由知由的表达式和其图像可知在处不可导，在其余点均可导。

综上所述，本题正确答案是C 。

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念 (8)设是连续函数的一个原函数，表示的充分必要条件是，则必有(A)是偶函数是奇函数 (B)是奇函数是偶函数 (C)是周期函数是周期函数 (D)是单调函数是单调函数【答案】A 。

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2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)=_____________.(2)曲面在点的法线方程为_____________. (3)微分方程的通解为_____________.(4)已知方程组无解,则= _____________. (5)设两个相互独立的事件和都不发生的概率为,发生不发生的概率与发生不发生的概率相等,则=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设、是恒大于零的可导函数,且,则当时,有(A) (B)(C)(D)(2)设为在第一卦限中的部分,则有 (A)(B)(C)(D)(3)设级数收敛,则必收敛的级数为(A)(B)(C)(D)(4)设维列向量组线性无关,则维列向量组线性无关的⎰2222321x y z ++=(1,2,2)--30xy y '''+=12312112323120x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦a A B 19A B B A ()P A ()f x ()g x ()()()()0f x g x f x g x ''-<a x b <<()()()()f x g b f b g x >()()()()f x g a f a g x >()()()()f x g x f b g b >()()()()f x g x f a g a >22221:(0),S x y z a z S ++=≥S 14SS xdS xdS =⎰⎰⎰⎰14SS ydS xdS =⎰⎰⎰⎰14SS zdS xdS =⎰⎰⎰⎰14SS xyzdS xyzdS =⎰⎰⎰⎰1nn u∞=∑1(1)nnn u n ∞=-∑21nn u∞=∑2121()n n n uu ∞-=-∑11()nn n uu ∞+=+∑n 1,,()m m n <ααn 1,,m ββ充分必要条件为(A)向量组可由向量组线性表示 (B)向量组可由向量组线性表示(C)向量组与向量组等价(D)矩阵与矩阵等价(5)设二维随机变量服从二维正态分布,则随机变量与不相关的充分必要条件为(A)(B)(C)(D)三、(本题满分6分)求四、(本题满分5分)设,其中具有二阶连续偏导数具有二阶连续导数,求五、(本题满分6分)计算曲线积分,其中是以点为中心为半径的圆周取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间内任意的光滑有向封闭曲面都有其中函数在内具有连续的一阶导数,且求. 七、(本题满分6分)1,,m αα1,,m ββ1,,m ββ1,,m αα1,,m αα1,,m ββ1(,,)m =A αα1(,,)m =B ββ(,)X Y X Y ξ=+X Y η=-()()E X E Y =2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y -=-22()()E X E Y =2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y +=+142e sin lim().1exx xxx→∞+++(,)()x x z f xy g y y =+f ,g 2.zx y ∂∂∂224L xdy ydxI x y -=+⎰L (1,0),R (1),R >0x >,S 2()()e 0,x Sxf x dydz xyf x dzdx zdxdy --=⎰⎰()f x (0,)+∞0lim ()1,x f x +→=()f x求幂级数的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性. 八、(本题满分7分)设有一半径为的球体是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到距离的平方成正比(比例常数),求球体的重心位置.九、(本题满分6分)设函数在上连续,且试证:在内至少存在两个不同的点使十、(本题满分6分)设矩阵的伴随矩阵且,其中为4阶单位矩阵,求矩阵.十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工.设第年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为和记成向量(1)求与的关系式并写成矩阵形式:(2)验证是的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.(3)当时,求十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为,各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为,求的数113(2)nn nn x n ∞=+-∑R 0,P 0P 0k >()f x [0,]π0()0,()cos 0.f x dx f x xdx ππ==⎰⎰(0,)π12,,ξξ12()()0.f f ξξ==A *10000100,10100308⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 113--=+ABA BA E EB 1625n n x ,n y .n n x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭11n n x y ++⎛⎫⎪⎝⎭n n x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭11.n n n n x x y y ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 1241,11-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ηηA 111212x y ⎛⎫⎪⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭11.n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭(01)p p <<X X学期望和方差. 十三、(本题满分6分)设某种元件的使用寿命的概率密度为,其中为未知参数.又设是的一组样本观测值,求参数的最大似然估计值.()E X ()D X X 2()2e (;)0x x f x x θθθθ-->⎧=⎨≤⎩0θ>12,,,n x x x X θ2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2),则= _____________.(3)交换二次积分的积分次序:＝_____________.(4)设,则= _____________.(5),则根据车贝晓夫不等式有估计 _____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数在定义域内可导,的图形如右图所示,则的图形为(A) (B) (C) (D)(2)设在点的附近有定义,且则 (A)(B)曲面在处的法向量为(C)曲线在处的切向量为e (sin cos )(,xy a x b x a b =+222z y x r ++=(1,2,2)div(grad )r -⎰⎰--0112),(y dx y x f dy 24+-=A A E O 1(2)--A E ()2D X =≤≥-}2)({X E X P )(x f )(x f y =)(x f y '=),(y x f (0,0)1)0,0(,3)0,0(='='y x f f (0,0)|3dz dx dy =+),(y x f z =(0,0,(0,0))f {3,1,1}(,)z f x y y ==(0,0,(0,0))f {1,0,3}(D)曲线在处的切向量为(3)设则在=0处可导(A)存在(B) 存在(C)存在(D)存在(4)设,则与 (A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似 (D)不合同且不相似(5)将一枚硬币重复掷次,以和分别表示正面向上和反面向上的次数, 则和相关系数为(A) -1(B)0(C)(D)1三、(本题满分6分)求. 四、(本题满分6分)设函数在点可微,且,,求.五、(本题满分8分)设 ,将展开成的幂级数,并求的和. 六、(本题满分7分)计算,其中是平面 (,)z f x y y ==(0,0,(0,0))f {3,0,1}0)0(=f )(x f x ⇔20(1cos )lim h f h h→-0(1e )lim h h f h→-2(sin )limh f h h h→-hh f h f h )()2(lim-→1111400011110000,11110000111100⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A B A B n X Y X Y 122arctan e e xxdx ⎰),(y x f z =(1,1)3)1,1(,2)1,1(,1)1,1(='='=y x f f f )),(,()(x x f x f x =ϕ13)(=x x dxd ϕ()f x =21arctan 010x x x x x +≠=)(x f x ∑∞=--1241)1(n n n222222()(2)(3)LI y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰L 2=++z y x与柱面的交线,从轴正向看去为逆时针方向. 七、(本题满分7分)设在内具有二阶连续导数且.证明:(1)对于,存在惟一的,使 =+成立. (2).八、(本题满分8分)设有一高度为为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为,问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间九、(本题满分6分)设为线性方程组的一个基础解系,,其中为实常数,试问满足什么条件时也为的一个基础解系十、(本题满分8分)已知三阶矩阵和三维向量,使得线性无关,且满足.(1)记求使.(2)计算行列式. 十一、(本题满分7分)某班车起点站上客人数服从参数为的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为且中途下车与否相互独立.为中途下车的人数,求:(1)在发车时有个乘客的条件下,中途有人下车的概率. (2)二维随机变量的概率分布. 十二、(本题满分7分)设抽取简单随机样本1=+y x Z ,L )(x f (1,1)-0)(≠''x f )1,0()0,1( -∈∀x )1,0()(∈x θ)(x f )0(f ))((x x f x θ'5.0)(lim 0=→x x θt t h )(()()(2)(22t h y x t h z +-=12,,,s ααα=AX O 1112221223121,,,s s t t t t t t =+=+=+βααβααβαα21,t t 21,t t 12,,,s βββ=AX O A x 2,,A A x x x 3232=-A A A x x x 2(,,),=P A A x x x B 1-=A PBP +A E X (0)λλ>(01),p p <<Y n m (,)X Y 2~(,)X N μσ122,,,(2),n X X X n ≥样本均值,,求 ∑==ni i X n X 2121∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2(().E Y2002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)= _____________.(2)已知,则=_____________. (3)满足初始条件的特解是_____________. (4)已知实二次型经正交变换可化为标准型,则=_____________.(5)设随机变量,且二次方程无实根的概率为,则=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)考虑二元函数的四条性质:①在点处连续, ②在点处的一阶偏导数连续,③在点处可微, ④在点处的一阶偏导数存在. 则有:(A)②③① (B)③②① (C)③④① (D)③①④⎰∞+exx dx 2ln 2e 610y xy x ++-=(0)y ''02='+''y y y 1(0)1,(0)2y y '==323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=216y f =a ),(~2σμN X 042=++X y y μ),(y x f ),(y x f ),(00y x ),(y x f ),(00y x ),(y x f ),(00y x ),(y x f ),(00y x ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒(2)设,且,则级数为 (A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)收敛性不能判定. (3)设函数在上有界且可导,则(A)当时,必有 (B)当存在时,必有 (C) 当时,必有 (D) 当存在时,必有. (4)设有三张不同平面,其方程为()它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设和是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为和,分布函数分别为和,则(A)＋必为密度函数 (B) 必为密度函数(C)＋必为某一随机变量的分布函数 (D) 必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分) 设函数在的某邻域具有一阶连续导数,且,0≠n u 1lim=∞→nn u n )11()1(11+++-∑n n n u u )(x f +R 0)(lim=+∞→x f x 0)(lim ='+∞→x f x )(lim x f x '+∞→0)(lim ='+∞→x f x 0)(lim0=+→x f x 0)(lim 0='+→x f x )(lim 0x f x '+→0)(lim0='+→x f x i i i i d z c y b x a =++3,2,1=i X Y )(x f X )(y f Y )(x F X )(y F Y )(x f X )(y f Y )(x f X )(y f Y )(x F X )(y F Y )(x F X )(y F Y )(x f 0x =0)0()0(≠'f f当时,若,试求的值.四、(本题满分7分) 已知两曲线与在点处的切线相同.求此切线的方程,并求极限.五、(本题满分7分) 计算二重积分,其中.六、(本题满分8分) 设函数在上具有一阶连续导数,是上半平面(>0)内的有向分段光滑曲线,起点为(),终点为(). 记, (1)证明曲线积分与路径无关. (2)当时,求的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数()满足微分方程.(2)求幂级数的和函数.0→h )()0()2()(h o f h bf h af =-+b a ,)(x f y =2arctan 0e xt y dt-=⎰(0,0))2(lim nnf n ∞→22max{,}e xy Ddxdy ⎰⎰}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D )(x f R L y b a ,d c ,dy xy f y yxdx xy f y y I]1)([)](1[1222-++=⎰I L cd ab =I ∑∞==03)!3()(n nn x x y +∞<<∞-x e x y y y '''++=∑∞==03)!3()(n nn x x y八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为面,其底部所占的区域为,小山的高度函数为.(1)设为区域上一点,问在该点沿平面上何方向的方向导数最大若此方向的方向导数为,写出的表达式. (2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在的边界线上找出使(1)中达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵, 均为四维列向量,其中线性无关,.若,求线性方程组的通解.十、(本题满分8分) 设为同阶方阵,(1)若相似,证明的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.xoy }75|),{(22≤-+=xy y x y x D ),(y x h xy y x +--=2275),(00y x M D ),(y x h ),(00y x g ),(00y x g D ),(y x g 1234(,,,)=A αααα1234,,,αααα234,,ααα1232=-ααα1234=+++βααααx =A β,A B,A B ,A B ,A B2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1) = . (2)曲面与平面平行的切平面的方程)1ln(12)(cos lim x x x +→22y x z +=042=-+z y x是 .(3)设,则= .(4)从的基到基的过渡矩阵为 .(5)设二维随机变量的概率密度为 ,则 .(6)已知一批零件的长度(单位:cm)服从正态分布,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则的置信度为的置信区间是 .(注:标准正态分布函数值二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内))(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx a x n n 2a 2R 1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ(,)X Y (,)f x y =60x 01x y ≤≤≤其它=≤+}1{Y X P X )1,(μN μ.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ(1)设函数在内连续,其导函数的图形如图所示,则有(A)一个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点(2)设均为非负数列,且,,,则必有(A)对任意成立 (B)对任意成立(C)极限不存在 (D)极限不存在(3)已知函数在点的某个邻域内连续,且,则 (A)点不是的极值点 (B)点是的极大值点 (C)点是的极小值点(D)根据所给条件无法判断点是否为的极值点 (4)设向量组I:可由向量组II:线性表示,则 (A)当时,向量组II 必线性相关 (B)当时,向()f x ),(+∞-∞()fx }{},{},{n n n c b a 0lim =∞→n n a 1lim =∞→n n b ∞=∞→n n c lim n n b a <n n n c b <n n n n c a ∞→lim n n n c b ∞→lim (,)f x y (0,0)1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x (0,0)(,)f x y (0,0)(,)f x y (0,0)(,)f x y (0,0)(,)f x y 12,,,r ααα12,,,s βββs r <s r >量组II 必线性相关(C)当时,向量组I 必线性相关 (D)当时,向量组I 必线性相关(5)设有齐次线性方程组和,其中均为矩阵,现有4个命题:① 若的解均是的解,则秩秩 ② 若秩秩,则的解均是的解 ③ 若与同解,则秩秩 ④ 若秩秩, 则与同解以上命题中正确的是(A)①② (B)①③ (C)②④ (D)③④ (6)设随机变量,则 (A) (B) (C) (D)三、(本题满分10分)过坐标原点作曲线的切线,该切线与曲线及轴围成平面图形.(1)求的面积.(2)求绕直线旋转一周所得旋转体的体积.s r <s r >0x =A 0x =B ,A B n m ⨯0x =A 0x =B ()≥A ()B ()≥A ()B 0x =A 0x =B 0x =A 0x =B ()=A ()B ()=A ()B 0x =A 0x =B 21),1)((~XY n n t X =>2~()Y n χ2~(1)Y n χ-~(,1)Y F n ~(1,)Y F n ln y x =ln y x =x D D A D e x =V四、(本题满分12分)将函数展开成的幂级数,并求级数的和.五、(本题满分10分)已知平面区域,为的正向边界.试证: (1). (2)六、(本题满分10分)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为).汽锤第一次击打将桩打进地下m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数.问(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深(注:m 表示长度单位米.)七、(本题满分12分)设函数在内具有二阶导数,且是的反函数.(1)试将所满足的微分方程变换为满足的微分方程.x xx f 2121arctan )(+-=x ∑∞=+-012)1(n n n }0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D L D sin sin sin sin e e e e y x y x L L x dy y dx x dy y dx ---=-⎰⎰sin sin 2e e 2.y x L x dy y dx π--≥⎰.0k k >a (01)r r <<()y y x =),(+∞-∞)(,0y x x y =≠'()y y x =()x x y =0))(sin (322=++dy dxx y dyx d ()y y x =(2)求变换后的微分方程满足初始条件的解.八、(本题满分12分)设函数连续且恒大于零,,,其中,(1)讨论在区间内的单调性. (2)证明当时,九、(本题满分10分)设矩阵,,,求的特征值与特征向量,其中为的伴随矩阵,为3阶单位矩阵.十、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为 ,, .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为十一、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和23)0(,0)0(='=y y ()f x ⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y xf t F σ⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω}.),{()(222t y x y x t D ≤+=()F t ),0(+∞0t >).(2)(t G t F π>322232223⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 010101001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P 1*-=B P A P 2+B E *A A E :1l 032=++c by ax :2l 032=++a cy bx :3l 032=++b ay cx .0=++c b a3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数的数学期望.(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二、(本题满分8分)设总体的概率密度为其中是未知参数. 从总体中抽取简单随机样本,记 (1)求总体的分布函数.(2)求统计量的分布函数.(3)如果用作为的估计量,讨论它是否具有无偏性.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)X ()f x =2()2e 0x θ--0x x θ>≤0>θX n X X X ,,,21 ).,,,min(ˆ21nX X X =θX ()F x θˆ)(ˆx F θθˆθ(1)曲线上与直线垂直的切线方程为__________ . (2)已知,且,则=__________ .(3)设为正向圆周在第一象限中的部分,则曲线积分的值为__________.(4)欧拉方程的通解为__________ . (5)设矩阵,矩阵满足,其中为的伴随矩阵,是单位矩阵,则=__________ .(6)设随机变量服从参数为的指数分布,则=__________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把时的无穷小量,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A) (B) (C) (D) (8)设函数连续,且则存在,使得(A)在(0,内单调增加 (B)在内单调减少(C)对任意的有 (D)对任意的ln y x =1=+y x (e )e x x f x -'=(1)0f =()f x L 222=+y x ⎰-Lydx xdy 2)0(024222>=++x y dx dyx dx y d x210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A B **2=+ABA BA E *A A E B X λ}{DX X P >+→0x dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===03002sin ,tan ,cos 2γβαγβα,,βγα,,γαβ,,αγβ,,()f x ,0)0(>'f 0>δ()f x )δ()f x )0,(δ-),0(δ∈x ()(0)f x f >有(9)设为正项级数,下列结论中正确的是(A)若=0,则级数收敛(B)若存在非零常数,使得,则级数发散(C)若级数收敛,则 (D)若级数发散, 则存在非零常数,使得(10)设为连续函数,,则等于 (A) (B) (C) (D) 0(11)设是3阶方阵,将的第1列与第2列交换得,再把的第2列加到第3列得,则满足的可逆矩阵为(A)(B) (C)(D) (12)设为满足的任意两个非零矩阵,则必有 (A)的列向量组线性相关的行向量组线性相关 (B)的列向量组线性相关的列向量组线性相关 (C)的行向量组线性相关的行向量组线性相关 (D)的行向量组线性相关的列向量组线性相关)0,(δ-∈x ()(0)f x f >∑∞=1n n a n n na ∞→lim ∑∞=1n n a λλ=∞→n n na lim ∑∞=1n n a ∑∞=1n n a 0lim 2=∞→n n a n ∑∞=1n n a λλ=∞→n n na lim ()f x ⎰⎰=t ty dx x f dy t F 1)()()2(F '2(2)f (2)f (2)f -A A B B C =AQ C Q ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110,A B =AB O A ,B A ,B A ,B A ,B(13)设随机变量服从正态分布对给定的,数满足,若,则等于(A) (B)(C) (D)(14)设随机变量独立同分布,且其方差为令,则(A) (B)(C) (D)三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分12分) 设,证明.(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少X (0,1),N )10(<<αααu αα=>}{u X P α=<}{x X P x 2αu 21α-u21α-u α-1u )1(,,,21>n X X X n .02>σ∑==ni i X n Y 1121Cov(,)X Y nσ=21Cov(,)X Y σ=212)(σnn Y X D +=+211)(σnn Y X D +=-2e e a b <<<2224ln ln ()e b a b a ->-).100.66⨯=k(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时) (17)(本题满分12分)计算曲面积分其中是曲面的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程,其中为正整数.证明此方程存在惟一正实根,并证明当时,级数收敛.(19)(本题满分12分)设是由确定的函数,求的极值点和极值.(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组试问取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵的特征方程有一个二重根,求的值,并讨论,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=∑)0(122≥--=z y x z 10n x nx +-=n n x 1α>1n n x α∞=∑(,)z z x y =2226102180x xy y yz z -+--+=(,)z z x y =121212(1)0,2(2)20,(2),()0,n nn a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩a 12314315a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A a是否可相似对角化.(22)(本题满分9分)设为随机事件,且,令求:(1)二维随机变量的概率分布. (2)和的相关系数(23)(本题满分9分)设总体的分布函数为其中未知参数为来自总体的简单随机样本,求:(1)的矩估计量. (2)的最大似然估计量A ,AB 111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧=.,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧=(,)X Y X Y .XY ρX ,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββn X X X ,,,,121 >βX ββ2005年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线的斜渐近线方程为 _____________.(2)微分方程满足的解为____________.(3)设函数,单位向量,则=.________.(4)设是由锥面与半球面围成的空间122+=x x y x x y y x ln 2=+'91)1(-=y 181261),,(222z y x z y x u +++=}1,1,1{31=n )3,2,1(nu∂∂Ω22y x z +=222y x R z --=区域,是的整个边界的外侧,则____________.(5)设均为3维列向量,记矩阵,,如果,那么 .(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为, 再从中任取一个数,记为, 则=____________.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数,则在内(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点(8)设是连续函数的一个原函数,表示的充分必要条件是则必有(A)是偶函数是奇函数 (B)是奇函数是偶函数(C)是周期函数是周期函数 (D)是单调函数是单调函数∑Ω⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz 123,,ααα123(,,)=A ααα123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα1=A =B X X ,,2,1 Y }2{=Y P n n n x x f 31lim )(+=∞→()f x ),(+∞-∞()F x ()f x ""N M ⇔"M ",N ()F x ()f x ⇔()F x ()f x ⇔()F x ()f x ⇔()F x ()f x ⇔(9)设函数, 其中函数具有二阶导数, 具有一阶导数,则必有(A)(B)(C)(D)(10)设有三元方程,根据隐函数存在定理,存在点的一个邻域,在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数和 (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数和 (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数和 (11)设是矩阵的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为,则,线性无关的充分必要条件是(A) (B) (C) (D)(12)设为阶可逆矩阵,交换的第1行与第2行得矩阵分别为的伴随矩阵,则(A)交换的第1列与第2列得 (B)交换的第1行与第2行得(C)交换的第1列与第2列得 (D)交换的第1行与第2行得(13)设二维随机变量的概率分布为⎰+-+-++=yx y x dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕϕψ2222y ux u ∂∂-=∂∂2222yu x u ∂∂=∂∂222yuy x u ∂∂=∂∂∂222xuy x u ∂∂=∂∂∂ln e 1xz xy z y -+=(0,1,1)(,)z z x y =(,)x x y z =(,)z z x y =(,)y y x z =(,)z z x y =(,)x x y z =(,)y y x z =21,λλA 12,αα1α12()+A αα01≠λ02≠λ01=λ02=λA (2)n n ≥A **.,B A B ,A B *A *B *A *B *A *-B *A *-B (,)X Y已知随机事件与相互独立,则(A) (B) (C) (D)(14)设为来自总体的简单随机样本,为样本均值,为样本方差,则(A) (B)(C) (D)三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分)设,表示不超过的最大整数. 计算二重积分(16)(本题满分12分) 求幂级数的收敛区间与和函数.}0{=X }1{=+Y X 0.2,0.3a b ==0.4,0.1a b ==0.3,0.2a b ==0.1,0.4a b ==)2(,,,21≥n X X X n (0,1)N X 2S )1,0(~N X n 22~()nS n χ)1(~)1(--n t SXn 2122(1)~(1,1)nii n X F n X=--∑}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ]1[22y x ++221y x ++⎰⎰++Ddxdy y x xy .]1[22∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n ()f x(17)(本题满分11分)如图,曲线的方程为,点是它的一个拐点,直线与分别是曲线在点与处的切线,其交点为.设函数具有三阶连续导数,计算定积分(18)(本题满分12分)已知函数在上连续,在内可导,且. 证明:(1)存在使得.(2)存在两个不同的点,使得(19)(本题满分12分)设函数具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲C ()y f x =(3,2)1l 2l C (0,0)(3,2)(2,4)()f x ⎰'''+32.)()(dx x f xx ()f x [0,1](0,1)(0)0,(1)1f f ==),1,0(∈ξξξ-=1)(f )1,0(,∈ζη.1)()(=''ζηf f )(y ϕ线上,曲线积分的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面内的任意分段光滑简单闭曲线有.(2)求函数的表达式.(20)(本题满分9分)已知二次型的秩为2.(1)求的值；(2)求正交变换,把化成标准形. (3)求方程=0的解.(21)(本题满分9分)已知3阶矩阵的第一行是不全为零,矩阵(为常数),且,求线性方程组的通解.(22)(本题满分9分)设二维随机变量的概率密度为L 24()22Ly dx xydyx yφ++⎰0x >,C 24()202Cy dx xydyx yφ+=+⎰)(y ϕ21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=a x y =Q ),,(321x x x f ),,(321x x x f A c b a c b a ,,),,,(12324636k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B k =AB O 0x =A (,)X Y (,)f x y =1求:(1)的边缘概率密度. (2)的概率密度(23)(本题满分9分)设为来自总体的简单随机样本,为样本均值,记求:(1)的方差. (2)与的协方差2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1).(2)微分方程的通解是 . (3)设是锥面()的下侧,则.(4)点到平面的距离= . (5)设矩阵,为2阶单位矩阵,矩阵满足,则= .(6)设随机变量与相互独立,且均服从区间上的均匀分布,01,02x y x <<<<其它(,)X Y )(),(y f x f Y X Y X Z -=2).(z f Z )2(,,,21>n X X X n (0,1)N X .,,2,1,n i X X Y i i=-=i Y n i DY i ,,2,1, =1Y n Y 1Cov(,).n Y Y 0ln(1)lim1cos x x x x→+=-(1)y x y x-'=∑z =01z ≤≤23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰(2,1,0)3450x y z ++=z 2112⎛⎫= ⎪-⎝⎭A EB 2=+BA B E B X Y [0,3]则= .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数具有二阶导数,且,为自变量在处的增量,与分别为在点处对应的增量与微分,若,则(A) (B) (C) (D)(8)设为连续函数,则等于 (A)(B)(C)(D)(9)若级数收敛,则级数(A)收敛 (B)收敛(C)收敛 (D)收敛 (10)设与均为可微函数,且.已知是在约束条件下的一个极值点,下列选项正确的是(A)若,则{}max{,}1P X Y ≤()y f x =()0,()0f x f x '''>>x ∆x 0x y ∆dy ()f x 0x 0x ∆>0dx y <<∆0y dy <∆<0y dy ∆<<0dy y <∆<(,)f x y 1400(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰0(,)x f x y dy ⎰⎰00(,)f x y dy ⎰⎰0(,)yf x y dx ⎰⎰00(,)f x y dx ⎰⎰1n n a ∞=∑1n n a ∞=∑1(1)n n n a ∞=-∑11n n n a a ∞+=∑112n n n a a ∞+=+∑(,)f x y (,)x y ϕ1(,)0y x y ϕ≠00(,)x y (,)f x y (,)0x y ϕ=00(,)0x f x y '=00(,)0y f x y '=(B)若,则 (C)若,则 (D)若,则(11)设均为维列向量,是矩阵,下列选项正确的是(A)若线性相关,则线性相关 (B)若线性相关,则线性无关 (C)若线性无关,则线性相关(D)若线性无关,则线性无关. (12)设为3阶矩阵,将的第2行加到第1行得,再将的第1列的-1倍加到第2列得,记,则(A) (B) (C) (D)(13)设为随机事件,且,则必有 (A) (B) (C) (D)(14)设随机变量服从正态分布,服从正态分布,且则(A) (B) (C) (D)00(,)0x f x y '=00(,)0y f x y '≠00(,)0x f x y '≠00(,)0y f x y '=00(,)0x f x y '≠00(,)0y f x y '≠12,,,,s αααn A m n ⨯12,,,,s ααα12,,,,s A αA αA α12,,,,s ααα12,,,,s A αA αA α12,,,,s ααα12,,,,s A αA αA α12,,,,s ααα12,,,,s A αA αA αA A B B C 110010001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P 1-=C P AP 1-=C PAP T =C P AP T =C PAP ,A B ()0,(|)1P B P A B >=()()P A B P A >()()P A B P B >()()P A B P A =()()P A B P B =X 211(,)N μσY 222(,)N μσ12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<12σσ<12σσ>12μμ<12μμ>三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分10分)设区域D=,计算二重积分.(16)(本题满分12分)设数列满足.求:(1)证明存在,并求之. (2)计算.(17)(本题满分12分) 将函数展开成的幂级数.(18)(本题满分12分)设函数满足等式. (1)验证. (2)若求函数的表达式.(19)(本题满分12分)(){}22,1,0x y x y x +≤≥2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰{}n x ()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==lim n x x →∞211lim n x n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭()22xf x x x=+-x ()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f=22220z zx y ∂∂+=∂∂()()0f u f u u'''+=()()10,11,f f '==()f u设在上半平面内,数是有连续偏导数,且对任意的都有.证明: 对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线,都有.(20)(本题满分9分) 已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解,(1)证明方程组系数矩阵的秩. (2)求的值及方程组的通解.(21)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解.(1)求的特征值与特征向量.(2)求正交矩阵和对角矩阵,使得.(){},0D x y y =>(),f x y 0t >()()2,,f tx ty t f x y =L L (,)(,)0Lyf x y dx xf x y dy -=⎰1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩A ()2r =A ,a b A ()()121,2,1,0,1,1TT=--=-αα0x =A A Q A T =Q AQ A(22)(本题满分9分)随机变量的概率密度为为二维随机变量的分布函数.(1)求的概率密度.(2).(23)(本题满分9分)设总体的概率密度为 ,其中是未知参数,为来自总体的简单随机样本,记为样本值中小于1的个数,求的最大似然估计x ()()21,1021,02,,40,令其它x x f x x y x F x y ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<=⎨⎪⎪⎪⎩(,)X Y Y ()Y f y 1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭X (,0)F X =10θθ-0112x x <<≤<其它θ(01)θ<<12n ,...,X X X X N 12,...,n x x x θ2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)(1)当时,等价的无穷小量是 (A)(B)(D)(2)曲线,渐近线的条数为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(3)如图,连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设.则下列结论正确的是(A)(B) (C)(D)(4)设函数在处连续,下列命题错误的是0x +→1-ln11-1ln(1e )x y x=++()y f x =[3,2],[2,3]--[2,0],[0,2]-0()()xF x f t dt =⎰3(3)(2)4F F =--5(3)(2)4F F =3(3)(2)4F F =5(3)(2)4F F =--()f x 0x =(A)若存在,则(B)若存在,则(C)若存在,则(D)若存在,则(5)设函数在(0, +)上具有二阶导数,且, 令则下列结论正确的是(A)若,则{}必收敛 (B)若,则{}必发散 (C)若,则{}必收敛 (D)若,则{}必发散(6)设曲线(具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点和第Ⅳ象限内的点为上从点到的一段弧,则下列小于零的是(A)(B)(C)(D)(7)设向量组线性无关,则下列向量组线形相关的是 (A) (B) (C)(D)(8)设矩阵,,则与(A)合同,且相似(B)合同,但不相似(C)不合同,但相似(D)既不合同,也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A) (B)(C)(D)(10)设随即变量服从二维正态分布,且与不相关,,分0()limx f x x→(0)0f =0()()lim x f x f x x→+-(0)0f =0()lim x f x x→(0)0f '=0()()lim x f x f x x→--(0)0f '=()f x ∞"()0f x >()1,2,,,n u f n n ==12u u >n u 12u u >n u 12u u <n u 12u u <n u :(,)1L f x y =(,)f x y M ,N ΓL M N (,)x y dx Γ⎰(,)f x y dy Γ⎰(,)f x y ds Γ⎰'(,)'(,)x y f x y dx f x y dy Γ+⎰123,,ααα,,122331---αααααα,,122331+++αααααα1223312,2,2---αααααα1223312,2,2+++αααααα211121112--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A 100010000⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B A B ()01p p <<23(1)p p -26(1)p p -223(1)p p -226(1)p p -(,)X Y X Y ()X f x ()Y f y别表示的概率密度,则在的条件下,的条件概率密度为(A)(B)(C)(D)二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上)(11)=_______. (12)设为二元可微函数,,则=______. (13)二阶常系数非齐次线性方程的通解为=____________.(14)设曲面,则=_____________.(15)设矩阵,则的秩为________.(16)在区间中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于的概率为________.三、解答题(17－24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(17)(本题满分11分)求函数在区域上的最大值和最小值.(18)(本题满分10分)计算曲面积分其中为曲面,X Y Y y =X |(|)X Y f x y ()X f x ()Y f y ()X f x ()Y f y ()()X Y f x f y 31211e x dx x⎰(,)f u v (,)y x z f x y =zx∂∂2''4'32e x y y y -+=y :||||||1x y z ++=∑(||)x y ds ∑+⎰⎰01000010********⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A 3A (0,1)122222(,)2f x y x y x y =+-22{(,)|4,0}D x y x y y =+≤≥23,I xzdydz zydzdx xydxdy ∑=++⎰⎰∑的上侧.(19)(本题满分11分)设函数在上连续,在内具有二阶导数且存在相等的最大值,,证明:存在,使得 .(20)(本题满分10分) 设幂级数在内收敛,其和函数满足(1)证明:(2)求的表达式.221(01)4y z x z =--≤≤(),()f x g x [,]a b (,)a b ()(),()()f a g a f b g b ==(,)a b ξ∈()()f g ξξ''''=0nn n a x∞=∑(,)-∞+∞()y x 240,(0)0,(0) 1.y xy y y y ''''--===22,1,2,.1n n a a n n +==+()y x(21)(本题满分11分)设线性方程组与方程有公共解,求的值及所有公共解.(22)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵的特征向量值是的属于特征值的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵.(1)验证是矩阵的特征向量,并求的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵.(23)(本题满分11分)设二维随机变量的概率密度为(1)求 (2)求的概率密度.(24)(本题满分11分)设总体的概率密度为 1231232123020,40x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩12321,x x x a ++=-aA 12311,2, 2.(1,1,1)Tλλλ===-=-αA 1λ534,=-+B A A E E 1αB B B (,)X Y 2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他{2}.P X Y >Z X Y =+X 1,021(;),12(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他是来自总体的简单随机样本,是样本均值(1)求参数的矩估计量. (2)判断是否为的无偏估计量,并说明理由.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)设函数则的零点个数 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3(2)函数在点处的梯度等于 (A) (B)- (C) (D)(3)在下列微分方程中,以(为任意常数)为通解的是(A) (B) (C) (D)(4)设函数在内单调有界,为数列,下列命题正确的是(A)若收敛,则收敛12,,n X X X x X θˆθ24X 2θ20()ln(2)x f x t dt =+⎰()f x '(,)arctan xf x y y=(0,1)i i j -j 123cos 2sin 2x y C e C x C x =++123,,C C C 440y y y y ''''''+--=440y y y y ''''''+++=440y y y y ''''''--+=440y y y y ''''''-+-=()f x (,)-∞+∞{}n x {}n x {}()n f x。