同济大学《高等数学》(第四版)2-1节导数的概念

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2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率.
变速直线运动:路程对时间的导数为物体的 瞬时速度.
s ds v(t)lim .
t0t dt
交流电路:电量对时间的导数为电流强度.
q dq i(t)lim .
t0t dt 非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导 数为物体的线(面,体)密度.
五、可导与连续的关系
h 0
h
limcos(x
h0
h) 2
sinh 2
h
cx o . s
2 即(sx )i n co x . s
(sixn) x coxsx
4
4
2. 2
例3 求函 yx数 n(n为正 )的 整导 .数数
解 (xn)lim (xh)nxn
h 0
h
li[n m n 1 x n (n 1 )x n 2 h h n 1 ]nxn1
h 0
2 !
即(xn)nn x 1.
更一般地 (x ) x 1 . ( R )
例如,
(
x)
1
11
x2
2
1. 2x
( x1 )
(1)x11
1 x2
.
例4 求函 f(x) 数 ax(a0 ,a1 )的.导数
解 (ax)lim axhax
h0 h ax limah 1
h0 h axlna.
2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近 函数.
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★ 单侧导数
1.左导数:
f ( x 0 ) x lx 0 i 0 f m ( x x ) x f 0 ( x 0 ) l x i 0 f ( m x 0 x x ) f ( x 0 ) ;
2.右导数:
f ( x 0 ) x lx 0 i 0 f m ( x x ) x f 0 ( x 0 ) l x i 0 f ( m x 0 x x ) f ( x 0 ) ;
例7 求等边双y曲 1在 线点 (1,2)处的切线 x2
斜率 ,并写出在该点方 处程 的和 切法 线.线方
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y x1 2
( 1 ) x
x1 2
1 x2
x1 2
4.
所求切线方程为 y24(x1), 即 4xy40 .
2
法线方程为 y21(x1), 即 2 x 8 y 1 5 0 .
四、导数的几何意义与物理意义
1.几何意义
y
f (x0 )表示曲线y f (x) 在点M(x0, f (x0 ))处的 切线的斜率,即
f (x0 ) tan, (为倾角)o
yf(x)
T M
x0
x
切线方程为 y y 0 f( x 0 )x ( x 0 ).
法线方程为
1 yy0f(x0)(xx0).
★ 函 数 f(x )在 点 x 0处 可 导 左 导 数 f (x 0)和 右 导 数 f (x 0)都 存 在 且 相 等 .
★ 如 果 f(x )在 开 区 间 a ,b 内 可 导 ， 且 f (a )及
f (b )都 存 在 ， 就 说 f(x )在 闭 区 间 a ,b 上 可 导 .
★
设函f(x 数 ) ((x x)),,
xx0, xx0
讨论x在 0的点
可导 . 性
若 lim f(x0 x)f(x0)
x 0
x
lx i0m (x0 x x )(x0)f(x0)存,在
若 lim f(x0 x)f(x0)
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x
lx i0m (x0 x x )(x0)f(x0)存,在
且 f ( x 0 ) f ( x 0 ) a ,
则f(x)在点x0可导，
且 f(x0)a.
三、由定义求导数
步骤: ( 1 ) 求 y 增 f ( x x 量 ) f ( x );
(2 )算比 y f(x 值 x ) f(x );
x
x
(3)求极 y 限 lim y.
x 0 x
(lnx) 1 . x
例6 讨论f(函 x)x数 在 x0处的.可导
解 f(0h)f(0)h,
h
h
lim f(0h)f(0)lim h 1,
h 0
h
h h 0
y y x
o
x
f(0h )f(0 ) h
lim
lim1.
h 0
h
h h 0
即 f (0 )f (0 ), 函y数 f(x)在 x0点不 . 可
注意: 该定理的逆定理不成立.
★ 连续函数不存在导数举例
1. 函数 f(x)连续 ,若f(x0)f(x0)则称x0点 为函f(数 x)的角,函 点数在角点 . 不
例如,
x2, x0
f(x)
,
x, x0
y
y x2
yx
0
x
在 x 0 处不 ,x 0 为 可 f(x )的 导 .角点
2.设函f数 (x)在点 x0连续 , 但
例1 求函 f(x ) C 数 (C 为)常 的数 .导数
解
f(x)lh i0m f(xh h )f(x)
limC
h0
C h
0.
即(C )0.
例2 设函 f(x ) s数 ix ,n 求 (sx ) i及 n (sx ) ix n . 4
解 (sx i)n lis m ix n h ()sixn
即(ax)axln a .
(ex)ex.
例5 求y 函 lo ax ( 数 g a 0 ,a 1 )的.导数
解 ylim loa(g xh )loax g
h 0
h
lim
loga
(1
h) x
1
h0
h
x
x
1xlh im 0loag(1h x)h x
1 x
loga
e.
即 (lo axg )1 xloae g.
★ 对于任x 一I,都对应f(着 x)的一个确定的 导数.这 值个函数叫做原 f(x)来 的函 导数 函 . 数
记作 y, f(x),dy或df(x). dx dx
即 ylim f(x x)f(x)
x 0
x
或 f(x ) lif m (x h )f(x ).
h 0
h
注意: 1.f(x0)f(x)xx0.
limylimf(x0 x)f(x0),
x x0
x0
x
称函f数 (x)在点 x0有无穷.导 (不数 可)导
定理 凡可导函数都是连续函数.
证 设函 f(x)在 数 x0 点 可, 导
lxi m 0 xyf(x0)
y x
f(x0)
0( x 0 ) y f(x 0 ) x x
l x 0 i y m l x 0 i [ f m ( x 0 ) x x ] 0
函f(数 x )在x 0 连 点 . 续