同济大学《高等数学》(第四版)2-1节导数的概念
同济大学高等数学《导数及其应用》word教案
同济大学高等数学《导数及其应用》w o r d教案(总35页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第 9 次课 2 学时第二章 导数与微分导数和微分是高等数学中的重要内容之一，也是今后讨论一切问题的基础。
导数数大体上变化多少，它从根本上反映了函数的变化情况。
本章主要学习和讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法，以后将陆续的介绍它们的用途。
§2、1 导数的概念 一、 引例 1、切线问题：切线的概念在中学已见过。
从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在该点和曲线相切。
准确地说，曲线在其上某点P 的切线是割线PQ 当Q 沿该曲线无限地接近于P 点的极限位置。
设曲线方程为)(x f y =，设P 点的坐标为),(00y x p ，动点Q 的坐标为),(y x Q ，要求出曲线在P 点的切线，只须求出P 点切线的斜率k 。
由上知，k 恰好为割线PQ 的斜率的极限。
我们不难求得PQ 的斜率为：0)()(x x x f x f --；因此，当Q P →时，其极限存在的话，其值就是k ，即00)()(limx x x f x f k x x --=→。
若设α为切线的倾角，则有αtan =k 。
2、速度问题：设在直线上运动的一质点的位置方程为)(t s s =（t 表示时刻），又设当t 为0t 时刻时，位置在)(0t s s =处，问：质点在0t t =时刻的瞬时速度是多少？为此，可取0t 近邻的时刻t ，0t t >，也可取0t t <，在由0t 到t 这一段时间内，质点的平均速度为00)()(t t t s t s --,显然当t 与0t 越近，用00)()(t t t s t s --代替0t 的瞬时速度的效果越佳，特别地，当0t t →时，00)()(t t t s t s --→某常值0v ，那么0v 必为0t 点的瞬时速度，此时，00)()(lim 0t t t s t s v t t --=→二、 导数的定义综合上两个问题，它们均归纳为这一极限00)()(limx x x f x f x x --→（其中0x x -为自变量x在0x 的增量，)()(0x f x f -为相应的因变量的增量），若该极限存在，它就是所要讲的导数。
同济大学高等数学《导数及其应用》word教案
第9次课2学时第二章导数与微分导数和微分是高等数学中的重要内容之一，也是今后讨论一切问题的基础。
导数反映出函数相对于自变量的变化快慢的程度，而微分则指明当自变量有微小变化时函数大体上变化多少，它从根本上反映了函数的变化情况。
本章主要学习和讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法，以后将陆续的介绍它们的用途。
§2、1导数的概念一、 引例1、 切线问题：切线的概念在中学已见过。
从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在该点和曲线相切。
准确地说，曲线在其上某点P 的切线是割线PQ 当Q 沿该曲线无限地接近于P 点的极限位置。
设曲线方程为)(x f y =，设P 点的坐标为),(00y x p ，动点Q 的坐标为),(y x Q ，要求出曲线在P 点的切线，只须求出P 点切线的斜率k 。
由上知，k 恰好为割线PQ 的斜率的极限。
我们不难求得PQ 的斜率为：0)()(x x x f x f --；因此，当Q P →时，其极限存在的话，其值就是k ，即0)()(limx x x f x f k x x --=→。
若设α为切线的倾角，则有αtan =k 。
2、速度问题：设在直线上运动的一质点的位置方程为)(t s s=（t 表示时刻），又设当t 为0t 时刻时，位置在)(0t s s =处，问：质点在0t t =时刻的瞬时速度是多少？为此，可取0t 近邻的时刻t ，0t t >，也可取0t t <，在由0t 到t 这一段时间内，质点的平均速度为00)()(t t t s t s --,显然当t 与0t 越近，用00)()(t t t s t s --代替0t 的瞬时速度的效果越佳，特别地，当0t t →时，0)()(t t t s t s --→某常值0v ，那么0v 必为0t 点的瞬时速度，此时，二、导数的定义综合上两个问题，它们均归纳为这一极限00)()(limx x x f x f x x --→（其中0x x -为自变量x 在0x 的增量，)()(0x f x f -为相应的因变量的增量），若该极限存在，它就是所要讲的导数。
高等数学4教材答案详解
高等数学4教材答案详解一、导数与微分1. 导数的定义导数是函数在某一点处的瞬时变化率，通常用f'(x)表示。
导数的定义可以表达为：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h2. 导数的基本运算法则2.1 常数规则：如果f(x) = C（C为常数），则f'(x) = 0。
2.2 乘积规则：若f(x) = u(x) v(x)，则f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)。
2.3 商数规则：若f(x) = u(x) / v(x)，则f'(x) = [u'(x) v(x) - u(x) v'(x)] / [v(x)]²。
3. 微分与近似计算微分是导数的一个重要应用，它可以用于函数的线性近似计算。
微分的公式为：dy = f'(x) dx其中dy表示函数f(x)在点(x, f(x))处的微小变化量，dx表示自变量x 的微小变化量。
二、函数的极限1. 极限的定义函数f(x)在点x=a处的极限为L，可以表示为：lim(x→a) f(x) = L2. 极限的性质2.1 唯一性：如果极限存在，则极限唯一。
2.2 有界性：如果极限存在，则函数在某个邻域内有界。
2.3 保号性：如果lim(x→a) f(x) > 0，则存在a的某个邻域内，使得f(x) > 0。
3. 极限的计算方法3.1 四则运算法则：对于函数的四则运算，可以利用极限的性质进行计算。
3.2 复合函数的极限：如果f(x)的极限为L，g(x)在L处连续，那么f(g(x))的极限为f(L)。
三、一元函数的连续性1. 连续函数的定义如果函数f(x)在点x=a处的极限存在，并且f(a)等于该极限值，那么称函数在点x=a处连续。
2. 连续函数的性质2.1 连续函数的四则运算：连续函数的加、减、乘、除仍然是连续函数。
2.2 复合函数的连续性：若f(x)在x=a处连续，g(x)在f(a)处连续，则f(g(x))在x=a处连续。
同济大学(高等数学)_第二章_导数与微分知识分享
3 x) 3x
f (x0 )
3 f ( x0 )
6．
（ 2） lim f ( x0 h) f ( x0 h) lim f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 h)
h0
h
h0
h
lim f (x0 h)
h0
h
f (x0)
lim f (x0
h0
h) f (x0) h
2 f ( x0 )
内可导；
（ 2）若函数 y f ( x) 在区间 (a, b) 内可导，在区间左端点 a 的右导数 f (a) 和区间右
端点 b 的左导数 f (b) 均存在，则称 y f (x) 在闭区间 [ a,b] 上可导． 定义 4 若函数 y f ( x) 在区间 I （可以是开区间、闭区间或半开半闭区间）上可导，
x
x x0
x x0
值为 y f ( x) 在点 x0 的 左导数 ，记为 f ( x0 ) ，即
f ( x0 ) lim f ( x0 x0
x)
f (x0)
f (x) lim
f ( x0 ) ．
x
x x0
x x0
（ 2）设函数 y f ( x) 在点 x0 的某右邻域内有定义，当自变量 x 在点 x0 右侧取得增量
v(t0 ) lim v t0
1.1.2 平面曲线的切线斜率问题
s lim t0 t
lim s(t0
t0
t) s(t0) ． t
已知曲线 C : y f ( x) ，求曲线 C 上点 M 0 ( x0 , y0 ) 处的切线斜率．
欲求曲线 C 上点 M 0( x0 , y0) 的切线斜率，由切线为割线的极限位置，容易想到切线的
高等数学2.1 导数的概念
P
O
x0
x
由此可知曲线 y = f (x)上点 P0 处的切线方程为
y - y0 = f ( x0)(x x0) .
法线方程为
1 y y0 ( x x0 ) ( f ( x0 ) 0). f ( x0 )
其中 y0 = f ( x0).
例2 法线方程. 解
( x 2 ) |x0 1 2.
例 3 表明，给定了 x0 就对应有函数 f (x) = x2
此时也称函数 f (x) 在点 x0 处可导. 如果上述极限不
存在，则称 f (x) 在 x0 处不可导.
如果极限不存在，我们说函数 y f ( x) 在点x0
x0
处不可导.
如果固定x0 , 令x0 x x, 则当x 0时，
有x x0 , 故函数在x0处的导数f ' ( x0 )也可表示为
s s( t 0 t ) s( t 0 ) , t t
在匀速运动中， 这个比值是常量，但在变速运动
中，它不仅与 t0 有关，而且与 t 也有关，当 t
s 很小时， 显然 与在 t0 时刻的速度相近似. t s
如果当 t 趋于 0 时， 平均速度
t 则将这个极限值记作 v (t0)， 叫做物体在 t0 时刻
y 第二步求 ： x
y 2 x 0 x ( x ) 2 2 x 0 x . x x
第三步取极限：
y lim lim ( 2 x0 x ) 2 x0 . x 0 x x 0
即
( x ) | x x0 2 x0 .
2Байду номын сангаас
有了上式，求具体某一点，如 x0 = 1 处导数， 就很容易了，只要将 x0 = 1 代入即得
高等数学(同济大学)课件上第2_1导数的概念
说明：
对一般幂函数 y x ( 为常数)
(x ) x1
（以后将证明）
例如，(
1
x ) (x 2 )
1
x
1 2
2
1 2x
1 x
(x1)
x11
1 x2
(
1
3
) (x 4 )
3
x
7 4
xx
4
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 求函数
的导数.
解:
则
lim f (x h) f (x) lim sin(x h) sin x
第二章
导数思想最早由法国
导数与微分 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出.
微积分学的创始人: 英国数学家 Newton 德国数学家 Leibniz
导数 微分学 微分
描述函数变化快慢 描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
第一节
第二章
导数的概念
一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 五、单侧导数
曲线 C : y f (x) 在 M 点处的切线斜率
y y f (x) N
f (x0 )
CM
T
说明: 在经济学中, 边际成本率, o x0 x x
边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
y f (x) f (x0) x x x0
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导.
若 lim y , 也称 x0 x
在 的导数为无穷大 .
若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
同济大学高等数学课件D121基本概念
全微分的定义 全微分的基本性质 全微分与偏导数的关系 全微分在多元函数中的应用
偏导数的定义
全微分的定义
偏导数与全微 分的关系
偏导数与全微 分的应用
二重积分的定义：二重 积分是定积分在二维空 间上的推广，表示函数 在某个区域上的面积。
输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
逼近性：傅里叶级数可以逼近任何周期函数
输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
三角恒等式：傅里叶级数中的系数满足三角恒等式
输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
傅里叶级数是无穷级数的一种特殊 形式
傅里叶级数的收敛性和基本性质
计算方法：定积分可以使 用牛顿-莱布尼茨公式计 算，不定积分可以使用微 积分的基本原理计算。
应用：定积分可以用于求 解面积、体积、平均值等 问题，不定积分可以用于 求解原函数、导数、微分 等问题。
偏导数的定义：对于多元函数，偏导数表示函数在某一自变量 固定，其他自变量变化时函数的变化率 输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
二重积分和三重积分的计算方法基本相同，都是通过累加累减的方式进行
二重积分和三重积分的物理意义不同，二重积分表示面积，而三重积分表示体积
二重积分和三重积分的几何意义也不同，二重积分表示二维平面上的曲线与x轴围成的面积， 而三重积分表示三维空间中的曲面与x轴、y轴围成的体积
定义：常微分方程是描述一个或多个未知函数及其 导数之间关系的方程
分类：线性偏微分方程和非线性偏微分方程 偏微分方程的解法
偏微分方程的解法
有限差分法：用离散的有限个点上的近似值 来逼近偏微分方程的解
同济高数第四版知识点总结
同济高数第四版知识点总结一、微积分微积分是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的极限、导数和积分。
在《同济高数第四版》中，微积分的内容主要包括了函数的极限、导数、微分、定积分和不定积分等方面。
1.1 函数的极限函数的极限是研究函数在某一点附近的变化趋势。
在教材中，介绍了数列的极限和函数的极限的概念，并给出了一些典型的函数极限的计算方法，比如使用极限的性质进行计算、泰勒公式等。
1.2 导数导数是函数在某一点处的变化率，也可以理解为函数的斜率。
在教材中，介绍了导数的定义、导数的代数运算规则、导数的几何意义以及一些常见函数的导数计算方法。
1.3 微分微分是导数的一种应用，它可以用于函数的局部线性逼近，也可以用于函数的最值问题等。
在教材中，介绍了微分的定义、微分的性质和微分的计算方法。
1.4 定积分定积分是对函数在一定区间内的积分，它可以理解为函数在这一区间内的“总体积”。
在教材中，介绍了定积分的定义、定积分的性质、定积分的计算方法以及一些几何应用。
1.5 不定积分不定积分是对函数的反导数，它可以用于计算定积分、解微分方程等。
在教材中，介绍了不定积分的定义、不定积分的基本性质、不定积分的计算方法以及一些典型的不定积分的计算方法。
二、多元函数微分学在多元函数微分学中，主要讨论了多元函数的极限、偏导数、全微分、方向导数、梯度、多元函数的微分、多元函数的导数、隐函数及参数方程求导等内容。
2.1 多元函数的极限多元函数的极限是研究多元函数在某一点附近的变化趋势，它与一元函数的极限类似。
在教材中，介绍了多元函数的极限的概念、多元函数的极限的判定方法以及一些典型的多元函数的极限的计算方法。
2.2 偏导数偏导数是多元函数的导数在某一方向上的投影，它可以用于研究多元函数在某一方向上的变化率。
在教材中，介绍了偏导数的概念、偏导数的计算方法、偏导数的性质以及一些典型的偏导数的计算方法。
2.3 全微分全微分是多元函数的微分在某一方向上的投影，它可以用于多元函数的局部线性逼近。
同济大学教材高等数学目录
同济大学教材高等数学目录第一章微积分基础1.1 函数与极限- 1.1.1 实数与数轴- 1.1.2 函数的概念- 1.1.3 函数的极限1.2 导数与微分- 1.2.1 导数的概念- 1.2.2 导数的计算- 1.2.3 高阶导数与微分1.3 微分中值定理与导数的应用- 1.3.1 中值定理概念与证明- 1.3.2 罗尔定理与拉格朗日中值定理- 1.3.3 泰勒公式与应用第二章微分学的应用2.1 曲线的性质与图形的简单变换- 2.1.1 形状和方程- 2.1.3 图形的伸缩与旋转2.2 函数的单调性与曲线的凹凸性- 2.2.1 单调函数的概念- 2.2.2 定理与判定- 2.2.3 凹凸函数的概念与定理2.3 不定积分- 2.3.1 原函数与不定积分- 2.3.2 基本积分公式- 2.3.3 积分法与应用第三章多元函数微分学3.1 多元函数的极限与连续性- 3.1.1 多元函数的极限概念- 3.1.2 多元函数的连续性- 3.1.3 极限和连续性的性质3.2 偏导数与全微分- 3.2.1 偏导数的概念- 3.2.3 全微分与边界条件3.3 隐函数与参数方程的偏导数- 3.3.1 隐函数的概念与求导法则- 3.3.2 参数方程的导数与高阶导数- 3.3.3 隐函数与参数方程的微分第四章微分方程4.1 一阶常微分方程- 4.1.1 基础概念与解的存在唯一性- 4.1.2 常微分方程的解法- 4.1.3 可降阶的高阶方程4.2 高阶线性常微分方程- 4.2.1 高阶常微分方程的基本概念- 4.2.2 欧拉方程与特征方程- 4.2.3 高阶常微分方程的解法4.3 常系数线性齐次微分方程- 4.3.1 广义指数函数与欧拉公式- 4.3.2 常系数齐次线性微分方程的解- 4.3.3 常系数齐次高阶微分方程的解第五章微分方程的应用5.1 函数的级数展开与Fourier级数- 5.1.1 幂级数的定义和性质- 5.1.2 幂级数的收敛性- 5.1.3 Fourier级数的定义和应用5.2 傅里叶变换- 5.2.1 傅里叶变换的定义和性质- 5.2.2 傅里叶变换的求解方法- 5.2.3 傅里叶变换的应用5.3 积分变换- 5.3.1 Laplace变换的定义和性质- 5.3.2 Laplace变换的求解方法- 5.3.3 积分变换的应用领域以上为同济大学教材《高等数学》的目录概要。
导数的概念和定义高数
导数的概念和定义高数高等数学中，导数是一个重要的概念，用于描述函数的变化速率。
导数的定义及其性质是高等数学学习的重点内容之一。
本文将对导数的概念和定义进行详细论述。
1. 导数的概念导数是描述函数在某一点上的变化率。
对于函数f(x)，它在点x=a处的导数可以用极限的形式表示：f'(a)=lim[(f(x)-f(a))/(x-a)], x→a其中，f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的导数，也可以记作dy/dx|{x=a}或df(x)/dx|{x=a}。
导数可以理解为函数曲线在某一点上的切线斜率。
2. 导数的定义导数的定义基于极限的概念。
一个函数在某一点上的导数等于函数曲线在该点处的切线斜率，也就是曲线与x轴之间的夹角的正切值。
具体来说，对于函数f(x)，在点x=a处的导数可以用以下公式表示：f'(a)=lim[(f(x)-f(a))/(x-a)], x→a对于函数f(x)=kx^n，其中k和n都是常数，可通过求导的方式计算导数。
根据定义和导数的特性，我们可以得到：- 常数的导数为0：如果f(x)=k，其中k是一个常数，那么f'(x)=0。
- 幂函数的导数：对于f(x)=x^n，其中n是正整数，f'(x)=nx^(n-1)。
- 指数函数的导数：对于f(x)=a^x，其中a为正实数且a≠1，f'(x)=a^x * ln(a)。
3. 导数的几何意义导数具有重要的几何意义。
对于函数f(x)，在点x=a处的导数f'(a)表示函数曲线在该点处的切线斜率。
当导数为正时，函数曲线在该点处向上增长；当导数为负时，函数曲线在该点处向下减小；当导数为零时，函数曲线在该点处具有极值（最大值或最小值）。
通过导数可以描绘出函数的整体特征，包括函数的增减性、极值点、拐点等。
通过对导数图像的分析，可以得到函数图像的大致形态。
4. 导数的计算规则导数的计算有一些特定的规则。
高数导数的概念
高阶导数在研究函数的极值、拐点、曲线的弯曲程度等方面有重要 应用。
导数的物理应用
定义
导数是微积分的基本概念之一， 它描述了函数值随自变量变化的 速率。在物理学中，导数可以用 来描述物理量随时间或空间的变 化率。
计算方法
通过物理定律和公式，可以推导 出各种物理量的导数，从而得到 它们的变化率。
应用
应用
导数在经济学中有广泛的应用，如边际分析、最优化问题、需求弹性等都需要用到导数。
THANKS
感谢观看
导数可以用来求函数的极值，通过求导并 令导数为0，可以找到函数的极值点。
VS
详细描述
首先求出函数的导数，然后令导数等于0， 解出对应的自变量值，这些点就是函数的 极值点。在极值点处，函数可能会取得极 大值或极小值。
利用导数求曲线的切线方程
总结词
详细描述
利用导数可以求出曲线上某一点的切线方程， 通过求导可以找到切线的斜率。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线的斜率，表示函数图像在某一点的切 线。
详细描述
在二维平面坐标系中，函数图像上某一点的切线斜率即为该 点的导数值。导数大于零表示切线斜率为正，函数在该点处 单调递增；导数小于零表示切线斜率为负，函数在该点处单 调递减。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义是描述物理量随时间变化的速率。
通过解这个导数方程，可以得到该变 量的导数。
03
导数的应用
利用导数研究函数的单调性
总结词
导数可以用来判断函数的单调性，通过导数的正负来判断函数在某区间内的增减性。
详细描述
如果函数在某区间的导数大于0，则函数在此区间内单调递增；如果导数小于0，则函数在此区间内单调递 减。
高等数学教材第四版答案
高等数学教材第四版答案第一章：导数与微分1. 函数与极限1.1 极限的概念与性质1.2 极限的运算法则1.3 无穷小与无穷大1.4 两个重要极限2. 导数与微分的概念2.1 导数的定义2.2 导数的几何意义与物理意义2.3 导数的性质2.4 微分的概念及其计算3. 导数的应用3.1 高阶导数3.2 隐函数求导3.3 参数方程求导3.4 反函数求导3.5 极值与最值问题第二章：微分学与中值定理1. 中值定理1.1 罗尔中值定理1.2 拉格朗日中值定理1.3 柯西中值定理2. 函数的单调性与曲线的凹凸性2.1 函数的单调性2.2 曲线的凹凸性2.3 用导数证明函数的单调性和曲线的凹凸性3. 导数的应用3.1 泰勒公式3.2 麦克劳林公式3.3 曲线的渐近线3.4 曲率与曲率半径第三章：不定积分1. 原函数与不定积分1.1 原函数的概念与性质1.2 不定积分的概念1.3 不定积分的运算法则2. 基本积分表2.1 一般函数的基本积分2.2 有理函数的基本积分3. 不定积分的计算方法3.1 分部积分法3.2 代换积分法3.3 有理函数的积分3.4 三角函数的积分3.5 反三角函数的积分第四章：定积分1. 定积分的概念与性质1.1 定积分的几何意义与物理意义 1.2 定积分的性质1.3 定积分的计算方法2. 牛顿—莱布尼兹公式2.1 原函数与定积分的关系 2.2 牛顿—莱布尼兹公式2.3 定积分的应用3. 定积分的计算方法3.1 分割求和法3.2 牢记的基本公式3.3 换元法与分部积分法3.4 定积分的应用3.5 特殊积分的计算第五章：多元函数微积分学1. 二元函数的极限与连续1.1 二元函数的极限1.2 二元函数的连续性1.3 混合偏导数与高阶偏导数2. 二重积分2.1 二重积分的概念与性质2.2 二重积分的计算方法2.3二重积分的应用3. 三重积分与曲线曲面积分3.1 三重积分的概念与性质3.2 三重积分的计算方法3.3 曲线曲面积分的概念与性质 3.4 曲线曲面积分的计算方法 3.5 曲线曲面积分的应用第六章：无穷级数1. 数项级数的概念与性质1.1 数项级数的概念1.2 数项级数的收敛性1.3 数项级数的性质2. 正项级数2.1 正项级数的审敛法2.2 相关级数2.3 函数项级数2.4 幂级数与泰勒级数3. 交错级数与绝对收敛的级数3.1 交错级数的判别法3.2 绝对收敛的概念与性质3.3 绝对收敛级数的判别法3.4 结果的应用以上是高等数学教材第四版的答案目录，希望能够对学习者提供一定的参考和解答。
高等数学导数的概念教学PPT课件
h0
h
h0 h 0.
即 (C ) 0.
9
第9页/共18页
例5 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解： (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
lim
x0
f ( x) f (0)
lim
x0
x 0
x x
1
f(0) f(0)
f (0) 1
12
第12页/共18页
二.导数的几何意义
y
f '( x0 )表示曲线y=f(x)上点
y f (x)
P0( x0 , f ( x0 ))处切线的斜率。
T
M
o
x0
x
切线方程为
y y0 f ( x0 )( x x0 ).
第一节 导数的概念
本节主要内容: 一.导数的定义 二.导数的几何意义 三.函数的可导性与连续性的关系
第1页/共18页
一.导数的定义
例1. 瞬时速度问题
一质点在x轴上作变速直线运动,运动方程
t 求 时刻的瞬时速度。 0 平均速度 v x t
f (t) f (t0 ) t t0
当 t t0时, 取极限得瞬时速度
x x0
x 0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
导数的概念和定义高数
导数的概念和定义高数导数是微积分中的一个重要概念，用来描述函数在某一点处的变化率。
它在数学和物理学等领域中具有广泛应用，并且是理解微积分的基础之一。
本文将详细介绍导数的概念和定义，并探讨其在高等数学中的意义和应用。
一、导数的概念导数描述了函数在某一点的切线斜率，或者说函数在该点的瞬时变化率。
对于函数f(x)，若它在某一点x处的导数存在，那么导数f'(x)表示函数在该点的切线斜率。
如果函数在每一个点的导数都存在，那么这个函数被称为可导函数。
导数的概念可以用极限来精确定义。
设函数f(x)在点x处连续，那么该点的导数f'(x)可以通过以下极限公式来计算：```f'(x) = lim h→0 (f(x+h) - f(x))/h```其中，h表示自变量的增量，即x+h代表一个比x更接近的点。
上述极限即为切线的斜率。
二、导数的定义导数的定义是导数概念的具体表达，用来计算函数在某一点处的导数值。
根据导数的概念，导数的定义可表示为：```f'(x) = lim h→0 (f(x+h) - f(x))/h```这就是导数的一种常见形式定义。
根据这个定义，我们可以计算函数在某一点的导数值。
三、导数的意义和应用导数在高等数学中具有重要的意义和应用。
首先，导数可以用来求函数的极值点。
对于一个可导函数，在其极值点处导数等于0。
通过求导，我们可以找到函数的极值点，并进一步研究函数的性质。
其次，导数可以用来描述函数的变化趋势。
函数的导数可以告诉我们函数在某一点的变化快慢。
如果导数为正，表示函数在该点递增；如果导数为负，表示函数在该点递减；如果导数为零，表示函数在该点取得极值。
此外，导数还可以用来求解曲线的切线方程。
利用导数的概念，我们可以求得曲线在某一点的切线斜率，并通过点斜式方程来求解切线方程。
切线方程在物理学等应用领域中具有重要意义。
导数的概念和定义在高数中是非常基础的概念，它为后续的微积分学习奠定了坚实的基础。
同济大学《高等数学》(第四版)2-5节 高阶导数
六、1、( 2 ) e cos( x + n ) ； 4 2 ⋅ n! n 2、 2、( −1) ； n+1 (1 + x ) 8 1 n 3、 ], ( n ≥ 2) ； 3、( −1) n![ − n+1 n+1 ( x − 2) ( x − 1) 1 n nπ ) 4、 [2 sin( 2 x + 4 2 nπ nπ n n ) − 6 sin( 6 x + )]. + 4 sin( 4 x + 2 2
二、求下列函数的二阶导数： 求下列函数的二阶导数： 2x3 + x + 4 1、 y = ； x 2 、 y = cos 2 x ln x ； 3 、 y = ln( x + 1 + x 2 ) . dx 1 导出： 三、试从 = ，导出： dy y ′ d2x y ′′ 1、 2 = − ； 3 dy ( y ′) d 3 x 3( y ′′ ) 2 − y ′ ⋅ y ′′′ 2、 3 = . 6 dy ( y ′) 是常数） 五、验证函数 y = c 1 e λx + c 2 e − λx (λ ,c1 ,c 2 是常数） 满足关系式 y ′′ − λ 2 y = 0 .
2! y ′′′ = (1 + x ) 3 y
(4)
3! =− (1 + x ) 4
LL (n) n −1 ( n − 1)! y = ( −1) (1 + x ) n
( n ≥ 1, 0! = 1)
例4
设 y = sin x , 求y (n ) . ′ = cos x = sin( x + π ) 解 y 2 π π π π ′′ = cos( x + ) = sin( x + + ) = sin( x + 2 ⋅ ) y 2 2 2 2 π y ′′′ = cos( x + 2 ⋅ ) = sin( x + 3 ⋅ π ) 2 2 LL π (n) y = sin( x + n ⋅ ) 2 π (n) 同理可得 (cos x ) = cos( x + n ⋅ ) 2
高等数学同济版教材第二章
高等数学同济版教材第二章高等数学同济版教材第二章是涉及导数与微分的内容。
本章从导数的定义出发，介绍了导数的性质与常用计算方法，以及应用于解决实际问题的微分学的基本概念和方法。
下面将对本章内容进行详细介绍。
1. 导数的定义在第二章开始的部分，我们首先引入了导数的概念。
导数可以理解为函数在某一点处的变化率，或者切线与横坐标正方向夹角的斜率。
根据导数的定义，我们可以推导出导数的计算方法。
2. 导数的性质导数具有一些重要的性质，例如常数函数的导数等于0，两个函数的和（差）的导数等于两个函数导数的和（差），函数的常数倍的导数等于常数倍与函数的导数的乘积等等。
这些性质为我们后续的计算提供了便利。
3. 常用导数计算方法根据导数的定义和导数的性质，本章介绍了一系列常用的导数计算方法，如幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数、三角函数的导数等。
通过学习这些计算方法，我们能够更加高效地求解函数的导数。
4. 高阶导数在本章中，我们不仅研究了函数的一阶导数，还引入了高阶导数的概念。
高阶导数表示函数导数的导数，通过高阶导数的研究，我们可以更加深入地理解函数的性质及其在各类问题中的应用。
5. 微分学的应用微分学是数学中的一个重要分支，也是本章的核心内容。
在本章中，我们学习了微分的基本概念和常用的计算方法，例如微分中值定理、泰勒公式等。
这些方法在实际问题中具有重要的应用价值，例如求函数的近似值、优化问题等。
通过对高等数学同济版教材第二章的学习，我们能够掌握导数的概念和计算方法，理解微分学的基本原理和应用。
这对我们进一步学习数学以及应用数学解决实际问题具有重要的意义。
总结起来，高等数学同济版教材第二章主要介绍了导数与微分的内容，包括导数的定义、性质与计算方法，以及微分学的基本概念和应用。
通过学习本章内容，我们可以提高对函数变化规律的理解，为进一步学习数学和应用数学打下坚实的基础。
高数同济教材新课预习自学期末复习第二章2-1
sin x 1 x 0
课堂 讨论函数 f (x) x 1
0 x 1 在x 0和x 1处的导数.
练习
1 x2
1 x
2
解
lim
f (1 h) f (1) lim
h 1 h2 3 2 2 源自h0hh0h
即 f(1) , 函数y f (x)在x 1点不可导.
三、导数的几何意义
导数 f (x0)在几何上表示曲线 yf(x) 在点 M(x0 f(x0)) 处的切线的斜率 即
应注意的问题: 这个结论的逆命题不成立 即函数yf(x)在点x0处连
续 但在点x0处不一定可导
★ 连续函数不存在导数举例
1. 函数 f ( x)连续 , 若 f( x0 ) f( x0 )则称点 x0 为函数 f ( x) 的角点 ,函数在角点不可导.
所求切线方程为 y 2 4( x 1), 即 4x y 4 0.
2
法线方程为 y 2 1 ( x 1), 即 2x 8 y 15 0.
42
例8 解 设切点的横坐标为x0 则切线的斜率为
于是所求切线的方程可设为 已知点(0 4)在切线上 所以
解之得x04 于是所求切线的方程为
f (x0)tan a 其中a是切线的倾角
切线方程为 yy0f (x0)(xx0)
法线方程为
例7 求等边双曲线 y 1 在点(1 ,2)处的切线的
x
2
斜率,并写出在该点处的切线 方程和法线方程 .
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y x1 2
( 1 ) x
x1 2
1 x2
x1 2
4.
★ 点导数是因变量在点x0处的变化率,它 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
h 0
2 !
即(xn)nn x 1.
更一般地 (x ) x 1 . ( R )
例如,
(
x)
1
11
x2
2
1. 2x
( x1 )
(1)x11
1 x2
.
例4 求函 f(x) 数 ax(a0 ,a1 )的.导数
解 (ax)lim axhax
h0 h ax limah 1
h0 h axlna.
★ 函 数 f(x )在 点 x 0处 可 导 左 导 数 f (x 0)和 右 导 数 f (x 0)都 存 在 且 相 等 .
★ 如 果 f(x )在 开 区 间 a ,b 内 可 导 ， 且 f (a )及
f (b )都 存 在 ， 就 说 f(x )在 闭 区 间 a ,b 上 可 导 .
2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近 函数.
播放
★ 单侧导数
1.左导数:
f ( x 0 ) x lx 0 i 0 f m ( x x ) x f 0 ( x 0 ) l x i 0 f ( m x 0 x x ) f ( x 0 ) ;
2.右导数:
f ( x 0 ) x lx 0 i 0 f m ( x x ) x f 0 ( x 0 ) l x i 0 f ( m x 0 x x ) f ( x 0 ) ;
★
设函f(x 数) ((x x)),,
xx0, xx0
讨论x在 0的点
可导 . 性
若 lim f(x0 x)f(x0)
x 0
x
lx i0m (x0 x x )(x0)f(x0)存,在
若 lim f(x0 x)f(x0)
x 0
x
lx i0m (x0 x x )(x0)f(x0)存,在
h 0
h
limcos(x
h0
h) 2
sinh 2
h
cx o . s
2 即(sx )i n co x . s
(sixn) x coxsx
4
4
2. 2
例3 求函 yx数 n(n为正 )的 整导 .数数
解 (xn)lim (xh)nxn
h 0
h
li[n m n 1 x n (n 1 )x n 2 h h n 1 ]nxn1
limylimf(x0 x)f(x0),
x x0
x0
x
称函f数 (x)在点 x0有无穷.导 (不数 可)导
例1 求函 f(x ) C 数 (C 为)常 的数 .导数
解
f(x)lh i0m f(xh h )f(x)
limC
h0
C h
0.
即(C )0.
例2 设函 f(x ) s数 ix ,n 求 (sx ) i及 n (sx ) ix n . 4
解 (sx i)n lis m ix n h ()sixn
定理 凡可导函数都是连续函数.
证 设函 f(x)在 数 x0 点 可, 导
lxi m 0 xyf(x0)
y x
f(x0)
0( x 0 ) y f(x 0 ) x x
l x 0 i y m l x 0 i [ f m ( x 0 ) x x ] 0
函f(数 x )在x 0 连 点 . 续
(lnx) 1 . x
例6 讨论f(函 x)x数 在 x0处的.可导
解 f(0h)f(0)h,
h
h
lim f(0h)f(0)lim h 1,
h 0
h
h h 0
y y x
o
x
f(0h )f(0 ) h
lim
lim1.
h 0
h
h h 0
即 f (0 )f (0 ), 函y数 f(x)在 x0点不 . 可
例7 求等边双y曲 1在 线点 (1,2)处的切线 x2
斜率 ,并写出在该点方 处程 的和 切法 线.线方
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y x1 2
( 1 ) x
x1 2
1 x2
x1 2
4.
所求切线方程为 y24(x1), 即 4xy40 .
2
法线方程为 y21(x1), 即 2 x 8 y 1 5 0 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
★ 连续函数不存在导数举例
1. 函数 f(x)连续 ,若f(x0)f(x0)则称x0点 为函f(数 x)的角,函 点数在角点 . 不
例如,
x2, x0
f(x)
,
x, x0
y
y x2
yx
0
x
在 x 0 处不 ,x 0 为 可 f(x )的 导 .角点
2.设函f数 (x)在点 x0连续 , 但
四、导数的几何意义与物理意义
1.几何意义
y
f (x0 )表示曲线y f (x) 在点M(x0, f (x0 ))处的 切线的斜率,即
f (x0 ) tan, (为倾角)o
yf(x)
T M
x0
x
切线方程为 y y 0 f( x 0 )x ( x 0 ).
法线方程为
1 yy0f(x0)(xx0).
42
2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率.
变速直线运动:路程对时间的导数为物体的 瞬时速度.
s ds v(t)lim .
t0t dt
交流电路:电量对时间的导数为电流强度.
q dq i(t)lim .
t0t dt 非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导 数为物体的线(面,体)密度.
五、可导与连续的关系
且 f ( x 0 ) f ( x 0 ) a ,
则f(x)在点x0可导，
且 f(x0)a.
三、由定义求导数
步骤: ( 1 ) 求 y 增 f ( x x 量 ) f ( x );
(2 )算比 y f(x 值 x ) f(x );
x
x
(3)求极 y 限 lim y.
x 0 x
即(ax)axln a .
(ex)ex.
例5 求y 函 lo ax ( 数 g a 0 ,a 1 )的.导数
解 ylim loa(g xh )loax g
h 0
h
lim
loga
(1
h) x
1
h0
h
x
x
1xlh im 0loag(1h x)h x
1 x
loga
e.
即 (lo axg )1 xloae g.
★ 对于任x 一I,都对应f(着 x)的一个确定的 导数.这 值个函数叫做原 f(x)来 的函 导数 函 . 数
记作 y, f(x),dy或df(x). dx dx
即 ylim f(x x)f(x)
x 0
x
或 f(x ) lif m (x h )f(x ).
h 0
h
注意: 1.f(x0)f(x)xx0.