反比例函数常见几何模型

反比例函数常见模型一、知识点回顾1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=kx（k≠0）．其解析式有三种表示方法：①xk y =（0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy = 2．反比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而减小．（2）当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而增大．（3）在反比例函数y=kx中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).（4）若双曲线y=kx图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2x-．（5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．二、新知讲解与例题训练 模型一：||=||,2k S k S ∆=矩形xyO已知 点P 是反比例函数 在第一象限内图象上的一动点.如图，若 轴于点B ， 轴于点N ，连接PM ，PN ，则矩形MONP 的面积为|K|yxMO PNyxMO PNyxMO PNyxMOPN已知 点P 是反比例函数 在第一象限内图象上的一动点.如图，若点B 为y 轴（不同于O ）的任意一点，连接 ，则△PAB 的面积为|K|/2.y x AO PByxA O PByxA O P ByxA O P（B ）已知 点P 是反比例函数 在第一象限内图象上的一动点.如图，若 轴于点M ，N 为 轴上任意一点，连接MN ，PN ，则△PMN 的面积为_________yx MO P（N ）yx MOPNyx MOPNyxMOPN例1：如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=xm在第一象限的交点，且3=∆AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ∆的面积变式题1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=x8(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________模型二：如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k xk y 任意不重合的两点，直线AB 交x 轴于M点，交y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，则有：AB DF ||且BM ＝AN如图，直线 与反比例函数 相交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作AE ⊥y 轴、BF ⊥x 轴，求证： ①AC=BD ，AE=BF ②AB ∥EF③△ACE ≌△BDFy x EC D FOBAy x EC D F O BAyxP EC D FOB ADFAB DF MN xy O例2：如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①DEF CEF S S ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE ≌△CDF ；④A C B D =其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）例3：一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数ky x=的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ，连接CD ．（1）若点A B ，在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =． （2）若点A B ，分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．y x DC A B O F E图1图2模型三：如图，A 、B 是反比例函数 在第一象限内图象上的一两个不重合的动点，AC ⊥x 轴于点C ， BD ⊥x 轴于点D ，求证：S △OAB=S 梯ACDB .yx DC OAByxS 2S 1DC OAB例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A (1,4)、B (4，1)两点，则△AOB 的面积是______.例5：如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A （1,4）、B （3，m ）两点，则△AOB 的面积是______.例6：如图1，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；（2）如图2，过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于C 、D 两点（点C 在第一象限且在点A 的左边），当四边形ACBD 的面积为24时，求点C 的坐标．模型四：在矩形AOBC 中，OB =a ，OA =b ，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数(0)ky x x =>的图象与AC 边交于点E ，则CE a CF b=.A 、B 是反比例函数 在第一象限内图象上的一两个不重合的动点， AC ⊥y 轴于点C ， BD ⊥x 轴于点D ，AC 与BD 相交于点E ，求证：A EB EA CB D=y xCE DO AByxS 1S 2CE DOABxB FC E A O y例7：两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在ky x=的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x =的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形P AOB 的面积不会发生变化；③P A 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 _________（把你认为正确结论的序号都填上）．【结论1】一次函数y= - x+b(b ＞0)与反比例函数xy=k(k ＞0)的图像交于点A ，B ，一次函数图像与y 轴和x 轴分别交于点C 、D 。

求证：△OAC ≌△OBD 。

【结论3】如图，反比例函数xy=k(k＞0) 与反比例函数xy=m(m＞0)，k＜m，在第一象限任取xy=m图像上的一点A，过点A向y轴作垂线，与y轴交于点B，与xy=k 的图像交于点D；过点A作x轴的垂线，垂足为C，与xy=k的图像交于点E，连接DE、BC。

求证：ED∥BC。

【解析】设A（a，m/a），则D（ak/m，m/a），B（0，m/a），E（a，k/a），C（a，0），AD=a(1-k/m)，AE=(m-k)/a；∴AD∶AE=a/m∶1/a=a∶m/a，AB∶AC=a∶m/a，根据“平行线分线段成比例的逆定理”（详见比例与相似高级教程（二）：成比例线段判断平行关系）可知：ED∥BC。

【结论4】如图，反比例函数xy=k (k＞0)在第一象限的图像上任取两点P、C，过点C向y轴作垂线，与y轴交于点B，过点P作PA⊥x轴于点A。

求证：S梯形OAPB=S梯形OBCA（或S△BPD=S△ACD）【提示】连接OP、OC、OD （如图4-1）。

S△AOP=S△BOC=k/2，∴S△AOP+S△OBP=S△OAC+S△BOC，即：S梯形OAPB=S梯形OBCA。

【结论5】如图，反比例函数：y=k/x(k＞0，x＞0）的图像经过矩形OABC边BC的中点F，与边AB交于点E，连接OE、OF。

（3）S△COF∶S△OFE∶S△BFE∶S△OAE=2∶3∶1∶2【提示】根据【结论3】，BF∶BC=BE∶BA=1∶2，故点E为AB的中点，∴S△OCF=S△OAE=k/2；S△BFE=S△BFE/2=k/4；S矩形ABCO=4S△OCF=2k，∴S△OEF=2k-k/2-k/2-k/4=3k/4.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数（x＞0）的图象经过对角线OB的中点D和顶点C．若菱形OABC的面积为12，则k的值为（）A．6B．5C．4D．3模型五：33课堂练习：一、选择题1、已知m<0，则函数mx y =1与xmy -=2的图像如图，大致是（ ）A. B. C. D 2、如图，点A 在双曲线xy 6=上，且OA=4,过点 A 作AC ⊥x 轴，垂足为c ，OA 的垂直平分线交OC 于B,则ABC ∆的周长为（ ）A.72B.5C.74D.223、如图，双曲线xky =（k>0）经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（ ） A.x y 1=B. x y 2=C. x y 3=D. xy 6=题3 题4 4、如图，A,B 是函数xy 2=的图像上关于原点对称的任意两点，BC//x 轴，AC//y 轴，ABC ∆的面积记为S ，则S （ ）A.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如图所示，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴，y 轴，若双曲线y=k x（k≠0）与△ABC 有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．1<k<2B ．1≤k≤3C ．1≤k≤4D ．1≤k<4题5二、填空题1、如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .2、如图，双曲线)0(2x xy =经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .3、如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y = k x，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′. （1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是 .（2）设P （t ，0）,当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是 .DBAyxOC4、如图，已知双曲线(0)ky k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为 .5、双曲线1y 、2y 在第一象限的图像如图，14y x=， 过1y 上的任意一点A ，作x 轴的平行线交2y 于B ， 交y 轴于C ，若1AOB S ∆=，则2y 的解析式是 ．课后习练一、填空题1、如图，直线y=kx （k>0）与双曲线y=4x交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于_______．2、反比例函数y=kx的图像上有一点P （a ，b ），且a ，b 是方程t 2－4t －2=0的两个根，则k=_______；点P 到原点的距离OP=_______．3、已知双曲线xy=1与直线y=－x+b 无交点，则b 的取值范围是______．4、反比例函数y=kx的图像经过点P （a ，b ），其中a ，b 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两个根，那么点P 的坐标是_______．5、如图，已知双曲线)0k (xky ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝___．第5题图 第6题图 6、如图，已知点A 是一次函数y=x 的图像与反比例函数y=2x的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为（ ） A ．2 B ．22C ．2D ．22 7、已知P 为函数y=2x的图像上一点，且P 到原点的距离为3，则符合条件的P 点数为（ ） A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．无数个二、精讲精练1. 如图，已知点A ，B 在双曲线ky x=（x>0）的图象上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，AC 与BD 相交于点P ，且P 是AC 的中点．若△ABP 的面积为3，则k =________．2. 如图，A ，B 是双曲线ky x=（k >0）上的点，且A ，B 两点的横坐标分别为a ，2a ，线段AB 的延长线P CA BD OyxAB CD E yx O交x 轴于点C ．若S △AOC =6，则k =________．AO CByx第2题图 第3题图3. 如图，直线43y x =与双曲线ky x=（x >0）交于点A ．将直线43y x =向右平移92个单位后，与双曲线k y x =（x >0）交于点B ，与x 轴交于点C ，若2=BC AO ，则k =________．4. 如图，平行四边形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线ky x=（k >0）经过A ，E 两点．若平行四边形AOBC 的面积为18，则k =________． E O C BAyx第4题图 第5题图 第6题图 5. 如图，已知函数1+-=x y 的图象与x 轴、y 轴分别交于C ，B 两点，与双曲线ky x=交于A ，D 两点．若AB+CD=BC ，则k 的值为________．6. 已知：如图，直线364y x =+与双曲线ky x=（x <0）相交于A ，B 两点，与x轴、y 轴分别交于D ，C 两点，若AB =5，则k =_________． 7. 如图，直线b x y +-=33与y 轴交于点A ，与双曲线xky =在第一象限交于B ，C 两点，且4AB AC ⋅=， 则k =_______y 2y 1EDA B OCxyyBAOC xD OA B C y x yx OD B C A ABCxyO8. 双曲线11y x =，23y x=在第一象限内的图象如图所示，过2y 上的任意一点A 作x 轴的平行线，交1y 于点B ，交y 轴于点C ，过点A 作x 轴的垂线，交1y 于点D ，交x 轴于点E ，连接BD ，CE ，则BDCE=________．第9题图 第10题图 9. 如图，双曲线2y x=（x >0）经过四边形OABC 的顶点A ，C ，∠ABC =90°，OC平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴．将△ABC 沿AC 翻折后得△AB ′C ，且点B ′恰好落在OA 上，则四边形OABC 的面积为__________．10. 如图，双曲线ky x=经过Rt △OMN 斜边上的点A ，与直角边MN 相交于点B ，已知OA =2AN ，△OAB 的面积为5，则k 的值是__________．11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数xky =（k 为常数，且>0k ）在第一象限的图象交于点E ，F ．过点E 作EM ⊥y 轴于M ，过点F 作FN ⊥x 轴于N ，直线EM 与FN 交于点C ．若BE :BF =1:m （m 为大于1的常数）．记△CEF 的面积为S 1，△OEF 的面积为S 2，则S 1:S 2的代数式表示）12. 如图，一次函数1y k x b =+的图象过点A (0，3)，且与反比例函数2ky x=（>0x ）的图象相交于B ，C 两点．（1）若B (1，2)，求12k k ⋅的值． （2）若AB =BC ，则12k k ⋅的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，NB AOMxy yx B'C B A O B yCA xO O x y B MN C EF A请说明理由．解：（1）将A (0，3)，B (1，2) 代入1y k x b =+，得3___________b =⎧⎨⎩， 解得1________k b =⎧⎨=⎩．将B (1，2)代入2ky x=，得k 2=______， ∴12k k ⋅=______．（2）_____定值，12k k ⋅=____．理由： 过点B 作BG ⊥y 轴于点G ， 过点C 作CH ⊥y 轴于点H ， 则BG ∥CH ． 又∵AB =BC ，∴AG =____，CH =___BG ．设B (m ，2km)，则C ( _____，_____ )，∴AG =_______，GH =_______，∴23km-=______，∴m =_____， ∴B ( ， )．把B ( ， )代入y =k 1x +3， 得____________， ∴12k k ⋅=________．。