系统的稳定性
系统稳定性意义以及稳定性的几种定义-20210310054128
系统稳定性意义以及稳定性的几种定义一、系统稳定性的意义1. 保证业务连续性：系统稳定性是业务连续性的基础。
在一个稳定的系统中，业务流程不会因系统故障而中断，确保企业或个人在关键时刻能够顺利完成任务。
2. 提升用户体验：系统稳定性直接影响用户的使用体验。
一个稳定的系统，让用户在使用过程中感受到流畅、高效，从而提高用户满意度。
3. 降低维护成本：系统稳定性越好，故障发生的概率越低。
这有助于降低系统维护成本，减轻运维人员的工作压力。
4. 增强系统安全性：稳定的系统在一定程度上能够抵御外部攻击，保障数据安全和系统安全。
二、系统稳定性的几种定义1. 工程学视角：在工程学领域，系统稳定性通常指系统在受到外部扰动时，能够自动恢复到平衡状态的能力。
这种定义关注系统在面临各种不确定性因素时的自我调节能力。
2. 控制理论视角：在控制理论中，系统稳定性是指系统在闭环控制作用下，输出信号能否在一定范围内波动，最终趋于稳定。
这种定义强调系统在控制过程中的稳定性。
3. 软件工程视角：在软件工程领域，系统稳定性是指软件系统在运行过程中，能够持续、可靠地完成预定功能，且性能不会随时间推移而明显下降。
4. 经济学视角：在经济学领域，系统稳定性通常指经济系统在各种内外部因素影响下，保持经济增长、就业、物价等宏观指标的稳定。
系统稳定性具有多重含义，不同领域对其有不同的解读。
但无论如何，系统稳定性都是衡量一个系统优劣的重要指标。
三、系统稳定性的影响因素2. 硬件质量：硬件设备的性能和质量直接关系到系统的稳定性。
高质量的硬件能够在恶劣环境下保持稳定运行，减少故障。
3. 软件质量：软件的稳定性和可靠性是系统稳定性的关键。
优秀的软件架构、高效的代码和充分的测试都能提高软件质量。
4. 系统维护：定期的系统维护和更新是保持稳定性的必要手段。
及时修复漏洞、优化性能，可以确保系统长期稳定运行。
5. 外部环境：外部环境的变化，如温度、湿度、电磁干扰等，都可能对系统稳定性产生影响。
系统稳定性的判断方法
系统稳定性的判断方法
评估系统稳定性的方法主要分为两种：静态评估方法和动态评估方法。
1. 静态评估方法：
- 系统规模评估：评估系统的规模，包括数据量、用户量、
交互过程等。
系统规模越大，稳定性要求越高。
- 系统结构评估：评估系统的组成结构，包括硬件、软件等
部分，是否符合规范、合理。
系统设计得越合理，稳定性越高。
- 代码质量评估：评估系统代码的质量，包括代码的可读性、可维护性、注释、错误处理等。
代码质量越高，稳定性越高。
- 异常处理评估：评估系统对异常情况的处理能力，包括错
误提示、异常恢复、日志记录等。
异常处理能力越强，稳定性越高。
2. 动态评估方法：
- 压力测试：通过模拟高负荷情况，对系统性能进行测试，
观察系统在负荷下是否能正常运行。
系统能够承受更高的负荷，说明稳定性越高。
- 故障注入测试：有意诱发系统的故障，观察系统在故障情
况下的表现和恢复能力。
系统对故障的容错和恢复能力越强，稳定性越高。
- 监控和日志分析：通过实时监控系统的运行状态，并对日
志进行分析，发现系统潜在的问题或异常，并及时采取措施解决。
能够及时发现并解决问题，说明稳定性越高。
根据以上评估方法，可以综合分析系统的稳定性水平，并采取相应的优化措施来提高系统的稳定性。
系统稳定性报告
系统稳定性报告1. 简介该报告旨在评估和分析系统的稳定性，为业务团队提供对系统稳定性问题的了解以及相关建议。
本报告将从以下几个方面进行分析：•问题定义•数据收集和分析•影响评估•解决方案建议2. 问题定义系统稳定性是指系统在正常运行中的表现以及其对外部因素的容忍度。
稳定的系统应该能够保持正常的运行状态，对于异常情况具有一定的容错能力。
在本次评估中，我们将重点关注以下几个问题：1.系统崩溃频率：系统是否存在频繁崩溃的情况，若有，每次崩溃的时间、频率和持续时间等信息。
2.错误日志：系统是否有频繁产生错误日志的问题，每个错误的类型和出现的次数等信息。
3.性能瓶颈：系统是否存在性能瓶颈，例如响应时间延长、请求超时等情况。
4.频繁迁移：系统是否经常需要进行迁移或重启操作。
3. 数据收集和分析为了对系统稳定性问题进行评估，我们需要收集相关的数据，并进行详细的分析。
下面是我们收集和分析的数据：3.1 系统崩溃频率通过系统的日志记录，我们收集了系统崩溃的时间、频率和持续时间等信息。
根据数据分析，系统在过去一个月内崩溃了5次，平均每次崩溃的持续时间为10分钟，频率为每周一次。
3.2 错误日志我们分析了系统产生的错误日志，并统计了不同类型的错误以及它们的出现次数。
根据数据分析，系统在过去一个月内产生了500条错误日志，主要集中在数据库连接错误和文件读写错误等方面。
3.3 性能瓶颈我们使用性能监控工具对系统进行了性能测试，并记录了系统的响应时间、请求成功率等信息。
根据数据分析，系统在高峰时段的响应时间较长，平均延迟为2秒，请求成功率达到90%。
3.4 频繁迁移我们对系统的迁移和重启操作进行了记录，并分析了频繁迁移的原因。
根据数据分析，系统在过去一个月内需要进行4次迁移或重启操作，主要是由于服务器升级或配置更改导致的。
4. 影响评估在本节中，我们将对系统稳定性问题的影响进行评估。
针对系统崩溃频率问题，每次崩溃都会导致系统暂时不可用，进而影响到用户的正常使用。
第六章 系统的稳定性
6.1 稳定性
1.稳定性的概念 只有稳定的系统才能正常工作。在设计一个系统时，首先要 保证其稳定；在分析一个已有的系统时，也首先要判定其是否 稳定。线性系统是否稳定，是系统本身的一个特性，而与系统 的输入量或扰动无关
6.1 稳定性
2.稳定的条件
6.1 稳定性
2.稳定的条件
6.1 稳定性
2.稳定的条件
a0 {( S P1 )( S P2 ) [( S 1 j1 )( S 1 j1 )][( S 2 j 2 )( S 2 j 2 )] } 0
即a 0 {( S P1 )( S P2 ) [( S 2 2 1 S 1 1 )][( S 2 2 2 S 2 2 )] } 0
例1
已知一调速系统的特征方程式为
S 3 41.5S 2 517 S 2.3 10 4 0
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解：列劳斯表
S3 S2 S1 S
0
1 41.5 38.5
4
517 2.3 10 4
0 0
2.3 10
结论： (1)该表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定的； (2) 且符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半 平面。
6.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
幅角原理的简单说明 设有辅助函数为 其零、极点在S平面上的分布如下图 所示，在 S平 面上作一封闭曲线Γs ， Γs不通过上述零、极点， 在封闭曲线Γs 上任取一点F(s1) , 其对应的辅助函数 的幅角应为
当解析点S1沿封闭曲线Γs按顺时针方向旋转一周后再回到 s1 点，从图中可以发现，所有位于封闭曲线Γs 外面的辅助函数 的零、极点指向s1 的向量转过的角度都为0，而位于封闭曲 线Γs 内的辅助函数的零、极点指向s1 的向量都按顺时针方向 转过2π弧度（一周）。
系统稳定性的判断方法
系统稳定性的判断方法系统稳定性是指系统在特定条件下保持正常运行的能力，是衡量系统可靠性和健壮性的重要指标。
对于软件系统来说，稳定性是其核心品质之一，因为它直接关系到用户的使用体验和数据的安全性。
因此，对系统稳定性的判断方法至关重要。
下面将介绍几种常见的系统稳定性判断方法。
首先，系统稳定性的判断可以从系统的故障率和可用性两个方面进行评估。
故障率是指在一定时间内系统发生故障的概率，通常用平均无故障时间（MTBF）来表示。
MTBF越长，系统的稳定性就越高。
而可用性则是指系统在规定时间内能够正常工作的概率，通常用百分比来表示。
可用性越高，系统的稳定性就越好。
因此，通过对系统的故障率和可用性进行监测和评估，可以初步判断系统的稳定性。
其次，系统稳定性的判断还可以从系统的负载能力和性能稳定性两个方面进行考量。
负载能力是指系统在承受一定负载时仍能保持正常运行的能力，而性能稳定性则是指系统在一定负载下能够保持稳定的性能表现。
通过对系统的负载能力和性能稳定性进行测试和分析，可以更全面地了解系统在不同负载下的稳定性表现，从而更准确地判断系统的稳定性。
另外，系统稳定性的判断还可以从系统的容错能力和恢复能力两个方面进行考虑。
容错能力是指系统在发生故障时能够自动检测并进行相应的处理，以保证系统的正常运行；而恢复能力则是指系统在发生故障后能够快速恢复到正常状态。
通过对系统的容错能力和恢复能力进行测试和评估，可以更深入地了解系统在面对故障时的应对能力，从而更全面地判断系统的稳定性。
最后，系统稳定性的判断还可以从系统的安全性和可维护性两个方面进行综合考量。
安全性是指系统在面对各种安全威胁时能够保持数据和用户的安全，而可维护性则是指系统在发生故障时能够快速修复和恢复。
通过对系统的安全性和可维护性进行评估，可以更全面地了解系统在面对安全威胁和故障时的表现，从而更准确地判断系统的稳定性。
综上所述，系统稳定性的判断方法包括故障率和可用性、负载能力和性能稳定性、容错能力和恢复能力、安全性和可维护性等多个方面。
第5章 系统的稳定性
s5 s4 s s
3
1
24
48
0
96
25
50 0
F (s) 2s 4 48s 2 50 0
取F(s)对s的导数得新方程：
2
0
8
24
0
F (s) 8s3 96s 0
用上式中的系数8和96代替0元 行，继续进行运算。
2
50
0
0
s1 s0
112 .7
50
改变符号一次
武汉理工大学材料学院 当解析点s按顺时针方向沿Ls变化一周时，向量F(s)将按顺时针方 向旋转N 周，即F(s)以原点为中心顺时针旋转N 周，这就等于曲线LF 顺时针包围原点N 次。若令Z 为包围于Ls内的F(s)的零点数，P 为包 围于Ls 内的F(s)的极点数，则有 N ＝Z－P
j
Im
(5.3.2)
武汉理工大学材料学院
（2）令s＝z－1，代入特征方程得：
( z 1)3 14( z 1)s 2 40( z 1) 40K 0
即
z 3 11z 2 15z 40K 27 0
由Routh表和Routh判据得：
列Routh表如下：
s3
1
11
15
s2
40 K 27
4 2
解此辅助多项式可得：
s 1; s j5
这两对复根是原特征方程的根的一部分。
武汉理工大学材料学院
四、相对稳定性的检验
对于稳定的系统，应用Routh判据还可以检验系统 的相对稳定性。方法如下： （1）将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s＝z－ σ (σ 为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特 征方程。
系统稳定性分析实验报告
一、实验目的1. 理解系统稳定性的基本概念和稳定性判据。
2. 掌握控制系统稳定性分析的方法和步骤。
3. 分析系统开环增益和时间常数对系统稳定性的影响。
4. 通过实验验证稳定性分析方法的有效性。
二、实验原理系统稳定性分析是自动控制理论中的一个重要内容，主要研究系统在受到扰动后能否恢复到原来的稳定状态。
根据系统传递函数的极点分布，可以将系统分为稳定系统和不稳定系统。
稳定系统在受到扰动后，其输出会逐渐恢复到原来的平衡状态；而不稳定系统在受到扰动后，其输出会发散，无法恢复到原来的平衡状态。
三、实验仪器1. 自动控制系统实验箱一台2. 计算机一台3. 数据采集卡一台四、实验内容1. 系统模拟电路搭建根据实验要求，搭建一个典型的控制系统模拟电路，如图1所示。
电路中包含一个比例积分（PI）控制器和一个被控对象。
被控对象可以用一个一阶环节表示，传递函数为G(s) = K / (Ts + 1)，其中K为开环增益，T为时间常数。
图1 系统模拟电路图2. 系统稳定性分析（1）观察系统的不稳定现象在实验箱上设置不同的K和T值，观察系统在受到扰动后的响应情况。
当K值较大或T值较小时，系统容易产生增幅振荡，表现为不稳定现象。
（2）研究系统开环增益和时间常数对稳定性的影响通过改变K和T的值，观察系统稳定性的变化。
分析以下情况：1）当K值增加时，系统稳定性降低，容易出现增幅振荡；2）当T值减小时，系统稳定性降低，容易出现增幅振荡；3）当K和T同时改变时，系统稳定性受到双重影响。
（3）验证稳定性分析方法的有效性使用劳斯-赫尔维茨稳定性判据，分析系统传递函数的极点分布，判断系统是否稳定。
将实验得到的K和T值代入传递函数，计算特征方程的根，判断系统稳定性。
五、实验步骤1. 搭建系统模拟电路，连接实验箱和计算机。
2. 设置实验箱参数，调整K和T的值。
3. 观察系统在受到扰动后的响应情况，记录数据。
4. 使用劳斯-赫尔维茨稳定性判据，分析系统稳定性。
系统稳定性分析与设计
系统稳定性分析与设计随着信息技术的飞速发展，系统已经成为了现代社会不可或缺的一部分。
一个稳定、可靠的系统对于企业和个人来说都至关重要。
本文将介绍系统稳定性的概念，分析稳定性的重要性以及系统设计中应考虑的稳定性因素，并提出一些提升系统稳定性的设计方法。
一、系统稳定性概述系统稳定性指的是系统在一段时间内保持正常运行的能力。
一个稳定的系统应该能够良好地承载用户的需求，并在面临压力和异常情况时能够保持正常运行，不发生严重错误或崩溃。
系统稳定性不仅仅可以提高用户的满意度，还可以保护企业的利益和声誉。
二、稳定性的重要性1. 用户体验一个稳定的系统可以提供良好的用户体验。
用户希望系统能够稳定地响应他们的操作，并及时提供所需的信息或服务。
如果系统频繁出现错误或崩溃，用户将会感到沮丧和失望，甚至会转向其他竞争对手的系统。
2. 企业利益系统的稳定性直接关系到企业的利益。
如果一个系统经常出现故障或崩溃，企业将面临损失，无法提供正常的服务。
这不仅会导致客户流失，还可能面临赔偿责任。
因此，提升系统稳定性可以有效保护企业的利益。
三、系统设计中的稳定性因素在系统设计过程中，需要考虑以下稳定性因素：1. 异常处理系统应能够及时捕获并处理异常情况，如输入错误、网络断开等。
合理的异常处理可以避免系统崩溃或产生严重错误。
2. 资源管理系统应合理管理资源，如内存、存储、带宽等。
合理的资源管理可以提高系统的性能和稳定性，避免资源耗尽导致系统崩溃。
3. 容错设计容错设计是指在系统出现故障或错误时，能够进行自我修复或快速恢复。
例如，可以使用备份服务器、冗余存储等技术来提高系统的容错性。
4. 监控与维护对系统进行持续的监控和维护是提高稳定性的重要手段。
通过实时监测系统的运行状况和处理性能，及时发现潜在的问题并采取应对措施，可以防患于未然。
5. 安全性系统的安全性也是保证稳定性的重要因素。
系统应具备良好的安全措施，保护用户数据的安全性和隐私。
保证系统不受恶意攻击和非法访问也是提高稳定性的关键。
系统的稳定性
米哈伊洛夫定理
D j a n j s 1 j s 2 j s n
D j a n j s 1 j s 2 j s n
**系统的稳定性
基本概念： 系统在初始偏差的作用下，其过渡过程随着时 间的推移，逐渐衰减并趋于零--系统稳定。 否则，系统为不稳定。
系统的稳定性
系统的稳定性
系统稳定的充要条件
系统特征方程的根全部具有负实部。
即：系统闭环传递函数的极点全部位于[s]
平面的左半平面。
劳斯（Routh）稳定判据
基于方程式根与系数的关系---代数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ据
反之，闭环系统就不稳定。
Nyquist稳定判据举例 开环P=0的系统
Nyquist稳定判据举例 P=1
开环不稳定而闭环稳定
含有积分环节的Nyquist
m
K(Tj j 1)
GK j
j1
n
j(Ti j 1)
i1
开环系统的零根作为左根处理
含有积分环节的Nyquist举例 P=0，包围（-1，j0）两次，闭环不稳定
系统的相对稳定性
系统的相对稳定性
系统的相对稳定性
系统的相对稳定性
相位裕度γ
18 0 c
正相位裕度：γ>0, 在－180º线
以上，闭环系统稳定；
负相位裕度：γ<0 , 在－180º线
以下，闭环系统不稳定。
幅值裕度Kg
Kg
1
GjgHjg
K g d 2 B lK g 0 g 2 lG g 0 j H j
s3
系统的稳定性 常见判据
s s s
i
n
j k
,
s s i j i j i 1, j 2 n a0 n ( 1) si an i 1 an 2 an
n
系统稳定的必要条件： 各系数同号且不为零 或： an>0, an-1>0, … , a1>0, a0>0
二、Routh （劳斯）稳定判据
2. 系统稳定的充要条件
n n1 D ( s ) a s a s a1 s a0 0 特征方程： n n1
Routh 表：
s
n
an
an 2 an 3 A2 B2 D2
an 4 an 5 A3 B3
an 6 an 7 A4 B4
其中：
一、系统的稳定性与稳定条件
1. 系统不稳定现象
例：液压位置随动系统
原理：
外力→阀芯初始位移Xi(0)→阀口2、4打开 →活塞右移→阀口关闭（回复平衡位置）
→（惯性）活塞继续右移→阀口1、3开启→活塞左移→ 平衡位置
→（惯性）活塞继续左移→阀口2、4开启…… ① 随动：活塞跟随阀芯运动 ② 惯性：引起振荡 ③ 振荡结果： ③ 增幅振荡 ① 减幅振荡 ② 等幅振荡 （收敛，稳定） （临界稳定） （发散，不稳定）
例2 已知=0.2及n=86.6，试确定K取何值时，系统方能稳定。 系统开环传递函数：
2 n (s K ) Xo( s ) GK ( s ) 2 E ( s) s ( s 2n )
系统闭环传递函数： 特征方程：
3
2 X o ( s) n (s K ) GB ( s ) 3 2 2 X i ( s ) s 2n s 2 n s K n
名词解释 系统的稳定
名词解释系统的稳定名词解释：系统的稳定稳定这个词在我们的日常生活中经常出现，无论是指心理状态，还是指物体的平衡状态，都可以用"稳定"一词来描述。
在科学和工程领域，系统的稳定也是至关重要的概念。
本文将讨论系统的稳定性，并探讨系统稳定的条件、影响因素以及其在不同领域中的应用。
一、什么是系统的稳定系统的稳定性是指系统在受到外界扰动或内部变化的情况下，能够保持其原有的状态或恢复到稳定状态的能力。
一个稳定的系统具有鲁棒性和可靠性，不易受到外界因素的干扰，也能够自我调节以保持平衡。
在不同领域中，系统的稳定性具有不同的定义和特征。
例如，在生态系统中，一个稳定的生态系统可以保持物种多样性和生态平衡；在金融市场中，一个稳定的市场会有相对较小的波动和风险；在信息技术领域，一个稳定的计算机系统会保持良好的运行状态，不会因为软硬件问题而崩溃。
系统的稳定与其内部元素之间的相互作用和调节有着密切的关系。
一个复杂的系统通常由多个子系统组成，这些子系统之间的相互作用决定了整个系统的稳定性。
二、系统稳定的条件为了确保系统的稳定，需要满足一些条件。
首先，系统的内部元素之间的关系必须是相互协调的。
如果一个子系统的变化引起其他子系统的不稳定，整个系统就会受到影响。
其次，系统应该具有某种自我修复能力。
当系统受到扰动时，它应该能够通过自我调节机制来恢复到稳定状态。
最后，系统必须具备适应性。
外界环境的变化是不可避免的，一个稳定的系统应该能够适应和响应这些变化。
在控制论中，系统稳定有两种常见的形式：渐近稳定和有界稳定。
渐近稳定是指系统在经过一段时间的调整之后，最终达到稳定状态。
有界稳定是指虽然系统可能会有小幅度的波动，但波动的范围是有限的，不会超出一定的界限。
三、系统稳定的影响因素系统稳定性的影响因素是多方面的。
首先，外界环境的变化是一个重要的因素。
如果外界环境发生了剧烈变化，系统可能无法及时适应，导致系统不稳定。
其次，系统的结构和组成元素也会影响系统的稳定性。
系统稳定性的判断方法
系统稳定性的判断方法系统稳定性是指系统在特定条件下，经过一段时间的运行，能够保持正常工作状态的能力。
对于软件系统来说，稳定性是其最基本的要求之一。
而要判断一个系统的稳定性，需要从多个方面进行综合评估。
下面将介绍几种常见的系统稳定性判断方法。
首先，可以从系统的运行时间和故障率来判断系统的稳定性。
系统运行时间越长，故障率越低，说明系统的稳定性越好。
通过对系统的历史运行数据进行分析，可以得出系统的平均故障率和故障间隔时间，从而判断系统的稳定性水平。
其次，可以通过系统的负载情况来判断系统的稳定性。
系统在高负载情况下能够保持正常运行，不出现性能下降或者崩溃的情况，说明系统的稳定性较好。
可以通过对系统的负载测试，观察系统在不同负载下的表现，从而评估系统的稳定性。
另外，系统的容错能力也是评估系统稳定性的重要指标之一。
系统在面对各种异常情况时，能够及时发现并处理，不会导致系统的崩溃或数据丢失，说明系统的稳定性较好。
可以通过对系统进行异常情况的模拟测试，观察系统的反应和处理能力，从而评估系统的稳定性水平。
此外，系统的安全性也是评估系统稳定性的重要方面之一。
系统在面对各种安全攻击和恶意行为时，能够有效防范并保护系统和数据的安全，不会因为安全漏洞而导致系统的不稳定。
可以通过对系统进行安全性测试，评估系统在面对各种安全威胁时的表现，从而判断系统的稳定性。
综上所述，系统稳定性的判断方法涉及到系统的运行时间、故障率、负载情况、容错能力和安全性等多个方面。
通过对这些方面进行综合评估，可以全面地判断系统的稳定性水平。
在实际应用中，可以根据具体的系统特点和需求，选择合适的判断方法，从而有效地评估系统的稳定性。
系统稳定性分析ppt课件
lim
t
xo
t
此时系统是不稳定的。
第六章 系统稳定性分析
若系统特征根具有重根时，只要满足Re[si]<0，有
lim
t
xo
t
0
系统就是稳定的。
系统稳定的充分必要条件是： 系统特征方程的根全部具有负实部。系统的特
征根就是系统闭环传递函数的极点，因此，系统 稳定的充分必要条件还可以表述为：系统闭环传
递函数的极点全部位于[s]平面的左半平面。
2
0
第六章 系统稳定性分析
Im
1 GK j
ω＝＋∞ ω＝0
0
Re
（－1，j0）
ω
Im
GK j
ω＝＋∞ ω＝0
0
Re
ω
当ω从0变到＋∞时，F(jω)相角变化为0， 即F(jω)的Nyquist图不包围原点，则闭环系统稳 定。
由于F(jω)=1+GK(jω)，所以GK(jω)的 Nyquist图不包围（－1，j0）点，闭环系统稳定。
s2 6
16
0
号都为正，说明系统没 有右根，但是因为s3行 的各项系数全为零，说 明虚轴上有共轭虚根， 其根可解辅助方程
s1 8 / 3 0
2s4 12s2 16 0
s0 16 0
得s1,2 2 j，s3,4 2 j
由此可见，系统处于临界稳定状态。
第六章 系统稳定性分析
6.3 Nyquist稳定判据 利用系统开环Nyquist图，来判断系统闭环
若系统有一对共轭极点位于虚轴上或有一极点位 于原点，其余极点均位于[s]平面的左半平面，则 零输入响应趋于等幅振荡或恒定值，此时系统处 于临界稳定状态。临界稳定系统属于不稳定系统。
系统的稳定性
由上例可知： (1)线性系统不稳定现象发生与否, 取决于系统内部条件，而与输 入无关。 (2)系统发生不稳定现象必有适当 的反馈作用。 (3)控制理论中所讨论的稳定性其 实都是指自由振荡下的稳定性, 也就是说,是讨论输入为零,系 统仅存在有初始状态不为零时 的稳定性。
(二)稳定的定义和条件
1. 稳定的定义:
F(s) 零点 极点
GK(s) 零点
相同
极点
原来系统稳定的充要条件是GB(s)的全部极点均须具有负实部,现在 却变为F(s)的全部零点须具பைடு நூலகம்负实部，即F(s)在[s]右半平面无零点。
函数F(s)具有下列特点: (1)它的零点即系统闭环传递函数GB(s)的极点,它的极 点即系统开环传递函数GK(s)的极点; (2) [GH]平面上的(-1,j0)点就是[F]平面上的原点。 所以在[GH]平面上包围点(-1,j0)的圈数N，就等 于在[F]平面上LF包围原点的圈数N。
于该特征方程式的根在S右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。
例2 、 系统的特征方程为: D(s)=s4+ s3 – 19s2 + 11s+ 30=0 s4 s3 1 1 – 19 11 30 0
s2
s1 s0
[1×(-19) –1×11]/1= –30
[(–30)×11–1×30]/ (–30)=12 30
8 12 12 0 12 8 0 0 20 16 16 0 0 0 0 0 16 0 0 0 0 0 0 0 辅助方程
s 4 6s 2 8 0
4s 12s 0
3
某一行全为零，说明在虚轴有共轭虚根。令F(s)=s4+6s2+8=0，求得两对大小 相等、符号相反的根： j 2 , j 2 ，显然这个系统处于临界稳定状态。
系统的稳定概念
系统的稳定概念系统的稳定是指系统在各种条件下具有稳定性和可靠性的能力。
在工程领域，系统的稳定性是一个非常重要的概念，它直接关系到工程系统的可靠性和安全性。
本文将从系统的稳定性定义、稳定性的标准、稳定性分析方法以及稳定性的影响因素等方面进行阐述。
首先，系统的稳定性是指在特定条件下系统能够保持平衡或保持预定性能状态的能力。
换句话说，当系统受到外部扰动或变化时，其内部动态过程应该趋于稳定，不会发生大的波动或偏离预定状态。
例如，一个机械系统在不受外界干扰的情况下，其各个零部件应该能够保持相对位置的稳定，不会出现松动或移位的情况。
稳定性的标准主要包括四个方面：有界输入有界输出（BIBO）稳定性、渐进稳定性、均方稳定性和Lyapunov稳定性。
BIBO稳定性指系统的输入和输出都是有界的，即系统对于有界信号输入会产生有界的输出。
渐进稳定性是指系统的输出在无穷时间下会趋近于有限值或者在可接受的范围内变化。
均方稳定性是指系统的输出的二阶矩或方差能够保持在可接受的范围内，不会无限增大。
Lyapunov 稳定性是指系统在某个范围内的所有初始条件下趋向于一个稳定状态。
稳定性分析是通过对系统的数学模型进行分析来评估系统的稳定性。
根据系统的具体情况和数学模型的类型，可以采用不同的分析方法，包括脉冲响应法、频域分析法、状态空间法和Lyapunov稳定性分析法等。
脉冲响应法是通过分析系统对脉冲输入信号的响应特性来评估系统的稳定性。
频域分析法是通过对系统的频率响应进行分析来评估系统的稳定性。
状态空间法是通过分析系统的状态变量和状态转移方程来评估系统的稳定性。
Lyapunov稳定性分析法是通过设计Lyapunov函数来评估系统的稳定性。
不同的方法适用于不同类型的系统，需要根据具体情况进行选择。
影响系统稳定性的因素包括系统的结构、参数、输入信号和外部扰动等。
系统的结构决定了系统的动态特性和稳定性。
例如，一个系统的输出信号是否受到输入信号的反馈、系统是否存在冗余路径等都会影响系统的稳定性。
系统的稳定性
3.“小偏差”稳定性
又称“局部稳定性”。实际系统往往存在 非线性，所以，系统的动力学方程往往是建立 在“小偏差”线性化的基础上的。在偏差较大 时，线性化带来的误差很大。初始偏差不超过 某一微小范围的稳定性，称为小偏差稳定性。
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5.2 劳斯稳定判据
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一、幅角原理
设一复变函数：
F (s) K (s z1)(s z2 ) (s zm ) (s p1)(s p2 ) (s pn )
s为复变量
[ s] 平面上的解析点s映射到[ F( s) ] 平面上的点为F( s)
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GB(s)在[s]右半平面没有极点 （即F(s)在[s]右半平面没有零点）
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应用幅角原理，可导出Nyquist稳定判据
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G(s)H(s)=F(s)-1，对[F(s)]的原点的圈数即为 对(-1,j0)点在[G(s)H(s)]平面上的圈数
试判别系统的稳定性
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F(s) 2s4 48s2 50 0 F(s) 8s3 96s 0
系统不稳定 有一个具有 正实部的根
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5.3 Nyquist稳定判据
判据：1＋G(s)H(s)=0 Re(si)<0 研究的是: GK( jω）即G( jω)H( jω)
(2)Nyquist判据证明复杂，但应用简单。因为一般系统 的开环系统多为最小相位系统，P=0，故只需看开环 轨迹是否包围(-1,j0)点，若不包围，系统稳定。
(3)在P=0，即开环传函在[s]平面右半平面无极点时，称 开环稳定。反之，称开环不稳定。开环不稳定，闭环 可能稳定；开环稳定，闭环可能不稳定。
系统的稳定性
L L L L M
a1
0 0 0 0 0 ao
∆n =
M
0 0
M L
M L
a2
第五章 系统的稳定性
∆1=an-1>0
an-1 ∆2 = an an-3 >0 an-2 an-1 an-3 an-5 ∆3 = an-2 an-4 an-6 >0 0 an-1 an-3
∆n>0
Hurwitz行列式直接由系数排列，规律简单 行列式直接由系数排列， 行列式直接由系数排列 而明确，因此，比列Routh表要简单些，使用也 表要简单些， 而明确，因此，比列 表要简单些 较为方便，但对六阶以上的系统， 较为方便，但对六阶以上的系统，由于行列式 计算麻烦，故应用较少。对于简单形式： 计算麻烦，故应用较少。对于简单形式：
第五章 系统的稳定性
补充： 补充： 映射定理：设复变函数 映射定理：设复变函数F(s)有p 有 个极点和Z个零点被 平面内某一封 个极点和 个零点被s平面内某一封 个零点被 闭曲线所包围， 闭曲线所包围，并且这一封闭曲线 不经过F(s)的任何极点或零点。当 的任何极点或零点。 不经过 的任何极点或零点 复变量s顺时针方向沿此封闭曲线 复变量 顺时针方向沿此封闭曲线 移动一周时， 移动一周时，在F(s)平面内的映射 平面内的映射 曲线将顺时针方向包围坐标原点
a n-2 a n-3
… …
每一行元素可以同时乘以或除以相同数 2）列出Routh表 列出 表 3）由稳定判据判断稳定性 ） 第一列符号无改变， 第一列符号无改变，系统无实部为正的 特征根→ 特征根→稳定 第一列符号改变n 则有n 第一列符号改变n次，则有n个实部为正 的特征根→ 的特征根→不稳定
第五章 系统的稳定性
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系统的稳定性
系统能在实际生活中应用的必要条件是系统要稳定。
分析系统稳定性是经典控制理论的重要组成部分。
经典控制理论对于判定一个线性定常系统是否稳定提供了多种方法。
一、系统稳定性的初步了解
了解不稳定现象发生的原因，对于建立系统的数学模型的建立稳定性概念是很有帮助的。
线性系统的不稳定现象有如下几点值得注意。
首先，线性系统不稳定现象发生与否，取决于系统内部条件，而与输入无关。
其次，系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用。
再次，控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性，也就是说，是讨论输入为零，系统仅存在与有初始状态不为零时的稳定性，即讨论自由振荡是收敛的还是发散的，也可以说是讨论系统初始状态为零时，系统脉冲响应是收敛还是发散的。
二、稳定的定义和条件
若系统在初始状态下（不论是无输入时的初态，还是输入引起的初态，还是这两者之和）的影响下，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零（回到平衡位置），则称该系统为稳定的；反之，若在初始状态影响下，由它所引起的系统的时间随时间的推移而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称系统为不稳定的。
系统稳定的充要条件为：系统的全部特性根都具有负实部；反正若特征根中只要有一个或一个以上具有正实部，则系统必不稳定。
三、关于稳定性的一些提法
1、李亚普诺夫意义下的稳定性
指对系统平衡状态为稳定或不稳定所规定的标准。
主要涉及稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定和不稳定。
① 稳定
用 S(ε)表示状态空间中以原点为球心以ε为半径的一个球域，S(δ)表示另一个半径为δ的球域。
如果对于任意选定的每一个域S(ε),必然存在相应的一个域S(δ)，其中δ<ε，使得在所考虑的整个时间区间内，从域 S(δ)内任一点 x0出发的受扰运动φ(t；x0，t0)的轨线都不越出域S(ε)，那么称原点平衡状态 xe=0是李雅普诺夫意义下稳定的。
② 渐近稳定
如果原点平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的,而且在时间t趋于无穷大时受扰运动φ(t；x0，t0)收敛到平衡状态xe=0,且此过程中，都不脱离S（ε），则称系统平衡状态是渐近稳定的。
从实用观点看，渐近稳定比稳定重要。
在应用中，确定渐近稳定性的最大范围是十分必要的，它能决定受扰运动为渐近稳定前提下初始扰动x0的最大允许范围。
③ 大范围渐近稳定
又称全局渐近稳定，是指当状态空间中的一切非零点取为初始扰动x0时，受扰运动φ(t；x0，t0)都为渐近稳定的一种情况。
在控制工程中总是希望系统具有大范围渐近稳定的特性。
系统为全局渐近稳定的必要条件是它在状态空间中只有一个平衡状态。
④ 不稳定
如果存在一个选定的球域S(ε)，不管把域S(δ)的半径取得多么小，在S(δ)内总存在至少一个点x0，使由这一状态出发的受扰运动轨线脱离域 S(ε),则称系统原点平衡状态xe=0是不稳定的。
2渐进稳定性
渐进稳定性就是对线性系统定义的稳定性，它要求由初态引起的响应最终衰减到零。
3、“小偏差”稳定性
“小偏差”稳定性又称“小偏差”或“局部稳定性”。
由于实际系统往往存在非线性，因此，系统的动力学往往是建立在“小偏差”线性变化的基础上的。
四、一些稳定判据
1、Routh（劳斯）稳定判据
它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，从而决定系统的稳定性.由于不必求解方程，为系统的稳定性
的判断带来了极大的便利。
2、Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
设G(s)为系统开环传递函数，在G(s)中取s=jω得到系统开环频率响应G（jω）。
当参变量ω由0变化到+∞时，可在复数平面上画出 G（jω）随ω的变化轨迹，称为奈奎斯特图。
奈奎斯特稳定判据的基本形式表明，如果系统开环传递函数G(s)在s 复数平面的虚轴jω上既无极点又无零点，那么有 Z=P-2N Z是闭环控制系统的特征方程在右半s平面上根的个数，所谓特征方程是传递函数分母多项式为零的代数方程。
P是开环传递函数在右半s平面上的极点数。
N是当角频率由ω=0变化到ω=+∞时 G（jω）的轨迹沿逆时针方向围绕实轴上点(-1，j0)的次数。
奈奎斯特稳定判据还指出：Z=0时，闭环控制系统稳定；Z≠0时，闭环控制系统不稳定。
判据的推广形式。
当开环传递函数 G(s)在s复数平面的虚轴上存在极点或零点时，必须采用判据的推广形式才能对闭环系统稳定性作出正确的判断。
在推广形式判据中,开环频率响应G（jω）的奈奎斯特图不是按ω连续地由 0变到+∞ 来得到的，ω的变化路径如图所示，称为推广的奈奎斯特路径。
在这个路径中，当遇到位于虚轴上G(s)的极点（图中用×表示）时，要用半径很小的半圆从右侧绕过。
只要按这条路径来作出G(ω)从ω=0变化到ω=+∞时的奈奎斯特图，则Z=P-2N和关于稳定性的结论仍然成立。