第一章不允许卖空投资组合(201609)

第一章 允许卖空的均值-方差投资 组合理论

符号及说明： 假设Ri表示第i种风险资产的收益率（随机变量 ），其均值ri = E(Ri)，协方差矩阵为G = (ij)nn，ij = COV(Ri, Rj), i, j = 1,2,…,n。xi表 示第i种风险资产的投资比例，i =1, 2,…, n。 并记R = (R1, R2, … ,Rn)'，r = (r1, r2, … ,rn)'，x = (x1, x2, …, xn)'，并用e表示分量全为1的n维 列向量。既然x表示投资组合的比例向量，它 满足约束条件： e'x = 1
1.1只含有风险资产的均值-方差投 资组合优化

由于假设投资者是风险回避的，其效用会随着 期望收益率的增加而增加,但增加量却会不断 减小。因此，无差异曲线族是将向右上倾斜的 ，且随着期望收益率的增加越来越陡峭。不同 的无差异曲线之间,越靠近右上方位的曲线， 意味着越高的效用水平。一旦确定了这些无差 异曲线，则最优投资组合将是无差异曲线族与 有效边界的切点，这一切点是所有可行的投资 组合中投资者效用最大的投资组合。

可以求出
b 1 2 rp , p a a


将
b rp a
代入(1.7)式,得
1 1 , 2 0 a

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即全局最小方差资产组合是

G e G e x ' 1 a eG e
*
1
1
(1.10)

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这一切点组合位于无风险资产存在的有效边界 与只含有风险资产的有效边界的相切处。其均 值和方差分别为
r r ' xM
' M
c brf b arf
x GxM
2 M ' M
,

c 2brf ar (b arf )
2
2 f
(1.19)
1. 2含有无风险资产的均值-方差投 资组合优化

max (rp rf ) / p xi (ri rf ) / ( x ' Gx)

i 1
n
s.t. r ' x (1 e ' x)rf rp
(1.17)
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实质上(1.17)式中的目标函数相当于图1-2有 效边界的斜率，最大化表明投资者的投资目 标是最大化资产组合单位风险的超额收益，这 等同于投资者在给定的收益水平上最小化资产 组合的风险。
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标准均值一方差的资产组合问题没有考虑无风 险资产,但现实经济中可以将市场利率和通货 膨胀不变情况下的国库券近似为无风险资产, 这种无风险资产的存在对资产组合问题将产生 两方面的重要影响。一方面投资于无风险资产 表明投资者可以获得某一确定的收益率rf,而不 承担任何风险,即f=0。
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其次，将无风险资产纳入投资组合后，所有有 效组合将由无风险资产和风险资产的切点组合 来产生，无论投资者持有何种风险态度，拥有 风险资产的最优组合均是切点组合。这时风险 态度将体现在不同投资者在有限边界上的不同 位置，而这些位置均由无风险资产和风险资产 的切点组合来产生。如果投资者是风险回避型 的，即不愿意承担太大风险，可以同时适量买 入无风险资产和风险资产的切点组合，即处于 图2中rf和M之间的某个位置。
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最优解的一阶条件为
Lx Gx (r erf ) 0 L p rf (r erf ) ' x 0
由(1.13)第一式可得
(1.13)
x G (r rf )e
* 1
(1.14)
1 ' ' ' L x Gx 1 (1 e x) 2 (rp r x) (1.2) 2
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最优解的一阶条件为

Lx Gx 1e 2 r 0 ' L1 1 e x 0 ' L r r x 0 p 2
第一章 允许卖空的均值-方差投资 组合理论


学习重点：只含风险资产均值-方差投资组合 优化、含有借贷利率相同的均值-方差投资组 合优化、借贷利率不同的均值-方差投资组合 优化 学习难点：几种情况下均值-方差模型的构建 和优化、均值-方差模型与两基金定理的联系 、均值-方差模型与资本资产定价模型的关系
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如果投资者是风险偏好型的，则可以借入无风 险资产并将收入连同自有资金投资于风险资产 的切点组合，从而获得有效边界在切点组合上 的某个适当位置。可见，切点组合极大地简化 了对投资组合地选择，投资者只需决定借入和 贷出无风险资产，而将剩余的资金投入切点组 合即可实现对风险的控制，实现愿意承担多大 风险的决策与具体确定持有各种风险资产的比 例分离开来.这一特性是标准CAPM的一个重要 基础。
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min x Gx
2 p '
(1.11)
s.t. r ' x (1 e ' x)rf rp


应用拉格朗日(Lagrange)乘数法对(l.11)式求解 ,令

1 L x ' Gx [rp (r ' x (1 e ' x)rf )] (1.12) 2
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所有的最小方差投资组合可以由无风险资产与 不包括任何无风险资产的所谓“切点”资产组 合x'=(x0f, xM')构成，其中
x0f =0，x
' M


G ( r rf e) b arf
1
(1.18)
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b 对于有效边界而言， rp a , 。因此，它为一
条上凸曲线。有效边界的这一凸性在资本市场 定价理论中极其重要。


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投资者在有效边界上具体选择那个投资组合， 依赖于他的风险回避程度，而这种程度取决于 投资者风险一收益效用函数的性质和形态。按 照新古典经济学的分析,我们可以用投资者的 均值一方差无差异曲线(IDC)来描述风险和收 益率之间的相互替代关系。图1.1中左上部分 的曲线表示某个投资者的无差异曲线族,在某 一条曲线上进行风险和收益率相互替代对该投 资者而言将是毫无差别的。
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一般而言，不同的投资者有不同的风险偏好结 构，投资者的风险回避程度越高，无差异曲线 越靠近期望收益率坐标轴。因而，高风险回避 的投资者将选择有效边界左下部分所代表的投 资组合以回避风险，而低风险回避的投资者将 选择有效边界右上部分所代表的投资组合以获 得更高的投资收益。
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另一方面,在投资者的资产组合中,可能购买了 一定数量的无风险资产,这时称为贷出了无风 险资产;也可能卖空了一定数量的无风险资产, 这时称为借入了无风险资产。现在我们讨论无 风险资产进入组合管理以后将对资产选择造成 的影响。 令xf表示无风险资产在组合资产中的比例系 数，xf =1e‘x。此时的资产组合问题为
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在图中F(p,rp)点是一个特殊的位置，它是所 有可行组合的下边缘和上边缘的交汇点，该组 合是所有可行组合中方差最小的，因而称为全 局最小方差组合。由

d
2 p
drp


2arp 2b
0
(1.9)
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' 2
1
(1.6)

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解方程(1,5)，得

1 =(c rpb) / , 2 (rp a b) /
(1.7)

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将(1.7)代入(1.4)，可得
x G ((c rpb)e / (rp a b)r / )
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符号及说明： 投资组合的期望收益率和方差可以分别表示为 rp = r'x 和 2p = x'Gx
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允许卖空的均值-方差投资组合模型（简称M-V 模型）为 min x'Gx /2

r x rp s.t ' e x 1
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第一章 允许卖空的均值-方差投资 组合理论

研究背景： 20世纪50年代，Markowitz运用数量方法创立 了投资组合理论。该理论研究的是一种理性市 场，其基本出发点是假定市场中投资者以资产 的均值作为对投资收益的计量，以资产回报的 方差作为对投资风险的计量，市场中所有投资 者已知一个相同的市场信息集，在此情况下， 投资者从众多资产组合均值-方差集中寻求帕 累托最优解。
'
(1.1)
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或 max r(x) = r'x
‘ 2 x Gx p s.t ’ e x 1

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模型（1.1）表示在满足投资者的期望收益率 为一个常数rp、各资产投资比例之和为1，投 资组合的方差（风险）最小。 应用拉格朗日(Larange)乘数法对模型(l.1)求解 ,令
*
来自百度文库
1


则
(ar 2brp c) /
2* p 2 p
(1.8)

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由(l.8)式可知，最优方差组合在(p,rp)空间中 表现为一双曲线,如图1-1所示。


rp
F
p
图1一l标准均值一方差模型的最小方差集合及 有效边界上的最优资产选择
(1.3)
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由(1.3)式中的第一式，可得到最优解

x G (1e 2r )
* 1
(1.4)
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将(1.4)式中的第二式和第三式，得

1eG e 2r G e 1a 2b 1
2
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由(1.16)可知,最优方差组合在(p,rp)空间中表现 为相交于(0,Rf)两条射线曲线，如图1-2。

rp M rf 0
F
p
图1-2含有无风险资产投资组合的有效前沿
1. 2含有无风险资产的均值-方差投 资组合优化
存在无风险资产情况下的资产组合问题也可以是 以下的夏普指数 (Sharpe index)模型
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将(1.14)代入(1.13)第二式可得
=
rp rf

2 f f 将(1.14)和(1.15)代入方差公式
c 2r r a
(1.15)

x *' Gx *
2* p
(1.16)
2 f
(rp rf ) / (c 2brf ar )


上述性质称为无风险资产存在情况下的“两基 金分离定理”或“货币分离定理”。该定理表 明：在无风险资产存在的情况下，投资者通过 投资由无风险资产和切点组合构成的资产组合 就可以实现均值一方差有效。 切点组合具有特别重要的作用，首先，切点组 合是一个风险资产组合，既未借入也未贷出无 风险资产，这个风险资产组合在缺乏无风险资 产时本身就是一个有效组合，现在仍然是有效 组合；
' 1 ' 1
' 1 1eG r 2r 'G1r 1b 2c rp
(1.5a) (1.5b)

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其中
a e G e 0, b r G e,
' '

1
1
c r G r 0, =ac b 0