中山大学信息光学习题课后答案--习题234章作业
光学信息技术原理及应用课后重点习题答案
第一章 习题解答1.1 已知不变线性系统的输入为()()x x g com b = ，系统的传递函数⎪⎭⎫⎝⎛b f Λ。
若b 取（1）50=.b （2）51=.b ，求系统的输出()x g '。
并画出输出函数及其频谱的图形。
答：（1）()(){}1==x x g δF 图形从略，（2）()()()()()x s co f f δf δx g x x x πδ232+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧1+31+1-31+=F 图形从略。
1.2若限带函数()y x,f 的傅里叶变换在长度L 为宽度W 的矩形之外恒为零， （1）如果L a 1<，Wb 1<，试证明()()y x f y x f b x a x ab ,,sinc sinc =*⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1 证明：(){}(){}(){}()()(){}(){}()y x,f b x sinc a x sinc ab bf af rect y x f y x,f bf af rect y x f Wf L f rect y x f y x,f y x y x yx *⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1==∴=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=,,F F ,,F ,,F F 1-（2）如果L a 1>， Wb 1>，还能得出以上结论吗？ 答：不能。
因为这时(){}(){}()y x yx bf af rect y x f Wf L f rect y x f ,,F ,,F ≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛。
1.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为 ()()()y x y x h δ77=sinc ,试用频域方法对下面每一个输入()y x f i ,，求其输出()y x g i ,。
（必要时，可取合理近似） （1）()x y x f π4=1cos ,答：()(){}(){}{}{}()(){}{}{}{}{}xcos x cos f rect x cos y 7x sin x cos y x h y x f y x g x πππδπ4=4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛74=74==1-1-1-11-1F F F F F F F ,F ,F F ,（2）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754=2y rect x rect x cos y x f π, 答：()(){}(){}{}()()(){}{}()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛77575⋅75*4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754==1-1-11-2y rect x rect x cos f rect f sinc 75f sinc x cos y 7x sin y rect x rect x cos y x h y x f y x g x y x ππδπF F F F F ,F ,F F ,（3）()()[]⎪⎭⎫⎝⎛758+1=3x rect x cos y x f π,答： ()()[]()(){}(){}()()()()()()()()()()()(){}⎪⎭⎫ ⎝⎛75=75≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛75*⎪⎭⎫ ⎝⎛4+81+4-81+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775*8+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛758+1=1-1-1-1-1-3x rect f 75f sinc f rect f 75f sinc f rect f δ75f sinc f f x f rect f δ75f sinc x cos y 7x sin x rect x cos y x g y x x y x x y x x x x y x δδδδδπδπF F F F F F F F ,（4）()()()()()y rect x rect x comb y x f 22*=4, 答：()()()()(){}()(){}{}()()()()()()()()()()()()(){}()()x π6cos x π2cos f f f f f f f f f f f rect f f δf f δf f δf f δf rect f sinc 2f sinc f f comb y 7x sin y rect x rect x comb y x g y x y x y x y x y x x yx y x y x y x x y x y x 1060-3180+250=3+0530-3-0530-1+1590+1-1590+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛-3-2120-1+6370+1-6370+41=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2⎪⎭⎫ ⎝⎛41=722*=1-1-1-1-2...,.,.,.,.,F ,.,.,.,F F F F F ,δδδδ0.25δδδ 1.4给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波 ()()x x rect x comb x g i Λ*⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛50⎪⎭⎫ ⎝⎛331=对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。
信息光学习题答案
信息光学习题答案信息光学习题答案第一章线性系统分析简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. g?x??df?x?;g?x???f?x?dx; dx?g?x??f?x?;g?x??????f????h?x????d?;2???f???exp??j2????d? 解：线性、平移不变；线性、平移不变；非线性、平移不变；线性、平移不变；线性、非平移不变。
证明comb(x)exp(j?x)?comb(x) ???comb????x? ?x??1?证明：左边＝comb???????n?????(x?2n)??2??(x?2n) ?2?n????2?n????2?n??????x??2?右边?comb(x)?comb(x)exp(j?x)?? ?n?????(x?n)??exp(j?x)?(x?n)n?????n???? ??(x?n)??exp(jn?)?(x?n)n???? n?????(x?n)??(?1)n???n?(x?n)?当n为奇数时，右边＝0，当n为偶数时，右边＝2所以当n为偶数时，左右两边相等。
n?????(x?2n) (x) 证明??(sin?x)?comb证明：根据复合函数形式的δ函数公式?[h(x)]??i?1n?(x?xi)h?(xi ),h?(xi)?0 式中xi是h(x)=0的根，h?(xi)表示h(x)在x?xi处的导数。
于是??(sin?x)??n?????(x?n)???co mb(x) 1 计算图题所示的两函数的一维卷积。
解：设卷积为g(x)。
当-1≤x≤0时，如图题(a)所示，g(x)??1?x0(1??)(1?x??)d??111?x?x3 326 图题当0 2??2?2??2?2?2?x?2设卷积为g(x)，当x≤0时，如图题(a)所示，g(x)??0d??x?2 当0 2 图题g(x)??d??2?x x2?x?1?2,x?0 g(x)?2?x?1?,x?0?2即g(x)?2??? ?x??2?(x)?rect(x)?1已知exp(??x2)的傅立叶变换为exp(???2)，试求?exp?x2???exp?x2/2?2解：设y??????????? ?x,z??? 即??exp(??y2)??exp(???2) 1????F?,? 得ab?ab?2坐标缩放性质??f(ax,by)???exp?x2???????exp(?y2/??? exp(??z2)??exp(??2?2)2??exp?x/2???2?????exp??y?/2??2 ? ??2??exp(?2??2z2)?2??exp(?2??2?2)计算积分.????sinc?x?dx?? 4??2?x?cos?xdx?? sinc?解：应用广义巴塞伐定理可得? sinc(x)sinc(x)dx?????2222 ?(?)?(?)d??(1?? )d??(1??)d??????103??021???1?1?1?????s inc(x)cos?xdx????(?)?????d????(?)?????d ??2???2?2????????2?1??1??1??1 ??????????? 2??2??2?? 应用卷积定理求f?x??sinc?x?sinc?2x?的傅里叶变换. 3解：??sinc(x)sinc(2x)????sinc(x)????sinc( 2x)??1???rect(?)?rect?? 2?2?当?31????时，如图题(a)所示，2211??3 G(?)??2du??? 2?12当?11???时，如图题(b)所示，2211??2 G(?)??1du?1 2??2当13???时，如图题(c)所示，22113 G(?)??1du??? 2??222G(ξ)的图形如图题(d)所示，图可知G(?)?3???1?????????? 4?3/2?4?1/2? 图题 4 设f?x??exp??x，??0，求??f?x????解：?exp(??x)???????f?x?dx?? ?0?? ?0??exp(?x)exp(?j2??x)dx??exp(??x)exp(? j2??x)dx ?2??2??(2??)2??? exp(??x)dx?2??2?(2??)2???02? 设线性平移不变系统的原点响应为h?x??exp??x?step?x?，试计算系统对阶跃函数step?x?的响应. 解：阶跃函数定义step(x)??线性平移不变系统的原点响应为h?x??exp??x?step?x??exp??x?,所以系统对解阶跃函数step?x?的响应为g(x)?step(x)?h(x)??1,?0,x?0得x?0x?0 ??0exp[?(x??)]d??1?exp(?x), x?0 有两个线性平移不变系统，它们的原点脉冲响应分别为h1?x??sinc?x?和h2?x??sinc?3x?.试计算各自对输入函数f?x??cos2?x的响应g1?x?和g2?x?. 解：已知一平面波的复振幅表达式为U(x,y,z)?Aexp[j(2x?3y?4z)] 试计算其波长λ以及沿x,y,z方向的空间频率。
光学信息技术原理及应用课后重点习题答案
利用傅立叶变换的相移定理，得到
把它带入（3）式，则有
强度分布
2.6试证明如下列阵定理：假设在衍射屏上有 个形状和方位都相同的全等形开孔，在每一个开孔内取一个相对开孔来讲方位一样的点代表孔的位置，那末该衍射屏生成的夫琅和费衍射场是下列两个因子的乘积：（1）置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射（该衍射屏的原点处不一定有开孔）；（2） 个处于代表孔位置的点上的点光源在观察面上的干涉。
1.6 若只能用 表示的有限区域上的脉冲点阵对函数进行抽样，即
试说明，即使采用奈魁斯特间隔抽样，也不能用一个理想低通滤波器精确恢复 。
答：因为 表示的有限区域以外的函数抽样对精确恢复 也有贡献，不可省略。
第二章习题解答
2.1一列波长为 的单位振幅平面光波，波矢量 与 轴的夹角为 ，与 轴夹角为 ，试写出其空间频率及 平面上的复振幅表达式。
，
由此得 （1）
角的最大值为 （2）
此时像面上的复振幅分布和强度分布为
（3）照明光束的倾角取最大值时，由（1）式和（2）式可得
即 或 （3）
时，系统的截止频率为 ，因此光栅的最大频率
（4）
比较（3）和（4）式可知，当采用 倾角的平面波照明时系统的截止频率提高了一倍，也就提高了系统的极限分辨率，但系统的通带宽度不变。
可以解得，通过传递函数（2）得到的输出函数为：
该函数依然限制在 区间内，但其平均值为零，是振幅为0.043，周期为0.75，的一个余弦函数与振幅为0.027，周期为0.6的另一个余弦函数的叠加。
1.5 若对二维函数
抽样，求允许的最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。
答：
也就是说，在X方向允许的最大抽样间隔小于1/2a，在y方向抽样间隔无限制。
信息光学习题答案及解析
信息光学习题答案第一章 线性系统分析1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. （1）()();x f dxdx g =（2）()();⎰=dx x f x g （3）()();x f x g = （4）()()()[];2⎰∞∞--=αααd x h f x g（5）()()απξααd j f ⎰∞∞--2exp解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变； （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。
1.2 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=⎪⎭⎫ ⎝⎛π证明：左边＝∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ∑∑∑∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=--+-=-+-=-+-=+=n nn n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb )()1()()()exp()()()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边当n 为奇数时，右边＝0，当n 为偶数时，右边＝∑∞-∞=-n n x )2(2δ所以当n 为偶数时，左右两边相等。
1.3 证明)()(sin x comb x =ππδ 证明：根据复合函数形式的δ函数公式0)(,)()()]([1≠''-=∑=i ni i i x h x h x x x h δδ式中i x 是h(x)=0的根，)(i x h '表示)(x h 在i x x =处的导数。
于是)()()(sin x comb n x x n =-=∑∞-∞=πδπππδ1.4 计算图题1.1所示的两函数的一维卷积。
解：设卷积为g(x)。
当-1≤x ≤0时，如图题1.1(a)所示， ⎰+-+=-+-=xx x d x x g 103612131)1)(1()(ααα图题1.1当0 < x ≤1时，如图题1.1(b)所示， ⎰+-=-+-=13612131)1)(1()(xx x d x x g ααα 即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤--+=其它,010,61213101,612131)(33x x x x x x x g 1.5 计算下列一维卷积。
中科大信息光学习题解答
傅里叶变换透镜 率关系 h f 。
频谱面上能够获得有线性特征的位置与空间频
普通透镜和傅里叶透镜对平行光输入在后焦面上光点的位置差
y ' ftgu f sin u 1 3 fu 称频谱畸变。 2
普通透镜只有在 u 很小时才符合傅里叶变换透镜的要求。 要专门设 计消除球差和慧差，适当保留畸变以抵消频谱畸变。
H (, )
P( x, y) P( x d , y d )dxdy
i i
P( x, y)dxdy
由自相关性质（p16） ，如果
r ( x, y )
R ff ( x, y ) R ff (0,0)
f
(α x,β γ ) f (α ,β )dα dβ
5. 在 4F 系统中,输入物面的透过率为
t t 0 t1 cos 2 f 0 x ,
以单色平行光垂直照明, =0.63m,
f’=200mm, f0 =400lp/mm, t0=0.6, t1 =0.3,
问频谱面上衍射图案的主要特征: 几个衍射斑? 衍射斑沿什么方向分 布? 各级衍射斑对应的衍射角 sin =? 各级衍射中心强度与零级衍 射斑之比. （1）在不加滤波器的情况下,求输出图象光强分布. （2）如用黑纸作空间滤波器挡住零级斑,求输出图象光强分布. （3）如用黑纸挡掉+1 级斑,求输出图象光强分布. 6. 在图示 4F 系统中, <1>被处理物面最大尺寸和最高空间频率为多大?(设频谱面与物面同 尺寸) <2>付里叶变换镜头的焦距和通光直径为多大? <3>欲将光栅常数 0.1mm 的二维光栅处理成一维光栅。给出空间滤波 器的形状和尺寸。 <4>说明针孔滤波器作用并计算其大小。
中科大信息光学习题解答
H (, )
P( x, y) P( x d , y d )dxdy
i i
P( x, y)dxdy
由自相关性质（p16） ，如果
r ( x, y )
R ff ( x, y ) R ff (0,0)
f
(α x,β γ ) f (α ,β )dα dβ
2 exp j ( x0 x y0 y ) dx0 dy0 z
菲涅耳衍射图样随 z 改变。
2 2 2 2 2 ( x0 y 0 ) max x0 y0 2 可略去，即 2z 2z
z 增大到 exp jk
或
z 1 2 2 ( x0 y 0 ) max 2
H (, ) 答：由公式 H (, ) I H I (0,0)
H (0,0) 1 ；
h ( x , y ) exp j 2(x
I i i I i i
i
y i )dxi dyi
可知
i
h ( x , y )dx dy
i
（问题）不能证明在某个空间频率上有 H>1. 对于衍射受限系统
光栅的透射函数???????????????????????????????????????????????????ntnindxbbxrecteaaxrectxt2212ox0x??????????????xxxxnifaixnifaixntnitnidfcombtnafafcaddfcombdeeafcaeeafcaxtfndxeaaxrecteaaxrectxtdbaxx?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????1cos2sin11sinsin22
信息光学教程全书习题及参考答案
理想成像系统、光波在自由空间的传播都具有线性光学系统的性质。 输入函数在输入面上的平移仅对应输出函数在输出面上的相应平移，即系统传输特性满 足线性平移不变的光学系统称为线性不变光学系统。用公式可以表示为：
L{ } a1 f1 (x − x1, y − y1 ) + a2 f 2 (x − x2 , y − y2 ) = a1g1 (ξ − ξ1,η −η1 ) + a2 g 2 (ξ − ξ2 ,η −η2 )
(x,
y)
=
exp( jkd0
jλd0
)∞ ∞
−∞−∞
U0
(x0
,
y0
)exp⎨⎧
⎩
j
k 2d0
(x0 − x)2 + (y0 − y)2
⎫ ⎬dx0dy0 ⎭
∫ ∫ ( ) [ ] U2
(x,
y)
=
exp( jkd1
jλd1
)∞ ∞
−∞−∞
U1
(x1,
y1
)
exp⎢⎡− ⎣
jk 2 f1
x12 + y12
−∞
a
比较以上两式有δ (at) = 1 δ (t) 。 a
（2）
按二维 δ 函数的定义：
∞∞
∫ ∫ δ (x, y)dxdy = 1
−∞ −∞
∞
∞
= ∫ δ (x)dx ∫ δ (y)dy
−∞
−∞
∞
∞
= ab ∫ δ (ax)dx ∫ δ (by)dy
−∞
−∞
∞∞
= ab ∫ ∫ δ (ax,by)dxdy
信息光学课后习题解答-苏显渝主编
comb( x)
n
comb( x) rect( x)
rect( x)
=
1.6 已知 exp( x2 ) 的傅里叶变换为 exp( 2 ) 试求
exp( x2 ) ?
x2
e xp(
2
2
)
?
解： 利用傅里叶变换的坐标缩放性质可求得答案
kx 2 k y 3 kz 4
k2 kx2 ky2 kz2 29
k 29 2
2 2 2 3 2 4
2 29
1
3 2
2
第二章习题解答
2.1单位振幅的平面波垂直入射到一半径为a的圆形孔径上，试 求菲涅耳衍射图样在轴上的强度分布。
2
2
2
2
1 rect( x
3 1 2)
1 rect ( x 2.5 )
2
2
2
2
(2) rect( x 1) rect( x 1)
2
2
rect( x 1)
2
rect( 1)
2
2 x
2 x0
0 x2
1 x2 2
2 x
g( x) 0 d x 2
1
2z 1
a2
exp( jkz)
jz
jk
2
e xp(
jk
2z
)
1
exp(
jkz)cos(k
a2 ) 2z
信息光学课后习题答案
信息光学课后习题答案信息光学是一门研究光在信息处理和传输中的应用的学科，课后习题是帮助学生巩固课堂知识的重要手段。
以下是一些信息光学课后习题的参考答案。
习题一：光的干涉现象1. 描述杨氏双缝干涉实验的基本原理。
答：杨氏双缝干涉实验是利用两个相干光源产生的光波在空间中相遇时，由于相位差不同而相互叠加，形成明暗相间的干涉条纹。
当两束光波的相位差为整数倍的波长时，它们相互加强，形成亮条纹；当相位差为半整数倍波长时，它们相互抵消，形成暗条纹。
2. 计算双缝干涉的条纹间距。
答：设双缝间距为d，观察屏与双缝的距离为L，光波长为λ。
根据干涉条纹的间距公式：\[ \Delta x = \frac{\lambda L}{d} \]，可以计算出条纹间距。
习题二：光的衍射现象1. 解释夫琅禾费衍射和菲涅尔衍射的区别。
答：夫琅禾费衍射适用于远场条件，即观察点距离衍射屏很远，可以忽略衍射波的弯曲。
而菲涅尔衍射适用于近场条件，考虑了衍射波的弯曲效应。
2. 描述单缝衍射的光强分布特点。
答：单缝衍射的光强分布呈现中央亮条纹最宽最亮，两侧条纹逐渐变窄变暗，且条纹间距随着角度的增大而增大。
习题三：光的偏振现象1. 什么是偏振光，它有哪些应用？答：偏振光是指光波振动方向被限制在特定平面内的光。
偏振光的应用包括偏振太阳镜减少眩光，液晶显示技术，以及光学测量和成像技术等。
2. 解释马吕斯定律。
答：马吕斯定律描述了偏振光通过偏振器时，透射光强与入射光强的关系。
根据马吕斯定律，透射光强I与入射光强I0的关系为：\[ I = I_0 \cos^2(\theta) \]，其中θ是偏振器的偏振方向与光波振动方向之间的夹角。
习题四：光纤通信1. 解释全内反射原理。
答：全内反射是指当光从折射率高的介质进入折射率低的介质时，如果入射角大于临界角，光将不会穿透界面，而是完全反射回高折射率介质内部。
这是光纤通信中光信号能够长距离传输的关键原理。
2. 描述单模光纤和多模光纤的区别。
信息光学第三四章作业答案
解：按题意，由透镜定律有
1 1 1 f 10cm, 物距d0 20cm f d 0 di
解得像距：di 20cm
这里系统的截止频率应大于物函数的基频f1。于是 (1) 相干照明时，根据截止频率的定义，有
D fc f1 , D 2 di f1 2 104 20 1000 4cm 2 di
第三、四章作业答案
3.1 试阐述衍射受限的相干成像系统和非相干成像
系统的区别以及像差的影响。 衍射受限的相干成像系统与非相干成像系统的区别：
（1）衍射受限相干成像系统对复振幅变换而言是 线性不变系统，对光强度的变换则不是线性系统； 非相干成像系统对光强变换是线性不变的，而对复 振幅的变换则不是线性的。 （2）截止频率不同：相干系统截止频率是确定像 的复振幅的最高频率分量，而非相干系统截止频率 是对像强度的最高频率分量而言。非相干衍射受限 系统的OTF，其截止频率扩展到相干系统CTF的截 止频率的两倍处。
源中心对两观测点的张角有关。
[4-4] 在杨氏干涉实验中，如果光源的宽度是光源 的极限宽度的1/3，试问干涉条纹的对比度是多少？
解：条纹对比度V sin
2bt ， 其中 = 。当光源宽度为 ls
极限宽度时， =1。因此当光源宽度为极限宽度的1/3时，
=1/3，于是相应的干涉条纹对比度
变化情况。
由相干时间或相干长度来表征。光源的时间相干性
取决于光源的频谱宽度或中心波长0和波长宽度 等。
[4-3] 什么叫光源的空间相干性？由什么物理量
来表征？与哪些因素有关？
答：空间相干性是指在波面上固定两空间点的位 相差随时间的变化情况。它描述在同一时刻波面
上两点之间光场的相干性。
中山大学信息光学习题课后答案--习题1
习 题 11.1 试用MATLAB 画出下列非初等函数的图形。
(1) 3rect 1.5x -⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2) 2sinc x ；(3) 2tri 3x -⎛⎫ ⎪⎝⎭； (4) 2sgn 3x +⎛⎫ ⎪-⎝⎭；(5) 2step 4x -⎛⎫ ⎪⎝⎭；(6) 3Gaus 5x -⎛⎫ ⎪⎝⎭。
1.2 用MA TLAB 画图1.3.1两个序列的δ函数。
1.3 画出函数211()sgn(cos )circ 22r f r ar l ⎡⎤⎛⎫=+⋅ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图形，并求出各环带的半径。
1.4 写出下列各图中所示图形的函数表达式。
1.5 已知函数()rect(1)rect(1)f x x x =++-，求函数(1) (1)f x -；(2) ()sgn()f x x ⋅，并画它们的图形。
1.6 一般形式的高斯脉冲可定义为：20()e at A t A -=。
光学中，脉冲的宽度习惯上有2种定义，一是半极在全宽度(FWHM)，一是光强峰值的1/e 处，求这二个宽度的关系。
1.7 已经连续函数()f x ，若00x a >>，利用δ函数可筛选出函数在0x x a =±的值，试写出运算式。
1.8 ()f x 为任意连续函数，0a >，求函数()()[()()]h x f x x a x a δδ=+--，并作出示意图。
1.9 ()f x 为任意连续函数，0a >，求下列函数：(1) 0()()()g x f x ax x δ=- (2) 0()()comb()x x g x f x a-=⋅ 1.10 证明下列各式。
(1) 11comb comb 22x x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2) sin(π)comb()lim sin(π)n n x x x →∞= (3) 1(,)(,)||ax by x y ab δδ=(4) comb()comb()1(/,/)||n m ax bx x n a y m b ab δ∞∞=-∞=-∞=--∑∑ (5) 1()cos()d 2πx x x δω∞-∞=⎰ (6) sin()()lim x x xωωδω→∞= 1.11 以高斯函数为序列定义δ函数。
信息光学第二章习题答案
自由空间传输只是附加了空间频率相关的相位，相
对振幅分布不变。
当
时， f
2 x
fy2
1 2
H
fx, fy
0 。这说明该系统是一个低
通滤波器。
其截止频率为：0
f
2 x
fy2
1
2.6、光场从入射面经自由空间传输至某一距 离后，在观测面上某点得到零强度分布。现 在入射面上先后放置两互补衍射屏，试问在 观测点处先后所得的强度有什么关系？说明 理由。
x0 z
y0
z
2
解：用单位振幅的单色平面波垂直照明模块，其 透射光场为：
Ut x, y t1 xt2 y
夫琅和费衍射远场光场分布为：
U (x0,
y0 )
1
i z
e e ikz
i
k 2z
[
x02
y02
]
{Ut (x,
y)}
1
i z
e e ikz
1 2
t20t1' 0
e e i2 fxx i2 fxx
1 4
t1'0t2' 0
ei2
f x x 2
fy y
ei2
f x x 2
fy y
ei2
f x x 2
f y y
ei2
f x x 2
f y y
2.4、试阐述傅里叶自成像与一般几何成像 的不同。
x02
y02
)
i z
Xf x
信息光学 课后习题答案
信息光学课后习题答案信息光学课后习题答案在信息时代，光学技术的应用越来越广泛。
信息光学是一门研究光的传播、控制和处理的学科，它涉及到光的物理性质、光学仪器和光学系统的设计等方面。
在信息光学的学习过程中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以巩固理论知识，提高问题解决能力。
下面是一些信息光学课后习题的答案，希望能对你的学习有所帮助。
1. 什么是光的干涉？请简要描述干涉的条件和干涉的类型。
答：光的干涉是指两束或多束光波相互叠加产生干涉现象的现象。
干涉的条件包括：光源的相干性、光波的波长、光波的振幅和相位等。
根据光波的相位关系和干涉光波的振幅分布，干涉可以分为构成干涉的光波相位差为定值的相干干涉和相位差随空间位置而变化的非相干干涉。
2. 什么是光的衍射？请简要描述衍射的条件和衍射的类型。
答：光的衍射是指光波通过物体的边缘或孔径时发生偏折和扩散的现象。
衍射的条件包括：波长与物体尺寸的比值、入射光波的方向和物体的形状等。
根据物体的形状和光波的传播方式，衍射可以分为菲涅尔衍射和菲拉格衍射。
3. 什么是光的偏振？请简要描述光的偏振现象和偏振的方法。
答：光的偏振是指光波中的电矢量在特定方向上振动的现象。
偏振可以通过特定的方法将非偏振光转化为偏振光，常用的偏振方法包括：偏振片的使用、布儒斯特角的利用和波片的调整等。
4. 什么是光的散射？请简要描述散射的条件和散射的类型。
答：光的散射是指光波与物质相互作用后改变传播方向的现象。
散射的条件包括：光波与物质的相互作用力、物质的尺寸和光波的波长等。
根据散射物体的尺寸和光波的波长，散射可以分为瑞利散射、米氏散射和光学散射等。
5. 什么是光的吸收？请简要描述吸收的条件和吸收的影响因素。
答：光的吸收是指光波在物质中被吸收转化为其他形式的能量的现象。
吸收的条件包括：光波与物质的相互作用力、物质的性质和光波的波长等。
吸收的影响因素包括：物质的吸收系数、光波的强度和入射角度等。
以上是对一些信息光学课后习题的简要解答。
信息光学习题解答
解: h( x) exp( x)step( x) exp( x) g( x) step( x) h( x) f (x) h( x)
x0 x0
f (x)
1, x 0 0, 其它
h( x)
1
h( x )
ex , x 0 0, 其它
f (x)
1
x 01
x 0
（1）、将f (x)和h (x)变为f ( )和h ( ), 并画出相应的曲线
4如图所示的等腰直角三角形孔径放在透镜的前焦平面上, 以单位 振幅的单色平面波垂直照明, 试求透镜后焦面上的夫琅和费衍射 图样的复振幅分布。
y0 y0 x0
U(x, y)
1
jf
exp(
jkf
) e xp
j
k 2f
(x2
y
2
)
45 0 45
x0 a
x0
2
U0( x0 ,
y0 ) exp
0
其它
1.5 计算下列一维卷积
(1) (2 x 3) rect( x 1)
2
(2) rect( x 1) rect( x 1)
2
2
(3) com b( x) rect( x)
解（1）
(1) (2 x 3) rect( x 1) 1 ( x 3 ) rect( x 1)
n
(1)n ( x n)
n
comb( x)exp( j x ) comb( x) (1)n ( x n) ( x n)
n
n
0 n为奇数
2 ( x 2n)
n
1.4 计算下面两个函数的一维卷积
h( x) 1 x
f (x) 1 x
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习题2把下列函数表示成指数傅里叶级数，并画出频谱。
(1) ()rect(2)n f x x n ∞=-∞=-∑ (2) ()tri(2)n g x x n ∞=-∞=-∑证明下列傅里叶变换关系式：(1) {rect()rect()}sinc()sinc()F x y ξη=; (2) 22{()()}sinc ()sinc ()F x y ξηΛΛ=; (3) {1}(,)F δξη=; (4) 11{sgn()sgn()}i πi πF x y ξη⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭; (5) {(sin )}F n nx δ; (6) {}222π()/e x y a F -+。
求x 和(2)xf x 的傅里叶变换。
求下列函数的傅里叶逆变换，画出函数及其逆变换式的图形。
()tri(1)tri(1)H ξξξ=+-- ()rect(/3)rect()G ξξξ=- 证明下列傅里叶变换定理：(1) 在所在(,)f x y 连续的点上11{(,)}{(,)}(,)FF f x y F F f x y f x y --==--； (2) {(,)(,){(,)}*((,)}F f x y h x y F f x y F g x y =。
证明下列傅里叶-贝塞尔变换关系式：(1) 若0()()r f r r r δ=-，则000{()}2πJ (2π)r B f r r r ρ=; (2) 若1a r ≤≤时()1r f r =，而在其他地方为零，则11J (2π)J (2π){()}r a a B f r ρρρ-=;(3) 若{()}()r B f r F ρ=，则21{()}r B f r a a ρ⎛⎫= ⎪⎝⎭; (4) 22ππ{e }e r B ρ--=设(,)g r θ在极坐标中可分离变量。
证明若i (,)()e m r f r f r θθ=，则： i {(,)}(i)e H {()}m m m r F f r f r φθ=-其中H {}m 为m 阶汉克尔变换：0{()}2π()J (2π)d m r r m H f r rf r r r ρ∞=⎰。
而(,)ρφ空间频率中的极坐标。
(提示：i sin i eJ ()e a xkx k k a ∞=-∞=∑)计算下列各式的一维卷积。
(1) 1rect *(23)2x x δ-⎛⎫-⎪⎝⎭ (2) 3rect *(4)*(1)2x x x δδ+⎛⎫-- ⎪⎝⎭(3) 1rect *comb()2x x -⎛⎫⎪⎝⎭ (4) πsin rect()2x x ⎛⎫* ⎪⎝⎭试用卷积定理计算下列各式。
(1) sinc()*sinc()x x (2) {sinc()sinc(2)}F x x 用宽度为a 的狭缝，对平面上强度分布 0()2cos(2π)f x x ξ=+扫描，在狭缝后用光电探测器记录。
求输出强度分布。
利用梳状函数与矩形函数的卷积表示光栅的透过率。
假定缝宽为a ，光栅常数为d ，缝数为N 。
计算下面函数的相关。
(1) 1rect 2x +⎛⎫⎪⎝⎭★1rect 2x -⎛⎫⎪⎝⎭(2) ()tri 21x -★()tri 21x -应用傅里叶定理求下面积分。
(1)2πecos(2π)d x ax x ∞--∞⎰(2) 2sinc ()sin(π)d x x x ∞-∞⎰求函数()rect()f x x =和()tri()f x x =的一阶和二阶导数。
试求下图所示函数的一维自相关。
试计算函数()rect(3)f x x =-的一阶矩。
证明实函数(,)f x y 的自相关是实的偶函数，即：(,)(,)ff ff R x y R x y =--。
求下列广义函数的傅里叶变换。
(1) step()x (2) sgn()x (3) 0sin(2π)x ν 求下列函数的傅里叶逆变换，并画出函数及其逆变换式的图形。
(1) ()tri(1)tri(1)H x x x =+-- (2) ()rect(/3)rect()G x x x =- 表达式(,)(,)*comb comb x y p x y g x y X Y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦定义了一个周期函数，它在x 方向上的周期为X ，它在y 方向上的周期为Y 。
(a) 证明p 的傅里叶变换可以写为： (,),,n m n m n m P G X Y X Y ξηδξη∞∞=-∞=-∞⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑其中G 是g 的傅里叶变换。
(b) 当(,)rect 2rect 2x y g x y X Y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，画出函数(,)p x y 的图形，并求出对应的傅里叶变换(,)P ξη。
习题3设在一线性系统上加一个正弦输入：(,)cos[2π()]g x y x y ξη=+，在什么充分条件下，输出是一个空间频率与输入相同的实数值正弦函数用系统适当的特征表示出输出的振幅和相位。
证明零阶贝塞尔函数002J (2π)r ρ是任何具有圆对称脉冲响应的线性不变系统的本征函数。
对应的本征值是什么傅里叶系统算符可以看成是函数到其他变换式的变换，因此它满足本章把提出的关系系统的定义。
试问： (a) 这个系统是线性的吗(b) 你是否具体给出一个表征这个系统的传递函数如果能够，它是什么如果不能，为什么不能 某一成像系统的输入是复数值的物场分布o (,)U x y ，其空间频率含量是无限的，而系统的输出是像场分布i (,)U x y 。
可以假定成像系统是一个线性的空间不变换低通滤波器，其传递函数在频域上的区间||x B ξ≤，||y B η≤之外恒等于零。
证明，存在一个由点源的方形阵列所构成的“等效”物体o(,)U x y '，它与真实物体o U 产生完全一样的像i U ，并且等产供效物体的场分布可写成：o0(,)(,)sinc(2)sinc(2)d d ,22X Y n m X Y n mU x y U n B m B x y B B ξηξηξηδ∞∞∞=-∞=-∞-∞⎡⎤⎛⎫'=----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑∑⎰⎰ 定义：1(,)d d (0,0)xy f x y x y f ∞-∞∆=⎰⎰, 1(,)d d (0,0)F F ξηξηξη∞-∞∆=⎰⎰分别为原函数(,)f x y 及其频谱函数(,)F ξη的“等效面积”和“等效带宽”，试证明： 1xy ξη∆∆=上式表明函数的“等效面积”和“等效带宽”成反比，称为傅里叶变换反比定理，亦称面积计算定理。
已知线性不变系统的输入为：()comb()f x x =。
系统的传递函数为rect(/)b ξ。
当1b =和3b =时，求系统的输出()g x ，并画出函数及其频谱。
对一个线性不变系统，脉冲响应为： ()7sinc(7)h x x =用频率域方法对下列的每一个输入()i f x ，求其输出()i g x (必要时，可取合理近似)： (1) 1()cos 4πf x x = (2) 2()cos(4π)rect(/75)f x x x =(3) 3()[1cos(8π)]rect(/75)f x x x =+ (4) 4()comb()*rect(2)f x x x = 给定正实常数0ξ和实常数a 和b ，求证： (1) 若01||2b ξ<，则001sinc(/)*cos(2π)cos(2π)||x b x x b ξξ= (2) 若01||2b ξ>，则01sinc(/)*cos(2π)0||x b x b ξ= (3) 若||||b a <，则sinc(/)*sinc(/)||sinc(/)x b x a b x a =(4) 若||||2a b <，则22sinc(/)*sinc (/)||sinc (/)x b x a b x a = 若限带函数()f x 的傅里叶变换在带宽w 之外恒为零，(1) 如果1||a w<，证明：1sinc(/)*()()||x a f x f x a = (2) 如果1||a w>，上面的等式还成立吗 给定一个线性系统，输入为有限延伸的矩形波： 1()comb(/3)rect(/100)*rect()3g x x x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若系统脉冲响应：()rect(1)h x x =-。
求系统的输出，并绘出传递函数、脉冲响应、输出及其频谱的图形。
给定一线性不变系统，输入函数为有限延伸的三角波1()comb(/2)rect(/50)*tri()2g x x x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对下列传递函数利用图解方法确定系统的输出：(1) ()rect(/2)H ξξ= (2) ()rect(/4)rect(/2)H ξξξ=- 若对函数：2()sinc ()h x a ax =抽样，求允许的最大抽样间隔。
证明在频率平面上一个半径为B 的圆之外没有非零的频谱分量的函数，遵从下述抽样定理：π(,),224n m n m g x y g B B ∞∞=-∞=-∞⎧⎪⎛⎫=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎩∑∑习 题 4尺寸为a b ⨯的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠零后的平面上透射光场的角谱。
采用单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的孔径，求菲涅耳衍射图样在孔径轴上的强度分布：(1) 00(,)t x y =(2) 001,(,)0,a t x y ⎧⎪≤=⎨⎪⎩其它余弦型振幅光栅的复振幅透过率为： 00()cos(2/)t x a b x d π=+式中，d 为光栅的周期，0a b >>。
观察平面与光栅相距z 。
当z 分别取下述值时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。
(1) 22r d z z λ== (2) 22r z d z λ== (3) 242r z d z λ==参看下图，用向P 点会聚的单色球面波照明孔径∑。
P 点位于孔径后面距离为z 的观察平面上，坐标为(0,)b 。
假定观察平面相对孔径的位置是在菲涅耳区内，证明观察平面上强度分布是以P 点为中心的孔径的夫琅禾费衍射图样。
方向余弦为cos ,cos αβ，振幅为A 的倾斜单色平面波照明一个半径为a 的圆孔。
观察平面位于夫琅禾费区，也孔径相距为z 。
求衍射图样的强度分布。
环形孔径的外径为2a ，内径为2a ε(01)ε<<。
其透射率可以表示为：001,()0,a r at r ε≤≤⎧=⎨⎩其他用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求距离为z 的观察屏上夫琅禾费衍射图样的强度分布。
下图所示孔径由两个相同的圆孔构成。
它们的半径都为a ，中心距离为d ()d a >>。