异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角专题复习与提高

在△中，＝＝.
在△中，∠＝＝，∴∠＝30°.
答案：A
16．正四棱锥P—的两个侧面与互相垂直，则相邻两个侧面所成二面角的平面角为( )
A．60°B．90°
C．120°D．150°
解析：如图，作⊥，连结.
∵△≌△，∴⊥
∴∠就是二面角D——B的平面角，
∵O为的中点，
∴∠＝∠，
又∵面⊥面，
∴＝，
在△中，＝，所以＝.
●练习提升
1．如图，E、F分别是三棱锥P－的棱、的中点，＝10，＝6，＝7，则异面直线与所成的角为 ( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案：C
2. 已知长方体－A1B1C1D1中，＝＝4，1＝2，则直线1和平面1D1所成的角的正弦值为( )
答案：C
3.如图，在边长为1的菱形中，∠＝60°，将菱形沿对角线
解析：取的中点O，则⊥，⊥，得⊥平面，∴⊥，①正确；＝45°·45°＝，∠＝60°，＝，△是正三角形，②正确；与成60°角，③正确；与平面成角∠＝45°，④错误．
答案：C
12．如图所示的正方体－A1B1C1D1中，过顶点B、D、C1作截面，则二面角B－1－C的平面角的余弦值是．
解析：取C1D的中点O，连接、，则⊥C1D，⊥C1D，
(2)当＝时，求二面角D－－N的大小．
A．R＝P⊆Q B．R⊆P⊆Q
C．P⊆R⊆Q D．R⊆P＝Q
答案：B
8．设△和△所在两平面互相垂直，且＝＝＝a，∠＝∠＝120°，则与平面所成角的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析：作⊥交的延长线于O，连接，则即为在平面内的射影，∠即为与平面所成的角．
∵＝＝a，
∴∠＝45°.
答案：B
14．如图，将△沿斜边上的高折成120°的二面角C－－C′，若直角边＝4，＝4，则二面角A－′－D的正切值为( )
D．1
解析：∠′＝120°，过D作⊥′于E，连结，则∠即为所求．又知⊥平面′D，＝4，在△′D中，由余弦定理求得′＝4，再由面积公式S△′D＝′·＝··C′D·60°知＝4，∴∠＝＝.
∴＝＝.
∴∠＝＝，
∴∠＝，∴∠＝.
答案：C
17. 如图，在四棱锥V—中，底面是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角V——C的度数是．
答案 60°
18．如图①，直角梯形中，∥，∠＝，点M、N分别在，上，且⊥，⊥，＝2，＝4，现将梯形沿折起，使平面与平面垂直(如图②)．
(1)求证：∥平面；
∴∠是二面角B－1－C的平面角．
设正方体的棱长为1，则＝，
∵△1为正三角形，
∴＝，且＝1，
∴∠＝＝.
答案：
13．如图，在直三棱柱－A1B1C1中，＝＝1，∠＝90°，点E、F分别是棱、1的中点．则直线和1所成的角是( )
A．45°B．60°
C．90°D．120°
解析：取B1C1的中点G，A1B1的中点H，连结、、、，则∥1，且∠或其补角就是所求的角，利用余弦定理可求得∠＝－，故所求角为60°.
三、二面角及求法
(1)定义：在二面角的棱上任取一点，分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角，且定义平面角的大小为该二面角的大小．
(2)取值范围：规定二面角的取值范围为[0，π]．
(3)求法：定义法：分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角
折起，使折起后＝1，则二面角B－－D的余弦值为 ( )
答案：A
4．在正方体－A1B1C1D1中，B1C与对角面1B1B所成角的大小是 ( )
A．15°B．30°
C．45°D．60°
答案：B
5．如图，－A1B1C1D1是长方体，1＝a，∠1＝∠B1A1C1＝30°，则与A1C1所成的角为，1与B1C所成的角为．
空间角专题复习
●知识梳理
一、异面直线所成的角及求法
(1)定义：在空间任意取一点，过该点分别作两异面直线的平行线所成的锐角或直角称为两异面直线所成的角．
(2)取值范围：若θ是异面直线a和b所成的角，则其取值范围是θ∈(0，]，当θ＝时，称异面直线a和b垂直，记为a⊥b.
(3)求法：平移法：将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后，构造三角形，通过解该三角形而求其大小；
答案：A
点评：考查二面角的知识，余弦定理及三角形的边角计算．如何作出二面角的平面角是解决此类问题的关键．
15．在矩形中，＝3，＝4，⊥平面，＝，那么二面角A——P的度数是( )
A．30°B．45°
C．60°D．75°
解析：如右图所示，过A作⊥，
垂足为E，连结，
则⊥(三垂线定理)，
故∠为二面角P——A的平面角．
二、直线与平面所成的角及求法
(1)定义：设l和α分别表示直线与平面．①若l∥α或l⊂α，则称直线l和平面α所成的角为0；②若l⊥α，则称l与α所成的角为 ；③若l与α相交，则l与l在α内的射影所成的锐角为直线l与平面α所成的角．
(2)取值范围：设θ是直线l与平面α所成的角，则θ的取值范围是 ．
(3)求法：定义法：探寻直线l在平面α内的射影，(通常由垂直法找射影)构造直线l与平面α所成角对应的直角三角形，通过解该直角三角形而求得直线与平面所成的角．
答案： ，
6. 在正方体－A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与平面所成的角是；
(2)直线A1B与平面1D1所成的角是；
(3)直线A1B与平面1C1D所成的角是．
答案 (1)45° (2)30° (3)90°
7．设直线与平面所成角的大小范围为集合P，二面角的平面角大小范围为集合Q，异面直线所成角的大小范围为集合R，则P、Q、R的关系为( )
答案：B
9. 如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且＝，则二面角P——A的大小为( )
A．60°B．30°C．45°D．15°
答案 C
10．如图，已知四棱锥P－的底面是正方形，⊥平面，且＝，则平Leabharlann Baidu与平面所成的二面角的度数为( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
解析：∵∥，
∴面与平面的交线l必为过P点与平行的直线．
∵⊥平面，
∴⊥，⊥，又⊥，
∴⊥平面，
∴⊥，
∴⊥l，⊥l，即∠为所求二面角的平面角，
∠＝45°.
答案：C
11．把正方形沿对角线折成直二面角，对于下列结论：
①⊥；②△是正三角形；③与成60°角；④与平面成60°角．则其中正确结论的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个