高中数学 第二章 空间向量与立体几何 5.1-5.2 直线间的夹角、平面间的夹角 北师大版选修2-1

知 当识 两点 条一 直线直l1与线l间2共的面夹时角，我们把两条直线交角中，范围在0，π2
角叫作两直线的夹角.
内的
当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，我们把直线l1和
直线AB的夹角叫作 异面直线l1与l2的夹角
.
空间直线由一点和一个方向确定，所以空间两条直线的夹角由它们的方向向
量的夹角确定.
已知直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.
当0≤〈s1，s2〉≤π2 时，直线l1与l2的夹角等于〈s1，s2〉
；
当π 2
< 〈 s1 ， s2 〉 ≤π 时 ， π直－线〈sl1，1 s与2〉l2 的 夹 角 等
答案
知识点二 平面间的夹角
如图，平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在 平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则l1∩l2＝R.我们把 直线l1和l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角.
ABCD，BD
ABCD，
因此CC1⊥底面ABCD. 由题意知，O1O∥C1C，故O1O⊥底面ABCD.
解析答案
(2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面BDD1B1的夹角的余弦值.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1 的中点，求平面AA1D与平面A1BD的夹角的余弦值.
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设BB1＝1，则A(0,0,1)，
B1 26， 22，0，C1(0， 2，0)，B 26， 22，1. ∴A→B1＝ 26， 22，－1，C→1B＝ 26，－ 22，1， ∴A→B1·C→1B＝46－42－1＝0，∴A→B1⊥C→1B.
即AB1与C1B所成角的大小为90°.
角的大小为(A )
A.45°
B.135°
C.45°或135° D.90°
解析
∵cos〈m，n〉＝
பைடு நூலகம்
1＝ 2
22，
∴二面角的大小为45°.
解析答案
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3.在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，若 AB＝ 2BB1，则 AB1 与 C1B 所成角的大小为( B ) A.60° B.90° C.105° D.75°
第二章 §5 夹角的计算
5.1 直线间的夹角 5.2 平面间的夹角
学习 目标
1.理解两条异面直线的夹角、两平面的夹角的概念. 2.能够利用向量方法解决线线、面面的夹角问题. 3.掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤.
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则 A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0,1)，C(0,2,0)，D→1A＝(1,0,－1)，C→E＝(1,t－2,0)，
根据数量积的定义及已知得：1＋0×(t－2)＋0＝ 2× 1＋t－22·cos 60°，
所以t＝1，所以点E的位置是AB的中点.
解析答案
题型二 平面间的夹角的向量求法
cos β＝|cos〈E→C1，F→D1〉|＝|E→EC→C1|×1·F→|FD→D1 1|
＝
12＋1×32＋－242×＋3×－24＋22＋×222＋22＝
21 14 .
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 3 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PD⊥底 面 ABCD，E 是 AB 上一点，PE⊥EC.已知 PD＝ 2，CD＝2，AE＝12.
已知平面π1和π2的法向量分别为n1和n2.
当0≤〈n1，n1〉≤
π 2
时，平面π1与π2的夹角等〈于n1，n2〉
；
当π 2
< 〈 n1 ， n2 〉 ≤π 时 ， 平 面ππ－1 〈与n1π，2n2的〉 夹 角 等
答案
思考 (1)异面直线的夹角范围是什么？ 答案 异面直线的夹角范围是0，π2. (2)两平面的夹角范围是什么？ 答案 两平面的夹角范围是0，π2.
(1)求证：DE⊥EC；
解析答案
(2)求平面EPC与平面DPC夹角的大小.
解析答案
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当堂检测
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1.若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2这两条
异面直线的夹角等于A( )
A.30°
B.150°
C.30°或150° D.以上均错
答案
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2.已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面的夹
解析答案
题型三 两夹角的综合问题
例3 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已 知AB＝4，AD＝3，AA1＝2.E、F分别是线段AB、 BC上的点，且EB＝FB＝1. (1)求平面CDE与C1DE夹角的正切值；
解析答案
(2)求直线EC1与FD1夹角的余弦值. 解 设EC1与FD1夹角为β，则
例2 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都
相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1
和四边形BDD1B1均为矩形.
(1)证明：O1O⊥底面ABCD；
证明 因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD.
因为CC1∥DD1，所以CC1⊥BD.
而AC∩BD＝O，且AC
答案
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题型探究 重点突破
题型一 两条异面直线所成角的向量求法
例1 如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4， 点D是BC的中点.求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1， AB＝2，点E是棱AB上的动点.若异面直线AD1与EC所成角为 60°，试确定此时动点E的位置. 解 以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在 直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 设E(1，t,0)(0≤t≤2)，
令 x＝2，则 y＝1，z＝23.
∴平面 ABC 的一个法向量为 n＝(2,1,23). 平面 xOy 的一个法向量为O→C＝(0,0,3).
解析答案
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4.已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy夹角的
余弦 2
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值解析为__A→_B_＝. (－1,2,0)，A→C＝(－1,0,3).设平面 ABC 的法向量为 n＝(x，y，z).
由
n·A→B＝0，n·A→C＝0
－x＋2y＝0， 知－x＋3z＝0.