高中数学 第二章 空间向量与立体几何 5.1-5.2 直线间的夹角、平面间的夹角 北师大版选修2-1
空间向量与立体几何知识总结(高考必备!)
y k iA(x,y,z)O jxz 空间向量与立体几何一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k（单位正交基底）为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．二、空间向量的直角坐标运算律（1）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=--- ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（3）//a b b a λ⇔= 112233()b a b a R b aλλλλ=⎧⎪⇔=∈⎨⎪=⎩三、空间向量直角坐标的数量积1、设b a ,是空间两个非零向量，我们把数量><b a b a ,cos ||||叫作向量b a ,的数量积，记作b a ⋅，即b a ⋅＝><b a b a ,cos |||| 规定：零向量与任一向量的数量积为0。
【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-1课件：第2章 空间向量与立体几何 复习课件
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
D1 A1 G D A B C B1
C1
M
始点相同的三个 不共面向量之和，等 于以这三个向量为棱 的平行六面体的以公 共始点为始点的对角 线所示向量
二.共线向量定理与共面向量定理
（一）、共线向量: 1.共线向量:空间两向量互相平行
向量a与b的夹角记作：<a,b>
a b
O
A
a
B
b
范围： 0 a, b 在这个规定下，两个向 量的夹角就
如果 a, b
被唯一确定了，并且 a, b＝b, a
2
, 则称 a与b互相垂直，并记作： ab
2）两个向量的数量积
a b a b cos a, b
（三）、有关结论 设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α，β 的法向量分别为u,v,则 线线平行：l∥m a ∥b a=kb; u=0; a⊥u a· 面面平行：α∥β u ∥v u=kv. 线线垂直：l ⊥ m a ⊥ b a· b=0; 线面垂直：l ⊥ α a ∥ u a=ku; 面面垂直：α ⊥ β u ⊥ v u· v=0. 线面平行：l ∥α
n1 FC1 ，又FC1
FC1 //
平面ADE，
平面ADE
（2） n1 // n2
∴平面ADE//平面B1C1F 2、已知向量 a 1,2,2 则 a 上的单位向量为：
2 2 2 1 1 2 , 或 , , , 3 3 3 3 3 3
sin cos AB,n
AB n AB n
题型三：二面角
二面角的范围：
2-5-1~2夹角的计算课件(北师大版选修2-1)
按照二面角的平面角的定义和空间任意两个向量都是共面向量 的知识，我们只要是在二面角的两个半平面内分别作和二面角 的棱垂直的向量，并且两个向量的方向均指向棱或者都从棱指 向外，那么这两个向量所成的角的大小就是二面角的大小．如 图所示．
题型一 利用空间向量求异面直线所成的角 【例 1】 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E1，F1 分别在 A1B1， 1 1 C1D1 上，且 E1B1＝4A1B1，D1F1＝4D1C1，求 BE1 与 DF1 所成的 夹角的余弦值． [思路探索] 几何法，平移直线构造在同一个三角形中，通过解 三角形求解；向量法，可以用基底，也可以建立坐标系，利用 方向向量的夹角求解．
→ |n· | 1 BM ∵cos θ ＝|cos φ |＝ ＝ ， → 2 |n||BM| π 解得 θ＝ ， 3 π ∴二面角 B1A1CC1 的大小为 3 .
题型三 综合问题 【例 3】 (12 分)如下图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，已知 AB＝4，AD＝3，AA1＝2.E、F 分别是线段 AB、BC 上的点，且 EB＝FB＝1.
题型二
利用空间向量求二面角
【例 2】已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中平面 AB1D1 与平面 A1BD 所成的夹角为 θ，求 cos θ 的值．
求点坐标及相 [思路探索] 建立坐标系 → → 关向量的坐标 A1BD 及平面 AB1D1 的法向量 n1， 2→ n
求平面
求|cos 1， 2〉 cos θ 〈n n |→
→ ∵向量AA1＝(0，0，2)与平面 CDE 垂直， 设二面角 CDEC1 的平面角大小为 θ. 由图知所求二面角为锐二面角，(6 分) → n· 1 AA → ∴cos θ ＝cos〈n，AA1〉＝ → |n|· 1| |AA －1×0－1×0＋2×2 6 ＝ ＝3， 1＋1＋4× 0＋0＋4 2 ∴tan θ ＝ .(8 分) 2
高中数学第二章空间向量与立体几何2.5.3直线与平面的夹角10121数学
12/13/2021
• [证明] 解法1：(1)连接OC，因为OA＝OC，
D是AC的中点，所以AC⊥OD．
• 又PO⊥底面⊙O，AC 底面⊙O，所以 AC⊥PO，因为OD，PO是平面POD内的两 条相交直线，所以AC⊥ 平面POD，而AC
12/13/2021
设平面 ADE 法向量 n2＝(x2，y2，z2)， 则 n2·D→E＝n2·A→D＝0 解得：n2＝(1,0， 2) 设平面 ABD 与平面 ADE 夹角为 θ，
cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝1＋4×0＋32＝
3 2
∴平面 ABD 与平面 ADE 的二面角平面角为π6.
5.3直线与平面的夹角
12/13/2021
• 1．共面直线的夹角 • 当 角两中条，直范线围在l1与__l2_共_面_[0_，时_π2_]，__我__们内把的两角条叫直作线两交直
线的夹角． • 2．异面直线的夹角 • 当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取
一点A作AB∥l2，我们把直线l1与直线AB的夹 角叫作异面直线l1和l2的夹角．
12/13/2021
4．平面夹角的概念 在两个平面所成的二面角的平面角中，称范围在 ___[_0_，__π2_]____ 内的角为两个平面的夹角． 5．平面夹角的求法 设平面 α 与平面 β 的法向量分别为 n1 与 n2，两平面的夹角为 θ.当 0≤〈n1，n2〉≤π2时，θ＝_〈__n_1_，__n_2_〉___；当π2<〈n1，n2〉≤π 时，θ＝_π_－__〈__n_1，__n__2〉_．即 cosθ＝|_c_o_s〈__n_1_，__n_2_〉_.|
高二济南数学课本目录
高二济南数学课本目录必修五第一章数列1.数列1.1数列的概念1.2数列的函数特性2.等差数列2.1等差数列2.2等差数列的前n项和3.等比数列3.1等比数列3.2等比数列的前n项和4.数列在日常经济生活中的应用第二章解三角形1.正弦定理与余弦定理1.1正弦定理1.2余弦定理2.三角形中的几何计算3.解三角形的实际应用举例第三章不等式1.不等关系1.1不等关系1.2不等关系与不等式2.一元二次不等式2.1一元二次不等式的解法2.2一元二次不等式的应用3.基本不等式3.1基本不等式3.2基本不等式与最大（小）值4.简单线性规划4.1二元一次不等式（组）与平面区域4.2简单线性规划4.3简单线性规划的应用选修2-1第一章常用逻辑用语1.命题2.充分条件与必要条件2.1充分条件2.2必要条件2.3充要条件3.全称量词与存在量词3.1全称量词与全称命题3.2存在量词与特称命题3.3全称命题与特称命题的否定4.逻辑连结词“且”“或”“非”4.1逻辑连结词“且”4.2逻辑连结词“或”4.3逻辑连结词“非”第二章空间向量与立体几何1.从平面向量到空间向量2.空间向量的运算3.向量的坐标表示和空间向量基本定理3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示3.2空间向量基本定理3.3空间向量运算的坐标表示4.用向量讨论垂直与平行5.夹角的计算5.1直线间的夹角5.2平面间的夹角5.3直线与平面的夹角6.距离的计算第三章圆锥曲线与方程1.椭圆1.1椭圆及其标准方程1.2椭圆的简单性质2.抛物线2.1抛物线及其标准方程2.2抛物线的简单性质3.双曲线3.1双曲线及其标准方程3.2双曲线的简单性质4.曲线与方程4.1 曲线与方程4.2圆锥曲线的共同特征4.3直线与圆锥曲线的交点选修2-2第一章推理与证1.归纳与类比1.1归纳推理1.2类比推理2.综合法与分析法2.1综合法2.2分析法3.反证法4.数学归纳法第二章变化率与导数1.变化的快慢与变化率2.导数的概念及其几何意义2.1导数的概念2.2导数的几何意义3.计算导数4.导数的四则运算法则4.1导数的加法与减法法则4.2导数的乘法与除法法则5.简单复合函数的求导法则第三章导数的应用1.函数的单调性与极值1.1导数与函数的单调性1.2函数的极值2.导数在实际问题中的应用2.1实际问题中导数的意义2.2最大值、最小值问题第四章定积分1.定积分的概念1.1定积分的背景——面积和路程问题1.2定积分2.微积分基本定理3.定积分的简单应用3.1平面图形的面3.2简单几何体的体积第五章数系的扩充与复数的引入1.数系的扩充与复数的引入1.1数的概念的扩展1.2复数的有关概念2.复数的四则运算2.1复数的加法与减法2.2复数的乘法与除法。
高中数学第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量ppt课件
→ —→ (2)〈AB，C1A1〉； 解答 〈A→B，C—1→A1〉＝π－〈A→B，A—1→C1〉＝π－π4＝34π.
→ —→ (3)〈AB，A1D1〉.
解答
〈A→B，A—1→D1〉＝〈A→B，A→D〉＝π2.
引申探求 →→
在本例中，求〈AB1，DA1〉. 解答
如图，衔接B1C，那么B1C∥A1D， →→
梳理
间向量的夹角
(1)文字表达：a，b是空间中两个非零向量，过空间恣意一点O，作
→ OA
＝a，O→B＝b，那么∠AOB 叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉 .
(2)图形表示：
角度
表示
〈a，b〉＝__0_
〈a，b〉是_锐__角__
〈a，b〉是_直__角__ 〈a，b〉是_钝__角__〈a，b〉 Nhomakorabea_π__
第二章 空间向量与立体几何
§1 从平面向量到空间向量
学习目的 1.了解空间向量的概念. 2.了解空间向量的表示法，了解自在向量的概 念. 3.了解空间向量的夹角. 4.了解直线的方向向量与平面的法向量的概念.
内容索引
问题导学 题型探求 当堂训练
问题导学
知识点一 空间向量的概念
思索1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 答案 在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量.
答案 解析
研讨长方体的模型可知，一切顶点两两相连得到的线段中，长度为1 的线段只需4条，故模为1的向量有8个.
12345
5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的 是②__③____.(填序号)答案
No Image
12345
规律与方法
在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是 该向量为非零向量；二是该向量与直线平行或重合.二者缺一不可. 给定空间中恣意一点A和非零向量a，就可以确定独一一条过点A且平行 于向量a的直线.
人教版新教材高中数学优质课件 第2课时 用空间向量研究夹角问题
解:以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
设BC=1,则A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),
C(2,1,0),M
1
1, 2 ,1
.
(1)证明:=(2,0,-2), =
∵
3
1,- ,1
2
3
·=(2,0,-2)· 1, − 2 , 1
∴ ⊥ .∴PB⊥DM.
若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则cos θ= |cos<u,v>|
|·|
=
.
||||
返回目录
4.做一做:如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=
2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(
1
A.
5
2
B.
5
3
C.
5
4
D.
5
)
返回目录
解析:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空
平面β的夹角为
.
解析:设u=(1,0,-1),v=(0,-1,1),α与β的夹角为θ,
则 cos
π
答案:3
|·|
θ=|cos<u,v>|=||||
=
-1
2× 2
=
1
.所以
2
π
θ=3 .
返回目录
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画“×”.
(1)两条异面直线所成的角与这两条直线的方向向量所成的角相等或互
∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点.
高中数学第二章空间向量与立体几何夹角的计算空间向量求二面角的方法素材
空间向量求二面角的方法方法一：先作出二面角的平面角，再利用向量的内积公式求解：设∠AOB 是二面角l αβ--的一个平面角,则向量OA 与OB 所成的角就是所求的二面角的大小．例1 正四面体ABCD 中，求相邻两个面所成的二面角．解析：如图1，取BC 边的中点Ｅ,连结AE 、DE ，则AE⊥BC，DE⊥BC，所以∠AED 就是正四面体的两个相邻面ABC 与DBC 所成二面角的平面角,且BC⊥平面ADE ，∴BC⊥AD，∴0EC DA =．设正四面体棱长为1．∵()()ED EA EC CD EC CD DA =+++ =222EC EC CD EC DA CD DA CD ++++ 11121cos120011cos1201424=+⨯⨯⨯++⨯⨯+=． 又在△ABC 与△BCD 中，可求得32ED EA ==, ∴cos ED EAED EA ED EA =，11433322==⨯． 故正四面体的两个相邻面所成的二面角大小为1arccos3．方法二:利用法向量求解:设1n 是平面α的法向量，2n 是平面β的法向量．①若两个平面的二面角如图2所示的示意图,则1n 与2n 之间的夹角θ就是欲求的二面角;②若两个平面的二面角如图3所示的示意图,设1n 与2n 之间的夹角为θ．则两个平面的二面角为πθ-． 例2 如图4，△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形,SA⊥平面ABC ，SA=BC=2,AB=4，D 、N 分别是BC 、AB 的中点．求二面角S —ND-A 的余弦值．解析：平面ABC 的法向量是AS ,设平面SND 的法向量为BC AB AS λμ=++n ．∵SA⊥平面ABC ，∴SA⊥BC,SA⊥AB，∴0AS BD =,0AS BN =,0AS BC =，0AS AB = 又AB⊥BC,∴0BC BN =，0AB BD =,0BC NA =． 由()()ND BC AB AS BD BN λμ=++-n 280BC BD AB BN λμλμ=-=+=。
人教A版高中数学教科书目录(2019新版)
人教A 版高中数学教科书目录(2019新版)人教A 版(2019)必修第一册第一章 集合与常用逻辑用语 1.1集合的概念 1.2集合间的基本关系 1.3集合的基本运算1.4充分条件与必要条件 1.5全称量词与存在量词第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 2.2基本不等式2.3二次函数与一元二次方程、不等式 第三章 函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示 3.2函数的基本性质 3.3幂函数3.4函数的应用（一） 第四章 指数函数与对数函数4.1指数 4.2指数函数 4.3对数 4.4对数函数 4.5函数的应用（二） 第五章 三角图数5.1任意角和孤度制 5.2三角函数的概念 5.3诱导公式5.4三角函数的图象与性质 5.5三角恒等变换 5.6函数sin()yA x ωϕ+5.7三角函数的应用人教A 版(2019)必修第二册第六章 平面向量及其应用 6.1平面向量的概念 6.2平面向量的运算6.3平面向量的基本定理及坐标表示 6.4平面向量的应用 第七章 复数7.1复数的概念 7.2复数的四则运算 7.3*复数的三角表示 第八章 立体几何初步8.1基本立体图形 8.2立体图形的直观图 8.3简单几何体的表面积与体积 8.4空间点、直线、平面的位置关系 8.5空间直线、平面的平行 8.6空间直线、平面的垂直 第九章 统计9.1随机抽样 9.2用样本估计总体 第十章 概率 10.1随机事件与概率 10.2事件的相互独立型 10.3频率与概率人教A版(2019)选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.2空间向量基本定理1.3空间向量及其运算的坐标表示第二章直线与圆的方程2.1直线的倾斜角与斜率2.2直线方程2.3直线的交点坐标与距离公式2.4圆的方程2.5直线与圆、圆与圆的位置关第三章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.2双曲线3.3抛物线人教A版(2019)选择性必修第二册第四章数列4.1数列的概念4.2等比数列4.3等差数列4.4数学归纳法第五章一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义5.2导数的运算5.3导数在研究函数中的应用人教A版(2019)选择性必修第三册第六章计数原理6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理6.2排列与组合6.3二项式定理第七章随机变量及其分布7.1条件概率与全概率公式7.2离散型随机变量及其分布7.3离散型随机变量的数字特征7.4二项分布与超几何分布7.5正态分布第八章成对数据的统计分析8.1成对数据的统计相关性8.2一元线性回归模型及其应用8.3列联表与独立检验。
高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.5.1 直线间的夹角课件11高二选修21数学课件
创设 情 (chuàngshè) 景
山体滑坡是一种常见的自然灾害．
甲、乙两名科学人员为了测量一个山 体的倾斜程度，甲站在水平地面上的A处，乙站在山坡(shān pō)斜面 上的B处，从A、B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离AC 和BD分别为30 m和40 m，CD的长为60 m，AB的长为80 m.
即
y0
令 x=1，所以，n=（1,0，-1）
∴ 直线 A1B 与平面 A1B1CD 的夹角 为
1
sin ＝|cos〈 n ，A1B 〉|＝ 2 .
线面夹角(jiā jiǎo)θ满足 sinθ
＝ |cos〈a，n〉|
第十二页，共十九页。
巩固(gǒnggù)练习
1.已知三棱锥 P－ABC 中，PA⊥平面 ABC， AB⊥AC，PA＝AC＝12AB，N 为 AB 上 一点，AB＝4AN，M，S 分别为 PB，BC 的中点．
(1)证明：CM ＝(1,-1,
1 2
)，
SN
＝(
1 2
,
1 2
,0)，
因为CM ·SN ＝－12＋12＋0＝0，所以 CM⊥SN.
第十四页，共十九页。
(2) NC ＝－12，1，0，设 n＝(x，y，z)为平面 CMN 的一 个法向量，则 n·CM ＝0，n·NC ＝0，
即x－－12yx＋＋12yz＝＝00. ，
z
解析：如图所示建系，设正方体棱长为 1，
(1)由 A(1,0,0)，D1(0,0,1)，A1(1,0,1) , B(1,1,0)，
又 AD1 ＝(－1,0,1)，A1B ＝(0,1,-1)，
y
∴AD1 与 A1B 夹角 θ 的余弦值为
空间向量与立体几何之夹角的计算
若直线l与平面的夹角为夹角为
1当0
rr u, a
时， =
r r u, a ，
2
2
0，2
l
，则
u a 此时：sin
sin
2
rr u, a
rr
= cos
rr u, a
ua rr
ua
2当
rr u, a
时， =
rr u, a
，
2
2
此时：sin
sin
rr u, a
2
l a
= cos
（1） 求证： 直B线1O 面MAC （2）求二面角B1 MA C 的余弦值
D1
C1
A1 M
B1
D O
A
C B
rr a, b
=
rr ab rr
ab
rr
ab
ab
a
l cos = r r
a b
b
m
b
a
l m
练习一：P45 1 ur
已知直u线ur l1的方向向量为s1=(1,-1,1)，直线l2的方向 向量为s2 =(-1,2,0)，求两条直线夹角的余弦值
2. 平面间的夹角
二面角定义：从一条直线出发的两个
2
rr
设平面和的法向量分别为u和v，若两个平面的
夹角为，则
1当0
rr u, v
时， =
rr u, v
，此时：cos
cos
rr u, v
rr
=
uv rr
2
uv
u 注意法向量的方向：一进一出，两平面的夹角等于法向量夹角 v
2当
rr u, v
时， =
北师大版高中数学选修2-1教案：2.5.3直线与平面的夹角
重难点：直线与平面的夹角 的概念与向量算法
提炼的课题
直线与平面的夹角的概念与向 量算法
教学手段运用
教学资源选择
Ppt课件
教 学过程
环节
学生要解决的问题或任务
教师教与 学生 学
设计意图
一线面角的定义：
二线面角的取值范围：
三线面角的向量算法：
例3已知E,F分别是正方体 的棱（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量 问题优势，培养探索精神。
学情分析
教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方 体几何的相关知识,上次课已经学习了直线的方向向 量和平面的法向量，所以本节课是通过举例来求空间的距离和角。我们可以将空间中的有关距离和角的问 题，转化为空间向量的数量积来解决。
单元（章节）课题
北师大版选修2- 1第二章空间向量与立体几何
本节课题
§5.3直线与平面的夹角
课标要求
能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
三维目标
（1）知识与技能：能用向量方法解决线线、线面与 面面的夹角的计算问题.
（2）过程 与方法：在解 决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对相关知识的理解。
（1）A1D与EF所成角的大小；
（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；
（3）二面角 的大小。
解：设正方体棱长为1，以 为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz
（1）
A1D与EF所成角是
（2） ,
（3） , ，
二面角 的正弦值为
课堂检测内容
课本46页练习
课后作业布置
课本47页习题2-5 3, 4
北师大版数学高二学案 2.5.1直线间的夹角_5.2平面间的夹角
§5 夹角的计算5.1 直线间的夹角 5.2 平面间的夹角学习目标 1.理解两条异面直线的夹角、两平面的夹角的概念(重点).2.能够利用向量方法解决线线、面面的夹角问题(重点).3.掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤(重、难点).知识点一 直线间的夹角当两条直线l 1与l 2共面时，我们把两条直线交角中，范围在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内的角叫作两直线的夹角.当直线l 1与l 2是异面直线时，在直线l 1上任取一点A 作AB ∥l 2，我们把直线l 1和直线AB 的夹角叫作异面直线l 1与l 2的夹角.空间直线由一点和一个方向确定，所以空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定.已知直线l 1与l 2的方向向量分别为s 1，s 2.当0≤〈s 1，s 2〉≤π2时，直线l 1与l 2的夹角等于〈s 1，s 2〉； 当π2<〈s 1，s 2〉≤π时，直线l 1与l 2的夹角等于π－〈s 1，s 2〉. 【预习评价】(1)异面直线的夹角范围是什么？ 提示 异面直线的夹角范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.(2)若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(2，－4，2)，b ＝(1，－1，0)，则异面直线l 1，l 2的夹角为________.解析 设异面直线l 1，l 2所成的角为θ，则cos θ＝|a ·b ||a ||b |＝|2＋4＋0|26×2＝32，所以θ＝30°. 答案 30°知识点二 平面间的夹角如图，平面π1与π2相交于直线l ，点R 为直线l 上任意一点，过点R 在平面π1上作直线l 1⊥l ，在平面π2上作直线l 2⊥l ，则l 1∩l 2＝R .我们把直线l 1和l 2的夹角叫作平面π1与π2的夹角. 已知平面π1和π2的法向量分别为n 1和n 2.当0≤〈n 1，n 1〉≤π2时，平面π1与π2的夹角等于〈n 1，n 2〉； 当π2<〈n 1，n 2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于π－〈n 1，n 2〉. 【预习评价】两平面的夹角范围是什么？ 提示 两平面的夹角范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.题型一 两条异面直线所成角的向量求法【例1】 如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点.求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值.解 以A 为坐标原点，分别以AB ，AC ，AA 1为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，D (1，1，0)，A 1(0，0，4)，C 1(0，2，4)，所以A 1B →＝(2，0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4).＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.规律方法 建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系；利用向量法求两异面直线所成角的计算思路简便，要注意角的范围.【训练1】 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 上的动点.若异面直线AD 1与EC 所成角为60°，试确定此时动点E 的位置.解 以DA 所在直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设E (1，t ，0)(0≤t ≤2)，则A (1，0，0)，D (0，0，0)，D 1(0，0，1)，C (0，2，0)，D 1A →＝(1，0，－1)，CE →＝(1，t －2，0)， ∴cos 60°＝|D 1A →·CE →||D 1A →|·|CE →|＝12.所以t ＝1，所以点E 的位置是AB 的中点. 题型二 平面间的夹角的向量求法【例2】 如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形.(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD ；(2)若∠CBA ＝60°，求平面C 1OB 1与平面BDD 1B 1的夹角的余弦值.(1)证明 因为四边形ACC 1A 1为矩形，所以CC 1⊥AC .同理DD 1⊥BD .因为CC 1∥DD 1，所以CC 1⊥BD .而AC ∩BD ＝O ，且AC底面ABCD ，BD底面ABCD ，因此CC 1⊥底面ABCD .由题意知，O 1O ∥C 1C ，故O 1O ⊥底面ABCD .(2)解 因为四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 是菱形，因此AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ，从而OB ，OC ，OO 1两两垂直.如图，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz .不妨设AB ＝2. 因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1.于是相关各点的坐标为O (0，0，0)，B 1(3，0，2)，C 1(0，1，2). 易知，n 1＝(0，1，0)是平面BDD 1B 1的一个法向量. 设n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1C 1的一个法向量， 则⎩⎨⎧n 2·OB 1→＝0，n 2·OC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0.取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，所以n 2＝(2，23，－3).设平面C 1OB 1与平面BDD 1B 1的夹角为θ，易知θ是锐角，于是cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2319＝25719.故平面C 1OB 1与平面BDD 1B 1的夹角的余弦值为25719. 规律方法 设n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图.用坐标法的解题步骤如下：(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系.(2)求法向量：在建立的空间直角坐标系下求两个面的法向量n 1，n 2. (3)计算：求n 1与n 2所成锐角θ，cos θ＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|.(4)定值：平面间的夹角就是θ.【训练2】 如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点，求平面AA 1D 与平面A 1BD 的夹角的余弦值.解 如图所示，取BC 中点O ，连接AO .因为△ABC 是正三角形，所以AO ⊥BC ，因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1中点为O 1，以O 为原点，OB →，OO 1→，OA →为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0).设平面A 1AD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，AD →＝(－1，1，－3)，AA 1→＝(0，2，0). 因为n ⊥AD →，n ⊥AA 1→， 得⎩⎨⎧n ·AD →＝0，n ·AA 1→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －3z ＝0，2y ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＝－3z .令z ＝1，得n ＝(－3，0，1)为平面A 1AD 的一个法向量.又因为AB 1→＝(1，2，－3)，BD →＝(－2，1，0)，BA 1→＝(－1，2，3)， 所以AB 1→·BD →＝－2＋2＋0＝0， AB 1→·BA 1→＝－1＋4－3＝0，所以AB 1→⊥BD →，AB 1→⊥BA 1→，即AB 1⊥BD ，AB 1⊥BA 1， 又BD ∩BA 1＝B ，BD平面A 1BD ，BA 1平面A 1BD ，所以AB 1⊥平面A 1BD ，所以AB 1→是平面A 1BD 的一个法向量， 所以cos 〈n ，AB 1→〉＝n ·AB 1→|n ||AB 1→|＝－3－32·22＝－64，所以平面AA 1D 与平面A 1BD 的夹角的余弦值为64.【探究1】 如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________.解析 设PD ＝a (a ＞0)，则A (2，0，0)，B (2，2，0)，P (0，0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，a 2，所以DP →＝(0，0，a )，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，a 2，因为cos 〈DP →，AE →〉＝33，所以a 22＝a2＋a 24·33，所以a ＝2，所以点E 的坐标为(1，1，1).答案 (1，1，1)【探究2】 在空间中，已知平面α过点(3，0，0)和(0，4，0)及z 轴上一点(0，0，a )(a ＞0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，则a ＝________. 解析 平面xOy 的一个法向量为n ＝(0，0，1)，设平面α的法向量为u ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋az ＝0，则3x ＝4y ＝az . 取z ＝1，则u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 4，1.cos 〈n ，u 〉＝1a 29＋a 216＋1＝22.又a ＞0，故a ＝125. 答案 125【探究3】 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2.E.F 分别是线段AB.BC 上的点，且EB ＝FB ＝1.(1)求平面CDE 与C 1DE 夹角的正切值； (2)求直线EC 1与FD 1夹角的余弦值.解 (1)如图，以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则有D (0，3，0)，D 1(0，3，2)，E (3，0，0)，F (4，1，0), C 1(4，3，2). 于是，DE →＝(3，－3，0)，EC 1→＝(1，3，2)，FD 1→＝(－4，2，2). 设向量n ＝(x ，y ，z )与平面C 1DE 垂直，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥DE →，n ⊥EC 1→⇒⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y ＝0，x ＋3y ＋2z ＝0⇒x ＝y ＝－12z .∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－z2，－z 2，z ＝z 2(－1，－1，2)，其中z >0.取n ＝(－1，－1，2)，则n 是平面C 1DE 的一个法向量. ∵向量AA 1→＝(0，0，2)与平面CDE 垂直， 设平面CDE 与C 1DE 的夹角为θ. 由图知所求夹角为锐角，∴cos θ＝|cos 〈n ，AA 1→〉|＝|n ·AA 1→||n |·|AA 1→|＝|－1×0－1×0＋2×2|1＋1＋4×0＋0＋4＝63，∴tan θ＝22.(2)设EC 1与FD 1夹角为β，则cos β＝|cos 〈EC 1→，FD 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪EC 1→·FD 1→|EC 1→|×|FD 1→| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1×（－4）＋3×2＋2×212＋32＋22×（－4）2＋22＋22＝2114.规律方法 利用空间向量解题，大致可分采用基底法和坐标法.利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，建立适当、正确的空间坐标系.难点是在已建好的坐标系中表示出已知点(或向量)的坐标.只有正确表达出已知点(或向量)的坐标，才能通过向量的坐标运算，实现几何问题的代数化解法.课堂达标1.若直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角是150°，则l 1与l 2这两条异面直线的夹角等于( ) A.30° B.150° C.30°或150°D.以上均错答案 A2.已知两平面的法向量分别为m ＝(0，1，0)，n ＝(0，1，1)，则两平面的夹角的大小为( ) A.45° B.135° C.45°或135°D.90°解析 ∵cos 〈m ，n 〉＝12＝22，∴两平面夹角的大小为45°. 答案 A3.已知点A (1，0，0)，B (0，2，0)，C (0，0，3)，则平面ABC 与平面xOy 夹角的余弦值为________.解析 AB→＝(－1，2，0)，AC →＝(－1，0，3).设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z ).由n ·AB →＝0，n ·AC →＝0知⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，－x ＋3z ＝0.令x ＝2，则y ＝1，z ＝23.∴平面ABC 的一个法向量为n ＝(2，1，23). 平面xOy 的一个法向量为OC→＝(0，0，3).由此易求出两平面的夹角的余弦值为27. 答案 274.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为________.解析 如图，建立空间直角坐标系.由已知得A 1(4，0，0)，B (4，4，3)，B 1(4，4，0)，C (0，4，3). ∴A 1B →＝(0，4，3)， B 1C →＝(－4，0，3)， ∴cos 〈A 1B →，B 1C →〉＝925.答案 9255.在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，求AB 1与C 1B 所成角的大小. 解 建立如图所示的空间直角坐标系，设BB 1＝1，则A (0，0，1)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，0，C 1(0，2，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，1.∴AB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，－1， C 1B →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－22，1， ∴AB 1→·C 1B →＝64－24－1＝0， ∴AB 1→⊥C 1B →.即AB 1与C 1B 所成角的大小为90°.课堂小结利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系.首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量；其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系.。
5.1直线间的夹角
第二章 空间向量与立体几何第五节 夹角的计算第9课时 5.1直线间的夹角【课堂互动】 新知1 线线垂直例1. 如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，5A B =,点D是AB 的中点， 求证：AC ⊥BC 1笔记：新知2 直线间的夹角例2. 在棱长为a 的正方体'''ABCD A B C -（1）求直线'A C DE 与所成角；笔记：【堂中精炼】3.已知向量(0,2,1)=a ，(1,1,2)=--b ，则（A ）0° （B ）45° （C ）90° （D ）180°4．已知正四面体O —ABC ，E 、F 分别为AB 、OC 的中点，则OE 与BF 所成角的余弦值为（ ） A ．32 B ．31 C ．61 D ．535．已知→-a =（2，-1，3），→-b =（-4，2，x ），若→-a 与→-b 夹角是钝角，则x 取值范围是 ( )A 、（-∞，310） B 、（-∞，2） C 、（310，+∞） D 、（-∞，310-）6．已知E 、F 分别是正方体1AC 的棱11,DD CC 的中点，则E B 1与AF 所成角的余弦值为（ ） （A ）53 （B ）－53 （C ）51 （D ）－517、已知(1,2,3)O A = ，(2,1,2)O B = ，(1,1,2)OP = ，点Q 在直线OP 上运动，则当Q A Q B ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为 （ ）（A ）131(,,)243 （B ）123(,,)234 （C ）448(,,)333 （D ）447(,,)3338．a ⊥b ⇔a ·b= .点睛：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC 、BC 、C 1C 两两垂直，如图，以C 为坐标原点，直线CA 、CB 、C 1C 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，点睛：设12,l l 是两条异面直线，,A B 是1l 上的任意两点，,C D 是直线2l 上的任意两点，则12,l l 所成的角为arccos AB C DAB C D∙∙x【反馈测评】1.棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 和CN 所成角的余弦值是： ( )A 、 52-B 、52 C 、53 D 、10102.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AA 1和BB 1的中点，则DM 与D 1N 所成角的余弦值是 ( )A 、 55-B 、55 C 、105 D 、5523．已知、B 、C 三点的坐标分别为A(4，1，3)，B （2，－5，1），C （3，7，λ），且−→−AB ⊥−→−AC ，则λ的值为（ ）（A ）28 （B ）－28（C ）14 （D ）－144．已知点A 、B 、C 、D 的坐标各为（－1，0，1）、（－1，0，0）、（－2，－2，－2）、（－3，0，0），则−→−AB 与−→−CD 的夹角为（ ）（A ）32arccos-π （B ）)arccos(32-+π（C ）32arccos+π （D ）32arccos5. 已知空间三点A （1，1，1）、B （－1，0，4）、C （2，－2，3），则AB 与CA 的夹角θ的大小是_________.6．已知A （0，2，3），B （-2，1，6），C （1，-1，5），若a AC a AB a a 则向量且,,,3||⊥⊥=的坐标为 . 7已知ba ,是空间二向量，若b a b a b a 与则,7||,2||,3||=-==的夹角为 .8．→-a =（2，-3，3），→-b =（1，0，0），则→-a 与→-b 夹角为__________。
直线间的夹角课件
l2 A l1
s1 s2
B
l2
s2
A
s1
B
C
l1
C
当0 s1 , s2 时, 直线l1与l2的夹角等于 s1 , s2 2 当 s1 , s2 时, 2
直线l1与l2的夹角等于 s1 , s2
北师大版选修 2-1
第二章《空间向量与立体几何》 §5.1 直线间的夹角
石泉中学：张艳琴
知识回顾
空间中直线与直线之间的位置关系
l1
（1）当直线l1与l2共面时，两条直线的夹 角的范围。
（2）异面直线所成的角。
当两条直线l1与l2共面时,我们把两条 直线交角中，范围在 两直线的夹角
l1 l2 A C B
A1
DF1 ＝ (0, 1, 4 )
| BE1 | 17, | DF 1 | 17
A
x
BE1 DF ) 1 4 4 15 1 0 0 (1
cos BE1 DF1 15 | BE1 || DF1 | 17 BE1 DF1
课堂练习
5、已知在正方体ABCD A1 B1C1 D1中，E , F 分别是棱BB1 , DC的中点，则异面直线AE与 D1 F的夹角为（D ）
B1 z A1 C1 D1
解：设对角线AC1和侧面对角线 A1D的方向向量分别是 s , s
1 2
则s1 AC1, s2 A1D.
x
(A)
y O D
B
C
因为A(0,0,0),C1(2,1,3),A1(0,0,3),D(0,1,0) 所以AC1 (2,1,3), A1D (0,1, 3). z
直线与平面的夹角ppt课件
| CD n |
| a |
1
，又
| CD || n |
2a 2 2 2
)
ABC
6.（多选）已知正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E，F 分别为 A1 D1 ，CC1 的中点，则(
A.直线 BE 与 B1 F 所成角为 90
B.直线 B1C 与 C1 D 所成角为 60
即
′
′
′
′
′
与平面
′
′
′
=2
′
，
中，sin ∠
′
′
=
是一个锐角，所以 ∠
′
′
1
2
′
′
所成角的大小为
=
，
π
6
π
6
，
.
1.在空间直角坐标系中，直线 l 的一个方向向量为 m (1, 0,3) ，平面 的一个
A)
法向量为 n (1, 5, 2) ，则直线 l 与平面 所成的角为(
A.
π
2
2
2ay 0,
n CA 0 ， n AP 0 ， a
可取 n (1, 0,1) .设直线 CD 与平面
a
2 x ay 2 z 0,
PAC 的夹角为 ，则 sin | cosCD, n |
0 90 ， 30 .故选 C.
.
设平面
则
′
⋅
′
⋅
′
′
=
′
的一个法向量为
− = 0,
=−
′
′
= 1，可得
=
(0,1,1)
.
= 0,
高中数学北师大版选修21课件：第二章5 夹角的计算
所以P→A·D→A＝P→A·A→B＝P→A·B→C＝0，
因为 AB⊥AD，所以A→B·D→A＝0，
因为 AB⊥BC，所以A→B·B→C＝0，
所以P→B·D→C＝
(P→A＋A→B)·(D→A＋A→B＋B→C
)＝A→B2＝
→ |AB
|2
＝
1，
又因为|P→B|＝ 2，|C→D|＝ 2，
所以 cos〈P→B，D→C〉＝P→→B·→D→C＝ |PB||DC|
小．( × )
2．已知直线 l1 的一个方向向量为 a＝(1，－2，1)，直线 l2 的 一个方向向量为 b＝(2，－2，0)，则两直线所成角的余弦值为
(D )
A．1
B. 6 3
C. 3 3
解析：选设两直线夹角为 θ，
则 cos θ＝ |a·b| ＝ 2＋4 ＝ 3.
|a|·|b| 6·2 2 2
BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是__6_0_°___．
解析：A→B＝A→C＋C→D＋D→B，
所以A→B·C→D＝(A→C＋C→D＋D→B)·C→D
＝A→C·C→D＋C→D2＋D→B·C→D＝
0＋
12＋
0＝
1，又
|A→B|＝
2，
→ |CD|
＝1.
所以 cos〈A→B，C→D〉＝A|→A→BB·||C→C→DD|＝2×1 1＝12.
第二章 空间向量与立体几何
§5 夹角的计算
5．1 直线间的夹角 5．2 平面间的夹角 5．3 直线与平面的夹角
1．问题导航 (1)两异面直线的夹角与两异面直线方向向量的夹角有什么关 系？ (2)两平面的夹角与两平面法向量的夹角有什么关系？ (3)直线与平面的夹角和该直线的方向向量与该平面的法向量 的夹角有什么关系？
高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.5.3 直线与平
2
uv
uv
二面角 ─l ─ 的大小为 ( 0 ≤ ), cos
.
uv
该直线与此平面的夹角.
A
0，2
B
C
1如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们
规定这条直线与此平面的夹角为0.
2 如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直
线与此平面的夹角为 .
2
新知探究：
设平面的法向量为u，直线l的方向向量为a,
若直线l与平面的夹角为夹角为
2
此时：cos cos - u, v = cos u, v = u v uv
u
v
复习回顾：
小结： 设平面和的法向量分别为u和v，
若两个平面的夹角为，则 1当0 u, v 时， = u, v ，
2 此时：cos cos u, v = u v
sin
2
u, a
= cos
u, a
ua ua
2当 u, a 时， = u, a ，
2
2
此时：sin
sin
u, a
2
= cos u, a u a 综上：sin u a
ua
ua
正弦值
正弦值
总结
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
两直线 l , m 的夹角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos a b ；
2
ab
直线 l 与平面 的夹角为 ( 0 ≤ ≤ ), sin a u ；
高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.5.1 直线间的夹角课件31高二选修21数学课件
C1
A(0,0,0), C1(2,2,3),
3
A1(0,0,3), D(0,2,0)
(A)
y
2O
D
A1 C (2 ,2 ,3 )A ,1D (0 ,2 , 3 ). B 2 C
x
第十页，共十七页。
练习(liànxí)1、如图，在空间直角坐标系中有
长方体ABCD-A1B1C1D1， AB=2，BC=1，AA1=3， 求对角线AC1和侧面对角线
l2
l1
B
A
C
第三页，共十七页。
(3)空间(kōngjiān)直线夹角的计算
空间直线由一点(yī diǎn)和一个方向确定,
所以空间两条直线的夹角由 它们的方向向量的夹角确定.
第四页，共十七页。
l2
s1 B
A
l1
s2 C
已知直l1与 线l2的方向向量分 s1,别 s2 为
当0s1,s2
时,
2
直线 l1与l2的夹角等 s1于 ,s2
所以 cos〈E→C1，F→D1〉
＝E→→C1·F→→D1＝ |EC1||FD1|
6－4＋4 ＝ 14× 24
21. 14
故异面直线
EC1，FD1
所成角的余弦值为
21. 14
2 3
1 1
4
第十四页，共十七页。
方法感悟
方法技巧(jìqiǎo) 求线线角的关键是
转化为直线的方向(fāngxiàng)向量之间的角， 通过数量积求出。
则 cos a , b
a b
| a ||b |
x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2
x1 2 y1 2 z1 2
x2 2 y2 2 z2 2
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＝
12＋1×32＋－242×＋3×－24＋22＋×222＋22＝
21 14 .
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 3 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PD⊥底 面 ABCD，E 是 AB 上一点，PE⊥EC.已知 PD＝ 2，CD＝2，AE＝12.
ABCD，BD
ABCD，
因此CC1⊥底面ABCD. 由题意知，O1O∥C1C，故O1O⊥底面ABCD.
解析答案
(2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面BDD1B1的夹角的余弦值.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1 的中点，求平面AA1D与平面A1BD的夹角的余弦值.
答案
返回
题型探究 重点突破
题型一 两条异面直线所成角的向量求法
例1 如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4， 点D是BC的中点.求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1， AB＝2，点E是棱AB上的动点.若异面直线AD1与EC所成角为 60°，试确定此时动点E的位置. 解 以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在 直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 设E(1，t,0)(0≤t≤2)，
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设BB1＝1，则A(0,0,1)，
B1 26， 22，0，C1(0， 2，0)，B 26， 22，1. ∴A→B1＝ 26， 22，－1，C→1B＝ 26，－ 22，1， ∴A→B1·C→1B＝46－42－1＝0，∴A→B1⊥C→1B.
即AB1与C1B所成角的大小为90°.
第二章 §5 夹角的计算
5.1 直线间的夹角 5.2 平面间的夹角
学习 目标
1.理解两条异面直线的夹角、两平面的夹角的概念. 2.能够利用向量方法解决线线、面面的夹角问题. 3.掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤.
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则 A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0,1)，C(0,2,0)，D→1A＝(1,0,－1)，C→E＝(1,t－2,0)，
根据数量积的定义及已知得：1＋0×(t－2)＋0＝ 2× 1＋t－22·cos 60°，
所以t＝1，所以点E的位置是AB的中点.
解析答案
题型二 平面间的夹角的向量求法
解析答案
题型三 两夹角的综合问题
例3 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已 知AB＝4，AD＝3，AA1＝2.E、F分别是线段AB、 BC上的点，且EB＝FB＝1. (1)求平面CDE与C1DE夹角的正切值；
解析答案
(2)求直线EC1与FD1夹角的余弦值. 解 设EC1与FD1夹角为β，则
角的大小为(A )
A.45°
B.135°
C.45°或135° D.90°
解析
∵cos〈m，n〉＝
1＝ 2
22，
∴二面角的大小为45°.
Hale Waihona Puke 解析答案12345
3.在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，若 AB＝ 2BB1，则 AB1 与 C1B 所成角的大小为( B ) A.60° B.90° C.105° D.75°
例2 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都
相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1
和四边形BDD1B1均为矩形.
(1)证明：O1O⊥底面ABCD；
证明 因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD.
因为CC1∥DD1，所以CC1⊥BD.
而AC∩BD＝O，且AC
知 当识 两点 条一 直线直l1与线l间2共的面夹时角，我们把两条直线交角中，范围在0，π2
角叫作两直线的夹角.
内的
当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，我们把直线l1和
直线AB的夹角叫作 异面直线l1与l2的夹角
.
空间直线由一点和一个方向确定，所以空间两条直线的夹角由它们的方向向
(1)求证：DE⊥EC；
解析答案
(2)求平面EPC与平面DPC夹角的大小.
解析答案
返回
当堂检测
12345
1.若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2这两条
异面直线的夹角等于A( )
A.30°
B.150°
C.30°或150° D.以上均错
答案
12345
2.已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面的夹
令 x＝2，则 y＝1，z＝23.
∴平面 ABC 的一个法向量为 n＝(2,1,23). 平面 xOy 的一个法向量为O→C＝(0,0,3).
量的夹角确定.
已知直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.
当0≤〈s1，s2〉≤π2 时，直线l1与l2的夹角等于〈s1，s2〉
；
当π 2
< 〈 s1 ， s2 〉 ≤π 时 ， π直－线〈sl1，1 s与2〉l2 的 夹 角 等
答案
知识点二 平面间的夹角
如图，平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在 平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则l1∩l2＝R.我们把 直线l1和l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角.
已知平面π1和π2的法向量分别为n1和n2.
当0≤〈n1，n1〉≤
π 2
时，平面π1与π2的夹角等〈于n1，n2〉
；
当π 2
< 〈 n1 ， n2 〉 ≤π 时 ， 平 面ππ－1 〈与n1π，2n2的〉 夹 角 等
答案
思考 (1)异面直线的夹角范围是什么？ 答案 异面直线的夹角范围是0，π2. (2)两平面的夹角范围是什么？ 答案 两平面的夹角范围是0，π2.
解析答案
12345
4.已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy夹角的
余弦 2
7
值解析为__A→_B_＝. (－1,2,0)，A→C＝(－1,0,3).设平面 ABC 的法向量为 n＝(x，y，z).
由
n·A→B＝0，n·A→C＝0
－x＋2y＝0， 知－x＋3z＝0.