线性代数练习题及答案精编

x2 2x3 x4 5
5x1 4x2 3x3 3x4 0
基础解系。
1111 1 10 1 1 4
3211 2 解: B
0121 5
01 2 2 5 ，知 R(A) R(B ) 3 4 , 故原方程组
00 0 1 0
5433 0 00 0 0 0
有无穷多组解 ,同解方程组为：
x1 x3 4 x2 2 x3 5 ， x3 为自由未知量 ,原方程组的通解为： x4 0
1D
1 3 13 011 5
1 42 3
2D
11 1 1
13 4 2
1 32 42 22 解： D
1 33 43 23
(3 1)(4 1)(2 1)(4
3)(2 3)(2
4) 12
3D
x002 2x00 02x0 002x
解： D
x00 x2 x 0
02x
2 x0 2( 1)1 4 0 2 x
002
x4 16
ax xx
xa xx
4D
、
x xa x
x x xa
1111
11
1
1
xa x x
0ax 0 0
D 3x a
3x a
xxax
0 0 ax 0
3
3x a a x
xx xa
00
0 ax
5设 A
4 68 2 3 4 , 求矩阵 A 的秩。解： A 234
234 0 1 0 ， R( A) 2 000
无穷多组解 , 同解方程组为：
x1 x2
3x3 3x4 ， x3 2x4 1
x3,
x4 为自由未知量
,
x1
原方程组的通解为：
x2
x3
x4
0
3
3
1
1
0 k1 1
2 k2 0 , k1 , k2 任意常数
0
0
1
11 求线性方程组
x1 x2 x3 x4 1
3x1 2 x2 x3 x4
2
的通解，并指出其对应的齐次线性方程组的一个
1
1
0
9
9
211
27 5 125
20 1 64
27 5 135 7 6 17
9 5 45
10
1
1Leabharlann Baidu
27
27
10 求线性方程组
x1 2 x2 3 x3 4x4 5
的通解
x1 x2 x3 x4 1
解: B
12345 1 11 1 1
组有无穷多组解 ,
5
7
10
2
3
3 知 R( A) R(B ) 2 4 , 故原方程
线性代数练习题
一 选择题
1 A, B 都是 n 阶矩阵，且 AB 0 , 则必有 : （ ）
(A) A 0 或 B 0 . (C) A 0 或 B 0.
(B) A B 0 . (D) A B 0
1 0 ab
2设
11 cd
11
ab
,则
（）
01
cd
01
(A)
.
11
11
(B)
.
10
11
11
(C)
. (D)
2
4
01
1
3
3
x1
同解方程组为： x2 x3 x4
5 3 x3 2 x4 2 3 x3 x4
x3
x4
7
3 4 3 ， x3 , x4 为自由未知量 ,
x1
原方程组的通解为：
x2
x3
x4
7
5
3
3
2
4
2
1
3 k1 3 k2 0 , k1 , k2 任意常数
0
1
1
0
0
10 求线性方程组
x1 2 x 2 x3 x 4 2
x1
4
1
x2
5
2
k
, k 任意常数
x3
0
1
x4
0
0
12 当 a 为 何 值 时 下 列 线 性 方 程 组 有 解 ？ 有 解 时 用 向 量 形 式 表 示 出 它 的 通 解 2 x1 x2 x3 x4 2 x1 2 x 2 x3 x4 3 x1 x 2 2 x3 2 x4 a x1 x3 x4 1
B 的导出组 ,则 ( )必定成立 .
（ C） 是 AX
的任意解 , 0 是 AX B 的特解时 , 0 是 AX B 的全部解 .
（ D ） 1 ， 2 是 AX B 的解时 , 1 2 是 AX 0 的解 .
6 若 B ,方程组 AX B 中 , 方程个数少于未知量个数，则有 (
)
(A) AX B 一定无解。
211 0
17
27 5 125
135
203 8 解矩阵方程 : X 1 4 6
3 23
18 2 0 36 0 05
9 解:
20 14 32
1
3 6 3
12 0
55
1
1
0
9
9
21 1
27 5 125
1
18 2 2 0 3
18 2
X 0 36 1 4 6
0 36
0 05 3 2 3
0 05
12 0
55
2x1 5x2
x3 4 x4
5
的通解， 并指出其对应的齐次线性方程组的一个基
x2 x3 2 x4 1
x1 3x2
3x4 3
础解系。
12 1 12 10 3 30
25 1 45 解:B
0 1 12 1
0 1 1 2 1 知 R( A) R(B) 2 4 , 故原方程组有 00 0 0 0
13 0 33 00 0 0 0
.
11
01
3 若 A 为 m n 矩阵 ,且 R( A) r m n 则 ( )必成立 .
（ A ） A 中每一个阶数大于 r 的子式全为零。 （ B） A 是满秩矩阵。
（ C） A 经初等变换可化为
Er 0 00
（ D） A 中 r 阶子式不全为零。
4 向量组 1 , 2 , s , 线性无关的充分条件是 ( )
222
222
6设 A
1
2
3,
B
A
1
,
求
B
解： A
1 2 3 2， B
A1
11
A2
136
136
20 3 7 解矩阵方程 : 1 4 6 X
3 23
1 1 解: 0
20 14 32
1
3 6 3
01 2 55
1
1
0
9
9
21 1
27 5 125
12
1
0
1
203
1
5 51
5
1
1
1
X 14 6
1
0
1
9
9
9
3 23 0
(C) AX
必有非零解。
(B) AX
只有零解。
(D) AX B 一定有无穷多组解。
ax by 1
7 线性方程组
， 若 a b ,则方程组 (
)
bx ay 0
(A) 无解 (B) 有唯一解 (C) 有无穷多解
(D) 其解需要讨论多种情况
8 设 A 、 B 都是 n 阶矩阵，且 AB 0 , 则 A 和 B 的秩（ ）
A 必有一个为 0,
B 必定都小于 n ,
C 必有一个小于 n ，
D 必定都等于 n
二 填空题
x1 2x2 x3 0
1 方程组 2x1
4x2
7 x3
的通解为 _____.
0
2 设 5 阶方阵 A 的行列式为 A
2 ，则 2 A __________.
20
3 已知
X
11
52 ，求 X
34
三 计算题
2 53 1
（ A） 1 , 2 , s 均不是零向量 . （ B） 1 , 2 , s 中任一部分组线性无关 . （ C） 1 , 2 , s 中任意两个向量的对应分量都不成比例 .
（ D） 1 , 2 , s 中任一向量均不能由其余 S-1 个向量线性表示 .
5 齐次线性方程组 AX 0 是非齐次线性方程组 AX （ A ） AX 0 只有零解时 , AX B 有唯一解 . （ B ） AX 0 有非零解时 , AX B 有无穷多解 .