2019年华二高二第一学期月考数学试卷
高二数学上学期第二次月考试题(含解析).doc
2019学年度第一学期第二次月考阶段测试高二数学试题本试卷满分160分，考试时间120分钟。
填空题（本题包括14小题，每小题5分，共70分。
答案写在答题卡相应位置）1. 抛物线的准线方程为：______________。
【答案】【解析】试题分析：开口向右，所以它的准线方程为x=-1考点：本题考查抛物线的标准方程点评：开口向右的抛物线方程为，准线方程为2. 已知椭圆的离心率_______。
【答案】【解析】已知椭圆，故答案为：。
3. 函数，则的导函数____________。
【答案】【解析】根据余弦函数的求导法则和指数函数的求导法则得到。
故答案为：。
4. 设为虚数单位，为实数），则__________。
【答案】【解析】由题干知道根据复数相等的概念得到故答案为：2.5. 已知双曲线（＞0）的一条渐近线为，则______。
【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为，，,则考点：本题考点为双曲线的几何性质，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，利用已给渐近线方程求参数.6. 已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是_____。
【答案】【解析】已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍。
故得到故得到椭圆方程为：。
故答案为：。
7. 函数的最大值是____________。
【答案】【解析】∵f（x）=，∴f′（x）=，令f′（x）=0得x=e．∵当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上为增函数，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，则在（e，+∞）上为减函数，∴f max（x）=f（e）=．故答案为：。
8. 已知椭圆C：的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线交C于A，B两点．若△AF1B的周长为，则C的标准方程为________。
【答案】【解析】根据题意，因为△AF1B的周长为4，所以|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4，所以a＝.又因为椭圆的离心率e＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆C的方程为9. 已知，函数，若在上是单调减函数，则的取值范围是______________。
上海市华东师范大学第二附属中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题(原卷+解析版)
对④，当 ， 时，不总存在单位向量 和单位向量 ，使 ，故④错误．
故答案为：①②．
【点睛】本题考查的知识点是平面向量的基本定理和应用，注意运用向量的加减运算性质和单位向量的概念，难度中档．
12.已知 内一点 是其外心， ，且 ，则 的最大值为________.
10.已知边长为1 正八边形的8个顶点依次为 、 、 、 、 、 、 、 ，点 为该八边形边上的动点，则 的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
如图所示，根据向量数量积的几何意义知，当点 在 位置时， 取得最小值，当点 在 位置时， 取得最大值，建立直角坐标，利用向量的坐标运算，即可得答案.
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量的数量积大于0，且向量不共线，得到关于 的不等式，解不等式即可得答案.
【详解】∵ 与 的夹角为锐本题考查向量夹角的计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意把向量共线的情况去掉，才不会出现错解.
②存在 为第二象限角，角 为第四象限角；
则下列选项中，正确的是（）
A. ①正确②正确B. ①正确②错误C. ①错误②正确D. ①错误②错误
三.解答题
17.在△ 中，三个内角 、 、 所对 边分别为 、 、 .
（1）若 ， ，求△ 面积的最大值；
（2）若 ，试判断△ 的形状，并说明理由.
18.已知 （ ）
【详解】设 ，则 ，∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为： .
【点睛】本题考查三角形的重心坐标公式、向量模的求解，考查运算求解能力，属于基础题.
2018-2019学年上海市华二附中高二上学期第一次月考数学试题(解析版)
2020年1月2日高中数学作业一、单选题1．若直线:(,)0l f x y =不过点00(,)x y ，则方程00(,)(,)0f x y f x y -=表示（ ） A ．与l 重合的直线 B ．与l 平行的直线 C ．与l 相交的直线 D ．可能不表示直线【答案】B 【解析】 【分析】利用相互平行的直线斜率、截距之间的关系即可得出． 【详解】Q 直线:(,)0l f x y =不过点00(,)x y ，∴00(,)0f x y ≠，则方00(,)(,)0f x y f x y -=表示是与l 平行的直线. 故选：B. 【点睛】本题考查直线的位置关系，属于基础题.2．设a r是已知的平面向量且0a ≠rr，关于向量a r的分解，有如下四个命题： ①给定向量b r，总存在向量c r，使a b c =+rrr；②给定向量b r 和c r ，总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+r r r ；③给定单位向量b r 和正数μ，总存在单位向量c r 和实数λ，使a b c λμ=+r r r ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b r和单位向量c r，使a b c λμ=+rrr； 上述命题中的向量b r，c r 和a r在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】试题分析：利用向量加法的三角形法则，易知①正确；利用平面向量的基本定理，易知正确；以a r 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量b λr 有交点，这个不一定能满足，故③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须b c a λμλμ+=+≥r r r，所以④是假命题。
综上，本题选B ．考点：1．平面向量的基本定理；2．向量加法的平行四边形法则和三角形法则．3．已知平面向量,,a b c r r r 满足c xa yb =+r r r（,R x y ∈），且0a c ⋅>r r ，0b c ⋅>r r ． A ．若0a b ⋅<r r，则0x >，0y > B ．若0a b ⋅<r r，则0x <，0y <C ．若0a b ⋅>r r，则0x <，0y < D ．若0a b ⋅>r r，则0x >，0y >【答案】A 【解析】试题分析：若0a b ⋅<r r ，设(1,1)a =r ，(2,1)b =-r ，(0,1)c =r，则10a c ⋅=>r r ，10b c ⋅=>r r ，10a b ⋅=-<r r ，由c xa yb =+r r r ，有021x y x y =-⎧⎨=+⎩，解得2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，排除B ；若0a b ⋅>r r ，设(1,0)a =r ，(2,1)b =r ，(1,1)c =r，则10a c ⋅=>r r ，30b c ⋅=>r r ，20a b ⋅=>r r ，由c xa yb =+r r r ，有121x y y =+⎧⎨=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，排除C 、D ，故选A ．考点：1、平面向量数量积的坐标运算；2、平面向量的基本定理．【思路点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示和平面向量基本定理的运用，作为选择题运用排除法是解题的关键，运用排除法解决，分0a b ⋅<r r ，0a b ⋅>r r两种情况，然后再分别对,a b r r举例加以验证，即可得到答案．4．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 为ABC ∆内一点，若分别满足下列四个条件： ①0++=u u u r u u u r u u u r raOA bOB cOC ；②tan tan tan 0⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r rA OAB OBC OC ；③sin 2sin 2sin 20⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r A OA B OB C OC ；④0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ；则点O 分别为ABC ∆的（ ） A ．外心、内心、垂心、重心 B ．内心、外心、垂心、重心 C ．垂心、内心、重心、外心 D ．内心、垂心、外心、重心【答案】D 【解析】 【分析】先考虑直角ABC ∆，可令3a =，4b =，5c =，可得()0,4A ，()3,0B ，()0,0C ，设(),O m n ，由向量的坐标表示和三角函数的恒等变换公式计算可判断①③④为三角形的内心、外心和重心；考虑等腰ABC ∆，底角为30o ，设()1,3C -，()2,0B ，()0,0A ，(),O x y ，由向量的坐标表示和向量垂直的条件，可判断②为三角形的垂心．【详解】先考虑直角ABC ∆，可令3a =，4b =，5c =， 可得()0,4A ，()3,0B ，()0,0C ，设(),O m n ，①0aOA bOB cOC ++=u u u r u u u r u u u r r，即为()()()()3,443,5,0,0m n m n m n --+--+--=，即有12120m -+=，12120n -+=，解得1m n ==，即有O 到x ，y 轴的距离为1，O 在BCA ∠的平分线上，且到AB 的距离也为1， 则O 为ABC V 的内心；③2220sin A OA sin B OB sin C OC ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r，即为()()()()2424,43,0,0,02525m n m n m n --+--+--=， 可得320m -=，420n -=，解得32m =，2n =，由52OA OB OC ===，故O 为ABC V 的外心；④0OA OB OC u u u r u u u r u u u r r++=，可得()()()(),43,,0,0m n m n m n --+--+--=，即为330m -=，430n -=，解得1m =，43n =， 由AC 的中点D 为()0,2，13DB =，2133OB =，即O 分中线DB 比为2:3， 故O 为ABC V 的重心；考虑等腰ABC ∆，底角为30o ，设(3C -，()2,0B ，()0,0A ，(),O x y ， ②0tanA OA tanB OB tanC OC ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r， 即为)()()()333,2,130,033x y x y x y ---+--+--=， 330x =310y +=，解得1x =-，3y = 即(1,3O --，由OC AB ⊥，331OA BC k k ⎛⋅==- ⎝⎭，即有OA BC ⊥，故O 为ABC V 的垂心． 故选：D 【点睛】本题考查三角形的四心的判断，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，通常可用建立坐标系的方法求解，属于常考题型．二、填空题5．方程组260320x y x y +-=⎧⎨-=⎩对应的增广矩阵为________【答案】216320⎛⎫⎪-⎝⎭【解析】 【分析】先将方程组化为26320x y x y +⎧⎨-⎩＝＝，即可写出对应的增广矩阵．【详解】由题意，方程组为26320x y x y +⎧⎨-⎩＝＝，故其增广矩阵为216320⎛⎫⎪-⎝⎭.故答案为：216320⎛⎫⎪-⎝⎭.【点睛】本题考查方程组的增广矩阵，属于基础题. 6．直线210x +-=的倾斜角是________【答案】π-【解析】 【分析】根据所给的直线210x +-=，得到直线的斜率为，直线的斜率是倾斜角的正切值，得到tan α=0[]απ∈，，根据倾斜角的范围和正切的反三角函数的值域确定结果． 【详解】直线210x -=的斜率是， 因为直线的斜率是倾斜角的正切值，所以tan α=0[]απ∈，，所以απ=-.故答案为：π-【点睛】本题考查反三角函数的运用，考查直线的倾斜角，属于基础题. 7．已知直线220x y +-=和10mx y -+=的夹角为3π，那么m 的值为________【解析】 【分析】运用两直线夹角的正切公式，解方程即可得到所求值． 【详解】由已知直线220x y +-=，得该直线斜率为2-， 直线10mx y -+=的斜率为m ， 因为两直线的夹角为3π， 所以：(2)31(2)m m --=+⋅-，解得853m ±=.故答案为：853±. 【点睛】本题考查两直线的夹角与到角问题，属于常考题.8．行列式101213131---中的代数余子式的值为________【答案】-5 【解析】 【分析】写出行列式的﹣3的代数余子式，再计算，即可得到结论． 【详解】由题意，行列式101213131---中﹣3的代数余子式为﹣1123-＝﹣（3+2）＝﹣5故答案为﹣5 【点睛】本题考查行列式的代数余子式，考查学生的计算能力，属于基础题．9．设向量()3,0a =-v，()2,6b =-r ，则b r 在a r 上的投影为__________.【答案】2 【解析】 【分析】根据一个向量在一个向量上的投影等于这个向量的模乘以两个向量的夹角的余弦，然后代入公式|b r|cos a b a b a⋅=r r r r u u r r ＜，＞进行求解即可． 【详解】向量 a =r（﹣3，0），b =r（﹣2，6），向量b r 在向量a r上的投影为|b r |cos 32069a b a b a--+⨯⋅===rr r r u u r r＜，＞ 2 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了向量的投影，解题的关键是看清是哪一个向量在哪一个向量上的投影，属于中档题．10．已知线段AB 的端点坐标分别为(2,4)A -、(4,2)B ，过点(0,2)P -的直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围是________ 【答案】(,3][1,)-∞-+∞U 【解析】 【分析】根据题意，画出图形，结合图形求出直线AP BP 、的斜率，从而求出直线l 的斜率k 的取值范围． 【详解】根据题意，画出图形，如图所示：Q 直线AP 的斜率是24302AP k --==-+， 直线BP 的斜率是22104BP k --==-，∴直线l 的斜率应满足AP k k ≤或BP k k ≥，即3k ≤-或1k ³时，直线l 与线段AB 相交，∴斜率k 的取值范围是3k ≤-或1k ³.故答案为：(,3][1,)-∞-+∞U . 【点睛】本题考查直线的斜率的取值范围，考查数形结合思想和逻辑思维能力，属于常考题.11．齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解，则λ的值为________【答案】0或3或2 【解析】 【分析】根据系数矩阵行列式等于0时，齐次线性方程组有非零解解答即可. 【详解】124231111D λλλ--=--2(1)(3)824(3)(1)4(1)λλλλλ=--+-----+-0=，故2(3)(2)0λλλ--=， 解之得：0λ=或3λ=或2λ=， 故答案为：0或3或2. 【点睛】本题考查齐次线性方程组有非零解的问题，属于基础题.12．已知向量a r ，b r 是同一平面内的两个向量，其中()1,2a =r ，()1,1b =r ，a r 与a λb +rr 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是_________. 【答案】()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】可求出()12a b λλλ+=++r r ，，根据a r 与a b λ+r r的夹角为锐角即可得出：()0a a b λ⋅+r r r ＞，且a r 与a bλ+r r不平行，从而得出()()12202210λλλλ⎧+++⎪⎨+-+≠⎪⎩＞，解出λ的范围即可． 【详解】：()12a b λλλ+=++r r，； ∵a r与a b λ+rr的夹角为锐角；∴()0a a b λ⋅+r r r ＞，且a r 与a b λ+r r不平行；∴()()12202210λλλλ⎧+++⎪⎨+-+≠⎪⎩＞；解得53λ-＞，且λ≠0； ∴实数λ的取值范围是：()5003⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，． 故答案为：()5003⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，． 【点睛】本题考查向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，向量数量积的计算公式，以及平行向量的坐标关系．13．Lester S.Hill 在1929年运用矩阵的原理发明了一种加密方法，称为希尔密码，其中每个字母均用数字来代替（0A =，1B =，…，25Z =），一串字母就可当成n 维向量，具体加密过程如下：假设明文M =“ABC ”，对a 应的向量就是()1012M =，加密矩阵1212041315A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，加密过程就是()()11210122044681315M A -⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，如果计算出的数字超过26，则对26取余，例如34mod268=，那么，最终的密文C 就是“EGI ”，假设加密矩阵仍为A ，那么原文“EFZ ”的密文是______. 【答案】NFB 【解析】【分析】根据题意,先找到EFZ 对应的数字,再根据加密法则进行计算,最终得到密文即可. 【详解】由题EFZ 对应的向量(4525)Q =,则加密后121(4525)204(3983391)(1351)1315QA -⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭故密文为NFB 故答案为：NFB 【点睛】本题主要考查矩阵的运算以及新定义的问题,根据题中所给信息列出对应的计算式求解即可.属于中等题型.14．已知O 为△ABC 的外心，若4B π=，BO BA BC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为______【答案】2【解析】 【分析】在BO BA BC λμ=+u u u r u u u r u u u r 的两边分别同时计算与BA u u u r 和BC uuur 的数量积得到2c c λμ=和2a a λμ=+，进一步得到1λ=-1μ=-，所以2()a cc aλμ+=+，再运用基本不等式可以得到最值. 【详解】设AB c =，BC a =，由BO BA BC λμ=+u u u r u u u r u u u r，得：BO BA BA BA BC BA λμ⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2212c c λμ=，即2c c λμ=①，同理可得，2a a λμ=+②，由①②解得：12c λ=-，12aμ=-，所以2()22a cc aλμ+=-+≤-， 当且仅当a c =时等号成立，故max ()2λμ+=故答案为：2【点睛】本题考查平面向量的线性表示、平面向量的数量积、基本不等式的应用、一元二次不等式的解法等，考查划归与转化思想，考查运算求解能力，属于中档题.三、解答题15．已知ABC ∆的顶点坐标分别为(5,0)A -、(3,3)B -、(0,2)C ，请分别运用行列式、向量、平面解析几何知识，用其中两种不同方法求ABC ∆的面积. 【答案】312【解析】 【分析】解法一：用行列式求解，面积公式为112233111ABC x y S x y x y ∆=，代入点的坐标求解即可；解法二：平面解析几何知识求解，先求出直线BC 的方程、点A 到直线BC 的距离d 及BC ，利用12ABC S BC d ∆=⋅⋅计算即可.【详解】解法一：行列式求解，11223315013113312121ABC x y S x y x y ∆-==-=； 解法二：平面解析几何知识求解， 直线BC 的方程为：3353y x +-=-，即：5360x y +-=， 点A 到直线BC的距离34d ===，BC ==所以113122342ABC S BC d ∆=⋅⋅=⋅=. 【点睛】本题考查利用三阶行列式计算三角形面积、利用平面向量知识计算三角形面积、利用平面解析几何知识求解三角形面积，属于基础题.16．解关于x 、y 、z 的三元一次方程组231231x y z x y az ay z +-=-⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】根据题意，分别求出D 、x D 、y D 、z D 关于a 的表达式，再由三元一次方程组解的公式对a 的取值进行讨论，即可得到原方程组解的各种情况. 【详解】(1)(25)D a a =--+，(11)(1)x D a a =+-，22y D a =-，55z D a =-；① 当1a =，0x y z D D D D ====，方程组有无穷多解；② 当52a =-，0D =，且x D 、y D 、z D 不为零，方程组无解； ③ 当1a ≠且52a ≠-时，方程组的解为1125a x a +=-+，225y a =+，525z a =-+. 【点睛】本题考查三元一次方程组的行列式解法，解题关键是要分类讨论，属于常考题.17．设二阶方矩阵a b c d ⎛⎫=⎪⎝⎭A ，则矩阵A 所对应的矩阵变换为：x a b x y c d y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其意义是把点(,)P x y 变换为点(,)Q x y ''，矩阵A 叫做变换矩阵.（1）当变换矩阵11221A ⎛⎫=⎪⎝⎭时，点1(1,1)P -、2(3,1)P -经矩阵变换后得到点分别是1Q 、2Q ，求经过点1Q 、2Q 的直线的点方向式方程；（2）当变换矩阵21381A ⎛⎫=⎪-⎝⎭时，若直线上的任意点(,)P x y 经矩阵变换后得到的点Q仍在该直线上，求直线的方程；（3）若点P 经过矩阵3A 变换后得到点Q ，且P 与Q 关于直线y kx =对称，求变换矩阵3A .【答案】（1）1112x y -+=-；（2）20x y +=，430x y -=；（3）22222212112111k k k k k k k k ⎛⎫- ⎪++ ⎪⎪- ⎪++⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）由给出的变换矩阵定义求出1Q 、2Q 的坐标，进而求出直线的方向向量，求出点向式方程；（2）设直线方程为：1l ：0ax by c ++=，求出其上点(,)P x y 关于矩阵21381A ⎛⎫=⎪-⎝⎭变换后的点Q 也满足直线1l 的方程，再根据两直线重合的条件：斜率相等，截距相同即可求出直线方程；（3）因为点P 经过矩阵3A 变换后得到点Q ，且P 与Q 关于直线y kx =对称，所以有：122y y x x k y y x x k -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪='⋅''⎩'⎪ ，解之得：22222212112111k k x x y k k k k y x y k k ⎧-=⋅+⋅⎪⎪++⎨-⎪=⋅+⋅⎪+'''+⎩' ，再根据x a b x y c d y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得出3A 即可. 【详解】（1）由题意得：112121x y '-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2121x y x y '''+=-⎧⎨+='⎩，解之得：11x y =⎧⎨=-''⎩，所以1(1,1)Q -；312121x y '-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2321x y x y '''+=-⎧⎨+='⎩，解之得：5373x y ⎧=⎪⎪⎨'='⎪-⎪⎩，所以257(,)33Q -， 则1224(,)33Q Q =-u u u u u r ，所以方程为112433x y -+=- ，即1112x y -+=-； （2）133818x x x y y y x y '''+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'''--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即38x x y y x y =+'''⎧⎨-⎩'= 325825x yx x y y +⎧=⎪⎪⇒⎨-=''⎪⎪⎩， 设1l ：0ax by c ++=（,a b 不全为0），2l ：3802525x y x ya b c +-⋅+⋅+=，即(8)(3)250a b x a b y c ++-+=， 由题知，1l 与2l 重合得22328083a bD a ab b a b a b==--=+-，所以2a b =或43a b =-，0253x c bD c a b -==--，得0c =，0825y acD a b c -==+-，得20bx by +=或403bx by -+=，即20x y +=，430x y -=；（3）因为P 与Q 关于直线y kx =对称，所以有：122y y x x k y y x x k -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪='⋅''⎩'⎪ ，解之得：22222212112111k k x x y k k k k y x y k k ⎧-=⋅+⋅⎪⎪++⎨-⎪=⋅+⋅⎪+'''+⎩'， 故22222212112111k k x x k k y y kk k k ⎛⎫- ⎪'⎛⎫⎛⎫++ ⎪= ⎪ ⎪' ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪++⎝⎭，所以222222312112111k k k k kk k k A ⎛⎫- ⎪++ ⎪⎪- ⎪++⎝⎭=. 【点睛】本题考查矩阵变换问题，考查矩阵的求法，考查运算能力与转化思想，属于中档题．18．已知a r 、b r是非零向量，构造集合{,}P P ta b t R ==+∈u r r r ，记P 中模最小的向量为(,)T a b r r .（1）若0(,)T a b t a b =+r r r r ，求0t 的值（用a r 、b r表示）；（2）证明：(,)T a b a ⊥r r r ；（3）若12||||1a a ==u u r u u r ，且1a u r 、2a u u r 的夹角为3π，定义向量序列21(,)n n n a T a a --=u u r u u u u r u u u r ，*n N ∈，3n ≥，求||n a u u r的值.【答案】（1）02a b t a⋅=-r rr ；（2）见解析；（3【解析】 【分析】对于（1），0t a b +=r r对于（2），由（1）可得，2()0a b a b a a b a b a⋅-⨯+⋅=-⋅+⋅=r rr r rr r r r r ，即可得证；对于（3），取1()10a =u r ，，2(122a =u u r ，，13212(1(2)2,a t T a t a a a =+==+u u r u r u u r u r u u r ，，由12ta a +=≥u r u u r3(0a =u u r，3a =u u r，同理可得：43(8a -=u u r，4a =u u r ，⋅⋅⋅，即可推出. 即可完成解答. 【详解】（1）对于0(,)T a b t a b =+r r r r，∴0t a b +=r r当02a bt a⋅=-r r r 时，其模取最小值；（2）由（1）可得：2()0a b a b a a b a b a⋅-⨯+⋅=-⋅+⋅=r rr r rr r r r r ，∴(,)T a b a ⊥r r r ；（3）不妨取1()10a =u r ，，2(12a =u u r ，向量序列21(,)n n n a T a a --=u u r u u u u r u u u r ，*n N ∈，3n ≥，∴13212(1(2)2,a t T a t a a a =+==+u u r u r u u ru r u u r ，，∴12ta a +=≥u r u u r 12t =-时取等号，∴3(0)2a =u u r ，，32a =u u r，同理可得：43(8a -=u u r，4a =u u r，⋅⋅⋅，∴2||2n n a -=u u r .【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其运算律，考查平面向量的坐标运算，考查逻辑思维能力和推理能力，属于中档题.。
2019-2020年高二上学期9月月考数学试题含答案
2019-2020年高二上学期9月月考数学试题含答案考试范围：必修5第一、二章考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1、数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为A 12-=n a nB )21()1(n a n n --=C )12()1(--=n a n n D)12()1(+-=n a n n2．已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则公比q =A ．21-B ．2-C ．2D ．21 3．若∆ABC 中，sin A :sin B :sin C =2:3:4，那么cos C =A. 14-B. 14C. 23-D. 234．设数}{n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是A ．1B ．2C ．2±D ．45．在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若783b b ⋅=，则3132l o g l o g b b ++……314log b +等于A. 5B. 6C. 7D.86．在ABC ∆中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是（ ）A. b=10, A=450, C=600B. a=6, c=5, B=600C. a=7, b=5, A=600D. a=14, b=16, A=450 7．在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形 8．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高为（ ） Am 3400Bm 33400 Cm 33200 Dm 32009．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且132+=n nT S n n ，则55b a （ ） A32 B 149 C 3120 D 9710．已知数列{}n a 中，11,a =前n 项和为n S ，且点*1(,)()n n P a a n N +∈在直线10x y -+=上，则1231111nS S S S ++++=（ ） A.(1)2n n + B.2(1)n n + C.21n n + D.2(1)n n +二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．已知{}n a 为等差数列，3822a a +=，67a =，则5a =____________ 12. 已知数列｛a n ｝的前n 项和是21n S n n =++, 则数列的通项a n =__ 13．在△ABC 中,若a 2+b 2<c 2,且sin C =23,则∠C = 14．△ABC 中，a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，ABC S ∆=23，那么b = 15．在钝角△ABC 中，已知a=1,b=2,则最大边c 的取值范围是____________ 。
上海市华东师大二附中2020-2021学年高二上学期9月月考数学试卷 Word版含答案
华二附中高二月考数学试卷2020.09一. 填空题1. 直线413y x =-的单位法向量是 2. 已知点(2,3)P -，(3,2)Q ，直线20ax y ++=与线段PQ 相交，则实数a 的取值范围是 3.直线cos 20x α++=的倾斜角的范围是4. 过点(10,10)-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为5. 已知三条直线1:440l x y +-=，2:0l mx y +=，3:2340l x my --=不能围成三角形，则m =6. 已知等腰三角形的底边所在直线过点(2,1)P ，两腰所在的直线为20x y +-=与740x y -+=，则底边所在的 直线方程是7. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点(2,0)A ，(0,4)B ，若其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标8. 已知点P 在直线210x y +-=上，点Q 在直线230x y ++=上，PQ 的中点为00(,)M x y ，且002y x >+， 则00y x 的取值范围是 9. 已知,αβ∈R ，直线1sin sin sin cos x y αβαβ+=++与1cos sin cos cos x y αβαβ+=++的交点在直线 y x =-上，则sin cos sin cos ααββ+++=10. 已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线y ax b =+（0a >），将△ABC 分割为面积相等的两部分， 则b 的取值范围是二. 选择题11. 对于直线1:0l ax ay a+-=（0a ≠），下列说法不正确的是（ ） A. 无论a 如何变化，直线l 的倾斜角的大小不变 B. 无论a 如何变化，直线l 一定不经过第三象限C. 无论a 如何变化，直线l 必经过第一、二、三象限D. 当a 取不同数值时，可得到一组平行直线12. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为(2,0)B -，若将军从山脚下的点1(,0)3A -处出发，河岸线所在直线方程为23x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A.3 B. 5C. 3D. 16313. 已知直线:30l x my m -+=上存在点M 满足与(1,0)A -、(1,0)B 两点连线的斜率MA k 与MB k 之积为3，则实数m 的取值范围是（ ）A. [6,6]-B. 66(,)(,)-∞-+∞ C. 66(,][,)66-∞-+∞ D. 22[,]22- 14. 设直线系:cos (2)sin 1M x y θθ+-=，02θπ≤≤，对于下列四个命题：（1）M 中所有直线均经过一个定点；（2）存在定点P 不在M 中的任意一条直线上；（3）对于任意整数n ，3n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上；（4）M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等； 其中真命题的是（ ）A.（2）（3）B.（1）（4）C.（2）（3）（4）D.（1）（2）三. 解答题15. 已知直线l 的方程为210x y -+=.（1）求过点(3,2)A ，且与直线l 垂直的直线1l 方程；（2）求过l 与1l 的交点B ，且倾斜角是直线l 的一半的直线2l 的方程.16. 已知直线1:3470l x y +-=与2:3480l x y ++=.（1）若11(,)A x y 、22(,)B x y 两点分别在直线1l 、2l 上运动，求AB 的中点D 到原点的最短距离；（2）若(2,3)M ，直线l 过点M ，且被直线1l 、2l 截得的线段长为35l 的方程.17. 已知直线:120l kx y k -++=，k ∈R .（1）证明：直线l 过定点；（2）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；（3）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程.参考答案一. 填空题 1. 43(,)55-或43(,)55- 2. 41[,]32- 3. 5[0,][,)66πππ 4. y x =-或11542y x =-+ 5. 4或1-或16-或23 6. 37y x =-+或1133y x =+ 7. (4,0)-8. 11(,)25-- 9. 0 10. 1(1)22-二. 选择题 11. C 12. A 13. C 14. A三. 解答题15.（1）270x y +-=；（2）1722y x -=+. 16.（1）min 110d =；（2）2(2)3y x =--+，2(2)311y x =--+. 17.（1）证明略，过定点(2,1)-；（2）0k ≥；（3）min 4S =，此时直线l 的方程为240x y -+=.。
华东师大第二附中2019-2020学年高二数学上学期10月月考试卷附答案详析
华东师大第二附中2019-2020学年高二上学期10月月考数学试卷一、单选题1．设2111()1111f x xx =-，x ∈R ，则方程()0f x =的解集为（ ） A ．{1}B ．{}1-C ．{1,1}-D ．以上答案都不对2．函数2cos 2cos ()1sin cos x xf x x x=-的图像（ ）A ．关于直线4x π=对称B ．关于点3(,0)8π-对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于原点对称3．若矩阵a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭M，记a b M c d =，以下四个命题中的矩阵,A B 都是22⨯阶矩阵，1001I ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则其中真命题的个数为（ ） ① 若R λ∈，则A A λλ=⋅； ② 若AB I =，则BA I =；③AB A B =⋅； ④ 若1AB =-，则AB I =-；A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．已知角α、β满足cos cos cos()αβαβ+=+，有如下两个命题： ① 存在α为第一象限角，角β为第三象限角； ② 存在α为第二象限角，角β为第四象限角； 则下列选项中，正确的是（ ） A ．①正确②正确 B ．①正确②错误C ．①错误②正确D ．①错误②错误二、填空题5．已知向量,a b r r 满足4a b +=r r ，3a b -=r r ，则a b ⋅r r 的值为________.6．行列式123456789----中的元素6-的代数余子式的值为________.7．已知矩阵3122A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则23A A -=________.8．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为(1,3)A 、(1,2)B -、(3,2)C -，点G 为△ABC 的重心，则||CG uuu r的值为________. 9．若增广矩阵1112m m m m +⎛⎫⎪⎝⎭的线性方程组无解，则m =________.10．已知无穷数列{}n a 的前n 项和221n S n =+，则集合*1{|}n n a a n N +-∈的真子集的个数为________.11．已知向量()1,3a =r ，()2,1b λ=+r ，且a r 与b r的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________.12．如图在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =u u u v u u u v ，2AP BP ⋅=u u u r u u u r ，则AB AD ⋅u u u v u u u v的值是______________.13．已知平面向量,a b rr 满足2660b b a -⋅+=r r r ，且()1,3a =-r ，则b r 的最大值与最小值之和为________.14．已知边长为1的正八边形的8个顶点依次为1A 、2A 、3A 、4A 、5A 、6A 、7A 、8A ，点P 为该八边形边上的动点，则131A A A P⋅u u u u r u u u r的取值范围是________. 15．设a r 是给定的平面向量，且为非零向量，关于a r的分解，有如下4个命题：① 给定向量b r ，总存在向量c r ，使得a b c =+r r r ；② 给定向量b r和c r ，总存在实数λ和μ，使得ab c λμ=+r rr；③ 给定向量b r 和整数μ，总存在单位向量c r 和实数λ，使得a b c λμ=+r r r ；④ 给定正数λ和μ，总存在单位向量br和c r 单位向量，使得a b c λμ=+r r r；若上述命题中的向量在同一平面内且两两不共线，则其中真命题的序号为________. 16．已知ABC ∆内一点O 是其外心，1cos 3A =，且AO mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r ，则m n +的最大值为________.三、解答题17．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .（1）若2c =，3C π=，求△ABC 面积的最大值；（2）若sin sin()sin 2C B A A +-=，试判断△ABC 的形状，并说明理由.18．已知sin(sin 2()411x xf x π+=）（x ∈R ）. （1）求()f x 的值域； （2）求方程()1f x =的解集.19．如图，半径为1的半圆O 上有一动点B ，MN 为直径，A 为半径ON 延长线上的一点，且OA=2，∠AOB的角平分线交半圆于点C ．（1）若AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3，求cos∠AOC 的值； （2）若A,B,C 三点共线，求线段AC 的长．20．矩阵乘法运算a b x ax by c d y cx dy +⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭的几何意义为平面上的点(,)P x y 在矩阵a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭M 的作用下变换成点(,)P ax by cx dy '=++，记||a bM c d=，且||0M ≠. （1）若平面上的点A 在矩阵2123-⎛⎫⎪-⎝⎭的作用下变换成点(3,1)A '-，求点A 的坐标；（2）若平面上相异的两点A 、B 在矩阵M 的作用下，分别变换为点A '、B '，求证：若点P 为线段AB 上的点，则点P 在M 的作用下的点P '在线段A B ''上；（3）已知△ABC 的顶点坐标为(1,1)A 、(2,4)B -、(3,9)C ，且△ABC 在矩阵11231145M ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭作用下变换成△A B C '''，记△ABC 与△A B C '''的面积分别为1S 与2S ，求2S 的值，并写出一般情况（三角形形状一般化且变换矩阵一般化）下1S 与2S 的关系（不要求证明）.21．对于项数为m （1m >）的有穷正整数数列{}n a ,记12max{,,,}k k b a a a =L （1,2,,k m =L ），即k b 为12,,k a a a L 中的最大值，称数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”.比如1,3,2,5,5的“创新数列”为1,3,3,5,5.（1）若数列{}n a 的“创新数列”{}n b 为1,2,3,4,4，写出所有可能的数列{}n a ；（2）设数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”，满足12018k m k a b -++=（1,2,,k m =L ），求证：k k a b =（1,2,,k m =L ）；（3）设数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”，数列{}n b 中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列{}n a .解析华东师大第二附中2019-2020学年高二上学期10月月考数学试卷一、单选题1．设2111()1111f x xx =-，x ∈R ，则方程()0f x =的解集为（ ） A ．{1} B ．{}1-C ．{1,1}-D ．以上答案都不对【答案】C【解析】按照行列式的计算法则计算行列式的值,然后解方程可得. 【详解】因为2221111111()11111111111x x f x x x x x --=-=⨯-⨯+⨯221(1111)1(11)1(11)x x x x =⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯+⨯⨯+⨯ 222x x x x =--+++ 222x =-,由()0f x =,得2220x -=,即21x =,所以1x =-或1x =.所以方程()0f x =的解集为{1,1}-.故选C . 【点睛】本题考查了行列式的计算法则,属于基础题. 2．函数2cos 2cos ()1sin cos x xf x x x=-的图像（ ）A ．关于直线4x π=对称B ．关于点3(,0)8π-对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于原点对称【答案】B【解析】计算行列式并利用辅助角公式化简()2cos(2)4f x x π=+，再利用三角函数的性质求解，即可得答案. 【详解】∵2()2cos 2sin cos 1cos2sin 22cos(2)4f x x x x x x x π=-⋅-=-=+，对A ，将4x π=代入解析式得3()2cos244f ππ=≠±，故A 错误； 对B ，∵3()2cos 082f ππ-==，∴函数关于点3(,0)8π-对称，故B 正确；对C ，D ，函数既不是偶函数也不是奇函数，∴图象不关于y 轴对称，也不关于原点对称，故C ，D 错误；故选：B. 【点睛】本题考查行列式计算、三角恒等变换、三角函数的图象和性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 3．若矩阵a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭M，记a b M c d =，以下四个命题中的矩阵,A B 都是22⨯阶矩阵，1001I ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则其中真命题的个数为（ ） ① 若R λ∈，则A A λλ=⋅； ② 若AB I =，则BA I =；③AB A B =⋅； ④ 若1AB =-，则AB I =-；A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】通过矩阵相乘和行列式计算，对选项进行一一验证，即可得答案. 【详解】 对①，令1111A -⎛⎫=⎪⎝⎭，则22A λλλλλλ-==，2A λλ⋅=，故①错误；对②，矩阵相乘不满足交换律，故②错误； 对③，12123434,a a b b a a b b ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，1123122431433244a b a b a b a b a b a b a b a b ++⎛⎫= ⎪++⎝⎭AB ，14231423()()b b b b a a a a =-⋅-=|AB ||A ||B |，故③正确；对④，令0110AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时1AB =-，但AB I =-不成立，故④错误.故选：B. 【点睛】本题考查二阶矩阵和二阶行列式的计算，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 4．已知角α、β满足cos cos cos()αβαβ+=+，有如下两个命题： ① 存在α为第一象限角，角β为第三象限角； ② 存在α为第二象限角，角β为第四象限角； 则下列选项中，正确的是（ ） A ．①正确②正确 B ．①正确②错误C ．①错误②正确D ．①错误②错误【答案】A【解析】只要找到角α，角β满足条件，即可得答案. 【详解】 对①，令5,44ππαβ==，则522cos cos 04422ππ+=-=，53cos()cos0442πππ+==， 故①正确； 对②，令37,44ππαβ==，则3722cos cos 04422ππ+=-+=， 375cos()cos 0442πππ+==，故②正确； 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数值的符号，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意能找到满足条件的角，即证存在性成立.二、填空题5．已知向量,a b r r 满足4a b +=r r ，3a b -=r r ，则a b ⋅r r 的值为________.【答案】74【解析】对式子4a b +=r r ，3a b -=rr 两边分别平方，再相加，即可得答案.【详解】∵4a b +=r r ，3a b -=rr ，∴2222216,29a b a b a b a b ++⋅=+-⋅=r r r r r r r r ，∴两式相减得：74a b ⋅=r r. 故答案为：74. 【点睛】本题考查利用模的等式求向量的数量积，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.6．行列式123456789----中的元素6-的代数余子式的值为________.【答案】6-【解析】直接利用代数余子式的定义，计算512(1)78---的值，即可得答案.【详解】∵行列式123456789----中的元素6-的代数余子式为512(1)78---， ∴512(1)78---(814)6=--+=-. 故答案为：6-. 【点睛】本题考查行列式的代数余子式，考查运算求解能力，求解时注意符号问题.7．已知矩阵3122A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则23A A -=________.【答案】2240⎛⎫⎪⎝⎭【解析】直接利用矩阵的四则运算法则，即可得答案. 【详解】 ∵23A A -=313131115932232222221066640⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯=-=⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：2240⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查矩阵的运算，考查运算求解能力，属于基础题.8．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为(1,3)A 、(1,2)B -、(3,2)C -，点G 为△ABC 的重心，则||CG uuu r的值为________. 【答案】13【解析】利用重心的坐标公式求得点G 的坐标，进而得到CG u u u r的坐标，再代入模的计算公式. 【详解】设()G x y ,，则1131,33221,3x y -+⎧==⎪⎪⎨+-⎪==⎪⎩，∴(1,1)G ，∴(13,12)(2,3)CG =-+=-uuu r， ∴||4913CG =+=uuu r.故答案为：13. 【点睛】本题考查三角形的重心坐标公式、向量模的求解，考查运算求解能力，属于基础题.9．若增广矩阵1112m m m m +⎛⎫⎪⎝⎭的线性方程组无解，则m =________.【答案】1- 【解析】由题意可得101m m=，且1102m m m+≠，解得即可．【详解】Q 二元一次方程组的增广矩阵是1112m m m m +⎛⎫⎪⎝⎭，该方程组无解，∴101m m=，且1102m m m+≠，210m ∴-=且2(1)0m m m -+≠，1m ∴=-． 故答案为：1-．【点睛】本题考查二元一次方程组的增广矩阵．考查行列式，解答的关键是二元线性方程组的增广矩阵的涵义． 10．已知无穷数列{}n a 的前n 项和221n S n =+，则集合*1{|}n n a a n N +-∈的真子集的个数为________.【答案】3【解析】根据数列的递推关系可得数列是从第二项起为等差数列，从而得到1n n a a +-有两个值，从而得集合*1{|}n n a a n N +-∈含两个元素，再计算真子集的个数.【详解】∵221n S n =+，则212(1)1n S n +=++， 两式相减得：142(1)n a n n +=+≥，∴26a =，∴14(1)n n a a n +-=≥，当1n =时，113a S ==，∴213a a -=，∴*1{|}{3,4}n n a a n N +-∈=， ∴真子集的个数为2213-=. 故答案为：3. 【点睛】本题考查数列的递推关系求通项、集合真子集的个数，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意问题转化为判断集合的元素个数问题.11．已知向量()1,3a =r ，()2,1b λ=+r ，且a r 与b r的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________.【答案】555,,33⎛⎫⎛⎫---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 【解析】利用向量的数量积大于0，且向量不共线，得到关于λ的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】∵a r与b r 的夹角为锐角，∴2300,513(2),3a b λλλ++>⎧⎧⋅>⎪⇒⎨⎨≠-≠⨯+⎩⎪⎩vv ，解得：555,,33λ⎛⎫⎛⎫∈---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U .故答案为：555,,33⎛⎫⎛⎫---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U . 【点睛】本题考查向量夹角的计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意把向量共线的情况去掉，才不会出现错解.12．如图在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =u u u v u u u v ，2AP BP ⋅=u u u r u u u r ，则AB AD ⋅u u u v u u u v的值是______________.【答案】22【解析】根据基底,AB AD u u u r u u u r 表示,,AP BP u u u v u u u v 再根据向量数量积化简2AP BP ⋅=u u u r u u u r，即得结果. 【详解】13()()()()44AP BP AD DP BC CP AD AB AD AB ⋅=+⋅+=+⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v2231162AD AB AB AD =--⋅u u u v u u u v u u u v u u u v 311256413222.1622AB AD AB AD AB AD =-⨯-⋅=-⋅=∴⋅=u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v【点睛】用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．13．已知平面向量,a b rr 满足2660b b a -⋅+=r r r ，且()1,3a =-r ，则b r 的最大值与最小值之和为________.【答案】12【解析】设(,)b x y =r，代入方程2660b b a -⋅+=rr r得到点(,)x y 的轨迹方程，从而将问题转化为圆心到原点距离的最大值和最小值问题. 【详解】设(,)b x y =r，∵()1,3a=-r，∴代入方程2660b b a -⋅+=r r r∴226(3)60x y x y +--++=22(3)(33)30x y ⇒++-=，∴b r的最大值为：圆心(3,33)-到原点的距离加上半径，即6r +；b r 的最小值为：圆心(3,33)-到原点的距离减去半径，即6r -；∴b r的最大值与最小值之和为12.故答案为：12. 【点睛】本题考查利用向量的坐标运算求模的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量问题坐标化思想的应用.14．已知边长为1的正八边形的8个顶点依次为1A 、2A 、3A 、4A 、5A 、6A 、7A 、8A ，点P 为该八边形边上的动点，则131A A A P⋅u u u u r u u u r的取值范围是________.【答案】232,222⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【解析】如图所示，根据向量数量积的几何意义知，当点P 在8A 位置时，131A A A P⋅u u u u r u u u r取得最小值，当点P 在4A 位置时，131A A A P⋅u u u u r u u u r取得最大值，建立直角坐标，利用向量的坐标运算，即可得答案. 【详解】以正八边形的中心为坐标原点，建立直角坐标，∵正八边形的内角为135o ，由平面几何知识得87A MA ∆为等腰直角三角形，∴1112(,)222A -+，8112(,)222A +，3121(,)222A ---，4112(,)222A ---， ∴1322(,1)22A A =---，18(1,0)A A =，14(0,12)A A =--， ∴根据向量数量积的几何意义知，当点P 在8A 位置时，131A A A P ⋅u u u u r u u u r取得最小值； 当点P 在4A 位置时，131A A A P⋅u u u u r u u u r取得最大值； ∴131min 1318222()(,1)(1,0)222A A A P A A A A ⋅=⋅=---⋅=-u u u u r u u u r u u u u r u u u u r，131min 13142232()(,1)(0,12)2222A A A P A A A A ⋅=⋅=---⋅--=+u u u u r u u u r u u u u r u u u u r ，∴131A A A P⋅u u u u r u u u r 的取值范围是232,222⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦.故答案为：232,222⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查向量数量积的取值范围、平面几何知识的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标运算的准确性. 15．设a r 是给定的平面向量，且为非零向量，关于a r的分解，有如下4个命题： ① 给定向量b r，总存在向量c r，使得ab c =+r rr ；② 给定向量b r 和c r ，总存在实数λ和μ，使得a b c λμ=+r r r ；③ 给定向量b r 和整数μ，总存在单位向量c r 和实数λ，使得a b c λμ=+r r r ；④ 给定正数λ和μ，总存在单位向量b r和c r 单位向量，使得ab c λμ=+r rr；若上述命题中的向量在同一平面内且两两不共线，则其中真命题的序号为________. 【答案】①②【解析】根据向量加法的三角形法则，可判断①；根据平面向量的基本定理可判断②③；举出反例1λμ==，||2a >r，可判断④．【详解】Q 平面向量a r，b r和c r在同一平面内且两两不共线，对①，给定向量b r ，总存在向量c a b =-r r r ，使a b c =+r r r ，故①正确；对②，由向量b r，c r 和a r在同一平面内且两两不共线， 故给定向量b r和c r ，总存在实数λ和μ，使ab c λμ=+r rr，故②正确；对③，给定单位向量b r 和正数μ，不一定存在单位向量c r 和实数λ，使a b c λμ=+r r r ，故③错误；对④，当1λμ==，||2a >r 时，不总存在单位向量b r和单位向量c r ，使a b c λμ=+r rr，故④错误．故答案为：①②． 【点睛】本题考查的知识点是平面向量的基本定理和应用，注意运用向量的加减运算性质和单位向量的概念，难度中档． 16．已知ABC ∆内一点O 是其外心，1cos 3A =，且AO mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r ，则m n +的最大值为________. 【答案】34【解析】如图所示，延长AO 交BC 于D ，令AO A m n O AD A A AC D B λλλλ=⇒==+u u u rur u u u u u u u u u r u u r r u ur u ，由,,B C D 三点共线，得m n λ+=，将问题转化为求λ的最大值，利用解三角形知识，即可得答案. 【详解】 如图所示，延长AO 交BC 于D ，令AO A m n O AD A A AC D B λλλλ=⇒==+u u u ru r u u u u u u u u u r u u r r u ur u ，∵,,B C D 三点共线，∴1mnm n λλλ+=⇒+=，∴λ取最大值时，m n +取最大值，∴||||AO AD λ=u u u ru u u r ，∵||AO u u u r 为外接圆的半径定值， ∴当||AD u u u r取得最小时，λ取最大值，此时AD BC ⊥，∴ABC ∆为等腰三角形，且1cos 3A =，∴22sin 3A =， ∴361sin,cos ,tan ,232322A A A === ∵3||sin 42a a AO A ==u u u r ，22||2tan 2a aAD A ==u u u r ，∴max3342422aa λ==.故答案为：34.【点睛】本题考查向量在三角形中的运用、同角三角函数基本关系、倍角公式、解三角形，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，综合性较强.三、解答题17．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .（1）若2c =，3C π=，求△ABC 面积的最大值；（2）若sin sin()sin 2C B A A +-=，试判断△ABC 的形状，并说明理由.【答案】（1）3；（2）等腰三角形，理由见解析【解析】（1）由余弦定理可得：22242cos c a b ab C ==+-及基本不等式可求ab 的范围，然后结合三角形的面积公式in 12s S ab C =可求面积的最大值； （2）将sin sin()C A B =+代入已知等式，利用和差化积公式变形，根据cos 0A =与cos 0A ≠，即可确定出三角形形状． 【详解】 （1）2c =Q ，3Cπ=，∴由余弦定理可得：22242c a b ab ab ab ab ==+--=…，可得4ab …，113sin 43222S ab C ∴=⨯⨯=…，当且仅当2a b ==时取等号，ABC ∆∴面积的最大值3； （2）将sin sin()C A B =+代入已知等式得：sin()sin()sin 2A B B A A ++-=， 整理得：2sin cos 2sin cos B A A A =， 当cos 0A =，即A 为直角时，满足题意，此时ABC ∆为直角三角形；当cos 0A ≠时，得到sin sin A B =，即A B =，此时ABC ∆为等腰三角形， 则ABC ∆为等腰三角形或直角三角形．【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式等知识的综合应用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．18．已知sin(sin 2()411x x f x π+=）（x ∈R ）.（1）求()f x 的值域； （2）求方程()1f x =的解集.【答案】（1）9[2,]8-；（2）{|4x x k ππ=-+或212x k ππ=-+或72,}12x k k ππ=+∈Z . 【解析】（1）计算行列式化简22()sin cos 2sin cos 22f x x x x x =+-，再利用换元法令sin cos t x x =+，将问题转化为求一元二次函数在闭区间上的值域问题； （2）利用（1）中结论，将方程转化为解方程2sin cos 2x x +=或sin cos 0x x +=. 【详解】（1）∵22()sin(sin 2sin cos 2sin cos 422f x x x x x x x π=+-=+-），令sin cos t x x =+，则22t -≤≤，∴21sin cos 2t x x -=，∴2212y t t =-++，22t -≤≤ ∴max 149244y --==-，min (2)2112y y =-=--+=-， ∴求()f x 的值域为9[2,]8-.（2）∵()1f x =221102y t t t ⇔=-++=⇔=或22t =， ∴2sin cos 2x x +=或sin cos 0x x +=， 即1sin(42x π+=）或sin cos x x =-， 解得：{|4x x k ππ=-+或212x k ππ=-+或72,}12x k k ππ=+∈Z . 【点睛】本题考查二阶行列式计算、三角函数的恒等变换、解三角方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意新元的取值范围的确定.19．如图，半径为1的半圆O 上有一动点B ，MN 为直径，A 为半径ON 延长线上的一点，且OA=2，∠AOB 的角平分线交半圆于点C ． （1）若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3，求cos∠AOC 的值；（2）若A,B,C 三点共线，求线段AC 的长．【答案】（1）cosθ=34,（2）|AC|=√2【解析】试题分析: (1)以O 为原点, OA 为x 轴建立平面直角坐标系,设∠AOC=θ,分别求出各点的坐标，由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3 求出cos∠AOC 的值；(2)由A,B,C 三点共线,得出cosθ=34,再利用余弦定理求出|AC| .试题解析:（1）以O 为原点，OA 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设∠AOC =θ，A(2,0),C(cosθ,sinθ)，B(cos2θ,sin2θ)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ−2,sinθ)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos2θ−2,sin2θ)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ−2)(cos2θ−2)+sinθsin2θ=cosθcos2θ−2cos2θ−2cosθ+sinθsin2θ+4=−2cos2θ−cosθ+4=−4cos 2θ−cosθ+6 ∴−4cos 2θ−cosθ+6=3 cosθ=34,cosθ=−1（舍去）（2）A,B,C 三点共线， 所以cos2θ−2cosθ−2=sin2θsinθ∴cosθ=34 ∴AC 2=1+4−2×1×2×cosθ=2 ∴|AC|=√2（1）方法二、设∠AOC =θ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4+1×2×cos(π−2θ)+1×2×cos(π−θ)+cosθ=4−2cos2θ−cosθ∴−4cos 2θ−cosθ+6=3 cosθ=34,cosθ=−1（舍去）20．矩阵乘法运算a b x ax by c d y cx dy +⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭的几何意义为平面上的点(,)P x y 在矩阵a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭M 的作用下变换成点(,)P ax by cx dy '=++，记||a bM c d=，且||0M ≠. （1）若平面上的点A 在矩阵2123-⎛⎫⎪-⎝⎭的作用下变换成点(3,1)A '-，求点A 的坐标；（2）若平面上相异的两点A 、B 在矩阵M 的作用下，分别变换为点A '、B '，求证：若点P 为线段AB 上的点，则点P 在M 的作用下的点P '在线段A B ''上；（3）已知△ABC 的顶点坐标为(1,1)A 、(2,4)B -、(3,9)C ，且△ABC 在矩阵11231145M ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭作用下变换成△A B C '''，记△ABC 与△A B C '''的面积分别为1S 与2S ，求2S 的值，并写出一般情况（三角形形状一般化且变换矩阵一般化）下1S 与2S 的关系（不要求证明）.【答案】（1）(2,1)；（2）证明见解析；（3）214S =，若变化矩阵为a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭M ，则21S abcdS =.【解析】（1）直接根据矩阵变换的计算，可得点的坐标；（2）先求变换后',,A B P ''的坐标，再利用斜率相等，即可证得',,A B P ''共线； （3）求出点'59(,)620A ，'(,)13310B ，'(,)951220C ，利用行列式计算三角形面积即可. 【详解】（1）设(,)A x y ，则213231x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴23,231,x y x y -=⎧⎨-+=-⎩解得：2,1x y ==-， ∴(2,1)A .（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，(,)P x y ， ∵,,A B P 三点共线，∴1212y y y y x x x x --=--， ∵a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭M，∴''11221122(,)(,),,A B a by c dy a by c d x x x x y ++++，'(,)a by y x c P x d ++， ∵''111111111111()()()(())()P A y y d c dy c dy d y y y y a by a by b y y k c x x c x x x x x x a x x b a x x +-+-==-+-++--++-=--+-， ''222222222222()()()(())()P B y y dc dy c dyd y y y y a by a by b y y k c x x c x x x x x x a x x b a x x +-+-==-+-++--++-=--+-， ∴''P B k ''P A k =，∴点P 在M 的作用下的点P '在线段A B ''上.（3）∵115123611194520⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，411233123114105⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎝⎭⎝⎭-⎪，3112311209251945⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴'59(,)620A ，'(,)13310B ，'(,)951220C .∴59162011312109511220315351919512726102020326020⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅---+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1225225121201202⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦14=-. ∴211||44S =-=.若矩阵为a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭M ，则21S abcdS =. 【点睛】本题考查矩阵与变换的综合运用、利用行列式求三角形的面积，考查逻辑推理能力和运算求解能力，计算量较大.21．对于项数为m （1m >）的有穷正整数数列{}n a ,记12max{,,,}k k b a a a =L （1,2,,k m =L ），即k b 为12,,k a a a L 中的最大值，称数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”.比如1,3,2,5,5的“创新数列”为1,3,3,5,5.（1）若数列{}n a 的“创新数列”{}n b 为1,2,3,4,4，写出所有可能的数列{}n a ；（2）设数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”，满足12018k m k a b -++=（1,2,,k m =L ），求证：k k a b =（1,2,,k m =L ）；（3）设数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”，数列{}n b 中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列{}n a .【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1,2,3【解析】【详解】试题分析：（1）创新数列为1,2,3,4,4的所有数列{}n a ，可知其首项是1，第二项是2，第三项是3，第四项是4，第五项是1或2或3或4，可写出{}n a ；（2）由题意易得1k k b b +≥，12018k m k a b +-+=，从而可得110k k m k m k a a b b +-+--=-≥，整理即证得结论；（3）验证当2m =时，不满足题意，当3m =时，根据12333,b b b b ++<而12336b b b b >得11b =，同理22b =，33b =，而当4m ≥时不满足题意. 试题解析：（1）所有可能的数列{}n a 为1,2,3,4,1；1,2,3,4,2；1,2,3,4,3；1,2,3,4,4（2）由题意知数列{}n b 中1k k b b +≥. 又12018k m k a b -++=，所以12018k m k a b +-+=()()111201820180k k m k m k m k m k a a b b b b +--+-+--=---=-≥，所以1k k a a +≥，即k k a b =（1,2,,k m =L ）（3）当2m =时，由1212b b b b +=得()()12111b b --=，又*12,b b N ∈所以122b b ==，不满足题意；当3m =时，由题意知数列{}n b 中1n n b b +>，又123123b b b b b b ++=当11b ≠时，此时33b >，12333,b b b b ++<而12336b b b b >，所以等式123123b b b b b b ++=不成立，因此11b =； 当22b ≠时，此时33b >，12333,b b b b ++<而12333b b b b ≥，所以等式123123b b b b b b ++=不成立，因此22b =； 当11b =，22b =得33b =，此时数列{}n a 为1,2,3.当4m ≥时，12m m b b b mb +++<L ，而()121!m m m bb b m b mb ≥->L ，所以不存在满足题意的数列{}n a .综上数列{}n a 依次为1,2,3.。
2019年高二上学期第一次月考数学试题 Word版含答案
2019年高二上学期第一次月考数学试题 Word 版含答案一、 填空题：（每题5分，计70分）1. 已知直线经过(,),(1,3)P a a Q a a -+,则直线的斜率为____。
2. 已知直线:,则直线的倾斜角为______。
3. 已知直线过点,斜率为2,则直线方程__________。
4. 已知直线的斜率为2,且经过点,则直线方程_______。
5. 已知直线经过,则直线方程_________。
6.已知直线经过,则直线方程_________。
7.已知直线1212:0,:210,//,_______l x y l x ay l l a -+=-+==且则。
8.已知直线1212:0,:210,,_______l x y l x ay l l a -=-+=⊥=且则。
9. 已知直线12:10:2+40,l x y l x y P P -+=-=与交于点则点坐标______。
10. 已知平面内，则线段11. 已知直线:,到已知直线得距离___。
1212:10:0,,______l x y l x y a l l a -+=-+==12.已知直线与且// 。
13.若过原点的直线与连接(2,2),(6,P Q 的线段相交，则直线倾斜角范围_______。
二、解答题：本大题共6小题，15、16、17每小题14分，18、19、20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答()120()l a x y a a l a +++-=∈R 14.设直线的方程为，若直线不经过第二象限，则实数的取值范围______。
时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．16、过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于两点，当的面积最小时，求直线的方程．17、已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，，。
（1）若，求证：；（2）设，若，求的值。
18、如图，在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点分别是棱的中点。
2019-2020年高二上学期月考数学试题 含答案
绝密★启用前2019-2020年高二上学期月考数学试题 含答案注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请修改第I 卷的文字说明一、单项选择1. 为了得到函数sin(2)6y x π=+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象A ．向左平移6π个长度单位B ．向右平移6π个长度单位C ．向右平移12π个长度单位D ．向左平移12π个长度单位2. 已知角α的终边过点P （4a,－3a ）（a<0）,则2sin α＋cos α的值是（ ） A ． B ．－ C ．0 D ．与a 的取值有关3. sin 585的值为（ ）A ．BC ．4. 若[0,2)απ∈，sin cos αα=-，则α的取值范围是（ ） A ．[0,]2πB ．[,]2ππ C ．3[,]2ππ D ．3[,2)2ππ5. 若等边ABC ∆的边长为2，平面内一点M 满足1132CM CB CA =+，则MA MB ⋅=（ ） A ．98 B ．913 C ．98- D ．913-6. 已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量*1(,),(,1),n n n n c a a b n n n N +==+∈。
下列命题中真命题是 （ ）()4f 中，设23,AC xAB yBC zCC =++则+x C ．6 D ．62,AB AD =14. 已知sin ,cos θ 12122(1,1,0),(1,1,1),,,,a b b b b b b a ===+⊥若且∥1b 则=_____________，16. 已知12,10OA OB a OC b ===（，-），（），（-，0>，O ,已知<< ,cos()= .已知向量33(cos,sin ),(cos ,sin )x x x xa ==-⎥⎦⎤． 3a b +>求x 的范围;)x a b a b =⋅++若对任意t x <|)2求t 如图所示，在△ABC 中，点M AN ＝2NC ，BN21. 已知函数(1) x 的集合； (2) . （3.22. x a x y cos 2cos 2-=的最大值M （a ）与最小值m （a ）.参考答案角都是锐角，同时A+Bx x cos 22cos 222-=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ,2x ππ≤<∴x 65（20≤x 3)(1≤≤-∴x f ⇒所以所以所以（3时,；<==-a m a M a a )2-()=；-=a1Maa2aMa；=aa)2=-)(-=．12,()0a M a。
2019学年高二数学上学期第一次月考试题 理
2019学年第一学期第一次月考理科数学试卷（考试时间：120分钟 总分：150分）★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。
一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.命题“若A ⊆B ,则A=B ”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是( )A.0B.2C.3D.42.命题“∀x ∈R,x 2≠x ”的否定是( )A.∀x ∉R,x 2≠xB.∀x ∈R,x 2=x C.∃x 0∉R,≠x 0 D.∃x 0∈R,=x 0 3.阅读下面的程序框图,若输入a ,b ,c 的值分别是21,32,75,则输出的值是( )A.96B.10C.53D.1284.在一袋内分别有红、白、黑球3,2,1个，从中任取2个，则互斥不对立的两个事件是（ ）A. 至少有一个白球；都是白球B. 至少有一个白球；红、黑球各一个C. 至少有一个白球；至少有一个红球D. 恰有一个白球；一个白球一个黑球5.有四个游戏盘,如图,如果撒一粒黄豆落在阴影部分,则可中奖.小明希望中奖机会大一些,他应选择的游戏盘为 ( )6.从2004名学生中抽取50名组成参观团，若采用下面的方法选取，先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率是( )A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为251 002D ．都相等，且为1407.已知数据123 n x x x x ⋅⋅⋅，，，，是某市普通职工n （n≥3，n∈N*）个人的年收入,设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这n+1个数据中，下列说法正确的是（ ）A ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变8. 古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左一次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A. 336B. 3603C. 1326D. 5109.甲、乙两位同学约定周日早上8:00—8:30在学校门口见面，已知他们到达学校的时间是随机的，则甲要等乙至少10分钟才能见面的概率为( )A. 23B.13C.29D.7910. 集合和，分别从集合，中随机取一个数作为和，则方程表示焦点落在轴上的椭圆的概率是（）A. B. C. D.11．下列三图中的多边形均为正多边形，分别为正三角形、正四边形、正六边形，、是多边形的顶点，椭圆过且均以图中的为焦点，设图①、②、③中椭圆的离心率分别为，则（）A． B． C．D．12．设a，b∈R，则“2a＋2b＝2a＋b”是“a＋b≥2”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某学院的A,B,C三个专业共有1 200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院的A专业有380名学生,B专业有420名学生,则在该学院的C专业应抽取▲▲▲名学生.14.从这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 ▲▲▲15．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是 ▲▲▲ 16. 给出下列四个命题： ①命题“若，则”的逆否命题是真命题. ②“a ＜0”是“方程ax 2＋1＝0至少有一个负根”的充分不必要条件.③在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件.④设α,β∈,则“α<β”是“tan α<tan β”的充要条件;其中正确的命题是 ▲▲▲ (填序号).三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17.(本小题满分10分)某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，但可见部分，如图，据此解答下列问题：(1)求分数在[50,60]的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90]之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高．18.（本小题满分12分） 命题: 关于的不等式，对一切恒成立; 命题: 函数在上是增函数.若或为真，且为假， 求实数的取值范围.19.(本小题满分12分) 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，根据试验数据得到下图所示的散点图，其中x 表示零件的个数，y 表示加工时间（单位：小时）。
精品2019学年高二数学上学期第二次月考试题 文(含解析)人教版
2019学年第一学期高二第二次月考文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若，，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：考点：不等式性质2. 等差数列中，已知公差，且，则的值为（）A. 170B. 150C. 145D. 120【答案】C【解析】∵数列{a n}是公差为的等差数列，∴数列{a n}中奇数项构成公差为1的等差数列，又∵a1+a3+…+a97+a99=60，∴50+×1=60,,=145故选C3. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，则,故选B4. 设，，，则数列（）A. 是等差数列，但不是等比数列B. 是等比数列，但不是等差数列C. 既是等差数列又是等比数列D. 既非等差数列又非等比数列【答案】A【解析】因为，，，根据对数定义得：，，；而b-a=,c-b=, 所以b-a=c-b，数列a、b、c为等差数列．而, 所以数列a、b、c不为等比数列．故选A5. 三角形的两边之差为2，夹角的余弦值为，该三角形的面积是14，那么这两边分别为（）A. 3,5B. 4,6C. 6,8D. 5,7【答案】D【解析】三角形的两边a-c=2，cosB=，该三角形的面积是14，∵0＜B＜π，∴sinB＝,又14=ac,所以ac=35,∴这个三角形的此两边长分别是5和7．故选D．6. 函数的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,当且仅当即x=时取等号故选C7. 若均为单位向量，且，则的最小值为（）A. B. 1 C. D.【答案】A【解析】则当与同向时最大，最小，此时=，所以=-1，所以的最小值为，故选A点睛：本题考查平面向量数量积的性质及其运算律，考查向量模的求解，考查学生分析问题解决问题的能力，求出，表示出，由表达式可判断当与同向时，最小.8. 下列说法正确的是（）A. 命题“若，则”的否命题为：“若，则”B. 命题“若，则”的逆否命题为假命题C. 命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”D. 中，是的充要条件【答案】D【解析】命题“若，则”的否命题为：“若，则”故A错；命题“若，则”的逆否命题与原命题同真假，原命题为真命题，故B错；C. 命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”故C错；D.中，是的充要条件，根据正弦定理可得故D对；故选D9. 若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，又单调递减，所以，选A.10. 已知非零向量满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】非零向量满足，则由平行四边形法则可得，，令所以的取值范围是故选D点睛: 本题考查平面向量的运用，考查向量的运算的几何意义，考查运用基本不等式求最值，考查运算能力，非零向量满足，则由平行四边形法则可得，，令,则利用重要不等式可求解.11. ，，若，则的值是（）A. -3B. -5C. 3D. 5【答案】A【解析】，，若，∴设lglog310=m，则lglg3=-lglog310=-m．∵f（lglog310）=5，，∴=5, ∴,∴f（lglg3）=f（-m）==-4+1=-3故答案为A12. 等差数列中，是一个与无关的常数，则该常数的可能值的集合为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：因为数列{a n}是等差数列，所以设数列{a n}的通项公式为：a n=a1+（n-1）d，则a2n=a1+（2n-1）d，所以=，因为是一个与无关的常数，所以a1-d=0或d=0，所以可能是，故选A点睛：解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式，以及熟练掌握分式的性质，先根据等差数列的通项公式计算出a n=a1+（n-1）d与a2n=a1+（2n-1）d，进而表达出，再结合题中的条件以及分式的特征可得答案．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若不等式的解集，则__________．【答案】-10【解析】不等式的解集，是的两根，根据韦达定理得，解得所以故答案为-10.14. 已知，，则的最小值是__________．【答案】【解析】,当且仅当即b-1=2a,又，所以a=,b=时取等.故答案为.15. 已知满足，若是递增数列，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】,是递增数列,所以>0,所以，所以<n+2,所以<3故答案为点睛：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，利用是递增数列，则恒成立，采用变量分离即得解.16. 已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为__________．【答案】9【解析】试题分析：∵函数的值域为，∴只有一个根，即则，不等式的解集为，即为解集为，则的两个根为，，∴，解得，故答案为：．考点：一元二次不等式的应用．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知集合，，.（1）求，；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】试题分析: （1）解分式不等式，二次不等式得出集合A，B，进行交并补的运算.(2)是的充分不必要条件，,考虑，两种情况.试题解析:（1）,,（2）由（1）知，是的充分不必要条件，,① 当时，满足,此时，解得；② 当时，要使,当且仅当解得．综上所述，实数的取值范围为．18. 解关于的不等式：，.【答案】当时，不等式解集；当时，不等式的解集；当时，不等式的解集；当时，不等式的解集；....... ........试题解析：由题意可知，（1）当时，，不等式无解；（2）当时，不等式的解是；（3）当时，不等式的解是；（4）当时，不等式的解是；综上所述：当时，不等式解集；当时，不等式的解集；当时，不等式的解集；当时，不等式的解集；19. 已知.（1）最小正周期及对称轴方程；（2）已知锐角的内角所对的边分别为，且，，求边上的高的最大值. 【答案】(Ⅰ）的最小正周期为，(Ⅱ）【解析】试题分析：（1）先利用辅助角公式把化成形式,再求周期及增区间；（2）先利用已知条件得,再利用余弦定理及基本不等式得,最后由面积公式求得边上的高的最大值试题解析：（1）,由所以单调增区间是6分（2）由得由余弦定理得设边上的高为,由三角形等面积法知,即的最大值为． 12分考点：1.三角变换；2.余弦定理及面积公式；3.基本不等式.20. 已知满足.（1）求取到最值时的最优解；（2）求的取值范围；（3）若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）C（3,2）和B（2,4）（2）（3）【解析】试题分析：（1）画出可行域，找出直线交点坐标，移动目标函数，找到最优解（2）目标函数表示（x,y）与（2，-1）间斜率；（3）由于直线恒过定点（0,3）时，恒成立.试题解析：（1）由图可知：直线与直线交点A（1,1）；直线与直线交点B（2,4）；直线与直线交点C（3,2）；目标函数在C（3,2）点取到最小值，B（2,4）点取到最大值取到最值时的最优解是C（3,2）和B（2,4）（2）目标函数，由图可知：.（3）由于直线恒过定点（0,3）时，恒成立,或由题意可知， .21. 已知数列满足，，数列且是等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列中位于中的项的个数记为，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1），，可得，是等差数列得，从而得的通项公式（2）数列中位于中的项的个数记为，则，所以，即分组求和得出数列的前项和.试题解析：（1）由题意可知；，是等差数列，，.（2）由题意可知,,,,,22. 数列的前项和记为，，点在直线上，其中.（1）若数列是等比数列，求实数的值；（2）设各项均不为0的数列中，所有满足的整数的个数称为这个数列的“积异号数”，令（），在（1）的条件下，求数列的“积异号数”.【答案】（1）（2）1【解析】试题分析：（1）由题意知，可得），相减得，所以，当时是等比数列，要使时是等比数列，则只需=3，得出t（2）由（1）得，∴,作差可得数列递增，由，得当时，，即得解.试题解析：（1）由题意，当时，有两式相减，得即，所以，当时是等比数列，要使时是等比数列，则只需从而得出（2）由（1）得，等比数列的首项为，公比，∴∴∵，，∴∵，∴数列递增.由，得当时，.∴数列的“积异号数”为1.点睛：本题考查数列与的关系，注意当,注意检验n=1时，,是否符合上式，第（2）问时信息给予题，写出通项，研究的单调性，得出数列递增.由，即得解.。
华莹市二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
华莹市二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设集合3|01x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭,集合(){}2|220B x x a x a =+++>,若 A B ⊆,则的取值范围 （ ）A ．1a ≥B ．12a ≤≤ C.a 2≥ D ．12a ≤< 2． 已知直线 a 平面α，直线b ⊆平面α，则（ ）A ．a bB ．与异面C ．与相交D ．与无公共点3． 若复数z=2﹣i （ i 为虚数单位），则=（ ）A ．4+2iB ．20+10iC ．4﹣2iD ．4． 命题“∃x ∈R ，使得x 2＜1”的否定是（ ）A ．∀x ∈R ，都有x 2＜1B ．∃x ∈R ，使得x 2＞1C ．∃x ∈R ，使得x 2≥1D ．∀x ∈R ，都有x ≤﹣1或x ≥15． 已知2->a ，若圆1O ：01582222=---++a ay x y x ，圆2O ：04422222=--+-++a a ay ax y x 恒有公共点，则a 的取值范围为（ ）.A ．),3[]1,2(+∞--B ．),3()1,35(+∞-- C ．),3[]1,35[+∞-- D ．),3()1,2(+∞-- 6． 已知M N 、为抛物线24y x =上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为（ ）A ．240x y +-=B ．240x y --=C ．20x y +-=D ．20x y --=7． 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a=5，b=4，cosC=，则△ABC 的面积是（ ） A ．16B ．6C ．4D ．88． 已知向量(,1)a t =，(2,1)b t =+，若||||a b a b +=-，则实数t =（ ） A.2- B.1- C. 1 D. 2【命题意图】本题考查向量的概念，向量垂直的充要条件，简单的基本运算能力．9．一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为12π，则该几何体的体积是（）A．4πB．12πC．16πD．48π10．已知函数f（x）满足f（x）=f（π﹣x），且当x∈（﹣，）时，f（x）=e x+sinx，则（）A．B．C．D．11．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（）A．90种B．180种C．270种D．540种12．如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线段记为，，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）ABCD二、填空题13．若实数x，y满足x2+y2﹣2x+4y=0，则x﹣2y的最大值为．14．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在半径为的半球底面上，A、B、C、D四个顶点都在此半球面上，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为．15．（x﹣）6的展开式的常数项是（应用数字作答）．16．已知f（x）=，则f（﹣）+f（）等于．17．直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B（1，4），D（5，0），则直线l的方程为．18．给出下列命题：（1）命题p：；菱形的对角线互相垂直平分，命题q：菱形的对角线相等；则p∨q是假命题（2）命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题为真命题（3）“1＜x＜3”是“x2﹣4x+3＜0”的必要不充分条件（4）若命题p：∀x∈R，x2+4x+5≠0，则¬p：．其中叙述正确的是．（填上所有正确命题的序号）三、解答题19．某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关的数（2）据了解到，全小区节能意识强的人共有350人，估计这350人中，年龄大于50岁的有多少人？ （3）按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再从这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率．20．（本小题满分10分） 已知函数()2f x x a x =++-．（1）若4a =-求不等式()6f x ≥的解集； （2）若()3f x x ≤-的解集包含[]0,1，求实数的取值范围．21．已知函数f （x ）=a ﹣，（1）若a=1，求f （0）的值；（2）探究f （x ）的单调性，并证明你的结论；（3）若函数f （x ）为奇函数，判断|f （ax ）|与f （2）的大小．22．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，求抛物线的方程．23．双曲线C：x2﹣y2=2右支上的弦AB过右焦点F．（1）求弦AB的中点M的轨迹方程（2）是否存在以AB为直径的圆过原点O？若存在，求出直线AB的斜率K的值．若不存在，则说明理由．24．已知函数f（x）=的定义域为A，集合B是不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0的解集．（Ⅰ）求A，B；（Ⅱ）若A∪B=B，求实数a的取值范围．华莹市二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】考点：集合的包含关系的判断与应用.【方法点晴】本题主要考查了集合的包含关系的判定与应用，其中解答中涉及到分式不等式的求解，一元二次不等式的解法，集合的子集的相关的运算等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想、分类讨论思想的应用，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中正确求解每个不等式的解集是解答的关键. 2．【答案】D【解析】试题分析：因为直线a平面α，直线b⊆平面α，所以//a b或与异面，故选D.考点：平面的基本性质及推论.3．【答案】A【解析】解：∵z=2﹣i，∴====，∴=10•=4+2i，故选：A．【点评】本题考查复数的运算，注意解题方法的积累，属于基础题．4．【答案】D【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是∀x∈R，都有x≤﹣1或x≥1，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5． 【答案】C【解析】由已知，圆1O 的标准方程为222(1)()(4)x y a a ++-=+，圆2O 的标准方程为 222()()(2)x a y a a ++-=+，∵2->a ，要使两圆恒有公共点，则122||26O O a ≤≤+，即 62|1|2+≤-≤a a ，解得3≥a 或135-≤≤-a ，故答案选C6． 【答案】D【解析】解析：本题考查抛物线的焦半径公式的应用与“中点弦”问题的解法．设1122(,)(,)M x y N x y 、，那么12||||210MF NF x x +=++=，128x x +=，∴线段MN 的中点坐标为(4,2).由2114y x =，2224y x =两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-，而1222y y +=，∴12121y y x x -=-，∴直线MN 的方程为24y x -=-，即20x y --=，选D ． 7． 【答案】D【解析】解：∵a=5，b=4，cosC=，可得：sinC==，∴S △ABC =absinC==8．故选：D ．8． 【答案】B【解析】由||||a b a b +=-知，a b ⊥，∴(2)110a b t t ⋅=++⨯=，解得1t =-，故选B. 9． 【答案】B【解析】解：由三视图可知几何体是底面半径为2的圆柱，∴几何体的侧面积为2π×2×h=12π，解得h=3，∴几何体的体积V=π×22×3=12π．故选B ．【点评】本题考查了圆柱的三视图，结构特征，体积，表面积计算，属于基础题．10．【答案】D【解析】解：由f （x ）=f （π﹣x ）知，∴f （）=f （π﹣）=f （），∵当x ∈（﹣，）时，f （x ）=e x+sinx 为增函数∵＜＜＜，∴f（）＜f（）＜f（），∴f（）＜f（）＜f（），故选：D11．【答案】D【解析】解：三所学校依次选医生、护士，不同的分配方法共有：C31C62C21C42=540种．故选D．12．【答案】C【解析】根据题意有：A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）；A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的坐标为（0，7，12）；E的坐标为（4，3，12）（1）l1长度计算所以：l1=|AE|==13。
高二数学上学期第二次月考试题(含解析)
【2019最新】精选高二数学上学期第二次月考试题（含解析）高二数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 命题“且”的否定形式是（）A. 且B. 或C. 或D. 且【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N，f（n）∉N且f（n）≤n”的否定形式是：∃n0∈N，f（n0）∈N或f（n0）＞n0，故选C．点睛：(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M中的一个特殊值x0，使p(x0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则就是假命题.2. 若，则下列结论不正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得 ，所以有,故A 错，故选A.3. 已知抛物线的焦点恰好为双曲线的一个焦点，则的值为（ ）A. 4B.C. 8D.【答案】D【解析】抛物线的焦点为, 双曲线的焦点为,,, ,故选D.4. 已知的三个内角所对的边分别为，若，则（ ）A. 成等差数列B. 成等比数列C. 成等差数列D. 成等比数列【答案】C【解析】试题分析：由题意知:,根据正余弦定理得,,化简得,即,所以成等差数列,故选C.考点：1.正余弦定理；2.等差数列. 5. 给出如下四个命题：①若“且”为假命题，则均为假命题；②命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题为真命题；③若是的必要条件，则是的充分条件；④在中，“”是“”的充要条件.其中正确的命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】①：若“且”为假命题，则中至少有一个假命题，故①错误；②：若只有一个零点,则当时,只有一个零点,或当时即,故只有一个零点,有或,故②不正确;③若是的必要条件，则q是p的充分条件，因为若,所以若是的必要条件，则是的充分条件；故③正确；④：充分性：在中，若，则a>b，根据正弦定理，可得到，反之也成立，故④项正确.故选B.6. 已知数列满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵∴，∴∴故选C.7. 设满足约束条件，则目标函数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，表示可行域内的点与点的连线的斜率. 其中最大值为最小值为即目标函数的取值范围为，故选考点：1.简单线性规划的应用；2.直线的斜率.8. 已知是抛物线上的一个动点，是圆上的一个动点，是一个定点，则的最小值为（）A. 3B. 4C. 5D.【答案】B【解析】由抛物线方程,可得抛物线的焦点,准线为,又,即N与F重合.由抛物线的定义可得(d为P到准线的距离),圆的圆心设为,半径为1,如图,过圆的圆心M作抛物线的准线的垂线MH,交圆于Q,交抛物线于P,此时取得最小值,且为.故选B.点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．9. 已知，若恒成立，则实数的取值范围（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵x＞0，y＞0，且3x+2y=xy，可得，∴2x+3y=(2x+3y) =13+≥13+2=25，当且仅当x=y=5时取等号.∵2x+3y＞t2+5t+1恒成立，∴t2+5t+1＜25，解得-8＜t＜3.故选B.点睛：本题主要考查基本不等式求最值.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项（式）均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项（式）的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项（式）均相等，确保取得最值.10. 已知中，角的对边分别是，若，则是（）A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形【答案】C【解析】试题分析：∵，∴由正弦定理可得：，而，当且仅当时取等号．∴，即，又，故可得：，∴．又∵，可得，故三角形为等腰直角三角形．故选：C．考点：1．正弦定理；2．基本不等式．11. 已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的长圆与双曲线的两条渐近线相交于四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：根据对称性，不妨设在第一象限，则，∴，故双曲线的方程为，故选D.【考点】双曲线的渐近线【名师点睛】求双曲线的标准方程时注意：（1）确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1（AB＜0）．②若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ（λ≠0）．视频12. 已知数列的前项和为，，且成等比数列，成等差数列，则等于（ ）A. B. C. D.【答案】B.....................故数列等差数列；又由，可得,所以数列等差数列是首项为2，公差为1的等差数列.所以即，故，故，， 故，答案为B.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知数列}满足且，则__________.【答案】【解析】数列}满足,, , 可得, 数列的周期为3.14. 不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】试题分析：由已知可得，若,则恒成立；若，对不等式两边同除以可得恒成立，故，解之得，故应填。
2017-2018-高二上月考-华二附中
③ sin 2AOA sin 2BOB sin 2COC 0 ；④ OA OB OC 0 的点 O 依次为△ABC 的（ ）
A. 外心、内心、垂心、重心 C. 垂心、内心、重心、外心
B. 内心、外心、垂心、重心 D. 内心、垂心、外心、重心
公
加
添
word版
参考答案
一、填空题
1、
12 13
,
5 13
,
12 13
,
5 13
；2、
,
2,
2,
1 2
；3、
x
2
或
x
3
y
1
0
；4、
6
,
2
；
5、 x 2 y 1 0 ；6、 17 ；7、 3 ；8、[3 3,3 3] ；9、 21 ；10、①③⑤．
共线，O 为直线外一点，且 OP xOA yOB 时，x+y=1（如图 1)第二天，小郭提出了如下三个问题，请
同学帮助小郭解答. (1)当 x+y>1 或 x+y<1 时，O、P 两点的位置与 AB 所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理 由
(2)如图 2，射线 OM∥AB，点 P 在由射线 OM、线段 OA 及 BA 的延长线围成的区域内（不含边界）运动，
以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 d1, d2 , d3, d4 , d5 .若 m, M 分别为
(ai a j ak ) (dr ds dt ) 的最小值、最大值，其中{i, j, k} {1, 2,3, 4,5},{r, s,t} {1, 2,3, 4,5} ,则
上海市华东师范大学第二附属中学20192020学年上学期高二月考数学试卷无答案.doc
华二附中高二月考数学试卷一. 填空题1. 直线:51250l x y -+=的单位方向向量为2. 已知2a i j =-r r r ，b i k j =+r r r ，且a r 与b r 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是3. 若直线l 过点(P -，且与直线:20m x +=的夹角为3π，则直线l 的方程是4. 若直线:l y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取 值范围是5. 已知直线:10l x y --=，1:220l x y --=，若直线2l 与1l 关于l 对称，则2l 的方程为6. 函数y 的最小值为7. 在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点，若ABC ∆的面积为1，则2MB MC BC ⋅+u u u r u u u u r u u u r 的最小值为8. 如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点P 在大圆上，PA 与小圆相切于点A ，Q 为小圆上的点，则PA PQ ⋅u u u r u u u r 的取值范围是9. 已知平面上三个不同的单位向量a r 、b r 、c r 满足12a b b c ⋅=⋅=r r r r ，若e r 为平面内的任意单 位向量，则||2||3||a e b e c e ⋅+⋅+⋅r r r r r r 的最大值为10. 在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是 （写出所有正确命题的编号）① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；② 如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点；③ 直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；④ 直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数； ⑤ 存在恰经过一个整点的直线；11. 已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 为ABC ∆内一点，则 满足下列四个条件：① 0aOA bOB cOC ++=u u u r u u u r u u u r r ；② tan tan tan 0AOA BOB COC ++=u u u r u u u r u u u r r ； ③ sin 2sin 2sin 20AOA BOB COC ++=u u u r u u u r u u u r r ；④ 0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r的点O 依次为ABC ∆的（ ）A. 外心、内心、垂心、重心B. 内心、外心、垂心、重心C. 垂心、内心、重心、外心D. 内心、垂心、外心、重心12. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线1l 、2l 同侧，且P 到1l 、2l 的距离分别为 1、3，点M 、N 分别在1l 、2l 上，||8PM PN +=u u u u r u u u r ，则PM PN ⋅u u u u r u u u r 的最大值为（ ）A. 15B. 12C. 10D. 913. 如图所示，23BAC π∠=，圆M 与AB 、AC 分别相切于点D 、E ，1AD =，点P 是 圆M 及其内部任意一点，且AP x AD y AE =+u u u r u u u r u u u r （,x y R ∈），则x y +的取值范围是（ ）A. [1,4+B. [4-+C. [1,2D. [2-14. 已知点(,)M a b 与点(0,1)N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论： ① 3450a b -+>；② 当0a >时，a b +有最小值，无最大值；③ 221a b +>； ④ 当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93(,)(,)44-∞-+∞U ； 正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. 在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a u u r 、2a u u r 、3a u u r 、4a u u r 、5a u u r ，以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1d u u r 、2d uu r 、3d u u r 、4d uu r 、5d u u r ，若m 、M 为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++u r u u r u u r u u r u u r u u r 的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆，{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆，则m 、M 满足（ ）A. 0m =，0M >B. 0m <，0M >C. 0m <，0M =D. 0m <，0M <16. 已知直线:(2)()0l a b x a b y a b ++++-=及点(3,4)P ，问：（1）直线l 是否经过某个定点？若经过，求该定点的坐标，若不经过，说明理由；（2）当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程；17. 如图所示，PAQ ∠是某海海湾旅游区的一角，其中120PAQ ∠=︒，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米，AC 是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水上通道AD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米； （1）若规划在三角形ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC ∆的面积最大，那么AB 和AC 的长度分别为多少米？（2）在（1）的条件下，建直线通道AD 还需要多少钱？18. 定义“矩阵”的一种运算a b x ax by c d y cx dy +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，该运算的意义为点(,)x y 在矩阵a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭的变换下成点ax by cx dy +⎛⎫ ⎪+⎝⎭，设矩阵11A ⎛=⎪-⎭；（1）已知点P 在矩阵A 的变换后得到的点Q 的坐标为，试求点P 的坐标；（2）是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵A 变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这样的直线，若不存在，则说明理由；19. 小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，我们知道当P 、A 、B 三点共线，O 为直线外一点，且OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r 时，1x y +=（如图1），第 二天，小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答：（1）当1x y +>或1x y +<时，O 、P 两点的位置与AB 所在直线之间存在什么关系？写 出你的结论，并说明理由；（2）如图2，射线OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OA 及BA 的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，求实数x 的取值范围，并求当12x =时，实数y 的取值范围；（3）过O 作AB 的平行线，延长AO 、BO ，将平面分成如图3所示的六个区域，且OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，请分别写出点P 在每个区域内运动（不含边界）时，实数x 、y 应满足的条件（不必证明）；参考答案一. 填空题1. 125(,)1313或125(,)1313--2. 1(,2)(2,)2-∞--U 3. 2x =-或1x +=4. (,)62ππ5. 210x y --=6.7.8. [3+9.10. ①③⑤二. 选择题11. D 12. A 13. B 14. B 15. D三. 解答题16.（1）经过(2,3)-；（2）570x y ++=.17.（1）750米，1500米；（2）50万元.18.（1）1)4；（2）3y x =或y =. 19.（1）当1x y +>时，O 、P 两点位于直线异侧；当1x y +<时，O 、P 两点位于直线同侧；（2）(0,)+∞，1(,0)2-；（3）① 0x >，0y <，0x y +>；② 0x >，0y >；③ 0x <，0y >，0x y +>； ④ 0x <，0y >，0x y +<；⑤ 0x <，0y <；⑥ 0x >，0y <，0x y +<.。
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华二附中高二月考数学卷
2019.12
一. 填空题
1. 已知一个关于x 、y 的线性方程组的增广矩阵为112012⎛⎫
⎪⎝⎭，则x y -的值为 2. 已知直线l 的倾斜角为α，若4cos 5
α=-，则直线l 的斜率为 3. 椭圆22:431C x y +=的长轴长为
4. 已知非零向量a r 、b r 满足||2||a b =r r ，且()a b b -⊥r r r ，则a r 与b r 的夹角为
5. 经过原点(0,0)O 和点(1,1)P 且圆心在直线2310x y ++=上的圆的方程为
6. 已知点1(2,3)P ，2(4,5)P -，则过点(1,2)A -且与点1P 、2P 距离相等的直线方程为
7. 若方程0x y m +-=表示一条直线，则m 的取值范围是
8. 已知过焦点且倾斜角为arctan2的直线l 与椭圆2
2:14
x C y +=相交于A 、B 两点，则弦 长||AB 的值为
9. 已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，斜率为32
的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点 且满足||||4AF BF +=，则直线l 的方程为
10. 已知椭圆22
195
x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中 点在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是
11. 已知圆22:4C x y +=，斜率为k 的直线l 过点(0,1)F 与x 轴交于点E ，与圆C 交于点
M 、N ，若EM pFM =uuu r uuu r ，EN qFN =uuu r uuu r ，则p q +的取值集合为
12. 已知以(0,1)A 为圆心的圆与椭圆2
221x y a
+=（1a >）至多有3个公共点，则实数a 的取值范围为
二. 选择题
13. 点(3,4)A -关于直线20x y +-=的对称点是：（ ）
A. (3,4)-
B. (2,1)-
C. (2,5)-
D. (5,2)-
14. 设点A 、B 、C 不共线，则“AB uu u r 与AC uuu r 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>uu u r uuu r uu u r ”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
15. 已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A 、B 两点，若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为（ ） A. 2
212
x y += B. 22132x y += C. 22143x y += D. 22154x y += 16. 在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影，由区域200
340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩
中的点在直线20x y +-=上的投影构成的线段记为AB ，则||AB =（ ）
A. B. 4
C. D. 6
三. 解答题
17. 已知直线:38240l x y --=.
（1）写出直线的截距式方程；
（2
）若直线21:0l x a y --=与直线l 平行，求a 的值.
18. 已知圆22:(2)1C x y ++=，(,)P x y 为圆上任一点.
（1）求
21
y x --的最大值；（2）求2x y -的最小值.
19. 已知三条直线1:20l x y a -+=（0a >），2:4210l x y -++=，和3:10l x y +-=， 且1l 与2l
（1）求a 的值及1l 和3l 夹角. （2）能否找到一点P ，使得P 点同时满足下列三个条件：① P 是第一象限的点；② P 点 到1l 的距离是P 点到2l 的距离的12
；③ P 点到1l 的距离与P 点到3l
； 若能，求P 点坐标，若不能，说明理由.
20. 如图，设F 是椭圆22
134
x y +=的下焦点，直线4y kx =-
（0k >）与椭圆相交于A 、B 两点，与y 轴交于点P .
（1）若PA AB =uu r uu u r ，求k 的值；
（2）求证：AFP BFO ∠=∠；
（3）求△ABF 面积的最大值.
21. 已知椭圆22
22:1x y a b
Γ+=（0a b >>）的右焦点为F ，长轴长为4，O 为坐标原 点，A 为椭圆Γ上一点，M 为线段OA 上的动点，过M 的直线与椭圆Γ交于P 、Q 两点.
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）若PM MQ =uuu r uuu r ，证明：直线OA 的斜率与直线PQ 的斜率之积为定值；
（3）若2PM MQ =uuu r uuu r ，求四边形OPAQ 面积的最大值.
参考答案
一. 填空题
1. 2-
2. 34
- 3. 4. 3π 5. 22(4)(3)25x y -++= 6. 350x y +-=或1x =- 7. [0,1]
8. 20
17 9. 3
11
23y x =+
10.
11. 8
{}3 12.
二. 选择题
13. C 14. C 15. B
16. C
三. 解答题
17.（1）183x y -=；（2）3-.
18.（1；（2）2-19.（1）3a =，arctan3π-；（2）1
37
(,)918P .
20.（1）k =（2）证明略：（3.
21.（1）2
214x y +=；（2）1
4-；（3）3
2.。