线性代数模拟试题
线性代数模拟试题1
2、设 ，则 ___ __________.
3、已知3元非齐次线性方程组 的增广矩阵 经初等行变换化为： ，若方程组无解，则 的取值为____0________.
4、要使矩阵 的秩取得最小值，则 ______ ______.
5、已知 阶矩阵 有一个特征值为2，则 阶矩阵 必有一个特征值为_____-1______.
6、设 , 为 中元素 的代数余子式，则 _____0_______.
得分
评阅人
三、判断正误（共5小题，每题2分，共计10分）
1、若行列式 中每个元素都大于零，则 . ( X )
2、零向量是任一向量组的线性组合. ( )
3、任意 个 维向量必线性相关. （ ）
4、若 为可逆矩阵 的特征值，则 的特征值为 （ X ）
线性代数模拟试卷一
得分
评阅人
一、选择题（共6小题，每题3分，共计18分）
1、排列32514的逆序数为（ B ）
A． B． C． D．
2、设 ，则 （B）
A．-3 B．3 C．6 D．-6
3、设 是方阵且可逆，若 ,则必有（ A ）
A． B． C． D．
4、设 为3阶方阵， ，则其行列式 （ D ）
A． B． C． D．
5、设矩阵 与矩阵 相似，则 . ( )
得分
评阅人
四、计算题（共5小题，每题8分，共计40分）
1、计算行列式
解： (3分)
2、设 ,且 ,求
解：矩阵方程可化为： （2分）
,（3分）
3、解线性方程组 ，要求利用导出组的基础解系表示其通解.
解： （3分）
相应的方程组 ， （2分）
相应的齐次方程组 ， （2分）
四川大学网络教育学院 线性代数1 模拟题和答案。汇编
《线性代数》模拟试题１１.解释下列概念（１）向量组的秩答：一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数（２）线性方程组的解的结构答：齐次线性方程组Ax=0的通解非齐次线性方程组Ax=b的通解（３）克拉默法则答：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式D≠0。
有唯一解，其解为（４）方阵的特征值和特征向量答：设A为n阶方阵，若数λ和n维的非零列向量x，使关系式Ax=λx成立，则称数λ为方阵A 的特征值，非零向量x称为A的对应与特征值λ的特征向量。
２.已知下列矩阵和向量,,,(a)计算下列表达式（１）Ａ-Ｂ答：（２）｜Ｂ｜答：（３）ＡＢ答：（４）Ｂ-１答：(b)用克拉默法则求方程组AX=b,其中X=(X1,X2,X3)答：(c)求C的特征值和特征向量《线性代数》模拟试题21.解释下列概念（１）矩阵的转置答：它将矩阵的每一行变成列，那么原先的每一列就会变成行，简单点说就是行列互换。
（２）Ｎ维向量答：N 个有次序的数a 1,a 2..a n 所组成的数组称为N 维向量（３）向量线性相关的条件：答：向量组a 1,a 2..，a s (s>=2)线性相关的充要条件是a 1,a 2..，a s 中至少有一个向量可由其余向量线性表示（４）矩阵的相似条件答：对于矩阵A、B，如果能找到n 阶可逆矩阵P，使得：P^(-1)AP=B，则A、B 矩阵相似２.计算行列式答：３.计算下列矩阵的乘法答：４.计算矩阵的逆答：５.用克拉默法则求方程组答：６.求下列矩阵的特征值和特征向量答：《线性代数》模拟试题3１.解释下列概念（１）总结齐次和非齐次线性方程组有解的条件答：非齐次线性方程组有解的条件：系数矩阵的柣等于增广矩阵的柣；齐次方程组有唯一零解的条件：系数行列式的值为0，不为0就有无穷多解（２）向量线性无关的条件答：满秩是向量组线性无关的充要条件（３）伴随矩阵答：n阶方阵A的元素的代数余子式组成的矩阵称为A的伴随矩阵A*（４）矩阵的转置答：它将矩阵的每一行变成列，那么原先的每一列就会变成行，简单点说就是行列互换。
大一线性代数模拟试卷及标答(A)[1]
![大一线性代数模拟试卷及标答(A)[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/49f4ae95d0d233d4b14e6978.png)
n A A2AR A=n)(-n--1n2武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数 （ A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分）1、3-；2、12d b c a -⎛⎫ ⎪-⎝⎭； 3、k(12ξξ-),k ∈R ； 4、3； 5、 3. 二、选择题（每小题3分，共15分）1、C2、A3、B4、D 5 、D三、解答题（每小题8分，共32分）1、 13233331125132320112501A A A ----+=-- ………………………………………………………………（3分） 0= ………………………………………………………………（8分）2、 由X AX B =+ 得()E A X B -= ……………………………………………………………（2分）因(,)E A B -=110111012010253--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭～101200111100333-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭～100310102000111-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭………………………………………………（6分）所以 X=312011-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭………………………………………………………………（8分） 3、 因*112A A A A --==， ……………………………………………………………（2分） 所以*1111()233A A A A ---+=+ …………………………………………………………（4分）= 15A - = 5n 1A - …………………………………………………………（6分）=5n 1A -=52n………………………………………………………………（8分） 4、记()123,,A ααα=，设112233x x x βααα=++. ……………………………………… （2分）解法一： 1111(,)22230323A a b a a b β-⎛⎫ ⎪=+-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭ ～ 1111010323a b a a b -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-+-⎝⎭～ 111101000ab a b -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭………………… …………………（4分） 故当 0a ≠且b a ≠时，方程组有唯一解，即β能由123,,ααα线性表示，且表示式唯一； ………（6分）此时，(,)A β ～ 1100110100010a a ⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，1211(1)a a βαα=-+. ………………… …………………（8分） 解法二：111222()032A a b a a b a a b-=+--=--+ ………………… …………………（2分）故当 0a ≠且b a ≠时，方程组（1）有唯一解，即β能由123,,ααα线性表示，且表示式唯一；……（4分）此时，1111(,)22230323A a b a a b β-⎛⎫ ⎪=+-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭ ～ 1111010323a b a a b -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-+-⎝⎭～ 111101000ab a b -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭～ 1100110100010a a ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ………… …………………（4分） 1211(1)a aβαα=-+………… ……………………………………（8分）四（14分）、系数矩阵为 111111a A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，增广矩阵为113112112a a B a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭， （1）解法一 B ～2112011001133a a aa a a -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭～112011000(1)(2)33a a a a a a -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭… …………………（4分） 当1a ≠且2a ≠-时，()()3R B R A ==，方程组有唯一解；当2a =-时，B ～112203300009--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，()3,()2R B R A ==，方程组无解；当1a =时，B ～111200000000-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，()()13R B R A ==<，方程组有无穷多个解。
25线性代数远程模拟题3nbsp更新
难度：1
3.设A是2阶矩阵，若 （）
A. 1
B. -1
C. 2
D. -2
答案：A
题型：单选题
知识点：3.1矩阵的运算
难度：1
4．设A，B为n阶方阵，且 ，则下列命题正确的是（）
A.
B.
C.
D.
答案：C
题型：单选题
知识点：3.3 矩阵的转置
难度：1
5.向量组 的秩为（）
A . 1
B.2
C.3
D.4
答案：
难度：2
9．矩阵 ，则
答案：
题型：填空题
知识点： 3.1 矩阵的运算
难度：1
10．行列式 ____
答案：5
题型：填空题
知识点：1.6行列式的计算
难度：2
11．计算行列式
答案：
题型：计算题
知识点：1.6行列式的计算
难度：2
12.用克莱姆法则求解
答案:（1,-2,3,-1）
题型:计算题
知识点：2.1克莱姆法则
难度：2
13.把向量 表成向量 的线性组合：
答案:不能表示成线性组合
题型:计算题
知识点：2.5线性相关性
难度：2
14.设向量组 可以由向量组 线性表出，证明
答案:根据线性相关性及线性无关的定义
题型:证明题
知识点：2.5线性相关性
难度：3
15..用正交替换把
化成标准型。
答案:
题型:解答题
知识点：5.2用正交替换化实二次型为标准型
题型：单选题
知识点：2.4 nห้องสมุดไป่ตู้向量空间
难度：1
6.若 ____。
答案：4
线性代数模拟考试题（4套）
线性代数模拟考试题（4套）模拟试题⼀⼀、判断题：（正确：√，错误：×）（每⼩题2分，共10分）1、若B A ,为n 阶⽅阵，则 B A B A +=+. ……………………( )2、可逆⽅阵A 的转置矩阵T A 必可逆. ……………………………( )3、n 元⾮齐次线性⽅程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…( )4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………( )5、设A 是n 阶⽅阵，且0=A ，则矩阵A 中必有⼀列向量是其余列向量的线性组合.…………………………………………………………( ) ⼆、填空题：(每空2分，共20分)1、,A B 为 3 阶⽅阵，如果 ||3,||2A B ==，那么 1|2|AB -= .2、⾏列式中元素ij a 的余⼦式和代数余⼦式,ij ij M A 的关系是 .3、在5阶⾏列式中，项5541243213a a a a a 所带的正负号是 .4、已知()??-==256,102B A 则=AB .5、若?--=1225A ，则=-1A . 6、设矩阵--2100013011080101是4元⾮齐次线性⽅程组b Ax =的增⼴矩阵,则b Ax =的通解为 .7、()B A R + ()()B R A R +.8、若*A 是A 的伴随矩阵，则=*AA .9、设=A-500210111t ，则当t 时，A 的⾏向量组线性⽆关.10、⽅阵A 的特征值为λ，⽅阵E A A B 342+-=，则B 的特征值为 . 三、计算：(每⼩题8分，共16分) 1、已知4阶⾏列式1611221212112401---=D ，求4131211132A A A A +-+.2、设矩阵A 和B 满⾜B A E AB +=+2，其中=101020101A ，求矩阵B .四、(10分) 求齐次线性⽅程组=++-=-++=--+-=++-0242205230204321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解.五、(10分) 设三元⾮齐次线性⽅程组b Ax =的增⼴矩阵为+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011λλλλλλλλλλ，讨论当λ取何值时，b Ax =⽆解，有唯⼀解和有⽆穷多解，并在⽆穷多解时求出通解.六、(10分) 判断向量组---=? --=? =? -=1622,4647,3221,1123:4321a a a a A 的线性相关性，如果线性相关，求⼀个最⼤⽆关组，并⽤它表⽰其余向量. 七、综合计算：（本题14分）已知⼆次型31232221321422),,(x x x x x x x x f --+= （1）求⼆次型所对应的矩阵A ，并写出⼆次型的矩阵表⽰；（2）求A 的特征值与全部特征向量；（3）求正交变换PY X =化⼆次型为标准形, 并写出标准形；（4）判断该⼆次型的正定性。
2023线性代数期末模拟试题(三)
期末模拟试题(三)一．判断题（每小题2分，共5小题10分）正确的选“T”，错误的选“F”1. ,,. ( )A B AB O A B O ==若矩阵满足且可逆,则一定有2. . ( )可逆矩阵的逆矩阵不唯一3. ,,. ( )A B AB AB A B 若矩阵满足乘积为方阵则一定有=4. ,. ( )矩阵的行秩与列秩相等但是不等于矩阵的秩 5. ,. ( )n A A 若阶矩阵特征值都为单根则与对角矩阵相似 二．选择题（每小题2分，共10小题20分）1. (),( ).n A B k 对阶可逆矩阵、其中为非零常数下列错误的是A. ()T T T A B A B +=+11B. ()A A--=111C. ()AB A B ---=111. ()D kA A k --=1112131131123213332122232122233132333132332222. ,, ( ).a a a a a a a a a C a a a P PC a a a aa a a a a P +++===⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设矩阵为初等矩阵,若则100A. 020010⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100B. 010201⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭120C. 010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭102D. 010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3. ,,,,,,( ).P Q R X n P Q PXQ R X ==设都是阶方阵且可逆则矩阵方程的解11A. RP Q --11B. P RQ --11C. RQ P --11D. P Q R--4. ,3,3( ).T A n A A A A ==设为阶方阵若的行列式则A. 3n 1B. 3n +2C. 3n +22D. 3n +3005. ,,()2,512,( ).5646A B R A B x x ===⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭已知同型矩阵等价且则A. 8B. 4C. 2D. 312126. ,(),( ).,,,,,,,n n b A αααααα= 已知向量组且则下列说法错误的是12A. , ,,,n AX b b ααα= 若有无穷多解则可由线性表出且表示式不唯一12B. , ,,,n AX b b ααα= 若有唯一解则可由线性表出且表示式唯一12C. ,,,,n AX b b ααα= 若无解则不能由线性表出D. ()(),AX b R A R A AX b =≠=若满足条件则有解7. ,0( ).A m n AX ⨯=若为矩阵则方程组仅有零解的充要条件为A. A 的列向量线性无关 B. A 的列向量线性相关C. A 的行向量线性无关D. A 的行向量线性相关8. ,02080,( ).A A I A I A I A -=+=+==设的为三阶矩阵且，，则A.1 B. 2 C.16- D. 8-2009. =020( ).005Λ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭下列矩阵与对角矩阵相似的矩阵是200A. 320005⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭200B. 0210005⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭246C. 020005⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭200D. 820315-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭22212312312132310. ( ).(,,)22446f x x x x x x x x x x x x =---++二次型的矩阵为122A. 223232----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭131B. 223332---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭122C. 223232---⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭121D. 222242----⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭三．填空题(每小题2分,共5小题10分)11231. 34,45,(34) .2131T A B A B -==-+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设则321003702. , .245dc A y A x y z a b=已知四阶行列式则元素的代数余子式的值为1123. , .34A A -==⎛⎫⎪⎝⎭已知矩阵则其逆矩阵1234. (1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,)2, .a a ααα=-===若向量组的秩为则5. ,248, .A 若是三阶方阵其特征值分别为、、则逆矩阵的特征值为四．计算题(第1、2小题每题8分,第3、4、5、6小题每题9分，共52分)130621511. ,,2,2.02121476A A A A ---=--⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭设矩阵求1212222. ,()2,.15103A A R A a A a -----==--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭已知矩阵矩阵的秩求的值和矩阵的标准形13. 24, (1) 2320 (2) 030,.003n A B A B B I A I A B -⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=---=已知阶矩阵和满足条件证明可逆；已知求12344. (2,0,1),(0,1,1),(1,1,2),(5,0,5),,.T T T T αααα===--=已知向量组求向量组的秩和一个 极大无关组并将其余向量用该极大无关组线性表出12413123415. 22.30x x x x x x x x x -==---=+⎧⎪+⎨⎪⎩求非齐次线性方程组的通解21226. 224,242 (1) (2)()35,()..A f x x x A f A -=---=+-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭设矩阵求矩阵的特征向量和特征值；若多项式求方阵的多项式的特征值五．证明题(8分)123123112223313123 ,,,+2,3,,,==+4=5+6,,αααββββααβααβααβββ已知向量组线性无关且向量组满足判定向量组的线性相关性,并证明.,。
线性代数模试题试题库(带答案)
,
A= 2−1
1 1
−2 −1
1
=
13
−1
3
2 3
1
3
解：
= A−1
= A01−1 A02−1
1
−2
0
0
−2 5 0 0
0 0 13 −1 3
0
0
2 3
1 3
四、证明题(每小题 5 分，共 10 分)
19、设 n 阶方阵 A 满足 ( A + E )3 = 0 ，证明矩阵 A 可逆，并写出 A 逆矩阵的表达式。
即行列式 D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以 D = (−1)n D 。
3、设
A
=
1 0
1 1 ,
则
A100
=
1 0
100
1
。
= A2
1 0
= 11 10 11
= 10 12 , A3
1 0
= 12 10 11
因为： A∗ =A A−1 =−2A−1 ⇒ 4A−1 + A∗ =4A−1 − 2A−1 =2A−1 =8 A−1 =−4 。
1 0 2 2、 A 为 5×3 矩阵,秩( A )=3, B = 0 2 0 ,则秩( AB )= 3 。
0 0 3 因为 B 可逆， AB 相当于对 A 作列初等变换，不改变 A 的秩。
C.5
D.6
1 2 1 0 1 2 1 0
通过初等变换，由秩为 2 可得： 3
−1 0
2
0
−7
−3
线性代数模拟试题及答案(三套)
第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分)1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12i j ==。
令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。
2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D =(1)n D- 。
即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D =(1)n D-。
3、设1101A ⎛⎫=⎪⎝⎭, 则100A =110001⎛⎫ ⎪⎝⎭。
23111112121113,,010*********A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =15n +。
由矩阵的行列式运算法则可知：1555n n A A +==。
5、A 为n 阶方阵,TAA E =且=+<E A A 则,0 0 。
由已知条件：211,1T T TAA E AA A A A E A A =⇒====⇒=±⇒=-， 而 ：0TTA E A AA A E A A A E A E A E +=+=+=+=-+⇒+=。
6、设三阶方阵2000023A x y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可逆，则,x y 应满足条件32x y ≠。
可逆，则行列式不等于零：2002(32)032023A x y x y x y ==⨯-≠⇒≠。
二、单项选择题(每小题4分，共24分) 7、设0333231232221131211≠=M a a a a a aa a a ，则行列式=---------232221333231131211222222222a a a a a a a a a A 。
A ．M 8 B ．M 2 C ．M 2- D ．M 8-由于 ()()111213111213111213331323331323321222321222321222331323322222228(1)8222a a a a a a a a a a a a a a a a a a M a a a a a a a a a ------=-=--=---8、设n 阶行列式n D ，则0n D =的必要条件是 D 。
大学线性代数考试模拟试题A
一、（8分）计 算nnnn n a a a b a a a b a a a b a a a D---=22222111111111解： nnc c c c c c a b a b a b D n n n n n 000001000221111111---=++-+--- …..5 ()()().121212n n n b b b -+-= (8)二、（8分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ,150421321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=B 求.23B A A AB T 及-解： 3AB -2A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11111111121504213211111111113 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----22942017222132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321111111111B A T ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=092650850三、（12分）设 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011324AAB = A + 2B ，求B解： (A -2E )B =A 所以B =(A -2E )-1A (4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------9122100692010683001~),2(A E A (10)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=∴9122692683B (12)四、（12分）求非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+3223512254321432121x x x x x x x x x x解 对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100013011080101 322351211250011~r B…6.与所给方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=213 843231x x x x x .当x 3=0时, 得所给方程组的一个解η=(-8, 13, 0, 2)T. (9)与对应的齐次方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧==-=043231x x x x x .当x 3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(-1, 1, 1, 0)T (12)五、（10分）设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知η1, η2, η3是它的三 个解向量. 且 η1=( 1, -1, 2, 5)T , η2+η3=(2, -2, 3, 4)T,求该方程组的通解.解 由于方程组中未知数的个数是4, 系数矩阵的秩为3, 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量 (2)且由于η1, η2, η3均为方程组的解, 由非齐次线性方程组解的结构性质得2η1-(η2+η3)=(η1-η2)+(η1-η3)= (0, 0, 1, 6)T为其基础解系向量 (6)故此方程组的通解: x =k (0, 0, 1, 6)T+(1, -1, 2, 5)T, (k ∈R ) (10)六、（10分）成立使得一组数证明必存在全不为零的个向量都线性无关但其中任意线性相关若向量组0,,,,,,,,112211121121=+++++++m m m m m m m m a k a k a k a k k k k k m a a a a解：用反证法成立使得一组数所以必存在不全为零的线性相关由已知0,,,,,,,112211121121=+++++++m m m m m m m m a k a k a k a k k k k k a a a a ..30=i k 假设，,,,111111*********=++++++++++--++-m m m m i i i i m m i i a k a k a k a k a k a k k k k k k k 使得数则存在不全为零的一组 (7)，所以假设错误个向量都线性无关矛盾这与已知任意m ，成立使得数故存在全不为零的一组0,,,112211121=++++++m m m m m m a k a k a k a k k k k k (10)七、（15分）设 ()4,3,2,11-=Tα, ()1,4,3,22-=Tα , ()3,8,5,23--=Tα,()12,9,26,54--=T α , ()2,1,4,35-=T α , 求 向 量 组 54321,,, , ααααα 的秩及最大无关组, 并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示. 解：令 []54321 ααααα=A ， 对 A 作 初 等 行 变 换：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→0000012100101691035221A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→0000121001201015001........8 所以向 量 组 54321,,, , ααααα 的秩=3 (10)321,,ααα 是 它 的 一 个 最 大 无 关 组……… 12 321532141225αααααααα++-=-+= (15)八、（10分）已知3阶矩阵A 的特征值为1, -1, 2,235A A B -=设矩阵*1A A B +-及试求行列式解 因为A 的特征值全不为0, 知A 可逆, 故A*=|A|A -1. 而|A |=λ1λ2λ3=-2, (3)所以 111*12-----=-=+A A A A A (5)2111*1=-=-=+--A A A A ............8 若令B =ϕ(A ), 有235)(λλλϕ-=, 故ϕ(A )的特征值为ϕ(1)=-14, ϕ(-1)=-6, ϕ(2)=-12,..10 于是|B |=(-14)(-6)⋅(-12)=-288 (10)九、（15分）设二次型322322213212334),,(x x x x x x x x f +++=.),,()1(:321A x x x f 的矩阵求二次型求解以下问题(2)求A 的特征值及特征向量.(3)求正交变换x=py ，使f 化为标准型解 二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=310130004A (3)2)4)(2(3101304λλλλλλ--=---=-E A 得A 的特征值为λ1=2, λ2,3=4 (6)当λ1=2时, 解方程(A -2E )x =0, 得特征向量p 1=(0, 1, -1)T (8)当λ2,3=4时, 解方程(A -4E )x =0得特征向量 p 2=(1, 0, 0)T. p 3=(0, 1, 1)T (10)p 2, p 3 恰好正交.所以 p 1 p 2，p 3两两正交,再将p 1 p 2，p 3单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212101p ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0012p ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=212103p ………….12 故所求正交矩阵()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==2102121021010,,321p p p p ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-4421AP P 则 (15)。
《线性代数》(经管类)模拟试题一
《线性代数》（经管类）模拟试题一一、单项选择题1．如果将n 阶行列式中所有元素都变号，该行列式的值的变化情况为（ ）A ．不变B ．变号C ．若n 为奇数，行列式变号；若n 为偶数，行列式不变D ．若n 为奇数，行列式不变；若n 为偶数，行列式变号2．设A ，B ，C ，D 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位方阵，下列命题正确的是（ ）A ．若02=A ，则0=AB ．若A A =2，则0=A 或E A =C ．若AC AB =，且0≠A ，则C B =D ．若BA AB =，则2222)(B AB A B A ++=+3．设A 为n m ⨯矩阵，若齐次线性方程组0=AX 只有零解，则对任意m 维非零列向量b ，非齐次线性方程组b AX =（ ）A ．必有唯一解B ．必无解C ．必有无穷多解D ．可能有解，也可能无解4．设βααα,,,321均为n 维向量，又βαα,,21线性相关，βαα,,32线性无关，则下列正确的是（ ）A ．321,,ααα线性相关B ．321,,ααα线性无关C ．1α可由βαα,,32线性表示D ．β可由21,αα线性表示5．设0λ是可逆矩阵A 的一个特征值，则（ ）A ．0λ可以是任意一个数B ．00>λC ．00≠λD ．00<λ二、填空题 6．=00000000a b ba b a ab ______________7．三阶行列式154222321=D ，则=++131211|A A A __________8．设A ，B 均为n 阶矩阵，E AB =2)(，则2)(BA =__________ 9．设A 为n 阶方阵，且2=A ，*A 为A 的伴随矩阵，则1*-+A A =_________10．单个向量α线性相关的充要条件是__________11．设向量组m ααα,,,21 的秩为r ，则向量组m αααααα++++ 21211,,,的秩为_________ 12．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=83102113201t A 的秩为2，则t=___________13．设0=AX 为一个4元齐次线性方程组，若321,,ξξξ为它的一个基础解系，则秩（A ）=_________14．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110101011A ，则A 的特征值为_________15．设3元实二次型AX X x x x f T =),,(321经正交变换化成的标准形为213y f =，则矩阵A 的特征值为_________三、计算题16．计算4阶行列式4433221100000000a b b b b a b a D =17．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0121A ，又23)(2+-=x x x f ，求)(A f 18．设向量组)0,1,1(1-=α，)1,4,2(2=α，)1,5,1(3=α，)1,0,0(4=α，求该向量组的秩，并判断其线性相关性。
线性代数模拟测试题(3)
《线性代数》模拟试题一、填空题（30分）1.设A 是n 阶方阵（2n ≥）,且||1A = 则|2|A =2.1301n⎛⎫= ⎪⎝⎭3．10m n 齐次线性方程组A 有非零解的充要条件是⨯⨯=n X4．线性表示式为，由），（则）（），（212134,1,1,12ααβααTT T =-==5．线性），，（），，（），，（向量组TT T 242,020,101321===ααα 6．的矩阵表示是）（二次型23312121321242,,x x x x x x x x x f +-+= 7.若向量组12,,s ααα可由向量组12,,t βββ线性表示, 则有1212(,,,,,)s t r αααβββ 12(,,)t r βββ8．实对称矩阵A 的不同特征值对应的特征向量一定9．三阶行矩阵的三个特征值分别为1， 2，3，则1-A =______ 10．若n 阶矩阵A 与B 相似，且A 2=A, 则B 2=二、单项选择题（10分）11．A B C ，，为同阶矩阵，若ABC E =，则下列各式成立的是 ( ).A.1A BC -=B.111C A B ---=C. 111A B C E ---=D.1B AC -= 12．设1234(1,0,0),(0,1,0),(2,2,0),(1,1,1)αααα====则对向量组1234,,,αααα说法正确的是（ ）A. 相关B. 无关C. 秩为4D.相互正交 13．n 阶矩阵A 经过若干次初等变换后化为A 为B ,则（ ）A.||||A B =B.()()r A r B =C.,A B 相似D.,A B 合同 14．n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充要条件是（ ）A.有n 个线性无关的特征向量.B.A 有n 个不同的特征值.C.A 的n 个列向量线性无关.D.A 有n 个非零的特征值.15. 二次型3222212132142),,(x x x x x x x x x f +++=的秩等于 ( ) A. 0 B. 1 C.2 D. 3三、计算题（54分）16．计算n 阶行列式0321021301321 ------n n n17．已知2111011,,001A A AB E B -⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭求．18．设有线性方程组123123123(1)0(1)3(1)x x x x x x x x x λλλλ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 问λ取何值时此方程组(1)有唯一解(2)无解(3)有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解. 19．给定向量组123(1,1,1,1),(3,1,1,3),(1,1,0,2)ααα=--==；12(2,0,1,1),(3,1,2,0)ββ==- 请求出123,,ααα和12,ββ的秩，并用123,,ααα表示12,ββ。
04184线性代数模拟测试题(二)
04184线性代数模拟测试题（二）一、单项选择题：（每小题4分，本题共32分）1.A*是A的伴随矩阵，且，刚A的逆矩阵才=( )。
A.AA*B.A*C.D.A′A*2．设2阶行列式＝－1，则=Α.-2B.-1C.1D.23.如果两个同维的向量组等价，则这两个向量组（）.A.相等;B.所含向量的个数相等；C.不相等;D.秩相等.4．设线性方程组有非零解，则k的值为（）A.-2B.-1C.1D.25.设向量组α＝（1，0，0）T，＝（0，1，0）T，下列向量中可以表为α，线性组合的是（）A.（2，1，0）TB.（2，1，1）TC.（2，0，1）TD.（0，1，1）T6．设A＝，且A的特征值为1，2，3，则x＝（）A.-2B.2C.3D.47．设矩阵Α＝，则二次型x TΑx的规范形为（）A.B.C.D.8.对于两个相似矩阵，下面的结论不正确的是（）.A.两矩阵的特征值相同;B.两矩阵的秩相等;C.两矩阵的特征向量相同;D.两矩阵都是方阵。
二、填空题：（每小题4分，本题共20分）1.若行列式：=0 ,则x=_______。
2.已知矩阵A＝（1，2，－1），B＝（2，－1，1），且C＝ΑT B，则C＝___________.3.设=(1 1 0),=(0 3 0),=(1 2 0)，则=_______。
4.设线性方程组有解，则数a，b，c应满足__________.5．二次型f（x1，x2，x3）＝x1x2＋x2x3的矩阵为__________.三、计算题：（每小题8分，本题共40分）1.设A＝，其中αi≠0（i＝1，2，3，4），求Α－1.2.设矩阵A＝，求A2－3A＋E.3.计算行列式:4.设线性方程组确定α，b为何值时方程组有无穷多解并求出其通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.5.求向量组α1=（1，2，1，4）T，α2=（0，3，－1，－3）T，α3＝（1，-2，8，8）T，α4＝（2，3，8，9）T的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表出.四、证明题（本题共8分）1.设A,B为r阶矩阵，且证明：成立的充要条件是。
线性代数模拟试题及答案1
线性代数模拟试题及答案1、判断题（本题共5⼩题，每⼩题3分,共15分.下列叙述中正确的打V,错误的打X.）1. 图解法与单纯形法，虽然求解的形式不同，但从⼏何上理解，两者是⼀致的?（）2. 若线性规划的原问题有多重最优解，则其对偶问题也⼀定具有多重最优解.（）3. 如果运输问题单位运价表的某⼀⾏（或某⼀列）元素分别加上⼀个常数k ，最优调运⽅案将不会发⽣变化?（）的最优解，但⽬标函数相差：n+c. （）5.影⼦价格是对偶最优解，其经济意义为约束资源的供应限制?（）、填空题（本题共8⼩题,每空3分,共36分.把答案填在题中横线上.）1、在线性规划问题的约束⽅程 A m n X b,X 0中，对于选定的基B,令⾮基变量畑0,得到的解X= ______________ ;若 _______________ ，则称此基本解为基本可⾏解2、线性规划试题中，如果在约束条件中出现等式约束，我们通常⽤增加 ____________________ 的⽅法来产⽣初始可⾏基。
3、⽤单纯形法求解线性规划问题的迭代步骤中，根据k ____________________________ 确定X k 为进基变量;根据最⼩⽐值法则 = ______________________________ ，确定X r 为出基变量。
4、原问题有可⾏解且⽆界时，其对偶问题 ___________________ ，反之，当对偶问题⽆可⾏解时，原问题 __________________ 。
5、对于Max 型整数规划问题，若其松弛问题的最优单纯形表中有⼀⾏数据为：6、原问题的第1个约束⽅程是“=”型，则对偶问题相应的变量是 __________________ 变量7、⽤LINGO 软件求解整数规划时，要说明变量 X 是只可以取0或1的整数变量，则要⽤c ij x ij4.对于极⼤化问题max Z = i 1 j 1,令cn nm inWb j xij ，则利⽤匈⽛利法求解时，极⼤化问题的最优解就是极⼩化问题max C ij , b ijC Cij转化为极⼩化问题___________ 令函数&⽤匈⽛利法解分配问题时，当 ____________________ 则找到了分配问题的最优解；称此时独三、解答题（本题共6⼩题,共49分）maxz 3为4x2 X31、已知线性规划问题X1 2X2 3X3 6，利⽤对偶理论证明其⽬标函数值⽆界。
自考考试：工程数学线性代数模拟试题及答案
自考考试：工程数学线性代数模拟试题及答案一、单选题（共15题，共30分）1.某人打靶3发，事件Ai表示“击中i发”，i=0,1,2,3.那么事件A=A1∪A2∪A3表示A.全部击中B.至少有一发击中C.必然击中D.击中3发正确答案：B2.对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有∙ A.X和Y独立∙ B.X和Y不独立∙ C.D(X+Y)=D(X)+D(Y)∙ D.D(XY)=D(X)D(Y)正确答案：C3.下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.正确答案：D4.设随机变量X～N(u,4²),Y～N(u,5²),P1=P{X≤u-4},P2=P{Y≥u+5},则有∙ A.对于任意的u,P1=P2∙ B.对于任意的u,P1<P2∙ C.只对个别的u，才有P1=P2∙ D.对于任意的u,P1>P2正确答案：A5.设X为随机变量，其方差存在，c为任意非零常数，则下列等式中正确的是∙ A.D(X+c)=D(X)∙ B.D(X+c)=D(X)+c∙ C.D(X-c)=D(X)-c∙ D.D(cX)=cD(X)正确答案：A6.设c为从原点沿y²=x至1+i的弧段，则∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.正确答案：D7.设c为不经过点1与1的正向简单闭曲线，则∙ A.∙ B.∙ C.0∙ D.(A)(B)(C)都有可能正确答案：D8.设:c1：|z|为负向，c2:|z|3正向，则∙ A.-2πi∙ B.0∙ C.2πi∙ D.4πi正确答案：B9.设c为正向圆周|z|=2，则∙ A.-sin1∙ B.sin1∙ C.-2πi sin1∙ D.2πi sin1正确答案：C10.设c为正向圆周|z|=1/2，则∙ A.2π（3cos-sin1）∙ B.0∙ C.6paiicos1∙ D.-2πsin1正确答案：B11.设c为正向圆周|z|1/2，则∙ A.2π（3cos1-sin1）∙ B.0∙ C.6πicos1∙ D.-2πsin1正确答案：B12.设f(z)在单连通域B内处处解析且不为零，c为B内任何一条简单闭曲线，则积分∙ A.等于2πi∙ B.等于-2πi∙ C.等于0∙ D.不能确定正确答案：C13.设c为任意实常数，那么由调和函数u=x²-y²确定的解析函数f(z)=u+iv是∙ A.iz²+c∙ B.iz²+ic∙ C.z²+c∙ D.z²+ic正确答案：D14.下列命题中，正确的是∙ A.设v1,v2在区域D内均为u的共轭调和函数，则必有v1v2∙ B.解析函数的实部是虚部的共轭调和函数∙ C.若f(z)=u+iv在区域D内解析，则xu为D内的调和函数∙ D.以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数正确答案：C15.设v(x,y)在区域D内为u(x,y)的共轭调和函数，则下列函数中为内解析函数的是∙ A.v(x,y)+iu(x,y)∙ B.v(x,y)-iu(x,y)∙ C.u(x,y)-iv(x,y)∙ D.正确答案：B二、填空题（共7题，共14分）16.设3阶矩阵A的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*，则|A*+3A –2E|=正确答案：917.设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P，则该系统正常工作的概率为正确答案：1–(1–P)³18.设随机变量X的概率密度函数为f(x)=2x0<x<A,f(x)=0,则概率正确答案：3/419.设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为，则系数k=正确答案：1220.设c为正向圆周|z|=3，则正确答案：6πi21.解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的正确答案：平均值22.设u(x,y)的共轭调和函数为v(x,y)，那么v(x,y)的共轭调和函数为正确答案：-u（x，y）三、问答题（共8题，共56分）23.发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“1”和“0”。
线性代数模拟试题
四、（10分） 求解矩阵方程 、（ 分 1 2 3 6 6 6 X 2 3 1 = 5 4 3 3 1 2 3 1 2 取何实值时， 、（15分 五、（ 分） λ 取何实值时，线性方程 组 λ x1 − x 2 = λ λ − =λ x2 x3 λ x 3 − x4 = λ − x1 + λ x 4 = λ 有唯一解，无穷多解， 无解？ 有唯一解，无穷多解， 无解？在有无穷多解的
α在基 β 1 , β 2 , β 3 下的坐标 . 、（15分 五、（ 分） λ取何值时 线性方程组 取何值时,
( 2λ + 1) x 1 − λ x 2 + (λ + 1) x 3 = λ − 1 (λ − 2) x 1 + (λ − 1) x 2 + (λ − 2) x 3 = λ ( 2λ − 1) x + (λ − 1) x + ( 2λ − 1) x = λ 1 2 3
β 1 = 2α 1 + 3α 2 + 3α 3 , β 2 = 2α 1 + α 2 + 2α 3 , β 3 = α 1 + 5α 2 + 3α 3 .
1．证明 β 1 , β 2 , β 3 也是 R 3 的一个基; 2．求由基 β 1 , β 2 , β 3 到基 α 1 ,α 2 ,α 3 的过渡矩阵; 3．若向量 α在基 α 1 ,α 2 ,α 3 下的坐标为 (1,−2,0), 求
(1)由基(ΙΙ )到基(Ι )的过渡矩阵; ( 2)向量α在基(ΙΙ )下的坐标 .
模拟试题（ 模拟试题（一）参考答案
1( 一、．B ); 2. ( B ); 3. (对 ); 4. (对 ); 5. (对 ). 1 2 二、．; ( −1) 2. ; 3. x = 0, y = −2; 4. t < 2 . 2
线性代数模拟试卷及答案4套
线性代数模拟试卷（一）一、 填空题（每小题3分，共6小题，总分18分）1、四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a 展开式中，含有因子3214a a 且带正号的项为___________2、设A 为n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B ，则AB -1=_________3、已知向量组)2- 5, 4,- ,0( , )0 t,0, ,2( , )1 1,- 2, ,1(321'='='=ααα线性相关，则t =_________4、设三阶方阵) , ,(B ), , ,(2121γγβγγα==A ，其中 , ,,21γγβα都是三维列向量且2B 1, ==A ，则=- 2B A _________5、A 为n 阶正交矩阵， , ,,21n ααα 为A 的列向量组，当i ≠j 时，)21 ,31(j i αα=_________ 6、三阶方阵A 的特征值为1，-2，-3，则 A =_______; E+A -1的特征值为______ 二、 单项选择题（每小题2分，共6小题，总分12分） 1、 设齐次线性方程组AX=0有非零解，其中A=()nn ija ⨯，A ij 为a ij (i,j=1,2,…n) 的代数余子式，则（ ） (A)0111=∑=ni i i A a(B)0111≠∑=ni i i A a(C)n A ani i i =∑=111(D)n A ani i i ≠∑=1112、若A -1+ E, E+A, A 均为可逆矩阵，E 为单位矩阵，则(A -1+ E)-1=( ) (A) A+E (B) (A+E)-1 (C) A -1+ E (D) A(A+E)-13、设A, B 为n 阶方阵 ，A*,B*分别为A, B 对应的伴随矩阵，分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B 00 A C ，则C 的伴随矩阵C* =( )(A) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*A B 0 0 *B A (B) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*B A 0 0 *A B(C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*B B 0 0 *A A (D) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*A A 0 0 *B B 4、若向量组 , ,,21m ααα 的秩为r ，则（ ）(A) 必有 r<m (B)向量组中任意小于 r 个向量的部分组线性无关 (C) 向量组中任意 r 个向量线性无关(D) 向量组中任意 r+1个向量必线性相关5、已知 ,,321ααα是四元非齐次线性方程组AX=B 的三个解，且r(A)=3, 已知)3 2, 1, ,0( , )4 3, 2, ,1(321'=+'=ααα，C 为任意常数，则AX=B 通解X=( )(A) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11114321C (B)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32104321C(C) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54324321C (D) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛65434321C6、设A 为三阶方阵，有特征值λ1=1，λ2= -1， λ3=2，其对应的特征向量分别为 ,,321ααα，记P=(132 ,ααα)，则P -1AP=( )(A) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1 2 1- (B)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1- 1 2(C) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 1- 1 (D) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 1 1-三、计算下列行列式 （12分）1、 D=1- 3 3- 131 1 41- 3 0 5-21- 1 3 2、D n = n1 1 1 1.....................1 1 3 1 111 12 111 1 1 1四、已知A 、B 同为3阶方阵，且满足AB=4A+2B (12分) （1）证明：矩阵A-2E 可逆（2）若B=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 0 00 2 10 2- 1 ，求A五、求向量组 )1 1, 1,- ,1( , )3 2, 1, ,1(21'='=αα， , )6 5, 2,- ,4( , )1 3, 3, ,1( 43'='=αα)7- 4,- 1,- ,3(5'-=α的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示（10分）六、已知线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=+++-=+-=+-+bx x x x x ax x x x x x x x x x 432143214314321 6 - 17231 4 032 ，讨论参数a 、b 为何值方程组有解，在有解时，求出通解 （12分）七、用正交变换化二次型323121232221321222333),,(x x x x x x x x x x x x f ---++=为标准形，并写出相应的正交变换 （16分）八、已知 ,,,4321αααα是AX = 0的一个基础解系，若322211,ααβααβt t +=+=，144433,ααβααβt t +=+=,讨论t 为何值， ,,,4321ββββ是AX = 0的一个基础解系 （8分）线性代数模拟试卷(二)三、 填空题（每小题3分，共5小题，总分15分）1、j i a a a a a 53544231是五阶行列式展开式中带正号的一项，则i=_____, j=_____2、设n 阶方阵A 满足A 2 =A ，则A+E 可逆且（A+E ）-1=_______________(E 为n 阶单位阵)3、已知向量组)0 6, 1,- ,1( , )2k - k,- ,3 ,1( , )2- 2, 1, ,1(321'='='=ααα 若该向量组的秩为2，则k =_________4、已知四阶方阵A 相似于B ，A 的特征值为2，3，4，5，E 是单位阵，则=- E B _________5、 向量α=（4，0，5）′在基)1 ,1- ,1(,)0 ,1 ,1( ,)1 ,2 ,1(321'='='=ηηη下的坐标为_________四、 单项选择题（每小题2分，共5小题，总分10分）1、 设 A 是三阶方阵A 的行列式，A 的三个列向量以γβα ,,表示，则 A =（ ） (A)αβγ (B) γβα---(C)αγγββα+++ (D) γβαβαα+++2、设A, B ，C 为n 阶方阵, 若 AB = BA, AC = CA, 则ABC=( ) (A) BCA (B) ACB (C) CBA (D) CAB3、 A, B 均为n 阶方阵, A*为A 的伴随矩阵， 3B 2, -==A ，则21-*B A = ( )(A) 32 12--n (B) 32 1--n (C) 23 12--n (D) 23 1--n4、已知向量组 , ,,4321αααα线性无关，则向量组（ ） (A)14433221 , , ,αααααααα++++线性无关(B)14433221 , , ,αααααααα----线性无关(C)14433221 , , ,αααααααα-+++线性无关 (D)14433221 , , ,αααααααα--++线性无关5、若A ～ B ，则 有 ( )(A) A 、B 有相同的特征矩阵 (B) B =A(C) 对于相同的特征值λ，矩阵A 与B 有相同的特征向量 (D) A 、B 均与同一个对角矩阵相似三、计算下列行列式 （13分）2、 D=2- 3 0 112 1 - 121 0 331- 2 1 4、D n = 11 1 111 x 1 1 (1)1 1 1 x 1 1 1 1 x x ++++a)设B= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 0 0 01- 1 0 00 1- 1 00 0 1- 1 ，C=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2 0 0 01 2 0 03 12 043 12 ,且矩阵A 满足 E C B C E A =''--)(1, 试将关系式化简并求A (12分)b)求向量组, )4 1,- 2, ,1(1'=α )2 3, 1, ,0( 2'=α， , )14 0, 7, 3,(3'=α , )10 1, 5, 2,( 4'=α)0 2,- 2, ,1(5'=α的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示 （13分）六、k 为何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++---=+++=+++kx x x x x k x x x x x x x x x x x 9 10 5 - 3)5(2 31 6 3 13 2 4321432143214321 有无穷多个解并求出通解 （14分）七、用正交变换化二次型31232221321422),,(x x x x x x x x f +-+=为标准形，并写出相应的正交变换 （16分）八、若矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0y 10 1- 01 x0 有三个线性无关的特征向量，证明：x – y = 0线性代数模拟试卷(三)一、填空题（每小题3分，共18分）1、A 是三阶方阵，且|A|＝6，则 |(3A)-1|＝ 。
线性代数模拟试题 答案
线性代数模拟题一、 填空（3＊5）。
1、设f (x )=|x2112x 3232x 101x x |,则f (x )中常数项为（）,项的系数为（）。
2、若A 为五阶方阵，且A=3，则AA T =（），（A *）*=（），2A -1-A *=（） 3、设A=[a b bba b bba]，r （A *）=1，则a,b 关系为（）。
4、设A 是n 阶矩阵，对于其次线性方程组AX=0，如A 中每行元素之和全部为零，且r(A)=n-1,则方程组的通解是（）。
5、A 与B 有相同的特征值是A~B 的（）条件。
二、选择（3＊5）。
6、已知2n 阶行列式D 的某一列元素及其余子式都等于a ，则D=（） （A ）0 （B ）a 2 （C ）-a 2 （D ）na 27、已知A ，B 均为n 阶矩阵，满足AB=0，若r （A ）=n-2，则（） （A ）r （B ）=2 （B ）r （B ）<2 （C ）r （B ）<=2 （D ）r （B ）>=18、要使ε1=[102]ε2=[01−1]都是线性方程组的解，只要系数矩阵A 为（）（A ）[−2114−2−2]（B ）[20−1011]（C ）[−10210−2]（D ）[01−1 4−2−2 011]9、设A为m*n矩阵，线性方程组AX=B对应的导出组为AX=0，则下列结论中正确的是（）（A）若AX=0仅有零解，则AX=B有唯一解（B）若AX=0有非零解，则AX=B有无穷多解（C）若AX=B有无穷多解，则AX=0有非零解（D）若AX=B有无穷多解，则AX=0仅有零解10、设A是三阶矩阵，A，A+I，I-2A均不可逆，则A的三个特征值是（）（A）0，1，2 （B）0，-1，2（C）0，-1，1/2（D）0，1，-1/2二、判断（2＊5）。
11、每行元素之和为零的行列式值为零。
（）12、若A，B，C都是n阶方阵，则（ABC）k=A k B k C k. （）13、设n阶方阵A经过若干次初等变换后变成B，则|A|=|B|. （）14、向量组α1α2…αs 的秩不为零的充分必要条件是α1α2…αs中至少有一个非零向量。
线性代数模拟试题及答案
...《 线性代数期末模拟试题一 》一、填空（本题20分每小题2分） 1．设)det(ij a 为四阶行列式,若23M 表示元素23a 的余子式，23A 表示元素23a 的代数余子式，则23M +23A = 。
2．三阶行列式3331221311000a a a a a 中只有位于两条对角线上的元素均不为零， 则该三阶行列式的所有项中有 项不为零，这一结论对n 阶行列式（填成立或不成立）。
3．设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,,(321ααα=A 记矩阵),,2(313221αααααα-+-=B ，若6=B ，则=A 。
4．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=458271,131027241,213012C B A ，则=-C B A T2。
5．设矩阵A 可逆，且矩阵AB C =，所以矩阵C 一定可以由矩阵B 经过（填行或列）初等变换而得到。
6．设向量组43,21,,,αααα，若,3),,(,2),,(432321==ααααααR R 则1α一定可以由向量唯一的线性表示。
得分阅卷人...7．非齐次线性方程组b Ax =有 唯一的解是对应的齐次方程组0=Ax 只有零解的充分但不必要条件。
8．设3阶矩阵A 的行列式0=A ，则矩阵A 一定有一个特征值。
9．n 阶矩阵A 有n 个特征值1，2，, n ，n 阶矩阵B 与A 相似，则=B 。
10．向量组：[][]1,121,1,12121-==p p（填是或不是）向量空间2R 一个规范正交基。
二、单项选择（本题10分，每小题2分）注意：请务必将你的选择题的答案按要求填入下表，否则答案无效！1．设矩阵A 为n 阶方阵，则关于非齐次线性方程组b Ax =的解下列说法（ ）不正确（A ） 若方程组有解，则系数行列式0≠A ; （B ） 若方程组无解，则系数行列式0=A ;（C ） 若方程组有解，则或者有唯一解或者有无穷多解;...（D ） 系数行列式0≠A 是方程组有唯一解的充分必要条件. 2. 设A 为n 阶可逆矩阵，下列正确的是（ ） （A ） (2)2T T A A =； (B) 11(2)2A A --=； (C) 111[()][()]T T A A ---=；(D) 111[()][()]T T T A A ---=。
2019-北京理工大学-线性代数-模拟题1 (2)
[试题分类]：线性代数1．下列排列中（ ）是偶排列 A ．54312 B ．51432 C ．45312 D ．654321 答案：C题型：单选题知识点： 1.2 n 阶排列 难度：12．行列式abcd e fg h k中元素f 的代数余子式是（ ） A ．d eg h B ．a bg h-C ．a bg hD ．d e g h-答案：B题型：单选题知识点： 1.6 行列式的运算 难度：13.已知矩阵1110A=,AB BA=0-111，B=则（ ）⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A. 10-2-1⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.11 0-1⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.10 01⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.00 00⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：A题型：单选题知识点：3.1矩阵的运算难度：14．设A，B，为n阶可逆矩阵，则必有（）A.A+B可逆B.AB可逆C.A-B可逆D.AB+BA可逆答案：B题型：单选题知识点：3.3 矩阵的逆难度：15.已知向量()()2=1221,32=1=，，，，-4，-3,0，则αβαβαβ+---++A .（0，-2，-1,1）B.（-2,0，-1,1）C.（1，-1，-2,0）D.（2，-6，-5,-1）答案：A题型：单选题知识点：2.4 n维向量空间难度：16.设向量1212____ ==2=（1,1,2），（1,2，-1），则αααα+答案：（3,5,0） 题型:填空题知识点：2.4 n 维向量空间 难度：17．已知A 为2阶方阵A =32A =，则____ 答案：12 题型：填空题知识点：3.1 矩阵的运算 难度：18. 设矩阵31311A=B=AB =2401，，则-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦____ 。
答案：1022⎡⎤⎢⎥--⎣⎦题型：填空题知识点：3.1 矩阵的运算 难度：29．方阵A 为可逆矩阵很的充分必要条件是____ 。
答案：A 0≠题型：填空题知识点： 3.3 矩阵的逆 难度：110．若()()12=0,2,=-___,1_2与1，正交，则x=x αα 答案：4题型：填空题知识点：3.5 正交矩阵 难度：211．计算行列式121212n n n x m x x x x m x x x x m---答案：()1n 111n n i i mx m --=⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑ 题型：计算题知识点：1.6行列式的计算 难度：212.证明：如果向量组12，，，r ααα线性无关，而12，，，，r αααβ线性相关，则向量β可以由12，，，r ααα线性表出。
线性代数(III)A-2
线性代数(III) 模拟试题1一、填空题（每小题3分，共15分）1. 设方阵A 、B 、C 满足AB=AC,当A 满足___R （A ）＝n____时，B C =．2．矩阵[]111111⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦的秩为______1___. 3．设n 阶矩阵A 满足12,032-=++A E A A 则= _A^2 +2A +3E=0A(A+2E)=-3E(A)^-1=-(A+2E)/3_____.4. 设A 为m n ⨯矩阵，()min(,)r A r m n =<，则0AX =有 无穷 个解，有 N-R 个线性无关的解.二．选择题（每小题3分，共15分）1．设A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ）．（A ）T A A + （B ）T A A - （C ）T AA （D ）T A A2．设A ，B 为n 阶方矩阵,22B A =,则下列各式成立的是( D ) ．(A) B A = (B) B A -= (C) B A = (D ) 22B A =3．设A 为n m ⨯阶矩阵，秩n m r A <<=)(，则（ C ）．（A ）A 中r 阶子式不全为零 （B ）A 中阶数小于r 的子式全为零 （C ）A 经行初等变换可化为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000r I （D ）A 为满秩矩阵 4．设n 元齐次线性方程组0AX =的系数矩阵的秩为r ，则0AX =有非零解的充分必要条件是（ B ）.(A) r n = (B ) r n <(C) r n ≥ (D) r n >5．若12,x x 分别是方阵A 的两个不同的特征值对应的特征向量,则1122k x k x +也是A 的特征向量的充分条件是( ).(A) 1200k k ==且 (B ) 1200k k ≠≠且 (C) 120k k = (D) 1200k k ≠=且三、计算题（本题共50分,每小题10分）1．计算行列式199119921993199419951996199719981999的值.02．设101210325A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭ ，求1-A ．3. 求齐次线性方程组 125123345000x x x x x x x x x ++=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩ 的基础解系及通解．4．设向量组1(1,1,2,1)T α=-，2(2,2,4,2)T α=--，3(3,0,6,1)T α=-，4(0,3,0,4)T α=-．（1）求向量组的一个极大线性无关组；（2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合．5．已知三阶方阵A 的三个特征根为1,1,2,其相应的特征向量依次为(0,0,1),(1,1,0),(2,1,1)T T T --,求矩阵A.四. 证明题（本题共20分,每小题10分）1．设B 为可逆矩阵, A 是与B 同阶方阵, 且满足A 2 + AB + B 2 = 0, 证明A 和A + B 都是可逆矩阵.2．设2131222112,3,ααβααβααβ-=-=+=，试证321,,βββ线性相关. 假设存在k1, k2 使得k1*β1 + k2*β2 = β3代入表达式有k1*(α1+α2) + k2*(3*α2 - α1) =(2*α1-α2) 整理可得k1 - k2 = 2k1 + 3*k2 = -1解得k1 = 5/4k2 = -3/4β3能被β1, β2线性表出，所以线性相关。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
模拟试题一一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分）1、若B A ,为n 阶方阵，则 B A B A +=+. ……………………( × )2、可逆方阵A 的转置矩阵T A 必可逆. ……………………………( √ )3、n 元非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…( )4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………( )5、设A 是n 阶方阵，且0=A ，则矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合. …………………………………………………………( )二、填空题：(每空2分，共20分)1、,A B 为 3 阶方阵，如果 ||3,||2A B ==，那么 1|2|AB -= 12 .2、行列式中元素ij a 的余子式和代数余子式,ij ij M A 的关系是 .3、在5阶行列式中，项5541243213a a a a a 所带的正负号是 .4、已知()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==256,102B A 则=AB 10 .5、若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225A ，则=-1A . 6、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2100013011080101是4元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵,则b Ax =的通解为 .7、()B A R + 《 ()()B R A R +. 8、若*A 是A 的伴随矩阵，则=*AA E .9、设=A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-500210111t ，则当t 5 时，A 的行向量组线性无关. 10、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 342+-=，则B 的特征值为 . 三、计算：(每小题8分，共16分)1、已知4阶行列式1611221212112401---=D ，求4131211132A A A A +-+.2、设矩阵A 和B 满足B A E AB +=+2，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，求矩阵B .四、(10分) 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=-++=--+-=++-024*********4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解.五、(10分) 设三元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011λλλλλλλλλλ， 讨论当λ取何值时，b Ax =无解，有唯一解和有无穷多解，并在无穷多解时求出通解.六、(10分) 判断向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1622,4647,3221,1123:4321a a a a A 的线性相关性，如果线性相关，求一个最大无关组，并用它表示其余向量. 七、综合计算：（本题14分）已知二次型31232221321422),,(x x x x x x x x f --+= （1）求二次型所对应的矩阵A ，并写出二次型的矩阵表示； （2）求A 的特征值与全部特征向量；（3）求正交变换PY X =化二次型为标准形, 并写出标准形； （4）判断该二次型的正定性。
八、证明题：(每小题5分，共10分)1、已知向量321,,a a a 线性无关，证明 1333222115,4,32a a b a a b a a b +=+=+=线性无关.2、某矿产公司所属的三个采矿厂321,,a a a ，在2011年所生产的四种矿石54321,,,,b b b b b 的数量（单位：吨）及各种矿石的单位价格（万元/吨）如下表：（1）做矩阵53⨯A 表示2011年工厂i a 产矿石j b 的数量)5,4,3,2,1;3,2,1(==j i ； （2）通过矩阵运算计算三个工厂在2011年的生产总值.模拟试题二一、 判断题（正确的打√，不正确的打⨯）（每小题2分，共10分） （ ） 1、设,A B 为n 阶方阵，则A B A B +=+； （ ） 2、可逆矩阵A 总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E ； （ ） 3、设矩阵A 的秩为r ，则A 中所有1-r 阶子式必不是零；（ ） 4、 若12,x x ξξ==是非齐次线性方程组Ax b =的解，则12x ξξ=+ 也是该方程组的解.（ ） 5、n 阶对称矩阵一定有n 个线性无关的特征向量。
二、 填空题（每小题2分，共16分） 1、排列的逆序数是 ；2、设四阶行列式32142143143243214=D ，则=+++44342414432A A A A ，其中ij A 为元素ij a 的代数余子式；3、设A 、B 均为5阶矩阵，2,21==B A ，则=--1BA ； 4、)(5)(2)(3321α+α=α+α+α-α，其中T )3,1,5,2(1=α，T )10,5,1,10(2=αT )1,1,1,4(3-=α，则=α ；5、已知向量组:A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α12,221k ，向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11b ，当k 时，b 可由A 线性表示，且表示法唯一；6、设齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵通过初等行变换化为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000020103211，则此线性方程组的基础解系所含解向量的个数为 ； 7、设向量(1,2,1)T α=--，β=()T2,,2λ-正交，则λ= ；8、设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征 值为 。
三、计算题（每小题8分，共16分）1、设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1201,1141B A ，求矩阵AB 和BA 。
2、已知矩阵111211111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，236B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，660C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭求矩阵方程AX B C -=。
四、 计算题（每小题8分，共16分）1、已知向量组123120,2,2012k k k k ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（1）k 取何值时，该向量组线性相关；（2） k 取何值时，该向量组线性无关， 说明理由。
2、已知二次型323121232221321844552),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=， (1) 写出此二次型对应的矩阵A ;(2) 判断该二次型是否正定二次型，说明理由。
五、 计算题（每小题10分，共20分）1、设矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----43333320126624220121.求：（1）矩阵A 秩；（2）矩阵A 的列向量组的一个最大线性无关组。
．2、求非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++=+++522132243143214321x x x x x x x x x x x 所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。
六、（12分）设矩阵131011002A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭(1) 求矩阵A 的特征值和全部的特征向量；(2) 求可逆矩阵P ，使得1P AP -=Λ（其中Λ是对角矩阵），并写出对角矩阵Λ。
七、（5分）证明题设方阵A 满足2A A E O +-=，证明：A 可逆并求它的逆矩阵。
八、（5分）应用题假设我们已知下列涉及不同商店水果的价格，不同人员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩阵：21商店商店 梨橘子苹果 21人员人员梨橘子苹果⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10.020.015.010.015.010.0 21人员人员⎥⎦⎤⎢⎣⎡5351045 21城镇城镇⎥⎦⎤⎢⎣⎡100050020001000 设第一个矩阵为A ，第二个矩阵为B ，而第 三个矩阵为C 。
（1）求出一个矩阵，它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少？ （2）求出一个矩阵，它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少？模拟试题三一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分）1、B A ,为n 阶方阵则 BA AB = （ ）2、设A 为)n m (n m <⨯矩阵，则b Ax =有无穷多解。
（ ）3、向量组1A 是向量组A 的一部分，向量组1A 线性无关，则向量组A 一定线性相关； （ ）4、设21,λλ是方阵A 的特征值，则21λλ+也是方阵A 的特征值。
（ ） 5、4个3维向量一定线性相关。
（ ） 二、填空题：(每空2分，共20分)1、已知A 为3阶方阵，且2A =-，则2A -= ；2、六阶行列式中某项645342362115a a a a a a 带有的符号为 ；3、设A 为n 阶方阵，满足2A A E -=，则1A -= ；4、设12,ξξ是n 元非齐次线性方程组Ax b =的两个解，且A 的秩()R A 1=-n ，则Ax b =的通解x = ；5、设非齐次线性方程组的增广矩阵为B =2102-1101-3000001-)1k k k ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭（，则k = 时方程组无解， 当k = 时方程组有无穷解，此时该方程组对应的齐次线性方程组的基 础解系中有 个向量。
6、二次型xz z y xy x f 44642222+--+-=的秩为 ，正定性为 （请选正定、负定、不定之一）。
7、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 322-+=，则B 的特征值为 。
三、计算：(每小题8分，共16分)1、已知4阶行列式1111201212112101---=D ，求4131211122A A A A +++2、已知111121113A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，试判断A 是否可逆。
若可逆，求1-A ，若不可逆，求A 的伴随矩阵A *四、计算：(每小题10分，共20分)1、求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++-=--+-=++-034220222402024321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解。
2、已知线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=---=++a z y x z y x z y x 223320有解，求a ，并求全部解；五、 (10分)判断向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1210,1012,0212,11014321αααα 的线性相关性，并求它的一个最大无关组，并用最大无关组表示该组中其它向量。
六、综合计算：（本题14分）二次型212322213212),,(x x x x x x x x f +++=（1）求二次型所对应的矩阵A ，并写出二次型的矩阵表示 （2）求A 的特征值与全部特征向量；（3）求正交矩阵P ，使AP P 1-为对角形矩阵。