2021考研新版答题卡-数学-高清版
中考数学答题卡模板B4版电子档
飞龙初中 2021 数学答题 卡1 x 1〕 . 〔 x － 3〕，从不大姓 名18. 〔 6 分〕先化简，再求值： 〔x 3x 21班级于 4 的正整数中，选择一个合适的值代入x 求值。
条形码居中粘贴准 考 证本卷须知1 、答题前，考生先将自己的姓名、班级、准考证号 填写在指定地址，并核对条码上姓名、准考证号等 填涂样例 正确填涂信息，无误后居中横向正贴在条形码方框内，粘贴要牢固；缺考标记2 、客观题局部必定使用2B 铅笔填涂；主观题局部必定使用毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字 缺考考生由监考老师贴条形码， 并迹清楚；用 2B 铅笔填涂缺考标记。
3 、请依照题号序次必定在各题目的答题地域内作30 分〕19. 〔6 分〕选择题〔共证明：1 A B C D 5 A B C D 9A B C D 2 A B C D 6 A B C D 10ABCD3 A B C D 7 A B C D 4ABCD8ABCD二填空题〔每题3 分，共 18 分〕 11. 12. 13. 14. 15.16.三解答题〔 72 分〕 20.〔6分〕17. 〔5 分〕解：解：－ 22+｜√ 12－ 4｜ +〔 1〕－1+2tan60 °321. 〔6 分〕 解 : (1)(2) (3)(4)22. 〔8分〕 解：23. 〔8 分〕25. 〔9 分〕26. 〔 10 分〕解：解：解：24.〔8 分〕解：。
2021考研数学三真题及答案解析(全)
3
(B) .
8
1
(C) .
2
5
(D) .
2
【答案】 A .
【解析】似然函数 L( ) (1 )3(1 )5 ， 24
取对数 ln L( ) 3ln(1 ) 5ln(1 ) ；
2
4
求导
d ln L( ) d
3 1
5 1
0 ，得
1 .故正确答案为 A. 4
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案写在答题纸指定位置
21 2
.
n
(C)
E(ˆ)
，
D(ˆ)
2 1
22
.
n
(D) E(ˆ)
， D(ˆ)
2 1
2 2
21 2
.
n
【答案】 B
【解析】因为 X ,Y 是二维正态分布，所以 X 与Y 也服从二维正态分布，则 X Y 也服从二维正态
分布，即 E(ˆ) E( X Y ) E( X ) E(Y ) 1 2 ，
已知 lim[ arctan 1 1 x
1
x ] 存在，求 的值.
x0
x
【答案】
1
(1 e
e).
【解析】.要想极限存在，则左右极限相等；
又由于
lim
x0
arctan
1 x
(1
1 x) x
2
e;
5
2021考研数学三试卷解析
lim
x0
arctan
1 x
(1
1 x) x
2
(A)2 3 4 k1 .
(B)1 3 4 k2 .
(C)1 2 4 k3 .
全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答题卡
数 学 （三） 试 题
阴 影 部 分 请 勿 作 答 或 做 任 何 标 记
22.
考 生 姓 名
报
考
单
位
填 涂 说 明
1. 书写部分用蓝（黑）色字迹钢笔、圆珠笔或签字笔填写，信息点或选项 用 2B 铅笔涂写，修改时用橡皮擦干净。 2. 此卡不准弄皱、弄脏或弄破，不准折叠。 3. 考试结束，将此卡、答题卡和试题一并装入试题袋中交回。
[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]
[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]
[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]
[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]
正确涂写
错误涂写
考 生 编 号 （ 左 对 齐 ）
[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]
[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]
[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]
[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]
2021考研数学三真题及答案解析(全)
(B)连续且取极小值.
(C)可导且导数为 0.
(D)可导 lim f (x)= lim ex 1 1 f (0) ，故 f (x) 在 x 0 处连续；
x0
x0 x
因为 lim x0
f
(x) f (0) = lim
x0
x0
e
x 1 x x0
1
lim
x0
【答案】D.
【解析】
P(A
|
A
B)
P(A(A B)) P(A B)
P( A)
P( A) P(B) P(AB)
P(A
|
A
B)
P(A(A B)) P(A B)
P( AB) P(A B)
P(B) P(AB) P(A) P(B) P(AB)
(A)若 P( A | B) P( A) ，则 P( A | B) P( A) .
(B)若 P( A | B) P( A) ，则 P( A | B) P( A)
(C)若 P( A | B) P( A | B) ，则 P(A | B) P(A) . (D)若 P( A | A B) P( A | A B) ，则 P( A) P(B) .
1 1 | E A | 1 2 1 ( 1)( 3)
1 1
令上式等于零，故特征值为 1， 3 ， 0 ，故该二次型的正惯性指数为 1，负惯性指数为 1.故应选 B.
(6)设
A
(1,2 ,3,4 )
为
4
阶正交矩阵，若矩阵
B
=
1T 2T
，
1 1 ， k
表示任意常数，
T 3
1
则线性方程组 Bx 的通解 x
(B)等价无穷小.
2021考研数学三真题及答案解析(全)
(16)甲乙两个盒子中各装有 2 个红球和 2 个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，
再从乙盒中任取一球.令 X , Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则 X 与Y 的相关系数
______________.
【答案】 1 . 5
(0, 0) (0,1) (1, 0) (1,1) 0 1 0 1
4
3
(B) .
8
1
(C) .
2
5
(D) .
2
【答案】 A .
【解析】似然函数 L( ) (1 )3(1 )5 ， 24
取对数 ln L( ) 3ln(1 ) 5ln(1 ) ；
2
4
求导
d ln L( ) d
3 1
5 1
0 ，得
1 .故正确答案为 A. 4
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案写在答题纸指定位置
0
f
' y
y x2
0
2x2 x 1 y2 0
即
y
0
得驻点 (1, 0) ， (1 , 0) 2
f '' xx
4x
1 x
3(2x2 x4
x
1
y2)
（2）
f '' xy
2 y x3
f '' yy
1 x2
（3）驻点 (1, 0) 处，A=3，B=0，C=1， AC B2 3 0 ， A 0
(A)若 P( A | B) P( A) ，则 P( A | B) P( A) .
(B)若 P( A | B) P( A) ，则 P( A | B) P( A)
八省联考数学2021高清真题试卷及答案
2021年普通高等学校招生全国统考试模拟演练数学注重事碰，1. 符卷的，考生务0将自己的姓名、考生号,号为号、窿位号填写在答题卡上•2. 回答选择是时，选出每小原符案后，用对笔把答国卡上对底駐日的答案転*5潦 BL M 需改动，用橡皮擦干冷后•可选泠其他答案标0・冋将答蔓与在 啓慝卡上.可在本試馨上无效.3. 考技结熨后.将本IA 卷K 答题卡•并交回•-• iK»K ：本HR8小18・毎小題5分，共40分・在何小赃始出的EI 个迭项中，只 有一項曇符合14目要来的.1.已知M.N 均为R 的子集，JlC B M C A r . «WU(C B X) =A 02.在3我*片上分割写上3位冋学的学号后.再把卡片随机分結这3位同学，毎人1米.IH 恰有I 位学生分到写有13己学号F 片的嘅彳为3.关于x 的方程/♦arM = 0・有卜F 囚个命爲乙：X-3J4A 方检的根;r ：该方《?两娘弁号.如果只。
一个假念题，则该兪题是c.6・•♦(!♦«)*的臟开式中/的系敌是IS 孕试电劣I 页＜A4^)C. ND. RA.B.C. D.甲，x = ltei«方"的根; 丙：■方程两根Z 和为2：C.丙 A.甲 B.乙 4. Iffllfl f-4.4»l(^>0)的無点为写• f .上頂点为若/£?・：, PJ«t» FW ♦ I ••A. IB. 41C.由D. 2 若向J5*,Msin <#•«>«A. 60B. 80C. &D 1207.已-2pr 2). B. C ・ KttAB. AC 6B(r ”•尸・1的做条切线.uoftaac 的方程为A. J ♦ 2y ♦ 1»0 B ・ 3x*6y*4 = 08. 已知北5且aeW.8<4且任、4€七c 〈3flaJJcL >JA. c<b<aB. b<c<a C ・ «<c<& D ・ a<b<c二.»»H.本題共4小晚.毎小鏡5分.ft2O».在每小It 给出的迭顷中，有多项符合題目要求.全部选别的得S 分.部分it 对的得2分，有选II 的偽。
2021年八省联考数学试题及答案(含答题卡)
由 z1z2 = z1z3 可得 z1(z2 − z3 ) = 0 ，因为 z1 0 ，所以 z2 − z3 = 0 ，即 z2 = z3 ，B 正确；
因为 z1z2 =| z1 || z2 | ， z1z3 =| z1 || z3 | ，而 z2 = z3 ，所以| z2 |=| z3 |=| z2 | ，所以 z1z2 = z1z3 ，C 正确；
k2 +1
直线 AC : y − 2 = − 3 ( x − 2) .
( ) 联立
y y
−2 2=
= 2x
3(x − 2)
，得 3x2 +
4
3 −14
x +16 − 8
3 =0，
故
xA xB
=
16
−8 3
3
，由
xA
=
2得
xB
=
8−4 3
3 ，故 yB = 2
3 −6 ， 3
( ) 联立
y y
3. 关于 x 的方程 x2 + ax + b = 0 ，有下列四个命题：甲： x = 1 是该方程的根；乙： x = 3 是该方程的根；
丙：该方程两根之和为 2 ；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
【答案】A
解法一：若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则关于 x 的方程 x2 + ax + b = 0 的一根为 3 ，
在 如下图所示：因为椭圆
x2 + m2 +1
y2 m2
= 1(m
0) 的上顶点为点 A ，焦点为 F1 、 F2 ，所
2021考研数学真题及答案解析(数三)
【解答】联合分布率
(
X
,
Y
)
3 10
1 5
1 5
3 10
,
X
1
2
1
Y
1
2 2
1
2
cov( X ,Y )
1 20
， DX
1 , DY 4
1 4
,即 XY
1. 5
三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤.）
(17)(本小题满分 10 分)
(9)设
(
X1
,
Y1
)
，(
X
2
,
Y2
)
，
，(
X
n
,
Yn
)
为来自总体
N
(
1,
2
;
2 1
,
2
2
;
)
的简单随机样本，令
1 2 ， X
1 n
n i 1
Xi
，Y
1 n
n
Yi
i 1
，ˆ
X
Y
则
(A)
E(ˆ)
，
D(ˆ)
2 1
2 2
.
n
(B) E(ˆ)
， D(ˆ)
2 1
22
21 2
.
n
(C)
E(ˆ)
e(x y)2 (x2 y2 )dxdy.
D
【答案】 1 e 2 1 e 1 . 8 48
e(x y)2 (x2 y2 )d 1
驻点 (1 , 0) 处，A=24，B=0，C=4， AC B2 3 0 ， A 0 2
文科数学-2021年高考考前最后一卷(新课标I卷)(答题卡)
文科数学 第1页（共6页）文科数学 第2页（共6页） 文科数学 第3页（共6页）学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2021年高考考前最后一卷（新课标I 卷）文科数学·答题卡请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题5分，共60分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共20分）13．____________________ 14．____________________15．____________________ 16．____________________三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（12分） 19．（12分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。
2021年12月217日考研数学二真题+解析
f
2k 1 2n
1 2n
.
(8)二次型 f (x1, x2 , x3 ) (x1 x2 )2 (x2 x3 )2 (x3 x1)2 的正惯性指数与负惯性指数依次为
1
(A) 2, 0 .
(B)1,1 .
(C) 2,1 .
(D)1, 2 .
(9)设 3 阶矩阵 A 1,2 ,3 ， B 1, 2 , 3 ，若向量组 1,2 ,3 可以由向量组 1, 2 线
a
a
(5)设函数 f (x) sec x 在 x 0 处的 2 次泰勒多项式为1 ax bx2 ，则
(A) a 1,b 1 . 2
(B) a 1,b 1 . 2
(C) a 0,b 1 . 2
(D) a 0,b 1 . 2
【答案】D.
【 解 析 】 由 f (x) f (0) f (0)x f (0) x 2 o(x 2) 知 当 f (x) sec x 2
性表出，则
(A) Ax 0 的解均为 Bx 0 的解.
(B) AT x 0 的解均为 BT x 0 的解.
(C) Bx 0 的解均为 Ax 0 的解.
(D) BT x 0 的解均为 AT x 0 的解.
1 0 1
(10)已知矩阵
A
2 1
1 2
15 若下三角可逆矩阵 P 和上三角可逆矩阵 Q ，使 PAQ 为对角
有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）
(1)当 x 0 时，
(e x2
t3
1)dt
时 x7
的
0
(A)低阶无穷小.
(B)等价无穷小.
(C)高阶无穷小.
(D)同阶但非等价无穷小.
江苏省苏州市-学年数学阳光指标学业模拟试卷 八年级数学（PDF版含答案答题卡）
·
·
（第 13 题） 14. 如图, 正方形网格中, 每一小格的边长为 1. 网格内有△
（第 14 题） , 则∠ +∠ 的度数是 ▲ .
初二数学 第二页 （共六页）
15. 一次函数 = +2 与 轴、 轴围成的三角形面积为 ▲ . （用含有 的代数式表示） 16. 在平面直角坐标系 中, （4, 2）, 绕原点 旋转 90° 得到 , 则 的坐标是 ▲ .
1. 下面的四个化学实验器材中, 是轴对称图形的是
量筒
锥形瓶
酒精灯
2. √3 729 的算术平方根等于
9
±9
3
3. 在平面直角坐标系中,点 （-2, 2+1）所在的象限是
为常数, 且 （3 +3, +1）, 则该点于正比例函数
导管 ±3
第四象限
=3
= -3
=1
=3 -1
15. 2
16.（-2, 4）或（2, -4） 17. 1 <3
18.7√3
三、解答题（本大题共 10 小题, 共 64 分. 请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作．答．. 解答时应写出文字说明、证明或演 算步骤. ）
19. （本题满分 5 分） 解: 原式=1+√3-√3-1
=0
20. （本题满分 5 分） （1）9 192 631 770 （2）9 192 631 770≈9 190 000 000=9.19×109
在 △ 中，∠ =90°，所以 =√2×42=4√2.
26. （本题满分 7 分） （1）因为∠ =∠ =2∠ ,
所以 5∠ =180°, 所以∠ =36°, ∠ =∠ =72°, 所以∠ABC=36°, ∠BDC=72°. 以为∠ =∠ =72°，所以 = . （2）36°，72°，72° 或 36°，36°，102°.
2021考研数学二真题及答案
2021考研数学真题及答案解析(数二)数学（二）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）(1)当0x →时，230(1)x t e dt -⎰时7x 的(A)低阶无穷小.(B)等价无穷小.(C)高阶无穷小.(D)同阶但非等价无穷小.【答案】C.【解析】因为当0x →时，23670(1)2(1)2x t x e dt x e x '⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦⎰ ，所以23(1)x t e dt -⎰是7x 高阶无穷小，正确答案为C.(2)函数1,0()=1,0x e x f x x x ⎧-≠⎪⎨⎪=⎩,在0x =处(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值.(C)可导且导数为0.(D)可导且导数不为0.【答案】D.【解析】因为001lim ()=lim 1(0)x x x e f x f x→→-==，故()f x 在0x =处连续；因为200011()(0)11lim =lim lim 002x x x x x e f x f e x x x x x →→→-----==--，故1(0)2f '=，正确答案为D.(3)有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s ，3-cm/s ，当底面半径为10cm ，高为5cm 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为(A)1253/cm s π，402/cm s π.(B)1253/cm s π，-402/cm s π.(C)-1003/cm s π，402/cm s π.(D)-1003/cm s π，-402/cm s π.【答案】D.【解析】由题意知，2,3,dr dhdt dt==-又2,2,V r h S rh ππ==则22,22,dV dr dh dS dr dh rh r h r dt dt dt dt dt dtππππ=+=+当10,5r h ==时，100,40,dV dSdt dtππ=-=-选D.(4)设函数()ln (0)f x ax b x a =->有两个零点，则ba的取值范围是(A)(,)e +∞.(B)(0,)e .(C)1(0,)e.(D)1(,)e+∞.【答案】A.【解析】令()ln 0f x ax b x =-=，()b f x a x '=-，令()0f x '=有驻点b x a =，ln 0b b b f a b a a a ⎛⎫=⋅-⋅< ⎪⎝⎭，从而ln1b a >，可得be a>，正确答案为A.(5)设函数()sec f x x =在0x =处的2次泰勒多项式为21ax bx ++，则(A)11,.2a b ==-(B)11,.2a b ==(C)10,.2a b ==-(D)10,.2a b ==【答案】D.【解析】由22(0)()(0)(0)()2f f x f f x x o x '''=+++知当()sec f x x =时，2300(0)sec01,(0)(sec tan )0,(0)(sec tan sec )1,x x f f x x f x x x =='''=====+=则221()sec 1().2f x x x o x ==++故选D.(6)设函数(),f x y 可微，且2(1,)(1)x f x e x x +=+，22(,)2ln f x x x x =，则(1,1)df =(A)dx dy +.(B)dx dy -.(C)dy .(D)dy -.【答案】C.【解析】212(1,)(1,)(1)2(1)xxxf x e e f x e x x x ''+++=+++①2212(,)2(,)4ln 2f x x xf x x x x x''+=+②将00x y =⎧⎨=⎩，11x y =⎧⎨=⎩分别带入①②式有12(1,1)(1,1)1f f ''+=，12(1,1)2(1,1)2f f ''+=联立可得1(1,1)0f '=，2(1,1)1f '=，12(1,1)(1,1)(1,1)df f dx f dy dy ''=+=，故正确答案为C.(7)设函数()f x 在区间[]0,1上连续，则()1f x dx =⎰(A)1211lim22nn k k f n n →∞=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑.(B)1211lim2nn k k f n n →∞=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑.(C)2111lim2nn k k f n n→∞=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑.(D)2012lim2nx k k f n n→=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑.【答案】B.【解析】由定积分的定义知，将[0,1]分成n 份，取中间点的函数值，则11211()lim ,2nn k k f x dx f n n→∞=-⎛⎫=∑ ⎪⎝⎭⎰即选B.(8)二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数与负惯性指数依次为(A)2,0.(B)1,1.(C)2,1.(D)1,2.【答案】B.【解析】22221231223312122313(,,)()()()2222f x x x x x x x x x x x x x x x x =+++--=+++所以011121110A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故特征多项式为11||121(1)(3)11E A λλλλλλ---=---=+---令上式等于零，故特征值为1-，3，0，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1.故应选B.(9)设3阶矩阵()123,,ααα=A ，()123,,B βββ=，若向量组123,,ααα可以由向量组12,ββ线性表出，则(A)0Ax =的解均为0Bx =的解.(B)0TA x =的解均为0TB x =的解.(C)0Bx =的解均为0Ax =的解.(D)0TB x =的解均为0TA x =的解.【答案】D.【解析】令123123(,,),(,,),A a a a B βββ==由题123,,a a a 可由123,,βββ线性表示，即存在矩阵P ,使得,BP A =则当00TB x =时，000()0.TTTTA x BP x pB x ===恒成立，即选D.(10)已知矩阵101211125-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A 若下三角可逆矩阵P 和上三角可逆矩阵Q ，使PAQ 为对角矩阵，则P ，Q 可以分别取(A)100010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，101013001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)100210321⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，100010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(C)100210321⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，101013001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(D)100010131⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，123012001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.【答案】C.【解析】101100101100101100()211010013210013210125001026101000321---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A,E (,)=F P ,则100210321⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭P ;101100013010000000100101010013001001-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭F E ΛQ ，则101013001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Q .故应选C.二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.）(11)23x x dx +∞--∞=⎰.【答案】1ln 3.【解析】222220113233()3ln 3ln 3x x x x x dx x dx d x +∞+∞+∞----+∞-∞==--=-⋅=⎰⎰⎰.(12)设函数()y y x =由参数方程2214(1)t t x e t y t e t⎧=++⎨=-+⎩确定,则202t d ydx ==.【答案】23.【解析】由4221t t dy te t dx e +=+，得223(442)(21)(42)2(21)t t t t tt d y e te e te t e dx e +++-+=+，将0t =带入得20223t d ydx ==.(13)设函数(,)z z x y =由方程(1)ln arctan(2)1x z y z xy ++-=确定,则(0,2)zx ∂=∂.【答案】1.【解析】方程两边对x 求导得2212(1)014z z y z x y x z x x y ∂∂+++-=∂∂+，将0,2x y ==带入原方程得1z =，再将0,2,1x y z ===带入得1zx∂=∂.(14)已知函数11()t x f t dx dy y =⎰,则2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭.【答案】2ππ【解析】交换积分次序有21()sinty xf t dx y =-⎰，从而211()sin cos cos t y x tf t dx y dyy y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰11cos cos ty dy y ydy y =-21cos t t y ydy=-23332cos cos cos()2t u tf t t du tu t t⎛⎫'=+-⋅-⎝,故2fπ⎛⎫'=⎪⎝⎭2ππ-(15)微分方程0y y-=的通解y=.【答案】12123123cos sin,,,22xxy C e e C C C C C R-⎛⎫=++∈⎪⎪⎝⎭.【解析】由特征方程310λ-=得12,311,22iλλ==-±，故方程通解为12123123cos sin,,,22xxy C e e C C C C C R-⎛⎫=++∈⎪⎪⎝⎭.(16)多项式12121()211211x x xxf xxx-=-中3x项的系数为______________.【答案】-5.【解析】12211211112 121()1121211221211112131211 211x x xx x xxf x x x x x x xxx x xx----==-------所以展开式中含3x项的有33,4x x--，即3x项的系数为-5.三、解答题（本题共6小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）(17)(本题满分10分)求极限211lim1sinx txxe dte x→⎛⎫+⎪-⎪-⎪⎝⎭⎰.【答案】12.【解析】2200001sin11lim lim1sin(1)sinx xt tx xx xe dt x e dte x e x→→⎛⎫+--⎪-=⎪--⎪⎝⎭⎰⎰又因为22233001(1())()3x xt e dt t o t dt x x o x=++=++⎰⎰，故原式=3333222111(())(1())()3!3!2limxx x o x x x o x x x o xx→-++++--+=22201()12lim 2x x o x x →+=.(18)(本题满分12分)已知()1x xf x x=+，求()f x 的凹凸性及渐近线.【答案】凹区间(,1)-∞-，()0,+∞，凸区间(1,0)-.斜渐近线是1y x =-，1y x =--.【解析】因为22,01(),01x x xf x x x x⎧>⎪⎪+=⎨-⎪≤⎪+⎩，故0x >，()222()1x x f x x +'=+，()32()1f x x ''=+，0x <，()222()1x x f x x --'=+，()32()1f x x -''=+，所以x (,1)-∞-1-(1,0)-0()0,+∞()f x ''+-+()f x 凹拐点凸拐点凹凹区间(,1)-∞-，()0,+∞，凸区间(1,0)-.1lim1x x xx →-=∞+,1x =-是垂直渐近线.lim 1(1)x x x x x →+∞=+,lim (1) 1.(1)x x x x →+∞-=-+lim 1(1)x x x x x →-∞=-+,lim (1) 1.(1)x x x x →+∞-=-+斜渐近线是1y x =-，1y x =--.(19)(本题满分12分)()f x 满足216x x C =-+,L 为曲线()(49)y f x x =≤≤，L 的弧长为s ，L 绕x 轴旋转一周所形成的曲面的面积为A ,求s 和A .【答案】4259π.113x =-，31221()3f x x x =-，曲线的弧长944223s ===⎰⎰.曲面的侧面积31992244122(3A x xππ==-⎰⎰4259π=.(20)(本题满分12分)函数()y y x =的微分方程66xy y '-=-，满足10y =，(1)求()y x ；(2)P 为曲线()y y x =上的一点，曲线()y y x =在点P 的法线在y 轴上的截距为y I ，为使y I 最小，求P 的坐标.【答案】(1)()61.3x y x =+(2)41,3P ⎛⎫± ⎪⎝⎭时，y I 有最小值11.6【解析】(1)66'y y x x -=-,666()dx dx x x y e e dx C x -⎡⎤⎰⎰∴=-+⎢⎥⎣⎦⎰66611x C Cxx ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭将10y =代入，13C =，()61.3x y x ∴=+(2)设(),P x y ，则过P 点的切线方程为()52Y y x X x -=-，法线方程为()512Y y X x x-=--，令0X =，641132y x Y I x∴==++，偶函数，为此仅考虑()0,+∞令()'55220y I x x =-=， 1.x =()0,1x ∴∈，()'0y I <，()1116y y I I >=；()1,x ∈+∞，()'0y I >，()1116y y I I >=41,3P ⎛⎫∴± ⎪⎝⎭时，y I 有最小值11.6(21)(本题满分12分)曲线22222()(0,0)x y x y x y +=-≥≥与x 轴围成的区域为D ,求Dxydxdy ⎰⎰.【答案】148【解析】340sin cos Dxydxdy d drπθθθ=⎰⎰⎰2401cos 2sin cos 4d πθθθθ=⎰2401cos 2cos 216d πθθ=-⎰4301cos 248πθ=-148=.(22)(本小题满分12分)设矩阵210=1201A a b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭仅有两个不同的特征值.若A 相似于对角矩阵，求a ，b 的值，并求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵.【解析】由210120()(3)(1)01E A b a bλλλλλλλ---=--=---=---当3b =时，由A 相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则110(3)11010E A a -⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪--⎝⎭知，1a =-，此时，123λλ==所对应特征向量为12101,001αα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31λ=所对应的特征向量为3111α-⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，则1331P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭当1b =时，由A 相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则110()11010E A a --⎛⎫ ⎪-=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，知1a =，此时，121λλ==所对应特征向量为12101,001ββ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33λ=所对应的特征向量为3111α⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，则1113P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.。
2021研究生考试数学二真题及答案解析
2021考研数学真题及答案解析数学(二)一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.)⑴当0时，£_(/-i)必时％7的(A)低阶无穷小. (B)等价无穷小. (C)高阶无穷小. (D)同阶但非等价无穷小. 【答案】C.【解析】因为当时，=2x(/-1)〜2%7,所以边是％7高阶无穷小，正 确答案为C.>-1(2)函数 /(%>#u，在 ％=o 处 1,% = 0【答案】D.【解析】因为lim/⑶=lim —=1=/(0)，故/(%)在％ = 0处连续；n_i x因为 1in/(x )"(0)=ii m——=lim eX -1~X =-,故/'(0) =丄，正确答案为 D. x-0x-0 %2 2 2(3)有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s, -3 cm/s,当底面半径为10 cm ， 高为5 cm 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为(A) 125 兀cm 3 / ^ , 40 兀cm 2 / 5 . (B) 125 7vcm 3 / s ，-40 7rcm 2 / s . (C) - 1007rcm 3 / 5 , 40 ncm / 5 . (D) -100 7rcm 3 / s ，-40 Ticm 1 / s . 【答案】C.【解析】由题意知，— = 2, —= -3,又V = 7ir 2h.S = l7irh + l7ir 2⑷设函数/(%) = ax-blnx(a>0)有两个零点，则$的取值范围是 (A) (e ，+oo).(A) 连续且取极大值.(C)可导且导数为0. 连续且取极小值. (D)可导且导数不为0.(C)(0，一).dt dtdtdt dt dtdt dt dt 当 r = 10，/z = 5 时，=40/r ，选 C.【答案】A.【解析】/(x) = ax-Z7lnx = 0 , f\x) =a~ —,令/''(%) = 0 有驻点 ％ = —，f x a 从而ln->l,可得->e,正确答案为A.a a(5)设函数/(x) = secx 在* = 0处的2次泰勒多项式为1 + ax + bx 2，则 ,z 1、， 1(A) a = (B) a = l,b =—. (C) a = O^b = (D) a = Q^b =【答案】D.f (0) = sec 0 = 1，/ '(0) = (sec x tan x) 则 f (x ) - secx = 1 + ^-x 2 + a(x 2).故选 D.(6)设函数/(x ，j)可微，且/(x + l ，e x ) = x(x + l)2，/(x,x 2)=2x 2lnx ,则= (A) dx + dy . (W )dx-dy .(C)办.(D) ~dy【答案】c.【解析】乂'(x + l ，e x ) + e%(x + l ，e x ) = (x + 1)2 + 2X (X + 1)① f; (x ，x 2) + 2xf^ (x ，x 2) =4xlnx + 2x②X=1分别带入①②式有J = 1矶 1）壤 1） = 1，胭+ 2側1） = 2联立可得乂'（1，1） = 0，人'（1，1） = 1，#（1，1） = 乂'（1，1）办+人（1，1）办=办，故正确答案为C.（7）设函数/（%）在区间［0，1］上连续，则^f （x ）dx =即选B.(8) 二次型f (x p x 2，x 3) = (x x + %2)2 + (x 2 + x 3)2 — (x 3 — x x )2的正惯性指数与负惯【解 析】 由 /(x) = /(0) + /'(0)x + ifx 2+ a(x 2)知 当 /(x) = secx 时， x=o - 0,/ "(0) = (sec x tan 2x + sec 3x)尸⑼【答案】 【解析】 n2n2nk-V\ 1 (B) limj ；/«^oo<2^-012nv 各 M 2 (D) i 1培limV/B.由定积分的定义知，将［0，l ］分成77份，取中间点的函数值，则 —， n2n )lf /(x)d?x = lim S / JO n^oo k=l2n a .L b .ln ha a性指数依次为(A)2,0. (B)l，l. (C)2,l. (D)l,2. 【答案】B.【解析】/(x1?x2,x3) = (x t +x2)2 +(x2 +x3)2 -(x3 -xj2 = 2X22+2X{X2+2X2X3 + 2x^3，0 1n所以d =1 2 1，故特征多项式为1 1 0;2-1 -1\AE-A\= -1 -2-1 =(2+ 1)(2-3)2-1-1 乂令上式等于零，故特征值为-1，3, 0,故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1.故应选B.(9)设3阶矩阵J = (a p a 2，a 3)，B ，若向量组a p a 2，a 3可以由向量组為，代线 性表出，贝IJ(A) Ax = 0的解均为Bx = Q 的解. (B) A T X = 0的解均为B T X = 0的解. (C) Bx = 0的解均为Ax = 0的解. (D) B T X = 0的解均为A T x = 0的解. 【答案】D.【解析】令A = h ，a”a 3\B = (H/^，由题a”a 2,a 3可由A ，/W 3线性表示，即存在矩阵尸， 使得BP = A ，则当B T X Q = 0时，【答案】C. 【解析】r i0 0、2 -1 0「32 bp0 -1 1 0 0、p0 -11 00、p 0-1 1 0 0、2 -11 0 1 00 -13 -2 1 00 1-3 2 -1 02 -5 0 0 b2-610 b0 -32 b(為五)=A T X Q = (BPf x Q = P TB TX . = 0.恒成立，即选 D.若下三角可逆矩阵P 和上三角可逆矩阵使/Mg 为对角(B)-1 20、 0b，1 0 0、o r0 0、(C)2-10 ， 0 1 3.(D) 0 1 0「3 2 1,、0 0 1,J 3 b(I0 、0 00、 0 b -3、 272 -1 02021,2填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置(13)设函数z=z(x,y)由方程(x + l)z + jInz - arctan(2xj^) = 1 确定，则一 dx【答案】1.【解析】方程酿对X 求导得Z + (X + 1)盖”艺-南^x = 0,y = 2带入原方程得z = l,再将x = 0,少=2，z = 1带入得& = 1. dxycQS^-dy-^ ycGsydyCt COSU 7 cyli7ycosydy(1 0-p 00、0 1 -30 1’F、0 0 0 -> 0 0 01 0 0 1 0 1 0 10 1 3<0 0<0 0 b，则Q= 01 3 .故应选C.io二、上.)(11) j |%|3_%2 dx = 【答案】—.In 3 醐】［|x|yXdx = 2\{ :\3-々x =-p_»-忐.3_ {XX 、确定’则>。
2021年高考真题——数学(新高考全国Ⅰ卷)+Word版含解析
2021年高考真题——数学(新高考全国Ⅰ卷)+Word版含解析2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷，共22小题，满分150分，考试用时120分钟。
请考生注意以下事项：1.在答题卡上填写姓名、考生号、考场号和座位号，并用2B铅笔填涂试卷类型（A）。
2.选择题答案用2B铅笔在答题卡上涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后再涂其他答案。
非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液。
3.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合$A=x-2<x<4$，$B=\{2,3,4,5\}$，则$A$为（）A。
$\{2\}$。
B。
$\{2,3\}$。
C。
$\varnothing$。
D。
$\{3,4\}$2.已知$z=2-i$，则$z(z+i)$为（）A。
$6-2i$。
B。
$4-2i$。
C。
$6+2i$。
D。
$4+2i$3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A。
2.B。
2$\sqrt{2}$。
C。
4.D。
4$\sqrt{2}$4.下列区间中，函数$f(x)=7\sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)$单调递增的区间是（）A。
$\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$。
B。
$\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$。
C。
$\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right)$。
D。
$\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right)$5.已知$F_1,F_2$是椭圆$C:x^2+y^2=1$的两个焦点，点$M$在$C$上，则$MF_1\cdot MF_2$的最大值为（）A。
2021年考研数学一真题及答案
2021考研数学真题及答案解析数学（一）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）(1)函数1,0()=1,0x e x f x x x ⎧-≠⎪⎨⎪=⎩,在0x =处(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值.(C)可导且导数为0.(D)可导且导数不为0.【答案】D.【解析】因为001lim ()=lim 1(0)x x x e f x f x→→-==，故()f x 在0x =处连续；因为200011()(0)11lim =lim lim 002x x x x x e f x f e x x x x x →→→-----==--，故1(0)2f '=，正确答案为D.(2)设函数(),f x y 可微，且2(1,)(1)xf x e x x +=+，22(,)2ln f x x x x =，则(1,1)df =(A)dx dy +.(B)dx dy -.(C)dy .(D)dy -.【答案】C.【解析】212(1,)(1,)(1)2(1)x x x f x e e f x e x x x ''+++=+++①2212(,)2(,)4ln 2f x x xf x x x x x''+=+②分别将00x y =⎧⎨=⎩，11x y =⎧⎨=⎩带入①②式有12(1,1)(1,1)1f f ''+=，12(1,1)2(1,1)2f f ''+=联立可得1(1,1)0f '=，2(1,1)1f '=，12(1,1)(1,1)(1,1)df f dx f dy dy ''=+=，故正确答案为C.(3)设函数2sin ()1x f x x =+在0x =处的3次泰勒多项式为23ax bx cx ++，则(A)71,0,6a b c ===-.(B)71,0,6a b c ===.(C)71,1,6a b c =-=-=-.(D)71,1,6a b c =-=-=.【答案】A.【解析】根据麦克劳林公式有3323332sin 7()()[1()]()166x x f x x o x x o x x x o x x ⎡⎤==-+⋅-+=-+⎢⎥+⎣⎦故71,0,6a b c ===-，本题选A.(4)设函数()f x 在区间[]0,1上连续，则()1f x dx =⎰(A)1211lim22nn k k f n n →∞=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑.(B)1211lim 2nn k k f n n→∞=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑.(C)2111lim 2nn k k f n n→∞=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑.(D)2012lim2nx k k f n n→=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑.【答案】B.【解析】由定积分的定义知，将()0,1分成n 份，取中间点的函数值，则11211()lim ,2nn k k f x dx f n n→∞=-⎛⎫=∑ ⎪⎝⎭⎰即选B.(5)二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数与负惯性指数依次为(A)2,0.(B)1,1.(C)2,1.(D)1,2.【答案】B.【解析】22221231223312122313(,,)()()()2222f x x x x x x x x x x x x x x x x =+++--=+++所以011121110A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故特征多项式为11||121(1)(3)11E A λλλλλλ---=---=+---令上式等于零，故特征值为1-，3，0，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1.故应选B.(6)已知1101α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2121α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3312α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，记11βα=，221k βαβ=-，331122l l βαββ=--，若1β，2β，3β两两正交，则1l ，2l 依次为(A)51,.22(B)51,.22-(C)51,.22-(D)51,.22--【答案】A.【解析】利用斯密特正交化方法知21221110[,]2[,]0αββαβββ⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭，313233121122[,][,][,][,]αβαββαββββββ=--，故31111[,]5[,]2l αβββ==，32222[,]1[,]2l αβββ==，故选A.(7)设,A B 为n 阶实矩阵，下列不成立的是(A)()2TA O r r A O A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭(B)()2T AAB r r A O A ⎛⎫=⎪⎝⎭(C)()2T ABA r r A OAA ⎛⎫=⎪⎝⎭(D)()2T A O r r A BA A ⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】C.【解析】(A)()()2().TTAO r r A r A A r A O A A ⎛⎫=+=⎪⎝⎭故A 正确.(B)AB 的列向量可由A 的列线性表示，故()()2().0TT TA AB A O r r r A r A r A OA A ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(C)BA 的列向量不一定能由A 的列线性表示.(D)BA 的行向量可由A 的行线性表示，()()2().0T T T A BA A O r r r A r A r A O A A ⎛⎫⎛⎫==+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭本题选C.(8)设A ，B 为随机事件，且0()1P B <<，下列命题中不成立的是(A)若(|)()P A B P A =，则(|)()P A B P A =.(B)若(|)()P A B P A >，则(|)()P A B P A >(C)若(|)(|)P A B P A B >，则(|)()P A B P A >.(D)若(|)(|)P A A B P A A B > ，则()()P A P B >.【答案】D.【解析】(())()(|)()()()()P A A B P A P A A B P A B P A P B P AB ==+- (())()()()(|)()()()()()P A A B P AB P B P AB P A A B P A B P A B P A P B P AB -===+- 因为(|)(|)P A A B P A A B > ，固有()()()P A P B P AB >-，故正确答案为D.(9)设()()()1122,,,,,,n n X Y X Y X Y 为来自总体()221212,;,;N μμσσρ的简单随机样本，令121111ˆ,,,,n ni i i i X X Y Y X Y n n θμμθ===-===-∑∑则(A)ˆθ是θ的无偏估计，()2212ˆD nσσθ+=(B)ˆθ不是θ的无偏估计，()2212ˆD nσσθ+=(C)ˆθ是θ的无偏估计，()2212122ˆD nσσρσσθ+-=(D)ˆθ不是θ的无偏估计，()2212122ˆD nσσρσσθ+-=【答案】C.【解析】因为,X Y 是二维正态分布，所以X 与Y 也服从二维正态分布，则X Y -也服从二维正态分布，即12ˆ()()()()E E X Y E X E Y θμμθ=-=-=-=，2212122ˆ()()()()cov(,)D D X Y D X D Y X Y nσσρσσθ+-=-=+-=，故正确答案为C.(10)设1216,,X X X 是来自总体(),4N μ的简单随机样本，考虑假设检验问题：01:10,:10.H H μμ≤>()x Φ表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为{}11W X =≥，其中161116i i X X ==∑，则11.5μ=时，该检验犯第二类错误的概率为(A)()10.5-Φ(B)()11-Φ(C)()1 1.5-Φ(D)()12-Φ【答案】B.【解析】所求概率为{11}P X <1(11.5,)4X N ，11.51111.5{11}1(1)1122X P X P ⎧⎫⎪⎪--<=≤=-Φ⎨⎬⎪⎪⎩⎭故本题选B.二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.）(11)222dxx x +∞=++⎰.【答案】4π【解析】2200arctan(1)22(1)1244dx dx x x x x πππ+∞+∞+∞==+=-=++++⎰⎰(12)设函数()y y x =由参数方程221,04(1),0t t x e t x y t e t x ⎧=++<⎨=-+≥⎩确定,则202t d ydx ==.【答案】23.【解析】由4221t t dy te tdx e +=+，得223(442)(21)(42)2(21)t t t t t t d y e te e te t e dx e +++-+=+，将0t =带入得20223t d y dx ==.(13)欧拉方程240x y xy y '''+-=满足条件(1)1,(1)2y y '==得解为y =.【答案】2x .【解析】令tx e =，则222,dy d y dyxy x y dt dx dx'''==-，原方程化为2240d y y dx -=，特征方程为240λ-=，特征根为122,2λλ==-，通解为22221212t t y C e C e C x C x --=+=+，将初始条件(1)1,(1)2y y '==带入得121,0C C ==，故满足初始条件的解为2y x =.(14)设∑为空间区域{}22(,,)44,02x y z x y z +≤≤≤表面的外侧，则曲面积分22x dydz y dzdx zdxdy ∑++=⎰⎰.【答案】4π.【解析】由高斯公式得原式=20(221)4Dx y dV dz dxdy πΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(15)设ij A a =为3阶矩阵，ij A 为代数余子式，若A 的每行元素之和均为2，且3A =，112131A A A ++=.【答案】32.【解析】1112111A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1,2,11A αλαλα⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭,则*A 的特征值为A λ，对应的特征向量为111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,*A A ααλ=而112131*122232132333,A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭112131*122232132333111111A A A A A A A A A A A λ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=++= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即11213132A A A ++=.(16)甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球.令X ,Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X 与Y 的相关系数.【答案】15.【解答】联合分布率(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(,)3113105510X Y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ,011122X ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 011122Y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭1cov(,)20X Y =，11,44DX DY ==,即15XY ρ=.三、解答题（本题共6小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）(17)(本题满分10分)求极限20011lim 1sin x t x x e dt e x →⎛⎫+ ⎪- ⎪- ⎪⎝⎭⎰.【答案】12.【解析】解：2200001sin 11lim lim 1sin (1)sin x x t t x x x x e dt x e dt e x e x →→⎛⎫+-- ⎪-= ⎪-- ⎪⎝⎭⎰⎰又因为22233001(1())()3x x te dt t o t dt x x o x =++=++⎰⎰，故原式=33332220111(())(1())()3!3!2lim x x x o x x x o x x x o x x →-++++--+=22201()12lim 2x x o x x →+=.(18)(本题满分12分)设11()(1,2,)(1)nxn n u x ex n n n -+=+=+ ，求级数1()n n u x ∞=∑的收敛域及和函数.【答案】(1)ln(1),(0,1)1(),11xxe x x x x e S x e x e --⎧+--+∈⎪⎪-=⎨⎪=⎪-⎩.【解析】1111()(),(1)nx n n n n S x u x e x n n ∞∞-+==⎡⎤==+⎢⎥+⎣⎦∑∑收敛域(0,1],11(),(0,1]1x nx xn e S x e x e -∞--===∈-∑11121111()(1)1n n n n n n x x S x x n n n n ++∞∞∞+=====-++∑∑∑ln(1)[ln(1)]x x x x =------(1)ln(1),(0,1)x x x x =--+∈221(1)lim ()1x S S x -→==(1)ln(1),(0,1)1(),11xxe x x x x e S x e x e --⎧+--+∈⎪⎪-=⎨⎪=⎪-⎩(19)(本题满分12分)已知曲线2226:4230x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩，求C 上的点到xoy 坐标面距离的最大值.【答案】66【解析】设拉格朗日函数()()222,,,,26(4230)L x y z z x y z x y z λμλμ=++--+++-240x L x u λ'=+=420L y y u λ'=+=20z L z u λ'=-+=2226x y z +-=4230x y z ++=解得驻点：(4,1,12),(8,2,66)--C 上的点(8,2,66)--到xoy 面距离最大为66.(20)(本题满分12分)设2D R ⊂是有界单连通闭区域，22()(4)DI D x y dxdy =--⎰⎰取得最大值的积分区域记为1D .(1)求1()I D 的值.(2)计算222214422()(4)4xy xy D xe y dx ye x dyx y ++∂++-+⎰，其中1D ∂是1D 的正向边界.【答案】π-.【解析】（1）由二重积分的几何意义知：22(D)(4)DI x y d σ=--⎰⎰，当且仅当224x y --在D 上大于0时，(D)I 达到最大，故2214：D x y +≤且22210(D )=(4)8I d r rdr πθπ-=⎰⎰.(2)补2222:4D x y r +=（r 很小），取2D 的方向为顺时针方向，222214422()(4)4xy xy D xe y dx ye x dyx y ++∂++-+⎰=2222222212244442222()(4)()(4)44xy xy xy xy D D D xe y dx ye x dyxe y dx ye x dyx y x y ++++∂+∂∂++-++-=-++⎰⎰2222222211142r r D D D e xdx ydy e ydx xdy d r r r σπ∂∂=-+--=-=-⎰⎰⎰⎰.(21)(本题满分12分)已知111111a A a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.(1)求正交矩阵P ,使得TP AP 为对角矩阵；(2)求正定矩阵C ,使得2(3).C a E A =+-【答案】(1)0P ⎛ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；(2)51135113315133C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭.【解析】(1)由21111(1)(2)011a E A aa a aλλλλλλ---=--=-+--=-得1232,1a a λλλ=+==-当12a λ=+时211101((2))121011112000a E A r -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的特征向量为1111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，当231a λλ==-所111111((1))111000111000a E A r ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 的特征向量为23111,102αα--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令312123,,0P αααααα⎛- ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则211Ta P AP a a +⎛⎫⎪=Λ=- ⎪ ⎪-⎝⎭，(2)21(3))((3)44T TP C P P a E A P a E ⎛⎫ ⎪=+-=+-Λ= ⎪⎪⎝⎭114242T T TP CPP CP P CP ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⇒=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故51131512133215133T C P P ⎛⎫-- ⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭.(22)(本题满分12分)在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X ,较长的一段长度记为Y ,令Y Z X=.(1)求X 的概率密度；(2)求Z 的概率密度.(3)求X E Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【答案】(1)1,01()0,x X f x <<⎧=⎨⎩ 其他；(2)22,1(1)()(())0,其他Z Z z z f z F z ⎧≥⎪'+==⎨⎪⎩.(3)12ln 2-+.【解析】(1)由题知：1,01()0,x X f x <<⎧=⎨⎩其他；(2)由2Y X =-，即2XZ X -=，先求Z 的分布函数：{}22()1Z X F z P Z z P z P z X X -⎧⎫⎧⎫=≤=≤=-≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭当1z <时，()0Z F z =；当1z ≥时，210222()1111111z Z F z P z P X dx X z z +⎧⎫⎧⎫=-≤=-≤=-=-⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭⎰；22,1(1)()(())0,其他Z Z z z f z F z ⎧≥⎪'+==⎨⎪⎩；(3)10112ln 222X X xE E dx Y Xx ⎛⎫⎛⎫==⋅=-+⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎰.。