高考数学大一轮复习 第8章 第6节 双曲线课件 文 新人教版
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【答案】 (1)A (2)44
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15
与双曲线定义相关的两个解题技巧： (1)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题 时，先弄清点在双曲线的哪支上，再结合||PF1|－|PF2||＝2a， 运用平方的方法，建立它与|PF1|·|PF2|的联系．
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16
(2)过焦点 F1 的弦 AB 与双曲线交在同支上，则 AB 与另 一个焦点 F2 构成的△ABF2 的周长为 4a＋2|AB|.
第六节 双曲线
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1
考纲要求：1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2. 知道双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、 渐近线).3.了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用.4.理 解数形结合的思想．
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2
[基础真题体验]
考查角度[双曲线及其几何性质] 1．(文)(2014·课标全国卷Ⅰ)已知双曲线ax22－y32＝1(a>0)
焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为( )
A.x52－2y02 ＝1
B.2x02 －y52＝1
C.32x52－130y02 ＝1
D.130x02 －32y52＝1
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20
(2)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0)，离心
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8
4．(2012·课标全国卷)等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点
在 x 轴上，C 与抛物线 y2＝16x 的准线交于 A，B 两点，|AB|
＝4 3，则 C 的实轴长为( )
A. 2
B．2 2
C．4
D．8
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9
【解析】 设 C：ax22－ay22＝1. ∵抛物线 y2＝16x 的准线为 x＝－4，联立ax22－ay22＝1 和 x ＝－4 得 A(－4, 16－a2)，B(－4，－ 16－a2)， ∴|AB|＝2 16－a2＝4 3，∴a＝2，∴2a＝4. ∴C 的实轴长为 4.
∴cos∠AF2F1
＝4a22＋×42aa×2－2a4a2＝14.
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14
(2)由双曲线方程知，b＝4，a＝3，c＝5，则虚轴长为 8， 则|PQ|＝16.由左焦点 F(－5,0)，且 A(5,0)恰为右焦点，知线段 PQ 过双曲线的右焦点，则 P，Q 都在双曲线的右支上．由双 曲线的定义可知|PF|－|PA|＝2a，|QF|－|QA|＝2a，两式相加得， |PF|＋|QF|－(|PA|＋|QA|)＝4a，则|PF|＋|QF|＝4a＋|PQ|＝4×3 ＋16＝28，故△PQF 的周长为 28＋16＝44.
【答案】 C
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10
[命题规律预测] 从近几年高考试题看，对本节内容的考查主要 体现在以下两个方面：1.双曲线的几何性质是 命题 高考命题的热点，其中渐近线方程及双曲线的 规律 离心率是命题的核心．2.题型以选择题、填空 题为主，难度中等． 考向 预测 2016 年高考仍将以双曲线的定义、几何性 预测 质为主要考查点，考查学生的双基及运算能力.
()
A．2
B．2 2
C．4
D．4 2
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5
【解析】 双曲线的一条渐近线方程为ax－by＝0，即 bx －ay＝0，焦点(c,0)到该渐近线的距离为 ab2＋c b2＝bcc＝ 3， 故 b＝ 3，结合ac＝2，c2＝a2＋b2 得 c＝2，则双曲线 C 的焦 距为 2c＝4.
【答案】 C
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17
[对点练习]
设 F1，F2 是双曲线 x2－2y42 ＝1 的两个焦点，P 是双曲
线上的一点，且 3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2 的面积等于( )
A．4 2
B．8 3
C．24
D．48
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18
【解析】 双曲线的实轴长为 2，焦距为|F1F2|＝2×5＝ 10.据题意和双曲线的定义知，2＝|PF1|－|PF2|＝43|PF2|－|PF2| ＝13|PF2|，∴|PF2|＝6，|PF1|＝8.
的离心率为 2，则 a＝( )
A．2
6 B. 2
5 C. 2
D．1
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3
【解析】 由题意得 e＝ a2a＋3＝2，∴ a2＋3＝2a， ∴a2＋3＝4a2，∴a2＝1，∴a＝1.
【答案】 D
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4
2．(2014·大纲全国卷)双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的
离心率为 2，焦点到渐近线的距离为 3，则 C 的焦距等于
【思路点拨】 (1)利用双曲线的性质及定义得△AF1F2 的各边关系，再运用余弦定理求解．
(2)判断 P，Q 所在曲线的位置，借助双曲线的定义求解 △PQF 的周长．
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13
【解析】 (1)由 e＝ac＝2，得 c＝2a，如图，由双曲线的 定义得|F1A|－|F2A|＝2a，
又|F1A|＝2|F2A|，故|F1A|＝4a，|F2A|＝2a，
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11
考向一 双曲线的定义
[典例剖析]
【例 1】 (1)(2014·大纲全国卷)已知双曲线 C 的离心率
为 2，焦点为 F1、F2，点 A 在 C 上．若|F1A|＝2|F2A|，则 cos
∠AF2F1＝( )
1
1
2
2
A.4
B.3
C. 4
D. 3
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12
(2)(2013·辽宁高考)已知 F 为双曲线 C：x92－1y62 ＝1 的左焦 点，P，Q 为 C 上的点．若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍，点 A(5,0)在线段 PQ 上，则△PQF 的周长为________．
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， ∴PF1⊥PF2，∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝12×6×8＝24. 【答案】 C
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19
考向二 双曲线的标准方程
[典例剖析]
【例 2】 (1)(2014·天津高考)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，
b>0)的一条渐近线平行于直线 l：y＝2x＋10，双曲线的一个
6
3．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，
b＞0)的离心率为 25，则 C 的渐近线方程为( )
A．y＝±14x
B．y＝±31x
C．y＝±21x
D．y＝±x
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7
【解析】 由 e＝ 25，得ac＝ 25，∴c＝ 25a，b＝ c2－a2 ＝12a.
而ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为 y＝±abx，
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与双曲线定义相关的两个解题技巧： (1)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题 时，先弄清点在双曲线的哪支上，再结合||PF1|－|PF2||＝2a， 运用平方的方法，建立它与|PF1|·|PF2|的联系．
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(2)过焦点 F1 的弦 AB 与双曲线交在同支上，则 AB 与另 一个焦点 F2 构成的△ABF2 的周长为 4a＋2|AB|.
第六节 双曲线
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1
考纲要求：1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2. 知道双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、 渐近线).3.了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用.4.理 解数形结合的思想．
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[基础真题体验]
考查角度[双曲线及其几何性质] 1．(文)(2014·课标全国卷Ⅰ)已知双曲线ax22－y32＝1(a>0)
焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为( )
A.x52－2y02 ＝1
B.2x02 －y52＝1
C.32x52－130y02 ＝1
D.130x02 －32y52＝1
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(2)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0)，离心
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4．(2012·课标全国卷)等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点
在 x 轴上，C 与抛物线 y2＝16x 的准线交于 A，B 两点，|AB|
＝4 3，则 C 的实轴长为( )
A. 2
B．2 2
C．4
D．8
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【解析】 设 C：ax22－ay22＝1. ∵抛物线 y2＝16x 的准线为 x＝－4，联立ax22－ay22＝1 和 x ＝－4 得 A(－4, 16－a2)，B(－4，－ 16－a2)， ∴|AB|＝2 16－a2＝4 3，∴a＝2，∴2a＝4. ∴C 的实轴长为 4.
∴cos∠AF2F1
＝4a22＋×42aa×2－2a4a2＝14.
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(2)由双曲线方程知，b＝4，a＝3，c＝5，则虚轴长为 8， 则|PQ|＝16.由左焦点 F(－5,0)，且 A(5,0)恰为右焦点，知线段 PQ 过双曲线的右焦点，则 P，Q 都在双曲线的右支上．由双 曲线的定义可知|PF|－|PA|＝2a，|QF|－|QA|＝2a，两式相加得， |PF|＋|QF|－(|PA|＋|QA|)＝4a，则|PF|＋|QF|＝4a＋|PQ|＝4×3 ＋16＝28，故△PQF 的周长为 28＋16＝44.
【答案】 C
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[命题规律预测] 从近几年高考试题看，对本节内容的考查主要 体现在以下两个方面：1.双曲线的几何性质是 命题 高考命题的热点，其中渐近线方程及双曲线的 规律 离心率是命题的核心．2.题型以选择题、填空 题为主，难度中等． 考向 预测 2016 年高考仍将以双曲线的定义、几何性 预测 质为主要考查点，考查学生的双基及运算能力.
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A．2
B．2 2
C．4
D．4 2
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【解析】 双曲线的一条渐近线方程为ax－by＝0，即 bx －ay＝0，焦点(c,0)到该渐近线的距离为 ab2＋c b2＝bcc＝ 3， 故 b＝ 3，结合ac＝2，c2＝a2＋b2 得 c＝2，则双曲线 C 的焦 距为 2c＝4.
【答案】 C
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[对点练习]
设 F1，F2 是双曲线 x2－2y42 ＝1 的两个焦点，P 是双曲
线上的一点，且 3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2 的面积等于( )
A．4 2
B．8 3
C．24
D．48
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【解析】 双曲线的实轴长为 2，焦距为|F1F2|＝2×5＝ 10.据题意和双曲线的定义知，2＝|PF1|－|PF2|＝43|PF2|－|PF2| ＝13|PF2|，∴|PF2|＝6，|PF1|＝8.
的离心率为 2，则 a＝( )
A．2
6 B. 2
5 C. 2
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【解析】 由题意得 e＝ a2a＋3＝2，∴ a2＋3＝2a， ∴a2＋3＝4a2，∴a2＝1，∴a＝1.
【答案】 D
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2．(2014·大纲全国卷)双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的
离心率为 2，焦点到渐近线的距离为 3，则 C 的焦距等于
【思路点拨】 (1)利用双曲线的性质及定义得△AF1F2 的各边关系，再运用余弦定理求解．
(2)判断 P，Q 所在曲线的位置，借助双曲线的定义求解 △PQF 的周长．
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【解析】 (1)由 e＝ac＝2，得 c＝2a，如图，由双曲线的 定义得|F1A|－|F2A|＝2a，
又|F1A|＝2|F2A|，故|F1A|＝4a，|F2A|＝2a，
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考向一 双曲线的定义
[典例剖析]
【例 1】 (1)(2014·大纲全国卷)已知双曲线 C 的离心率
为 2，焦点为 F1、F2，点 A 在 C 上．若|F1A|＝2|F2A|，则 cos
∠AF2F1＝( )
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A.4
B.3
C. 4
D. 3
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(2)(2013·辽宁高考)已知 F 为双曲线 C：x92－1y62 ＝1 的左焦 点，P，Q 为 C 上的点．若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍，点 A(5,0)在线段 PQ 上，则△PQF 的周长为________．
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， ∴PF1⊥PF2，∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝12×6×8＝24. 【答案】 C
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19
考向二 双曲线的标准方程
[典例剖析]
【例 2】 (1)(2014·天津高考)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，
b>0)的一条渐近线平行于直线 l：y＝2x＋10，双曲线的一个
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3．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，
b＞0)的离心率为 25，则 C 的渐近线方程为( )
A．y＝±14x
B．y＝±31x
C．y＝±21x
D．y＝±x
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【解析】 由 e＝ 25，得ac＝ 25，∴c＝ 25a，b＝ c2－a2 ＝12a.
而ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为 y＝±abx，