高中数学第一章三角函数章节复习

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①求此函数的解析式;
②求此函数的单调递增区间.
专题一 专题二 专题三
(1)解析:∵f
π 4
=-A,
∴sin
π 4
+
������
=-1,
∴φ=54π+2kπ,k∈Z,
∴y=f
3π 4
-������
=Asin(-x)=-Asin x,
∴y=f
3π 4
-������
是奇函数,且当 x=π2时取得最小值.
答案:C
专题一 专题二 专题三
(2)解:①由题意得 A=3,12T=5π,
∴T=10π,∴ω=2���π���
= 15.∴y=3sin
1 ������ + ������
.
所以当 t=- 22,

x=-π4时,f(x)有最小值,且最小值为-
-
2 2
-
1 2
2
+
5 4
=
12
2.
专题一 专题二 专题三
变式训练 3(1)当 x=π4时,函数 y=f(x)=Asin(x+φ)(A>0)取得最小值,
则函数 y=f
3π 4
-������
是(
)
A.奇函数,且当 x=π2时取得最大值
������ ������
=34.
(2)①由已知得 sin(π+θ)=2 2,cos(π+θ)=-1,
3
3
于是-cos θ=-1,
3
从而 cos θ=1.
3
22
②由①知
tan(π+θ)=
3
-13
=-2
2,
即 tan θ=-2 2.
因此,tan(θ-3π)=tan θ=-2 2.
专题一 专题二 专题三
专题一 专题二 专题三
专题一 三角函数的求值与化简 三角函数的求值与化简主要是指根据三角函数的定义及诱导公 式求三角函数式的值或对三角函数式化简.要掌握三角函数的定义、 特殊角的三角函数值,熟记诱导公式.
专题一 专题二 专题三
【例1】 (1)已知角α终边上一点P(-4,3),
求sicno(s4(ππ--������������))csoins((33ππ+-���������)���s)icno(s-ππ2-+������)���s���inco1s321π52+π���-��������� 的值.
1 2
������-
π 3
的图像,再向左平移π3个单位,得到
y=sin
1Байду номын сангаас2
������
+
π 3
-
π 3
的图像,即
y=sin
1 2
������-
π 6
的图像.
答案:(1)910π
(2)y=sin
1 2
������-
π 6
专题一 专题二 专题三
专题三 三角函数的性质 1.三角函数的周期在不加说明的情况下,就是指最小正周期.求三 角函数的周期一般要先通过三角恒等变形将三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)+k,y=Acos(ωx+φ)+k及y=Atan(ωx+φ)+k的形式,再用 公式求解,另外还可以利用图像求出三角函数的周期. 2.研究函数y=Asin(ωx+φ)的奇偶性时,应先考虑其定义域,若其定 义域关于原点对称,则当φ=kπ(k∈Z)时,函数为奇函数;当 φ=kπ+π2(k∈Z)时,函数为偶函数;当 φ≠������2π(k∈Z)时,函数为非奇非偶 函数. 3.求函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A≠0,ω>0)的单调区 间时(若ω<0,可先利用诱导公式将x前的系数ω变成正值),应把 ωx+φ视为一个整体,由A的符号来确定单调性.
变式训练1(1)角α的终边上有一点P(m,5),且cos
α=
������ 13
(m≠0),则sin
α+cos α=
.
(2)求值:
3sin -203π tan113π
-cos143π·tan
-
37π 4
.
(1)答案:-173

17 13
(2)解:原式=ta-n33siπn+20233ππ
+cos

+
,π,
3π 2
,2π
图像变换:平移变换、伸缩变换
定义域:R
������ = ������sin(������������ + ������)的性质
值域:[-|������|,|������|]
周期:������
=
2π |������|
奇偶性:当������
=
������π(������∈Z)时,为奇函数;当������
B.偶函数,且图像关于点(π,0)对称
C.奇函数,且当 x=π2时取得最小值
D.偶函数,且图像关于点
π 2
,0
对称
(2)函数y=Asin(ωx+φ)
������ > 0,������
π > 0,0 ≤ ������ ≤ 2
在x∈(0,7π)内只取
到一次最大值和一次最小值,且当x=π时,ymax=3;当x=6π时,ymin=-3.
5π 4
·tan347π
-
=
t3asni2n3π23π+cos54π·tanπ4=-

3 2
-3
+
-
2 2
×1=
3 2

2 2
=
32
2.
专题一 专题二 专题三
专题二 三角函数的图像与变换 三角函数的图像一般用五点法作图,作图的关键是正确找出五个 关键点;根据三角函数的图像求解析式可以利用代入法,也可以用 五点作图中的关键点法;图像的变换问题要注意变换的顺序以及函 数名的统一.
=
-si n2������cos ������ -cos
π 2
-������
(-cos ������)sin ������[-(-sin ������)]sin
π 2
+������
=-scions2������������scions2������������scions������������=-csoins
又 所函以数2×图π3+像φ经=π过,则点φ=π3π3,0, ,
故函数的解析式为 f(x)=
2sin
2������
+
π 3
,
所以 f(0)= 2sinπ3 = 26.
答案:(1)A
(2)
6 2
专题一 专题二 专题三
变式训练2(1)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图像如图所
示,则φ=
������
=
tan������:������

������π
+
π 2
,������∈Z,������∈R,������
=
π,奇函数,仅有递增区间
������ = ������sin(������������ + ������)的图像
五点法作图 :令������������
+
������
=
0,
π 2
专题一 专题二 专题三
4.求三角函数的最值有三种方法:(1)利用函数y=Asin(ωx+φ)的值 域求得;(2)利用换元法,把sin x,cos x看成一个变量,转化为求二次函 数的最值;(3)利用数形结合.
专题一 专题二 专题三
【例 3】
(1)函数 y=cos
π 4
-������
在(
)
A.[-π,0]上是增加的
专题一 专题二 专题三
【例2】 函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0)的部分图
像如图所示,则f(0)的值是
.
解析:由图可知,A=
2,
������ 4
=
7π 12

π 3
=
π4,
所以 T=π,ω=2���π��� =2.
又 所以函数2×图π3+像φ经=π过,则点φ=π3π3,0, ,
D.2π
(3)已知|x|≤π4,求函数 y=f(x)=-sin2x+sin x+1 的最小值.
专题一 专题二 专题三
(当1)解2k析π-π:y≤=xco-π4s≤π42-k������π(=k∈cosZ)���时���- π4,函,数是增加的,
解得 2kπ-34π≤x≤2kπ+π4(k∈Z).
当 k=0 时,-34π≤x≤π4,
=
������π
+
π 2
(������∈Z)时,为偶函数
单调性:有递增和递减区间
对称性:对称中心
������π-������ ������
,0
(������∈Z),对称轴 ������
=
������π+π2-������ ������
(������∈Z)
实际应用:在生活、建筑、物理、航海等方面的应用
=
������π
+
π 2
(������∈Z)
终边相同的角的集合:{������|������ = 2������π + ������,������∈Z}
三角函数
三角函数的定义:sin ������
=
������ ������
,cos������
=
������ ������
,tan������
=
������ ������
专题一 专题二 专题三
解:(1)由已知得 x=-4,y=3,r= ������2 + ������2=5,
所以 sin α=3,cos α=-4,于是
5
5
原式=(-co(s-s���i���n)s���i���n)((-πco-���s���)���[���-)s(i-nsi(nπ���+���)���c���o)]ssi7nπ6+π+π2-���π2��� +������
.
倍((2纵)将坐函标数不变y=)s,i再n 将������-所π3 得的图图像像上上的所所有有点点的向横左坐平标移伸π3长个到单原位来长的度,2得
到的图像对应的解析式是
.
专题一 专题二 专题三
解析:(2)将函数 y=sin
������-
π 3
图像上所有点的横坐标伸长到原来
的 2 倍,得到函数 y=sin
2(������
+
������)
+
π 4
=sin
2������
+
2������
+
π 4
,
π
则只要将函数y=f(x)的图像上所有点向左平移 8 个单位长度就
得到函数g(x)=cos ωx的图像.
专题一 专题二 专题三
(2)由图可知,A=
2,
������ 4
=
7π 12

π 3
=
π4,
所以 T=π,ω=2���π��� =2.
°,1°
=
π 180
rad
公式:| ������|
=
������ ������
,������
=
1 2
������������
象限角和轴线角
象限角:终边落在第几象限就是第几象限角
轴线角:终边 在������轴上 :������
=
������π(������∈ Z),终边在 ������轴 上:������
所以 ω=2,故 f(x)的最小正周期为22π=π.
答案:C
专题一 专题二 专题三
(3)思路分析:利用换元法转化为求二次函数的最值问题.
解:令t=sin x.
因为|x|≤π4,所以- 22≤sin x≤ 22.
所以 y=-t2+t+1=-
������-
1 2
2
+
5 4
-
2 2

������

2 2
(2)若角 π+θ 的终边与单位圆的交点是 P
-
1 3
,
22 3
.
①求cos θ的值;
②求tan(θ-3π)的值.
分析:(1)先根据三角函数的定义求出sin α,cos α,tan α的值,再将待
求值式子化简,最后代入求值.(2)根据三角函数的定义,先求出
sin(π+θ)与cos(π+θ)以及tan(π+θ)的值,再化简求值.
故函数在
-
3π 4
,
π 4
上是增加的.
答案:B
专题一 专题二 专题三
(2)解析:因为
sin
������������
+
π 6
= 12,
所以 ωx1+π6 = π6+2k1π(k1∈Z)或 ωx2+π6 = 56π+2k2π(k2∈Z),
则 又相ω(邻x2交-x1点)=距23π离+2的(k最2-k小1)π值(k为1,kπ32∈, Z).
高中数学专题复习 第一章三角函数 章节复习
角:一条射线绕其端点旋转所形成的图形叫作角
概念 正角:按逆时针方向旋转所成的角 零角:没有任何旋转的角
负角:按顺时 针方向旋 转所成 的角
1 弧度的角:在单位圆(半径为 1 的圆)中,单位长度的弧所对的圆心角为 1 弧度的角
任意角
弧度制
1rad =
180 π
诱导公式:2������π
+
������(������∈Z),-������,π
±
������,
π 2
±
������,2π-������
三角函数
������ = sin������:������∈R,������∈[-1,1],������ = 2π,奇函数,有递增和递减区间
性质 ������ = cos������:������∈R,������∈[-1,1],������ = 2π,偶函数,有递增和递减区间
故函数的解析式为 f(x)=
2sin
2������
+
π 3
,
所以 f(0)= 2sinπ3 = 26.
答案:
6 2
专题一 专题二 专题三
解析:(1)由于T=π,则ω=2,
因此,f(x)=sin
2������
+
π 4
.
又因为 g(x)=cos 2x=sin
2������
+
π 2
,
而 f(x+φ)=sin 故 φ=π8,
B.
-
3π 4
,
π 4
上是增加的
C.
-
π 2
,
π 2
上是增加的
D.
π 4
,
5π 4
上是增加的
y=(12)的已交知点函中数,若f(x相)=邻2s交in点������距������ 离+ 的π6 (最ω小>0值,x∈为Rπ3,)则.在f曲(x)线的最y=小f(x正)与周直期线为
()
A.π2
B.23π
C.π
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