第八节 n次独立重复试验与二项分布

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考点三
n次独立重复试验与二项分布
独立重复试验与二项分布 [典例引领]
结束
一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次
击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次
后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现 三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分(即获得－ 200 分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音 乐相互独立．
n次独立重复试验与二项分布 结 束
第八节
n 次独立重复试验与二项分布
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1．条件概率
n次独立重复试验与二项分布 结 束
条件概率的定义
条件概率的性质
已知B发生的条件下，A发生的概率，称
为B发生时A发生的条件概率，记为
P__(A__|B_)_．
次，击中目标”为事件 B.“两人都击中目标”是事件 AB；
“恰有 1 人击中目标”是 A B ∪ A B；“至少有 1 人击中
目标”是 AB∪A B ∪ A B.
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n次独立重复试验与二项分布 结 束
(1)显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件 AB，又由 于事件 A 与 B 相互独立， ∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.8＝0.64. (2)“两人各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况： 一种是甲击中乙未击中(即 A B )，另一种是甲未击中乙击中(即 A B)．根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生， 即事件 A B 与 A B 是互斥的，所以所求概率为 P＝P(A B )＋P( A B)＝P(A)·P( B )＋P( A )·P(B)＝0.8×(1－0.8)＋(1－0.8)×0.8＝ 0.16＋0.16＝0.32. (3)“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为 P＝ P(AB)＋[P(A B )＋P( A B)]＝0.64＋0.32＝0.96.
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n次独立重复试验与二项分布 结 束
[由题悟法] 相互独立事件中求复杂事件概率的解题思路 (1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和． (2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易 求)概率的相互独立事件的积事件． (3)代入概率的积、和公式求解．
＝12×12＋12×12＝0.5，故选 B.
答案：B
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2．(教材习题改编)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测 试 3 次，那么其中恰有 1 次获得通过的概率是________． 解析：所求概率 P＝C31·131·1－133－1＝49. 答案：49
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n次独立重复试验与二项分布 结 束
解：(1)设 A 表示事件“观众甲选中 3 号歌手”，B 表示事件“观 众乙选中 3 号歌手”， 则 P(A)＝CC3212＝23，P(B)＝CC2354＝35. ∵事件 A 与 B 相互独立，A 与 B 相互独立，则 A·B 表示事件“甲 选中 3 号歌手，且乙没选中 3 号歌手”． ∴P(A B )＝P(A)·P( B )＝P(A)·[1－P(B)]＝23×25＝145. 即观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率是145.
解析：设目标被击中为事件 B，目标被甲击中为事件
A，则由 P(B)＝0.6×0.5＋0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.8，
得 P(A|B)＝PPABB＝PPAB＝00..68＝0.75. 答案：D
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考点二 相互独立事件同时发生的概率 [典例引领]
(2017·南宁二中检测)在一场娱乐晚会上，有 5 位民间歌手(1 到 5 号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位 观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手，其中观众甲是 1 号歌手 的歌迷，他必选 1 号，不选 2 号，另在 3 至 5 号中随机选 2 名．观 众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 1 至 5 号中选 3 名 歌手． (1)求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率； (2)X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X≥2” 的事件概率．
1 ∴P(B|A)＝PPAAB＝33＝59，故选 B.
5
答案：B
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n次独立重复试验与二项分布
[谨记通法]
结束
条件概率的 2 种求法
(1)定义法
先求 P(A)和 P(AB)，再由 P(B|A)＝PPAAB，求 P(B|A)． (2)基本事件法
算 示第i次试验结果，
公 则P(A1A2A3…An)＝ 式 P(A1)P(A2)…P(An)
好发生 k 次的概率为 P(X＝k)＝Ckn pk(1－p)n－k(k＝0，1,2，…，n)
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[小题体验]
(1)设每盘游戏获得的分数为 X，求 X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
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1．易混“相互独立”和“事件互斥” 两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独 立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率 没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．
2．P(B|A)与 P(A|B)易混淆为等同 前者是在 A 发生的条件下 B 发生的概率，后者是在 B 发生的条件下 A 发生的概率．
2．从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A＝“取到的 2 个
数之和为偶数”，事件 B＝“取到的 2 个数均为偶数”，
则 P(B|A)＝
()
1
1
2
1
A.8
B.4
C.5
D.2
解析：法一：P(A)＝C23C＋25C22＝140＝25，P(AB)＝CC5222＝110.由条 1
件概率计算公式，得 P(B|A)＝PPAAB＝120＝14. 5
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考点一 条件概率
[题组练透]
1．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别
为 0.6 和 0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概
率为
()
A．0.45
B．0.6
C．0.65
D．0.75
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n次独立重复试验与二项分布
[即时应用]
结束
甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是
0.8，计算：
(1)两人都击中目标的概率；
(2)其中恰有一人击中目标的概率；
(3)至少有一人击中目标的概率． 解：记“甲射击一次，击中目标”为事件 A，“乙射击一
1．抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝{第一枚为正面向上}，B＝{第
二枚为正面向上}，则事件 C＝{两枚向上的面为一正一反}的
概率为
()
A．0.25
B．0.5
C．0.75
D．0.375
解析： P(A)＝P(B)＝12，P( A )＝P( B )＝12.
来自百度文库
则 P(C)＝P(A B ＋ A B)＝P(A)P( B )＋P( A )P(B)
当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率
公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再在事件 A 发生的条
件下求事件 B 包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A)＝nnAAB.
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3．独立重复试验与二项分布
独立重复试验
二项分布
在相同条件下重复
定 义
做的n次试验称为n
次独立重复试验
在n次独立重复试验中，用X表示 事件A发生的次数，设每次试验 中事件A发生的概率为p，此时称 随机变量X服从二项分布，记作 _X_～__B__(n_，__p_)_，并称p为成__功__概__率__
计 Ai(i＝1,2，…，n)表 在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰
3．易混淆二项分布与两点分布 由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二 项分布，即 n＝1 时的二项分布．
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[小题纠偏]
1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件 A，
“第二次出现反面”为事件 B，则 P(B|A)等于 ( )
(1)0≤P(B|A)≤1；
当P(B)>0时，我们有P(A|B)＝ PA∩B . (2)如果B和C是两
PB (其中，A∩B也可以记成AB)
个互斥事件，则
类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的 P(B∪C|A)＝
PA∩B
_P_(_B_|A__)＋__P__(C__|A_)_
条件概率为P(B|A)＝ PB
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2．事件的相互独立性
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P(A)P(B)
P(A)P(B)
P(B) A与B A与 B A与B
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法二：取到的 2 个数之和为偶数基本事件数 n(A)＝C23＋C22＝ 4，在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数 n(AB)
＝1，则 P(B|A)＝nnAAB＝14.
答案：B
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1
1
1
1
A.2
B.4
C.6
D.8
解析：由古典概型知 P(A)＝12，P(AB)＝14，则由条件概率知
1 P(B|A)＝PPAAB＝41＝12.
2 答案：A
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2．有一批种子的发芽率为 0.9，出芽后的幼苗成活率为 0.8，在 这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概 率为________． 解析：由题意可得所求概率为 0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能 成长为幼苗的概率为 0.72. 答案：0.72
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(2)X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X≥2”
的事件概率． 解：设 C 表示事件“观众丙选中 3 号歌手”，则 P(C)＝CC2354＝35，
依题意，A，B，C 相互独立， A ， B ， C 相互独立， 且 AB C ，A B C， A BC，ABC 彼此互斥． 又 P(X＝2)＝P(AB C )＋P(A B C)＋P( A BC) ＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3735， P(X＝3)＝P(ABC)＝23×35×35＝1785， ∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝3735＋1785＝1275.
3．(2017·桂林调研)某盒中装有 10 只乒乓球，其中 6 只新球，
4 只旧球，不放回地依次摸出 2 个球使用，在第一次摸出
新球的条件下，第二次也取到新球的概率为 ( )
3
5
1
2
A.5
B.9
C.10
D.5
解析：第一次摸出新球记为事件 A，则 P(A)＝35，
第二次取到新球记为事件 B，则 P(AB)＝CC12260＝13，