高中数学：平面向量知识点

高中数学:平面向量知识点 知识点归纳

一.向量的基本概念与基本运算

1、向量的概念:

①向量:既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

②零向量:长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行

③单位向量:模为1个单位长度的向量

④平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量

⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量

2、向量加法:设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC

（1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律；

AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”．

(3)三角形法则和平行四边形法则:

3、向量的减法: ① 相反向量:与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量

②向量减法:向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法:b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）

4、实数与向量的积:实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下:

（Ⅰ）a a ⋅=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与

a 的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的

5、两个向量共线定理:向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ

6、平面向量的基本定理:如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向

量a ，有且只有一对实数21,λλ使:2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所

有向量的一组基底

二.平面向量的坐标表示

1平面向量的坐标表示:平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，记作a =(x,y)。 2平面向量的坐标运算:

(1)若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±±

(2)若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--

(3)若a =(x,y)，则λa =(λx, λy)

(4)若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-=

(5)若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅

a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x

三．平面向量的数量积

1两个向量的数量积: 已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ 叫做a 与b 的数量积（或内积） 规定00a ⋅= 2向量的投影:︱b ︱cos θ=||a b a ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 3数量积的几何意义: a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系:22||a a a a ⋅== 5乘法公式成立: ()()2222a b a b a b a

b +⋅-=-=-； ()2222a b a a b b ±=±⋅+22

2a a b b =±⋅+ 6平面向量数量积的运算律: ①交换律成立:a b b a ⋅=⋅ ②对实数的结合律成立:()()()

()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈ ③分配律成立:()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅±

特别注意:（1）结合律不成立:()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅； （2）消去律不成立a b a c ⋅=⋅不能得到b c =⋅ （3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =0

7两个向量的数量积的坐标运算:

已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y + 8向量的夹角:已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤

θ）叫做向量a 与b 的夹角

cos θ=cos ,a b

a b a b •<>=•=当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 9垂直:如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b 10两个非零向量垂直的充要条件: a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔2121=+y y x x 平面向量数量积的性质