2018届杨浦区高三一模数学试卷及解析

⎝ ⎭n- 2 上海市杨浦区 2018 届高三一模数学试卷2017.12一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1. 计算lim(1 - 1) 的结果是n →∞n2. 已知集合 A = {1, 2, m } ， B = {3, 4}，若 A I B = {3} ，则实数 m =3. 已知cos θ= - 3 ，则sin(θ+ 5 π) =24. 若行列式2x -1 4 = 0 ，则 x =1 2⎛ 1 -1 2 ⎫5. 已知一个关于 x 、 y 的二元一次方程组的增广矩阵是 0 1 2 ⎪ ，则x + y =6. 在(x - 2)6 的二项展开式中，常数项的值为x7. 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具）， 先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和为 4 的概率是8. 数列{a } 的前n 项和为 S ，若点(n , S ) （ n ∈ N *）在函数 y = log (x + 1) 的反函数的图像上，则 a n =9. 在∆ABC 中，若sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则角 B 的最大值为10. 抛物线 y 2= -8x 的焦点与双曲线x 2a 2y= 1 的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近 线的夹角为11. 已知函数 f (x ) = cos x (sin x + 为奇函数，则α的值为x 2 23 cos x ) - 3 ，x ∈ R ，设 a > 0 ，若函数 g (x ) = f (x +α)212. 已知点C 、 D 是椭圆 + y 4= 1 上的两个动点，且点 M (0, 2) ，若 MD = λMC ，则实数λ的取值范围为二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. 在复平面内，复数 z = 2 - i 对应的点位于（ ）iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2 14. 给出下列函数：① y = log x ；② y = x 2 ；③ y = 2|x | ；④ y = arcsin x . 其中图像关于 y 轴对称的函数的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④15. “ t ≥ 0 ”是“函数 f (x ) = x 2 + tx - t 在(-∞, +∞) 内存在零点”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件16. 设 A 、B 、C 、D 是半径为 1 的球面上的四个不同点，且满足 AB ⋅ AC = 0 ，AC ⋅ AD = 0 ，AD ⋅ AB = 0 ，用 S 1 、S 2 、S 3 分别表示∆ABC 、∆ACD 、∆ABD 的面积，则 S 1 + S 2 + S 3 的最大值是（）A. 12B. 2C. 4D. 8三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.（1） 设场地面积为 y ，垂直于墙的边长为 x ，试用解析式将 y 表示成 x 的函数，并确定这个函数的定义域；（2） 怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？18. 如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA 和OB 互相垂直，且OA = 3 ， P 是母线BS 的中点.（1） 求圆锥的体积；（2） 求异面直线 SO 与 PA 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）0 019. 已知函数 f (x ) = ln1 + x的定义域为集合 A ，集合 B = (a , a + 1) ，且 B ⊆ A .1 - x（1） 求实数 a 的取值范围；（2） 求证：函数 f (x ) 是奇函数但不是偶函数.20. 设直线l 与抛物线Ω : y 2 = 4x 相交于不同两点 A 、 B ， O 为坐标原点.（1） 求抛物线Ω 的焦点到准线的距离； （2） 若直线l 又与圆C : (x - 5)2+ y 2 = 16 相切于点 M ，且 M 为线段 AB 的中点，求直线l的方程；（3） 若OA ⋅ O B = 0 ，点Q 在线段 AB 上，满足OQ ⊥ AB ，求点Q 的轨迹方程.21. 若数列 A ：a ，a ，⋅⋅⋅，a （ n ≥ 3 ）中 a ∈ N *（1 ≤ i ≤ n ）且对任意的2 ≤ k ≤ n -1 ，12nia k +1 + a k -1 > 2a k 恒成立，则称数列 A 为“U - 数列”.（1）若数列 1， x ， y ，7 为“U - 数列”，写出所有可能的 x 、 y ；（2）若“U - 数列” A ： a 1 ， a 2 ， ⋅⋅⋅， a n 中， a 1 = 1， a n = 2017 ，求 n 的最大值； （3）设 n 0 为给定的偶数，对所有可能的“U - 数列” A ： a 1 ， a 2 ， ⋅⋅⋅， a n ，记M = max{a 1,a 2 ,⋅⋅⋅,a n } ，其中 max{x 1, x 2 , ⋅⋅⋅, x s } 表示 x 1 ，x 2 ，⋅⋅⋅ ，x s 这 s 个数中最大的数，求 M 的最小值.n参考答案一. 填空题 1. 3 2. - 353. 24. 65.-160 6. 1127. 18. a = 2n -1 ππ9.10.3311. α= k π- π(k ∈ N *)2 6112. [ ,3]3二. 选择题 13. C14. B15. A 16. B三. 解答题17．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）解：（1）设平行于墙的边长为 a ， 则篱笆总长l = 3x + a ，即a = l - 3x ， ……2 分所以场地面积 y = x (l - 3x ) ， x ∈ l (0, ) 3（定义域2 分） ……6 分 2l 2 l 2 l （2） y = x (l - 3x ) = -3x + lx = -3(x - ) + ， x ∈(0, )……8 分 6 12 3 l l 2所以当且仅当 x = 6 时， y max = 122综上，当场地垂直于墙的边长 x 为 l 时，最大面积为 l……12 分……14 分6 1218．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分）解 1：（1）由题意，π⋅ O A ⋅ SB = 15π得 BS = 5 ，……2 分故 SO== 4 ……4 分 从而体积V =1π⋅OA 2 ⋅ SO = 1π⨯ 32 ⨯ 4 = 12π .……7 分33（2）如图，取OB 中点 H ，联结 PH 、AH . 由 P 是 SB 的中点知 PH ∥SO ，则∠APH （或其补角）就是异面直线 SO 与 PA 所成角 ................................. 10 分 由 SO ⊥ 平面OAB ⇒ PH ⊥平面OAB ⇒ PH ⊥ AH .OA 2+ OH 23 52⎨a + 1 ≤ 1⎝⎭ ⎩在 ∆OAH 中，由OA ⊥ OB 得AH = = ；……11 分在 Rt ∆APH 中， ∠AHP = 90O， PH = 1 SB = 2 ， AH = 3 5 ……12 分则tan ∠APH = AHPH2 2= 3 5 ，4 所以异面直线 SO 与 PA 所成角的大小arctan 35 4 (其他方法参考给分)…14 分19．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）解：（1）令1 + x> 0 ，解得-1 < x < 1 ，所以 A = (-1,1) ， ……3 分1 - x因为 B ⊆ A ，所以⎧a ≥ -1⎩ ，解得-1 ≤ a ≤ 0 ，即实数 a 的取值范围是[-1, 0] ……6 分（2）函数 f (x ) 的定义域 A = (-1,1) ，定义域关于原点对称……8 分 1 - (- x )1 + x ⎛ 1 - x ⎫-11 - xf (-x ) = ln 1 + (- x ) = ln 1 - x = ln 1 + x⎪ = - ln = - f ( x )1 + x ……12 分 1 1 1 1 1 而 f ( ) = ln 3， f (- ) = ln ，所以 f (- ) ≠ f ( )……13 分 2 2 3 2 2所以函数 f (x ) 是奇函数但不是偶函数.……14 分20．（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 7 分） 解：（1）抛物线Ω 的焦点到准线的距离为 2……4 分（2） 设直线l : x = my + b当 m = 0 时， x = 1 和 x = 9 符合题意……5 分⎧x = my + b 当 m ≠ 0 时， A ( x 1, y 1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) 的坐标满足方程组⎨ y 2 = 4x ，所以 y 2- 4my - 4b = 0 的两根为 y 、 y 。

12∆ = 16(m 2 + b ) > 0 ， y + y = 4m ，所以 x + x = my + b + my + b = 4m 2 + 2b ，12所以线段 AB 的中点 M (2m 2+ b , 2m )1212……7 分因为 k AB ⋅ k CM= -1 ， k AB= ，所以 k mCM= 2m 2m 2 + b - 5= -m ，得b = 3 - 2m 2 所以∆ = 16(m 2 + b ) = 16(3 - m 2) > 0 ，得0 < m 2< 31⎩1 ⎨因为4 = r =，所以 m 2 = 3 （舍去）综上所述，直线l 的方程为： x = 1 ， x = 9（3） 设直线 AB : x = my + b ，……9 分⎧x = my + bA ( x 1, y 1 ) 、B ( x 2 , y 2 ) 的坐标满足方程组⎨ y 2 = 4x ，所以 y 2- 4my - 4b = 0 的两根为 y 、 y∆ = 16(m 2 + b ) > 0 ， y + y = 4m ， y y = -4b υυρυυυρ121 2y 2 y 22所 以 OA ⋅OB = x 1x 2 + y 1y 2 = 1 ⋅ 2 + y 1y 2 = b4 4- 4b = 0 ，得b = 0 或b = 4 ……12 分b = 0 时，直线 AB 过原点，所以Q (0, 0) ； ……13 分b = 4 时，直线 AB 过定点 P (4, 0)设Q (x , y ) ，因为OQ ⊥ AB ，所以OQ ⋅ PQ = ( x , y ) ⋅ ( x - 4, y ) = x 2 - 4x + y 2= 0 （ x ≠ 0 ）， ……15 分综上，点Q 的轨迹方程为 x 2- 4x + y 2= 0……16 分21．（本题满分 18 分，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 9 分） ⎧1 + y > 2解：（1）x =1 时， ⎩1 + 7 > 2 y ⎧1 + y > 4 ，所以 y =2 或 3；⎧1 + y > 2 xx =2 时， ⎨2 + 7 > 2 y ，所以 y =4； x ≥ 3 时， ⎨ x + 7 > 2 y 无整数解⎩ ⎩⎧x = 1 ⎧x = 1 ⎧x = 2所以所有可能的 x ，y 为⎨ y = 2 ， ⎨ y = 3 或⎨ y = 4…… 3 分 ⎩ ⎩ ⎩（2） n 的最大值为65，理由如下…… 4 分一方面，注意到： a k +1 + a k -1 > 2a k ⇔ a k +1 - a k > a k - a k -1对任意的1≤ i ≤ n -1，令b i = a i +1 - a i ，则b i ∈ Z 且b k > b k -（1 对任意的 2 ≤ k ≤ n -1恒成立． （★）当 a 1 = 1， a n = 2017 时，注意到b 1 = a 2 - a 1 ≥ 1-1 = 0 ，得2 ≤ k ≤ n -1），故b k ≥ b k -1 + 1 b i = (b i - b i -1 ) + (b i -1 - b i -2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + (b 2 - b 1 ) + b 1 ≥ 11+41 +2Λ4+31 + 0 = i - 1 （2 ≤ i ≤ n -1） i -1个即b i ≥ i - 1 ，此时a n - a 1 = (a n - a n -1 ) + (a n -1 + a n -2 ) +Λ+ (a 2 - a 1 )= b 1 + b 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + b n -1≥ 0 + 1 + 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + (n - 2) = 1 (n -1)(n - 2) 2（★★） 2即 1(n -1)(n - 2) ≤ 2017 -1，解得： -62 ≤ n ≤ 65 ，故 n ≤ 652…… 7 分另一方面，为使（**）取到等号，所以取b i = i -1 （1≤ i ≤ 64），则对任意的 2 ≤ k ≤ 64 ，b k > b k -1 ，故数列{a n } 为“U - 数列”，此时由（★★）式得a 65 - a 1= 0 + 1 + 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 63 = 63 ⨯ 64= 2016 ， 2所以a 65 = 2017 ，即 n = 65 符合题意． 综上， n 的最大值为 65． ……… 9 分n 2 - 2n + 8（3） M 的最小值为 0，证明如下： ……… 10 分8当 n 0 = 2m （ m ≥ 2 ， m ∈ N ）时， *一方面：由（★）式， b k +1 - b k ≥ 1 ，b m +k - b k = (b m +k - b m +k -1) + (b m +k -1 - b m +k - 2 ) + ⋅⋅⋅ + (b k + 1 - b k ) ≥ m ．此时有：(a 1 + a 2m ) - (a m + a m +1 )= (a 2m - a m +1 ) - (a m - a 1 )= (b m +1 + b m +2 + ⋅⋅⋅ + b 2m -1 ) - (b 1 + b 2 + ⋅⋅⋅ + b m -1 ) = (b m +1 - b 1 ) + (b m +2 - b 2 ) + ⋅⋅⋅ + (b 2m -1 - b m -1 ) ≥ m + m + ⋅⋅⋅ + m = m (m -1)即 (a 1 + a 2 m ) ≥ (a m + a m +1 ) + m (m -1)故 M ≥a 1 + a 2m ≥ a m + a m +1 + m (m - 1) ≥ 1 + 1 + m (m - 1)2 2 2n 1 + 1 + n 0 ( n 0- 1) 2因为m = 0 ，所以 M ≥ 2 2 = n 0 - 2n 0 + 8 ......................... 15 分 2 2 8另一方面，当b 1 = 1- m ， b 2 = 2 - m ，…， b m -1 = -1 ， b m = 0 ， b m +1 = 1 ，b 2m -1 = m -1 时， a k +1 + a k -1 - 2a k = (a k +1 - a k ) - (a k - a k -1 ) = b k - b k -1 = 1 > 0取 a m = 1 ，则 a m +1 = 1 ， a 1 > a 2 > a 3 > ⋅⋅⋅ > a m ， a m +1 < a m +2 < ⋅ ⋅ ⋅ < a 2m ，且a 1 = a m - (b 1 + b 2 +⋅⋅⋅+ b m -1 ) = 1m (m -1) +12a = a + (b + b + ⋅⋅⋅ + b ) = 1m (m - 1) + 1 2m m +1 m +1 m +2 2m -112 n 2 - 2n +8 此时 M = a 1 = a 2 m = m (m - 1) + 1 =0 0． 2 8 n 2 - 2n + 8综上， M 的最小值为 0 0．……18 分8。