第三章 函数

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函数概念的扩张
• 函数概念被提出后，由于微积分学的发展，函 数概念也不断进行扩张，日趋深化。致使函数 概念日趋精确化、科学化。函数概念在发展过 程中，大致经过了以下六个阶段的扩张。
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• 第一次扩张主要是解析扩张，提出了“解析的 函数概念”。 • 瑞士数学家约翰．伯努利于1698年给出了函数 新的定义：由变量x和常量用任何方式构成的 量都可以叫做x的函数。这里的“任何方式” 包括了代数式子和超越式子。 • 1748年欧拉在《无穷小分析引论》中给出的 函数定义是：“变量的函数是一个解析表达 式，它是由这个变量和一些常量以任何方式 组成的”。1734年欧拉还曾引入了函数符号 ， 并区分了显函数和隐函数、单值函数和多值 函数、一元函数和多元函数等。
注意
• • • • f要是集合A到B的函数, 必须满足以下条件: 1. A中的每个元素都要有像 2. A中的一个元不可以有两个不同的像 3. A中不同的元素可以映射到相同的像
• 注意： • 函数是一种特殊的关系 • 学生举例: 不是函数的关系的例子,并说明为什么 不是. 15
３.函数的相等
定义3－2 设f和g都是由集合A到B的函数,如果对于 所有的a∈A , 均有 f(a)=g(a), 则称函数 f 和 g 相等 , 记作 f=g 。 根据定义3－2，若在A中有一个元素a，使得 f(a) ≠g (a) , 则f≠g 。 设 A 和 B 都 是 有 限 集 ， ＃ A ＝ n ， ＃ B ＝ m ， 设 A={a1, a2, …, an}, B={b1, b2, …, bm}。 A中n个元素的取值方式是 m m m 种, 因 此由A到B的函数有m n个, n个 记ＢA={f|f: A→B}, 则#(BA)=(#B)#A 问题:从R到R的函数f(x)=2x,与从I到I的函数g(x)=2x相等吗?为 什么?
• • • • • • • • • • • • • • Not one-to-one • • • • • • • • • • • • • Not even a function!
One-to-one
Illustration of Onto
• Some functions that are, or are not, onto their codomains:
• • • • 顶函数(ceiling function) 底函数(floor function) 恒等函数(identity function) 不动点函数( fix point)
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练习
3 －1
B={6, 7, 8, 9,
１ . 设 A ＝ {1, 2, 3, 4, 5} ,
10}, 判断下列由A到B的关系哪些是函数,哪些不是函 数。在相应的括号中键入“Y”或“N”。 (1) f1＝{(1, 10),(2, 9),(3, 8),(4, 7),(5, 6)} （ Y ）
（a）是内射，但不是满射； （b）是满射, 但不是内射； （c）既不是内射，也不是满射； (d）既是内射，又是满射，因此是双射。
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One-to-One Illustration
• Bipartite (2-part) graph representations of functions that are (or not) one-to-one:
• • • • • • • • • • • • • • • • • • Not Onto (or 1-1) • • • • • • • • Both 1-1 and onto • • • •
• • • • • 1-1 but not onto
Onto (but not 1-1)
两个有用的、特殊的函数介绍
的值域满足Rf B.但对于函数f,常将Rf记作ｆ(A)。
即ｆ(A)=Rf ={b|b∈B且存在a∈A使f (a)=b}
例如 例2中f (2)=6, f (4)=4, g (1)=3, g (3)= 6
Df =Dｇ=Ａ
ｆ(A)=Rｆ={2, 4, 6} g (A)=Rg={2, 3, 5, 6}
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函数function
总之，函数实质是：量与量之间的某种关系 它不再局限于数与数之间的对应关系
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3.1
一、 函数的概念
1.函数
函
数
例１.设A＝{1, 2, 3, 4},B={2, 3, 4, 5, 6}, A到B的 关 系 ={(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4)} 定义3－1 设有集合A、B， f 是一由 A 到 B 的关系，如果 对于每一个 a∈A ，均存在唯 一的 b∈B ，使得 afb （或 (a ， b)∈f），则称关系f是由A到B 的一个函数。记作 f ： A→B 。
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例2 对例1中关系的序偶进行调整或修改，使
f＝{(1,2),(2,6),(3,6),(4,4)} 或g={(1,3),(2,2),(3,6),(4,5)}
则f和g都是由A到B的函数。 若f是一由A到B的函数，且(a,b)∈f，则常记 作f(a)=b。
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２. 函数的定义域和值域
函数的定义域Df=A,而不会是A的真子集。 函数
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• 函数概念的第三次扩张，朴素地反映了函数中的辩证 因素，体现了“自变”到“因变”的生动过程。形成 了“科学函数定义的雏型”。 • 在这次函数概念的扩张中，十九世纪最杰出的法国数 学家柯西在1821年所著的《解析教程》中，给出了如 下函数定义：“在某些变量间存在着一定的关系，当 一经给定其中某一变量的值，其他变量的值也随之确 定，则将最初的变量称为自变量，其他各个变量称为 函数”。 • 这个定义把函数概念与曲线、连续、解析式等纠缠不 清的关系给予了澄清，也避免了数学意义欠严格的 “变化”一词。函数是用一个式子或多个式子表示， 甚至是否通过式子表示都无关要紧。
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• 函数概念的第二次扩张是从几何方而的扩张，提出了 “几何的函数概念”。
• 十八世纪中期的一些数学家发展了莱布尼兹将函数看 作几何量的观点，而把曲线称为函数(因为解析表达式 在几何上表示为曲线)。 • 达朗贝尔在1746年研究弦振动问题时，提出了用单独 的解析表达式给出的曲线是函数，后来欧拉发现有些 曲线不一定是由单个解析式给出的，因此提出了一个 新的定义，函数是：“ 平面上随手画出来的曲线所表 示的x与y的关系”。即把函数定义为由单个解析式表 达出的连续函数，也包括由若干个解析式表达出的不 连续函数（不连续函数的名称是由欧拉提出的）。
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• 函数概念的第四次扩张，可称为“科学函数定义”进入精确 化阶段。 • 德国数学家狄利克雷于1837年给出了函数定义：“若对 x(a≤x≤b)的每一个值，y总有完全确定的值与之对应，不 管建立起这种对应的法则的方式如何，都称y是x的函数”。 • 这一定义彻底地抛弃了前面一些定义中解析式的束缚，强调 和突出函数概念的本质，即对应思想，使之具有更加丰富的 内涵。因而，此定义才真正可以称得上是函数的科学定义， 为理论研究和实际应用提供了方便。 • 为使函数概念适用范围更加广泛，人们对函数定义作了如下 补充：“函数y=f(x)的自变量，可以不必取[a,b]中的一切值， 而可以仅取其任一部分”，换句话说就是x的取值可以是任 意数集，这个集合中可以有有限个数、也可以有无限多个数， 可以是连续的、也可以是离散的。这样就使函数成了一个非 常广泛的概念。
第三章
主要内容如下: 3.1 3.3 3.5 函数 逆函数 置换
函
数
3.2 3.4 3.6
函数的复合运算 集合的基数 数学归纳法
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函数概念的产生与发展
• 函数概念的起源 函数概念的萌芽，可以追溯到古代对图形轨迹 的研究，随着社会的发展，人们开始逐渐发现， 在所有已经建立起来的数的运算中，某些量之 间存在着一种规律：一个或几个量的变化，会 引起另一个量的变化，这种从数学本身的运算 中反映出来的量与量之间的相互依赖关系，就 是函数概念的萌芽。在代数学的方程理论中， 对不定方程的求解，使得人们对函数概念逐步 由模糊趋向清晰。
(2) f2＝{(3, 6),(1, 8),(2, 6),(4, 7)}
(3) f3＝{(3, 6),(2, 9),(1, 9),(4, 9),(5, 9)}
（
N ）
（ Y ）
N ）
(4) f4＝{(2, 9),(3, 8),(1, 7),(2, 6),(4, 7),(5, 10)} （
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２.对下列每一函数，确定是否内射，是否 满射，是否双射。分别将“内”、“满”或 “双”填入相应的括号内。 i i是偶数 2 (1) f : I I ( 满 ） f 1 1 i 1 i是奇数 2
f7={(a,2),(b,1),(c,2)}
f8={(a,2),(b,2),(c,2)}
f4={(a,1),(b,2),(c,2)}
所以# (BA)=8 。
因此,
#(BA)=(#B)#A 17
二、几种特殊的函数(特性）
定义3－3 设f是一由A到B的函数,
（1）若当ai≠aj 时，有f (ai)≠f (aj), (或
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• 函数概念的第六次扩张，提出了“现代函数定 义”。
• 19世纪康托尔创建了集合论，函数概念进入了 集合论的范畴，使函数概念纯粹地使用集合论 语言进行定义。 • 在这种情形下，函数、映射又归结为一种更为 广泛的概念——关系。 • 这就是现代的函数定义，它在形式上回避了 “对应”术语，使用的全部是集合论的语言， 一扫原来定义中关于“对应”的含义存在着的 模糊性，而使函数念更为清晰、正确，应用范 围更加广泛了。 10
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例3 设A={a, b, c}, B={1, 2}, 构造出
所有由A到B的函数,并验证#(BA)=(#B)#A
解: 由A到B的函数如下: f1={(a,1),(b,1),(c,1)} f2={(a,1),(b,2),(c,1)} f3={(a,1),(b,1),(c,2)} f5={(a,2),(b,1),(c,1)} f6={(Hale Waihona Puke Baidu,2),(b,2),(c,1)}
者说当f (ai)＝f (aj) 时, 有ai = aj)则称f是由A
到 B的内射（ one-to-one)。 （ 2 ）若对任意b∈B，必存在a∈A， 使f(a)=b，则称f是A到B的满射 (onto)。 （3）若f既是内射，又是满射，则称 f是由A到B的双射 (bijection)。 18
例4
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• 函数概念的产生
恩格斯指出：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变 数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学” 。 笛卡儿在1637年出版的《几何学》中，第一次涉及到变量， 他称为“未知和未定的量”，同时也引入了函数的思想。 英国数学家格雷果里在1667年给出的函数的定义，被认为 是函数解析定义的开始。他在“论圆和双曲线的求积”中 指出：从一些其他量经过一系列代数运算或任何其他可以 想象的运算而得到的一个量。这里的运算指的是五种代数 运算以及求极限运算，但这一定义未能引起人们的重视。 一般公认最早给出函数定义的是德国数学家莱布尼兹，他 在1673年的一篇手稿中，把任何一个随着曲线上的点变动 而变动的几何量，如切线、法线、点的纵坐标都称为函数； 并且强调这条曲线是由一个方程式给出的。
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• 函数概念的第五次扩张，提出了“近代函数定义”。 • 美国数学家维布伦的函数定义，这个定义是建立在重新定 义变量、变域和常量的基础上的。 • 所谓变量，是代表某集合中任意一个“元素”的记号，由 变量所表示的任一元素，称为该变量的值。变量x代表的 “元素”的集合,为该变量的变域，而常量是上述集合中只 包含一个“元素”情况下的特殊变量。这样的变量与常量 的定义，比原来的定义更趋一般化了，而且克服了以往变 量定义的缺陷，变量“变动”改进为变量在变域（集合） 中代表一个个元素。 • 利用这一变量的定义，维布伦给出了近代函数定义：“设 集合X、Y，如果X中每一个元素x都有Y中唯一确定的元素 y与之对应，那么我们就把此对应叫做从集合X到集合Y的 映射,记作f：XY，y=f(x)”。 • 从“数集”到“集”仅一字之差，但含意却大不相同。从 而使函数概念摆脱了数的束缚，使得函数概念能广泛地应 用于数学的各个分支及其它学科中。