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《数列》专题训练三

1．2a ,5a 是方程2x 02712=+-x 的两根, 数列{}n a 是公差为正的等差数列，数列{}n b 的前n

项和为n T ,且n T 2

1

1-=n b ()*∈N n .

(Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (Ⅱ)记n c =n a n b ,求数列{}n c 的前n 项和n S . 解：(Ⅰ)由27,125252==+a a a a .且0>d 得9,352==a a

232

5=-=

∴a a d ,11=a ()*∈-=∴N n n a n 12 在n n b T 211-=中,令,1=n 得.321=b 当2≥n 时,T n =,211n b -112

1

1---=n n b T ,

两式相减得n n n b b b 21211-=-,()2311≥=∴-n b b n n ()*-∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴N n b n n n 3

2

31321

.

(Ⅱ)()n

n n n n c 3243212-=⋅-=, ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-++++=∴n n n S 3123533

31232 ,⎪⎭⎫

⎝⎛-+-+++=+132312332333123n n n n n S , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=∴+132312313131231232n n n n S =2⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎪⎭⎫

⎝⎛-⨯++-1131231131191231n n n =11344343123131312+++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---+n n n n n , n

n n S 3

2

22+-

=∴ 2．已知数列}{n a 满足且01=a *)(),1(2

1

21N n n n S S n n ∈++=+

（1）求*);(,2:,,132N n n a a a a n n ∈+=+并证明 （2）设*),(1N n a a b n n n ∈-=+求证：121+=+n n b b ； （3）求数列*)}({N n a n ∈的通项公式。（4分） 解答：（1）由已知1212+=S S ,即1,122121=+=+a a a a

3223+=S S ，即,3)(221321++=++a a a a a 有43=a

由)1(2121++=+n n S S n n ，有)2()1(2

1

21≥-+=-n n n S S n n

)1(2

1

)1(21)(211--++-=-∴-+n n n n S S S S n n n n ，

即)2(,21≥+=+n n a a n n 同时，,11212=+=a a

*)(,21N n n a a n n ∈+=∴+

（2）由（1）：n a a n n +=+21，有1212++=++n a a n n

1)(2112+-=-∴+++n n n n a a a a 121+=+n n b b 即

（3）由（2）：)1(211+=++n n b b 而211121=+-=+a a b ，

}1{+∴n b 是以2为首项，2为公比的等比数列， n n n b 22211=⋅=+∴-，12-=n n b

即121-=-+n n n a a ，而n a a n n +=+21， 有：,122-=-+n n n a n a

*)(12N n n a n n ∈--=∴

3．已知{ a n }是等差数列，{ b n }是等比数列，S n 是{ a n }的前n 项和，a 1 = b 1 = 1，2

212b S =． （Ⅰ）若b 2是a 1，a 3的等差中项，求a n 与b n 的通项公式； （Ⅱ）若a n ∈N *，{n

a b }是公比为9的等比数列，求证：

3

51111321<++++n S S S S ． 解: 设等差数列{ a n }的公差为d ，等比数列{ b n }公比为q ． （Ⅰ）∵ 2212

b S =

，∴ q

b d a a 11112=++，而 a 1 = b 1 = 1，则 q （2 + d ）= 12．① 又 ∵ b 2是a 1，a 3的等差中项，∴ a 1 + a 3 = 2b 2，得1 + 1 + 2d = 2q ，即 1 + d = q ． ② 联立①，②，解得 ⎩⎨

⎧==,3,2q d 或 ⎩

⎨⎧-=-=.4,

5q d 所以 a n = 1 +（n －1）· 2 = 2n －1，b n = 3n －

1；或 a n = 1 +（n －1）·

（－5）= 6－5n ，b n =（－4）n －

1．

（Ⅱ） ∵ a n ∈N *，d n d n a a q q q b b n n )1(1)1(111---+-===，

∴

9)1(1===

-+d d

n nd a a q q

q b b n

n ，即 q d = 32． ①

由（Ⅰ）知 q ( 2 + d ) = 12，得 d

q +=

212

． ② ∵ a 1 = 1，a n ∈N *，∴ d 为正整数，从而根据①②知q ＞1且q 也为正整数， ∴ d 可为1或2或4，但同时满足①②两个等式的只有d = 2，q = 3，

∴ a n = 2n －1，22

)

121(n n n S n =-+=

． ∴ )1

21

121(2)5.0)(5.0(1112+--=-+<

=n n n n n S n （n ≥2）． 当n ≥2时，2222211312111111n S S S n ++++=+++ ＜)1

21121(2)7151(2)5131(21+--++-+-+n n =121

35)]121121(

)7

151()51

31[(21+-=+--++-+-+n n n ＜3

5． 显然，当n = 1时，不等式成立．故n ∈N *，3

5

11121<+++n S S S ．