导数与解析几何

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导数的基本定义与解析几何的关系

导数的基本定义与解析几何的关系导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

导数的基本定义是通过极限来描述函数的变化率。

在本文中，我们将探讨导数的基本定义，并研究导数与解析几何之间的关系。

一、导数的基本定义导数描述了函数在某一点的瞬时变化率。

对于函数f(x)，在x点处的导数可以通过以下极限定义：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，h为一个无限接近于0的数。

这个定义可以理解为当x的增量趋近于0时，函数在x点处的平均变化率。

而导数则描述了函数在x点处的瞬时变化率。

二、导数与函数的图像导数与函数的图像之间有着密切的联系。

在函数的图像中，导数可以表示为函数曲线上某点处的切线斜率。

具体来说，如果函数在某一点的导数为正，那么函数图像在该点上升；如果导数为负，函数图像在该点下降；如果导数为零，函数图像在该点处达到极值。

三、导数与解析几何导数与解析几何之间的关系非常紧密。

通过导数，我们可以研究函数图像的性质，进而对解析几何中的曲线进行分析。

1. 切线与法线导数可以帮助我们确定曲线上某点处的切线方程。

对于函数f(x)，在点(x0,f(x0))处的切线方程可以表示为：y - f(x0) = f'(x0)(x - x0)其中f'(x0)为函数在该点处的导数。

而法线方程可以通过切线方程的斜率倒数得到。

2. 曲线的凹凸性导数还可以帮助我们研究曲线的凹凸性。

在函数的图像中，如果导数在某个区间上恒大于零，那么函数在该区间上是凹的；如果导数在某个区间上恒小于零，那么函数在该区间上是凸的。

3. 极值点通过导数，我们可以找到函数的极值点。

对于函数f(x)，极值点可以通过导数的零点来确定。

当导数从正数变为负数时，函数图像上的极大值点出现；当导数从负数变为正数时，函数图像上的极小值点出现。

四、导数的应用导数在数学和科学中有着广泛的应用。

以下是一些导数的应用领域：1. 最优化问题导数可以帮助我们解决最优化问题，例如求函数的最大值和最小值。

高中数学第六章导数及其应用6.1.导数及其几何意义学案含解析B版选择性第三册 (1)

6。

1.2 导数及其几何意义必备知识·素养奠基1。

(1)定义:一般地,设函数y=f(x)在x0附近有定义，自变量在x=x0处的改变量为Δx,当Δx无限接近于0时，若平均变化率=无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f(x）在x=x0处的瞬时变化率,此时,也称f(x)在x0处可导，并称k为f(x）在x=x0处的导数,记作f′(x0）=k.“当Δx无限接近于0时，无限接近于常数k”还可以怎样表示?提示:还可以表示为,当Δx→0时，→k，或者写成=k，即f′(x0）=。

（2）瞬时变化率f′(x0)的实际意义:当自变量在x=x0处改变量Δx 很小时,因变量对应的改变量的近似值为f′（x0)Δx。

（1)函数y=f在x=x0处的导数一定存在吗?提示：当Δx→0时，平均变化率的极限存在，则函数y=f在x=x0处可导,否则在x=x0处不可导或无导数。

(2）函数y=f在x=x0处的导数的定义还可以用别的式子表示吗?提示:还可以表示为f′==等。

2.导数的几何意义（1)割线：一般地,设S是平面上的一条曲线,P0是曲线S上的一个定点，P是曲线S上P0附近的点,则称直线PP0为曲线S的割线.(2）切线:如果P无限接近于P0时,割线PP0无限接近于通过P0的一条直线l,则称直线l为曲线S在点P0处的切线.f′（x0）就是曲线y=f（x）在点（x0,f(x0）)处(也称在x=x0处）的切线的斜率.切线方程为y-f（x0）=f′（x0)（x-x0）。

（1)曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗？提示：曲线的切线并不一定与曲线只有一个公共点，可以有多个，甚至可以有无穷多个。

（2）曲线的切线与导数有什么关系？提示：①函数f(x)在x=x0处有导数，则函数f（x)在该点处必有切线，并且导数值就是该切线的斜率.②函数f(x）表示的曲线在点(x0，f（x0）)处有切线，但函数f(x）在该点处不一定可导,例如f（x)=在x=0处有切线，但不可导.1.思维辨析（对的打“√”,错的打“×")(1）函数y=f（x)在x=x0处的导数f′（x0)的几何意义是函数y=f(x)在点x=x0处的函数值. （)(2)函数y=f(x）在x=x0处的导数f′(x0）的几何意义是函数y=f（x)在点（x0，f（x0)）处的切线与x轴所夹锐角的正切值。

5.1 导数的几何意义(解析版)

5.1.1导数的几何意义导学案【学习目标】1.理解曲线的切线的含义2.理解导数的几何意义3.会求曲线在某点处的切线方程4.理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数.【自主学习】知识点1曲线的切线如图所示，当点P n 沿着曲线y ＝f (x )无限趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为点P 处的切线.(1)曲线y ＝f (x )在某点处的切线与该点的位置有关；(2)曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个. 知识点2导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率. 知识点3 导数的概念对于函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，这样，当x 变化时，f ′(x )便是关于x 的一个函数，称它为函数y ＝f (x )的导函数，简称导数，也可记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx. 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数y ′|0x x =就是函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )(x ∈(a ，b ))上的导数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，即y ′|0x x =＝f ′(x 0)，所以函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数也记作f ′(x 0).【合作探究】探究一求曲线的切线方程考向1 求曲线在某点的切线方程例1求曲线y ＝f (x )＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程.解因为点(1,3)在曲线上，过点(1,3)的切线的斜率为f ′(1)＝lim Δx →0 (1＋Δx )3－(1＋Δx )＋3－(1－1＋3)Δx＝lim Δx →0 (Δx )3＋3(Δx )2＋2Δx Δx＝lim Δx →0[(Δx )2＋3Δx ＋2] ＝2，故所求切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.归纳总结：若求曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程，其切线只有一条，点P (x 0，y 0)在曲线y ＝f (x )上，且是切点，其切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).练习1(1)曲线f (x )＝13x 3－x 2＋5在x ＝1处切线的倾斜角为 . (2)曲线y ＝f (x )＝x 3在点P 处切线斜率为3，则点P 的坐标为 .答案 (1)34π (2)(－1，－1)或(1,1) 解析 (1)设切线的倾斜角为α，则tan α＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 13(1＋Δx )3－(1＋Δx )2＋5－(13－1＋5)Δx＝lim Δx →0 13(Δx )3－Δx Δx＝lim Δx →0[13(Δx )2－1]＝－1. ∵α∈[0，π)，∴α＝34π. ∴切线的倾斜角为34π. (2)设点P 的坐标为(x 0，x 30)，则有lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3Δx＝lim Δx →0[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2]＝3x 20. ∴3x 20＝3，解得x 0＝±1.∴点P 的坐标是(1,1)或(－1，－1).探究二求导函数例2求函数f (x )＝x 2＋1的导函数.解 ∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(x ＋Δx )2＋1－x 2＋1＝2x Δx ＋(Δx )2(x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1，∴Δy Δx ＝2x ＋Δx (x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1，∴f ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 2x ＋Δx(x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1＝x x 2＋1. 归纳总结：求解f ′(x )时，结合导数的定义，首先计算Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x ).然后，再求解Δy Δx，最后得到f ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx. 练习2 已知函数f (x )＝x 2－1，求f ′(x )及f ′(－1).解因Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(x ＋Δx )2－1－(x 2－1)＝2Δx ·x ＋(Δx )2，故lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 2Δx ·x ＋(Δx )2Δx＝2x ，得f ′(x )＝2x ，f ′(－1)＝－2.探究三求曲线过点的切线方程例3求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程.解 y ′＝lim Δx →0 Δy Δx＝lim Δx →0 2(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－2x ＋x 3Δx＝lim Δx →0[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2]＝2－3x 2. 设切点的坐标为(x 0,2x 0－x 30)，∴切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0).又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)，即2x 30＋3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝－32. ∴切点的坐标为(0,0)或(－32，38). 当切点为(0,0)时，切线斜率为2，切线方程为y ＝2x ；当切点为(－32，38)时，切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0. 综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的直线方程为y ＝2x 或19x ＋4y ＋27＝0.归纳总结：若题中所给点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.练习3求过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程.解由题意知y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x .设所求切线的切点为A (x 0，y 0).∵点A 在曲线y ＝x 2上，∴y 0＝x 20.又∵A 是切点，∴过点A 的切线的斜率y ′|0x x =＝2x 0.∵所求切线过P (3,5)和A (x 0，y 0)两点，∴其斜率为y 0－5x 0－3＝x 20－5x 0－3.∴2x 0＝x 20－5x 0－3，解得x 0＝1或x 0＝5.从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25).当切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2；当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)和y －25＝10(x －5)，即2x －y －1＝0和10x －y －25＝0.探究四导数几何意义的综合应用例4设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a ＜0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值.解 ∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(x ＋Δx )3＋a (x ＋Δx )2－9(x ＋Δx )－1－(x 3＋ax 2－9x －1)＝(3x 2＋2ax －9)Δx ＋(3x ＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝3x 2＋2ax －9＋(3x ＋a )Δx ＋(Δx )2， ∴f ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝3x 2＋2ax －9＝3(x ＋a 3)2－9－a 23≥－9－a 23. 由题意知f ′(x )最小值是－12，∴－9－a 23＝－12，a 2＝9， ∵a ＜0，∴a ＝－3.归纳总结：与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题.练习4(1)已知函数f (x )在区间[0,3]上的图象如图所示，记k 1＝f ′(1)，k 2＝f ′(2)，k 3＝f (2)－f (1)，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为 .(请用“＞”连接)(2)曲线y ＝1x和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是 . 答案 (1)k 1＞k 3＞k 2 (2)34解析 (1)结合导数的几何意义知，k 1就是曲线在点A 处切线的斜率，k 2则为在点B 处切线的斜率，而k 3则为割线AB 的斜率，由图易知它们的大小关系.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故交点坐标为(1,1).曲线y ＝1x 在点(1,1)处切线方程为l 1：x ＋y －2＝0，曲线y ＝x 2在点(1,1)处切线方程为l 2：2x －y －1＝0.从而得S ＝12×|21-2|×1＝34.课后作业A 组基础题一、选择题1.下列说法正确的是( )A.若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B.若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C.若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D.若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在答案 C解析 k ＝f ′(x 0)，所以f ′(x 0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x ＝x 0.2.已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A.f ′(x A )>f ′(x B )B.f ′(x A )<f ′(x B )C.f ′(x A )＝f ′(x B )D.不能确定答案 B解析由导数的几何意义，f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A 、B 处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B ).3.在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( ) A.(0,0)B.(2,4)C.(14，116) D.(12，14) 答案 D 解析 ∵y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x ， ∴令2x ＝tan π4＝1，得x ＝12.∴y ＝⎝⎛⎭⎫122＝14，所求点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，14. 4.已知曲线y ＝13x 3上一点P (2，83)，则该曲线在P 点处切线的斜率为( ) A.4 B.2 C.－4 D.8答案 A解析因y ＝13x 3，得y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 13(x ＋Δx )3－13x 3Δx ＝13lim Δx →0[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]＝x 2，故y ′＝x 2，y ′|x ＝2＝22＝4，结合导数的几何意义知，曲线在P 点处切线的斜率为4.5.设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A.1B.12C.－12D.－1答案 A解析 ∵y ′|x ＝1＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2－a ×12Δx＝lim Δx →0(2a ＋a Δx )＝2a .∴可令2a ＝2，∴a ＝1. 6.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)等于( )A.2B.3C.4D.5答案 A 解析易得切点P (5,3)，∴f (5)＝3，k ＝－1，即f ′(5)＝－1.∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.二、填空题7.已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝ . 答案 3解析由在点M 处的切线方程是y ＝12x ＋2，得f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12. ∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3. 8.过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是 . 答案 2x －y ＋4＝0解析曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →0 3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx＝lim Δx →0(3Δx ＋2)＝2. ∴过点P (－1,2)的直线的斜率为2，由点斜式得y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.∴所求直线方程为2x －y ＋4＝0.9.若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝ .答案 3解析设切点坐标为(x 0,1)，则f ′(x 0)＝4x 0－4＝0， ∴x 0＝1，即切点坐标为(1,1).∴2－4＋P ＝1，即P ＝3.10.设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为]4,0[π，则点P 横坐标的取值范围为 . 答案 ⎣⎡⎦⎤－1，－12 解析 ∵f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )＋3－(x 2＋2x ＋3)Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋2)·Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →0 (Δx ＋2x ＋2)＝2x ＋2. ∴可设P 点横坐标为x 0，则曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2.由已知得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12，∴点P 横坐标的取值范围为⎣⎡⎦⎤－1，－12. 三、解答题11.求曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形面积. 解由导数定义可得y ′|x ＝1＝2，∴曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，设它与两坐标轴的交点分别为A (0，－1)，B (12，0)，∴S △AOB ＝12|OA ||OB |＝14.12.已知抛物线y ＝x 2和直线x －y －2＝0，求抛物线上一点到该直线的最短距离.解方法一设P (x ，x 2)为抛物线上任意一点，则点P 到直线x －y －2＝0的距离为d ＝|x －x 2－2|2＝22⎪⎪⎪⎪－⎝⎛⎭⎫x －122－74＝22⎝⎛⎭⎫x －122＋728，所以当x ＝12时，d 最小，最小值为728. 方法二由题意设直线x －y ＋b ＝0与抛物线y ＝x 2相切，则x 2－x －b ＝0，由Δ＝0得b ＝－14，所以直线x －y －14＝0与x －y －2＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪－14＋22＝742＝728，所以抛物线y＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.方法三根据题意可知，与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.13.已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2. (1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积. 解 (1)∵y ′＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－(x 2＋x －2)Δx＝2x ＋1， ∴y ′|x ＝1＝3，∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3，设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点P (x 0，x 20＋x 0－2)，则直线l 2的方程为y －(x 20＋x 0－2)＝(2x 0＋1)(x －x 0).∵l 1⊥l 2，∴3(2x 0＋1)＝－1，x 0＝－23，∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16，y ＝－52.又直线l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，(－223，0)，∴所求三角形面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪－52×⎝⎛⎭⎫1＋223＝12512.B组能力提升一、选择题二、填空题三、解答题C组挑战压轴题一、选择题二、填空题三、解答题。

1.1.3导数的几何意义课件共35张PPT

(3)设切点为(a，b)，则 y′|x＝a＝a2＝1， ∴a＝±1，当 a＝1 时，b＝53，切点为1，53，当 a＝－1 时，b＝1，切点为(－1,1)， ∴切线方程为 3x－3y＋2＝0 或 x－y＋2＝0. ………………………………………………………………………………12 分
[反思提升] (1)求“在某点处”的切线：该点必在曲线上且是切点，而求“过某点”的切线该点不一定在曲线上，且该点不一定是切点． (2)求“过某点”的切线方程的步骤 ①设“过某点”的切线 l 与曲线相切的切点坐标为(x0，y0)． ②用“在点(x0，y0)处”的切线求法，写出切线 l 的方程． ③利用切线“过某点”，其坐标满足切线方程，求出 x0 与 y0. ④将(x0，y0)代入②中的切线 l 化简即求出“过某点”的切线方程． (3)求“过某点”的曲线的切线方程中，该点在曲线上时，所求点的切线中一定包括“在该点”处曲线的切线.
∴曲线 y＝1x在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即 y＝－x＋2. 曲线 y＝x2 在点(1,1)处的切线斜率为
f′(1)＝liΔmx→0 1＋ΔΔxx2－12＝liΔmx→0 2Δx＋ΔxΔx2＝liΔmx→0 (2＋Δx)＝2， ∴曲线 y＝x2 在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝ 2x－1. 两条切线方程 y＝－x＋2 和 y＝2x－1 与 x 轴所围成的图形如图所示， ∴S＝12×1×2－12＝34，即三角形的面积为34.
导数几何意义应用问题的解题策略： (1)导数几何意义的应用问题往往涉及解析几何的相关知识，如直线斜率与方程以及直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题． (2)解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量． (3)一定要区分曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线与过点 P(x0，f(x0))的切线的不同，前者 P 为切点，后者 P 不一定为切点．

解析几何中的极坐标方程与导数

解析几何中的极坐标方程与导数极坐标方程是解析几何中一种描述平面上点的坐标系统。

其与直角坐标系有一定的联系和转换关系。

而导数则是微积分中的重要概念，用来描述函数变化率和曲线的切线斜率。

本文将对极坐标方程与导数进行解析。

一、极坐标方程的定义与转换极坐标系是由极径和极角两个参数来描述平面上点的坐标系统。

在极坐标系中，点P的位置可以用(r,θ)表示，其中r为点P到极点O的距离，θ为OP与固定方向线段的夹角。

极径r为非负数，极角θ通常用弧度制表示。

极坐标方程可以用来描述平面上的曲线。

对于给定的函数f(θ)，可以得到极坐标方程r = f(θ)。

这样，将θ代入极坐标方程中就可以得到曲线上对应的点的极坐标。

而对于直角坐标系中的点(x,y)，则可以通过一下公式与极坐标系进行转换：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)二、极坐标方程的图形与性质极坐标方程所描述的曲线可以是直线、圆、椭圆、双曲线、螺旋线等。

其中，极坐标方程为r = a是直线；r = a * sec(θ)是圆；r = a * e^(bθ)是指数螺旋线等。

对于极坐标方程，我们可以通过绘制极坐标图形来观察曲线的特征。

通过改变参数a和b的取值，我们可以得到不同类型的曲线图形。

这些图形的旋转对称性、渐近线、极点处的性质等都可以通过观察极坐标图形进行分析和研究。

三、导数与极坐标方程在解析几何中，导数用来描述函数变化率和曲线的切线斜率。

对于极坐标方程r = f(θ)，我们可以通过导数求解极坐标曲线上某点处的切线斜率。

求解极坐标曲线上某点处的切线斜率可以使用导数的定义。

首先，将极坐标方程转换为直角坐标系方程。

然后，对直角坐标系方程中的x 和y分别求导。

最后，通过求导后的x和y值求得切线的斜率。

四、极坐标方程与导数的应用极坐标方程与导数在物理、工程、计算机图形学等领域具有广泛的应用。

在物理学中，极坐标方程常用于描述天体运动、电场分布等。

在工程学中，极坐标方程可以用于描述机械零件的转动。

导数的概念,计算,几何意义

导数的概念，计算，几何意义（一）知识点 1.平均变化率：函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为，若21x x x ∆=-21y y y ∆=-则，平均变化率可表示为。

2．导数的概念：函数()y f x =的导数'()f x ，就是当0x ∆→时，函数的增量y ∆与自变量的增量x ∆的比yx∆∆（平均变化率）的，即'()f x ＝＝． 3．导函数：函数()y f x =在区间(,)a b 内的导数都存在，就说()f x 在区间(,)a b 内 .其导数也是(,)a b 内的函数，叫做()f x 的，记作'()f x 或'x y ，函数()f x 的导函数'()f x 在0x x =时的导函数值，就是)(x f 在0x 处的导数.4．导数的几何意义：设函数()y f x =在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的。

相应的切线方程为（点斜式）。

5．求导数的方法： (1) 八个基本求导公式()c 为常数'c ＝； ()'n x ＝； (sin )'x ＝， (cos )'x ＝ ()'x a ＝， ()'x e ＝(log )'a x ＝， (ln )'x ＝(2) 导数的四则运算(()())f x g x '±＝ [()]Cf x '＝ (()())f x g x '＝， ()()()f xg x '＝推论：()c 为常数[()]'cf x = ；21'()[]'()()f x f x f x =-； ()''''fgh f gh fgh fgh =++(3) 复合函数的导数设()u x θ=在点x 处可导，()y f u =在点()u x θ=处可导，则复合函数[()]f x θ在点x 处可导，且'()f x ＝，即'''x u x y y u =. 典型例题：例1．（变化率）求函数y=12+x 在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率.解 ∵Δy=11)(11)(11)(2202020220+++∆+--+∆+=+-+∆+x x x x x x x x x.11)(2,11)()(220200202020+++∆+∆+=∆∆∴+++∆+∆+∆=x x x xx x y x x x x x x变式训练1.1.设函数()f x 在0x 处可导，则000()()limx f x x f x x∆→-∆-=∆（）A ．0'()f x B.0'()f x - C.0()f x D.0()f x -2.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈，则000()()limh f x h f x h h→+--=A.0'()f xB. 02'()f xC. 02'()f x -D.0例2. 求下列各函数的导数：（1）;sin 5x xx x y ++=（2）);3)(2)(1(+++=x x x y（3）;4cos 212sin 2⎪⎭⎫⎝⎛--=x x y （4）.1111xxy ++-=解 (1)∵,sin sin 23232521x x x xx x x x y ++=++=-∴y′.cos sin 2323)sin()()(232252323x x x x x x x x x x-----+-+-='+'+'=（2）y=（x 2+3x+2）（x+3）=x 3+6x 2+11x+6，∴y′=3x 2+12x+11.（3）∵y=,sin 212cos 2sin x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴.cos 21)(sin 21sin 21x x x y ='='⎪⎭⎫ ⎝⎛='（4）xx x xx x x y -=+--++=++-=12)1)(1(111111， ∴.)1(2)1()1(21222x x x x y -=-'--='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=' 变式训练2：（1）求y=tanx 的导数.解 y′.cos 1cos sin cos cos )(cos sin cos )(sin cos sin 22222x x xx x x x x x x x =+='-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛=（2）求下列各函数的导数：①2(1)(231)y x x x =++- ②y ③()(cos sin )x f x e x x =⋅+利用导数求切线方程例3：如果曲线103-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，求切点坐标与切线方程．分析：本题重在理解导数的几何意义：曲线()y f x =在给定点00(,())P x f x 处的切线的斜率0()k f x '=，用导数的几何意义求曲线的斜率就很简单了。

全国卷高考数学导数、解析几何大题专项训练含答案(二)

全国卷高考数学导数、解析几何解答题专项训练（二）一、解答题1.设函数32()2f x x a x b x a =+++，2()32gx x x =-+，其中x R ∈，a 、b 为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2,0）处有相同的切线l 。

（I ）求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；（II ）若方程()()f x g x m x +=有三个互不相同的实根0、x 、x ，其中12x x <，且对任意的[]12,x x x ∈，()()(1)fxg x m x +<-恒成立，求实数m 的取值范围。

2.(本小题满分12分）已知函数22()ln axf x x e=-，（a e R,∈为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数()f x 的递增区间；（Ⅱ）当1a =时，过点(0, )P t ()t ∈R 作曲线()y f x =的两条切线，设两切点为111(,())P x f x ，222(,())P x f x 12()≠x x ，求证12x x +为定值，并求出该定值。

3.若函数()x f 满足：在定义域内存在实数0x，使()()()k f x f k x f +=+00(k 为常数)，则称“f （x ）关于k 可线性分解”．（Ⅰ）函数()22x x f x+=是否关于1可线性分解?请说明理由；（Ⅱ）已知函数()1ln +-=ax x x g ()0>a 关于a 可线性分解，求a 的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：()()12e 321-≤⨯⨯⨯⨯n n n Λ()*∈N n ． 4.已知x=1是()2ln bf x x x x =-+的一个极值点（1）求b 的值；（2）求函数()f x 的单调增区间；（3）设x x f x g 3)()(-=，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x)相切？请说明理由。

5.已知函数2()x f x e x ax =--，如果函数()f x 恰有两个不同的极值点1x ，2x ，且12x x <.（Ⅰ）证明：1ln 2x <；（Ⅱ）求1()f x 的最小值，并指出此时a 的值.6.设函数2()ln 4f x a x x =-，2()(0,0,,)g x bx a b a b R =≠≠∈.（Ⅰ）当32b =时，函数()()()h x f x g x =+在1x =处有极小值，求函数()h x 的单调递增区间；（Ⅱ）若函数()f x 和()g x 有相同的极大值，且函数()()()g x p x f x x =+在区间2[1,]e 上的最大值为8e -，求实数b 的值（其中e 是自然对数的底数） 7.（本小题满分12分）已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x +=-∈（Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；（Ⅲ）若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ,使得0()f x <0()g x 成立,求a 的取值范围.8.已知函数2()(0)f x ax kbx x =+>与函数()ln ,、、g x ax b x a b k =+为常数，它们的导函数分别为()y f x '=与()y g x '=（1）若()g x 图象上一点(2,(2))p g 处的切线方程为：22ln 220x y -+-=，求、a b 的值；（2）对于任意的实数k，且、a b 均不为0，证明：当0ab >时，()y f x '=与()y g x '=的图象有公共点；（3）在（1）的条件下，设112212(,),(,),()A x yB x y x x <是函数()y g x =的图象上两点，21021()y y g x x x -'=-，证明：102x x x <<9.（本小题满分13分）已知函数21()ln (,0).2f x x ax a R a =-∈≠（I ）求函数()f x 的单调区间；（II ）已知点1111(1,),(,)(1):()2A a x y x C y f x ->=设B 是曲线图角上的点，曲线C上是否存在点00(,)M x y 满足：①1012x x +=；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ？请说明理由。

【高中数学】第5章 5.1.2 导数的概念及其几何意义

5.1.2 导数的概念及其几何意义素养目标学科素养1.理解导数的概念，会求函数在某一点处的导数．(重点)2．利用导数的几何意义，求曲线上某点处的切线的斜率和切线的方程．(重点、难点)1.数学抽象； 2．逻辑推理； 3．数学运算情境导学2019年国际田联钻石联赛伦敦站男子200米比赛，中国选手谢震业以19秒88夺冠，这不仅刷新了全国纪录，还创造了新的亚洲纪录．赛后各国教练都在研究他的弯道技术，通过回放录像分析其弯道时的运动方向．这需要求运动曲线在任一点的切线．怎样求曲线的切线？1．平均变化率与瞬时变化率(1)对于函数y ＝f (x )，设自变量x 从x 0变化到x 0＋Δx ，相应地，函数值y 就从f (x 0)变化到f (x 0＋Δx )．这时，x 的变化量为Δx ，y 的变量为Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．我们把比值Δy Δx ，即ΔyΔx＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx叫做函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率．(2)如果当Δx →0时，平均变化率Δy Δx 无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx 有极限，则称y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，并把这个确定的值叫做y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 2．导数的几何意义(1)在曲线y ＝f (x )上任取一点P (x ，f (x ))，如果当点P (x ，f (x ))沿着曲线y ＝f (x )无限趋近于点P 0(x 0，f (x 0))时，割线P 0P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P 0T 称为曲线y ＝f (x )在点P 0处的切线．(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是切线P 0T 的斜率k 0，即k 0＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)．3．导数的概念当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线．()×提示：f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，当切线垂直于x 轴时，切线的斜率不存在，但存在切线．(2)一物体运动满足曲线方程s＝4t2＋2t－3，且s′(5)＝42(m/s)，其实际意义是：物体从开始运动到第5秒运动的平均速度是42米/秒．()×提示：由导数的物理意义知，s′(5)＝42(m/s)表示物体在t＝5秒时的瞬时速度．(3)若函数f(x)＝c(c为常数)，则在任何x＝x0处的导数f′(x0)为0.(√)1．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则() A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝bC解析：因为f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝lim Δx→0aΔx＋b(Δx)2Δx＝limΔx→0(a＋bΔx)＝a，所以f′(x0)＝a.2．已知函数y＝f(x)的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋1，则f′(1)＝() A．1 B．－1C．0 D．不存在B解析：由切线方程y＝－x＋1知切线斜率k＝f′(1)＝－1.3．如图所示是函数y＝f(x)的图象，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是()A．f′(x A)>f′(x B)B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B)D．f′(x A)与f′(x B)的大小不能确定B解析：分别过A，B两点作曲线的切线，可知切线的斜率k B>k A，∴f′(x B)>f′(x A)．4．已知函数f(x)＝lg(x＋1)，则f′(2)的几何意义是函数f(x)＝lg(x＋1)的图象在点(2，lg3)处切线的斜率．5．曲线y＝3x2－4x在点(1，－1)处的切线方程为________．y＝2x－3解析：k＝f′(1)＝limΔx→03(1＋Δx)2－4(1＋Δx)－(3×12－4×1)Δx＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x－1)，即y＝2x－3.【例1】求函数f (x )＝－x 2＋3x 的导数，并求f ′(1)．解：因为Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝[－(x ＋Δx )2＋3(x ＋Δx )]－(－x 2＋3x )＝－(Δx )2－2x ·Δx ＋3Δx ，所以ΔyΔx ＝－Δx －2x ＋3.故函数的导数f ′(x )＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0(－Δx －2x ＋3)＝－2x ＋3. 所以f ′(1)＝－2×1＋3＝1.求函数在某一点处的导数的方法：(1)定义法：①求函数值的变化量，Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；②求平均变化率，ΔyΔx＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；③取极限，f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx.(2)导函数的函数值法：先求出导函数f ′(x )，再把x ＝x 0代入f ′(x )得f ′(x 0)．1．设函数f (x )在x ＝x 0处可导，则lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx等于( )A ．f ′(x 0)B ．f ′(－x 0)C ．－f ′(x 0)D ．－f ′(－x 0)C 解析：lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝－lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝－f ′(x 0)．2．求函数y ＝x －4x 在x ＝2处的导数．解：方法一(导数定义法)： Δy ＝(2＋Δx )－42＋Δx －⎝⎛⎭⎫2－42 ＝Δx ＋2Δx2＋Δx，Δy Δx ＝Δx ＋2Δx 2＋Δx Δx ＝1＋22＋Δx ， ∴lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫1＋22＋Δx ＝2，从而y ′|x ＝2＝2.方法二(导函数的函数值法)：Δy ＝(x ＋Δx )－4x ＋Δx －x ＋4x ＝Δx ＋4Δxx (x ＋Δx )，Δy Δx ＝Δx ＋4Δxx (x ＋Δx )Δx ＝1＋4x (x ＋Δx )， ∴y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0⎣⎡⎦⎤1＋4x (x ＋Δx )＝1＋4x 2， ∴y ′|x ＝2＝2.【例2】求函数f (x )＝x 2－7x 图象上点(3，－12)处切线的斜率．解：f ′(3)＝lim Δx →0f (3＋Δx )－f (3)Δx＝lim Δx →0(3＋Δx )2－7(3＋Δx )－(－12)Δx＝lim Δx →0(Δx )2－ΔxΔx＝lim Δx →0(Δx －1)＝－1.所以切线的斜率为－1.【例3】求曲线y ＝x 3＋2在点M (－1,1)处的切线方程．解：因为点M (－1,1)恰好在曲线上，所以曲线在点M 处的切线的斜率就等于函数y ＝x 3＋2在x ＝－1处的导数．又y ′|x ＝－1＝lim Δx →0[(－1＋Δx )3＋2]－[(－1)3＋2]Δx ＝lim Δx →0(Δx )3－3(Δx )2＋3ΔxΔx＝lim Δx →0[(Δx )2－3Δx ＋3]＝3，所以切线的斜率为3.由点斜式可得切线方程为y －1＝3(x ＋1)，即3x －y ＋4＝0. 【例4】求经过点(2,0)，且与曲线y ＝1x 相切的直线方程．解：经验证点(2,0)不在曲线y ＝1x上，设切点为P (x 0，y 0)．由y ′|x ＝x 0＝lim Δx →01x 0＋Δx －1x 0Δx ＝lim Δx →0－Δx Δx ·(x 0＋Δx )·x 0＝lim Δx →0－1x 0(x 0＋Δx )＝－1x 20，得所求直线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．因为点(2,0)在切线上，所以x 20y 0＝2－x 0.又点P (x 0，y 0)在曲线y ＝1x 上，所以x 0y 0＝1，联立可解得x 0＝1，y 0＝1，故所求直线方程为x ＋y －2＝0.1．利用导数的几何意义求曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程的步骤如下： (1)求函数f (x )在x 0处的导数，即切线的斜率；(2)根据直线方程的点斜式可得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．运用导数的几何意义解决切线问题时，一定要注意所给的点是否在曲线上．若点在曲线上，则该点的导数值就是该点处的切线的斜率；若点不在曲线上，应另设切点，再利用导数的几何意义求解．1．曲线y ＝x 2－2x ＋3在点A(－1,6)处的切线方程是________________． 4x ＋y －2＝0 解析：由导数的定义知y ′|x ＝－1＝lim Δx →0(－1＋Δx )2－2(－1＋Δx )＋3－(－1)2＋2×(－1)－3Δx＝－4，∴所求切线方程为y －6＝－4(x ＋1)，即4x ＋y －2＝0.2．求抛物线y ＝14x 2过点⎝⎛⎭⎫4，74的切线方程．解：点⎝⎛⎭⎫4，74不在抛物线上，故设切点为⎝⎛⎭⎫x 0，14x 20，切线方程的斜率为k . ∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →014(x 0＋Δx )2－14x 20Δx ＝12x 0，切线方程的斜率k ＝74－14x 204－x 0，∴x 20－8x 0＋7＝0，解得x 0＝7或x 0＝1，故k ＝12x 0＝72或12.∴所求切线方程为14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0. 导数几何意义的综合应用探究题1 已知曲线f (x )＝x ，g (x )＝1x .过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f (x )在交点处的切线方程为________________．x －2y ＋1＝0 解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝1x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴两曲线的交点坐标为(1,1)．由f (x )＝x ，得f ′(1)＝lim Δx →01＋Δx －1Δx＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12，∴f (x )在点(1,1)处的切线方程为y －1＝12(x －1)．即x －2y ＋1＝0.探究题2 抛物线y ＝x 2在点P 处的切线与直线4x －y ＋2＝0平行，求点P 的坐标及切线方程．解：设点P 的坐标为(x 0，y 0)， y ′＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →02x ·Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x ，∴y ′|x ＝x 0＝2x 0.又由切线与直线4x －y ＋2＝0平行， ∴2x 0＝4，∴x 0＝2.∵P (2，y 0)在抛物线y ＝x 2上， ∴y 0＝4，∴点P 的坐标为(2,4)，∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.1．解决与导数的几何意义有关的综合题，其关键是设出切点的横坐标，然后根据导数的几何意义，求出切线的斜率．2．利用斜率与已知条件间的关系，构造关于切点的方程，根据方程思想求切点坐标，进而求切线方程．解题的同时要注意解析几何知识的应用．如直线的倾斜角与斜率的关系，如平行、垂直等．已知曲线y ＝x 2在某点P 处的切线满足下列条件，请分别求出点P 的坐标． (1)平行于直线y ＝6x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)与x 轴正方向成135°的倾斜角．解：f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)∵切线与直线y ＝6x －5平行，∴2x 0＝6，x 0＝3，y 0＝9，即P (3,9)是满足条件的点． (2)∵切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直， ∴2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94，即P ⎝⎛⎭⎫－32，94是满足条件的点． (3)∵切线与x 轴正方向成135°的倾斜角，∴其斜率为－1，即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14，即P ⎝⎛⎭⎫－12，14是满足条件的点．1．已知函数f (x )可导，则lim Δx →0f (1－Δx )－f (1)－Δx等于( )A ．f ′(1)B ．不存在C ．13f ′(1)D ．以上都不对A 解析：因为Δx →0，所以(－Δx )→0，所以 lim Δx →0f (1－Δx )－f (1)－Δx ＝lim Δx →0f (1－Δx )－f (1)－Δx＝f ′(1)．故选A ．2．函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )为函数f (x )的导函数，下列数值排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)<f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)B 解析：由f (x )的图象可知，f (x )在x ＝2处的切线斜率大于在x ＝3处的切线斜率，且斜率为正，∴0<f ′(3)<f ′(2)．∵f (3)－f (2)＝f (3)－f (2)3－2，∴f (3)－f (2)可看作(2，f (2))和(3，f (3))的割线的斜率，由图象可知f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)， ∴0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)．3．已知函数f (x )在x ＝x 0处的导数为2，则lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)2Δx＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1C 解析：根据题意，lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)2Δx ＝12lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝12f ′(x 0)，又由函数f (x )在x ＝x 0处的导数为2，即f ′(x 0)＝2，故lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)2Δx＝1.故选C ．4．函数y ＝f (x )＝(x －1)2的导数是( ) A ．－2 B ．(x －1)2 C ．2(x －1) D ．2(1－x )C 解析：y ′＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx －1)2－(x －1)2Δx＝lim Δx →0(Δx )2＋2x ·Δx －2ΔxΔx＝2x －2＝2(x －1)．故选C ．5．函数y ＝f (x )的图象在x ＝5处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)等于( ) A ．10 B ．8 C ．3D ．2D 解析：因为函数y ＝f (x )的图象在x ＝5处的切线方程是y ＝－x ＋8，所以f ′(5)＝－1，f (5)＝3，所以f (5)＋f ′(5)＝2，故选D ．6．在函数y ＝f (x )＝x 2＋3的图象上取一点P (1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy )．求：(1)ΔyΔx；(2)f ′(1)．解：(1)Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2＋3－(12＋3)Δx ＝2＋Δx .(2)f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2.1．求函数f (x )在点x ＝x 0处导数的步骤： (1)求函数的变化量：Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率：Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，求得f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx. 2．导数的几何意义是曲线的切线斜率；反过来，在曲线上取定一点作曲线的切线时，能根据切线判断斜率的符号，即导数的符号，进而根据符号确定在该点附近曲线的升降情况(或函数的增减情况)．同时可以根据切线倾斜程度的大小，判断此曲线升降的快慢情况．3．函数y＝f(x)在点x＝x0处导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，据此可求曲线的切线方程．课时分层作业(十三) 导数的概念及其几何意义(60分钟 110分) 基础对点练基础考点分组训练知识点1 导数的概念1．(5分)已知f (x )＝1x ，则f ′(2)＝( )A ．－14B ．2C ．14D ．－2A 解析：f ′(2)＝lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝lim Δx →0 12＋Δx －12Δx ＝lim Δx →0 －12(2＋Δx )＝－14.2．(5分)若可导函数f (x )的图象过原点，且满足lim Δx →0f (Δx )Δx＝－1，则f ′(0)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2B 解析：∵f (x )的图象过原点，∴f (0)＝0， ∴f ′(0)＝lim Δx →0f (0＋Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0f (Δx )Δx＝－1. 3．(5分)设函数f (x )可导，则lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1)C ．13f ′(1)D ．f ′(3)A 解析：lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx＝f ′(1).4.(5分)设函数f (x )＝ax ＋3.若f ′(1)＝3，则a ＝________.3 解析：∵f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0a (x ＋Δx )＋3－(ax ＋3)Δx ＝a .∴f ′(1)＝a ＝3.知识点2 导数几何意义的直接应用5．(5分)设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线(B) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴斜交6．(5分)(多选)下列说法正确的是( ) A ．曲线的切线和曲线可能有两个交点B ．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处无切线D ．y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，f ′(x 0)不一定存在AD 解析：曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他公共点，故A 正确，B 不正确；f ′(x 0)不存在，曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在，但切线可能存在，为x ＝x 0，故C 不正确；D 选项正确．知识点3 利用导数的几何意义求曲线的切线问题7．(5分)如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)<0 C ．f ′(x 0)＝0 D ．f ′(x 0)不存在B 解析：由x ＋2y －3＝0知斜率k ＝－12，∴f ′(x 0)＝－12<0.8．(5分)曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫－1，－73处的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．135°D ．60°B 解析：∵lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 13(－1＋Δx )3－2＋73Δx ＝1，∴切线的斜率为1，倾斜角为45°.9．(5分)曲线y ＝x 在点P (4,2)处的切线方程为( ) A ．x ＋4y ＋4＝0 B ．x －4y ＋4＝0 C ．x ＋4y ＋12＝0 D ．x －4y ＋12＝0 B 解析：∵lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →04＋Δx －2Δx ＝lim Δx →0 Δx (4＋Δx ＋2)Δx ＝14， ∴曲线在点P 处的切线方程为y －2＝14(x －4)，即x －4y ＋4＝0.10.(5分)过点(3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程为________________．2x －y －1＝0和10x －y －25＝0 解析：y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x .设所求切线的切点为A(x 0，y 0)． ∵点A 在曲线y ＝x 2上，∴y 0＝x 20. 又∵A 是切点，∴过点A 的切线的斜率k ＝2x 0.∵所求的切线过点(3,5)和A(x 0，y 0)两点， ∴其斜率又为y 0－5x 0－3＝x 20－5x 0－3，∴2x 0＝x 20－5x 0－3，解得x 0＝1或x 0＝5.从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25)．当切点为(1,1)时，切线的斜率k 1＝2x 0＝2；当切点为(5,25)时，切线的斜率k 2＝2x 0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)和y －25＝10(x －5)，即2x －y －1＝0和10x －y －25＝0. 知识点4 导数几何意义的综合应用11．(5分)如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( )A ．12B ．1C ．2D ．0C 解析：由图象知f (5)＝－5＋8＝3. 由导数几何意义知f ′(5)＝－1. ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.12．(5分)(多选)曲线y ＝f (x )＝x 3在点P 处的切线斜率k ＝3，则点P 的坐标是( ) A ．(1,1) B ．(－1，－1) C ．(－2，－8) D ．(2,8)AB 解析：f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3－x 30Δx ＝lim Δx →0 3(Δx )2x 0＋3Δxx 20＋(Δx )3Δx ＝lim Δx →0[3Δx ·x 0＋3x 20＋(Δx )2]＝3x 20.令3x 20＝3，则x 0＝±1，∴y 0＝±1. 13.(5分)过点P (－1,2)，且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程为________．2x －y ＋4＝0 解析：f ′(1)＝lim Δx →0 3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－(3×12－4×1＋2)Δx ＝2.∴所求直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.能力提升练能力考点适度提升14.(5分)设f (x )在x ＝x 0处可导，且lim Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx＝1，则f ′(x 0)＝( )A ．1B ．0C ．3D ．13D 解析：∵lim Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx＝1，∴lim Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)3Δx ＝13，∴lim 3Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)3Δx ＝13，∴f ′(x 0)＝lim 3Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)3Δx ＝13.15．(5分)抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 在点(1,2)处的切线与其平行直线bx ＋y ＋c ＝0间的距离是( ) A ．24B ．22C ．322D ． 2C 解析：抛物线过点(1,2)，∴b ＋c ＝1. 又∵f ′(1)＝2＋b ，由题意得2＋b ＝－b ， ∴b ＝－1，c ＝2.∴所求的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0，∴两平行直线x －y ＋1＝0和x －y －2＝0间的距离d ＝|1＋2|2＝322.16.(5分)若曲线y ＝2x 2－4x ＋p 与直线y ＝1相切，则p ＝________.3 解析：设切点为(x 0,1)．由y ′＝f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0(4x 0－4＋2Δx )＝4x 0－4，根据导数的几何意义有4x 0－4＝0，∴x 0＝1，即切点为(1,1)，∴1＝2－4＋p ，∴p ＝3.17.(5分)函数y ＝x 2在x ＝________处的导数值等于其函数值．0或2 解析：y ＝f (x )＝x 2在x ＝x 0处的导数值为f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0(Δx ＋2x 0)＝2x 0.由2x 0＝x 20，解得x 0＝0或x 0＝2.18.(12分)已知直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切，求a 的值和切点的坐标．解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)， f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx )3－(x ＋Δx )2＋1－(x 3－x 2＋1)Δx＝3x 2－2x .由题意知，直线l 的斜率k ＝1，即3x 20－2x 0＝1，解得x 0＝－13或x 0＝1.于是切点的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，2327或(1,1)．当切点为⎝⎛⎭⎫－13，2327时，2327＝－13＋a ，∴a ＝3227. 当切点为(1,1)时，1＝1＋a ，a ＝0(舍去)．所以a 的值为3227，切点坐标为⎝⎛⎭⎫－13，2327. 19.(13分)如图，它表示物体运动的路程随时间变化的函数f (t )＝4t －2t 2的图象，试根据图象，描述、比较曲线f (t )分别在t 0，t 1，t 2附近的变化情况，并求出t ＝2时的切线方程．解：用曲线f(t)分别在t0，t1，t2附近的切线，刻画曲线f(t)在上述三个时刻附近的变化情况．①当t＝t0时，曲线f(t)在t0处的切线l0平行于t轴，所以在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降；②当t＝t1时，曲线f(t)在t1处的切线l1的斜率f′(t1)<0，所以在t＝t1附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t1附近单调递减；③当t＝t2时，曲线f(t)在t2处的切线l2的斜率f′(t2)<0，所以在t＝t2附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t2附近单调递减．由图象可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，说明曲线f(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢．当t＝2时，f(2)＝0.当t＝2时，切线的斜率k＝f′(2)＝limΔx→0f(2＋Δt)－f(2)Δt＝limΔx→04(2＋Δt)－2(2＋Δt)2－8＋8Δt＝limΔx→04Δt－2(Δt)2－8ΔtΔt＝limΔx→0(－2Δt－4)＝－4.所以切线方程为y＝－4(t－2)，即4t＋y－8＝0.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

导数与解析几何完美的交汇——2012年浙江省数学高考文、理科解析几何题评析

解（椭方ｃ＋＝１圆程：予１）等．
（）１阶段ｌ２第
析几何题都是３，个其中理科共计２分，４文科共计２３分．２命题特点和知识类型２１０２年浙江省数学高考解析几何题有３个明
显的特点：
设直线ｌｙ＝＋代入椭圆方程Ｃ得：ｍ，
Ｙ＝一。＋１＾．ｃ一ｊ
例２如图２所示，直角坐在
，１、
＋
一・
ｌ午
标系ｘｙ中，ｆ，，ｏ点Ｐ ÷ｌ＼二１到抛物
线Ｃｙ：ｐ（０的准线的距：２￣ｅ＞）
《
Ｐ
第２阶段：
ｊ
Ｏ
因为＞１
３＋（＋ｍ）２４＝１，即（４＋ｋｘ＋ｍ一１０３＋ｋ）８ｍ４２．
４ｋｎｉ３＋—ｋ，ｏ４２Ｙ
— ．
（）１
设线段Ａ的中点坐标为（，ｏ，Ｂ ‰ Ｙ）则
３ｍ。＋ｍ — ３
＋
—
Ｘ０，
图ｔ
圆Ｃ交于点ＡＢ，线段，且ＡＢ被直线ＯＰ平分．（）椭圆Ｃ的方程；１求
譬
设
一
厢
．
－ｍ）＝（一）（２一厂（ｍ４１ｍ）＝
，＋８ｎｍ。一４ｍ。一９６ｍ＋１２９
第８期
黄高涌：导数与解析几何完美的交汇
・
２６・
中学教研（学）数
导数与解析几何完美的交汇

解析几何结合导数

解析几何结合导数标题：解析几何与导数的奇妙结合导数在解析几何中扮演着重要角色，它们的结合让我们能够更深入地理解几何形体的特性和变化规律。

让我们一起探索这个奇妙的结合吧！一、直线的斜率与变化率斜率是直线的一个重要属性，它代表了直线的倾斜程度。

而导数的概念与斜率有着紧密的联系。

我们可以通过导数来计算直线在某一点的斜率，从而了解直线在该点的变化率。

这种联系让我们可以更直观地理解直线的特性，进而应用到实际问题中。

二、曲线的切线与导数曲线的切线是曲线与某一点处的近似直线，它能够帮助我们更好地理解曲线的走向。

而导数的应用让我们能够准确地找到曲线在某一点处的切线。

通过计算导数，我们可以获得曲线在该点的斜率，从而确定切线的方向和倾斜程度。

这种方法让我们能够更直观地理解曲线的性质，以及曲线在不同点处的变化规律。

三、曲面的切平面与偏导数在三维空间中，曲面的切平面是曲面与某一点处的近似平面。

通过导数的应用，我们可以计算曲面在某一点处的偏导数，从而确定切平面的方向和倾斜程度。

这种方法让我们能够更准确地理解曲面的特性，以及曲面在不同点处的变化规律。

四、体积的变化率与导数在解析几何中，我们经常需要计算体积的变化率。

而导数的应用让我们能够准确地计算体积的变化率。

通过求导数，我们可以得到体积对于某一参数的导数，从而确定体积随参数变化的速率。

这种方法在实际问题中具有重要意义，比如在工程设计中，我们可以通过计算体积的变化率，来确定最优设计方案。

通过解析几何与导数的结合，我们能够更深入地理解几何形体的特性和变化规律。

这种结合不仅在学术研究中有着重要应用，还在实际问题的解决中发挥着重要作用。

让我们一起拥抱这个奇妙的结合，用数学的语言描绘出几何的美妙！。

§2 导数的概念及其几何意义

再由 P(x0，y0)在曲线 y＝1x上，得 x0y0＝1，
联立可解得 x0＝1，y0＝1，
所以直线方程为 x＋y－2＝0.
“多练悟——素养提升”见“ 课时跟踪检测(六)” (单击进入电子文档)
x1－x0
＝ lim
Δx→0
Δx
.
2．割线的定义函数 y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为ΔΔxy，它是过 A(x0， f(x0))和 B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率，这条直线称为曲线 y＝f(x)在点 A 处的一条割线． 3．切线的定义当 Δx 趋于零时，点 B 将沿着曲线 y＝f(x)趋于点 A ，割线 AB 将绕点 A 转动最后趋于直线 l，直线 l 和曲线 y＝f(x)在点 A 处“相切”，称直线 l 为曲线 y＝f(x)在点 A 处的切线． 4．导数的几何意义函数 y＝f(x)在 x0 处的导数，是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0)) 处的切线的斜率．
2．曲线 y＝x2 在点 P(1,1)处的切线方程为
A．y＝2x
B．y＝2x－1
C．y＝2x＋1
D．y＝－2x
答案：B
()
3．已知曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 2x－y＋2＝0，
则 f′(1)＝
()
A．4
B．－4
C．－2
D．2
答案：D
4．已知 f(x)＝－1x，则 f′(x)＝________. 答案：x12 5．函数 f(x)＝2＋13x在 x＝1 处的导数为________．答案：－235
Δx→0
f1＋Δx－f1 Δx
＝
lim
Δx→0
[a1＋Δx＋Δxb]－a＋b＝

导数、解析几何大题及答案

2220•已知抛物线x 2=2py (p >0)的焦点为F ,直线x=4与x 轴的交点为P ,与抛物线的交点为 Q,且廟匸一|珂丨• (1) 求抛物线的方程；(2) 如图所示，过F 的直线I 与抛物线相交于A, D 两点，与圆x 2+(y - 1) 2=1相交于B , C 两点(A , B 两点相邻)，过A, D 两点分别作我校的切线，两条切线相交于点 M 求厶ABM ^A CDM 勺面积之积的最小值.I QF I =•••抛物线x 2=4y ;(2)设 I : y=kx+1, A( X 1, yd , B( X 2, y 2), • M 到I 的距离+2联立 y=kK+l ,整理得：x 2 - 4kx - 4=0 , 贝U X 1X 2=- 4 , •••△ ABMW ^ CDM 勺面积之积 S A ABI ?S A CD M^~ I2AB II CD|?d ,由 y=-?x 2 ,求导 y '=二, 直线MAy -(x - X 1),即卩 y=(I DF I - 1)?d 2 ,xd 2 ,解：(1)由题意可知P (4, 0), Q (4,),同理求得MD y=由 iQFkziFQl ,则二+炸〒x,解得：p=2 ,,解得：x=2kL y=-1,则(2k , - 1),=1+k 2>1, 当且仅当k=0时取等号, 当k=0时，△ ABMW A CDM 勺面积之积的最小值121 .已知函数 f (x ) =lnx — x . (1) 证明：对任意的X 1, X 2^（ 0, +°）, 都有 |f (X i ) | >(2) f (ID ) (n) +n)rn-n r . 2 2 与m 一门设m >n >0,比较的大小，并说明理由 (1) 证明: f (m) -f因为 f '(x ) =1-，故 f (x )在(0, 1) 上是增加的，在（1, +°）上是减少的, f (X ) maX =f ( 1 ) =ln1 —仁—1, |f ( x ) | min =1 ,- 1m 1 — 2 2X “ n 一 4—Hl 口且设G( x )=」,1^1 XL x .2 , V m >n >0，^- 1>0,故 G (x )在(0, e ）上是增加的，在（e , + 故只需比较In,与°°）上是减少的, 故 G(x ) max =G(e )=丄v 1,的大小,■t -lG ( X ) max V|f (X )I min ,所以 |f (X 1) | Ins 2K 2 对任意的X 1, X z € (0,设 G (t ) =lnt=lnt+x ）恒成立; (2)解:t 2+zt-i 十说i因为t > 1,所以G (t )> 0,所以函数G (t )在(1, +x )上是增加的，故 G( t )> G (1) =0,所以 G( t )> 0 对任意t > 1恒成立，即In从而有到右准线I 的距离为.(I)求a 、b 的值;(U)设M N 是右准线I 上两动点，满足丽.丽=0・当|MN|取最小值时，求证：M N 两点关于x 轴对称.I2解：(1)因为亡*, F2到I 的距离d~-^, o CHl所以由题设得T -皿解得，k 二施a=2. 由 >--存一:=1 (a > b > 0)的左、右焦点分别是 F 1 和 F 2,f (m)(n)如)19. (13分)设椭圆(U)证明：由卜八打，a=2得卩(-叼0)，匚(问0)则I的方程为• 故可设爪(2近，皿，N〈皿y2)-卩訓=(^2^2, y1),兀孑=(2应-'、〔二，屮),由」■一j=0 知，3 X +yy=O,得y i y2=- 6,所以yy工0,,I "Fly i —y2|=|y 1+ |=|y i|+ ,Yj I7iI当且仅当y^±.；i时，上式取等号，此时yi=-y2.即M N两点关于x轴对称.__ 3 2 、”,20. (14分)已知函数f (x) =x+ax+bx+c的图象经过原点，且在x=1处取得极大值. (I)求实数a 的取值范围；f 2a+3 2(U)若方程f (x)=- 恰好有两个不同的根，求f (x)的解析式；(川)对于(2)中的函数f (X ),若对于任意实数a 和B 恒有不等式|f (2sin a) B) | < m 成立，求m 的最小值.-f (2sin 解: (I) f (0)=0? c=0, f (x )=3x 2+2ax+b, f ( 1) =0? b=- 2a — 3,…2 分••• f 2(x) =3x+2ax -( 2a+3) = (x - 1) (3x+2a+3),因为当x=1时取得极大值，所以所以a 的取值范围是：(-X,- 3);…4分(U)由下表:x=1递增极大值-a - 2 递减极小值丄递增依题意得：4,z Iy解得：a= - 9,所以函数f (x )的解析式是：f (x ) =x 3 - 9x 2+15x ;…9分(x ) =0? x=1 或寸二-画出f (x )的简图:又"，■ 1,贝U( 1 - X 1,- y 1) = X (X 2 — 1, y 2),即 y 1=—入 y,，①且(川)对任意的实数a,B 都有- 2< 2sin a< 2,- 2< 2sin 2, 依题意有：函数f (x )在区间上的最大值与最小值的差不大于 m …10分在区间上有：f (- 2) =-8 -36 - 30=- 74f (1) =7, f (2) =8 - 36+30=2f (x )的最大值是 f (1) =7,f (x )的最小值是 f (- 2) =-8-36 - 30=- 74,…13 分所以81即m 的最小值是81.…14分.2 220.已知抛物线C: y 2=2px(p >0)的焦点F 与椭圆C': •: =1的一个焦点重合, 2)在抛物线上，过焦点F 的直线I 交抛物线于M 、N 两点. (1)求抛物线C 的方程以及|AF|的值;(2)记抛物线C 的准线与x 轴交于点B ,若?,' ■ .1 J , | BM| 2+| BN| 2=40,求实数2 2解:(“ 依题意，椭圆•「「中，a2=6, b2=5,故 c2=a2- b2=1,故二「点 A(X 0,入的值.可得抛物线C 的方程为f=4x .将 A (X 0, 2)代入 y 2=4x ，解得 x 0=1，故.(2)依题意，F (1, 0),设 l : x=my+1，设 M (X 1, y 1)、N (x 2, y 2),联立方程K=rny+1 '消去 x ,得 y 2- 4my - 4=0.所以r2 —一 __入旳二T °1代入①得- ，消去y2得4『二入什-2,(1一乙)乃二4加兀易得 B (- 1, 0),则明二(切+1「y】)’ BN= (K2+L y J ,则|丽I S|尿| 2二独『1■丽'二(巧T )戈十”丁十(勺十打外咒冬戈十2 &i+七)吃十yj十匕上H n. o ? *9 9 ?.=〔琢y[+1) + (口Fz+1)+2(m活]+m尸d+2)+2+y] +y2=(m +l)(F]+/2 )+4m(y]+y?)+£=(m2+1) (16m2+8) +4m?4m+8=16m4+40m2+16,当16m4+40m2+16=40,解得『斗，故入二2 士换.21 •已知函数f (x) =axeX-( a- 1) (x+1) 2(a€ R, e 为自然对数的底数，e=2.7181281 …).(1)当a=- 1时，求f (x)的单调区间；(2)若f (x)仅有一个极值点，求a的取值范围.解：(1)由题知，f (x) =-xe x+2 (x+1) 2,f (x) =- e x- xe x+4 (x+1) = (x+1) (4- e x),由f (x) =0 得到x=- 1 或x=ln4,而当x v In4 时，(4 - e x)> 0, x>In4 时，(4 - e x)v 0,列表得:x (-X,—1) -1 (-1, l n4)In4(I n4, +^)f (x) - 0+ 0—f (x) \ 极大值/ 极小值所以，此时f (X)的减区间为(-X,-1), (In4, +^), 增区间为(-1 , In4);(2) f (x) =ae x+axe x- 2 (a- 1) (x+1) = (x+1) (ae x- 2a+2),由f (x) =0 得到x= - 1 或ae x- 2a+2=0 (*)由于f (x)仅有一个极值点，关于x的方程(* )必无解，①当a=0时，(*)无解，符合题意，②当a^0时，由(* )得e x二^，故由二0得O v a< 1，a a由于这两种情况都有，当x v- 1时，f (x)v 0,于是f (X)为减函数, 当x>- 1时，f (x)> 0,于是f (x)为增函数，•••仅x=- 1为f (X)的极值点, 综上可得a的取值范围是[0, 1].。

高考解析几何和导数知识点

高考解析几何和导数知识点解析几何和导数是高中数学的重要内容，也是高考数学考试中的常见考点。

掌握这两个知识点不仅能够帮助学生在考试中取得好成绩，更能够提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。

一、解析几何知识点1.直线和圆在解析几何中，直线和圆是两个基础性的概念。

直线可以用一次方程y = kx + b来表示，其中k为斜率，b为截距。

圆的方程可以表示为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a，b)是圆心坐标，r是半径。

通过对直线和圆的方程进行分析，可以推导出直线与直线、直线与圆、圆与圆相交的条件和结果，进而解决相关的几何问题。

2.向量与直线的关系向量与直线的关系是解析几何中的重要内容。

两个向量的和、差、数量积和向量积都有其特定的几何意义。

通过计算不同向量的数量积和向量积，可以判断向量的方向以及向量是否垂直或平行。

同时，可以利用向量来表示线段、直线和面积，从而解决几何问题。

3.二次曲线解析几何中的二次曲线包括抛物线、椭圆、双曲线和直角双曲线。

通过对二次曲线的方程进行分析，可以推导出二次曲线的几何特征和性质。

在解决实际问题时，可以利用二次曲线的特性进行建模和计算，如利用抛物线的焦点和顶点来确定抛物线的形状和位置。

二、导数知识点1.导数的定义在微积分中，导数是描述函数变化率的重要概念。

导数的定义为：函数f(x)在点x处的导数为lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h。

即导数表示了函数在某一点处的瞬时变化率，可以理解为函数曲线在该点处的切线斜率。

2.导数的计算在计算导数时，可以利用导数的性质和常用的求导法则。

常用的求导法则包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则以及基本的求导规则。

通过熟练掌握这些求导法则，可以快速计算函数的导数。

3.导数的应用导数的应用广泛存在于实际生活和科学研究中。

导数可以用来求函数的极值点、拐点、最值点等。

通过对函数的导数进行分析，还可以判断函数的增减性、凸凹性、拐点等。

求导法则及其应用

求导法则及其应用求导法则是微积分中的基础知识，它是计算函数导数的重要工具，被广泛应用于数学和科学领域。

本文将介绍一些求导法则，并探讨它们的应用。

一、常用求导法则1. 基本导数法则基本导数法则包括：（1）常数法则：常数的导数为零。

（2）幂函数法则：对于函数y = x^n，其中n为常数，它的导数为y' = n*x^(n-1)。

（3）指数函数法则：对于函数y = a^x，其中a为常数，它的导数为y' = a^x * ln(a)。

2. 乘积法则乘积法则用于求两个函数的乘积的导数。

设函数y = u(x)*v(x)，其中u(x)和v(x)均可导，则它们的乘积的导数为y' = u'(x)*v(x) +u(x)*v'(x)。

3. 商积法则商积法则用于求两个函数的商的导数。

设函数y = u(x) / v(x)，其中u(x)和v(x)均可导，v(x) ≠ 0，则它们的商的导数为y' = (u'(x)*v(x) -u(x)*v'(x)) / (v(x))^2。

4. 链式法则链式法则用于求复合函数的导数。

设函数y = f(g(x))，其中f(u)和g(x)均可导，则它们的复合函数的导数为y' = f'(g(x))*g'(x)。

二、应用举例1. 求导数假设有函数y = x^2 * sin(x)，我们可以利用乘积法则和幂函数法则来求导数。

首先，对于函数x^2，应用幂函数法则得到导数为2x。

然后，对于函数sin(x)，应用幂函数法则和乘积法则得到导数为cos(x)。

最后，根据乘积法则，将两个部分结果相加得到最终导数为y' =2x*sin(x) + x^2*cos(x)。

2. 解析几何中的应用求导法则在解析几何中有广泛的应用。

例如，对于二次曲线，我们可以通过求导来确定曲线的切线方程。

设有二次曲线y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。

第10讲双曲线及其性质-解析版-2023届二轮复习《导数与解析几何》必掌握问题

第10讲双曲线及其性质典型例题双曲线的定义【例1】设1F ，2F 分别是双曲线22124y x -=的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PF F △的面积等于（）．A．B．C．24D．48【分析】因为P 是双曲线上的一点，可设(,)P m n ，则满足双曲线方程，即22124n m -=；由双曲线方程可知焦点坐标，根据两点间距离可将1PF ，2PF 用m 表示，再根据13PF =24PF ，可求得m 的值，从而求得1PF ，2PF 的值，这样12PF F △的三边都知道了，则该三角形的面积就可求了．另外，还可以根据双曲线的定义求解本题．【解析】解法一:依题意1a =，b =，5c =，所以1(5,0)F -，2(5,0)F ．设(,)P m n ，则22124n m -=，即222424n m =-．因此151PF m =+．同理可得251PF m =-．又因为1234PF PF =，所以75m =．故18PF =，26PF =．又因为1210F F =，所以2221212PF PF F F +=，因此12121242PF F S PF PF =⋅⋅=△．解法二:由题意得12122,34,PF PF PF PF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩解得128,6. PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩又由1210F F =，可得12PF F △是直角三角形，所以12121242PF F S PF PF =⋅⋅=△．【点睛】对于圆锥曲线问题要注意对定义的双向应用，如双曲线定义的双向运用：（1）若()1212202MF MF a a F F -=<<，则动点M 的轨迹为双曲线；（2）若动点M 在双曲线上，则122MF MF a -=．双曲线的标准方程【例2】已知双曲线过153,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，16,53Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点，求双曲线的标准方程．【分析】双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>或22221(0,0)y x a b a b-=>>，所以求双曲线的标准方程就是求方程中的a ，b ．方法一是根据已知及双曲线的几何性质直接求出a ，b ；方法二是采取待定系数法，对于待定系数法，首先确定焦点在哪个轴上，从而确定方程的类型，即定型，然后再根据题目的条件列出方程组，解方程组，求出a ，b ．【解析】解法一:（1）若焦点在x 轴上，则设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，因此222292251,16256251,9a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得2216,9.a b ⎧=-⎨=-⎩（舍去）（2）若焦点在y 轴上，则设双曲线的方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>．将P ，Q两点坐标代入可得222222591,16252561,9a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得229,16.a b ⎧=⎨=⎩所以双曲线的标准方程为221916y x -=．综上可知，双曲线的标准方程为221916y x -=．解法二:设双曲线的方程为221(0)Ax By A B -=⋅<．因为双曲线过153,4P ⎛⎫⎪⎝⎭，16,53Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点，所以22590,16196250.9A B A B ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得116A =-，19B =-．以双曲线的标准方程为221916y x -=．【点睛】求双曲线方程一般采取待定系数法，其一般步骤是：（1）定型．确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴．（2）设方程．根据焦点位置设出相应的标准方程的形式．①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为221(0)Ax By AB +=<．②与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>共焦点的双曲线的标准方程可设为22x a k --()22221y b k a b k=-<<+．（3）计算．利用题中条件列出方程组，求出相关值．（4）结论．写出双曲线的标准方程．双曲线的几何性质【例3】已知1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，PQ 是经过1F 且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果290PF Q ∠=︒，求双曲线的离心率．【分析】离心率是圆双曲线的重要几何性质之一，是高考常考的问题．此类问题要么直接求出参数a 和c ，进而通过公式ce a =求离心率；要么先列出参数a ，b ，c 的关系式，再转化为只含有a 和c 的关系，进而得出离心率．求解离心率的取值范围除了借助椭圆本身的属性，有时还要借助不等式知识及椭圆的范围等几何特点．【解析】解法一因为PQ 是经过1F 且垂直于x 轴的双曲线的弦，且290PF Q ∠=︒，所以2PQF △为等腰直角三角形，因此12PF c =．设点1F 为双曲线的左焦点，则点P 的坐标为(,2)c c -±．将点P 的坐标代入双曲线方程，得222241c c a b -=．又由222c a b =+，得422460c c a a -+=．两边同除以4a ，得42610e e -+=．所以23e =+或3-（舍去）．又因为2231)e =+=+，所以1e =．故双曲线的离心率为1+解法二设1(,0)F c ，将x c =代入双曲线的方程，得22221c y a b -=．那么2b y a=±．由22PF QF =，290PF Q ∠=︒，知112PF F F =，所以22b c a =，即22b ac =，因此22c ac --20a =，两边同时除以2a ，得2210c c a a ⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭，即2210e e --=，解得1e =+1-（舍去）．故双曲线的离心率为1+【点睛】求双曲线离心率的3种方法：（1）若可求得a ，c ，则直接利用c e a=求解．（2）若已知a ，b ，则可直接利用e =求解．（3）求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c ，的方程或不等式，利用222b c a =-和c e a=转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．【例4】已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与双曲线C 的两条渐近线的交点分别为M 和N ．若OMN △为直角三角形，则||MN =（）．A．32B．3C．D．4【分析】首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到FON ∠=30︒；根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程；之后分别与两条渐近线方程联立，求得M ，3,2N ⎛ ⎝⎭，从而利用两点间的距离，求得||MN 的值．另外，也可通过题目的几何特征及双曲线的几何性质寻求Rt OMN △的边角关系，从而解决本题．【解析】解法一根据题意，可知其渐近线的斜率为33±，且右焦点为(2,0)F ，从而得到30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒．根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x -，分别与两条渐近线y =联立，求得M ，3,2N ⎛ ⎝⎭，所以||MN =3．故选B．解法二因为OMN △为直角三角形，所以不妨设OMN ∠为直角，如图4.1所示．根据题意，可知其渐近线的斜率为30FOM ∠=︒，又因为右焦点为(2,0)F ，即||2OF =，所以，在Rt OMF △中||OM =；在Rt OMN △中，60MON ∠=︒．因此||||tan 603MN OM =⋅︒=．故故B．图4.1【点睛】解决解析几何问题要深刻体会解析几何的知识本质，将题目中的几何关系用代数形式表示出来，通过代数运算得出代数结论，再将代数结论转化为几何结论，在这个过程中，要深入探究题目中都蕴含着怎样的几何关系，这些几何关系的本质是什么，这个几何关系用怎样的代数形式表示更恰当、简洁，怎样表示。

第3讲不等式的恒成立与存在性问题(解析版)-高考数学复习《导数与解析几何》必掌握问题

第3讲不等式的恒成立与存在性问题典型例题构造中间值函数证明不等式【例1】已知函数()e x f x =,求证:曲线e (0)x y x =>总在曲线2ln y x =+的上方. 【分析】要证函数()f x 的图像恒在另一个函数()g x 图像的上方,即证()()f x g x >,可用作差法,构造新函数()()()h x f x g x =-,利用导数证明()0h x >.也可以考虑中间值法,找到一个函数()x ϕ使()()()f x x g x ϕ>>. 【解析】证法一构造中间值函数:1y x =+. 令()()e 1x F x x =-+,则()e 1x F x '=-.因为0x >,所以e 1x >,则e 10x ->,所以()0F x '>,故()F x 在()0,∞+上单调递增. 因为()00F =,所以()0F x >,即e 1x x >+. 令()()()12ln 1ln G x x x x x =+-+=--,则 ()111(0).x G x x x x'-=-=> 令()0G x '=,得1x =.当x 变化时,()(),G x G x '在()0,∞+上的变化情况见表3.1.表3.1所以当1x =时,()G x 有最小值()10G =.所以()0G x ,则12ln x x ++,即e 2ln x x >+,所以曲线e (0)x y x =>总在曲线2ln y x =+的上方.证法二构造中间值函数:e y x =.令()e e (0)x H x x x =->,则()e e x H x '=-.令()0H x '=,得1x =. 当x 变化时,()(),H x H x '在()0,∞+上的变化情况见表3.2.表3.2所以当1x =时,()H x 有最小值()10H =.所以()0H x ,即e e x x ,当且仅当1x =时,“=”成立. 令()()e 2ln x x x ϕ=-+,则()1e 1e .x x x xϕ-=-=' 令()0x ϕ'=,得1ex =.当x 变化时,()(),x x ϕϕ'在()0,∞+上的变化情况见表3.3表3.3则当1e x =时,()x ϕ有最小值1112ln 0e e ϕ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()0x ϕ,即e 2ln x x +,当且仅当1e x =时,"=”成立.所以e 2ln x x >+(=“”不能同时成立). 所以曲线e (0)x y x =>总在曲线2ln y x =+的上方. 证法三构造差函数.设()()()2ln e ln 2(0)x g x f x x x x =-+=-->,则()1e x g x x =-'.令()1e x h x x=-,则()21e 0x h x x=+>'.所以()h x 在()0,∞+上单调递增,即()g x '在()0,∞+上单调递增. 因为()121e 20,1e 102g g ''⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,所以()g x '在()0,∞+上存在唯一的0x ,使得()0001e 0x g x x =-=',即001e x x =,则00ln x x =-,且0112x <<.当x 变化时,()g x '与()g x 在()0,∞+上的变化情况见表3.4表3.4则当0x x =时,()g x 取得最小值()000001e ln 22x g x x x x =--=+-. 因为01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以()0001220.g x x x =+->= 因此()0g x >,即()2ln (0)f x x x >+>,所以曲线e (0)x y x =>总在曲线2ln y x =+的上方.【点睛】因为不等式与函数关系密切,所以经常将证明不等式恒成立的问题转化为求对应函数或构造新函数问题,而研究什么函数、如何构造函数是解题的关键.本题给出了几种证明不等式的方法,前两种方法都用到中间值法,寻找某函数在某点处的切线方程,进而利用差函数判断这条切线是否位于两个函数之间.在证法一中,1y x =+是函数e x y =在()0,1处的切线方程,也恰好是函数2ln y x =+在()1,2处的切线方程;在证法二中,y ex =是函数e x y =在()1,e 处的切线方程.这两种方法只要找到不等号两边的中间值函数,往往就可以使问题变得容易处理.证法三是直接构造差函数,利用导数的性质,以及灵活运用极值点处导数为0的方程,将函数的最值转化成均值不等式求解.构造差函数是常用的方法,但是对于导函数性质的研究需要深入,并且需要综合不等式的相关知识,难度稍大些. 参变分离求参数取值范围【例2】已知函数()ln f x x x =,若对任意1x 都有()1f x ax -,求实数a 的取值范围. 【分析】对于不等式恒成立问题,可以考虑构造差函数,对参数进行分类讨论,利用导数研究差函数的取值范围;也可以考虑将参数分离出来,研究参数分离之后的新函数的图像和性质;还可以考虑将定义域内的特殊值代入不等式,首先限定参数的取值范围,再对参数进行分类讨论.【解析】解法一直接构造差函数,分类讨论.()()()1ln 1,g x f x ax x x ax =--=-+令则()()1ln .g x f x a a x =-=-+''(1)若1a ,当1x >时,()1ln 10g x a x a '=-+>-,故()g x 在()1,∞+上为增函数. 所以当1x 时,()()110g x g a =-,即()1f x ax -.(2)若1a >,方程()0g x '=的根为10e a x -=.此时,若()01,x x ∈,则()0g x '<,故()g x 在该区间为减函数.所以当()01,x x ∈时,()()110g x g a <=-<,即()1f x ax <-,与题设()1f x ax -相矛盾.综上所述,满足条件的a 的取值范围是(],1∞-. 解法二参变分离.依题意,得()1f x ax -在[)1,∞+上恒成立,即不等式1ln a x x+对于[)1,x ∞∈+恒成立.令()1ln g x x x=+,则 ()211111.g x x x x x '⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当1x >时,因为()1110g x x x '⎛⎫=-> ⎪⎝⎭,故()g x 是()1,∞+上的增函数,所以()g x 的最小值为()11g =,因此a 的取值范围是(],1∞-. 解法三取特殊值.令()()()1ln 1g x f x ax x x ax =--=-+,由题意知对任意1x 都有()0g x ,所以()110g a =-,则1a ,因此()()1ln 0g x a x =-+',故()g x 在()1,∞+上为增函数. 所以当1x 时,()()min ()10g x g x g =,即()1f x ax -恒成立. 所以a 的取值范围是(],1∞-.【点睛】对于不等式恒成立问题,构造差函数、对参数进行分类讨论研究差函数的符号,是解决这类问题的常用方法.但是有时分类讨论过于烦琐,而参变分离构造的新函数由于脱离了参数的千扰,易于研究其图像和性质.适当使用特殊值,将参数的范围界定在更小的范围内,有时会得到意想不到的效果.构造差函数求解恒成立问题【例3】已知函数()ln f x x x =,若对于任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,都有()1f x ax -,求实数a 的取值范围.【分析】对于不等式恒成立问题,通常转化为函数的问题来求解,构造差函数是最常用的一种解决办法.本题可直接构造差函数()()()1h x f x ax =--,问题即可转化为()0h x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立时求a 的取值范围,可通过求()h x 的最大值来求解.【解析】解法一参变分离构造新函数. 当1e e x 时,不等式()ln 1f x x x ax =-,等价于1ln a x x+. 令()11ln ,e e g x x x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭,则()221111,e .e x g x x x x x ⎛⎫-⎡⎤=-=∈' ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭当1,1e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()0g x '<,所以()g x 在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减;当(]1,e x ∈时,()0g x '>,所以()g x 在区间()1,e 上单调递增.因为()1111ln e e 1 1.5,e lne 1 1.5.e e e e g g ⎛⎫=+=->=+=+< ⎪⎝⎭所以()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1e 1e g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以当e 1a -时,对于任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,都有()1f x ax -.所以实数a 的取值范围是e 1a -. 解法二直接构造差函数.设()()()1ln 1h x f x ax x x ax =--=-+,则()0h x 对任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.对()h x 求导,得()1ln .h x x a =+-'令()0h x '=,得ln 1x a =-,所以1e a x -=.当x 变化时,()(),h x h x '在()0,∞+上的变化情况见表3.5. 表3.5当11e e a -,即0a 时,()h x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,所以()max ()e e e 10h x h a ==-+,则11ea +,不满足0a ,舍去.当11e e e a -<<,即02a <<时,()h x 在11,e e a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在(1e ,e a -⎤⎦上单调递增, 于是(e)0,10,e h h ⎧⎪⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩所以11,e e 1.a a ⎧+⎪⎨⎪-⎩又因为02a <<,所以e 12a -<.当1e e a -,即2a 时,()h x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以max 1()0e h x h ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则e 1a -,满足2a .综上所述,实数a 的取值范围是e 1a -. 解法三先等价变形,再构造差函数.因为0x >,所以不等式()ln 1f x x x ax =-等价于1ln x a x-.设()11ln ln x x a x a x x ϕ⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭,即()0x ϕ对任意1,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.对()x ϕ求导,得()22111.x x x x xϕ-=-='由解法一知,()x ϕ在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在区间()1,e 上单调递增.所以()10,e e 0,ϕϕ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎩即e 1,11,e a a -⎧⎪⎨+⎪⎩故e 1a -. 【点睛】对于含有参数的不等式恒成立问题,构造差函数后,分析导数的符号情况时,通常要对参数进行分类讨论.有时,对不等式进行等价变形后再构造差函数,会使问题更加容易解决利用二次函数性质判断参数取值范围【例4】已知函数()()321232af x x x x a =-+-∈R .若对于任意()1,x ∞∈+都有()2f x a '<-成立,求实数a 的取值范围.【分析】若原函数是三次函数,则其导数为二次函数.有关导数的不等式恒成立问题可以由二次函数的图像和性质直接求解,也可以利用参变分离结合构造的新函数的图像和性质求解.【解析】解法一参变分离构造新函数. 对函数()f x 求导,得()2 2.f x x ax '=-+-因为对于任意()1,x ∞∈+都有()2f x a '<-成立,即222x ax a -+-<-成立.因为10x ->,所以对于任意()1,x ∞∈+都有21x a x <-成立.令()()()21,1x g x x x ∞=∈+-,则 ()()()222222122.(1)(1)(1)x x x x x x x g x x x x ----===---' 令()0g x '=,得2x =.当x 变化时,()(),g x g x '在()1,∞+上的变化情况见表3.6.表3.6所以()min ()24g x g ==,故实数a 的取值范围是4a <. 解法二直接研究二次函数.对函数()f x 求导,得 ()2 2.f x x ax '=-+-若对任意()1,x ∞∈+都有()2f x a '<-成立,即222x ax a -+-<-成立,亦即20x ax a -+>成立.设()2h x x ax a =-+,则二次函数()h x 的图像是开口向上的抛物线,对称轴为2a x =.由题意,对于任意()1,x ∞∈+都有()0h x >,则()1,1,2210Δ0,a a h ⎧⎧>⎪⎪⎨⎨⎪⎪><⎩⎩或即2,2,04,a a a a ⎧>⎧⎨⎨∈<<⎩⎩R 或所以2a 或24a <<.所以实数a 的取值范围是4a <.解法三参变分离结合均值不等式.由解法一知,对于任意()1,x ∞∈+都有21x a x <-成立,则()()22(1)21111 2.111x x x x x x x -+-+==-++--- 因为10x ->,所以()()1122124,1x x x -++-=- 当且仅当11,11,x x x ⎧-=⎪-⎨⎪>⎩即2x =时,“=”成立.所以实数a 的取值范围是4a <.【点睛】二次函数是基本初等函数之一,在研究函数的导数符号时会经常遇到.二次函数与二次方程、二次不等式在有关函数问题的求解中起到重要作用,对二次函数的图像和性质要予以足够的重视. 等价转化求解恒成立或存在性问题【例5】已知函数()e x f x x =-,当[]0,2x ∈时,不等式()f x ax >恒成立,求实数a 的取值范围.【分析】我们在解决不等式恒成立问题时,可以将不等式等价变形,通过移项、去分母或者乘以(除以)某一正项,再分离参数、构造新函数,将不等式问题等价转化为函数问题,就可以利用导数来研究函数的图像和性质了. 【解析】解法一参变分离构造新函数. 由()f x ax >,得()1e x a x +<.当0x =时,上述不等式显然成立,则a ∈R .当02x <时,将()1e xa x +<等价变形得e 1x a x <-,令()e 1xg x x=-,则()()21e x x g x x-='. 令()0g x '>,解得1x >;令()0g x '<,解得1x <.所以()g x 在()0,1上单调递减,在()1,2上单调递增.所以当1x =时,()g x 取得最小值e 1-,因此所求实数a 的取值范围是(),1e ∞--.解法二等价变形后构造新函数.由题意,不等式()e x f x x ax =->,当0x =时,()010f =>恒成立,a ∈R .当02x <时,将()1e xa x +<等价变形得e 10xa x-->.设()e 1(02)xh x a x x=--<,则()()21e xx h x x -=',由解法一知,()min ()1e 10h x h a ==-->,所以e 1a <-,故所求实数a 的取值范围是(),e 1∞--.解法三直接构造差函数,分类讨论.设()()e x x f x ax x ax ϕ=-=--,则()e 1x x a ϕ=--'.由题意知,对于任意[]()0,2,0x x ϕ∈>恒成立,等价于min?()0x ϕ>.①当1a -时,10a --,因为e 0x >,所以()0x ϕ'>,则()x ϕ在[]0,2上单调递增,所以()min ()010x ϕϕ==>,故1a -满足题意.(2)当1a >-时,则()e 10x x a ϕ=--=',得e 1x a =+,所以()ln 1x a =+. 当x 变化时,()(),x x ϕϕ'在(),∞∞-+上的变化情况见表3.7.表3.7当()ln 10a +,即011,10a a <+-<时,()x ϕ在[]0,2上单调递增,则()min?()010x ϕϕ==>,所以10a -<,满足题意.当()0ln 12a <+<,即2211e ,0e 1a a <+<<<-时,()x ϕ在()()0,ln 1a +上单调递减,在()()ln 1,2a +上单调递增,则()()()()min ()ln 11ln 1ln 1x a a a a a ϕϕ=+=+-+-+()()11ln 10,a a ⎡⎤=+-+>⎣⎦ 因为()10,1ln 10a a +>-+>,所以01e a <+<,因此0e 1a <<-. 当()ln 12a +,即221e ,e 1a a +-时,()x ϕ在[]0,2上单调递减,则()min()2e 220x a ϕϕ==-->,所以2e 12a <-,不满足2e 1a -.综上所述,实数a 的取值范围是(),e 1∞--.【点睛】不等式恒成立或存在性问题常常转化为对应函数的最值问题,可以通过不等式的等价变形,找到易于研究的函数求解. 分类讨论研究函数的图像和性质【例6】设函数()e 1(0)x f x ax a =-+>,当1x <时,函数()f x 的图像恒在x 轴上方,求a 的最大值.【分析】函数()f x 的图像恒在x 轴上方(或下方)之类的问题,转化为代数语言即()0f x >(或()0)f x <恒成立的问题,本质上还是不等式问题.此时,求解参数的取值范围,一种思路是通过研究导数的零点而研究原函数的图像和性质,找到()f x 的最小值或取值范围,即可找到参数的取值范围;另一种思路是将参数直接分离出来,研究分离后的新函数的图像和性质.这两种思路通常都需要用到分类讨论的思想方法.【解析】解法一因导数零点的不确定性而分类讨论.对()f x 求导,得()e x f x a '=-.令()0f x '=,即e x a =,则ln x a =.①当ln 1a <,即0e a <<时,对于任意(),ln x a ∞∈-,有()0f x '<,故()f x 在(),ln a ∞-上单调递减;对于任意()ln ,1x a ∈,有()0f x '>,故()f x 在()ln ,1a 上单调递增.因此当ln x a =时,()f x 有最小值()()ln ln 11ln 10.f a a a a a a =-+=-+> 故0e a <<成立.②当ln 1a ,即e a 时,对于任意(),1x ∞∈-,有()0f x '<,故()f x 在(),1∞-上单调递减.因为()0f x >恒成立,所以()10f ,即e 10a -+,所以e 1a +,则e e 1a +. 综上所述,a 的最大值为e 1+. 解法二因分离参数而分类讨论.由题设知,当1x <时,()e 10x f x ax =-+>.① 当01x <<时,e 1x a x +<.设()e 1x g x x+=,则()()221e 1e e 10.xx x x x g x x x '----==<故()g x 在()0,1上单调递减,因此,()()1e 1g x g >=+,所以e 1a +. ② 当0x =时,()20f x =>成立.③ 当0x <时,e 1x a x +>,因为e 10x x +<,所以当e 1a =+时,e 1x a x +>成立. 综上所述,a 的最大值为e 1+.【点睛】何时需要分类讨论?是不是有参数就一定要分类讨论?其实,这是没有一定之规的,关键是按照研究的需要而定.本题的两种解法提供了两种分类讨论的角度,解法一讨论的是参数,解法二讨论的是自变量.因为解法一中导数的零点ln x a =含参数,所以无法确定其与定义域()(),1x ∞∈-的关系,于是就要按照ln a 与1的大小关系来分类讨论;而解法二是为了分离参数,由()0f x >得e 1x ax +,不等式两边同时除以x ,因确知x 的符号而进行分类讨论.解题时不要墨守成规,要根据实际情况灵活选用恰当的方法.关注特殊值,优化分类讨论【例7】已知函数()e ax f x x =-,当1a ≠时,求证:存在实数0x 使()01f x <. 【分析】为证明“存在实数0x 使()01f x <”,只需找到一个满足条件的实数0x 即可.因函数()f x 中含有参数a ,故考虑对参数a 进行分类讨论.当实数0x 容易寻找时,可直接得出结论;当实数0x 不能直接发现时,可以将不等式()01f x <等价转化为函数()f x 的最小值小于1.【解析】证法一当0a 时,显然有()1e 101a f =-<,即存在实数0x 使()01f x <. 当0,1a a >≠时,对函数()f x 求导,得()e 1.ax f x a =-' 由()0f x '=可得11ln x a a =.所以当11,ln x a a ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()0f x '<,则函数()f x 在11,ln a a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减;当11ln ,x a a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时,()0f x '>,则函数()f x 在11ln ,a a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增,所以()111ln 1ln f a a a a⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是()f x 的最小值.由函数()e ax f x x =-可得()01f =,由1a ≠可得11ln 0a a ≠,所以()11ln 01f f a a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭. 综上所述,当1a ≠时,存在实数0x 使()01f x <.证法二当0a 时,显然有()1e 101a f <-<,即存在实数0x 使()01f x <. 当0,1a a >≠时,由()0f x '=可得11ln x a a =.所以当11,ln x a a ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()0f x '<,则函数()f x 在11,ln a a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减;当11ln ,x a a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时,()0f x '>,则函数()f x 在11ln ,a a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增.所以111ln ln af a a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭是()f x 的极小值.设()1ln x g x x +=,则()2ln (0)xg x x x-=>'.令()0g x '=,得1x =. 当x 变化时,()(),g x g x '在()0,∞+上的变化情况见表3.8.表3.8所以当1x ≠时,()()11g x g <=,所以11ln 1f a a ⎛⎫< ⎪⎝⎭.综上所述,当1a ≠时,存在实数0x 使()01f x <.【点睛】证明存在性(或不存在性)问题,只需找到满足条件的变量即可,这时要注意观察函数结构,可以结合不等式性质、定义域等寻找特殊值.常取的自变量的值一般首先考虑0,1,1-,112,e,,2e,等等,还要注意端点的函数值以及极值、最值等,具体要根据实际情况而定.有时特殊值选取恰当,可以起到事半功倍的效果.另外,还要注意等价转化的恰当使用,如转化为求函数的最值问题等,可以使目标更加明确. 先找必要条件再证充分性【例8】设函数()2ln f x ax a x =--,其中a ∈R .确定a 的所有可能取值,使得()11e xf x x->-在区间()1,∞+内恒成立. 【分析】当()1,x ∞∈+时,211ln e xax a x x--->-恒成立,求参数a 的取值范围.常规的解法有两种.第一种:将所有项移到左边构造函数,令()211ln e x g x ax a x x -=---+,对该函数求导,求出在()1,∞+内的最小值(含参数a ),再令最小值大于0,求得a 的取值范围.第二种:分离参数得121ln e 1x x x a x -+->-,右边不含参数,利用导数求其最大值,则可得a 的取值范围.这两种方法容易想到,但操作过程异常复杂,利用高中知识很难解决,所以可以尝试变形改变结构,将该不等式的结构变为易于处理的形式,把对数、指数都移到一边:()212111ln e 1ln e .x x ax a x a x x x x---->-⇔->+- 这样至少左边的函数是我们比较熟悉的.猜想存在一个函数()h x 满足()()2111ln e x a x h x x x -->>+-,我们的想法是先证明()11ln e x h x x x->+-,然后再由()()21a x h x ->求得a 的取值范围.这种方法的本质是利用不等式的传递性,用切线作中间量,此外还有如下思路:设命题()211:ln e 0x p g x ax a x x -=---+>在区间()1,∞+内恒成立,易见()10g =,于是根据导数的定义,有()()()()1111lim lim 11x x g x g g x g x x ++→→'-==--(符号1x +→表示从1的右侧趋近于1),可知若命题p 成立,则有命题():10q g '成立.即命题q 是命题p 的必要条件,于是命题p 对应的范围是命题q 所对应的范围的子集.利用此方法我们可以得到一个大致的范围.【解析】解法一利用不等式的传递性,用切线作中间量. 由题意,有()212111ln e 1ln e .x x ax a x a x x x x---->-⇔->+- 设()11ln e x G x x x -=+-,则()1211e 0(1),x G x x x x-'=-+>> 所以函数()G x 在()1,∞+上单调递增.以点()1,0A 为切点,对应的切线为:1G l y x =-. 下面证明()G x 的图像位于直线G l 的下方,即11ln e 1xx x x-+-<-. ()()1111ln e 1ln e 1,x x H x x x x x x x --=+---=+--+则()1211e 1.x H x x x-'=-+- 因为ln 1x x <-, 则1111ln.x x e x x--<⇔< 所以()2122211111(1)e 110.xx H x x x x x x x --=-+-<'-+-=-<因此()H x 在()1,∞+上单调递减.因为()10H =,所以()0H x <,即结论成立. 于是()21111ln e xa x x x x-->->+-,则问题转化为()211(1)a x x x ->->,求参数a 的范围.化简上式可得()11a x +>,易得12a ,所以1,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭. 解法二必要性先行.设()211ln e x g x ax a x x -=---+,则()10g =,对()g x 求导,得()12112e x g x ax x x -=-+-'由()10g ',得()1210g a =-',即12a. 下面再证明充分性,即当1,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭时,()211ln e 0x g x ax a x x -=---+>.因为12a,所以()()221112a x x --在()1,∞+上恒成立.于是不等式转化为()()21111ln e 2x g x x x x ----+,则只需证明()21111ln e 02x x x x----+>即可. 有以下两种证法: 证法一令()()21111ln e ,2x H x x x x -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭对()H x 求导,得()()()212221111111e 0,xx x x H x x x x x x x x x --+-=-+->-+-=>'其中指数函数的放缩技巧参考解法一.所以()H x 在()1,∞+上单调递增,故()()10H x H >=,即()21111ln e 2x x x x-->+- 证法二令()()21111ln e 2x H x x x x -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭,则()1211e ,x H x x x x -=-'+- ()3112331221e e .xx x x H x x x x--'+-=+-+='+ 因为()1,x ∞∈+,所以320x x +->,则()0H x ''>,所以()H x '在()1,∞+上单调递增,而()10H '=,于是()0H x '>,则()H x 在()1,∞+上单调递增,所以()()10H x H >=.综上可知,a 的取值范围为1,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭.【点睛】解法一的核心思路是利用不等式的传递性,把切线作为中间量,既转化了问题,又降低了难度.也就是,先证明()11ln e x h x x x->+-,然后再由()()21a x h x ->求得a 的取值范围.最简单的函数就是一次函数了,这样我们就自然想到了切线,设()11ln e x G x x x-=+-,设想存在一条()G x 的切线y kx b =+满足()kx b G x +>,这样的话说明切线应该位千函数()G x 的图像上方,那究竟是不是这样呢? 我们先利用导数来判断()G x 的单调性,()1211e 0(1)x G x x x x-'=-+>>,说明该函数在()1,∞+上单调递增,那么它的形态到底是图3.1还是图3.2呢?图3.1图3.2事实上这里就涉及函数的“凹凸性”问题,但鉴于高中阶段的教学内容中没有“凹凸性”的定义,所以我们只能用代数方式来证明()G x 的图像是图3.2的形式,也就是说,()G x 图像上任意一点处的切线都在()G x 图像的“上方”,那么在这个问题里,我们选哪个点为切点呢?因为现在给定的区间是()1,∞+,所以我们选择了端点. 我们的目标是要证明()0H x '<,因为()10H '=,并且()1211e 1x H x x x-=-+-'中前面两个函数都是分式函数,于是考虑将指数1e x -放缩为分式函数.该解法最难的部分是“凹凸性”的代数证明,函数()G x 的“凹凸性”确保了该解法的正确性.如果函数()G x 是“向下凸”也即图3.1,则“切线法”就失效了,因此“切线法”有其局限性.解法二的精髄在于,先求得一个大致的范围,即寻找一个必要条件,再结合题千信息证明其充分性.对于比较难的题目,我们可通过弱化题目要求,先解决问题的一部分,自行降低难度,先获得一些简单的结论,再将其扩充至一般情形,这是一种“以退为进”的策略.。

课件2：5.1.2　导数的概念及其几何意义

答案：(1)A
(2)曲线 f(x)＝x3 在点(a，a3)(a≠0)处的切线与 x 轴，直线
x＝a 围成的三角形的面积为16，则 a＝________.
解析：(2)因为 f′(a)＝lim Δx→0
a＋ΔΔxx3－a3＝3a2，
所以曲线在点(a，a3)处的切线方程为 y－a3＝3a2(x－a)．
令 y＝0，得切线与 x 轴的交点为32a，0，
2．若函数 f(x)＝－3x－1，则 f′(x)＝( )
A．0
B．－3x
C．3
D．－3
解析：k＝ lim Δx→0
－3x＋Δx－Δ1x－－3x－1＝－3.
答案：D
3．设曲线 y＝x2＋x－2 在点 M 处的切线斜率为 3，则点
M 的坐标为( )
A．(0，－2)
B．(1,0)
C．(0,0)
D．(1,1)
方法归纳求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤 (1)先设切点坐标(x0，y0)； (2)求导函数 f′(x)； (3)求切线的斜率 f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于 x0 的方程，解方程求 x0； (5)点(x0，y0)在曲线 f(x)上，将(x0，y0)代入求 y0 得切点坐标．
微点 2 与曲线的切点相关的问题例 4 已知直线 l1 为曲线 y＝x2＋x－2 在(1,0)处的切线， l2 为该曲线的另一条切线，且 l1⊥l2. (1)求直线 l2 的方程； (2)求由直线 l1，l2 和 x 轴围成的三角形面积．
方法归纳 1．求曲线上某点切线方程的三个步骤
2．过曲线外的点 P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤 (1)设切点为 Q(x0，y0)． (2)求出函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)． (3)利用 Q 在曲线上和 f′(x0)＝kPQ，解出 x0，y0 及 f′(x0)． (4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

导数的几何意义

二、函数的导数：
函数导函数
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,
当时,f’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是 x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:
f (x) y lim y lim f (x x) f (x)
x x0
x0
x
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
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在曲线 y＝x2 上过哪一点的切线，
(1)平行于直线 y＝4x－5；
(2)垂直于直线 2x－6y＋5＝0；
(3)与 x 轴成 135°的倾斜角．
【解】
f′(x)＝ lim Δx→0
fx＋ΔΔxx－fx＝Δlixm→0
x＋Δx2－x2 Δx
＝2x，
设 P(x0，y0)是满足条件的点． (1)因为切线与直线 y＝4x－5 平行，所以
2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数 f (x).
3）函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 )就是导函数 f (x) 在x=x0处的函数值，即 f ( x0 ) f ( x) |xx0。这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。
求函数的导数【例 2】求函数 y＝f(x)＝3x2－x 的导数，并求 f′(1)， f′(5)的值．
∴2x0＝4，∴x0＝2，
∵P(2，y0)在拋物线 y＝x2 上，∴y0＝4， ∴点 P 的坐标为(2，4)， ∴切线方程为 y－4＝4(x－2)，即 4x－y－4＝0
【题后反思】解答此类问题的步骤为：
(1)先设切点坐标(x0，y0)； (2)求导数 f′(x)； (3)求切线的斜率 f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于 x0 的方程，解方程求 x0； (5)点(x0，y0)在曲线 f(x)上，将(x0，y0)代入求 y0 得切点坐标． (6)得到切线方程 y－y0＝f′(x0)(x－x0)

高三数学专项训练：函数与导数,解析几何解答题(二)(理科)

（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点的直线与椭圆交于不同的两点、，则内切圆的圆面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
35．某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中、是过抛物线焦点的两条弦，且其焦点，，点为轴上一点，记，其中为锐角．
（3）求证： .
4．已知函数 .
（Ⅰ）若函数的值域为，若关于的不等式的解集为，求的值；
（Ⅱ）当时，为常数，且，，求的取值范围.
5．已知函数，函数．
(I)试求f(x)的单调区间。
(II)若f(x)在区间上是单调递增函数，试求实数a的取值范围：
(III)设数列是公差为1．首项为l的等差数列，数列的前n项和为，求证：当时， .
41．（13分）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点点恰好是抛物线的焦点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P（2,3）、Q（2，－3）是椭圆上的两点，A,B是椭圆上位于直线ＰＱ两侧的动点，
①若直线ＡＢ的斜率为，求四边形ＡＰＢＱ面积的最大值；
②当Ａ、B运动时，满足＝，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由。
(2)点Q(x0，y0)(－2<x0<2)是曲线C上的动点，曲线C在点Q处的切线为，点P的坐标是(0，－1)，与PA，PB分别交于点D，E，求△QAB与△PDE的面积之比．
27．已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、构成等差数列．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点是直线上的两点，且，
．求四边形面积的最大值．

导数在解析几何中的应用

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导数在解析几何中的应用
作者：邱中蔚
来源：《科教创新》2012年第11期
摘要：圆锥曲线是高中重要的知识点之一，也是高考的必考内容之一，其中对于学生的运算能力要求很高。

因此，选择适当的数学方法，是简化运算过程，而达到迅速、准确解题的关键。

关键词：解析几何导数函数
导数是高中数学的重要的交汇点，也是历年开高考的重点和热点，导数的思想方法和基本理论在中学数学中有着广泛的应用，本文就导数在解析几何中的应用从下面两方面举例分析。

参考文献：
[1]李树养，杨昆济.导数在解题中的应用[J]，高中数学教与学.2010.
[2]肖健.圆锥曲线问题中减少运算量的五种策略[J].高中数学教与学.2010.
[3]薛金星.中学第二教材[M].延边大学出版社，2010.。