2017春九年级数学下册2圆小专题(三)圆的切线的判定方法习题(新版)湘教版

小专题(三) 圆的切线的判定方法

类型1直线与圆有交点

方法归纳：直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”．“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90°的角，如直径所对的圆周角等于90°等．

【例1】如图，AB＝AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DM⊥AC于M.求证：DM与⊙O相切．

1．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，求证：CD是⊙O的切线．

2．(衡阳中考改编)如图，AB是⊙O的直径，点C，D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E.求证：CE为⊙O的切线．

3．(张家界中考)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为

点D，且∠BAC＝∠CAD.

(1)求证：直线MN是⊙O的切线；

(2)若CD＝3，∠CAD＝30°，求⊙O的半径．

类型2不确定直线与圆是否有公共点

方法归纳：直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”．证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角的两边的距离相等．

【例2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于点D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D.求证：AC是⊙D的切线．

4．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB，AD分别相交于点E，F.求证：CD与⊙O相切．

5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB

长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3.

(1)求证：AC是⊙D的切线；

参考答案

【例1】 证明：法一：连接OD.

∵AB ＝AC ，

∴∠B ＝∠C.

∵OB ＝OD ，

∴∠BDO ＝∠B.

∴∠BDO＝∠C.

∴OD∥AC.

∵DM⊥AC，

∴DM ⊥OD.

∴DM 与⊙O 相切．

法二：连接OD ，AD.

∵AB 是⊙O 的直径，

∴AD ⊥BC.

∵AB ＝AC ，

∴∠BAD ＝∠CAD.

∵DM⊥AC，

∴∠CAD＋∠ADM＝90°.

∵OA ＝OD ，

∴∠BAD ＝∠ODA.

∴∠ODA＋∠ADM＝90°，即OD⊥DM.

∴DM 与⊙O 相切． 【例2】 证明：过点D 作DF ⊥AC 于点F. ∵∠B ＝90°，

∴DB ⊥AB.

∵AD 是∠BAC 的平分线，BD ＝DF ＝R ，

∴DF ⊥AC.

又∵DF 是⊙D 的半径，

∴AC 为⊙D 的切线．

针对训练

1．证明：连接OC.

∵AC ＝CD ，∠D ＝30°，

∴∠A ＝∠D＝30°.

∴∠COD ＝2∠A＝60°.

∴∠OCD ＝180°－∠COD－∠D＝90°，即OC⊥CD. ∴CD 是⊙O 的切线．

2．证明：连接OD.

∵点C ，D 为半圆O 的三等分点，

∴∠BO C ＝12∠BOD .

∵∠BAD ＝12∠BOD，

∴∠BOC ＝∠BAD.

∴AE∥OC.

∵AD⊥EC，

∴OC ⊥EC.

∴CE 为⊙O 的切线．

3．(1)证明：连接OC.

∵OA ＝OC ，

∴∠BAC＝∠ACO.

∴∠ACO＝∠CAD.

∴OC∥AD.

又∵AD⊥MN，

∴OC⊥MN.

∴直线MN是⊙O的切线．

(2)∵在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，CD＝3，

∴AC＝2CD＝6.

∵∠BAC＝∠CAD，∠CAD＝30°，

∴∠BAC＝30°.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°.

在Rt△ACB中，AC＝6，∠BAC＝30°，

∴AB＝43，即⊙O的直径为4 3.

∴⊙O的半径为2 3.

4．证明：连接OM，过点O作ON⊥CD，垂足为点N. ∵⊙O与BC相切于点M，

∴OM⊥BC.

∵正方形ABCD中，AC平分∠BCD，

又∵ON⊥CD，OM⊥BC，

∴OM＝ON.

∴点N在⊙O上．

∴CD与⊙O相切．

5．(1)证明：过点D作DF⊥AC于点F.

∵∠ABC＝90°，

∴AB⊥BC.

∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，

∴BD＝DF.

∴点F在⊙D上．

∴AC是⊙D的切线．

(2)在Rt△BDE和Rt△FDC中，

∵BD＝DF，DE＝DC，

∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL)．

∴EB＝FC.

∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DF⊥AC，

∴AB＝AF.

∴AB＋EB＝AF＋FC，即AB＋EB＝AC.

∴AC＝5＋3＝8.