特殊的平行四边形知识梳理+典型例题

特殊的平行四边形

知识点一：矩形

1、概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

2、性质定理（1）矩形的四个角是直角

（2）矩形的对角线相等且互相平分

（3）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形

直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

特殊运用：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

3、判定定理

（1）有一个角为直角的平行四边形叫矩形

（2）对角线相等平行四边形为矩形

（3）有三个角是直角的四边形是矩形

推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

归纳补充：

1、矩形是对称图形，对称中心是，矩形又是对称图形，对称轴有条

2、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题

3、矩形的面积S矩形=长×宽=ab

知识点二：菱形

1、定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2、性质定理：

（1）菱形的四条边都相等

（2）菱形的对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角

（3）菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是都是它的对称轴

菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心

2、判定定理：

（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形

（3）四条边都相等的四边形是菱形

※注意：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，对角线互相垂直平分的四边形才是菱形

归纳补充:

1、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形

2、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的来计算

3、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决题目知识点三：正方形

1、定义：有一组邻边相等的矩形叫正方形

2、性质定理

（1）正方形的四条边都相等，四个角是直角。

（2）正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角

（3）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形

3、判定定理

（1）有一组邻边相等的矩形是正方形

（2）对角线相互垂直的矩形是正方形

（3）对角线相等的菱形是正方形

（4）有一个角是直角的菱形是正方形

方法总结：

（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

先证它是矩形，再证有一组邻边相等。先证它是菱形，再证有一个角是直角。

（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：

先证明它是平行四边形；再证明它是菱形（或矩形）；最后证明它是矩形（或菱形） 注意：

1、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特殊四边形的所有性质。这四者之间的关系可表示为：

正

平行四边形矩形

菱形

方形

2、正方形也既是 对称图形，又是 对称图形，有 条对称轴

3、几种特殊四边形的性质和判定都是从 、 、 三个方面来看的，要注意它们的区别和联系

4、正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形

5、正方形的面积

设正方形边长为a ，对角线长为b ，则S 正方形=2

2

2

b a

知识点四、梯形

1、定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形（上底，下底，腰）

2、特殊的梯形：

直角梯形：有一个角是直角的梯形 等腰梯形：两腰相等的梯形 3、等腰梯形性质：

（1）等腰梯形同一底边上的两个底角相等 （2）等腰梯形的对角线相等 4、等腰梯形的判定：

1）证明两腰相等 2）同一底边上两个底角相等的梯形是等腰梯形 5、面积：面积=（上底+下底）高÷2

6、关注：梯形中常见的几种辅助线的画法. 对角线相等的梯形是等腰梯形,但不能作为定理.

补充：梯形的中位线定理，尤其关注其证明方法.

梯形中位线定理：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

※注：已知中位线长度和高，就能求出梯形的面积．

★中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线。

典型例题

题型一菱形的性质

【例1】如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（）

A．28°B． 52°C．62°D． 72°

AB ．那么，菱形ABCD的面积是，【巩固1】菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，4cm

对角线BD的长是．

（例1图）（巩固1图）

【巩固2】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO．

【例2】如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．求证：四边形ABCD是菱形．

【巩固】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF．则四边形AECF是（）

A. 梯形B．矩形B．菱形D．正方形

题型三矩形的性质

【例3】矩形具有而菱形不具有的性质是（）

A．两组对边分别平行B．对角线相等

C．对角线互相平分D．两组对角分别相等

【巩固1】矩形的两条对角线所成的钝角是120°，若一条对角线的长为2,那么矩形的周长为（）

A、6

B、5.8

C、2（1+ 3 ）

D、5.2 【巩固2】如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）

A．S1＞S2 B．S1=S2 C．S1＜S2 D．3S1=2S2