积分微分方程word版
Word中的公式编辑和数学符号技巧
Word中的公式编辑和数学符号技巧Word是一款常用的文字处理软件，除了基本的文字输入和格式调整功能外，它还内置了强大的公式编辑和数学符号技巧，方便用户在文档中插入各种数学公式和符号。
本文将介绍Word中的公式编辑和数学符号技巧，以帮助用户更高效地处理数学相关文档。
一、公式编辑基础1. 打开公式编辑器：在Word中，点击“插入”选项卡，然后点击“公式”即可打开公式编辑器。
2. 输入公式：在公式编辑器中，可以直接输入公式，也可以通过工具栏上的按钮选择需要的符号和操作符。
3. 基本操作符：在公式中，可以使用加减乘除等基本操作符进行数学运算。
例如，使用"+"表示加法，使用"-"表示减法，使用"*"表示乘法，使用"/"表示除法。
4. 上下标：在公式中，可以使用下标和上标来标注相应的数字或字母。
使用"_"表示下标，使用"^"表示上标。
5. 分数和根号：在公式中，可以插入分数和根号。
使用"/"来插入分数，使用"\sqrt"来插入开方号。
6. 特殊符号：在公式中，可以插入各种特殊的数学符号。
例如，使用"\pi"来插入圆周率符号π，使用"\infty"来插入无穷符号∞。
二、进阶技巧1. 自定义公式样式：在公式编辑器中，可以根据需要自定义公式样式。
选择一个已有的公式样式，然后在右侧的“公式样式”下拉菜单中选择“新建公式样式”，即可根据自己的需求进行定制。
2. 插入希腊字母：在数学公式中，经常需要使用希腊字母来表示各种变量。
在公式编辑器中，可以通过输入相应的特殊代码来插入希腊字母。
例如，使用"\alpha"来插入希腊字母α，使用"\beta"来插入希腊字母β。
3. 插入矩阵：在公式编辑器中，可以插入各种矩阵。
(完整word版)各类微分方程解法
南京林业大学各样微分方程的解法1.可分别变量的微分方程解法 一般形式 :g(y)dy=f(x)dx直接解得 ∫g(y)dy= ∫f(x)dx设 g(y)及 f(x) 的原函数依次为 G(y)及 F(x),那么 G(y)=F(x)+C 为微分方程的隐式通解 2.齐次方程解法一般形式 :dy/dx= φ(y/x)令 u=y/x 那么 y=xu,dy/dx=u+xdu/dx, 所以 u+xdu/dx=φ(u), 即 du/ ［φ (u)-u ］=dx/x 两端积分 , 得∫du/ ［φ (u)-u ］ =∫dx/x 最后用 y/x 代替 u, 便得所给齐次方程的通解 3.一阶线性微分方程解法一般形式 :dy/dx+P(x)y=Q(x)－∫P(x)dx－∫P(x)dx先令 Q(x)=0 那么 dy/dx+P(x)y=0 解得 y=Ce, 再令 y=ue代入原方程解得 u=∫Q(x) e∫P(x)dx－∫P(x)dx∫P(x)dxdx+C ］dx+C,所以 y=e［∫Q(x)e－∫P(x)dx－ ∫P(x)dx∫P(x)dxdx 为一阶线性微分方程的通解即 y=Ce +e∫Q(x)e 4.可降阶的高阶微分方程解法(n) ① y =f(x) 型的微分方程(n)y =f(x)y (n-1) = ∫f(x)dx+C 1y (n-2) = ∫［ ∫f(x)dx+C 1］ dx+C 2(n)=f(x) 的含有 n 个任意常数的通解依次类推 , 接连积分 n 次, 便得方程 y ② y 〞 =f(x,y ’ ) 型的微分方程令 y ’=p 那么 y 〞=p ’ , 所以 p ’=f(x,p),再求解得 p=φ (x,C 1)即 dy/dx= φ(x,C 1), 所以 y=∫φ(x,C 1)dx+C 2 ③ y 〞 =f(y,y ’ ) 型的微分方程令 y ’=p 那么 y 〞=pdp/dy, 所以 pdp/dy=f(y,p), 再求解得 p=φ (y,C 1) 即 dy/dx= φ(y,C 1), 即 dy/ φ(y,C 1)=dx, 所以 ∫dy/ φ (y,C 1)=x+C 2 5.二阶常系数齐次线性微分方程解法一般形式 :y 〞+py ’+qy=0,特色方程 r 2+pr+q=01南京林业大学特色方程 r 2+pr+q=0 的两根为 r1,r2微分方程y〞+py’+qy=0的通解r r1x r2x212两个不相等的实根 r1,y=C e +C e两个相等的实根 r1=r2y=(C1+C2x)e r 1 x一对共轭复根 r1=α+iβ, r 2=α-iβαxcosβx+C2sin β x) y=e (C16.二阶常系数非齐次线性微分方程解法一般形式 : y 〞+py’+qy=f(x)先求 y〞+py’+qy=0 的通解 y0(x), 再求 y〞+py’+qy=f(x) 的一个特解 y*(x)那么 y(x)=y 0(x)+y*(x) 即为微分方程 y〞+py’+qy=f(x) 的通解求 y〞+py’+qy=f(x) 特解的方法 :①f(x)=P m(x)e x型λ令 y*=x k Q m(x)eλx［k 按λ不是特色方程的根 , 是特色方程的单根或特色方程的重根依次取 0,1 或 2］再代入原方程 , 确定 Q m(x) 的 m+1个系数λx②f(x)=e［Pｌ(x)cosωx+P n(x)sinωx］型kλx［Q m(x)cos ω x+R m(x)sin ωx］［m=max﹛ｌ ,n ﹜ ,k 按λ +i ω不是特色令 y*=x e方程的根或是特色方程的单根依次取0 或 1］再代入原方程 , 分别确定 Q (x) 和mR m(x) 的 m+1个系数附微分方程在物理学中的应用:⑴找准合适的研究对象⑵确定正确的数学模型⑶联列合理的微分方程⑷解出最正确的方程结果执笔：缪张华2。
微分方程的初等积分法
C (1 x )为所求的通解
例 6 镭的衰变 : 放射性元素镭由于不断
粒子而减少质量 已知镭的原质量为
放射出微 量成正比 ,
, 设衰变速度与镭的剩余
m 0 , 经过 1600 年后 , 只剩下原质量 .
的一半 .求镭的衰变规律
解 : 设 t 时刻镭的质量为 初始条件为
x ( t ), 则
dx ( t ) dt
3
( 2 ( x ) 1)
y 2
x
du dx
2
u 2u 1
2
,
C1
2u 1
2
u
2
du
x dx ,
1
u ln u ln x C 1 , 通解为 y e e
u
2
u C 1 ln xu ln y Ce
( y x )
2
2.贝努里（Bernoulli)方程：
初值问题 : 求微分方程满足初始条
件的特解 , 这样 题.
一个问题 , 称为微分方程的初值问
dy 2x 如 例 1 : dx , y (1) 2
微分方程特解的图形是 程的积分曲线 .
d 2s 2 g 例 2 : dt s ( 0 ) 0 , s ( 0 ) 0
S ( 0 ) 0 .
,, y ( n ) ) 0 的初始条件为 n 阶微分方程 F ( x, y, y y ( x0 ) y 0 , y ( x0 ) y1 ,, y
( n 1)
( x0 ) y n 1
特解 : 根据初始条件确定了通
之后得到的解 .
解中的任意常数
a, a y (4)
常微分方程第一章 初等积分法
第一章 初等积分法方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的，在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等.这些方程都是要把研究的问题中的已知量和未知量之间的关系找出来，列出包含一个未知量或几个未知量的一个或者多个方程式，然后求取方程（组）的解.这里，方程（组）的解为常数.然而在实际生活中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题.比如：求物体在一定条件下运动的规律（比如某物体做匀速直线运动，速度为5，求其位移变化的规律）；求满足一定条件（比如在某曲线任意点处的斜率为该点横坐标的2倍）的曲线的方程等等.物体运动规律、曲线方程在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数.也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求出一个或者几个未知的函数.在数学上，解决上述问题也需要建立方程，不过建立的是含有未知函数自变量、未知函数及未知函数的导数的方程（比如上述两个问题建立的方程为：5=dt ds ，x dxdy 2=），这类方程就叫做微分方程. 本章主要介绍微分方程的基本概念及几类简单的微分方程的解法.1.1 微分方程的基本概念300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现.而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为：微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系.而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然.通过下面的例子，你将会看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言.例1 自由落体运动问题设质点B 作自由落体运动，即只考虑重力对物体的作用而忽略空气阻力等其它外力，设质点B 做垂直于地面的运动，取垂直地面向上的方向为s 正向，力和速度的正向亦如此.()t s s =表示B 在时刻t 的位置坐标，所以结合《数学分析》中所学的导数的物理意义知：()dt ds t s ='表示B 在时刻t 的即时速度，()22dts d t s =''表示B 在时刻t 的即时加速度.假设B 的质量为m ，重力加速度为g ，由牛顿第二定律得：()mg t s m -=''（‘-’表示方向相反与s g ），从而得到g dts d -=22 (1.1) 解之即可得到自由落体运动的位移公式，在(1.1)式两边对t 积分两次可得()21221C t C gt t s ++-=， (1.2) 其中1C 和2C 是两个独立的任意常数.可以验证(1.2)就是方程(1.1)的解.例2 求曲线的方程问题某曲线()x f y =过点()1,0，且其上每一点处的斜率都等于该点横坐标的2倍，求该曲线方程.分析：根据《数学分析》中所学的导数的几何意义及本题题意知：x y 2='. (1.3)且，当()100==f x 时，.(1.3)式可变形为xdx dy 2=上式两边直接对x 积分得C x y +=2. (1.4)把()100===f y x 时，代入(1.4)得1=C .于是所求曲线方程为12+=x y .可以验证上式就是方程(1.3)的解.上述两个例子中的关系式(1.1)和(1.3)中都含有未知函数的导数，它们都是微分方程.一般来说，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的导数之间关系的等式.若其中的未知函数只含有一个自变量，则称为常微分方程；若未知函数含有两个或两个以上自变量，则称该微分方程为偏微分方程.本书所介绍的都是常微分方程，有时也简称为微分方程或方程.例如下面的方程都是常微分方程x dxdy 2= (1.5) 2211xy dx dy --= (1.6) ()()0=+''t x t x (1.7)02='+''y y y (1.8)在一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶.如：(1.5)、(1.6)是一阶微分方程，(1.7)、(1.8)是二阶微分方程.这样，一阶常微分方程的一般形式可表为()0,,='y y x F (1.9)如果在(1.9)中能将y '解出，则得到方程()y x f y ,=' (1.10)或()()0,,=+dy y x N dx y x M (1.11)(1.9)称为一阶隐式方程,(1.10)称为一阶显式方程，(1.11)称为微分形式的一阶方程.n 阶隐式方程的一般形式为()0,,,,,)(='''n y y y y x F (1.12) n 阶显式方程的一般形式为()()()1,,,,-'''=n n y y y x f y在方程(1.12)中，如果左端函数F 对未知函数y 和它的各阶导数y ′,y ″,…,y (n )的全体而言是一次的，则称为线性常微分方程，否则称它为非线性常微分方程.这样，一个以y 为未知函数，以x 为自变量的n 阶线性微分方程具有如下形式：()()()()()()x f y x P y x P y x P y n n n n =+'+++--111（1.13） 显然，方程(1.5)是一阶线性方程；方程(1.6)是一阶非线性方程；方程(1.7)是二阶线性方程；方程(1.8)是二阶非线性方程.在前面我们验证了(1.2)就是方程(1.1)的解、(1.4)就是方程(1.3)的解，下面我们给出微分方程的解的定义定义 1.1 设函数()x y ϕ=在区间I 上连续，且有直到n 阶的导数.如果把()x y ϕ=代入方程(1.12)，得到在区间I 上关于x 的恒等式，则称()x y ϕ=为方程(1.12)在区间I 上的一个解.这样，从定义1.1可以直接验证：1. 函数C x y +=2是方程(1.5)在区间()+∞∞-,上的解，其中C 是任意的常数.2. 函数()C x y +=arcsin sin 是方程(1.6)在区间()1,1+-上的解，其中C 是任意常数.又方程(1.5)有两个明显的常数解1±=y ，这两个解不包含在上述解中.3. 函数t C t C x sin cos 21+=是方程(1.7)在区间()+∞∞-, 的解，其中1C 和2C 是两个独立的任意常数.4. 函数212C x C y +=是方程(1.8)在区间()+∞∞-,上的解，其中1C 和2C 是两个独立的任意常数.这里，我们仅验证3，其余留给读者完成. 事实上，在()+∞∞-,上有()t C t C dxx d t C t C dt dx sin cos ,cos sin 212221+-=+-= 所以在()+∞∞-,上有022≡+x dt x d ， 从而该函数是方程(1.6)的解.从上面的讨论中，可以看到一个重要事实，那就是微分方程的解中可以包含任意常数，其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等，也可以不含任意常数.我们把n 阶常微分方程(1.12)的含有n 个独立的任意常数n C C C ,,,21 的解()n C C C x y ,,,,21 ϕ=，称为该方程的通解，如果方程(1.12)的解()x y ϕ=不包含任意常数，则称它为特解.由隐式表出的通解称为隐式通解或通积分.由上面的定义，不难看出，函数C x y +=2，()C x y +=arcsin sin 和t C x cos 1=t C sin 2+分别是方程(1.5)，(1.6)和(1.7)的通解；函数212C x C y +=是方程(1.8)的隐式通解；而函数1±=y 是方程(1.8)的特解，12+=x y 是方程(1.3)的特解.由于通解中含有任意常数，所以不能完全准确的反映某一客观事物的规律性.要想完全准确的反映客观事物的规律性，必须确定这些任意常数的值.因此，要根据问题的实际情况，提出或找到确定这些常数的条件. 例如，例2中的“某曲线()x f 过点()1,0”即“()10=f ”就是这样的条件.下面我们寻找一下确定例1中方程(1.1)的通解中的任意常数1C 和2C 的条件. 由于质点作的是自由落体运动，所以根据物理知识可知，质点的初速度为0，即00==t dt ds ；另，可设质点距地面高度为H ，即()H s =0.根据这两个条件我们可以确定方程(1.1)的通解中的任意常数1C 和2C 的值.像这样能帮助确定通解中所含任意常数取值的条件叫做初始条件.求微分方程满足初始条件的解的问题称为微分方程的初值问题，有时也称为柯西（Cauchy ）问题.一阶微分方程的初值问题记作()⎪⎩⎪⎨⎧=='=.,,00y y y x f y x x 二阶微分方程的初值问题记作()⎪⎩⎪⎨⎧'='='=''==.,,,,0000y y y y y y x f y x x x x 对于一个n 阶方程，初值条件是()()()()()().,,,,1001000000--=''='''='=n n y x y y x y y x y y x y (1.14) 其中0x 是自变量的某个取定值，而()10000,,,,-'''n y y y y 是相应的未知函数及导数的给定值.于是n 阶方程的初值问题常记为 ()()()()()()()⎩⎨⎧=''='''='='''=---.,,,)(,)(,,,,,10010000001n n n n y x y y x y y x y y x y y y y x f y (1.15) 例3 求方程0=+''x x 的满足初值条件14,14-=⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎭⎫ ⎝⎛ππx x 的解. 解 前面我们验证过t C t C x sin cos 21+=是方程的通解.在上式两边分别对t 求导后得t C t C x cos sin 21+-='将初始条件代入，得到方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+12222122222121C C C C . 解得2,021==C C .故所求特解为t x cos 2=.微分方程解的几何意义为了便于研究方程解的性质，我们常常考虑解的图形.一阶方程(1.9)的一个特解()x y ϕ=的图形就是xoy 平面上的一条曲线，称为方程(1.9)的积分曲线，而通解()C x y ,ϕ=的图形是平面上的一族曲线，称为积分曲线族.以后，为了叙述简便，我们对解和积分曲线这两个名词一般不加以区别.本节要点：1．常微分程的概念，方程的阶、隐式方程、显式方程、线性方程，非线性方程.2．常微分方程解的定义，通解、特解、隐式通解.3．初值问题.4．解的几何意义：积分曲线（族）.习 题 1.11．指出下列方程的阶数，并判断是否是线性方程？（1）22x y y +=' （2）y x x y sin +='（3）x xy y y sin =-'' （4）()x y y y =+''+'''2（5）2231ds r d ds dr +=⎪⎭⎫ ⎝⎛ （6）03)(22=-+y dx dy x dx dy2．验证所给函数是否为相应方程的解.（1）5352+='x y ，C x x y ++=2523（C 为任意常数） （2）()0=++xdy dx y x ，xx C y 222-=（C 为任意常数） （3）22x y y +=''，xy 1= （4）1+=+'x y y ，x e x y -+=31.2 变量可分离方程从本节开始，我们讨论几类方程的解法.我们先从最简单的一阶微分方程()y x f y ,='开始.在上节例2中我们通过直接积分的办法得到方程x y 2='的通解，下面再看一个微分方程22xy dxdy = (1.16) 即dx xy dy 22=. (1.17)两边直接积分得⎰=dx xy y 22此时由于右端积分中含有未知函数y ，所以求不出来. 那怎么办呢？再观察一下方程(1.17)，发现右端的y x ,是乘积关系，我们可以通过将y x ,“分家”的办法来化解上述困难，为此，在(1.17)两边先乘以21y，将其变为 xdx y dy 22=， 这时变量y x ,已经“分家”了，分别位于等式两边，然后两边积分得C x y+=-21 即Cx y +-=21 (1.18) 其中，C 为任意常数.可以验证(1.18)就是方程(1.16)的解，而且是通解.一般地，如果一个一阶微分方程能写为()()dx x f dy y g = (1.19)的形式，也就是说能将方程中的变量y x ,分别整理到一块，形成两个“阵营”()阵营分别对应y x dy dx ,,，然后分列在等式两边，那么原方程就称为变量可分离方程.例如，方程0,,,2=+===+dy e x xydx yx dx dy e dx dy xy dx dy y y x 都是变量可分离方程．而方程()()0,,2=++++=+=dy e x dx y x e e dx dy y x x dx dy y y x 都不是变量可分离方程.下面我们看一看此类方程的解法.假定方程(1.19)中的()()y g x f ,都是连续的.设()x y ϕ=是方程(1.19)的解将其代入(1.19)中得恒等式()[]()()dx x f dx x x g ='ϕϕ.将上式两端积分，并将()x ϕ换为变量y ，得()()⎰⎰=dx x f dy y g .设()()()()则有的原函数分别为,,,x f y g x F y G()()C x F y G += (1.20)因此，方程(1.19)的解()x y ϕ=满足关系式(1.20).反之，如果()x y Φ=是由关系式(1.20)确定的隐函数，那么在()0≠y g 的条件下，()x y Φ=也是方程(1.19)的解.由上面的分析可知，当()0≠y g 时，微分方程(1.19)与隐函数方程(1.20)是同解方程.由于(1.20)中含有任意常数C ，所以(1.20)是微分方程(1.19)的隐式通解，亦称为方程(1.19)的通积分.在求解过程中，对于通积分(1.20)应该尽量把它演算到底，即用初等函数表达出来，但是，并不勉强从其中求出解的显式表达式.如果积分不能用初等函数表达出来，此时我们也认为微分方程(1.19)已经解出来了，因为从微分方程求解的意义上讲，留下的是一个积分问题，而不是一个方程问题了.注. 若存在0y ，使()00=y g ，则易见()00=y g 是方程(1.19)的一个特解，或称为常数解.例1 求解方程x ydx dy=.解 当0≠y 时，分离变量，方程化为x dxy dy=两端积分，得1ln ln C x y +=即Cx y ln ln =()0≠CCx y = ()0≠C另外，0=y 也是方程的解. 所以原方程得通解为Cx y = ()为任意常数C .例2 求解方程2211x y dx dy --=.解 当1±≠y 时，方程的通积分为C x dx y dy+-=-⎰⎰2211即()C x y +=arcsin sin ()为任意常数C .另外，1±=y 也是方程的常数解，但它们不包含在上述通解中.例3 求方程212-=y dx dy .的满足初始条件()()1000==y y 及的解.解 当1±≠y 时，方程通积分为1212C x y dy +=-⎰. 即 111C x y dy y dy +=+--⎰⎰ 111ln C x y y +=+- 111C x e y y +=+- x Ce y y =+-11 ()01≠±=C e C . 又1±=y 也是原方程的解，所以原方程通解为xxCe Ce y -+=11 ()为任意常数C . 为求满足初始条件()()1000==y y 及的解，以()00=y 、()10=y 分别代入通解，可解得1-=C 、0=C .所以满足()()1000==y y 及的解分别为x xee y +-=11、1=y . 另外，通解公式还能帮助我们得到积分曲线族的图形.例如，在例3的通解中，当C 为负数时，通解所对应的积分曲线位于带形区域11<<-y 之中；而当C 为正数时，它确定了两条积分曲线，其中一条定义于C x ln -<<∞-,它位于半平面1>y 上；另一条 定义于+∞<<-x C ln ，它位于半平面1-<y 上.图1-1描绘了所给方程的积分曲线的分布状况.图 1-1例4 求解方程()()01122=-+-dy x y dx y x .解 当()()01122≠--y x 时，分离变量得1122--=-y ydyx xdx . 积分，得方程的通解C y x ln 1ln 1ln 22+--=-即()()C y x=--1122()0≠C .易见1,1±=±=x y 为方程的解.所以原方程的通解为()()C y x=--1122()为任意常数C .例5 解方程2)(y x dxdy+=. 分析 此题中的y x ,不能分离，如何处理呢？既然不能分离，索性就把他们捆绑在一起，使用换元法处理.解 1,+==+dxdt dx dy t y x 则令. 原方程变为12+=t dxdt，分离变量得dx dt t =+112， 上式两边积分得C x t +=arctan ，所以所求通解为C x y x +=+)arctan( ()为任意常数C .例6 设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零. 求降落伞下落速度与时间的函数关系.解 设降落伞下落速度为v (t ).降落伞所受外力为F =mg -kv ( k 为比例系数). 根据牛顿第二运动定律F =ma ,得函数v (t )应满足的方程为kv mg dtdv m -=,初始条件为v |t =0=0.方程分离变量, 得mdtkv mg dv =-,两边积分, 得⎰⎰=-m dt kv mg dv ,1)ln(1C mt kv mg k +=--, 即t m k Ce km g v -+=(k e C kC 1--=),将初始条件v |t =0=0代入通解得kmg C -=, 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为)1(t m k e km gv --=. 本节要点：1．变量可分离方程的特征． 2．变量可分离方程的解法：第一步 分离变量,将方程化成()()dx x f dy y g =的形式；第二步 两端积分:⎰⎰=dx x f dy y g )()(,设积分后得()()C x F y G +=； 第三步 求出由()()C x F y G +=所确定的隐函数()x y Φ=或()y x ψ=， 则()()C x F y G +=、()x y Φ=或()y x ψ=都是方程的通解, 其中()()C x F y G +=称为隐式(通)解.注：注意换元法的使用.3．解此类方程时要注意条件()0≠y g 或()0≠x f 所可能造成的解的丢失问题.习 题 1.21.求出下列方程的通解. （1）221xy y x dx dy+++=. （2）y y dxdy ln =. （3）yx e dx dy +=. （4） yx xy y dx dy 321++=. （5）0)1()1(=-++xdy y ydx x .（6）2)(1y x dx dy +=. （7）25--+-=y x y x dx dy . （8）0)1()1(=-++xdy y ydx x . （9）0cot tan =-xdy ydx .2.求下列方程满足给定初值条件的解： （1）1)0(),1(=-=y y y dxdy； （2）1)0(,02)1(22==+'-y xy y x ； （3）0)2(,332=='y y y ；（4）1)1(,0)()(2222-==+-+y dy yx x dx xy y . 3.证明方程)(xy f dxdy y x ==经过变换u xy =可化为变量可分离方程，并由此求解下列方程（1）xdy dx y x y =+)1(22（2）222222yx y x dx dy y x -+= 4.求一曲线，使其具有如下性质：曲线上各点处的切线与切点到原点的向径及x 轴可围成一个等腰三角形（以x 轴为底），且通过点)2,1(.5.人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比.（1）如果4小时的细菌数即为原细菌数的2倍，那么经过12小时应有多少？ （2）如在3小时的时候，有细菌数410个，在5小时的时候有4104⨯个，那么在开始时有多少个细菌？1.3 齐次微分方程上一节，介绍了变量可分离方程的解法.有些方程，它们形式上虽然不是变量可分离方程，但是经过变量变换之后，就能化成变量可分离方程，本节介绍一类可化为变量可分离的方程——齐次方程.一、齐次方程 形如⎪⎭⎫⎝⎛=x y dx dy ϕ (1.21) 的方程称为一阶齐次微分方程.例如，方程yx yx dx dy -+=， xyy x x yy x dx dy sin sin2222-+=， ()022=++xydy dx y x，y x dxdyln ln -=. 可以分别变为xyx ydx dy -+=11， x y x y x y x y dx dy cos1sin 122⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+=， 1-⎪⎭⎫⎝⎛--=x y x y dx dy ， xydx dy ln -=. 所以它们都是一阶齐次方程．下面我们看一下齐次方程的解法. 方程(1.21)的特点是它的右端是一个以x y 为变元的函数，我们将xy作为一个整体，作如下的变量变换令xyu =，即ux y =， 则有)(u dxduxu ϕ=+, 分离变量,得xdx u u du =-)(ϕ.两端积分,得⎰⎰=-x dx u u du )(ϕ.求出积分后,再将u 还原为xy,便得所给齐次方程的通解. 注：1.若存在常数0u ，使0)(00=-u u ϕ，则易知0u u =，即x u y 0=是方程(1.21)的解；另外还要注意验证0=x 是否是解？2.有时方程化成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x dy dxϕ更为简便，参见例2. 例1 解方程dxdy xy dx dy x y =+22. 解 原方程可写成1)(222-=-=xy x yx xy y dx dy , 因此原方程是齐次方程.令u xy=, 则 ux y =，dxdu x u dx dy+=, 于是原方程变为12-=+u u dx du x u ,即1-=u u dx du x . 分离变量,得xdx du u =-)11(. 两边积分,得x C u u ln ln =+-，即C u xu +=ln ()为任意常数C .以xy代上式中的u ,便得所给方程的通解 C xyy +=||ln ()为任意常数C .例2 有旋转曲面形状的凹镜, 假设由旋转轴上一点O 发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行.求这旋转曲面的方程.解 如图1-2，设此凹镜是由xoy 面上曲线()()0:>=y x y y L 绕x 轴旋转而成,光源在原点. 在L 上任取一点()y x M ,, 作L 的切线交x 轴于A . 点O 发出的光线经点M 反射后是一条平行于x 轴射线. 由光学及几何原理可以证明OM OA =.图 1-2因为x y yOP PM OP AP OA -'=-=-=αcot , 而22y x OM +=.于是，得微分方程22y x x y y+=-', 整理得1)(2++=yx y x dy dx . 这是齐次方程. 问题归结为解齐次方程1)(2++=yx y x dy dx . 令v yx=, 即yv x =， 得12++=+v v dydv y v即12+=v dydv y . 分离变量，得ydy v dv =+12, 两边积分，得C y v v ln ln )1ln(2-=++, C yv v =++⇒12, 1)(22+=-⇒v v Cy , 即1222=-Cyv C y . 以yv x =代入上式, 得)2(22C x C y +=. 这是以x 轴为轴、焦点在原点的抛物线, 它绕x 轴旋转所得旋转曲面的方程为)2(222C x C z y +=+.这就是所求的旋转曲面方程.在一般情况下，如何判断方程()y x f dxdy,=是齐次方程呢?这相当于考虑，什么样的二元函数()y x f ,能化为形如⎪⎪⎭⎫⎝⎛y x ϕ的函数. 下面我们说明零次齐次函数具有此性质.所谓()y x f ,对于变元x 和y 是零次齐次式，是指对于任意0≠τ的常数，有恒等式()()()y x f y x f y x f ,,,0==τττ.因此，令x1=τ，则有()⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛≡x y x y f y x f ϕ,1,.从而，所谓齐次方程，实际上就是方程()y x f dxdy,=的右端()y x f ,是一个关于变元x 和y 的零次齐次式.如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程，那么我们下面要介绍第二类这种方程.二、可化为齐次方程的方程 形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=222111c y b x a c y b x a f dxdy (1.22)当021==c c 时是齐次方程，但当02221≠+c c 时就不是齐次方程了.下面我们将通过变量变换把(1.22)中的21,c c 消去，将方程(1.22)化成齐次方程.令βα+=+=Y y X x ,(βα,为待定常数) 则dY dy dX dx ==,.代入(1.22)得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++=2222211111c b a Y b X a c b a Y b X a f dX dYβαβα. 选取βα,使得⎩⎨⎧=++=++.0,0222111c b a c b a βαβα (1.23) 这是一个线性非齐次方程组，它的解与系数行列式有关. 如果02211≠=∆b a b a ，则(1.23)有唯一解，把βα,取为这组解，于是(1.22)就化成齐次方程⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=Y b X a Y b X a f dX dY2211.求出这个方程的解，并用变换y Y x X -=-=βα,代回，即可得(1.22)的解.上面的做法其实就是解析几何中的坐标平移.当0≠∆时，直线0111=++c y b x a与直线0222=++c y b x a相交于一点，将二式联立求得交点(βα,)，再作坐标平移，就把原点移到(βα,).又由于在坐标平移变换βα+=+=Y y X x ,下有=dx dy dXdY 成立，这样(1.22)就变成齐次方程了. 本节要点：1．一阶方程()y x f dxdy,=是齐次方程：右端函数()y x f ,是一个零次齐次函数． 2．齐次方程的解法： 第一步：先将原方程变形为⎪⎭⎫⎝⎛=x y dx dy ϕ； 第二步：通过变量替换xyu =再将方程化为变量可分离方程求解； 第三步：变量还原.3．一类可化为齐次方程的方程之解法.习 题 1.31．解下列方程(1)()02=-+xdy dx y x . (2)()0222=+-dy x dx xy y . (3)()xy dx dy y x 222=+. (4)yxx y y x tan =-'. (5)y dx dy x =-)2(. (6)25)1(12+=+-x x ydx dy . 2．解下列方程(1)()()03542=-+++-dy y x dx y x . (2)()5324++='+y x y y x .(3)0)324()12(=-+-++dy y x dx y x .(4)2122⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-='y x y y .(5) 0)823()732(2222=-+--+ydy y x xdx y x .4.一船从河边A 点驶向对岸码头O 点，设河宽a OA =，水流速度为ω，船的速度为v ，如果船总是朝码头O 点的方向前进，试求船的路线，并证明船能到达对岸O 点的充要条件ω>v .1.4 一阶线性微分方程本节讨论一阶线性方程的解法以及某些可以化成线性方程的类型. 一、一阶线性方程 一阶线性微分方程的形式是()()x Q y x P y =+'. (1.23)如果()0≡x Q ，那么()0=+'y x P y (1.24)称为一阶线性齐次方程. 如果()x Q 不恒为零，则称(1.23)为一阶线性非齐次方程.一阶线性非齐次方程的通解先考虑线性齐次方程(1.24)，注意这里“齐次”的含意与上节中的不同，这里指的是在(1.23)中不含“自由项”()x Q ，即()0≡x Q . 显然，(1.24)是一个变量可分离方程， 分离变量后得dx x P ydy)(-=, 两边积分, 得1)(||ln C dx x P y +-=⎰,即)( 1)(C dxx P e C Ce y ±=⎰=-, (1.25)这就是线性齐次方程的通解(积分中不再加任意常数).下面使用常数变易法求线性非齐次方程(1.23)的解.其想法是：当C 为常数时，函数(1.25)的导数，恰等于该函数乘以)(x P -,从而(1.25)为齐次方程(1.24)的解.现在要求是非齐次方程(1.23)的解，则需要该函数的导数中还要有一项等于()x Q .为此，联系到乘积导数的公式，可将(1.25)中的常数C 变易为函数()x u ，即令()⎰=-dxx P e x u y )( (1.26)为方程(1.23)的解，其中()x u 待定.将(1.26)代入方程(1.23)，有)()()()()()()()()(x Q e x u x P x P e x u e x u dxx P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---,化简得⎰='dxx P e x Q x u )()()(,C dx e x Q x u dxx P +⎰=⎰)()()(,于是非齐次线性方程的通解为])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P +⎰⎰=⎰-,即dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P ⎰⎰⎰+⎰=--)()()()(. (1.27) 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和.在求解具体方程时，不必记忆通解公式，只要按常数变易法的步骤来求解即可.例1 求方程y dxdyx =-)2(的通解. 解 这是齐次线性方程, 分离变量得2-=x dx y dy , 两边积分得C x y ln 2ln ln +-=，方程的通解为)2(-=x C y ()为任意常数C .例2 求解方程2x xydx dy +=. (1.28) 解 显然，这是一个一阶线性非齐次方程. 先求对应齐次方程xy dx dy =. 其通解为Cx y = ()为任意常数C .由常数变易法，令()x x u y =为方程(1.28)的解，代入得()()()2x x u x u x x u +=+'即()x x u ='积分得()C x x u +=221. 所以原方程(1.28)的通解为Cx x y +=321()为任意常数C . 例3 求方程25)1(12+=+-x x ydx dy 的通解. 解 这是一个一阶非齐次线性方程. 先求对应的齐次线性方程012=+-x y dx dy 的通解. 分离变量得12+=x dx y dy , 两边积分得()C x y ln 1ln 2ln ++=,齐次线性方程的通解为2)1(+=x C y ()为任意常数C用常数变易法. 把C 换成)(x u , 即令2)1)((+=x x u y , 代入所给非齐次线性方程,得2522)1()1(12)1(2)1(+=+⋅+-+⋅++⋅'x x u x x u x u21)1(+='x u ,两边积分,得C x u ++=23)1(32. 再把上式代入y =u (x +1)2中,即得所求方程的通解为])1(32[)1(232C x x y +++=.（法二）解 这里12)(+-=x x P ,25)1()(+=x x Q .因为 )1l n (2)12()(+-=+-=⎰⎰x dx x dx x P ,2)1ln(2)()1(+==⎰+-x e e x dx x P ,2321225)()1(32)1()1()1()(+=+=++=⎰⎰⎰⎰-x dx x dx x x dx e x Q dx x P , 所以通解为])1(32[)1(])([232)()(C x x C dx ex Q ey dxx P dxx P +++=+⎰⎰=⎰-()为任意常数C .为方便求解初值问题()()()⎩⎨⎧==+'00y x y x Q y x P y ， 常数变易法也可采用定积分形式.即(1.26)可取为()⎰=-xx dtt P ex u y 0)( （1.29）代入(1.23)并化简，得⎰='xx dtt P ex Q x u 0)()()(.积分得C ds es Q x u dtt P xx xx +=⎰⎰00)()()(，代入(1.29)得ds es Q eCey dtt P xx dt t P dt t P xx xx x x ⎰⎰-⎰-⎰+=00)()()()(将初值条件00,y y x x == 代入上式， 有0y C =，于是所求初值问题解为ds es Q eey y dtt P xx dt t P dt t P xx xx xx ⎰⎰-⎰-⎰+=00)()()(0)(或ds es Q ey y dtt P xx dt t P xx xx ⎰⎰-⎰+=00)()(0)( (1.30)例4 设函数()x f 在[)+∞,0上连续且有界，试证明：方程()x f y y =+'的所有解均在[)+∞,0上有界.证明 设()x y y =为方程的任一解，它满足初始值条件()[)+∞∈=,0,000x y x y ，于是，由公式(1.30)，它可以表示为()()()⎰---+=xx x t x x dt e t f ey x y 000我们只要证()x f 在[)+∞,0x 上有界即可. 设()[)+∞∈≤,0,x M x f .于是对[)+∞∈,0x x 有()()()⎰---+≤xx x t x x dt e t f ey x y 000⎰-+≤xx txdt e Mey 0()00x x x e e Me y -+=-()()010x x e M y ---+= M y +≤0.原题得证.二、伯努利(Bernoulli)方程 形如n y x Q y x P dxdy)()(=+ (1,0≠n ) (1.31) 的方程，称为伯努利方程.伯努利方程(1.31)是一种非线性的一阶微分方程，但是经过适当的变量变换之后，它可以化成一阶线性方程.在(1.31)两端除以n y ，得)()(1x Q y x P dxdyy n n=+--. 令n y z -=1，得线性方程)()1()()1(x Q n z x P n dxdz -=-+. 例5 求解方程yx x y dx dy 222+=. 解 这是一个伯努利方程. 两端同乘以y 2，得222x xy dx dy y +=. 令z y =2，代入上式得2x xzdx dz += 这个是线性方程，它的解为321x Cx z +=. 于是，原方程的解为321x Cx y +±= ()为任意常数C .本节要点：1．线性非齐次方程的解法本质是常数变易法，这种方法首先由拉格朗日提出，在常微分方程的解法上占有重要地位．2．伯努利方程实质上是一个可以通过变量替换化为线性方程的非线性方程．习 题 1.41．解下列方程：（1）x xy y 42=+' （2）23=+'ρρ （3）422x y y x =-' （4）x x y y sec tan =+' （5）yx dx dy+=1 （6）x e x y x y x -=++'23)1( （7）t i dt di 2sin 106=- （8）2)2(221-=--'x y x y ； （9）x e y y x =-')( 2．解下列伯努利方程（1）024=++'xy xy y （2）()x x y y dxdysin cos 2-=+ （3）2)(ln y x a x ydx dy -+ （4）5xy y dxdy =- （5）4)21(313y x y y -=+' （6）0)}ln 1({3=++-dx x xy y xdy . 3.设函数)(),(x f x p 在),0[+∞上连续，且0)(lim >=+∞→a x p x ，b a b x f ,()(≤为常数).求证：方程)()(x f y x p dxdy=+的一切解在),0[+∞上有界. 4.设)(x f 在),0[+∞上连续，且b x f x =+∞→)(lim ，又0>a .求证：方程)(x f ay dxdy=+ 的一切解)(x y ，均有ab x y x =+∞→)(lim . 5.设)(x y 在),0[+∞上连续可微，且有0)]()([lim =+'+∞→x y x y x试证：0)(lim =+∞→x y x .1.5 全微分方程及积分因子一、全微分方程 如果微分形式的一阶方程()()0,,=+dy y x N dx y x M (1.32)的左端恰好是一个二元函数()y x U ,的全微分， 即()()()dy y x N dx y x M y x dU ,,,+=， (1.33)则称方程(1.32)是全微分方程或恰当方程，而函数()y x U ,称为微分式的原函数.例如 方程0=+ydy xdx (1.34)就是一个全微分方程.因为它的左端恰是二元函数222y x +的全微分.全微分方程如何求解呢? 先看一下方程(1.34),由于它的左端是二元函数222y x +的全微分，从而方程可写成 0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x d 若()x y y =是(1.34)的解，应有恒等式()0222≡⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x y x d . 从而()C x y x ≡+22. （1.35）由此解出2x C y -±= ()为任意常数C .这说明，全微分方程(1.34)的任一解包含在表达式(1.35)中. 一般地，有如下定理定理1.1 假如()y x U ,是微分(1.33)的一个原函数，则全微分方程(1.32)的通积分为()C y x U =, (1.36)其中C 为任意常数.证明 先证 (1.32)的任一解()x y y =均满足方程(1.36). 因为()x y y =为方程(1.32)的解，故有恒等式()()()()()()0,,≡+x dy x y x N dx x y x M .因为()y x U ,为(1.33)的原函数，所以有()()0,≡x y x dU .从而()()C x y x U =,()为一常数C .于是，()x y y =满足(1.36).再证明(1.36)所确定的任意隐函数()x y y =均为方程(1.32)的解. 因为()x y y =是由(1.36)所确定的隐函数， 所以存在常数C ，使()()C x y x U ≡,.将上式微分并应用()y x U ,是(1.33)的原函数的性质，即有()()()()()()()0,,,≡+≡x dy x y x N dx x y x M x y x dU .从而()x y y =是方程(1.32)的解，定理证毕.根据上述定理，为了求解全微分方程(1.32)，只须求出它的一个原函数()y x U ,，就可以得到它的通积分()C y x U =,.下面介绍两种求原函数的方法. 1.求原函数的直接观察法在某些简单情形下，可以观察方程(1.32)的左端全微分形式直接求出它的一个原函数，从而得到它的通积分. 这要求熟记一些常见的二元函数的全微分公式.例如()xdy ydx xy d += 2x ydxxdy x y d -=⎪⎭⎫ ⎝⎛ 2y xdy ydx y x d -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ xy xdy ydx y x d -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ln22arctan y x xdy ydx y x d +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ()()22222l n y x y d y x d x y x d +-=+ 例1 求解方程()()022=+--++y x dy y x dx y x xdx .解 直接观察方程的左端，有 左端=2222yx xdyydx y x ydy xdx xdx +-++++()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x d y x d x d arctan ln 2121222 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=y x y x x d arctan ln 2121222. 所以，方程左端是一个全微分，原函数为()()yx y x x y x U arctan ln 2121,222+++=. 于是原方程的通解为()1222arctan ln 2121C yxy x x =+++ 即()C yxy x x =+++arctan 2ln 222()为任意常数C .2．求原函数的一般方法.定理1.2 如果方程(1.32)中的()()y x N y x M ,,,，在矩形区域b y y a x x R ≤-≤-00,:上连续可微，则方程(1.32)是全微分方程的充要条件是：在R 上有xNy M ∂∂≡∂∂ (1.37) 证明 （必要性）设(1.32)是全微分方程，则存在原函数()y x U ,，使得()()()dy y x N dx y x M y x dU ,,,+=dy yU dx x U ∂∂+∂∂=所以。
(完整word版)《微积分》各章习题及详细答案
第一单元 函数与极限一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→x x k x 成立的k 为 。
5、=-∞→x e x x arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、____________22lim22=--++∞→x x n 。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
(完整word版)积分公式
2.基本积分公式表(1)∫0d x=C(2)=ln|x|+C(3)(m≠-1，x>0)(4)(a>0,a≠1)(5)(6)∫cos x d x=sin x+C(7)∫sin x d x=-cos x+C(8)∫sec2x d x=tan x+C(9)∫csc2x d x=-cot x+C(10)∫sec x tan x d x=sec x+C(11)∫csc x cot x d x=-csc x+C(12)=arcsin x+C(13)=arctan x+C注．(1)不是在m=-1的特例．(2)=ln|x|+C，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x．事实上，对x>0，(ln|x|)' =1/x；若x<0，则(ln|x|)' =(ln(-x))' =.(3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分．下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算．3.不定积分的四则运算根据微分运算公式d(f(x)±g(x))=d f(x)±d g(x)d(kf(x))=k d f(x)我们得不定积分的线性运算公式(1)∫[f(x)±g(x)]d x=∫f(x)d x±∫g(x)d x(2)∫kf(x)d x=k∫f(x)d x，k是非零常数.现在可利用这两个公式与基本积分公式来计算简单不定积分．例2.5.4求∫(x3+3x++5sin x－4cos x)d x解.原式=∫x3d x+∫3x d x+7∫d x+5∫sin x d x－4∫cos x d x=+7ln|x|－5cos x－4sin x+C .注.此例中化为五个积分，应出现五个任意常数，它们的任意性使其可合并成一个任意常数C，因此在最后写出C即可．例2.5.5求∫(1+)3d x解.原式=∫(1+3+3x+)d x=∫d x+3∫d x+3∫x d x+∫d x=x+3+C=x+2x++C .注.∫d x与∫1d x是相同的，其中1可省略．例2.5.6求解.原式===－x+arctan x+C .注.被积函数是分子次数不低于分母次数的分式，称为有理假分式．先将其分出一个整式x2－1，余下的分式为有理真分式,其分子次数低于分母的次数．例2.5.7求.解.原式==∫csc2x d x－∫sec2x d x=－cot x－tan x+C .注.利用三角函数公式将被积函数化简成简单函数以便使用基本积分公式.例2.5.8求.解.原式==+C .为了得到进一步的不定积分计算方法，我们先用微分的链锁法则导出不定积分的重要计算方法−−换元法.思考题.被积函数是有理假分式时，积分之前应先分出一个整式，再加上一个有理真分式，一般情形怎样实施这一步骤？4.第一换元法（凑微分法）我们先看一个例子：例2.5.9求.解.因(1+x2)' =2x，与被积函数的分子只差常数倍数2，如果将分子补成2x,即可将原式变形：原式=(令u=1+x2)=(代回u=1+x2).注.此例解法的关键是凑了微分d(1+x2)．一般地在F'(u)=f(u),u=ϕ(x)可导,且ϕ' (x)连续的条件下,我们有第一换元公式(凑微分)：u=ϕ (x) 积分代回u=ϕ (x)∫f[ϕ(x)]ϕ' (x)d x=∫f[ϕ(x)]dϕ(x)=∫f(u)d u=F(u)+C=F[ϕ(x)]+C其中函数ϕ(x)是可导的,且F(u)是f(u)的一个原函数．从上述公式可看出凑微分法的步骤：凑微分————→换元————→积分————→再换元ϕ' (x)d x=dϕ(x) u=ϕ(x) 得F(u)+C得F[ϕ(x)]+C注.凑微分法的过程实质上是复合函数求导的链锁法则的逆过程．事实上，在F'(u)=f(u)的前提下，上述公式右端经求导即得:[F[ϕ(x)]+C]' =F '[ϕ(x)]ϕ' (x)=f[ϕ(x)]ϕ' (x)这就验证了公式的正确性．例2.5.10求∫(ax+b)m d x.(m≠-1,a≠0)解.原式=(凑微分d(ax+b))=(换元u=ax+b)=(积分)=. (代回u=ax+b)例2.5.11求.解.原式=(凑微分d(-x3)=-3x2d x)===(换元u=-x3).注.你熟练掌握凑微分法之后，中间换元u=ϕ(x)可省略不写,显得计算过程更简练,但要做到心中有数．例2.5.12求∫tan x d x.解.原式==-ln|cos x|+C .同理可得∫cot x d x=ln|sin x|+C .例2.5.13求(a>0).解.原式==.例2.5.14求(a>0).解.原式==.例2.5.15求.解.原式====.例2.5.16∫sec x d x.解.原式=(换元u=sin x)===(代回u=sin x)===ln|sec x+tan x|+C .公式:∫sec x d x=ln|sec x+tan x|+C .例.2.5.17求∫csc x d x .解.原式===ln|csc x-cot x|+C .公式:∫csc x d x=ln|csc x-cot x|+C .凑微分法是不定积分换元法的第一种形式，其另一种形式是下面的第二换元法．5.第二换元法不定积分第一换元法的公式中核心部分是∫f[ϕ(x)]ϕ'(x)d x=∫f(u)d u我们从公式的左边演算到右边，即换元：u=ϕ(x)．与此相反，如果我们从公式的右边演算到左边，那么就是换元的另一种形式，称为第二换元法．即若f(u),u=ϕ(x),ϕ'(x)均连续,u=ϕ(x)的反函数x=ϕ-1(u)存在且可导,F(x)是f[ϕ(x)]ϕ'(x)的一个原函数,则有∫f(u)d u=∫f[ϕ(x)]ϕ'(x)d x=F(x)+C=F[ϕ-1(u)]+C .第二换元法常用于被积函数含有根式的情况．例2.5.18求解.令(此处ϕ(t)=t2)．于是原式===(代回t= -1(x)=) 注.你能看到，换元=t的目的在于将被积函数中的无理式转换成有理式,然后积分．第二换元法除处理形似上例这种根式以外，还常处理含有根式，，(a>0)的被积函数的积分．例2.5.19求. (a>0)解.令x=a sec t，则d x=a sec t tan t d t,于是原式==∫sec t d t=ln|sec t+tan t|+C1 .到此需将t代回原积分变量x，用到反函数t=arcsec，但这种做法较繁．下面介绍一种直观的便于实施的图解法：作直角三角形，其一锐角为t及三边a，x，满足：sec t=由此，原式=ln|sec t+tan t|+C1==.注．C1是任意常数,-ln a是常数,由此C=C1-ln a仍是任意常数．(a>0)例2.5.20求.解.令x=a tan t，则d x=a sec2t d t，于是原式==∫sec t d t=ln|sec t+tan t|+C1 ．图解换元得原式=ln|sec t+tan t|+C1=.公式:.例2.5.21求(a>0).解.令x=a sin t，则d x=a cos t d t，于是原式===+C.图解换元得：原式=+C=+C .除了换元法积分外，还有一个重要的积分公式，即分部积分公式．思考题.在第二换元法公式中，请你注意加了一个条件“u=ϕ(x)的反函数x=ϕ1-(u)存在且可导”，你能否作出解释，为什么要加此条件？6.分部积分公式我们从微分公式d(uv)=v d u+u d v两边积分，即∫d(uv)=∫v d u+∫u d v由此导出不定积分的分部积分公式∫u d v=uv -∫v d u下面通过例子说明公式的用法．例2.5.22求∫x2ln x d x解.∫x2ln x d x=(将微分dln x算出)==.例2.5.23求∫x2sin x d x.解.原式=∫x2d(-cos x) (凑微分)=-x2cos x-∫(-cos x)d(x2) (用分部积分公式)=-x2cos x+∫2x cos x d x=-x2cos x+2∫x dsin x(第二次凑微分)=-x2cos x+2[x sin x－∫sin x d x] (第二次用分部积分公式)=-x2cos x+2x sin x+2cos x+C .例2.5.24求∫e x sin x d x.解.∫e x sin x d x=∫sin x d e x (凑微分)=e x sin x-∫e x dsin x(用分部积分公式)=e x sin x-∫e x cos x d x(算出微分)=e x sin x-∫cos x d e x(第二次凑微分)=e x sin x-[e x cos x-∫e x dcos x] (第二次用分部积分公式)=e x(sin x-cos x)-∫e x sin x d x(第二次算出微分)由此得：2∫e x sin x d x=e x(sin x-cos x)+2C因此∫e x sin x d x=(sin x-cos x)+C ．注.(1)此例中在第二次凑微分时，必须与第一次凑的微分形式相同．否则若将∫e x cos x d x凑成∫e x dsin x,那将产生恶性循环，你可试试．(2)积分常数C可写在积分号∫一旦消失之后．例2.5.25求∫arctan x d x解.此题被积函数可看作x0arctan x，x0d x=d x，即适合分部积分公式中u=arctan x，v=x．故原式=x arctan x - ∫x d(arctan x) (用分部积分公式)=x arctan x - d x(算出微分)=x arctan x - (凑微分)=x arctan x - ln(1+x2)+C .小结.(1)分部积分公式常用于被积函数是两种不同类型初等函数之积的情形，例如x3arctan x，x3ln x 幂函数与反正切或对数函数x2sin x，x2cos x幂函数与正弦,余弦x2e x幂函数与指数函数e x sin x,e x cos x 指数函数与正弦,余弦等等．(2)在用分部积分公式计算不定积分时，将哪类函数凑成微分d v，一般应选择容易凑的那个．例如arctan x d，ln x d我们已学习了不定积分的几种常用方法，除了熟练运用这些方法外，在许多数学手册中往往列举了几百个不定积分公式，它们不是基本的，不需要熟记，但可以作为备查之用，称为积分表．思考题.你仔细观察分部积分公式，掌握其中使用的规律，特别是第一步凑微分时如何选择微分.7.积分表的使用除了基本积分公式之外，在许多数学手册中往往列举了几百个补充的积分公式，构成了积分表．下面列出本节已得到的基本积分公式．(1)∫0d x=C(2)=ln|x|+C(3)(m≠-1,x>0)(4)(a>0,a≠1)(5)(6)∫cos x d x=sin x+C(7)∫sin x d x=- cos x+C(8)∫sec2x d x=tan x+C(9)∫csc2x d x=- cot x+C(10)∫sec x tan x d x=sec x+C(11)∫csc x cot x d x=-csc x+C(12)=arcsin x+C(13)=arctan x+C(14)∫tan x d x=-ln|cos x|+C(15)∫cot x d x=ln|sin x|+C(16)=(a>0)(17)=(a>0)(18)(a>0)(19)=(a>0)(20)∫sec x d x=ln|sec x+tan x|+C(21)∫csc x d x=ln|csc x-cot x|+C利用积分表中的公式，可使积分计算大大简化．积分表的使用方法比较简单，现举一例说明之．例2.5.26求解.从积分表中查得公式则将a=3，b=－1，c=4代入上式并添上积分常数C即得解答：=.。
高等数学中的积分与微分方程
应用领域：物理 学、工程学、经 济学等
注意事项：求解 时需考虑初值条 件和边界条件
一阶非线性微分方程
定义：一阶微 分方程中含有 未知函数的非
线性项
常见类型：指 数型、三角函 数型、幂函数
型等
解法：常数变 易法、积分因子源自等应用：描述自 然现象、解决
实际问题等
06 高阶微分方程
高阶常系数线性微分方程
定义：形如y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = f(x)的微分方程 解法：通过特征方程求解 性质：解的形式为y(x) = e^(kx) * (积分项) 应用：在物理、工程等领域有广泛的应用
高阶变系数线性微分方程
定义：高阶微分 方程中，系数随 时间变化的线性 方程
特点：解法较为 复杂，需要使用 特殊的数学方法 进行求解
分方程。
了解积分与微 分方程的转化 关系，有助于 更好地理解数 学中的基本概 念，并解决实
际问题。
积分与微分方程的求解方法
直接积分法：通过积分运算求解微分方程 分离变量法：将微分方程转化为可求解的常微分方程 参数方程法：引入参数，将微分方程转化为可求解的参数方程 幂级数法：将微分方程转化为幂级数形式，通过幂级数展开求解
积分与微分方程的近似解法
数值积分法：通过选取适当的积分区间和插值多项式，逼近原函数，从而 得到积分的近似值。
迭代法：通过不断迭代的方式逼近微分方程的解，常用的方法有欧拉法、 龙格-库塔法等。
有限元法：将微分方程的求解区域离散化为有限个小的子区域，每个子区 域用有限元近似表示，从而将微分方程转化为代数方程组进行求解。
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积分微分方程
用复化梯形公式计算积分1()f x dx ⎰,要把区间[0,1]一般要等分 41 份才能保证满足误差小于0.00005的要求（这里(2)()1fx ∞≤）；如果知道(2)()0f x >，则用复化梯形公式计算积分1()f x dx ⎰此实际值 大 (大，小)。
在以10((),())()(),(),()[0,1]g x f x xf x g x dx f x g x C =∈⎰为内积的空间C[0,1]中，与非零常数正交的最高项系数为1的一次多项式是 23x -3. (15分)导出用Euler 法求解 (0)1y yy λ'=⎧⎨=⎩的公式, 并证明它收敛于初值问题的精确解解 Euler 公式 11,1,,,k k k x y y h y k n h nλ--=+==L -----------(5分)()()1011kk k y h y h y λλ-=+==+L ------------------- (10分) ()11(0)nnxn x y h e h n λλλ⎛⎫=+=+→→ ⎪⎝⎭若用复化梯形求积公式计算积分10xI e dx =⎰区间[0,1]应分 2129 等分，即要计算个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过71102-⨯；若改用复化Simpson公式，要达到同样精度区间[0,1]应分12 等分，即要计算个 25 点的函数值1．用Romberg 法计算积分 232x e dx -⎰解 []02()()2b a T f a f b -=+= 9.219524346410430E-003 10221()222b a a b T T f -+=+= 5.574989241319070E-0031022243T T S -== 4.360144206288616E-00322T = 4.499817148069681E-00321122243T T S -== 4.141426*********E-003102221615S S C -== 4.126845266588636E-00332T = 4.220146327817699E-00332222243T T S -== 4.126922721067038E-0032112221615S S C -== 4.125955805783515E-003102226463C C R -== 4.125941687358037E-0032．用复合Simpson 公式计算积分 232x e dx -⎰ (n=5)解 44501()4()2()(),625k k h h b aS f a f a kh f a kh f b h ==⎡⎤-=++++++=⎢⎥⎣⎦∑∑5S =4.126352633630653 E-0033、 对于n+1个节点的插值求积公式0()()bnk k k af x dx A f x =≈∑⎰ 至少具有 n 次代数精度.4、 插值型求积公式0()()bn k k k af x dx A f x =≈∑⎰的求积系数之和0nk k A =∑=b-a5、 证明定积分近似计算的抛物线公式 ()()4()()22bab a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤≈++⎢⎥⎣⎦⎰ 具有三次代数精度 证明 如果具有4阶导数,则()()4()()22bab a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦⎰=)(f2880)a b ()4(5η-- (η∈[a,b])因此对不超过3次的多项式f(x)有()()4()()022bab a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤-++=⎢⎥⎣⎦⎰ 即()()4()()22bab a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰精确成立,对任一4次的多项式f(x)有()()4()()22bab a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤≠++⎢⎥⎣⎦⎰ 因此定积分近似计算的抛物线公式具有三次代数精度 或直接用定义证.6、 试确定常数A ，B ，C 和a ，使得数值积分公式22()()(0)()f x dx Af a Bf Cf a -≈-++⎰有尽可能高的代数精度。
04第四讲_微分方程word精品文档12页
第四讲 微分方程考纲要求1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法.3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程.4.会用降阶法解下列微分方程：()()n y f x =，(,)y f x y '''=和(,)y f y y '''=.5.理解线性微分方程解的性质及解的结构.6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.8.会解欧拉方程.9.会用微分方程解决一些简单的应用问题.问题1 何谓微分方程、微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解、初值问题和微分方程的积分曲线？答 微分方程：含有自变量、未知函数、未知函数的导数的等式. 微分方程的阶(order)：微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数.微分方程的解：满足微分方程的函数.微分方程的通解：微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数.初始条件：确定微分方程通解中任意常数的值的条件. 微分方程的特解：确定了通解中任意常数的值后所得到的解. 初值问题（Cauchy 问题）：微分方程连同初始条件. 一阶微分方程初值问题：(,,)0F x y y '=，00()y x y =.二阶微分方程初值问题：(,,,)0F x y y y '''=，00()y x y =，00()y x y ''=. 微分方程的积分曲线：微分方程的解的图形（通解的图形是一族曲线）.问题2 如何求解一阶微分方程？答 一阶微分方程的一般形式是：(,,)0F x y y '=，解出y '：(,)dyf x y dx=，考纲要求掌握变量可分离的微分方程、一阶线性微分方程、.齐次微分方程、伯努利方程的解法.1可分离变量的微分方程：()()dyg x h y dx= 解法 分离变量：()()dy g x dx h y =；两端积分：()()dyg x dx h y =⎰⎰. 2 齐次微分方程：dy y dx x ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭解法 令y u x =，则y xu =，dy du u x dx dx =+，代入方程，得()duu x u dxϕ+=并求解.3 一阶线性微分方程：()()dyP x y Q x dx+= 若()0Q x ≡，则称它是齐次的，否则，称它为非齐次的. 解法（常数变易法） 先解对应齐次线性微分方程()0dyP x y dx+=，求得通解()P x dx y Ce -⎰=； 再令非齐次线性微分方程的解为()()P x dxy C x e -⎰=，代入方程求出()C x .通解公式：()()(())P x dx P x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰ 解的结构：一阶非齐次线性微分方程的通解=对应的齐次线性微分方程的通解+非齐次线性微分方程的特解.4 伯努利方程：()()(0,1)dyP x y Q x y dxαα+=≠.（与一阶线性微分方程比较）解法 方程两边乘以y α-，再令1z y α-=，将方程化为一阶线性微分方程.求解微分方程的步骤是：判断方程的类型并用相应的方法求解. 例 求解下列一阶方程：1.y y x y x +-='22 【C x xy x +=>ln arcsin ,0】 2.)ln (ln x y y y x -=' 【1+=Cx xe y 】3.e e y y x dxdyxy2)(,22=+= 【2ln 2+=x x y 】 4.1)0(,0)cos 2()1(2==-+-y dx x xy dy x 【11sin 2--=x x y 】5.02)(3=--ydx dy y x 【y C y x +-=351】6.ln dy y dx y x=- 7.0)2(2=+-xdy dx y xy 【Cx xy +=2】 问题3 如何求解可降阶的二阶微分方程？答 二阶微分方程(,,,)0F x y y y '''=，解出(,,)y f x y y '''=，考纲要求掌握下列三种类型可降阶方程的解法：1. ()y f x ''=、()()n y f x =型的微分方程 特点：右端仅含x . 解法：积分两次.2. (,)y f x y '''=型的微分方程 特点：右端不显含未知函数y .解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下： ⑴令y p '=，则dpy p dx'''==，方程化为(,)p f x p '=（这是关于变量x ，p 的一阶方程）；⑵解出p ；⑶再由y p '=解出y . 3.(,)y f y y '''=型的微分方程 特点：右端不显含x .解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下： ⑴令y p '=，则dp dp dy dp y p dx dy dx dy ''===，方程化为(,)dpp f y p dy=（这是关于变量y ，p 的一阶方程）；⑵解出p ；⑶再由y p '=解出y . 例1. 解方程20yy y '''-=.【12C x y C e =】2.求微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解.3.求初值问题221,(1)1,(1)1yy y y y ''''=+==-的解. 解 令y p '=，则dp dp dy dpy p dx dy dx dy''===， 方程化为221dp ypp dy =+，分离变量，得221pdp dy p y=+，两边积分，得 21ln(1)ln ln p y C +=+，即211p C y +=.将初始条件1,1,1x y y p '====-代入，得12C =，故212p y +=，解得p =p =.再解y '=dx =-，两边积分，得2x C =-+，将初始条件1,1x y ==代入，得22C =，2x =-，即21(45)2y x x =-+.注意 二阶可降阶方程求特解过程中，任意常数出现一个，确定一个，有利于下一步求解.问题4 叙述二阶线性微分方程解的性质、解的结构. 答 二阶线性微分方程的一般形式：()()()y P x y Q x y f x '''++= 若()0f x ≡，则称方程是齐次的，否则称方程是非齐次的. 1.线性微分方程解的性质⑴如果1y 与2y 是齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的两个解，则1122y C y C y =+是此齐次方程的解.⑵如果1y 与2y 是非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的两个解，则12y y -是对应齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的解.⑶（解的叠加原理）设*k y 是线性方程()()()k y P x y Q x y f x '''++=的特解，则*1n k k y =∑是1()()()nk k y P x y Q x y f x ='''++=∑的特解.2线性微分方程解的结构定理1（齐次方程解的结构）如果1y 与2y 是齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的两个线性无关的特解，则1122y C y C y =+是此齐次方程的通解.定理2（非齐次方程解的结构）设*y 是非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解，1122y C y C y =+是对应的齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的通解，则*1122y y C y C y =++是此非齐次方程的通解.例 设123,,y y y 是)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的三个线性无关的解，则其通解为 .【1121231()()y C y y C y y +-+-】问题5 如何求解二阶常系数线性齐次方程0y py qy '''++=？答 先求出它的特征方程20r pr q ++=的两个根，再根据特征根的三种不同情形写出通解（见下表）.特征方程20r pr q ++=的根 方程0y py qy '''++=的通解 两个不等实根12,r r 1212e e r x r x y C C =+两个相等实根12r r = 112()e r x y C C x =+两个共轭复根1,2r i αβ=± 12e [cos sin ]x y C x C x αββ=+ 问题6 如何求二阶常系数线性非齐次方程()y py qy f x '''++=的特解？答 考纲要求会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程，由非齐次方程解的结构，只要求出它的一个特解和对应的齐次方程的通解，而齐次方程的通解已经解决，关键是求它的一个特解.1.若()()e x m f x P x λ=，则令*()e k x m y x Q x λ=，其中0,12k λλλ⎧⎪=⎨⎪⎩不是特征根；，是单特征根；，是二重特征根.2.若()e [()cos ()sin ]x m l f x P x x P x x λωω=+，则令**e [()cos ()sin ]k x n n y x Q x x Q x x λωω=+，其中{}max ,n m l =，0,1i k i λωλω+⎧=⎨+⎩不是特征根；，是单特征根.将它们代入非齐次方程，求出多项式中的待定系数，从而求出特解. 例1.求022=-'-''x e y y 满足1)0(,1)0(='=y y 的解.【x e x y 2)21(4143++=】 2.求x x y y cos +=+''的通解.【x x x x C x C y sin 21sin cos 21+++=】3.x x y y sin 12++=+''的特解形式可设为 . 问题7 如何求解欧拉方程2()x y pxy qy f x '''++=？ 答 令t x e =，则dy xy Dy dt'==， 222(1)d y dyx y D D y dt dt''=-=-，欧拉方程化为二阶常系数线性方程.例 欧拉方程)0(0242>=+'+''x y y x y x 的通解为 .【221x C x C y +=】 问题8 如何求解含变限积分的方程（积分方程）？答 积分方程通过求导可化为微分方程，这种方程通常含有初始条件（令积分上限等于积分下限）.例1.设⎰--=xdt t f t x x x f 0)()(sin )(，)(x f 为连续函数，求)(x f . 解 00()sin ()()xxf x x x f t dt tf t dt =-+⎰⎰，⑴ 两边对求导，得()cos ()()()cos ()xxf x x f t dt xf x xf x x f t dt '=--+=-⎰⎰，⑵两边再对求导，得()sin ()f x x f x ''=--，故)(x f 满足微分方程sin y y x ''+=-，由⑴，⑵得初始条件(0)0,(0)1f f '==.2.函数)(x f 在[0,)+∞上可导，(0)1f =，且满足等式01()()()01xf x f x f t dt x '+-=+⎰， 求()f x '.【e ()1xf x x -'=-+】解 由01()()()01xf x f x f t dt x '+-=+⎰，得 ()1f x '=-，(1)()(1)()()0xx f x x f x f t dt '+++-=⎰，()(1)()()(1)()()0f x x f x f x x f x f x ''''+++++-=， (1)()(2)()0x f x x f x '''+++=，令()f x p '=，(1)(2)0dpx x p dx+++=，21dp x dx p x +=-+， ln ln(1)ln p x x C =--++，即e ()1xC p f x x -'==+， 又()1f x '=-，得1C =-，故e ()1xf x x -'=-+.问题9 如何用微分方程求解应用问题？ 答 关键是建立微分方程（包括初始条件）. 例题3 应用题1.设)(x f y =是第一象限连接)0,1(),1,0(B A 的一段连续曲线，),(y x M 为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点，若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为3163+x ，求)(x f 的表达式.【2)1()(-=x x f 】2.设位于第一象限的曲线()y f x =过点1)22，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.⑴求曲线()y f x =的方程；（2221x y +=）⑵已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ，试用l 表示()y f x =的弧长s .【4l 】 解 ⑴曲线()y f x =在点(,)P x y 处的法线方程为1()Y y X x y -=--'， 令0X = ，得x Y y y =+'，故点Q 的坐标为(0,)x y y +'. 由题设知，0xy y y ++='，即20xdx ydy +=，解得222x y C +=，将1)22代入上式，得1C =，故曲线()y f x =的方程为2221x y +=. ⑵曲线sin y x =在[0,]π上的弧长2022l πππ-===⎰⎰⎰，()y f x =的参数方程为cos ,,2x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩弧长s θ==⎰.4===⎰. 3.设)(x f 在[1,)+∞上连续，若由曲线()y f x =，直线1,(1)x x t t ==>与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积为2()[()(1)]3V t t f t f π=-，求()y f x =所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件229x y ==的解.【2232x y y xy '=-；3(1)1xy x x=≥+】 4.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆的水平速度为700km/h 经测试，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为6100.6⨯=k ），问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？【1.05km 】解 【利用22dv d sF ma m m dt dt===建立方程，关键是受力分析】质量9000kg m =，水平速度()v v t =，(0)700km/h v =，飞机所受的总阻力f kv =-，依题意dv kv mdt -=，dv k dt v m =-，两边积分，得ln ln kv t C m=-+，即ekt mv C -=，将(0)700v =代入上式，得700C =，故700ekt mv -=，飞机滑行的最长距离000700()700e e 1.05k k t t mmms v t dt dt k+∞--+∞+∞===-=⎰⎰（km ）问题10（数学三） 何谓差分、差分方程、差分方程的阶？如何求解一阶常系数线性差分方程？答 函数()t y f t =的差分1t t t y y y +∆=-.二阶差分2121()2t t t t t t t y y y y y y y +++∆=∆∆=∆-∆=-+. 差分方程：含有差分的等式. 差分方程的阶：下标差的最大值.第 58 页 求解一阶常系数线性差分方程1()t t y py f t +-=的步骤是：⑴先求对应齐次方程10t t y py +-=通解：求出特征方程0r p -=的根r p =，10t t y py +-=通解为t t y Cp =，⑵再求非齐次方程1()t t t m y py P t b +-=的特解*()k t t m y t Q t b =，0,1,b p k b p ≠⎧=⎨=⎩⑶非齐次方程1()t t t m y py P t b +-=通解为*t t t y Cp y =+，例1.设,2t y t =则差分=∆t y .【21t +】2.设t t a y =则差分=∆t y .【(1)t a a -】3.差分方程t t t t y y 21=-+的通解为 .【(2)2t t y C t =+-】4.差分方程1t t y y t +-=的通解为 .【(2)2t t y C t =+-】5.差分方程051021=-++t y y t t 的通解为 .【51(5)()126t t y C t =-+-】 6.某公司每年的工资总额在比上一年增加20％的基础上再追加2百万元，若以t W 表示第t 年的工资总额，则t W 满足的差分方程是 .【1 1.22t t W W +=+】希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、理想的路总是为有信心的人预备着。
(完整word)高等数学：常微分方程的基础知识和典型例题
常微分方程1 .( 05,4 分)微分方程xy 2yxln x 满足y(1)22x y)= x ln x.2 .( 06,4 分) 微分方程 y= y(1 x)的通解为 ———— x分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得dy( 11)dx.积分得 ln y ln x x C 1，即 y e C1xe x yxy Cxe x, 其中C 为任意常数 .(二)奇次方程与伯努利方程1 .( 97,2,5 分) 求微分方程 (3x2 2xy y 2)dx (x 22xy)dy 0的通解解：所给方程是奇次方程 . 令 y=xu, 则 dy=xdu+udx. 代入原方程得 3 ( 1+u- u 2) dx+x(1-2 u) du=0. 分离变量得1-2u2 du 3dx, 1uu x积分得 ln 1 u u 2 3ln x C 1,即 1 u u 2=Cx 3. 以 u y代入得通解 x 2xy y 2.xx( y x 2y 2)dx xdy 0(x 0),2 .(99,2,7 分 ) 求初值问题 的解 .y x1 0分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为 . dy +2y dx x 2 dx lnx, 两边乘 e x=x 得积分得y(1)x 2y=C+ x 2 ln xdx C 1 ln xdx 3 3 1 11 得 C 0 y xln x x.9 39 C 1 x 3 ln x 3 13 x. 9 1 的解解：所给方程是齐次方程 (因 dx, dy 的系数 (y+ x 2 y 2)与 (-x)都是一次齐次函数)令 dy xdu udx,带入得x(u 1 u 2dx x( xdu udx) 0, 化简得 12u 2dx xdu 0.分离变量得dx- du=0. x 1 u 2积分得 ln x ln(u 1 u 2) C 1,即 u 1 u 2Cx. 以 u y代入原方程通解为y+ x 2 y 2 Cx 2.x 再代入初始条件 y x 1 0,得 C=1.故所求解为 y+x 2y2x 2，或写成y 12 (x 2 1).(三)全微分方程 练习题(94,1,9 分)设 f ( x)具有二阶连续导数， f (0) 0, f (0) 1,且 [xy(x+y)- f(x)y]dx+[ f (x)+x 2y]dy=0为一全微分方程，求 f(x)以及全微分方程的通解先用凑微分法求左端微分式的原函数：122 122( y dx x dy ) 2( ydx xdy ) yd (2sin x cos x) (2sin x cos x)dy 0, 22 122d [ x y 2xy y (cos x 2sin x)] 0. 2其通解为 1x 2y 2 2xy y (cos x 2sin x) C.4.( 98,3分) 已知函数y y(x)在任意点x 处的增量 y= y2 x ,当 x0时 ,1x是 x 的高阶无穷小，y(0)= ，则 y(1)等于 ( )解：由全微分方程的条件，有 即 x22xy f (x) f (x)y因而 f (x)是初值问题y x 2[xy(x y) f(x)y] y 2xy, 亦即 f (x) f (x) x 2.2yx的解，从而解得0, y x 0 12.22[ f (x) xy], x 2sin x cosx)dy 0.(A)2 .(B) .(C)e 4 .(D) e 4 .分析：由可微定义，得微分方程 y y. 分离变量得21x1y dx2,两边同时积分得 ln y arctan x C ,即 y Ce arctanx.y1x代入初始条件y(0) ，得 C= ，于是 y(x) earctanx,由此， y(1) e 4.应选 ( D)二、二阶微分方程的可降阶类型5( . 00,3分) 微分方程 x y 3y 0的通解为分析：这是二阶微分方程的一个可降阶类型，令 y =P( x)，则 y =P ，方程可化为一阶线性方程xP 3P 0,标准形式为 P+3P=0，两边乘 x 3得 (Px 3) =0. 通解为 y P C 30 .xx再积分得所求通解为 y C 22C 1.x216 .( 02,3分)微分方程 yy y 2=0满足初始条件y x 01， y x 0 2的特解是分析：这是二阶的可降阶微分方程 .令 y P(y)(以 y 为自变量 )，则 y dy dP P dP.dx dx dy代入方程得 yP dP +P 2=0，即 y dP+P=0(或 P=0, ，但其不满足初始条件y x 0 1)dy dy2分离变量得 dP dy 0,PyC积分得 ln P +ln y =C ，即 P= 1(P=0对应 C 1=0)； y11由 x 0时 y 1， P=y , 得 C 1 ，于是221 y P ,2 ydy dx, 积分得 y x C 2 2y .又由 y x 0 1 得 C 2. 1，所求特解为 y 1 x.三、二阶线性微分方程(一)二阶线性微分方程解的性质与通解结构7 .( 01,3分)设 y e x(C 1sin xC 2cosx)(C 1,C 2为任意常数 )为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 ___ .r1，r2 1 i，从而得知特征方程为分析一：由通解的形式可得特征方程的两个根是22(r r1 )(r r2) r (r1 r2 )r r1r2 r 2r 2 0.由此，所求微分方程为y 2y 2y 0.分析二：根本不去管它所求的微分方程是什么类型(只要是二阶)，由通解y e x(C1sinx C2 cosx)求得y e x[( C1 C2 )sin x (C1 C2)cos x], y e x( 2C2 sin x 2C1 cos x),从这三个式子消去C1与C2,得y 2y 2y 0.(二)求解二阶线性常系数非齐次方程9.( 07,4分) 二阶常系数非齐次线性微分方程y 4y 3y 2e2x的通解为y=分析：特征方程24 3 ( 1)( 3) 0的根为1, 3.非齐次项 e x, 2不是特征根，非齐次方程有特解y Ae2x.代入方程得(4A 8A 3A)e2x2e2x A 2.因此，通解为y C1e x C2e3x2e2x..10.(10,10分 )求微分方程y 3y 2y 2xe x的通解.分析：这是求二阶线性常系数非齐次方程的通解.1由相应的特征方程2 3 2 0, 得特征根 1 1, 2 2 相应的齐次方程的通解为y C1e x C2e2x.2非齐次项 f ( x) 2xe x , 1是单特征根，故设原方程的特解xy x(ax b)e .代入原方程得ax2 (4a b)x 2a 2b 3[ax2 (2a b)x b] 2(ax2 bx) 2x,即 2ax 2a b 2x, a 1,b 2.3原方程的通解为y C1e x C2e2x x(x 2)e x,其中 C1，C2为两个任意常数.04， 2, 4分)微分方程y y x2 1 sin x的特解形式可设为( )22(A)y ax bx c x(Asin x B cosx).(B)y x(ax bx c Asin x B cos x).22(C)y ax bx c Asin x.(D )y ax bx c Acosx.分析：相应的二阶线性齐次方程的特征方程是2 1 0,特征根为i .y y x2 1L()与 1 y y sin xL( 2)方程 (1) 有特解 y ax2 bx c,方程(2)的非齐次项 f (x) e x sin x sin x( 0, 1，i 是特征根), 它有特解y x(Asin x B cosx).y ax2 bx c x(Asin x Bbcosx).应选 (A).(四)二阶线性变系数方程与欧拉方程12.(04, 4分 )欧拉方程x2 d2y 4x dy 2y 0(x 0)的通解为dx dx分析：建立 y 对 t 的导数与y 对 x 的导数之间的关系 .222dy dy dx dyd y d y 2 dy 2 d y dy( sin x), 2 2 sin t cost (1 x ) 2 x .dt dx dt dx dt dx dx dx dxd 2y于是原方程化为 2 y 0,其通解为 y C 1 cost C 2sint.dt 2 回到 x 为自变量得 y C 1x C 2 1 x 2.x由 y (0) C 2 1 C 2 1.y(0) C 1x 02 C 1 2.1 x 2因此 特解为 y 2x 1 x 2 .四、高于二阶的线性常系数齐次方程13.( 08， 4分)在下列微分方程中，以 y C 1e xC 2cos2x C 3 sin 2x(C 1, C 2, C 3为任意常数)为通 解的是()(A)y y 4y 4y 0.(B)y y 4y 4y 0. (C)y y 4y 4y 0.(D ) y y 4y 4y 0.分析：从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是： 1, 2i(i 1)，对 应的特征方程是 ( 1)( 2i)( 2i) ( 1)( 24) 3244 0,因此所求的微分方程是 y y 4y 4y 0，选(D).(00,2,3分 ) 具有特解 y 1 e x , y 2 2xe x ,y 3 3e x的三阶常系数齐次线性微分方程是( )(A)y y y y 0.(B)y y y y 0. (C)y 6y 11y 6y 0.(D)y2y y 2y 0.分析：首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为 r 1 r 21,r 3 1，从而特征方程为(1)求导数 f (x)； (2)证明：当 x 0时 ,成立不等式 e分析：求解欧拉方程的方法是：作自变量22d y dy d y dy 2 (4 1) 2y 0,即 2 3 2y xe t(t l n x)，将它化成常系数的情形： 0.1, 2 2, 通解为 yC 1e t C 2e 2t. y C 1 x C 22,其中C 1,C 2为任意常数(05,2,12分 )用变量代换 xcost (0 t)化简微分方程 (1 x 2)y xy y 0，并求其(r 1)2(r 1) 0,即r3r 2r 1 0,由此，微分方程为y y y y 0.应选(D).五、求解含变限积分的方程00, 2,8分) 函数y=f(x)在0, 上可导，f (0) 1，且满足等式1xf (x) f (x) 1 f (t)dt 0，x10f(x) 1.求解与证明()首先对恒等式变形后两边求导以便消去积分： 1x(x 1)f (x) (x 1)f(x) 0f (t)dt 0,(x 1)f (x)(x 2)f (x)0.在原方程中令变限 x 0得 f (0) f (0) 0,由 f (0) 1,得 f (0) 1.现降阶：令 u f (x),则有 u x 2u 0，解此一阶线性方程得x1x e f (x) u C eu 0x1 x e 由 f (0) 1,得 C 1,于是 f (x) e. x1xe (2)方法 1 用单调性 . 由f (x) e0(x 0), f (x)单调减 , f(x) f(0) 1(x );x1x 又设 (x) f (x) e x ,则 (x) f (x) e x x e x0(x 0), (x)单调增，因此 (x)x1 (0) 0(x 0),即 f(x) e x(x 0) . 综上所述，当 x 0时 ,e x f (x) 1.方法 2 用积分比较定理 . 由 牛顿 -莱布尼茨公式，有六、应用问题 (一)按导数的几何应用列方程 练习题 1 .( 96,1,7分)设对任意 x 0,曲线 y f(x)上点 (x, f(x))处的切线在 y 轴上的截距等于1 xf (t)dt,求 f ( x)的一般表达式 . x 0解：曲线 y f (x)上点 (x, f ( x))处的切线方程为 Y f ( x) f ( x)( X x).令 X 0得 y 轴上的截距 Y f(x) xf (x).由题意 1x1f(t)dt f(x) xf (x) x 0x, 得x 2f(t)dt xf (x) x 2f (x)( ) 恒等式两边求导，得 f (x) f (x) xf (x) 2xf (x) x 2f ( x)，即 xf (x) f (x) 0 在 ( )式中令 x 0得 0 0,自然成立 . 故不必再加附加条件. 就是说f (x)是微分方程 xy y 0的通解 . 令 y P(x),则 y P ,解 xP P 0,得 y P C 1.xf ( x) f (0) x0 f (t)dt, f(x) t 由于 0 e t1从而有 e x e t (t 0),有 0 f (x) 1. 0t e t d t 1 dt . 1 x t e t dt x e (x再积分得 y f ( x) C1 ln x C2.12( . 98,2,8分) 设 y y(x)是一向上凸的连续曲线 ,其上任意一点 (x, y)处的曲率为 1,1 y 2y P tan( x).(二 )按定积分几何应用列方程3.(97,2,8分 )设曲线 L 的极坐标方程为 r r( ), M (r, )为 L 上任一点 ,M 0(2,0)为 L 上一定点 ,若极径 OM 0,OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M 0、 M 两点间弧长值的一半， 求曲线L 的方程 .且此曲线上点 (0,1)处的切线方程为 y x 1, 求该曲线的方程，并求函数 y y( x)的极值 .解：由题设和曲率公式有y( x)向上凸 , y 0, y令 y P(x)，则 y P ,方程化为 y) ,化简得 y 12. yP1 P 21， dP 分离变量得 2 dx,积分得C 1.y (0) 1即 P(0) 1,代入可得 C 1，故再积分得 y ln cos( x) C 2 又由题设可知y(0)1,代入确定 C 2 11ln 2，1y ln cos( x) 1 ln 2x , 即当 4 2,3时 ,cos( x) 0, 而3 或 时, 44cos( x)y ln cos( 40,ln cos( x)1 x) 12 ln2( 4 x34 )显然，当 x 时 ,ln cos( x) 4410, y 取最大值 1 1ln 2,显然 y 在 (3)，没有极小值解：由已知条件得r 2d r 2 r 2d ， 2020 两边对 求导 ,，得 r 2 r 2 r (隐式微分方程)2 ,解出 r r r 2 1，从而， L 的直角坐标方程为 x m 3y 2.1 arccos r 分离变量，得 dr r r 2 dr r r 2 1 d 1 1 d( )1 r (r 1)2 arccos 1 , 或 r dr r r 2 1d tarccos 1(r sect ) 两边积分，得 代入初始条件 r(0) 2，得 1arccos 2 1arccos r3L 的极坐标方程为 1 r cos( ) 31 co s 3si。
《微积分教案》word版
《微积分教案》word版教案章节：一、微积分简介1.1 微积分的起源和发展1.2 微积分的基本概念1.3 微积分在实际应用中的重要性二、极限与连续2.1 极限的定义与性质2.2 极限的基本法则2.3 无穷小和无穷大2.4 函数的连续性三、导数与微分3.1 导数的定义与性质3.2 基本导数公式3.3 高阶导数3.4 微分四、微分中值定理与导数的应用4.1 罗尔定理4.2 拉格朗日中值定理4.3 柯西中值定理4.4 导数在实际问题中的应用五、不定积分与定积分5.1 不定积分的概念与性质5.2 基本积分公式5.3 换元积分法5.4 分部积分法5.5 定积分的定义与性质5.6 定积分的计算5.7 定积分的应用六、定积分的应用6.1 面积和体积的计算6.2 质心、转动惯量和其他几何属性6.3 物理应用：功和能量6.4 经济学应用：最优化问题七、微分方程7.1 微分方程的定义与分类7.2 线性微分方程的基本概念7.3 一阶线性微分方程的解法7.4 高阶线性微分方程的解法7.5 常系数线性微分方程的解法八、常微分方程的应用8.1 人口增长模型8.2 药物动力学模型8.3 机械系统动力学模型8.4 电磁场方程九、多元函数微分法9.1 多元函数的导数与微分9.2 偏导数与全微分9.3 多元函数的极值问题9.4 泰勒公式与多元函数的逼近十、重积分10.1 二重积分的定义与性质10.2 二重积分的计算10.3 三重积分的定义与性质10.4 三重积分的计算10.5 重积分的应用十一、曲线积分与曲面积分11.1 曲线积分的定义与性质11.2 曲线积分的计算11.3 曲面积分的定义与性质11.4 曲面积分的计算11.5 曲线积分和曲面积分的应用十二、向量分析12.1 空间解析几何基础12.2 向量微分运算12.3 向量场的积分12.4 散度与旋度12.5 向量分析的应用十三、微积分与线性代数的联系13.1 微积分在线性代数中的应用13.2 线性代数在微积分中的应用13.3 微分方程与线性代数的关系13.4 矩阵微积分13.5 微积分与线性代数的综合应用十四、微积分在经济管理中的应用14.1 微积分在优化问题中的应用14.2 微积分在概率论与数理统计中的应用14.3 微积分在金融数学中的应用14.4 微积分在运营Research 中的应用14.5 微积分在其他经济管理领域中的应用十五、微积分在现代科技中的应用15.1 微积分在物理学中的应用15.2 微积分在工程学中的应用15.3 微积分在生物学与医学中的应用15.4 微积分在计算机科学中的应用15.5 微积分在其他现代科技领域中的应用重点和难点解析一、微积分简介：重点是微积分的起源和发展，难点是对微积分基本概念的理解。
高中大学数学微分与积分公式(全集)(最全)word资料
高中大学数学微分与积分公式（全集）（高中大学数学）一、101101lim0n nnm mxman mba x a x an mb x b x bn m--→∞⎧=⎪⎪+++⎪=<⎨+++⎪∞>⎪⎪⎩（系数不为0的情况）二、重要公式（1）sinlim1xxx→=（2）()1lim1xxx e→+=（3）)1na o>=（4）1n=（5）lim arctan2xxπ→∞=（6）lim tan2xarc xπ→-∞=-（7）lim arc cot0xx→∞=（8）lim arc cotxxπ→-∞=（9）lim0xxe→-∞=（10）lim xxe→+∞=∞（11）lim1xxx+→=三、下列常用等价无穷小关系（0x→）sin x x tan x x arcsin x x arctan x x211cos2x x-()ln 1x x+1xe x-1lnxa x a-()11x x∂+-∂四、导数的四则运算法则()u v u v'''±=±()uv u v uv'''=+2u u v uvv v'''-⎛⎫=⎪⎝⎭五、基本导数公式⑴()0c'=⑵1x xμμμ-=⑶()sin cosx x'=⑷()cos sinx x'=-⑸()2tan secx x'=⑹()2cot cscx x'=-⑺()sec sec tanx x x'=⋅⑻()csc csc cotx x x'=-⋅⑼()x xe e'=⑽()lnx xa aa'=⑾()1ln xx'=⑿()1loglnxa x a'=⒀()arcsin x'=⒁()arccos x'=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arc cot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=六、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑七、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+八、微分公式与微分运算法则⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =-⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x xd a a adx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1log ln xad dx x a =⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x=-+九、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫=⎪⎝⎭十、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dx x c x =+⎰⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰ ⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰ ⑽21arctan 1dx x c x=++⎰ ⑾arcsin dx x c =+十一、下列常用凑微分公式十二、补充下面几个积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan xdx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsin xc a =+ln x c =+十三、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令n u x =，axdv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx =⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos axe xdx ⎰令,sin ,cos ax u e x x =均可。
积分基本公式word版
2.基本积分公式表(1)∫0d x=C(2)=ln|x|+C(3)(m≠-1，x>0)(4) (a>0,a≠1)(5)(6)∫cos x d x=sin x+C(7)∫sin x d x=-cos x+C(8)∫sec2x d x=tan x+C(9)∫csc2x d x=-cot x+C(10)∫sec x tan x d x=sec x+C(11)∫csc x cot x d x=-csc x+C(12)=arcsin x+C(13)=arctan x+C注．(1)不是在m=-1的特例．(2)=ln|x|+C，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x．事实上，对x>0，(ln|x|)' =1/x；若x<0，则(ln|x|)' =(ln(-x))' =.(3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分．下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算．6. 复合函数的导数与微分大量初等函数含有复合函数的成分，它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意义．定理.(链锁法则)设z=f(y)，y=j(x)分别在点y0=j(x0)与x0可导，则复合函数z=f[j(x)]在x0可导，且或(f o j)' (x0)=f '(y0)×j'(x0)．证．对应于自变量x0处的改变量D x，有中间变量y在y0=j(x0)处的改变量D y及因变量z在z0=f(y0)处的改变量D z，（注意D y可能为0）．现D z=f¢(y0)D×y+v，D y=¢j(x0)D x+u，且令，则v=Da y，（注意，当D y=0时，v=Da y仍成立）．y在x0可导又蕴含y在x0连续，即D y=0．于是=f '(y0)×j '(x0)+0×j'(x0)=f'(y0)×j'(x0)为理解与记忆链锁法则，我们作几点说明：(1) 略去法则中的x=x0与y=y0，法则成为公式，其右端似乎约去d y后即得左端，事实上，由前面定理的证明可知，这里并不是一个简单的约分过程．(2) 计算复合函数的过程：x®¾y ®¾z复合函数求导的过程：z®¾y ®¾x：各导数相乘例2.3.15求y=sin5x的导数．解．令u=5x，则y=sin u．于是y' ==cos u×5=5cos5x．例2.3.16求y=lncos x的导数．解．令u=cos x，则y=ln u．于是y'．=例2.3.17求幂函数y=x m的导数，m为任意实数．解．因y=，令u=m ln x，则y=e u．y' ==e u×m×m是正整数n时，即例2.3.2．(3) 链锁法则可以推广到多层次中间变量的复合函数：复合函数的求值：x®¾y®¾z®¾u…v®¾w复合函数的求导：w®¾v…u®¾z®¾y®¾x：各导数相乘(4) 在熟练掌握链锁法则以后，为简便写法，中间变量v，u，z，y等可不必写出，只要做到心中有数．例2.3.18求的导数解．=．(5) 链锁法则的微分形式是：d f(j(x))=f¢(j(x))d j(x)例2.3.19求函数y=的微分解．d y =dsin2x=×2sin x dsin x=×2sin x cos x d x=×sin2x d x．思考题.请你仔细研究例2.3.18的解题过程，函数的构成除由基本初等函数复合之外还包含四则运算，因此求导的过程也应遵循四则运算与链锁法则，两个方面必须同时考虑.5. 导数与微分的四则运算设u=u(x)，v=v(x)为可导函数，c是常数，则有公式(1) (u±v)' = u'±v'，d(u±v) = d u±d v．公式(2) (uv)' = u' v+uv'，d(uv) = v d u+u d v．公式(3) (cu)' = cu'，d(cu) = c d u．公式(4)，(v¹0)．点击此处看公式(1)－(4)的证明．例2.3.11求y=tan x的导数解．(tan x)' ===sec2x．同理可得(cot x)' =-csc2x．例2.3.12求y=sec x的导数．解．(sec x)' ==sec x tan x．同理可得(csc x)' =-csc x cot x．例2.3.13求y=(1+4x)(2x2-3x3)的导数．解一．y' =(1+4x)¢(2x2-3x3)+(1+4x)(2x2-3x3)'=4(2x2-3x3)+(1+4x)(2×2x-3×3x2)=8x2-12x3+4x-9x2+16x2-36x3=4x+15x2-48x3解二．因y =2x2+5x3-12x4，故y' =2×2x+5×3x2-12×4x3=4x+15x2-48x3．例2.3.14求函数y=(x+sin x)ln x的微分．解．d y=ln x d(x+sin x)+(x+sin x)dln x=ln x(d x+dsin x)+(x+sin x)d x=ln x×(d x+cos x d x)+d x=d x．2. 导数的定义从曲线的切线斜率以及其他有关函数变化速度问题，我们抽象出函数的导数概念.定义.设函数y=f(x)在包含点x0的一个开区间X(这样的开区间称为x0的邻域)内有定义，y0=f(x0)．如果xÎX-x0，我们称D x=x-x00(D读作delta)为自变量的改变量，D y=f(x)-f(x0)为函数的(对应)改变量，比值为函数的差商或平均变化率．如果极限存在，则称函数y=f(x)在点x0可导 (或可微)，该极限称为函数y=f(x)在x0点关于自变量x的导数(或微商)．记作．因D x=x-x0，x=x0+D x，故还有．此时，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))的切线方程是．注意.D x可正可负，依x大于或小于x0而定．根据定义求已知函数y=f(x)在给定点x0的导数的步骤是：(1)计算函数在自变量x0+D x处的函数值f(x0+D x)；(2)计算函数的改变量D y=f(x0+D x)-f(x0)；(3)写出函数的差商；(4)计算极限，即导数值．例2.3.1求常数函数y=c的导数．解．因D y=y(x+D x)-y(x)=c-c=0，差商=0，故=0．此处x可为任意实数，即常数函数y=c在任意点x处的导数为0．例2.3.2设n是正整数，求幂函数y=x n在点x处的导数．解．因y(x+D x)=(x+D x)n=x n+，D y=y(x+D x)-y(x)=，故=．特别，当n=1时，函数y=x在任意点x处的导数为1．例2.3.3求曲线y=x3在点(2,8) 处的切线方程．解．在上例中取n=3可知函数y=x3在点x处的导数为3x2，于是在点(2，8)处的切线斜率是：y'(2)=3×22=12，故曲线y=x3在(2,8)处的切线方程是y-8=12×(x-2) Û 12x-y-16=0．注．(1)从上述例子我们看到，一般情况下，给定函数y=f(x)在某个区间X内每一点都可导，这样可求出X内每一点的导数y'(x)，xÎX ．于是y'(x)成为X内有定义的一个新函数，我们称它为给定函数y=f(x)的导函数，且常常省略定义中的字样“在x点处关于自变量的”，甚至简称f(x)的导数．例如我们说常数函数y=c的导数是0，y=x 的导数是1，y=x n的导数是等等，分别记作c' =0，x' =1，(x n)' =等等．(2)关于改变量的记号D，应把它与其后面的变量x或y看作一个整体量，就象sin x 中的sin一样，绝不能把D x看成D与x的乘积，特别，为避免误解，我们用(D x)2来表示D x的平方而不写D x2 ．从导数的定义我们还可以导出其它一些初等函数的导数公式:(点击此处看例2.3.4，例2.3.5，例2.3.6证明)例2.3.4y=sin x的导数是(sin x)' =cos x，y=cos x的导数是(cos x)' =-sin x ．例2.3.5 y=log a x(0<a¹1)的导数是(log a x)' =．特别，(ln x)' =1/x．例2.3.6指数函数y=a x(0<a¹1)的导数是(a x)' =a x ln a ．特别，(e x)' =e x．8. 导数的导数--二阶导数一般来说，函数y=f(x)的导数还是以x为自变量的函数：y' =f '(x)，如果它还可导，我们又可得f '(x)的导数：(y' )' =[f '(x)]' ，称为y=f(x)的二阶导数，记作y'' =f '' (x)，或=．如果它还可导，我们就可继续逐次求三阶，四阶，…的导数，对任意正整数n，n阶导数被定义为y(n)=(y(n-1))' ，n=2，3，…统称为函数y的高阶导数．例2.3.22求y=sin x的n阶导数．解．y' =cos x =sin，用归纳法不难求出y(n)=sin．例2.3.23若s =s(t)为质点运动的路程函数，则s' (t)=v(t)是运动速度．又,二阶导数s''(t)=v' (t)=a(t)则是运动的加速度．例2.3.24求y =arc tan x的二阶导数y'' ．解．y' =，y'' =-(1+x2)-2(1+x2)' =．思考题.对于可导函数y=f(x)来说，导数f ' (x)表示曲线的切线斜率，请你考虑，如果f ' (x)还可导，那么f '' (x)的正或负，反映函数y=f(x)的图像的什么性态.实验题.选择不同的函数，使二阶导数取正或负值，然后作出函数的图像，观察二阶导数对函数图像的影响.7. 基本初等函数的导数与微分公式求导公式求微分公式(1) c' =0(2) ( x m)' =mx m-1(3) (a x)' =a x ln a(e x )' =e x(4) (log a x)' =d c=0d x m=mx m-1d x，mÎRd a x=a x ln a d x，0 <a¹1d e x=e x d xdloga x=，0<a¹1(ln x)' =(5) (sin x)' =cosx(6) (cos x)' =-sinx(7) (tan x)' =sec2x(8) (cotx)' =-csc2x(9) (sec x)' =secxtanx(10) (cscx)' = -csc x cot x(11) (arcsinx)' =(12) (arccosx)' =-(13) (arctanx)' =(14) (arccot x)' =-dln x=dsinx=cosx d xdcosx=-sinx d xdtanx=sec2x d xdcotx=-csc2x d xdsecx=secxtanx d xdcscx=-cscx cot x d xdarcsinx=darccosx=darctanx=darccot x=例2.3.20求y=arcsin的微分．解．．例2.3.21求y=+arctan e x的导数．解．．12.二元函数的导数与微分(选学）设z=f(x，y)是两个自变量x与y的函数，x与y的变化都会引起函数z的变化，实际问题中有时需考虑单个自变量的变化引起的函数变化，即将另一自变量固定不变，看作常数，此时函数就像一元函数了．函数z关于一个变量x的导数就称为z关于x的偏导数．记作，事实上，按导数定义，应该是=，同理，z关于变量y的偏导数是=．我们也记．若z=f(x，y)有连续的偏导数f¢x(x，y)，f¢y(x，y)，则自变量x与y的改变量D x 与D y的线性表达式f¢x(x，y)D x+f¢y(x，y)D y称为z=f(x，y)在(x，y)处对应于D x，D y的全微分，记作d z=f¢x(x，y)D x+f¢y(x，y)D y．由于自变量的微分等于自变量的改变量：d x=D x，d y=D y，于是二元函数的微分公式是d z=．例2.3.30设f(x，y)=xy+x2-2 y3，求．解．=y+2x (把y看作常数，对x求导数)．=x-6y2(把x看作常数，对y求导数)．例2.3.31求z=e x sin y的全微分．解．d z=sin y d e x+e x dsin y=sin y e x d x+e x cos y d y=e x(sin y d x+cos y d y)．例2.3.32设x+2y+2z-2=0确定二元函数z=z(x，y)，求．解．对方程x+2y+2z-2=0两边求微分，则左端得d x+2d y+2d z-2d右端的微分是0，于是解得d z =，由此得，．13.分段函数的导数(选学）我们通过分段函数在衔接点处导数的研究，了解函数的可导性与连续性的关系．函数y=f(x)在点x0的导数被定义为极限，这等价于=0 ，记，则=0，由此f(x0+D x)-f(x0)=[u(D x)+f’(x0)]D x，于是 [f(x0+D x)-f(x0)]=[u(D x)+f’(x0)]D x=0 ，即f(x0+D x) = f(x0)．如果记x=x0+D x，则得f(x)= f(x0) ．这表明函数f(x)在x0连续．因此有定理．若函数y=f(x)在x0可导，则f(x)在x0连续．因此，连续性是函数可导性的必要条件．但上述命题的逆是不正确的．请看下例．例2.3.33 讨论函数在点x=0的连续性与可导性．解．因 ,,故,且f(0)=e0=1．由此可见f(x)在x=0连续．其次，为讨论f '(0)，我们需计算极限．为方便计，用x代替D x，为此我们研究极限．现在，，．由此可见，极限不存在，即f(x)在x=0不可导．你能看到，在函数y =f(x)的图像上点(1，0)处没有切线，因为在其左边有一条“半切线”，斜率是1，但在其右边有一条“半切线”，斜率是0定义．设函数y =f(x)定义在区间(a,b)内，x 0(a,b)，如果极限存在，则称此极限为f(x)在点x0处的右导数，记作f+'(x0)=．类似地，f(x)在点x0的左导数是f-'(x0)=.只有f+'(x0)与f-'(x0)都存在且相等时，f(x)在点x0才可导，且f'(xf+'(x0)=f-'(x0)．即有0)=定理．设函数f(x)在区间(a,b)内有定义，x 0(a,b)．则f '( x0)存在f-'( x0)与f+'( x0)都存在且相等．左导数与右导数统称为单侧导数.例2.3.34讨论函数在x=0的可导性．解．首先讨论f(x)在x=0 的连续性．因，，f(0)=0，故f(x)在x=0连续．其次，因，，故f(x)在x=0可导，且f'(0)=-1．注.上例中求左右导数或讨论分段函数衔接点处可导性的方法，必须首先研究函数在该点的连续性，在连续的前提下才可使用此方法，否则会出现错误．例如考虑函数此时g(x)在x=0不连续，更不可导．如果你用上例方法求左右导数：g'+(0)=-1，g'-(0)=-1，得出g'(0)=-1，那就大错特错了．事实上 , 上图中的原点并不属于函数g(x)的图像,因此,原点右侧的“半切线”是不存在的,也就是说,原点处的右导数是不存在的．1. 曲线的切线斜率我们知道，圆的切线定义为与圆相交于唯一点的直线．但对于一般曲线，切线是不能这样定义的．例如右下图中曲线在P点处的切线, 除P点外还交曲线于Q点．为确切表达切线的含义，需应用极限的思想．请看下面的动画．说明：点P(x0,f(x0))=P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的给定点．点Q(x,y)=Q(x,f(x))是曲线上的动点, 可在P的两侧：在右侧时x>x0；在左侧时x<x0．动直线PQ是曲线的割线．如果动点Q无限地逼近定点P时, 动直线PQ有一个极限位置T, 即极限则称PT为曲线在P点的切线．为确定切线PT的位置, 或建立PT的方程, 只需确定其斜率．由于PT是PQ的极限, 从而PT的斜率是PQ斜率的极限, 极限过程是由Q→P产生的．而Q→P即x→x0．设PT对于x轴的倾角(即x轴正向逆时针旋转至PT经过的角)为a, PT的斜率为k=tana．现在割线PQ的斜率为：．而切线PT的斜率为：(PQ的斜率)=,由此得切线PT的方程是：y-f(x0)=k( x-x0)．（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
高等数学微分方程试题(可编辑修改word版)
1 21 2 1 2 第十二章 微分方程§12-1 微分方程的基本概念一、判断题1.y=ce 2x (c 的任意常数)是 y ' =2x 的特解。
() 2.y=( y ') 3 是二阶微分方程。
() 3.微分方程的通解包含了所有特解。
( )4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。
（ ）5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。
（）二、填空题1.微分方程.(7x-6y)dx+dy=0 的阶数是 。
2. 函数 y=3sinx-4cosx 微分方程的解。
3. 积分曲线 y=(c +c x)e 2x 中满足 y x=0=0,y 'x=0=1 的曲线是 。
三、选择题 1. 下列方程中是常微分方程2 2 2darctan x∂ 2a ∂ 2a' 2 2（A ）、x +y =a(B)、 y+(e) = 0(C)、+=0 （D ）、 y =x +ydx2. 下列方程中是二阶微分方程∂x 2∂y 2（A ）（ y ' ）+x 2 y ' +x 2=0(B) ( y ' ) 2+3x 2y=x 3 (C) y '' +3 y ' +y=0(D) y ' -y 2=sinx3. 微分方程 d 2 y dx 2+w 2y=0 的通解是其中 c.c 1.c 2 均为任意常数 （A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx(D)y=c coswx+c sinwx2 4. C 是任意常数，则微分方程 y ' = 3y 3的一个特解是（A ）y-=(x+2)3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3四、试求以下述函数为通解的微分方程。
1. y = Cx 2 + C 2 （其中C 为任意常数）2. y = C e 2x+ C e 3x （其中C , C 为任意常数）五、质量为 m 的物体自液面上方高为 h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。
微分方程 y平方
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西南交通大学数值分析题库用复化梯形公式计算积分1()f x dx ⎰,要把区间[0,1]一般要等分 41 份才能保证满足误差小于0.00005的要求（这里(2)()1f x ∞≤）；如果知道(2)()0f x >，则 用复化梯形公式计算积分1()f x dx ⎰此实际值 大 (大，小)。
在以10((),())()(),(),()[0,1]g x f x xf x g x dx f x g x C =∈⎰为内积的空间C[0,1]中，与非零常数正交的最高项系数为1的一次多项式是 23x3. (15分)导出用Euler 法求解 (0)1y yy λ'=⎧⎨=⎩的公式, 并证明它收敛于初值问题的精确解解 Euler 公式 11,1,,,k kk xy y h y kn hnλ -----------(5分) 1011kkky h y h y λλ------------------- (10分)()11(0)nnx n x y h e h n λλλ⎛⎫=+=+→→ ⎪⎝⎭若用复化梯形求积公式计算积分1x I e dx =⎰区间[0,1]应分 2129 等分，即要计算个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过71102-⨯；若改用复化Simpson 公式，要达到同样精度区间[0,1]应分12 等分，即要计算个 25 点的函数值1．用Romberg 法计算积分 232x e dx -⎰解 []02()()2b aT f a f b -=+= 9.219524346410430E-003 10221()222b a a bT T f -+=+= 5.574989241319070E-00310022243T T S -== 4.360144206288616E-00322T = 4.499817148069681E-003 21122243T T S -== 4.141426*********E-0031002221615S S C -== 4.126845266588636E-00332T = 4.220146327817699E-00332222243T T S -== 4.126922721067038E-0032112221615S S C -== 4.125955805783515E-0031002226463C C R -== 4.125941687358037E-0032．用复合Simpson 公式计算积分232x e dx -⎰(n=5)解 44501()4()2()(),625k k h h b aS f a f a kh f a kh f b h ==⎡⎤-=++++++=⎢⎥⎣⎦∑∑5S =4.126352633630653 E-0033、 对于n+1个节点的插值求积公式()()bnk k k af x dx A f x =≈∑⎰ 至少具有 n 次代数精度. 4、 插值型求积公式()()bnk k k af x dx A f x =≈∑⎰的求积系数之和0nk k A =∑=b-a 5、 证明定积分近似计算的抛物线公式()()4()()22bab a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤≈++⎢⎥⎣⎦⎰具有三次代数精度 证明 如果具有4阶导数,则()()4()()22bab a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦⎰=)(f 2880)a b ()4(5η--([a,b])因此对不超过3次的多项式f(x)有()()4()()022bab a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤-++=⎢⎥⎣⎦⎰即()()4()()22bab a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰精确成立,对任一4次的多项式f(x)有()()4()()22bab a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤≠++⎢⎥⎣⎦⎰因此定积分近似计算的抛物线公式具有三次代数精度 或直接用定义证.6、 试确定常数A ，B ，C 和a ，使得数值积分公式22()()(0)()f x dx Af a Bf Cf a -≈-++⎰有尽可能高的代数精度。
试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型？ 解 由()1f x 得 4A B C 由()f x x 得 0aA aC由2()f x x 得 22163a A a C 由3()f x x 得 330a A a C由4()f x x 得 44645a Aa C可 得101612,,995A CB a 代数精度是5, 是Gauss 型积分公式7．1）设{})(x P n 是[0,1]区间上带权x x =)(ρ的最高次项系数为1的正交多项式系，求)(2x P2）构造如下的Gauss 型求积公式100110()()()xf x dx A f x A f x ≈+⎰解 (1) 0()1P x , 01000(,())2()()((),())3x P x P x xP x xP x P x 222012010011(,())(,())()()()((),())((),())x P x x P x P x xP x P x P x P x P x P x 123001(,())4x P x x dx ==⎰ 10001((),())2P x P x xdx ==⎰1211021((),())()336P x P x x x dx =-=⎰ 1231021(,())()330x P x x x dx =-=⎰ 22621()()532P x x x 263510x x(2) 2263()510P x x x 的两零点为016666,1010x x (即Gauss 点)1101010001109696,3636x x x x A xdx A x dx x x x x ---+====--⎰⎰ Gauss 型求积公式196669666()()()xf x dx f f --++≈+⎰ 8 用复合Simpson 公式计算：要使误差小于0.005，求积区间[0,π]应分多少个子区间？并用复合Simpson 公式求此积分值。
解 复合Simpson 公式计算的误差为 =)f (R n 4(4)b-a ()2880h f η-，[a ，b]因此只要40.0052880n ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ππ 即可.得 2.147n ,取3n32.0008632S9 试述何谓Gauss 型求积公式。
如下求积公式：是否是Gauss 型求积公式？Gauss 型求积公式是否稳定？是否收敛？(假定f(x)在积分区间上连续)解 把用[a ，b]上的n+1个节点（互不相同的）k x (k=0,1,…,n)而使数值求积公式∑==nk k k n )x (f A)f (Q的代数精确度达到2n+1，称为Gauss 型求积公式 求积公式⎰πsin xdx()()()()11141101333f x dx f f f -≈-++⎰()()()()11141101333fx dx f f f -≈-++⎰因此式的代数精确度为3，所以不是Gauss 型求积公式。
G auss 型求积公式是稳定的，也是收敛的。
10． 试述何谓Gauss 型求积公式。
并证明： ⑴ Gauss 型求积公式()()()nbk k a k x f x dx A f x ρ=≈∑⎰ 的系数0kA (这里()x ρ是权函数)⑵nk k A C ==∑ 其中C 是常数(要求写出C 的表达式)。
解 把用[a ，b]上的n+1个节点（互不相同的）k x (k=0,1,…,n)而使数值求积公式∑==nk k k n x f A f Q 0)()(的代数精确度达到2n+1，称为Gauss 型求积公式 (1)()()()nbk k a k x f x dx A f x ρ=≈∑⎰是Gauss 型求积公式，因此如果()f x 是不超过2n+1次的多项式两边应该完全相等，取201110111()()()()()()()()()()()i i n i i i i i i i n x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x -+-+⎛⎫-----= ⎪-----⎝⎭则 0()()ba x f x dx ρ<=⎰ 0()nk k i k A f x A ==∑ (2)()()()nbk k a k x f x dx A f x ρ=≈∑⎰是Gauss 型求积公式，因此代数精确度达到2n+1, 因此如果()f x 是不超过2n+1次的多项式两边应该完全相等，取 ()1f x ≡得(),()nbbk aa k A x dx C Cx dx ρρ===∑⎰⎰ 11． 证明：（1）Newton-Cotes 系数)(n kc满足如下等式：()1nn kk c ==∑(2）设n T ，2n T 分别表示把区间[a,b] n,2n 等分后复化梯形公式计算积分⎰badx x f )(，n S 表示把区间[a,b] n 等分后复化Simpson 公式计算积分⎰badx x f )(。
证明下式成立：342nn n T T S -=证明 (1) 因为 Newton-Cotes 求积公式为()()nbk k ak f x dx A f x =≈∑⎰，其中01110111()()()()()()()()()()bk k n k ak k k k k k k n x x x x x x x x x x A dx x x x x x x x x x x -+-+-----=-----⎰而Newton-Cotes 系数)(n kc满足 ()n k kA C b a因nk k A b a ==-∑，故()01nn k k c ==∑.(2) 因 ()11121()4()2()()62n n n k k k h h S f a f a f a kh f b -==-⎡⎤=+++++⎢⎥⎣⎦∑∑b ahn又因 11()2()()2n n k h T f a f a kh f b -=⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦∑2121/2()2()()22n n k h hT f a f a k f b -=⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦∑()11121()2()2()()42n nk k k h h f a f a kh f a f b -==-⎡⎤=+++++⎢⎥⎣⎦∑∑ 整理即可得 342nn n T T S -=12、若用复化梯形求积公式计算积分1xI e dx =⎰ 区间[0,1]应分 2129 等分，即要计算个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过71102-⨯；若改用复化Simpson 公式，要达到同样精度区间[0,1]应分12 等分，即要计算个 25 点的函数值。