积分微分方程word版

西南交通大学数值分析题库

用复化梯形公式计算积分

1

()f x dx ⎰,要把区间[0,1]一般要等分 41 份才能保

证满足误差小于0.00005的要求（这里(2)

()

1f x ∞

≤）

；如果知道(2)

()0f x >，则 用复化梯形公式计算积分1

()f x dx ⎰

此实际值 大 (大，小)。

在以1

0((),())()(),(),()[0,1]g x f x xf x g x dx f x g x C =

∈⎰为内积的空间C[0,1]

中，与非零常数正交的最高项系数为1的一次多项式是 2

3

x

3. (15分)导出用Euler 法求解 (0)1y y

y λ'=⎧⎨=⎩

的公式, 并证明它收敛于初值问题的精确

解

解 Euler 公式 1

1,1,

,,k k

k x

y y h y k

n h

n

λ -----------(5分) 1

011k

k

k

y h y h y λλ

------------------- (10分)

()

11(0)n

n

x n x y h e h n λλλ⎛⎫=+=+→→ ⎪⎝

⎭

若用复化梯形求积公式计算积分1

x I e dx =

⎰

区间[0,1]应分 2129 等分，即要

计算个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过

71

102

-⨯；若改用复化Simpson 公式，要达到同样精度区间[0,1]应分12 等分，即要计算个 25 点的函数值

1．用Romberg 法计算积分 2

3

2

x e dx -⎰

解 []02()()2b a

T f a f b -=

+= 9.219524346410430E-003 10221()222

b a a b

T T f -+=+= 5.574989241319070E-003

10

022243

T T S -=

= 4.360144206288616E-003

22T = 4.499817148069681E-003 21

122243

T T S -=

= 4.141426*********E-003

10

02221615

S S C -=

= 4.126845266588636E-003

32T = 4.220146327817699E-003

32

222243

T T S -=

= 4.126922721067038E-003

21

12221615S S C -=

= 4.125955805783515E-003

10

02226463

C C R -=

= 4.125941687358037E-003

2．用复合Simpson 公式计算积分

2

3

2

x e dx -⎰

(n=5)

解 44

501()4()2()(),625k k h h b a

S f a f a kh f a kh f b h ==⎡⎤-=++++++=⎢⎥⎣⎦

∑∑

5S =4.126352633630653 E-003

3、 对于n+1个节点的插值求积公式

()()b

n

k k k a

f x dx A f x =≈∑⎰ 至少具有 n 次代数精度. 4、 插值型求积公式

()()b

n

k k k a

f x dx A f x =≈∑⎰的求积系数之和0n

k k A =∑=b-a 5、 证明定积分近似计算的抛物线公式

()()4()()22b

a

b a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤

≈

++⎢⎥⎣⎦

⎰

具有三次代数精度 证明 如果具有4阶导数,则

()()4()()22b

a

b a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤

-++⎢⎥⎣⎦

⎰

=)(f 2880)a b ()4(5η--

(

[a,b])

因此对不超过3次的多项式f(x)有

()()4()()022b

a

b a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤

-

++=⎢⎥⎣⎦

⎰

即

()()4()()22b

a

b a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤

=

++⎢⎥⎣⎦⎰

精确成立,对任一4次的多项式f(x)有

()()4()()22b

a

b a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤≠

++⎢⎥⎣⎦

⎰

因此定积分近似计算的抛物线公式具有三次代数精度 或直接用定义证.

6、 试确定常数A ，B ，C 和a ，使得数值积分公式

2

2()()(0)()f x dx Af a Bf Cf a -≈-++⎰

有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型？ 解 由()1f x 得 4A B C 由()f x x 得 0aA aC

由2()f x x 得 22163a A a C 由3()f x x 得 330a A a C

由4()

f x x 得 4464

5

a A

a C

可 得101612,,995

A C

B a 代数精度是5, 是Gauss 型积分公式

7．1）设{})(x P n 是[0,1]区间上带权x x =)(ρ的最高次项系数为1的正交多项式系，求

)(2x P

2）构造如下的Gauss 型求积公式1

00110()()()xf x dx A f x A f x ≈+⎰

解 (1) 0()

1P x , 01000(,())

2()

()

((),())

3

x P x P x x

P x x

P x P x 222

012010011

(,())

(,())()

()

()((),())

((),())x P x x P x P x x

P x P x P x P x P x P x 12

3

00

1

(,())4x P x x dx =

=

⎰ 1000

1

((),())2

P x P x xdx ==⎰