《空间中直线与直线的位置关系》习题资料
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系--讲义练习及答案
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1.A 如图，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH ，MN 是异面直线的图形的序号为( )A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④2.A 如图，已知AA'，BB'，CC'不共面，且AA'∥BB'，AA'=BB'，BB'∥CC'，BB'=CC'． 求证：△ABC ≌△A'B'C'．3.B 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1BC =，11BB =，P 是AB 的中点， 则异面直线1BC 与PD 所成角等于( )A.o 30B. o 45C. o 60D. o 904.B 平面α平面,,,a b b a A c βαβ=⊂=⊂且c ∥a ，求证：b 、c 是异面直线．④ ③ ② ①金题精讲1.B 如图所示，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，G 、H 、I 、J 分别为AF 、AD 、BE 、DE 的中点，将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为_______.2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系参考答案1.D.2.∵AA'∥BB'，AA'=BB'，∴AA' B'B 为平行四边形，∵BB'∥CC'，BB'=CC'，∴BB' C'C 为平行四边形，∴AB ∥A'B'，AB =A'B'，BC ∥B'C'，BC =B'C'，由等角定理易知∠ABC =∠A'B'C'，在△ABC 和△A'B'C'中，AB =A'B'，∠ABC =∠A'B'C'，BC =B'C'，∴△ABC ≌△A'B'C'，结论得证.3.C.4.若b 、c 不是异面直线，则b 、c 共面，则直线b 与直线c 平行或相交，由题易知c ∥a ，b a A =，故直线b 与直线c 不平行，若直线b 与直线c 相交，交点为B ，则B c ∈，所以B β∈，由题易知a β⊂，A a ∈，所以A β∈，所以直线AB β⊂，又因为A b ∈，B b ∈， 所以直线AB 即为直线b ， 则b β⊂，与条件矛盾，所以b 、c 是异面直线，结论得证.金题精讲1.60°。
空间中直线及直线之间的位置关系附答案
空间中直线与直线之间的位置关系[学习目标]1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题.知识点一空间中两条直线的位置关系1.异面直线(1)定义：不同在任何一个平面的两条直线叫做异面直线.要点分析：①异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行.②不能误认为分别在不同平面的两条直线为异面直线.如图中，虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线.(2)画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感.如图所示，a与b为异面直线.(3)判断方法方法容定义法依据定义判断两直线不可能在同一平面定理法过平面外一点与平面一点的直线和平面不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用)反证法假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线2.空间中两条直线位置关系的分类(1)按两条直线是否共面分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点平行直线：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)按两条直线是否有公共点分类 ⎩⎪⎨⎪⎧有且仅有一个公共点——相交直线无公共点⎩⎨⎧平行直线异面直线思考 (1)分别在两个平面的两条直线一定是异面直线吗？ (2)两条垂直的直线必相交吗？ 答 (1)不一定.可能相交、平行或异面. (2)不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直. 知识点二 公理4(平行公理) 文字语言 平行于同一条直线的两条直线互相平行，这一性质叫做空间平行线的传递性符号语言⎭⎬⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b图形语言知识点三 空间等角定理 1.定理文字语言 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 符号语言OA ∥O ′A ′，OB ∥O ′B ′⇒∠AOB ＝∠A ′O ′B ′或∠AOB ＋∠A ′O ′B ′＝180°图形语言作用判断或证明两个角相等或互补2.推广如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 思考如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？答不一定.这两条直线可能相交、平行或异面知识点四异面直线所成的角1.概念：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).2.异面直线所成的角θ的取值围：0°＜θ≤90°.3.如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b.4.异面直线所成的角的两种求法(1)在空间任取一点O，过点O分别作a′∥a，b′∥b，则a′与b′所成的锐角(或直角)为异面直线a与b所成的角，然后通过解三角形等方法求角.(2)在其中一条直线上任取一点(如在b上任取一点)O，过点O作另一条直线的平行线(如过点O作a′∥a)，则两条直线相交所成的锐角(或直角)为异面直线所成的角(如b与a′所成的角)，然后通过解三角形等方法求角(如图).题型一空间两条直线的位置关系的判定例1 若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A.平行B.异面C.相交D.平行、相交或异面答案 D解析 可借助长方体来判断.如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，A ′D ′所在直线为a ，AB 所在直线为b ，已知a 和b 是异面直线，b 和c 是异面直线，则c 可以是长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中的B ′C ′，CC ′，DD ′.故a 和c 可以平行、相交或异面.跟踪训练1 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是________； (2)直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是________； (3)直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是________； (4)直线AB 与直线B 1C 的位置关系是________. 答案 (1)平行 (2)异面 (2)相交 (4)异面 解析 序号 结论 理由(1) 平行 因为A 1D 1綊BC ，所以四边形A 1BCD 1为平行四边形，所以A 1B ∥D 1C(2) 异面 A 1B 与B 1C 不同在任何一个平面(3) 相交 D 1D ∩D 1C ＝D 1(4) 异面AB 与B 1C 不同在任何一个平面题型二 公理4、等角定理的应用例2E ，F 分别是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱A 1A ，C 1C 的中点，求证：四边形B 1EDF 是平行四边形.证明 设Q 是DD 1的中点， 连接EQ ，QC 1. 因为E 是AA 1的中点， 所以11//D A EQ .又因为在矩形A 1B 1C 1D 1中，1111//C B D A ，所以11//C B EQ .所以四边形EQC 1B 1为平行四边形.所以Q C E B 11//. 又因为Q ，F 分别是矩形DD 1C 1C 两边D 1D ，C 1C 的中点， 所以F C QD 1//.所以四边形DQC 1F 为平行四边形. 所以FD Q C //1.又因为Q C E B 11//，所以FD E B //1. 所以四边形B 1EDF 为平行四边形.跟踪训练2如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)若四边形EFGH 是矩形，求证：AC ⊥BD . 证明 (1)在△ABD 中， ∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴EH ∥BD .同理FG ∥BD ，则EH ∥FG . 故E ，F ，G ，H 四点共面. (2)由(1)知EH ∥BD ，同理AC ∥GH . 又∵四边形EFGH 是矩形， ∴EH ⊥GH .故AC ⊥BD .题型三 异面直线所成的角例3 如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成的角. 解 如图，取BD 的中点G ，连接EG ，FG . 因为E ，F 分别为BC ，AD 的中点，AB ＝CD ，所以EG ∥CD ，GF ∥AB ，且EG ＝12CD ，GF ＝12AB .所以∠GFE 就是EF 与AB 所成的角或其补角，EG ＝GF . 因为AB ⊥CD ，所以EG ⊥GF .所以∠EGF ＝90°. 所以△EFG 为等腰直角三角形.所以∠GFE ＝45°，即EF 与AB 所成的角为45°.跟踪训练3 空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 与AB 所成角的大小.解 取AC 的中点G ，连接EG ，FG ， 则EG //12AB ，GF //12CD .故直线GE ，EF 所成的锐角即为AB 与EF 所成的角， 直线GE ，GF 所成的锐角即为AB 与CD 所成的角. ∵AB 与CD 所成的角为30°，∴∠EGF ＝30°或150°. 由AB ＝CD ，知EG ＝FG ，∴△EFG 为等腰三角形. 当∠EGF ＝30°时，∠GEF ＝75°； 当∠EGF ＝150°时，∠GEF ＝15°. 故EF 与AB 所成的角为15°或75°.转化与化归思想例5 在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2a ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，EF ＝3a ，求异面直线AD ，BC 所成的角.分析 要求异面直线AD ，BC 所成的角，可在空间中找一些特殊点，将AD ，BC 平移至一个三角形中.此题已知E ，F 分别为AB ，CD 的中点，故可寻找一边中点，如BD 的中点M ，则∠EMF (或其补角)为所求角.解 如图，取BD 的中点M .由题意，知EM 为△BAD 的中位线， 所以EM ∥AD 且EM ＝12AD .同理，MF ∥BC 且MF ＝12BC .所以EM ＝a ，MF ＝a ，且∠EMF (或其补角)为所求角. 在等腰△MEF 中，取EF 的中点N ， 连接MN ，则MN ⊥EF . 又因为EF ＝3a ， 所以EN ＝32a .故有sin ∠EMN ＝EN EM ＝32. 所以∠EMN ＝60°，所以∠EMF ＝2∠EMN ＝120°. 因为∠EMF ＝120°＞90°，所以AD ，BC 所成的角为∠EMF 的补角， 即AD 和BC 所成的角为60°.反证法的合理应用例6 如图，三棱锥P －ABC 中，E 是PC 上异于点P 的点.求证：AE 与PB 是异面直线.分析 利用定义直接证明，即从不同在任何一个平面中的“任何”开始入手，一个平面一个平面地寻找是不可能实现的，因此必须找到一个间接证法来证明，反证法即是一种行之有效的方法.证明假设AE与PB不是异面直线，设AE与PB都在平面α，因为P∈α，E∈α，所以PE⊂α.又因为C∈PE，所以C∈α.所以点P，A，B，C都在平面α.这与P，A，B，C不共面(P－ABC是三棱锥)矛盾.于是假设不成立，所以AE与PB是异面直线.1.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A.共面B.平行C.异面D.平行或异面2.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交3.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线()A.有无数条B.有两条C.至多有两条D.有一条4.如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________.(填序号)5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为________.一、选择题1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A.一定平行B.一定相交C.一定异面D.相交或异面2.已知空间两个角α，β，α与β的两边对应平行，且α＝60°，则β等于()A.60°B.120°C.30°D.60°或120°3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线BA1与CC1所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°4.下面四种说法：①若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；②若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交；③若a∥b，则a、b与c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确的个数是()A.4B.3C.2D.15.空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是()A.梯形B.矩形C.平行四边形D.正方形6.若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8,12，则过AB的中点E且平行于BD，AC的截面四边形的周长为()A.10B.20C.8D.47.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()1与B1E是异面直线B.C1C与AE共面C.AE与B1C1是异面直线D.AE与B1C1所成的角为60°二、填空题8.在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对.9.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论中正确的序号为________.10.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角为______.三、解答题11.如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA ＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值.12.如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且有AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)证明：E，F，G，H四点共面；(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD，试证明：EG＝FH.当堂检测答案1.答案 D解析 若直线a 和b 共面，则由题意可知a ∥b ；若a 和b 不共面，则由题意可知a 与b 是异面直线.2.答案 B解析 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1与BC 是异面直线，又AA 1∥BB 1，AA 1∥DD 1，显然BB 1∩BC ＝B ，DD 1与BC 是异面直线，故选B.3.答案 A解析 我们现在研究的平台是锥空间.如图所示，过点P 作直线l ′∥l ，以l ′为轴，与l ′成30°角的圆锥面的所有母线都与l 成30°角.4.答案 ②④解析 ①中，∵G ，M 是中点，∴AG 綊BM ，∴GM 綊AB 綊HN ，∴GH ∥MN ，即G ，H ，M ，N 四点共面；②中，∵H ，G ，N 三点共面，且都在平面HGN ，而点M 显然不在平面HGN ，∴H ，G ，M ，N 四点不共面，即GH 与MN 异面；③中，∵G ，M 是中点，∴GM 綊12CD ，∴GM 綊12HN ，即GMNH 是梯形，则HG ，MN 必相交，∴H ，G ，M ，N 四点共面；④中，同②，G ，H ，M ，N 四点不共面，即GH 与MN 异面.5.答案 13 解析 设棱长为1，因为A 1B 1∥C 1D 1，所以∠AED 1就是异面直线AE 与A 1B 1所成的角.在△AED 1中，cos ∠AED 1＝D 1E AE ＝1232＝13.课时精练答案一、选择题1.答案 D解析 可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾).2.答案 D解析 由等角定理，知β与α相等或互补，故β＝60°或120°.3.答案 B解析 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1∥CC 1，故∠B 1BA 1就是异面直线BA 1与CC 1所成的角，故为45°.4.答案 D解析 若a 、b 异面，b 、c 异面，则a 、c 相交、平行、异面均有可能，故①不对.若a 、b 相交，b 、c 相交，则a 、c 相交、平行、异面均有可能，故②不对.若a ⊥b ，b ⊥c ，则a 、c 平行、相交、异面均有可能，故④不对.③正确.5.答案 D解析 如图，因为BD ⊥AC ，且BD ＝AC ，又因为E ，F ，G ，H 分别为对应边的中点，所以FG //EH //12BD ，HG //EF //12AC .所以FG ⊥HG ，且FG ＝HG .所以四边形EFGH 为正方形.6.答案 B解析 设截面四边形为EFGH ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，∴EF ＝GH ＝12AC ＝4，FG ＝HE ＝12BD ＝6，∴周长为2×(4＋6)＝20. 7.答案 C解析 由于CC 1与B 1E 都在平面C 1B 1BC ，故C 1C 与B 1E 是共面的，所以A 错误；由于C 1C 在平面C 1B 1BC ，而AE 与平面C 1B 1BC 相交于E 点，点E 不在C 1C 上，故C 1C 与AE 是异面直线，B 错误；同理AE 与B 1C 1是异面直线，C 正确；而AE 与B 1C 1所成的角就是AE 与BC 所成的角，E 为BC 中点，△ABC 为正三角形，所以AE ⊥BC ，D 错误.综上所述，故选C.二、填空题8.答案 8解析 以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD 是平面图形，4条边在同一平面，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线.9.答案 ①③解析 把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，AB ⊥EF ，EF 与MN 是异面直线，AB ∥CM ，MN ⊥CD ，只有①③正确.10.答案 60°解析 连接BC 1，A 1C 1，∵BC 1∥AD 1，∴异面直线A 1B 与AD 1所成的角即为直线A 1B 与BC 1所成的角.在△A 1BC 1中，A 1B ＝BC 1＝A 1C 1，∴∠A 1BC 1＝60°，故异面直线A1B与AD1所成的角为60°.三、解答题11.解取AC的中点F，连接EF，BF，在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD，∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角).在Rt△ABC中，BC＝2，AB＝AC，∴AB＝AC＝1，在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝12AD＝12，∴BE＝52.在Rt△AEF中，AF＝12AC＝12，AE＝12，∴EF＝22.在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝12，∴BF＝52.在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝12EFBE＝2452＝1010，∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为1010.12.(1)证明因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.又因为CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥DB.所以EH∥FG.所以E，F，G，H四点共面.(2)解当且仅当EH∥FG，EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形. 因为EHBD＝AEAE＋EB＝mm＋1，所以EH＝mm＋1BD.同理FG＝nn＋1BD，由EH＝FG，得m＝n.故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形. (3)证明当m＝n时，AE∶EB＝CF∶FB，所以EF∥AC.又因为AC⊥BD，而∠FEH是AC与BD所成的角，所以∠FEH＝90°，从而平行四边形EFGH为矩形，所以EG＝FH.。
必修2《2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系》课后导练含解析.doc
课后导练基础达标1两条异面直线的公垂线指的是（）A.和两条异面直线都垂直的直线B.和两条异面直线都垂直相交的直线C.和两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段D.和两条异面直线都垂直的所有直线解析：两异面直线的公垂线必须满足两个条件：（1）与两异面直线都垂直；（2）都相交. 答案：B2两条直线a、b分别和异面直线c、d都相交，则直线a、b的位置关系是（）A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.可能是平行直线D.可能是异面直线，也可能是相交直线解析：a与b可能异面〔图①〕也可能相交〔图②〕.答案：D3一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是（）A.平行B.相交C.异面D.相交或异面解析：已知a与b异面，a∥l,则l与b相交或异面（如图）.答案：D4分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是…（）A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能解析：如图正方体中：AB与BC相交；AB与CD异面；AE∥CD.答案：D5长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（）A.2对B.3对C.6对D.12对解析：长方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线AC1成异面直线的棱有：BB1；BC；A1B1；A1D1；DD1；DC.答案：C6四面体PABC中，PA⊥BC，E、F分别为PC、AB的中点，若EF与PA、BC成的角分别为α、β，则α+β等于（）A.30°B.60°C.90°D.45°解析：如图取PB的中点D，连结DE、DF.∵E、F分别为PC、AB中点，∴DF∥PA,DE∥BC.∵PA⊥BC,∴∠EDF=90°,又∠DEF=β,∠DFE=α,∴α+β=90°,故选C.答案：C7“a、b是异面直线”是指（）①a∩b=∅且a不平行于b ② a⊂平面α，b⊂平面β且a∩b=∅③ a⊂平面α，b⊄平面α④不存在平面α，使a⊂α且b⊂α成立A.①②B.①③C.①④D.③④解析：由异面直线的定义知：这两条直线不同在任何一个平面内，即它们既不平行，也不相交，应选①④.答案：C8如图，已知不共面的直线a、b、c相交于O点，M、P是直线a上的两点，N、Q分别是直线b、c上的一点.求证：MN和PQ是异面直线.证明：假设MN和PQ共面于α，则M∈α,P∈α,又M∈α,P∈α,∴a⊂α,又a∩b=O,∴O∈α又N∈α,且O∈b,N∈b,∴b⊂α,∴a与b都在平面α内，同理，可证C也在α内，与a,b,c不共面矛盾.所以假设错误，故MN与PQ是异面直线.综合应用9把两条异面直线看成“一对”，正六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有________对.解析：如图，若成异面直线，则必是底边与侧棱各取一条，在底面上任取一条，如AB其异面直线为PF，PE，PD，PC共4对，∴4×6=24对.答案：2410一条直线和这条直线外不共线的三个点，能够确定平面的个数是（ ） A.1 B.4 C.3 D.1或3或4解析：有三种情况：①直线与三点共一个面；②直线与三个点分别组成平面，则有三个；③在②的基础上，这三个点确定一个面，则有４个.选D. 答案：D11已知:a 、b 是异面直线，a 上有两点A 、B ，距离为8，b 上有两点C 、D ，距离为6，BD 、AC 的中点分别为M 、N ，且MN=5，求证：a ⊥b.证明：如图所示，连结BC ，取BC 的中点P ，连MP 、NP. 在四边形ABCD 中，MP 是中位线， ∴MP ∥DC,且MP=21DC=3.同理，NP ∥AB 且NP=21AB=4, 在△PMN 中，∵MP 2+NP 2=42+32=52=MN 2,∴MP ⊥NP,即MP 和NP 所成的角为90°. ∴MP ∥CD,NP ∥AB,∴MP 和NP 所成的角等于a,b 所成的角, ∴a,b 所成的角为90°，∴a ⊥b. 拓展探究12如图，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为D 1C 1、B 1C 1的中点，AC∩BD=P,A 1C 1∩EF=Q,求证：（1）D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若A 1C 交平面DBFE 于R 点，则P 、Q 、R 三点共线. 证明：（1）∵EF 是△C 1D 1B 1的中位线， ∴EF ∥B 1D 1.在正方体AC 1中，B 1D 1∥BD, ∴EF ∥BD,∴EF 和BD 可确定一个平面，即D 、B 、E 、F 四点共面. （2）正方体AC 1中，设A 1ACC 1确定的平面为α, 又设平面DBFE 为β. ∵Q ∈A 1C 1,∴Q ∈α.又Q ∈EF,∴Q ∈β.∴Q 是α与β的公共点. 同理，P 点也是α与β的公共点， ∴α∩β=PQ.又∵A 1C∩β=R,∴R ∈α.又∵R ∈β,∴R ∈α∩β=PQ. 故P 、Q 、R 三点共线.。
人教版数学高一-人教A版必修2练习 空间中直线与直线之间的位置关系
2．1.2空间中直线与直线之间的位置关系基础梳理1．空间两条直线的位置关系．空间两条直线的位置关系有且只有三种．(1)从是否有公共点的角度来分：⎩⎪⎨⎪⎧没有公共点⎩⎪⎨⎪⎧平行异面有且仅有一个公共点相交(2)从是否共面的角度来分：⎩⎪⎨⎪⎧在同一平面内⎩⎪⎨⎪⎧平行相交不同在任何一平面内——异面练习1：三棱锥的六条棱可组成多少对异面直线？答案：三对2．异面直线．(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．(2)画法：图形表示为如图所示(通常用一个或两个平面衬托)．3．平行公理(公理4)．文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行的传递性．符号表述： ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c ．4．等角定理．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．5．异面直线所成的角．(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围：(0°，90°]．(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b．练习2：两条直线在同一个平面上，它们的位置关系是什么？答案：平行或相交►思考应用1．分别在两个平面内的两条直线是异面直线吗？解析：从图中可以看出a，b虽然在两个平面内，但是它们相交或平行，是共面直线．2．对于等角定理中在什么情况下相等、互补？解析：如图，AB∥A1B1，BC∥B1C1，对于∠ABC与∠A1B1C1两个角的方向相同，这两个角相等；对于∠ABC与∠E1B1C1两个角的方向不同，这两个角互补，即∠ABC＋∠E1B1C1＝180°.3．如下定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O有无限制条件？已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的角(或补角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．解析：在这个定义中，空间中有一点是任意取的，若在空间中，再取一点O′，过点O′作a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角(或直角)和a′与b′所成的锐角(或直角)相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角(或直角)都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性．注意：有时，为了方便，可将点O取在a或b上．自测自评1．下列说法中正确的是(B)A．不在一个平面内的两条直线是异面直线B．若两条直线不是异面直线，则这两条直线平行或相交C．直线a与直线c异面，直线b与直线c异面，则直线a与直线b异面D．两条直线垂直则这两条直线一定相交解析：A，C，D不正确，故选B.2．空间任意两个角α，β，且α与β的两边对应平行，α＝60°，则β为(D)A．60°B．120°C．30°D．60°或120°解析：α与β相等或互补，β为60°或120°，故选D.3．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b(C)A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线解析：c与b可以相交，也可以异面，故选C.4．分别在两个平面内的两条直线的位置关系是(D)A．异面B．平行C．相交D．以上都有可能解析：∵两个平面的位置不确定，∴两条直线的位置关系不确定，题型一空间直线位置关系的判定题型二证明两直线是异面直线题型三求异面直线所成的角基础达标1．如果两条直线a和b没有公共点，则a和b(D)A．共面B．平行C．异面D．平行或异面解析：a和b无公共点，两直线的位置关系为平行或异面．2．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为(D) A．90°B．45°C．60°D．30°3．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体的位置关系是(D)A．平行B．相交且垂直C．异面D．相交成60°角解析：把展开图还原到直观图，如图所示，连接AC，△ABC为等边三角形，AB与CD相交成60°角．4．如图所示，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点．将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为(B)A．90°B．60°C．45°D．0°解析：将三角形折成三棱锥如图所示B点、C点均与A点重合，HG与IJ为一对异面直线．在三棱锥ADEF中，IJ綊12AD，HG綊12DF，所以∠ADF即为所求，可知△ADF为等边三角形，所以HG与IJ所成角为60°.5．对于平面α外的任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l(D)A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线6．在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为________．答案：60°巩固提升7．如图，空间四边形SABC中各边及对角线长都相等，若E，F分别为SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于(C)A．90°B．60°C．45°D．30°解析：求EF与SA所成的角，可把SA平移，使其角的顶点在EF上，为此取SB的中点G，连接GE，GF，AE.如图，由三角形中位线定理，得GE＝12BC，GF＝12SA，且GE ∥BC ，GF ∥SA ，则∠GFE 就是EF 与SA 所成的角(或补角)．若设此空间四边形边长为a ，那么GF ＝GE ＝12a ，EA ＝32a ， EF ＝EA 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2＝22a ， 因此△EFG 为等腰直角三角形，∠EFG ＝45°，所以EF 与SA 所成的角为45°.8．如图，a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，E ，F 分别是线段AC 和BD 的中点，判断EF 和a ，EF 和b 的位置关系，并证明你的结论．解析：假设EF 和a 共面，设这个平面为α，则EF ⊂α，a ⊂α，∴A ，B ，E ，F ∈α，∴BF ⊂α，AE ⊂α.又∵C ∈AE ，D ∈BF ，∴C ，D ∈α.于是b ⊂α.从而a ，b 共面于α，这与题设条件a ，b 是异面直线相矛盾． ∴EF 和a 共面的假设不成立．∴EF 和a 是异面直线．同理可得EF 和b 也是异面直线．9．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1的中点．(1)求直线AB1和CC1所成的角的大小；(2)求直线AB1和EF所成的角的大小．解析：(1)连接DC1，∵DC1∥AB1，∴DC1和CC1所成的锐角∠CC1D就是AB1和CC1所成的角．∵∠CC1D＝45°，∴AB1和CC1所成的角为45°.(2)连接DA1，A1C1.∵EF∥A1D，AB1∥DC1，∴∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角．∵△A1DC1是等边三角形，∴∠A1DC1＝60°.即直线AB1和EF所成的角为60°.1．异面直线的对数用分类的方式记数．2．异面直线所成的角不可能为钝角．3．求异面直线所成角一般先平移到两条直线相交后求夹角．。
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 Word版含答案
第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系学习目标(1)了解空间中两条直线的位置关系;(2)理解异面直线的概念、画法,培养学生的空间想象能力;(3)理解并掌握公理4;(4)理解并掌握等角定理;(5)异面直线所成角的定义、范围及应用.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:平面内两条直线的位置关系有哪几种?问题2:平面内不平行的两直线必相交,问空间内还成立否?二、自主探索,尝试解决六角螺母中(图1),两条路线AB,CD既不平行,又不相交(非平面问题).图2中的两条直线也是既不平行,又不相交.三、信息交流,揭示规律1.异面直线的定义:2.异面直线的画法3.空间两直线的位置关系按平面基本性质分按公共点个数分4.异面直线所成的角①公理4:②定理(等角定理):四、运用规律,解决问题【例1】右图长方体中(1)说出以下各对线段的位置关系.①EC和BH是直线;②BD和FH是直线;③BH和DC是直线;(2)与棱AB所在直线异面的棱共有条.【例2】如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D'.(1)哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线?(2)直线BA'和CC'的夹角是多少?(3)哪些棱所在直线与直线AA'垂直?【例3】如图,正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求(1)BE与CG所成的角;(2)FO与BD所成的角.五、变式演练,深化提高1.已知a,b,c是三条直线,且a∥b,a与c的夹角为θ,那么b与c夹角为.2.判断:(1)两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线互相平行.()(2)两条直线和第三条直线垂直,则这两条直线互相平行.()(3)两条直线和第三条直线平行,则这两条直线互相平行.()3.如图,已知空间四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH是什么四边形,并证明你的结论.4.如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB=2,AD=2,AE=2.(1)求BC和EG所成的角.(2)求AE和BG所成的角.六、反思小结,观点提炼请同学们互相交流一下你在本课学习中的收获.七、作业精选,巩固提高课本P11习题1.1A组5.课本习题2.1A组第1,2,3,4题.参考☆答案☆三、1.不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.2.画异面直线时,为了体现它们不共面的特点,常借助一个或两个平面来衬托.3.按平面基本性质分:(1)同在一个平面内:相交直线、平行直线;(2)不同在任何一个平面内:异面直线.按公共点个数分:(1)有一个公共点:相交直线;(2)无公共点:平行直线、异面直线.注1:两直线异面的判别一:两条直线既不相交又不平行.两直线异面的判别二:两条直线不同在任何一个平面内.4.①公理4:在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行.——平行线的传递性推广:在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行.②定理(等角定理):空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.异面直线所成角的定义:如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O直线a'∥a,b'∥b 则把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).异面直线所成的角的范围为(0°,90°].注2:如果两条异面直线a,b所成的角为直角,我们就称这两条直线互相垂直,记为a⊥b.注3:在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等.四、【例1】(1)①相交②平行③异面(2)4【例2】解:(1)由异面直线的定义可知,棱AD,DC,CC',DD',D'C',B'C'所在直线分别与BA'是异面直线.(2)由BB'∥CC'可知,∠B'BA'是异面直线BA'和CC'的夹角,∠B'BA'=45°,所以直线BA'和CC'的夹角为45°.(3)直线AB,BC,CD,DA,A'B',B'C',C'D',D'A'分别与直线AA'垂直.【例3】解:(1)如图,∵CG∥BF,∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角,又△BEF中∠EBF=45°,所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH,∵HD∥EA∥FB,∴HD∥FB,∴四边形HFBD为平行四边形,∴HF∥BD,∴∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角.连接HA,AF,易得FH=HA=AF,∴△AFH为等边三角形,又依题意知O为AH中点,∴∠HFO=30°,即FO与BD所成的角为30°.注4:求异面直线的步骤是:“一作(找)二证三求”.五、1.θ2.(1)×(2)×(3)√3.解:四边形EFGH是平行四边形.证明如下:连接BD,∵E,H分别是AB,AD的中点,∴EH是△ABD的中位线,∴EH∥BD,且EH=BD,同理,FG∥BD,且FG=BD,∴EH∥FG,且EH=FG,∴四边形EFGH是平行四边形.4.(1)45°(2)60°六、异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.空间两直线的位置关系:相交直线、平行直线、异面直线.异面直线的画法:用平面来衬托.异面直线所成的角:平移,转化为相交直线所成的角.公理4(平行公理):在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理:空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.异面直线所成角的求法:一作(找)二证三求.。
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
解：N1为AA1中点， ∵ NN1 BC
平移相交 D1
∴ CN∥BN1
∴ CN与B1M所成的角就
∵是B⊿NA1与BNB11≌M⊿所M成B的B1角 ∴
判断 A1 N
N1
C1 B1
∠BOM=∠ABN1+∠BMB1
=90°
求解 A
D
O
MB
C
∴ CN与B1M所成的角为
90°
求异面直线所成角的基本步骤：平移相交、判断、求解
小结
（1）了解空间中两条直线的位置关系； （2）理解异面直线的概念、画法； （3）理解并掌握等角定理； （4）异面直线所成角的定义、范围
作业
P52 习题B组1（2）
平移与另一条相交所成的锐角（或直角）叫做异
面直线a与b所成的角（或夹角）。
b
a
b
a
异面直线所成的角的范围：（0°，90°]
定义：如果两条异面直线所成的角是直角，就说 这两条异面直线互相垂直,记作：a⊥b.
例2：在正方体AC1中，AB的中点为M，与DD1的 中点为N，则B1M与CN所成的角为（ ） A 0° B 45° C 60° D 90°
（2）哪些棱所在直线与直线B1C是异面直线？
D1
C1
A1
B1
D A
C B
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b c∥b
a∥c
平行线的传递性
作用：判断空间两条直线平行的依据。
a
bc
例1：如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H 分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边
形EFGH是平行四边形。
A
空间中直线与直线之间的位置关系习题课.ppt
C
A
O
B
A A
O
O
用平面去截球体，截面 做题时画上图
是一个圆-----截面圆.
所示截面图
球内切于正方体
球外接于长方体
球与长方体的各条棱相切
若正方体的棱长为 a，则
⑴正方体的内切球直径＝ a
⑵正方体的外接球直径＝ 3a
⑶与正方体所有棱相切的球直径＝ 2a
2.1.2 空间中直线与直线
之间的位置关系
G F
C B
二、判断 1）分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。错
2）a α,b α,则a,b一定异面。 错
3）a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c是 异面直线。错 4）a与b是共面，b与c是共面，则a与c共面。 错
3. 分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（
A.异面
B.平行
D）
E
依题意知O为AH中点，
O
D
∴∠HFO=30,
∴FO与BD所成的夹角是30°.A
G F
C B
如图所示，点A是△BCD所在平面外一点，AD ＝BC，E，F分别是AB，CD的中点，当EF＝ 22AD时，求异面直线AD和BC所成的角．
AD
＝
G
解：如图所示，设G为AC的中点，连接EG，FG. ∵E，F，G分别为AB，CD，AC的中点． ∴EG∥BC，且EG＝12BC； FG∥AD，且FG＝12AD.
借助长方体 模型分析.
3.已知直线a，b，c，下列三个命题： ①若a 与 b异面，b 与c 异面，则a 与 c 异
面；
②若a∥b，a 和c 相交，则 b 和 c 也相交；
③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.A
其中A．，0正确命B题．的1 个数是C(．2 ) D．3
高中数学空间中直线与直线之间的位置关系练习题含答案
高中数学空间中直线与直线之间的位置关系练习题含答案一、基础过关1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是()A ．异面B ．平行C ．相交D ．以上都有可能2．若AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，则有()A ．∠BAC ＝∠B ′A ′C ′B ．∠BAC ＋∠B ′A ′C ′＝180°C ．∠BAC ＝∠B ′A ′C ′或∠BAC ＋∠B ′A ′C ′＝180°D ．∠BAC ＞∠B ′A ′C ′3．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A ．空间四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形4．“a 、b 为异面直线”是指：①a ∩b ＝∅，且aD \∥b ；②a ⊂面α，b ⊂面β，且a ∩b ＝∅；③a ⊂面α，b ⊂面β，且α∩β＝∅；④a ⊂面α，b ⊄面α；⑤不存在面α，使a ⊂面α，b ⊂面α成立．上述结论中，正确的是()A ．①④⑤B ．①③④C ．②④D ．①⑤5．如果两条直线a 和b 没有公共点，那么a 与b 的位置关系是________．6．已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中：(1)BC ′与CD ′所成的角为________；(2)AD 与BC ′所成的角为________．7．如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？8．如图，正方体ABCD －EFGH 中，O 为侧面ADHE 的中心，求：(1)BE 与CG 所成的角；(2)FO 与BD 所成的角．二、能力提升9.如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是()A ．MN ≥12(AC ＋BD )B ．MN ≤12(AC ＋BD )C ．MN ＝12(AC ＋BD )D ．MN <12(AC ＋BD )10．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线()A ．12对B ．24对C ．36对D ．48对11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°；③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD .以上结论中正确的序号为________．12．已知A 是△BCD 平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．三、探究与拓展13．已知三棱锥A —BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M 、N 分别是BC 、AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角．答案1．D2．C 3．B 4．D 5.平行或异面6．(1)60°(2)45°7．(1)证明由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解由BE 綊12AF ，G 为FA 中点知，BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG .由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．8．解(1)如图，∵CG ∥BF ，∴∠EBF (或其补角)为异面直线BE 与CG 所成的角，又△BEF 中，∠EBF ＝45°，所以BE 与CG 所成的角为45°.(2)连接FH ，BD ，FO ，∵HD 綊EA ，EA 綊FB ，∴HD 綊FB ，∴四边形HFBD 为平行四边形，∴HF ∥BD ，∴∠HFO (或其补角)为异面直线FO 与BD 所成的角．连接HA 、AF ，易得FH ＝HA ＝AF ，∴△AFH 为等边三角形，又依题意知O 为AH 中点，∴∠HFO ＝30°，即FO 与BD 所成的角是30°.9．D 10．B11．①③12．(1)证明假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD 是异面直线．(2)解取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.13．解如图，取AC 的中点P .连接PM 、PN ，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN 为直线AB 与CD 所成的角(或所成角的补角)．则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°，若∠MPN ＝60°，因为PM ∥AB ，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或所成角的补角)．又因AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形．所以∠PMN ＝30°，即AB 与MN 所成的角为30°.故直线AB 和MN 所成的角为60°或30°.。
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
α
β
方向相同或相反，结果如何？
β γ
α
一组边的方向相同，而另一组边的 方向相反，又如何？
β α
，互补
等角定理: 空间中如果两个角的两边分别对 应平行，那么这两个角相等或互补.
推论：如果两条相交直线和另两条 相交直线分别平行，那么这两组直 线所成的锐角(或直角)相等.
把两条异面直线所成的角，转化为两条相交直线所成的
角.
D1
C1
A1
B1
45
C
o
D
A
B
例2:(2)哪些棱所在直线与直线AA1垂直？
D1
C1
A1
B1
D
A
C
B
如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB = 2 3 , AD = 2 3 ,AE = 2 (1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度? 解答：
AC∥ A’C’∥ EF, OG ∥B’D B’D 与EF所成的角 即为AC与OG所成的角, 即为∠AOG或其补角.
O
G
小结
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线. 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线
异面直线
异面直线的画法 异面直线所成的角 用平面来衬托 平移，转化为相交直线所成的角
l1
A
l2
记作： l1 l2 A
l1
l2
两直线平行 ②没有公共点
记作：l1 // l2
两直线为异面直线
(2)从平面的性质来讲，可分为：
两直线相交 ①在同一平面内 两直线平行 ②不在同一平面内——两直线为异面直线
2-1-2 空间中直线与直线之间的位置关系
一、选择题1．异面直线是指()A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线[答案] D[解析]对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面．∴A应排除．对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如右图，就是相交的情况，∴B应排除．对于C，如右图的a，b可看做是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除．只有D符合定义．∴应选D.规律总结：解答这类立体几何的命题的真假判定问题，一方面要熟练掌握立体几何中的有关概念和公理、定理；另一方面要善于寻找特例，构造相关特例模型，能快速、有效地排除相关的选择项．2．a，b为异面直线，且a⊂α，b⊂β，若α∩β＝l，则直线l必定()A．与a，b都相交B．与a，b都不相交C．至少与a，b之一相交D．至多与a，b之一相交[答案] C[解析]若a，b与l都不相交，则a∥l，b∥l，即a∥b，与a，b是异面直线矛盾．故选C.3．直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．以上都有可能[答案] D[解析]如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB与AA1相交，A1B1与AA1相交，所以AB∥A1B1；又AD与AA1相交，所以AB与AD相交；又A1D1与AA1相交，所以AB与A1D1异面．故选D.4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有() A．3条B．4条C．6条D．8条[答案] C[解析]画一个正方体，不难得出有6条．5．下列命题中，正确的结论有()①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] B[解析]②④是正确的．6. 空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案] A[解析]取AD的中点H，连FH、EH，在△EFH中∠EFH＝90°，HE＝2HF，从而∠FEH＝30°，故选A.7．正方体A1B1C1D1－ABCD中，BD与B1C所成的角是()A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] C [解析] ∵A 1D ∥B 1C ，∴A 1D 与BD 所成的锐角(或直角)即为所求角，连接A 1B .∵△A 1DB 为正三角形，∴∠A 1DB ＝60°.8．空间四边形ABCD 中，AB 、BC 、CD 的中点分别为P 、Q 、R ，且AC ＝4，BD ＝25，PR ＝3，则AC 和BD 所成的角为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°[答案] A[解析] 如图，P 、Q 、R 分别为AB 、BC 、CD 中点，∴PQ ∥AC ，QR ∥BD ，∴∠PQR 为AC 和BD 所成角又PQ ＝12AC ＝2，QR ＝12BD ＝5，RP ＝3∴PR2＝PQ2＋QR2，∴∠PQR＝90°即AC和BD所成的角为90°，故选A.二、填空题9．分别在两个平面内的两条直线的位置关系是________，不平行的两条直线的位置关系是________，两条直线没有公共点，则它们的位置关系是________，垂直于同一直线的两条直线的位置关系为________．[答案]平行、相交、异面相交、异面平行、异面平行、相交、异面．10．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则下列结论：①∠ACB＝∠A′C′B′；②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；③∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°.一定成立的是________．[答案]③11．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a、M、N、P、Q分别为棱AB、BC、C1D1和CC1的中点，则①MN与PQ的位置关系为________，它们所成的角为________．②DB1与MN的位置关系为________，它们所成的角是________．[答案]①相交60°②异面90°[解析]①连接AC、D1C由于P、Q分别为C1D1、C1C的中点，所以PQ∥D1C，同理MN∥AC，则AC与D1C所成角即为MN与PQ所成角，∠D1CA＝60°.②连接AC、BD交于O，取BB1的中点H，连OH，则OH∥B1D，连AH，HC，则AH＝HC，∴OH⊥AC，又MN∥AC，OH∥B1D，∴MN⊥B1D.12．正方体ABCD－A1B1C1D1中①AC和DD1所成角是________度．②AC和D1C1所成的角是________度．③AC和B1D1所成的角是________度．④AC和A1B所成的角是________度．⑤O为B1D1中点，AC和BO所成角是________度．⑥A1B和B1D1所成角是________度．[答案]①90°，②45°，③90°，④60°，⑤90°，⑥60°. [解析]①DD1⊥面ABCD，∴DD1⊥AC；②D1C1∥DC，∠DCA＝45°，∴D1C1与AC成45°角；③B1D1∥BD，BD⊥AC，∴B1D1⊥AC；④A1B∥D1C，△D1AC为等边三角形，∴成60°角；⑤在正方体中，∵O是B1D1中点，∴O为A1C1中点，又A1B＝BC1∴BO⊥A1C1，又AC∥A1C1，∴BO⊥AC，∴AC与BO成90°角；⑥B1D1∥BD，△A1BD为等边三角形，∴成60°角．三、解答题13．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由．[分析]由于BC∥B1C1，所以平行于BC的直线只需要平行于B1C1即可．[解析]如图所示，在面A1C1内过P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求．理由：∵EF∥B1C1，BC∥B1C1，∴EF∥BC.14．如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E 分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角．[解析]由已知得BC⊥AC，又BC＝AC，∴∠ABC＝45°.又在△VBC中，D、E分别为VB、VC中点，∴DE∥BC，∴DE与AB所成的角为∠ABC＝45°.15．如右图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝2，DA ⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．[分析]根据异面直线所成角的定义，我们可以选择适当的点，分别引BE与DC的平行线，换句话说，平移BE(或CD)．设想平移CD，沿着DA的方向，使D移向E，则C移向AC的中点F，这样BE 与CD 所成的角即为∠BEF 或其补角，解△EFB 即可获解．[解析] 取AC 的中点F ，连接BF 、EF ，在△ACD 中，E 、F 分别是AD 、AC 的中点，∴EF ∥CD ，∴∠BEF 即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角(或其补角)．在Rt △EAB 中，AB ＝1，AE ＝12AD ＝12，∴BE ＝52.在Rt △AEF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，∴EF ＝22.在Rt △ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，∴BF ＝52.在等腰△EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010， ∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010.16．如下图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、E 1、F 1分别为棱AD 、AB 、B 1C 1、C 1D 1的中点．求证：∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.[证明] 如下图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，取A 1B 1的中点M，则BF＝A1M＝12AB.又∵BF∥A1M，∴四边形A1FBM为平行四边形．∴A1F∥BM.而F1、M分别为C1D1、A1B1的中点，则F1M綊C1B1，而C1B1綊BC，∴F1M∥BC，且F1M＝BC. ∴四边形F1MBC为平行四边形，∴BM∥F1C.又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.同理取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则A1N綊DE，∴四边形A1NDE为平行四边形．∴A1E∥DN.又E1N∥CD，且E1N＝CD，∴四边形E1NDC为平行四边形．∴DN∥CE1.∴A1E∥CE1.∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反．∴∠EA1F＝∠E1CF1.规律总结：证明角的相等问题，等角定理及其推论是较常用的方法．另外，通常证明三角形的相似或全等也可以完成角的相等的证明，如本例还可通过证明△EA1F与△E1CF1全等来证明角相等．。
空间中直线与直线之间的位置关系
b'
O
a'
O＇
a
两条异面直线a和b所成的角的大小，只与 它们的位置有关，而与点 o位置无关。
a b
a
b a'
O
如果两条异面直线所成的角为直角， 那么就称这两条异面直线垂直。
武汉长江大桥
例1： （2）求直线BA1和CC1所成角的度数。
D1
C1
A1
B1
45
C
o
D
A
B
例1： （3）哪些棱所在直线与直线AA1垂直？
；
prz60nsr
话后，自个儿又反复细想一番，很担心自己搞得这一出会给女儿一家带来更多的烦恼，所以就有点儿后悔这样做了。本来就是年纪很大 的人了，这样苦苦地折磨着自己，不免就有一些神情恍惚，因此间就突然发病了。但老人家心里还是很清楚的，只想着赶快见到女儿， 问一问可给她增添麻烦了没有。看到女儿一切尚好，又经过女儿的一番劝慰，老人家的心理负担没有了，病情就慢慢减轻了不少。再经 过请老中医进行对症的医药调理和女儿的精心照顾，老人家的病情逐渐稳定下来了。再过几天，刘氏看到老娘亲的病已经大有好转，说 话也利落了，方才放心。但她惦记着家里还没有收完的秋，没有打完的场，就急急忙忙地赶了回来。当刘氏那日近午了去抱柴火准备生 火做饭时，一下子就发现了这个已经干掉了的火团儿，但她并没有做太多的猜想。唉，晒了一院子的谷穗得赶快打了呢！而且啊，不等 她把刚刚安顿到大蒸锅里的窝窝头和拨烂子蒸好，在水田里忙着掰苞米的爷儿四个就该回来吃午饭了。于是，她就把甩蔓儿团把团把， 将这个干掉了的火团儿整个儿端到灶膛前，毫不犹豫地拆卸了塞进灶火里去了。51第九十一回 强忍忐忑做欢颜|（细细和馅儿包饺子， 高高兴兴乐劝饭；心知肚明不触痛，强忍忐忑做欢颜。）耿老爹父子四人离家之后的第九个八月十五节如期而至了。中午，郭氏和时年 已经十三岁的耿兰是在耿憨家吃的新葱鲜羊肉饺子。按照惯例，郭氏娘儿俩今天的中秋节，本来应该是在董家成大哥家过的。但就在八 月十五的一大早，刘氏娘家的侄儿忽然风风火火地跑来了，说是奶奶昨儿个晚上临睡前摔了一跤，到后半夜竟然说不利索话了，只一个 劲儿嘟囔加比划着，要姑姑赶快回去。正在忙着做早饭的刘氏一听娘家侄儿这话就着了大急！她心想，老娘的年纪已经不小了，万一有 个三长两短的可怎么办哪。而且，中午还要包饺子请郭氏娘儿俩过来一起吃饭呢！还有，晚上三家人一起拜月，也该是在自己家里张罗 的啊！老娘这冷不丁的突然病倒，所有的事情就全都给泡汤了哇！于是，她让侄儿在家里等着，自己赶快端着两大盘子已经做好的凉拌 海带丝和芥菜丝，慌里慌张地跑到耿憨家里和裴氏说这事儿。正在帮娘做早饭的秀儿看到刘氏这么早就过来了，而且还端了两大盘子做 好的凉菜，感到非常奇怪，就打趣地说：“俺说大娘啊，你乍不忙着做自家的早饭，这么早就串门来了！敢情是和俺大伯置气，罢了他 们爷儿们几个的饭了不成？而且还把自己吃的菜也端来了。不用你端，俺家有你吃的菜呢！”刘氏说：“好个秀儿，你就别说笑话了， 俺都急得火烧眉毛啦！”裴氏听刘氏这么一说，知道她必定是有事情来和自己商量的，就说：“秀儿你去烧火哇，俺和你大娘说说话！” 裴氏说着接过两盘子凉菜
最新高一数学必修二2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系练习题(解析版)
2.1．2空间中直线与直线之间的位置关系一、选择题1.异面直线是指 （ ）Ａ．空间中两条不相交的直线 Ｂ．分别位于两个不同平面内的两条直线 Ｃ．平面内的一条直线与平面外的一条直线 Ｄ．不同在任何一个平面内的两条直线 ２.已知c b a 是异面直线，直线,∥b c a 与那么直线, （ ）Ａ．一定是异面直线 Ｂ．一定是相交直线Ｃ．不可能是平行直线 Ｄ．不可能是相交直线 ３.如图所示，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，的中点，分别是11,,BC AB F E 则以下结论中不成立的是 （ ）Ａ．EF 与垂直1BB Ｂ．垂直与BD EF Ｃ．异面与CD EF Ｄ．异面与11C A EF ４.如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线CD AB ,在原正方体的位置关系是 （ ）Ａ．相交成 60 Ｂ．相交且垂直 Ｃ．异面 Ｄ．平行５.在四面体的中点，分别是且中，CD AB F E BC AD BC AD BCD A ,,,,⊥=-EF 则与 BC 所成的角为 （ ）Ａ． 30 Ｂ． 45 Ｃ． 60 Ｄ．90６.空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是 （ ）Ａ．梯形 Ｂ．矩形 Ｃ．平行四边形 Ｄ．正方形二、填空题7.若果两直线位置关系是无公共点，则两直线的b a ,＿＿＿＿＿＿8.如下图所示，N M H G ,,,分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线MN GH , 是异面直线的有＿＿＿＿＿＿９.已知正方体1111D C B A ABCD -中(1)所成的角为与11CD BC ＿＿＿＿＿＿ (2)1BC AD 与所成的角为＿＿＿＿＿＿10.异面直线30,,,成与a c b a b a ⊥角,所成角的范围与则b c 是＿＿＿＿＿＿三、解答题11、求证：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.12.已知1,E E 分别是正方体1111D C B A ABCD -的棱11,D A AD 的中点.求证：111C E B BEC ∠=∠13.已知正四面体SABC 中，F E ,分别为AB SC ,的中点，求异面直线EF 与SA 所成的角.14.如图所示，已知H G F E ,,,分别是空间四边形ABCD 四条边DA CD BC AB ,,,的中点.(1)求证：四边形EFGH 是平行四边形；(2)若,BD AC ⊥求证：四边形EFGH 为矩形；(3)若的值，求，2262HF EG AC BD +==答案2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1.D2.C3.D4.A5.B6.D7.平行或异面 8.②④ 9.（1） 60 （2） 45 10.[]90,60 11.证明：假设直线共面与直线AB aβββ⊂⊂a AB ，使即有平面a B B a B A ∉∈⊂∈∈,,,,ααββ 于是α平面有且只有一个平面，即和过B a ∴ 是同一个平面，与于是βα内矛盾与αα∉∈∴A A ,是异面直线与直线αAB ∴12．证明：连接的中点分别为1111,,,D A AD E E EEEBB E B B E E B B A A E E A A EA E A AE E A //,////,//,//111111111111∴=∴==∴∴=∴又是平行四边形四边形方向相同与又同理CEB B E C EC C E ∠∠1111,// CEB B E C ∠=∠∴1113.解：如图所示，取SF CF FG EG G SB ,,,,连接的中点设正四面体a SF CF a SABC 23,==则的棱长为 a CE FC EF SC E 21,=⊥∴的中点，是又 的中点分别是又SB AB SC G F E a EF ,,,,,22=∴ a FG EG SA FG BC EG 21,//,//==∴90,222=∠=+∆EGF EF FG EG EFG 中，在 就是异面直线而又EFG EFG FG EG ∠=∠∴=,45,45所成的角为与所成的角，与SA EF SA EF ∴14.（1）略 （2）略 （3）20。
空间中直线与直线之间的位置关系试题及答案
空间中直线与直线之间的位置关系?一、选择题1．已知异面直线a ，b 分别在平面α、β内，且α∩β＝c ,那么直线c 一定（ ）A ．与a 、b 都相交；B ．只能与a 、b 中的一条相交；C ．至少与a 、b 中的一条相交；D ．与a 、b 都平行．2、若a 和b 是异面直线，b 和c 是异面直线，则 a 和c 的位置关系是（ ）A ．异面或平行B ．异面或相交C ．异面D ．相交、平行或异面3．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（ ）A ．一定平行B ．一定相交C ．一定异面D ．相交或异面4．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．23B ．1010C ．53D ．525．三条直线两两垂直，那么在下列四个结论中，正确的结论共有（ ）①这三条直线必共点；②其中必有两知是异面直线；③三条直线不可能共面；④其中必有两条在同一平面内．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．空间四边形的两条对角线互相垂直，顺次连结四边中点的四边形一定是（ ）A ．空间四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形二．填空题7．和两条异面直线中的一条相交的直线与另一条的位置关系是____________．8．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中AA 1＝a ，∠BAB 1＝∠B 1A 1C 1＝30°，则异面直线AB 1与A 1C 1所成角的余弦值为__________．9．四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝2，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，且EF ＝3，则AB 与CD 所成的角为__________．10．已知直线a 、b 、c ?a ，直线a ′、b ′、c ′是两两异面的三直线，且a ∥a ′，b ∥b ′，c ∥c ′，若a ′、b ′、c ′，两两所成的角均等于θ，则θ＝____________．11．已知a ，b 是一对异面直线，而且a 平行于△ABC 的边AB 所在直线，b 平行于AC 所在的直线，若cos∠BAC ＝23，则a ，b 所成的角为__________．三、解答题12．如图，已知平面α与平面β相交于直线m ，n ?β，且m ∩n ＝A ，直线l ?a 且l ∥m ．证明n 、l 是异面直线．13．已知直线a ∥b ，a 与平面α相交于A ，求证：b 与平面α必相交．14．在空间四边形ABCD 中，已知AD ＝1，BC ＝3，且AD ⊥BC ，对角线BD ＝213，AC ＝23，求AC 和BD 所成的角．15．已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 各边AB 、AD 、CB 、CD 上的点，并且有GB CG EB AB ＝，HD CH FD AF ＝，试证EF 、GH 、BD 共点或两两平行．16．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB ＝BC ＝3，AA 1＝4，求A 1B 和B 1C 所成角的余弦值．四、思考题已知异面直线a 、b 所成的角为60°，在过空间一定点P 的直线中，与a ，b 所成的角均为60°的直线有多少条？过P 与a 、b 所成角均为50°，或均为70°的直线又各有多少呢？希望读者通过对上述三个具体问题的求解，总结解题方法，然后再探讨关于与异面直线成等角的直线的存在性问题的一般性情况：已知异面直线a ，b 所成的角为θ0且θ0＜90°，过空间一点P 的直线中与a ，b 所成的角均为θ的直线有多少条？参考答案一、选择题1．C 2．D 3．D 4．D 5．D 6．B二、填空题7．相交、平行或异面；8．43；9．60°；10．60°；11．30°三、解答题12．证明：若n 、l 共面，设该平面为?，∵A ∈n ，n ??，∴A ∈?．又∵l ??，∴平面?经过点A 和直线l ，∴平面?与α重合．由于α与?重合，且m ??，∴平面?经过直线m 和n ．∵m 与n 是相交直线，∴?与β也重合，于是α与β重合，这就与条件α∩β＝m 矛盾，故假设不成立．∴n 、l 是异面直线．13．证明：∵a ∥b ，∴a ，b 可确定平面β，∵A ∈a ?β，∴A 是α与β的公共点．∴α与β相交，设α∩β＝l ，则A ∈l ，∴a ∩l ＝A ．∴在平面β内b 与l 必相交，∴b 与α必相交，交点即为b 与l 的交点．14．证明：AB 、CD 、AD 的中点E 、G 、F ，连接EF 、FG 、GE ，则∠EFG 或其补角为异面直线BD 、AC 所成的角，且EF ＝21BD ＝413，FG ＝21AC ＝43，再取AC 的中点H ，则EH ∥BC ，HG ∥AD ，∵AD ⊥BC ，∴EH ⊥HG ，∴EG 2＝EH 2＋HG 2＝1．在△EFG 中，EG 2＝EF 2＋FG 2＝1，∴∠EFG ＝90°，∴AC 与BD 所成的角为90°．15．证明：如图，连AC 、EG 、FH ，在△ABC 中， ∵EB AE ＝GB CG，∴EG ∥AC ．同理FH ∥AC ，于是根据公理4可知：EG ∥FH ．∴E 、F 、H 、G 四点共面于α，于是EF 与HG 只有相交与平行两种可能．（Ⅰ）若EF 与HG 相交，设交点为P ，则P ∈EF ?平面ACD ．∴P ∈平面ACD ，同理可知：P ∈平面BCD ．∴P 是平面ABD 与平面BCD 的公共点．∴两平面的交线BD 必过P 点．∴FE 、GH 、BD 共点．（Ⅱ）若EF 与HG 平行，则必有EF ∥BD ．∵EF 、BD ?平面ABD ，∴若EF 与BD 不平行，则EF 与BD 就相交，设交点为Q ，则EF ?平面EFHG ，Q ∈BD ?平面BDC ， ∴Q 是平面EFHG 与平面BDC 的公共点．又∵HG 是这两个平面的交线，∴Q ∈HG ，∴EF ∩HG ＝Q ．这就与EF ∥HG 相矛盾，故假设错误．∴EF ∥BD ．同理可证：HG ∥BD ．故由公理4知：EF 、HG 、BD 两两平行．16．解：如图，连接A 1D ，BC ，由长方体性质易知，A 1D ∥B 1C ，∴∠DA 1B 即为A 1B 与B 1C 所成角或其补角．由题设易求A 1D ＝5，A 1B ＝5，BD ＝23．∴cos ∠DA 1B ＝B A D A BD B A D A 1122121·2－＋＝552182525⨯⨯－＋＝2516．∴A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为2516．四、思考题解：①3条；②2条；③4条．④如图10，过点P 分别作异面直线a 、b 的平行线a ′、b ′． 设l 1、l 2是a ′、b ′确定α内，由a ′、b ′所成角的角平分直线． 于是，当θ＜20θ时，满足条件的直线不存在； 当θ＝20θ时，满足条件的直线仅有一条，就是l 1； 当20θ＜θ＜90°－20θ时，满足条件的直线有2条；当θ＝90°－20θ时，满足条件的直线有3条；当90°－20θ＜θ＜90°时，满足条件的直线有4条； 当θ＝90°时，满足条件的直线仅有1条．。
高中数学必修二人教A版练习：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系含解析.doc
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【选题明细表】1.(2018·陕西汉中期末)一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条( C )(A)相交 (B)异面(C)相交或异面(D)平行解析:一条直线与两条平行线中的一条异面,则它与另一条可能相交,也可能异面.故选C.2.在三棱锥P ABC中,PC与AB所成的角为70°,E,F,G分别为PA,PB,AC的中点,则∠FEG等于( D )(A)20°(B)70°(C)110° (D)70°或110°解析:因为E,F,G分别为PA,PB,AC的中点,所以EF∥AB,EG∥PC,所以∠FEG或其补角为异面直线PC与AB所成的角,又AB与PC所成的角为70°,所以∠FEG为70°或110°.3.如图,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,若EF=,求异面直线AD,BC所成角是( C )(A)30°(B)45°(C)60°(D)120°解:如图,取BD的中点M,连接EM,FM.因为E,F分别是AB,CD的中点,所以EM AD,FM BC,则∠EMF或其补角就是异面直线AD,BC所成的角.因为AD=BC=2,所以EM=MF=1,在等腰△MEF中,过点M作MH⊥EF于H,在Rt△MHE中,EM=1,EH=EF=,则sin∠EMH=,于是∠EMH=60°,则∠EMF=2∠EMH=120°.所以异面直线AD,BC所成的角为∠EMF的补角,即异面直线AD,BC所成的角为60°.故选C.4.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定( C )(A)与a,b都相交(B)只能与a,b中的一条相交(C)至少与a,b中的一条相交(D)与a,b都平行解析:如图,a′与b异面,但a′∥c,故A错;a与b异面,且都与c相交,故B错;若a∥c,b∥c,则a∥b,与a,b异面矛盾,故D错.5.如图,三棱柱ABC A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是( C )(A)CC1与B1E是异面直线(B)C1C与AE共面(C)AE,B1C1是异面直线(D)AE与B1C1所成的角为60°解析:由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,所以A 错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,E为BC中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,D错误.故选C.6.如图所示,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,D,E分别是VB,VC 的中点,则异面直线DE与AB所成的角为.解析:因为D,E分别是VB,VC的中点,所以BC∥DE,因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角,又因为AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形,于是∠ABC=45°,故异面直线DE与AB所成的角为45°.答案:45°7.如图所示,已知正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别是AD,AA1的中点.(1)直线AB1和CC1所成的角为;(2)直线AB1和EF所成的角为.解析:(1)因为BB1∥CC1,所以∠AB1B即为异面直线AB1与CC1所成的角,∠AB1B=45°.(2)连接B1C,易得EF∥B1C,所以∠AB1C即为直线AB1和EF所成的角.连接AC,则△AB1C为正三角形,所以∠AB1C=60°.答案:(1)45°(2)60°8.如图,空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H,E在AB的何处时截面EGFH的面积最大?最大面积是多少?解:因为AD与BC成60°角,所以∠HGF=60°或120°.设AE∶AB=x,则==x.又BC=a,所以EF=ax.由==1-x,得EH=a(1-x).所以S四边形EFGH=EF·EH·sin60°=ax·a(1-x)×=a2(-x2+x)=a2[-(x-)2+].当x=时,S最大值=a2,即当E为AB的中点时,截面的面积最大,最大面积为a2.9.如图所示,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H,I,J分别为AF,AD,BE,DE的中点,将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥以后,HG 与IJ所成角的度数为( B )(A)90°(B)60°(C)45°(D)0°解析:将三角形折成空间几何体,如图所示,HG与IJ是一对异面直线.因为IJ∥AD,HG∥DF,所以DF与AD所成的角为HG与IJ所成的角,又∠ADF=60°,所以HG与IJ所成的角为60°.10.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为.解析:还原成正方体如图所示,可知①正确.②AB∥CM,不正确.③正确.④MN⊥CD.不正确.答案:①③11.如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点,问(1)AM和CN是否是异面直线?(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.解:由于M,N分别是A1B1和B1C1的中点,可证明MN∥AC,因此AM与CN 不是异面直线.由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大,判断的方法可用反证法.(1)不是异面直线.理由:因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,所以MN∥A1C1.又因为A1A C1C,所以A1ACC1为平行四边形.所以A1C1∥AC,得到MN∥AC,所以A,M,N,C在同一个平面内,故AM和CN不是异面直线.(2)是异面直线,证明如下:假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1D内,则B∈平面CC1D1D,C∈平面CC1D1D.所以BC⊂平面CC1D1D,这与ABCD A1B1C1D1是正方体相矛盾.所以假设不成立,故D1B与CC1是异面直线.12.如图,正方体ABCD EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求:(1)BE与CG所成的角;(2)FO与BD所成的角.解:(1)如图,因为CG∥BF,所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角,又△BEF中,∠EBF=45°,所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH,因为HD EA,EA FB,所以HD FB,所以四边形HFBD为平行四边形,所以HF∥BD,所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角. 连接HA,AF,易得FH=HA=AF,所以△AFH为等边三角形,又依题意知O为AH的中点,所以∠HFO=30°,即FO与BD所成的角是30°.13.如图,E,F,G,H分别是三棱锥A BCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且==λ,==μ.(1)若λ=μ,判断四边形EFGH的形状;(2)若λ≠μ,判断四边形EFGH的形状;(3)若λ=μ=,且EG⊥HF,求的值.解:(1)因为==λ,所以EH∥BD,且EH=BD. ①又因为==μ.所以FG∥BD,且FG=BD. ②又λ=μ,所以EH FG(公理4).因此λ=μ时,四边形EFGH为平行四边形.(2)若λ≠μ,由①②,知EH∥FG,但EH≠FG,因此λ≠μ时,四边形EFGH为梯形.(3)因为λ=μ,所以四边形EFGH为平行四边形.又因为EG⊥HF,所以四边形EFGH为菱形.所以FG=HG.所以AC=(λ+1)HG=HG=FG,又BD=FG=3FG,所以=.。
【优质文档】人教A版必修2第二章2.1.2《空间中直线与直线之间的位置关系》精选题高频考点(含答案)-2
29．已知 a ，b ，c 是空间中的三条相互不重合的直线， 给出下列说法： ① 若 a ∥ b ，b ∥ c ， 则 a P c ；②若 a 与 b 相交，b 与 c 相交，则 a 与 c 相交；③ 若 a 平面 ，b 平面 ， 则 a ，b 一定是异面直线； ④ 若 a ，b 与 c 成等角， 则 a ∥ b ．其中正确的说法是 ______
人教 A 版必修 2 第二章 2.1.2《空间中直线与直线之间的位置
关系》精选题高频考点（含答案 )-1
学校 :___________姓名： ___________班级： ___________考号： ___________
一、单选题 1．下列四个命题：
① 任意两条直线都可以确定一个平面；
② 若两个平面有 3个不同的公共点，则这两个平面重合；
③ 直线 a ， b ， c ，若 a 与 b 共面， b 与 c 共面，则 a 与 c 共面；
④ 若直线 l 上有一点在平面 外，则 l 在平面 外 .
其中错误命题的个数是（
）
A．1
B． 2
C． 3
D． 4
2．如图所示，正四棱锥 P ABCD 的底面面积为 3 ，体积为 2 ， E 为侧棱 PC 的中 2
① BM 与 DE 平行； ② CN 与 BE 是异面直线； ③ CN 与 BM 成 60 角；
④ DM与 BN 垂直 .
以上四个结论中，正确的是 ______.
试卷第 6 页，总 10 页
36 ．一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个命题：
① AF GC ；② BD 与 GC 成异面直线且夹角为 60 ； ③ BD PMN ； ④ BG 与平面 ABCD 所成的角为 45 .
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
思考： 思考：我们把具有上述特征的两条 直线取个怎样的名字才好呢？ 直线取个怎样的名字才好呢？
异面直线的定义: 异面直线的定义: 的定义 我们把不同在任何一个平面内 不同在任何一个平面内的 我们把不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线（ lines）。 叫做异面直线（skew lines）。 想一想:怎样通过图形来表示异面直线? 想一想:怎样通过图形来表示异面直线? 为了表示异面直线a 不共面的特点， 为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图 通常用一个或两个平面衬托。如下图: 时，通常用一个或两个平面衬托。如下图:
A B
C
α
Dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F
β
E 定理的推论:如果两条相交直线和另两条相 定理的推论: 交直线分别平行, 交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐 或直角)相等. 角(或直角)相等.
4. 异面直线所成的角
如图，已知两条异面直线a 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一 作直线a'∥a b'∥b，我们把a' b'所成 a'∥a， a'与 点O作直线a'∥a，b'∥b，我们把a'与b'所成 的锐角（或直角）叫做异面直线a 的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角 或夹角）。 （或夹角）。
m
α
m
l
l
想一想,做一做： 想一想,做一做： 1.已知 已知M 分别是长方体的棱C 1.已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的 那么MN AB所在的直线是异面直线吗 MN与 所在的直线是异面直线 点，那么MN与AB所在的直线是异面直线吗？
D1 A1
D
A
M
C1
B1
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《空间中直线与直线的位置关系》习题
一、选择题
1. 一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条的位置关系是 ( ) A .相交． B .异面 C .平行． D .相交或异面．
2.a 、b 是两条异面直线，c 、d 小也是两条异面直线，则a 、c 的位置关系是( ) A .相交、平行或异面． B .相交或平行．
C .异面
D .平行或异面．
3.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各侧面对角线所在的直线中与B 1D 成异面直线的条数是() A .3． B .4． C .5． D .6．
4.异面直线a 、b 分别在平面α和β内，若l =βαI 则直线l 必定( )
A .分别与a 、b 相交．
B .与a 、b 都不相交．
C .至多与a 、b 中的一条相交．
D .至少与a 、b 中的一条相交．
5. 空间四边形ABCD 中AB =CD ，且AB 与CD 成60°角，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，则EF 与AB 所成角的度数为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．30°或60°
二、填空题
6.在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线．②若两条直线没有共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是______．(把符合要求的命题序号都填上)
7.异面直线a ，b 所成角为80º，过空间一点作与直线a ，b 所成角都为θ的直线只可以作2条，则θ的取值范围为_________.
8.如果把两条异面直线看成“一对”，那么在正方体的十二条棱所在的直线中，共有_____对异面直线．
9. 正四棱锥ABCD V -的侧棱长与底面边长相等，E 是V A 中点，O 是底面中心，则异面直线EO 与BC 所成的角是___________.
10. 已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 ①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是__________________(写出所有正确结论的编号)．
三、解答题
11.已知直线a 和b 是异面直线，直线c ∥a ，直线b 与c 不相交，求证b 和c 是异面直线．
12.空间四边形ABCD，已知AD=1，BD=3，且AD⊥BC，对角线BD
=13
，AC =
3
，求AC和BD所成的角。
答案与解析
1.D
2.A
3.D
4.D
5.D
6.②
7.40º<θ<50º
8.24.
9.
3
π
10.对于命题①，经过两条平行直线分别作两个平面垂直于平面α，则在这两个平面内可以作出两条不垂直的异面直线．所以①为真．
对于命题②，过平面α内两条互相垂直的直线分别作两个垂直于平面α的平面，则在这两个平面内也可以作出两条异面但不垂直的直线，即②亦真．
对于命题③，当射影为同一条直线时，两条直线同在过这条直线并与平面口垂直的平面內，即共面．故③为假．
同样可推知④为真． 答案：①②④
11.证明：假设b 和c 不是异面直线，则b 和c 共面，∵直线b 与c 不相交，∴b ∥c .
又直线c ∥a ，∴b ∥a .这与已知直线a 和b 是异面直线与矛盾.故b 和c 是异面直线． 12.解：取AB 、AD 、DC 、BD 中点为E 、F 、G 、M ，连EF 、FG 、GM 、ME 、EG .
则
MG 12
BC EM
12AD ∵AD ⊥BC ∴EM ⊥MG
在R t △EMG 中，有EG =
在RFG 中，∵EF =12BD = 12FG AC =∥ ＝ ∥ ＝
∴EF 2 +FG 2 = EG 2
∴EF⊥FG，即AC⊥BD
∴AC和BD所成角为90°.。