《复数》知识点汇总

a，b
的方程组
1
b
c
0
，解方程得出 a，b 的值即可选出正确选项
2 2 2b 0
【详解】
由题意 1 2 i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c＝0
∴1+2 2 i﹣2+b 2 bi+c＝0，即 1 b c 2 2 2b i 0
∴
1
b
c
0
，解得 b＝﹣2，c＝3
2 2 2b 0
20．若复数 z 满足 iz 2 2i （ i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数 z 在复平面内对应的点所在
的象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【解析】
分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求 z 的共轭复数，即可得到 z 在
键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
15．复数 1 i 的虚部为（ ） 1 2i 2
A． 1 10
【答案】A
B． 1 10
C． 3 10
D． 3 10
【解析】
【分析】
化简复数 1 i 1 1 i ，结合复数的概念，即可求解复数的虚部，得到答案，. 1 2i 2 5 10
【详解】
1
《复数》知识点汇总
一、选择题
1．设 z 3 i ， i 是虚数单位，则 z 的虚部为（ ） i
A．1
B．-1
C．3
【答案】D
【解析】
因为 z= 3 i 1 3iz 的虚部为-3，选 D. i
D．-3
2．已知复数 z 2 ，则（ ） 1 i
A． z 2
B． z 的实部为1
C． z 的虚部为 1 D． z 的共轭复数为
A．1 i
【答案】B 【解析】 【分析】
B．1 i
C． 1 1 i 22
由题意可得 z 2 ，根据复数的除法运算即可. 1i
【详解】
由 1i z 2i ，可得 z 2 Fra Baidu bibliotek2(1 i) 1 i ，
1i 2
故选 B. 【点睛】 本题主要考查了复数的除法运算，复数的模，属于中档题.
D． 1 1 i 22
由题意，复数
1 2i
i 2
1
1 2i
2i 1
2i
i 2
1 5
1 10
i
，
所以复数 1 i 的虚部为 1 .
1 2i 2
10
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了复数的运算法则，以及复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法则，准
确化简是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
16．若复数 a 2i a R 为纯虚数，则 3 ai （ ）
1 i
【答案】C 【解析】 分析：由题意首先化简复数 z，然后结合 z 的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法.
21 i 21 i 详解：由复数的运算法则可得： z 1 i1 i 2 1 i ，
则 z 2 ，选项 A 错误；
z 的实部为 1，选项 B 错误； z 的虚部为 1，选项 C 正确； z 的共轭复数为 z 1 i ，选项 D 错误.
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【解析】
分析：首先求得复数 z，然后求解其共轭复数即可.
详解：由复数的运算法则有：
z
2i 1 i
2i 1 i 1 i1 i
2i
1
2
i
1
i
，
则 z 1 i ，其对应的点 1, 1 位于第四象限.
本题选择 D 选项. 点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求 解能力.
“邻位复数”， a,b R ，则 a2 b2 的最大值为（ ）
A． 8 2 7
B．8 2 7
C．1 7
D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意点 (a, b) 在圆 (x 2)2 ( y 3)2 1， a2 b2 表示点 (a, b) 到原点的距离，计
算得到答案. 【详解】
| a 3i 2 bi | 1，故 (a 2)2 ( 3 b)2 1，点 (a, b) 在圆 (x 2)2 ( y 3)2 1
本题选择 C 选项. 点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力 和计算求解能力.
3．已知复数 z 的模为 2 ,则 z i 的最大值为：( )
A．1 【答案】D 【解析】
B．2
C． 5
因为 z i z i 2 1 3 ，所以最大值为 3，选 D.
D．3
4．若复数 z 满足 2z z 3 2i, 其中 i 为虚数单位，则 z=
(1 3i)2 2 2 3i 2i( 3 i) 4
2
7．已知 z 是复数，则“ z2 为纯虚数”是“ z 的实部和虚部相等”的（ ）
A．充分必要条件
B．充分不必要条
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
设 z a bi ， z2 为纯虚数得到 a b 0 ，得到答案.
A．第一象限 【答案】D 【解析】
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
由
1
i
x
1
yi
，其中
x,
y
是实数，得：
x 1 x
y
x
,
y
1
，所以
1
x
yi
在复平面内
所对应的点位于第四象限.
本题选择 D 选项.
18．下列命题中，正确命题的个数是( )
①若 ， ，则
的充要条件是
；
②若 ， 且 ，则
；
③若
，则
22
22
44
z z 1 3 i 1 1 3 i ，故选 C.
22
22
点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的共轭复数、复数的模、以
及复数的加法运算，属于基础题目.
10．在复平面内，复数 z 2i (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) 1 i
A．第一象限
B．第二象限
【详解】
设 z a bi ， a,b R ，则 z2 a2 b2 2abi ，
a2 b2 0
z
2
为纯虚数
2ab
0
a b 0 ， z 的实部和虚部相等 a b .
故选：D.
【点睛】
本题考查了既不充分也不必要条件，意在考查学生的推断能力.
8．若 z1 z2 1，则称 z1 与 z2 互为“邻位复数”.已知复数 z1 a 3i 与 z2 2 bi 互为
．
A． B．
C． D． 【答案】A 【解析】
对①，由于 x，y∈C，所以 x，y 不一定是 x＋yi 的实部和虚部，故①是假命题； 对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题； ③是假命题，如 12＋i2＝0，但 1≠0，i≠0. 考点：复数的有关概念.
19．已知复数 z 满足 (1 i)z 2i ， i 为虚数单位，则 z 等于
本题主要考查了复数的运算法则和复数的概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则和复
数的概念及分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
13．设复数 z a bi （i 为虚数单位， a,b R ），若 a, b 满足关系式 b 2a t ，且 z 在
复平面上的轨迹经过三个象限，则 t 的取值范围是( )
A．1+2i
B．1 2i
C． 1 2i
【答案】B
D． 1 2i
【解析】
试题分析：设 z a bi ，则 2z z 3a bi 3 2i ，故
，则 z 1 2i ，选
B. 【考点】注意共轭复数的概念
【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目
看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也
是考生必定得分的题目之一.
5．若1 2i 是关于 x 的实系数方程 x2 bx c 0 的一个复数根，则（ ）
A． b 2,c 3
B． b 2,c 1
C． b 2,c 1
D． b 2,c 3
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意，将根代入实系数方程 x2+bx+c＝0 整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数
a 2
2 a
0 0
，
即 a 2,| 3 ai | 32 a2 13 . 本题选择 A 选项. 【点睛】 复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大 小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.
17．设 (1 i)x 1 yi ，其中 x, y 是实数，则 x yi 在复平面内所对应的点位于（ ）
解. 【详解】
由题意，复数 z (1 ai)(a 2i) 3a (2 a2 )i 在复平面内对应的点在第一象限，
3a 0 所以 2 a2 0 ，解得 0 a
2 ，即实数 a 的取值范围是 (0,
2).
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数的代数表示法及其几何意义的应用，着重考查
了推理与运算能力.
12．已知复数 z 1 2i （ i 为虚数单位），则 z 的虚部为（ 2i
A．－1
B．0
C．1
【答案】C
【解析】
）
D． i
【分析】
利用复数的运算法则，和复数的定义即可得到答案．
【详解】
复数
z
1 2i 2i
1 2i2 i 2i2i
5i 5
i
，所以复数
z
的虚部为
1，故选
C．
【点睛】
14．已知 i 为虚数单位， a,b R ，复数 1 i i a bi ，则 a bi （ ） 2i
A． 1 2 i 55
【答案】B 【解析】
B． 1 2 i 55
C． 2 1 i 55
D． 2 1 i 55
【分析】
由复数的除法运算，可得
a
b
i=
(1 i)(2 (2 i)(2
i) i)
i
1 5
2 5
i
，即可求解
a
b
i
，得到答
案．
【详解】
由题意，复数 1 i i a bi ，得 a b i= (1 i)(2 i) i 1 3i i 1 2 i ，
2i
(2 i)(2 i)
5
55
所以 a b i= 1 2 i ，故选 B． 55
【点睛】
本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关
上，
而 a2 b2 表示点 (a, b) 到原点的距离，
2
故 a2 b2 的最大值为 22 ( 3)2 1 (1 7)2 8 2 7 .
故选： B . 【点睛】 本题考查了复数的运算，点到圆距离的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.
9．已知复数 z 1 3 i ，则 z z （ ） 22
故选：D．
【点睛】
本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得
到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题
6．已知复数 z＝ 3 i ，则|z|＝( ) (1 3i)2
A． 1 4
【答案】B 【解析】
B． 1 2
C．1
【分析】
【详解】
D．2
解：因为 z= 3 i ( 3 i) 3 i 3 i ，因此|z|＝ 1
A．[0,1]
B．[1,1]
C． (0,1) (1, ) D． (1, )
【答案】C 【解析】
【分析】
首先根据复数的几何意义得到 z 的轨迹方程 y 2x t ，再根据指数函数的图象，得到关于
t 的不等式，求解.
【详解】
由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为 x, y ，
x a
11．复数 z (1 ai)(a 2i) 在复平面内对应的点在第一象限，其中 a R ， i 为虚数单
位，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． (0, 2)
B． ( 2, )
C． (, 2)
D． ( 2, 0)
【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算、化简，再由实部与虚部均大于 0，列出不等式组，即可求
y
b
2a
t
，即 y
2x
t
，
因为 z 在复平面上的轨迹经过三个象限，
则当 x 0 时，1 t 1 且1t 0 ， 解得 t 0 且 t 1 ，
即 t 的取值范围是 0,1 1, .
故选：C 【点睛】 本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能 力，属于基础题型.
A． 1 3 i 22
B． 1 3 i 22
C． 1 3 i 22
D． 1 3 i 22
【答案】C
【解析】
分析：首先根据题中所给的复数 z，可以求得其共轭复数，并且可以求出复数的模，代入
求得 z z 1 3 i ，从而求得结果. 22
详解：根据 z 1 3 i ，可得 z 1 3 i ，且 z 1 3 1 ，所以有
1 i
A． 13
B．13
C．10
【答案】A
【解析】
【分析】
D． 10
由题意首先求得实数 a 的值，然后求解 3 ai 即可．
【详解】 由复数的运算法则有：
a 2i (a 2i)(1 i) a 2 2 a i , 1 i (1 i)(1 i) 2 2
复数
a 2i 1 i
a
R
为纯虚数，则