四川省绵阳市高中2018级(2021届高三)第一次诊断性考试文科数学试题
2021届四川绵阳南山中学高三一诊热身考试数学(文)试题(解析版)
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故选：B.
【点睛】
本题考查了等比数列通项公式，考查了等比数列的前 项和公式，属于基础题.
6．设 ， ， ，则（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】找中间量0和1进行比较可得结果.
【详解】
， ， ，
所以 .
故选：A.
【点睛】
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分析：将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996，
设首项为 ，结合等差数列前n项和公式有：
，
解得： ，则 .
即第八个孩子分得斤数为 .
本题选择B选项.
设z= ，则z的几何意义是区域内的点到定点D（﹣1，﹣1）的斜率，
由图象知AD的斜率最小，
由 得 ，即A（1，0），
此时z的最小值为z= ，即k≤ ，
即实数k的取值范围是（﹣∞， ].故选A.
11．在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则tanB=（）
A． B．2 C．4 D．8
【答案】C
7．已知 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
【详解】
由题意可得： ，
则： ， ，
从而有： ，
即 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.
8． 中，A（1，2），B（3，2），C（-1，-1），则 在 方向上的投影是（）
2021届绵阳一诊 文数(含答案)
绵阳市高中2018级第一次诊断性考试文科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．DCDAA ADBBC CD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．-1 14．6 15．916 16．3(0]4，−三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．∵ 31232315S a a a a =++==，得25a =．又217a a a ⋅=，得222()5a d a a d −⋅=+， ………………………………………3分 即5(5)55d d −=+，解得d =2．∴ 2(2)22+1n a a n n =+−⨯=． ………………………………………………6分（2）由题意得2122(21)24(21)n a n n n n b a n n +=+=++=⨯++， ……………8分 12(321)2(444)2n n n n T ++=++++ 28(41)23n n n −=++． ………………………………………………………12分 18．解：（1）π()sin()6f x x x =⋅+1cos )2x x x =+23sin cos x x x =31cos2sin 222x x +=π)6x =+． ………………………………………………4分由πππ2π22π262k x k −++≤≤(k ∈Z )， 可得ππππ36k x k −+≤≤(k ∈Z )， 即当x ∈ππ[ππ]36，k k −+(k ∈Z )时，函数()f x 单调递增， 同理可得当x ∈π2π[ππ]63，k k ++(k ∈Z )时，函数()f x 单调递减， 又π[0]2，x ∈， ∴ 函数)(x f 在π[0]6，上单调递增，)(x f 在ππ[]62，上单调递减． ……………8分（2）由题意得πππ())])463g x x x −+=−． ∵ π02≤≤x ，∴ ππ2π2333≤≤x −−，∴ π)[1]3x −∈，∴ 3()[2g x ∈−． …………………………………………………………12分 19．解：（1）在△ABC 中，由正弦定理得πsin sin sin cos()6C A A C =−， ∵ 0πA << ∴sin 0A ≠，∴ π1sin cos()sin 62C C C C =−=+，即sin C C ，得tan C =∵0πC <<，∴ π3C =． ……………………………………………………………………6分（2）由题意得sin B ==． 在△ABC 中， 由正弦定理得sin 8sin AB B AC C⋅==． …………………………8分π1sin sin()sin 32A B B B =+=+=，∴ AB 边上的高sin h AC A =⋅=． ………………………………………12分20．解：（1）当x =0时，f (x )=0；当x >0时，f (x )=-f (-x )=22()11[1]1x x x x −++−+=−−； 综上，所述22110()00110，，，，，．x x x f x x x x x ⎧+−>⎪⎪⎪==⎨⎪+⎪+<⎪⎩…………………………………………5分（2）不等式f (x 2)+2af (x )≥-1恒成立， 等价于221112(1)1≥x a x x x +−++−−， 整理得211()22(1)0≥x a x x x +−++−，令 t =1x x+， 即222(1)0≥t a t −+−恒成立， …………………………………………………8分 ∵ x >0，于是t ≥2，∴ t -1≥0，于是2a ≥221(1)211t t t t −=−−+−−−， 令m =t -1≥1，1()2g m m m=−++， …………………………………………10分 显然()g m 在区间[1)，+∞上单调递减， ∴ max ()(1)2g m g ==．∴ 2a ≥2，即a ≥1． …………………………………………………………12分21．解：（1）)32(323)(2a x x ax x x f −=−='． 当0=a 时，2()30≥f x x '=，函数)(x f 在)(∞+−∞，上单调递增． …………2分 当0>a 时，由()0f x '>，得0<x 或32a x >． 由0)(<'x f ，得320a x <<． ∴函数)(x f 在(0)，−∞和2()3，a +∞上单调递增，在2(0)3，a 上单调递减． 当0<a 时，同理可得函数)(x f 在2()3，a −∞和(0)，+∞上单调递增， 在2(0)3，a 上单调递减． ………………………………………………………6分（2）由（1）可知，函数)(x f 的两个极值为a f 4)0(=和324()4327a f a a =−+， 由方程m x f =)(有三个不等实根等价于3044427，a a a m a >⎧⎪⎨−+<<⎪⎩或⎪⎩⎪⎨⎧+−<<<.4274403a a m a a ，…………………………………8分 令m a a a g −+−=4274)(3． 由方程m x f =)(有三个不相等实根时，)3()32()6(∞+−−∞∈，，， a ． 则在)6(−−∞，上0)(>a g ，且在)3()32(∞+，， 上0)(<a g 均恒成立，∴(6)80≥g m −=−，且(3)80≤g m =−，∴8=m ． ………………………………………………………………………10分 此时0]42)2()[2(84)(223=+−−+−=−+−=−a x a x x a ax x m x f ．因为方程m x f =)(有三个不相等实根，∴042)2(2=+−−+a x a x 有两个异于2的不等实根，∴22(2)4(24)022(2)240，，a a a a ⎧∆=−−−+>⎪⎨+−−+≠⎪⎩解得)3()32()6(∞+−−∞∈，，，a ． 综上，所述8=m ． ……………………………………………………………12分22．解：（1）设点()A ρθ，为圆上任一点，则OA ρ=，π6AOM θ∠=−， 在Rt △AOM中，π)6ρθ=−.∴ 圆C的极坐标方程为π)6ρθ=−，(π3−≤θ≤2π3).…………………5分 （2）圆C 左上半圆弧OM 的三等分点对应的极角分别1π3θ=，2π2θ=. 代入圆C 的极坐标方程中， ∴ 圆C 左上半圆弧OM 的三等分点分别为1π(6)3，P ，2π)2，P ．………10分23．解：（1）由已知条件可得，34213()4222142，≥，，，，≤．xf x x xx⎧⎪⎪⎪=−−<<⎨⎪⎪−−⎪⎩……………………3分作出函数图象如右图．……………………………5分（2）由（1）的图象可得，实数m满足532122m−<−<(或172122m−<+<)，解得35 44m−<<，∴实数m的取值范围为35()44，−．…………………………………………10分。
四川省绵阳市2021届高三数学第一次诊断性考试试题 文（含解析）(1)
四川省绵阳市2021届高三第一次诊断性考试数学（文）试题（解析版）第I 卷（选择题，共50分）【试卷综析】本套试卷能从学科结构上设计试题，已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块，同时，试卷突出了学科的骨干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度．本套试卷没有刻意追求覆盖面，还有调整和扩大的空间，注重了能力的考查，专门是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出，实践能力和创新意识方面也在尽力表现. 一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的4个选项中，只有一个符合题目要求的. 【题文】一、已知集合{}{},02,0122=--=≤-∈=x x x B x Z x A 则=⋂B A ( ) A.Φ B.{}1- C.{}0 D.{}2 【知识点】集合运算. A1【答案解析】B 解析：因为A={-1，0，1}, B={-1，2}，因此=⋂B A {}1-，应选B. 【思路点拨】化简集合A 、B,从而求得A B ⋂. 【题文】二、命题"12),,0(">+∞∈∀xx 的否定是( )A."12),,0("00≤+∞∉∃x x B."12),,0("00≤+∞∈∃x xC."12),,0("≤+∞∉∀xx D."12),,0("<+∞∈∀xx 【知识点】含量词的命题的否定. A3【答案解析】B 解析：命题"12),,0(">+∞∈∀xx 的否定是"12),,0("00≤+∞∈∃x x ，应选B.【思路点拨】依照含一个量词的全称命题的否定方式写出结论.【题文】3、设各项均不为0的数列{}n a 知足)1(21≥=+n a a n n ，假设5422a a a =，那么=3a ( ) A.2 B.2 C.22 D.4 【知识点】等比数列. D3【答案解析】D 解析：由)1(21≥=+n a a n n 知数列{}n a 是以2为公比的等比数列，因为5422a a a =，因此34111122a q a q a q a ⋅=⇒=，因此=3a 4，应选D.【思路点拨】由已知条件确信数列{}n a 是等比数列，再依照5422a a a =求得1a ，进而求3a . 【题文】4、如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，那么=⋅DB AD ( )A.3B.3-C.3D.-3 【知识点】向量的数量积. F3【答案解析】D 解析：因为,AD AB BD AB BD =+⊥,因此=⋅DB AD ()203AB BD DB AB DB BD DB BD +⋅=⋅+⋅=-=-,应选 D.【思路点拨】利用向量加法的三角形法那么，将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.【题文】五、已知53)4cos(=-x π，那么=x 2sin ( )A.2518B.2524±C.257-D.257 【知识点】二倍角公式；诱导公式. C6 C2 【答案解析】C 解析：因为53)4cos(=-x π，因此 27cos 22cos 14425x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即7cos 2sin 2225x x π⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，应选C.【思路点拨】利用二倍角公式求得cos 2x π⎛⎫-⎪⎝⎭值，再用诱导公式求得sin2x 值. 【题文】六、已知y x 、知足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0330101y x y x y x ，那么y x -2的最大值为( )A.1B.2C.3D.4 【知识点】简单的线性计划. E5【答案解析】B 解析：画出可行域如图：平移直线z=2x-y 得 ，当此直线过可行域中的点A （1,0）时 2x-y 有最大值2，应选B.【思路点拨】设目标函数z=2x-y ，画出可行域平移目标函数得点A （1,0）是使目标函数取得最大值的最优解. 【题文】7、在()π2,0内，使sin cosx x ≥成立的x 取值范围是( )A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡47,4ππ B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,4ππ C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,0π D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ2,474,0【知识点】三角函数不等式的解法. C1【答案解析】A 解析：当(]0,x π∈时，不等式为sinx ≥cosx ，解得,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； 当(),2x ππ∈时，不等式为-sinx ≥cosx 即sinx+cosx ≤0,解得7,4x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 综上得7,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，应选A. 【思路点拨】依照含绝对值的不等式的解法，通过讨论x 的取值范围，去掉绝对值，然后利用单位圆及三角函数线，确信结论.【题文】八、已知)(x f 的概念在()+∞,0的函数，对任意两个不相等的正数21,x x ，都有0)()(212112<--x x x f x x f x ，记5log )5(log ,2.0)2.0(,2)2(22222.02.0f c f b f a ===，那么( ) A.c b a << B.c a b << C.b a c << D.a b c << 【知识点】函数的单调性. B3【答案解析】C 解析：因为对任意两个不相等的正数21,x x ，都有0)()(212112<--x x x f x x f x ，即对任意两个不相等的正数21,x x ，都有21121212121212()()()()0x f x x f x f x f x x x x x x x x x --=<--，因此函数()()f x h x x =是()+∞,0上的减函数，因为20.220.22log 5<<，因此b>a>c,应选C.【思路点拨】构造函数()()f x h x x=，依照条件能够判定它是()+∞,0上的减函数，由此能够判定a,b,c 的大小关系.【题文】九、记函数212131)(23+-=x x x f 在()+∞,0的值域a x x g M ++=2)1()(,在()+∞∞-,的值域为N ，假设M N ⊆,那么实数a 的取值范围是( ) A.21≥a B.21≤a C.31≥a D.31≤a【知识点】函数的值域；集合关系. A1 B1【答案解析】C 解析：因为2()f x x x '=-，由()()()0,01,;f x x '>⇒∈-∞+∞由()()00,1f x x '<⇒∈，因此函数f(x)在（0,1）上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 因此M=1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,又N=[),a +∞，因此假设M N ⊆,那么实数a 的取值范围是31≥a ，应选C. 【思路点拨】利用导数求出函数f(x)在()+∞,0的值域M ，再求出函数g(x)的值域N,进而利用M N ⊆求得a 范围.【题文】10、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≠><-=0)1,0(log 0,1)2sin()(x a a x x x x f a ，且π的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，那么实数a 的取值范围是A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛55,0 B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1,55 C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1,33 D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,0 【知识点】函数的图像. B8【答案解析】A 解析：只需函数log ()(01),0a y x a x =-<<<与函数sin 1,02y x x π⎛⎫=-<⎪⎝⎭至少有3个交点，因此2log 52log a a a ->-=，因此2555a a ->⇒-<<，从而0,5a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，应选A. 【思路点拨】问题转化为函数log ()(01),0a y x a x =-<<<与函数sin 1,02y x x π⎛⎫=-<⎪⎝⎭至少有3个交点，由图像可知只需2log 52log a a a ->-=，解得a ⎛∈ ⎝⎭.第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题5小题，每题5分，共25分. 【题文】1一、假设1tan ,3α=-则ααααcos sin 2cos 2sin 3-+= . 【知识点】已知三角函数值求三角函数式的值. C7【答案解析】35- 解析：因为1tan ,3α=-因此ααααcos sin 2cos 2sin 3-+3sin 2cos 3tan 2123cos 2sin cos 22tan 151cos 3αααααααα++-+====-----.【思路点拨】把所求化成关于正切的式子求解.【题文】1二、已知向量)0,2(),2,1(==b a ，假设b a +λ与向量)2,1(-=c 共线，那么实数=λ . 【知识点】向量共线的意义. F1【答案解析】-1 解析：因为)0,2(),2,1(==b a ，因此b a +λ=()2,2λλ+，又b a +λ与)2,1(-=共线，因此()2221λλλ-+=⇒=-.【思路点拨】依照向量的坐标运算求得b a +λ的坐标，再由b a +λ与向量)2,1(-=c 共线得关于λ的方程，解此方程即可.【题文】13、已知函数)('x f 是函数)(x f 的导函数，)0('2sin )(xf x x f +=，那么=)2('πf .【知识点】导数及其运算. B11【答案解析】-2 解析：因为)0('2sin )(xf x x f +=，因此()cos 2(0)(0)cos02(0)(0)1f x x f f f f '''''=+⇒=+⇒=-，因此()cos 2f x x '=-因此=)2('πf -2.【思路点拨】先对函数)0('2sin )(xf x x f +=求导，取得(0)f '的值，进而求出()2f π'.【题文】14、已知函数1223)(--=x x x f ，那么=+⋯+++)1110()113()112()111(f f f f . 【知识点】函数性质求函数值. B1 【答案解析】15 解析：因为1223)(--=x x x f ，因此()()()31231121121x x f x x x ----==---， 因此()(1)3f x f x +-=，因此所求=310152⨯= 【思路点拨】能够发觉()(1)3f x f x +-=，因此采纳倒序相加法求解.【题文】1五、概念：若是函数)(x f y =在概念域内给定区间[]b a ,上存在)(00b x a x <<，知足ab a f b f x f --=)()()(0，那么称函数)(x f y =是[]b a ,上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点.例如x y =是[]2,2-上的平均值函数，0确实是它的均值点，假设函数1)(2--=mx x x f 是[]1,1-上的“平均值函数”，那么实数m 的取值范围是 .【知识点】函数中的新概念问题. B1【答案解析】(0，2) 解析：因为函数1)(2--=mx x x f 是[]1,1-上的“平均值函数”，因此存在0x )11(，-∈使21020m m mx x --=--得，1)1(10020+=⇒-=-x m m x x ， 又0x )11(，-∈因此实数m 的取值范围是)20(，∈m ．【思路点拨】依照平均值函数”的概念写出m 关于0x 的函数，求此函数在（-1，1）上的值域即可. 三、解答题：本大题共6小时，共75分，解许诺写出文字说明，证明进程和演算步骤.【题文】1六、（本小题总分值12分）已知向量)cos ,(cos ),cos ,(sin wx wx n wx wx m ==，其中0>w 函数12)(-⋅=n m x f 的最小正周期为π.（1）求w 的值. （2）求函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,6ππ上的最大值. 【知识点】向量的坐标运算;三角函数的化简求值. F2 C7 【答案解析】(1) 1=ω(2)213+ 解析：(1)=)(x f 2m·n -11cos 2cos sin 22-+⋅=x x x ωωω =)42sin(22cos 2sin πωωω+=+x x x ． ………………6分由题意知：π=T ，即πωπ=22，解得1=ω．……………………7分 (2) 由(Ⅰ)知)42sin(2)(π+=x x f ，∵6π≤x ≤4π，得127π≤42π+x ≤43π，又函数y =sin x 在[127π，43π]上是减函数，∴ )34sin(2127sin2)(max πππ+==x f …………………………10分 =213+．…………………………………………………12分 【思路点拨】由向量的坐标运算能够列出关系式，求出ϖ的值，再依照解析式在概念域内求出函数的最大值. 【题文】17、（本小题总分值12分）已知函数1)2(log )(2-+-=t t t f 的概念域为D（1）求D ；（2）假设函数222)(m mx x x g -+=在D 上存在最小值2，求实数m 的值. 【知识点】函数的概念域;二次函数的最值. B1 B5【答案解析】(1) )21[，=D (2) 1=m 解析：(1) 由题知⎩⎨⎧≥->-，，0102t t 解得21<≤t ，即)21[，=D ．……………3分(2) g (x )=x 2+2mx -m 2=222)(m m x -+，此二次函数对称轴为m x -=．……4分 ① 假设m -≥2，即m ≤-2时， g (x )在)21[，上单调递减，不存在最小值；②若21<-<m ，即12-<<-m 时， g (x )在)1[m -，上单调递减，]2(，m -上递增， 现在22)()(2min ≠-=-=m m g x g ，现在m 值不存在； ③m -≤1即m ≥-1时， g (x )在)21[，上单调递增，现在221)1()(2min =-+==m m g x g ，解得m =1． ………………11分 综上：1=m ． ………………………………………………12分【思路点拨】由解析式成立的条件能够取得函数的概念域，再依照二次函数的性质求出m.【题文】1八、（本小题总分值12分）在ABC ∆中，c b a ,,别离是内角C B A ,,的对边，AB=5,51=∠ABC COS . （1）假设BC=4,求ABC ∆的面积ABC S ∆； （2）假设D 是边AC 的中点，且27=BD ，求边BC 的长. 【知识点】同角三角函数关系；三角形面积公式;余弦定理. C2 C8 【答案解析】(I) 46ABC S ∆= (II) 4=CB . 解析：(1) 51cos 5=∠=ABC AB ，，4BC =，又(0,)ABC π∠∈， 因此562cos 1sin 2=∠-=∠ABC ABC ， ∴645624521sin 21=⨯⨯⨯=∠⋅⋅=∆ABC BC BA S ABC ．…………6分 (2) 以BC BA ，为邻边作如下图的平行四边形ABCE ， 如图，则51cos cos -=∠-=∠ABC BCE ，BE =2BD =7，CE =AB =5，BCDE在△BCE 中，由余弦定理：BCE CE CB CE CB BE ∠⋅⋅-+=cos 2222． 即)51(5225492-⨯⨯⨯-+=CB CB ，解得：4=CB ． ……………………………………10分【思路点拨】(1)利用同角三角函数关系求ABC ∠正弦值，再用三角形面积公式求得结论；（2）构造以BC BA ，为邻边作如下图的平行四边形ABCE ，在三角形BCE 中利用余弦定理求出边BC 长.【题文】1九、（本小题总分值12分）记公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为8533,,,9,a a a S S n =成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式n a 和n S ；（2）假设，⋯=+=3,2,1,2n a n c n n λ问是不是存在实数λ，使得数列{}n c 为单调递增数列？假设存在，请求出λ的取值范围，假设不存在，请说明理由.【知识点】等差数列及其前n 项和；等比数列；单调递增数列的条件. D1 D2 D3【答案解析】(1)1+=n a n ，2322n n S n =+；（2）存在实数λ，且3->λ. 解析：(1) 由832539a a a S ⋅==，，得：⎪⎩⎪⎨⎧+⋅+=+=⨯+，，)7()2()4(9223311211d a d a d a d a 解得：121==d a ，．∴ 1+=n a n ，n n n n S n 2322)12(2+=++=． …………………………………5分(2) 由题知=n c )1(2++n n λ． ………………………………………………6分 假设使}{n c 为单调递增数列，则=-+n n c c 1-+++)2()1(2n n λ)]1([2++n n λ =012>++λn 对一切n ∈N *恒成立， 即： 12-->n λ对一切n ∈N *恒成立， ………………………………… 10分 又12)(--=n n ϕ是单调递减的, ∴ 当1=n 时，max )(n ϕ=-3，∴ 3->λ． …………………………………………………………………12分【思路点拨】(1)依照已知条件可求出等差数列的首项与公差，从而求得n a 和n S ；（2）假设数列{}n c 为单调递增数列，那么=-+n n c c 1012>++λn 对一切n ∈N *恒成立，即： 12-->n λ对一切n ∈N *恒成立，由此得λ的取值范围.【题文】20、（本小题总分值13分）已知函数e ax e x f x (1)(--=为自然对数的底数），0>a （1）假设函数)(x f 恰有一个零点，证明：1-=a aea（2）假设0)(≥x f 对任意R x ∈恒成立，求实数a 的取值集合. 【知识点】导数的应用. B12【答案解析】(1)观点析；（2）a 的取值集合为{1}.解析：(1)证明： 由1)(--=ax e x f x ，得a e x f x -=')(．…………………………1分 由)(x f '>0，即a e x ->0，解得x >ln a ，同理由)(x f '<0解得x <ln a ， ∴ )(x f 在(-∞，ln a )上是减函数，在(ln a ，+∞)上是增函数， 于是)(x f 在a x ln =取得最小值．又∵ 函数)(x f 恰有一个零点，那么0)(ln )(min ==a f x f ， ………………… 4分 即01ln ln =--a a e a ．………………………………………………………… 5分化简得：1ln 1ln 01ln -=-==--a a a a a a a a a 于是，即，， ∴ 1-=a a e a ． ………………………………………………………………… 6分 (2)解：由(Ⅰ)知，)(x f 在a x ln =取得最小值)(ln a f ，由题意得)(ln a f ≥0，即1ln --a a a ≥0，……………………………………8分 令1ln )(--=a a a a h ，那么a a h ln )(-='， 由0)(>'a h 可得0<a <1，由0)(<'a h 可得a >1．∴ )(a h 在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，即0)1()(max ==h a h ， ∴ 当0<a <1或a >1时，h (a )<0，∴ 要使得)(x f ≥0对任意x ∈R 恒成立，.1=a ∴a 的取值集合为{1}………13分【思路点拨】依照函数的导数可判定函数的单调性,由此得函数f(x)只有一个最小值，因为函数)(x f 恰有一个零点，因此此最小值是0，从而证得结论；（1）0)(≥x f 对任意R x ∈恒成立，即函数f(x)的最小值大于或等于0，由此得关于a 的不等式，再利用导数求得结论. 【题文】2一、（本小题总分值14分）已知函数),(ln 2)(2R b a x bx x a x f ∈+-=. （1）假设1==b a ，求)(x f 点())1(,1f 处的切线方程；（2）设0≤a ，求)(x f 的单调区间；（3）设0<a ，且对任意的)2()(,0f x f x ≤>，试比较)ln(a -与b 2-的大小 【知识点】导数的几何意义；导数的应用；数值大小的比较. B11 B12 E1【答案解析】(1) 2230x y --=；（2）当a =0，b ≤0时，函数)(x f 的单调递增区间是)0(∞+，；当a =0，b >0时，函数)(x f 的单调递增区间是(0，b 1)，单调递减区间是(b 1，+∞)；当0<a 时，函数)(x f 的单增区间是(0，a a b b 242--)，单减区间是(aab b 242--，+∞)．（3）ln()2a b -<-.解析：(1) 1==b a 时，x x x x f ln 21)(2+-=，xx x f 11)(+-='， ∴21)1(-=f ，1)1(='=f k ，…………………………………………2分 故)(x f 点()1(1f ，)处的切线方程是2230x y --=．……………3分(2)由()()∞+∈+-=，，0ln 22x x bx x a x f ，得x bx ax x f 1)(2+-='． (1)当0=a 时，xbxx f -='1)(． ①假设b ≤0，由0>x 知0)(>'x f 恒成立，即函数)(x f 的单调递增区间是)0(∞+，．………5分 ②假设0>b ， 当bx 10<<时，0)(>'x f ；当b x 1>时，0)(<'x f ．即函数)(x f 的单调递增区间是(0，b 1)，单调递减区间是(b1，+∞)．…………7分 (2) 当0<a 时，0)(='x f ，得012=+-bx ax ，由042>-=∆a b 得aa b b x a a b b x 24242221--=-+=，．显然，0021><x x ，，当20x x <<时，0)(>'x f ，函数)(x f 的单调递增， 当2x x >时，0)(<'x f ，函数)(x f 的单调递减，因此函数)(x f 的单调递增区间是(0，aab b 242--)，单调递减区间是(aa b b 242--，+∞)．……9分 综上所述：当a =0，b ≤0时，函数)(x f 的单调递增区间是)0(∞+，；当a =0，b >0时，函数)(x f 的单调递增区间是(0，b 1)，单调递减区间是(b1，+∞)； 当0<a 时，函数)(x f 的单增区间是(0，a a b b 242--)，单减区间是(aa b b 242--，+∞)． 10分 (3)由题意知函数)(x f 在2=x 处取得最大值．由(2)知，aa b b 242--是)(x f 的唯一的极大值点， 故aa b b 242--=2，整理得a b 412--=-． 于是ln()(2)ln()(14)ln()14a b a a a a ---=----=-++令()ln 14(0)g x x x x =+->，那么1()4g x x '=-． 令0)(='x g ，得14x =，当1(0)4x ∈，时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增； 当1()4x ∈+∞，时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减． 因此对任意0x >，)(x g ≤11()ln 044g =<，又0a ->， 故()0g a -<，即041)ln(<++-a a ，即ln()142a a b -<--=-，∴ ln()2a b -<-．……………………………………………………………14分【思路点拨】（1）利用导数的几何意义)(x f 点())1(,1f 处的切线方程；（2）通过讨论a,b 的取值条件，得概念域上函数f(x)的导函数大于0或小于0的x 范围，确实是函数f(x)的增区间或减区间；（3）因为对任意的)2()(,0f x f x ≤>，因此函数)(x f 在2=x 处取得最大值．由(2)知，0<a 时，a a b b 242--是)(x f 的唯一的极大值点，故aa b b 242--=2，整理得a b 412--=-．因此ln()(2)a b ---=ln()41a a -++，利用导数判定那个式子的符号即可.。
高三数学试题-四川省绵阳市高中2018届高三第一次诊断性考试数学文试题 最新
四川省绵阳市高中2018届高三第一次诊断性考试数学文试题本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题） 组成，共4页；答题卷共4页．全卷满分150分．考试结束后将答题卡和答题卷一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A + B ）= P （A ）+ P （B ）； 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）；如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：k n k k n n P P C k P --⋅⋅=)1()(．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．已知集合M ={x ∈Z|-2<x <1}，N ={-1，0，1}，则集合M 与N 的关系是A ．M ∈NB ．M ⊆NC ．M ⊇ND ．M =N2．)(x f '是函数f (x )=x 3-x +1的导数，则)1()1(f f '的值是 A ．0B ．1C ．2D ．33．下列函数中，与函数11-=x y 有相同定义域的是A ．1-=x yB ．11-=x y C ．()1ln -=x y D ．1-=x e y 4．数列{a n }中，a n =2n -12，S n 是其前n 项和，则当S n 取最小值时，n =A ．5或6B ．6或7C ．11或12D ．12或13 5．如果命题“p 且q ”与“非p ”都是假命题，则A ．命题p 不一定是真命题B ．命题q 不一定是假命题C ．命题q 一定是真命题D ．命题q 一定是假命题 6．函数f (x )=x 4-x 2+1在点x=1处的切线方程为A ．y =x +1B ．y =x -1C ．y =2x +1D ．y =2x -17．集合A ={-1，1}，集合B ={-2，2}，从A 到B 的映射f 满足f (1)+f (-1)=0，则此映射表示的函数是A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 8．函数y =lg|x -1|的图象大致为xyO 1 2 x yO 1 2 x yO 1 xyO -1 -2 2A ．B ．C ．D ．9．函数⎩⎨⎧<+≥=-，，，，)0()1()0(2)(1x x f x x f x 则)2(-f 的值为A ．21B ．1C ．2D ．0 10．已知{a n }是公比q >1的等比数列，a 1和a 7是方程2x 2-7x +4=0的两根，则log 2a 3-log 2a 4+log 2a 5=A ．2B ．2C ．21D ．011．已知2b 是1-a 和1+a 的等比中项，则a +4b 的取值范围是A ．(-∞，45)B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-45，C ．(-1，45)D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-451，12．已知定义在R 上的偶函数f (x )的图象关于直线x =1对称，且当0≤x ≤1时，f (x )=x 2，若直线y =x +a与曲线y =f (x )恰有三个交点，则a 的取值范围为 A ．)041(，- B ．)2412(k k ，-（k ∈Z ） C ．)021(，-D ．)21(k k ，-（k ∈Z ）第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）注意事项：答第Ⅱ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用钢笔或圆珠笔（蓝、黑色）写在答题卷密封线内相应的位置．答案写在答题卷上，不能答在试题卷上． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．在等差数列{a n }中，如果a n =a n +2，那么公差d = ．14．为庆祝祖国母亲60华诞，教育局举行“我的祖国”歌咏比赛，某中学师生踊跃报名参加．据统计，报名的学生和教师的人数之比为5∶1，学校决定按分层抽样的方法从报名的师生中抽取60人组队参加比赛，已知教师甲被抽到的概率为101，则报名的学生人数是 ． 15．写出“函数f (x )=x 2+2ax +1(a ∈R)在区间(1，+∞)上是增函数”成立的一个．．充分不必要条件：_________． 16．已知二次函数f (x )=x 2-mx +m （x ∈R ）同时满足：（1）不等式f (x )≤0的解集有且只有一个元素；（2）在定义域内存在0<x 1<x 2，使得不等式f (x 1)>f (x 2)成立．设数列{a n }的前n 项和S n =f (n )，nn a mb -=1．我们把所有满足b i ·b i +1＜0的正整数i 的个数叫做数列{b n }的异号数．给出下列五个命题：① m =0； ② m =4；③ 数列{a n }的通项公式为a n =2n -5；④ 数列{b n }的异号数为2； ⑤ 数列{b n }的异号数为3．其中正确命题的序号为 ．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分）已知函数()23log 1)(2-=x x f 的定义域为集合A ，不等式x-21≥1的解集为B ．（1）求(R A )∩B ；（2）记A ∪B =C ，若集合M ={x ∈R||x -a |<4}满足M ∩C =∅，求实数a 的取值范围．18．（本题满分12分）有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况，命制了一份有10道题的问卷到各学校做问卷调查．某中学A ，B 两个班各被随机抽取5名学生接受问卷调查，A 班5名学生得分为：5、8、9、9、9；B 班5名学生得分为：6，7，8，9，10． （1）请你估计A ，B 两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些；（2）如果把B 班5名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为2的样本，求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的概率．19．（本题满分12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10=120，S 20=440．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）记数列{nS 1}的前n 项和为T n ，求T n ． 20．（本题满分12分）已知函数f (x )=a x +2-1（a >0，且a ≠1）的反函数为)(1x f -．（1）求)(1x f -；（2）若)(1x f -在[0，1]上的最大值比最小值大2，求a 的值； （3）设函数1log )(-=x a x g a，求不等式g (x )≤)(1x f -对任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2131，a 恒成立的x 的取值范围．21．（本题满分12分）已知x 1，x 2是函数x a x b x a x f 22323(-+=）（a >0）的两个极值点． （1）若a =1时，x 1=21，求此时f (x )的单调递增区间； （2）若x 1，x 2满足|x 1-x 2|=2，请将b 表示为a 的函数g (a )，并求实数b 的取值范围．22．（本题满分14分）已知数列{a n }共有2k 项（k ∈N*，k ≥2），首项a 1=2．设{a n }的前n 项的和为S n ，且a n +1=(a -1)S n +2（n =1，2，3，…，2k -1），其中常数a >1．（1）求证{a n }是等比数列，并求{a n }的通项公式； （2）若数列{b n }满足)(log 1212n n a a a nb =（n =1，2，3，…，2k ），求{b n }的通项公式； （3）令a =1222-k ，对（2）中的{b n }满足不等式231-b +232-b +…+2312--k b +232-k b ≤4，求k 的值．绵阳市高中2018届高三第一次诊断性考试数学(文)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BCCAD DABAC DB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．0 14．500 15．a =-1（答案不唯一）16．②⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：由⎩⎨⎧≠->-123023x x ，解得32>x 且x ≠1，即A ={x |32>x 且x ≠1}，由x-21≥1解得1≤x <2，即B ={x |1≤x <2}． ………………………………4分 （1）于是R A ={x |x ≤32或x =1}，所以(R A )∩B ={1}． ……………………7分（2）∵ A ∪B ={x |32>x }，即C ={x |32>x }．由|x -a |<4得a -4<x <a +4，即M ={x |a -4<x <a +4}． ∵ M ∩C =∅，∴ a +4≤32，解得a ≤310-．…………………………………………………12分18．解：（1）∵ A 班的5名学生的平均得分为(5+9+9+9+9)÷5=8，方差4.2])89()89()89()88()58[(512222221=-+-+-+-+-=S ；B 班的5名学生的平均得分为(6+7+8+9+10)÷5=8，方差2])108()98()88()78()68[(512222222=-+-+-+-+-=S ．∴ S 12>S 22，∴ B 班的预防知识的问卷得分要稳定一些．…………………………………8分（2）共有1025=C 种抽取样本的方法，其中样本6和7，6和8，8和10，9和10的平均数满足条件，故所求的概率为52104=．………………………………………………………12分 19．解：（1）设{a n }的公差为d ，由题设有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯⨯+=⨯⨯+.440219202012029101011d a d a ，解得a 1=3，d =2．……………………………………5分 a n =a 1+(n -1)d =3+(n -1)×2=2n +1，即{a n }的通项公式为a n =2n +1． ………………………………………………6分（2）由)2(2)123(+=++=n n n n S n ，得)2(11+=n n S n ， ……………………8分 ∴ T n )2(1531421311+++⨯+⨯+⨯=n n )21151314121311(21+-++-+-+-=n n)2111211(21+-+-+=n n ， =)2(21)1(2143+-+-n n ． …………………………………………………12分20．解：（1）令y =f (x )=a x +2-1，于是y +1=a x +2，∴ x +2=log a (y +1)，即x =log a (y +1)-2，∴ )(1x f -=log a (x +1)-2(x >-1)．………………………………………………3分 （2）当0<a <1时，)(1x f -max =log a (0+1)-2=-2，)(1x f -min =log a (1+1)-2=log a 2-2，∴ -2-(2log a -2)=2，解得22=a 或22-=a （舍）． 当a >1时，)(1x f -max =log a 2-2，)(1x f -min =-2，∴ 2)2()22(log =---a ，解得2=a 或2-=a （舍）．∴ 综上所述，22=a 或2=a ．……………………………………………7分 （3）由已知有log a 1-x a≤log a (x +1)-2，即1log -x a a ≤21log a x a +对任意的]2131[，∈a 恒成立．∵ ]2131[，∈a ，∴ 21ax +≤1-x a ．①由21ax +>0且1-x a >0知x +1>0且x -1>0，即x >1，于是①式可变形为x 2-1≤a 3，即等价于不等式x 2≤a 3+1对任意的]2131[，∈a 恒成立．∵ u =a 3+1在]2131[，∈a 上是增函数，∴ 2728≤a 3+1≤89，于是x 2≤2728，解得9212-≤x ≤9212． 结合x >1得1<x ≤9212． ∴ 满足条件的x 的取值范围为⎥⎥⎦⎤⎝⎛92121，．…………………………………12分 21．解：（1）∵ a =1时，x x b x x f -+=23231(）， ∴ 1)(2-+='x b x x f ．由题知21是方程012=-+x b x 的根，代入解得23=b ， 于是123)(2-+='x x x f ．由0)(>'x f 即01232>-+x x ，可解得x <-2，或x >21，∴ f (x )的单调递增区间是(-∞，-2)，(21，+∞)．…………………………4分（2）∵ 22)(a x b ax x f -+='，∴ 由题知x 1，x 2是方程ax 2+b x -a 2=0的两个根． ∴ abx x -=+21，x 1x 2=-a ， ∴ |x 1-x 2|=244)(221221=+=-+a abx x x x ． 整理得b =4a 2-4a 3．……………………………………………………………8分 ∵ b ≥0， ∴ 0<a ≤1．则b 关于a 的函数g (a )=4a 2-4a 3(0<a ≤1)． 于是)32(4128)(2a a a a a g -=-='，∴ 当)320(，∈a 时，0)(>'a g ；当⎥⎦⎤⎝⎛∈132，a 时，.0)(<'a g∴ g(a )在)320(，上是增函数，在⎥⎦⎤⎝⎛132，上是减函数．∴ 2716)32()(max ==g a g ，0)1()(min ==g a g ， ∴ 0≤b ≤2716． ………………………………………………………………12分 22．解：（1）n =1时2)1(12+-=S a a 2)1(1+-=a a a 2=，∴a aa a ==2212（常数）． n ≥2时，由已知a n +1=(a -1)S n +2有a n =(a -1)S n -1+2， 两式相减得a n +1-a n =(a -1)a n ，整理得a n +1=a ·a n ，即a a ann =+1（常数）即对n =1，2，3，…，2k -1均有a a a nn =+1（常数） 故{a n }是以a 1=2，a 为公比的等比数列．∴ a n =2a n -1．……………………………………………………………………5分 （2）)]2()2()2[(log 1)(log 11102212-⋅⋅⋅==n n n a a a n a a a n b )2(log 112102-++++⋅=n n a n]2[log 12)1(2-⋅=n n n a na n 2log 211-+=．……………………………………………………9分（3）由已知1222-=k a ，得12112log 2111222--+=-+=-k n n b k n ， 由02112123121123>---=---+=-k n k n b n 知21+>k n ，∴ 当n =1，2，…，k 时n n b b -=-23|23|，当n =k +1，k +2，…，2k 时23|23|-=-n n b b ，∴ |23||23||23||23|21221-+-++-+--k k b b b b23232323232322121-++-+-+-++-+-=++k k k k b b b b b b =]122)12([]122)10([+-+++--++-k k k k k k k k k =122-k k ， ∴ 原不等式变为122-k k ≤4，解得324-≤k ≤324+，∵ k ∈N*，且k ≥2，∴ k =2，3，4，5，6，7．……………………………………………………14分绵阳市高中2018届高三第一次诊断性考试数学（第Ⅱ卷） 答题卷（文史类）题号 二 三 第Ⅱ卷总 分总分人总分 复查人 17 18 19 20 21 22 分数得 分 评卷人 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13． ． 14． ． 15． ．16． ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 得 分 评卷人 17．（本题满分12分）得分评卷人18．（本题满分12分）得分评卷人19．（本题满分12分）得分评卷人20．（本题满分12分）得分评卷人21．（本题满分12分）得分评卷人22．（本题满分14分）。
2021-2022学年四川省绵阳市高三(上)一诊数学试卷(文科)(附详解)
2021-2022学年四川省绵阳市高三（上）一诊数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|−1<x ≤1}，B ={−1,0,1}，则A ∩B =( )A. {−1,0}B. {−1,1}C. {0,1}D. {−1,0,1}2. 设函数f(x)={x +2,(x ≤0),√x,(x >0),若f(a)=f(a −2)，则f(5−a)=( )A. 2B. 0或1C. 2或√5D. √53. 若0<a <b ，则下列结论正确的是( )A. lna >lnbB. b 2<a 2C. 1a <1bD. (12)a >(12)b4. 已知函数f(x)对任意实数x ，满足f(x)+f(−x)=0，当x ≥0时，f(x)=2x −m(m 为常数)，则f(1−log 23)=( )A. 12B. −12C. 13D. −135. 已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若−5，S 3，S 6成等差数列，则S 9−S 6的最小值为( )A. 25B. 20C. 15D. 106. 设x ，y 满足约束条件{x +y −5≤02x +y −8≤0y ≤3，则z =3x +4y 的最大值是( )A. 12B. 17C. 18D. 3927. “ln(x +2)<0”是“x <−1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 函数f(x)=sinx+x cosx在(−π2, π2)上的图象大致为( )A.B.C.D.9. 通常人们用震级来描述地震的大小．地震震级是对地震本身大小的相对量度，用M表示，强制性国家标准GB17740—1999《地震震级的规定》规定了我国地震震级的计算和使用要求，即通过地震面波质点运动最大值(A/T)max 进行测定，计算公式如下：M =log(A/T)max +1.66lgΔ+3.5(其中Δ为震中距)，已知某次某地发生了4.8级地震，测得地震面波质点运动最大值为0.01，则震中距大约为( )A. 58B. 78C. 98D. 11810. 已知a =(1681)−14，b =log 32+log 23，c =23log 23，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. c >b >aB. b >a >cC. a >c >bD. b >c >a11. 把函数f(x)=3sin(2x +π6)的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若g(x 1)=g(x 2)−6，x 1，x 2∈[−π,π]，则x 1−x 2的最大值为( )A. 3π4B. πC. 7π4D. 2π12. 设D ，E 为△ABC 所在平面内两点，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 32AB ⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. AB ⃗⃗⃗⃗⃗−32AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. −AB ⃗⃗⃗⃗⃗+32AC ⃗⃗⃗⃗⃗二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知平面向量a ⃗ =(1,√3)，b ⃗ =(m,−1)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|b ⃗ |=______． 14. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=2，S 7=35，则a 6=______． 15. 若β∈(π2,π)，sinβ=13，若3sin(α+2β)=sinα，则tan(α+β)=______．16.已知函数f(x)=2x2−ax，若不等式|f(x)|≤1任意的x∈[0,1]恒成立，则实数a的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在极坐标系中，已知点M(2,0)，曲线C1是以极点O为圆心，以OM为半径的半圆，曲线C2是过极点且与曲线C1相切于点(2,π2)的圆．(1)分别写出曲线C1，C2的极坐标方程；(2)直线θ=α(0<α<π,ρ∈R)与曲线C1，C2分别相交于点A，B(异于极点)，求△ABM面积的最大值．18.已知函数f(x)=−13x3+ax2+3a2x−53．(1)若a=−1时，求f(x)在区间[−4,2]上的最大值与最小值；(2)若函数f(x)仅有一个零点，求实数a的取值范围．19.已知函数f(x)=|x+m|−|x−2m|(m>0)的最大值为6．(1)求m的值；(2)若正数x，y，z满足x+y+z=m，求证：√xy+√xz≤√m．20.已知函数f(x)=(x−2)e x+ax2−bx，其图象在点(0,f(0))处的切线斜率为−3．(1)求b的值；(2)若f(x)>−e−1在上恒成立，求实数a的取值范围．21.已知S n是数列{a n}的前n项和，S n=2a n−2．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求a1a2−a2a3+⋅⋅⋅+(−1)n+1a n a n+1．22.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π2，点M(−7π24,−2)是该函数图象的一个最低点．(1)求函数f(x)的解析式及函数f(x)的单调递增区间；(2)若x∈[−π8,π8]，求函数y=f(x)的值域．23.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，从以下三个条件中任选一个：①btanC=(2a−b)tanB；②2ccosB=2a−b；③accosA+a2(cosC−1)=b2−c2，解答如下的问题．(1)求角C的大小；(2)若△ABC为锐角三角形，且a=mb，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|−1<x≤1}，B={−1,0,1}，∴A∩B={0,1}．故选：C．利用交集定义直接求解．本题考查集合的运算，考查交集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：由函数解析式可知，x>0时，f(x)单调递增，当x≤0时，f(x)也是单调递增函数，所以若f(a)=f(a−2)，0≤a−2<a，所以f(a−2)=(a−2)+2=a，f(a)=√a，所以a=√a，解得a=0或1，(a=0舍去)，所以a=1，所以f(5−a)=f(4)=√4=2，故选：A．根据解析式可知x>0时，f(x)单调递增，当x≤0时，f(x)也是单调递增函数，所以要满足f(a)=f(a−2)，只能是0≤a−2<a，代入解析式可得a，从而求得f(5−a)．本题考查了分段函数求值，以及函数单调性，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：对于A，因为函数f(x)=lnx在(0,+∞)上单调递增，又0<a<b，则f(a)<f(b)，即lna<lnb，故A错误；对于B ，因为函数f(x)=x 2在(0,+∞)上单调递增， 又0<a <b ，则f(a)<f(b)，即a 2<b 2，故B 错误； 对于C ，0<a <b ，由不等式的性质可得1a >1b ，故C 错误； 对于D ，因为函数f(x)=(12)x 在(0,+∞)上单调递减， 又0<a <b ，则f(a)>f(b)，即(12)a >(12)b ，故D 正确． 故选：D ．由对数函数的性质即可判断A ；由二次函数的性质即可判断B ；由不等式的性质即可判断C ；由指数函数的性质即可判断D ．本题主要考查不等式的基本性质，考查函数思想与逻辑推理能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：函数f(x)对任意实数x ，满足f(x)+f(−x)=0，即有f(−x)=−f(x)， 且f(0)=0，当x ≥0时，f(x)=2x −m(m 为常数)， 则f(0)=1−m =0，解得m =1，所以f(1−log 23)=−f(log 23−1)=−(2log 23−1−1)=−(32−1)=−12， 故选：B ．由奇函数f(x)在x =0处有定义，可得f(0)=0，求得m 的值，由奇函数的定义和已知解析式，结合对数的运算性质，可得所求值．本题考查函数的奇偶性的定义和运用，以及对数的运算性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：因为{a n }是正项等比数列， 所以S 3，S 6−S 3，S 9−S 6仍然构成等比数列， 所以(S 6−S 3)2=S 3(S 9−S 6)， 又−5，S 3，S 6成等差数列，所以S 6−5=2S 3，S 6−S 3=S 3+5，所以S9−S6=(S6−S3)2S3=(S3+5)2S3=S3+25S3+10，又正项等比数列{a n}，所以S3>0，所以S3+25S3+10≥2√S3×25S3+10=20，当且仅当S3=5时，等号成立，所以S9−S6的最小值为20，故选：B．利用等比数列前n项和的性质表示出S9−S6，再表示成同一变量S3，然后利用基本不等式求出其最小值即可．本题考查了等比数列的性质，等差数列等比数列综合，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立方程组解得A(2,3)，由z=3x+4y，得y=−34x+z4，由图可知，当直线y=−34x+z4过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3×2+4×3=18．故选：C．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．7.【答案】A【解析】解：由ln(x+2)<0，得0<x+2<1，解得−2<x<−1，由−2<x<−1可以推出x<−1，反之x<−1不能推出−2<x<−1，所以“ln(x+2)<0”是“x<−1”的充分不必要条件，故选：A．求解不等式ln(x+2)<0得−2<x<−1，由充分必要条件的定义判断即可．本题考查了对数不等式解法，充分必要条件的判定，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：函数f(x)=sinx+xcosx 在(−π2, π2)为奇函数，则其图象关于原点对称，因为f(π4)=sinπ4+π4cosπ4>0，故选项B，D错误，又f(π4)=sinπ4+π4cosπ4>1，故选项C错误．故选：A．利用特殊值f(π4)，即可判断得到答案．本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由题意得：设震中距为x，则4.8=lg0.01+3.5+1.66lgx，易得lg0.01=−2，整理得lgx近似等于1.99，即lgx=1.99，因为lg100=2，且1.99<2，可得x等于98，故选：C．由题意列出方程，再由对数运算进行求解即可．本题考查函数的实际应用，属于容易题．10.【答案】B【解析】解：∵a =(1681)−14=32，b =log 32+log 23>log 31+log 22√2>32， c =23log 23=log 2323<log 2232=32，∴b >a >c ． 故选：B ．利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】C【解析】解：将f(x)的图象向右平移π6个单位，得到y =3sin[2(x −π6)+π6]=3sin(2x −π6)， 再把横坐标缩短到原来的12倍，得到g(x)=3sin(2⋅2x −π6)=3sin(4x −π6)， 由题意，要使g(x 1)=g(x 2)−6，x 1，x 2∈[−π,π]，只需g(x 1)=g(x)min ，g(x 2)=g(x)max ，故4x 1−π6=−π2+2kπ,k ∈Z ，x 1=−π12+kπ2,k ∈Z ……①，4x 2−π6=π2+2kπ,k ∈Z ，x 2=π6+kπ2,k ∈Z ……②，由①式，当k =2时，x 1的最大值为11π12；由②式，k =−2时，x 2的最小值为−5π6，故x 1−x 2的最大值为11π12−(−5π6)=7π4．故选：C ．先根据图像的平移变换、伸缩变换的规律求出g(x)的解析式，然后根据正弦函数的性质求出g(x)的最值点的横坐标，根据给的范围求出结果． 本题考查三角函数的图像变换以及性质，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CE ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =32CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =32(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：B ．利用平面向量基本定理，向量的线性运算即可求解．本题主要考查平面向量基本定理，向量的线性运算，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：根据题意，向量a ⃗ =(1,√3)，b ⃗ =(m,−1)， 若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则a ⃗ ⋅b ⃗ =m −√3=0，解可得m =√3， 即b ⃗ =(√3,1)，则|b ⃗ |=√3+1=2； 故答案为：2．根据题意，由向量垂直的判断方法可得a ⃗ ⋅b ⃗ =m −√3=0，求出m 的值，进而计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，注意向量垂直的判断方法，属于基础题．14.【答案】7【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 7=35，得7a 1+21d =35，又a 1=2，所以14+21d =35，解得d =1， 所以a 6=a 1+5d =2+5=7． 故答案为：7．设等差数列{a n }的公差为d ，根据a 1=2，S 7=35，可求出d 值，从而利用a 6=a 1+5d 进行求解即可．本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．15.【答案】√22【解析】解：∵β∈(π2,π)，sinβ=13， ∴cosβ=−√1−sin 2β=−2√23，则tanβ=sinβcosβ=−√24． sin2β=2sinβcosβ=−4√29，cos2β=cos 2β−sin 2β=79．3sin(α+2β)=3sinαcos2β+3cosαsin2β=73sinα−4√23cosα=sinα，∴43sinα=4√23cosα，得tanα=√2．∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−√24+√21−(−√24)×√2=√22． 故答案为：√22．由已知求得tanβ，展开3sin(α+2β)=sinα的左边，求得tanα，再由两角和的正切求解tan(α+β)的值．本题考查三角函数的化简求值，考查两角和与差的三角函数，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】[1,2√2]【解析】解：f(x)=2x 2−ax ，不等式|f(x)|≤1对任意的x ∈[0,1]恒成立⇔−1≤2x 2−ax ≤1⇔−1≤ax −2x 2≤1对任意的x ∈[0,1]恒成立，(∗) ①当x =0时，−1≤0≤1，成立；②当x ≠0时，(∗)式化为2x −1x ≤a ≤2x +1x 对任意的x ∈(0,1]恒成立⇔∀x ∈(0,1]，(2x −1x)max ≤a ≤(2x +1x)min ，∵y =2x −1x 在(0,1]上单调递增，故(2x −1x)max =2×1−1=1③，又2x +1x ≥2√2x ⋅1x =2√2(当且仅当2x =1x ，即x =√22时取等号)，而√22∈(0,1]，符合题意，即(2x +1x )min =2√2④， 由③④得1≤a ≤2√2，即a ∈[1,2√2]， 故答案为：[1,2√2].不等式|f(x)|≤1对任意的x ∈[0,1]恒成立⇔−1≤ax −2x 2≤1对任意的x ∈[0,1]恒成立，(∗)；分x =0与x ≠0两类讨论，可得实数a 的取值范围．本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，考查运算求解算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)已知点M(2,0)，曲线C 1是以极点O 为圆心，以OM 为半径的半圆，曲线C 1是过极点且与曲线C 1相切于点(2,π2)的圆． 所以：曲线C 1的极坐标方程为ρ=2(0≤θ≤π)；曲线C 2是过极点且与曲线C 1相切于点(2,π2)的圆，整理得：x 2+(y −1)2=1， 根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为极坐标方程为ρ=2sinθ．(2)由于直线θ=α(0<α<π,ρ∈R)与曲线C 1，C 2分别相交于点A ，B(异于极点)， 所以S △ABM =S △AOM −S △BOM =12×2×2×sinα−12×2×2sinα⋅sinα=2sinα−2sin 2α=−2(sinα−12)2+12；当α=π6或5π6时，S △ABM 的最大值为12．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用三角形的面积公式和分割法的应用及二次函数的性质的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数的关系式的变换，分割法的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由题意得f′(x)=−x 2+2ax +3a 2=−(x −3a)(x +a)，当a =−1时，f′(x)=−(x −1)(x +3)，x ∈[−4,2]， 由f′(x)>0，解得−3<x <1，由f′(x)<0，解得−4≤x <−3或1<x ≤2，所以函数f(x)在区间(−3,1)上单调递增，在区间(−4,−3)，(1,2)上单调递减， 又f(−4)=−253，f(−3)=−323，f(1)=0，f(2)=−73， 所以函数f(x)在区间(−4,−2)上的最大值为0，最小值为−323． (2)函数f(x)只有一个零点，因为f′(x)=−x 2+2ax +3a 2=−(x −3a)(x +a)， ①当a <0时，由f′(x)>0，解得3a <x <−a ， 所以函数f(x)在区间(3a,−a)上单调递增，由f′(x)<0，解得x<3a或x>−a，所以函数f(x)在区间(−∞,3a)，(−a,+∞)上单调递减，又f(0)=−53<0，所以只需要f(−a)<0，解得−1<a<0，所以实数a的取值范围为(−1,0)．②当a=0时，显然f(x)只有一个零点成立，③当a>0时，由f′(x)>0，解得−a<x<3a，即f(x)在区间(−a,3a)上单调递增，由f′(x)<0，解得x<−a或x>3a，即函数f(x)在区间(−∞,−a)，(3a,+∞)上单调递减，又f(0)=−53<0，所以只需f(3a)<0，解得0<a<√533，综上，实数a的取值范围为(−1,√533).【解析】(1)根据题意可得当a=−1时，f′(x)=−(x−1)(x+3)，x∈[−4,2]，分析f′(x)的正负，f(x)的单调性，最值．(2)函数f(x)只有一个零点，又f′(x)=−(x−3a)(x+a)，分三种情况：①当a<0时，②当a=0时，③当a>0时，分析f(x)的零点，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．19.【答案】(1)解：由题意得f(x)=|x+m|−|x−2m|≤|(x+m)−(x−2m)|=|3m|，因为函数f(x)的最大值为6，所以|3m|=6，即m=±2．因为m>0，所以m=2．(2)证明：由(1)知，x+y+z=2，因为x>0，y>0，z>0，所以2=x+y+z=(x2+y)+(x2+z)≥2√xy2+2√xz2，当且仅当x2=y=z时，即x=1，y=z=12等号成立，即√2×√xy+√2×√xz≤2=m2，所以√xy+√xz≤√m，当且仅当x=1,y=z=12时，等号成立．【解析】(1)利用绝对值三角不等式求出f(x)的最大值，让最大值等于6即可得m的值；(2)由(1)知，x+y+z=2，由2=x+y+z=(x2+y)+(x2+z)利用基本不等式即可求证．本题主要考查绝对值不等式的解法，利用基本不等式证明不等式的方法等知识，属于中等题．20.【答案】解：(1)由题意可得f′(x)=(x−1)e x+2ax−b，因为函数f(x)的图象在点(0,f(0))的切线的斜率为−3，所以f′(0)=−b−1=−3，解得b=2．(2)因为f(x)>−e−1恒成立，所以f(1)=−e+a−2>−e−1，即a>1，所以f(x)≥(x−2)e x+x2−2x(当x=0时，取“=”)，令g(x)=(x−2)e x+x2−2x，则g′(x)=(x−1)e x+2(x−1)=(x−1)(e x+2)，由g′(x)>0，得x>1，由g′(x)<0，得x<1，所以函数g(x)在区间(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以g(x)min=g(1)=−e−1，所以g(x)≥−e−1(当x=1时，取“=”)，所以f(x)>−e−1，综上所述，a的取值范围为a>1．【解析】(1)求导得f′(x)=(x−1)e x+2ax−b，由导数的几何意义可得k切=f′(0)=−3，解得b，即可得出答案．(2)由于f(1)=−e+a−2>−e−1，即a>1，则f(x)≥(x−2)e x+x2−2x(当x=0时，取“=”)，令g(x)=(x−2)e x+x2−2x，求导，分析g′(x)的正负，即可得出f(x)的单调性，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．21.【答案】解：(1)当n=1时，S1=2a1−2=a1，解得a1=2．∵S n=2a n−2，①∴当n≥2时，S n−1=2a n−1−2.②①−②得a n=2a n−1，整理得a n=2a n−1(n≥2)．∴数列{a n}是以首项为2，公比为2的等比数列．∴a n=2n．(2)由(1)得(−1)n+1a n a n+1=−2×(−4)n．∴T n=a1a2−a2a3+⋯+(−1)n+1a n a n+1=−2−4[1−(−4)n]1−(−4)=85[1−(−4)n]．【解析】(1)利用公式法求解即可得出{a n}得通项公式；(2)先求出(−1)n+1a n a n+1的通项公式可得其是一个等比数列，再利用等比数列求和公式进行求解．本题主要考查数列通项公式的求解，等比数列前n项和公式等知识，属于中等题．22.【答案】解：(1)∵函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π2=2πω，∴ω=4，∵点M(−7π24,−2)是该函数图象的一个最低点，∴A=2，可得2cos[4×(−7π24)+φ]=−2，可得4×(−7π24)+φ=π+2kπ，k∈Z，可得φ=2kπ+13π6，k∈Z，又∵|φ|<π2，∴φ=π6，∴函数f(x)的解析式为f(x)=2cos(4x+π6)，令2kπ−π≤4x+π6≤2kπ，k∈Z，解得12kπ−7π24≤x≤12kπ−π24，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间是：[12kπ−7π24,12kπ−π24]，k∈Z．(2)∵x∈[−π8,π8 ]，∴4x+π6∈[−π3,2π3]，∴cos(4x +π6)∈[−12,1]，∴f(x)=2cos(4x +π6)∈[−1,2]，即函数y =f(x)的值域是[−1,2]．【解析】(1)由已知利用余弦函数的周期公式可求ω，又点M(−7π24,−2)是该函数图象的一个最低点，可求A =2，结合范围|φ|<π2，可求φ的值，进而可求函数f(x)的解析式，进而根据余弦函数的单调性即可求解． (2)由题意可求范围4x +π6∈[−π3,2π3]，进而根据余弦函数的性质即可求解．本题主要考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，考查了余弦函数的性质，属于中档题．23.【答案】解：(1)选择条件①：由btanC =(2a −b)tanB ，得bsinC cosC =(2a−b)sinBcosB，由正弦定理可得，sinBsinCcosB =(2sinA −sinB)sinBcosC ， ∴sinCcosB =2sinAcosC −sinBcosC ，∴2sinAcosC =sinCcosB +sinBcosC =sin(C +B)=sinA ， ∵A ∈(0,π)，∴sinA ≠0， ∴cosC =12，又C ∈(0,π2)， ∴C =π3．选择条件②：由正弦定理可得，2sinCcosB =2sinA −sinB ， 又sinA =sin(C +B)，∴2sinCcosB =2sin(C +B)−sinB =2(sinCcosB +cosCsinB)−sinB ， 化简整理得2cosCsinB =sinB ，由sinB >0，故cosC =12， 又0<C <π2， ∴C =π3．选择条件③：由己知得，b 2+a 2−c 2=accosA +a 2cosC ， 由余弦定理，得b 2+a 2−c 2=2abcosC ， ∵b 2+c 2−a 2=accosC +c 2cosA ， ∴2abcosC =accosA +a 2cosC ， ∵a >0，∴2bcosC =ccosA +acosC ，由正弦定理，有2sinBcosC =sinCcosA +sinAcosC =sin(A +C)=sinB ， ∵sinB ≠0，∴cosC =12， 又C ∈(0,π2)，∴C =π3． (2)∵a =mb ， ∴m =ab =sinAsinB =sin(B+π3)sinB=12+√32tanB ，∵△ABC 为锐角三角形，则B ∈(π6,π2)， ∴tanB >√33， ∴12<m <2．【解析】(1)选择条件①：由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求cosC 的值，结合范围C ∈(0,π2)，可求C 的值．选择条件②：由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合sinB >0，可求cosC =12，结合0<C <π2，可求C 的值． 选择条件③：由余弦定理，正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得cosC =12，结合范围C ∈(0,π2)，可求C 的值．(2)由题意利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求m =12+√32tanB ，可求范围B ∈(π6,π2)，利用正切函数的性质即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换以及正切函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．。
2023年绵阳市第一次诊断考试文科数学答案
绵阳市高中2021级第一次诊断性考试文科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BBCAD BACBC BC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．714．15．[1)，-+∞16．1三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）由S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则4S 2=S 1+3S 3，得3a 3=a 2，················3分∴数列{a n }的公比q 31=，·····································································4分由271=a ，数列{a n }的通项公式n n n q a a --=⋅=4113；·································6分（2）令n n a b 3log =，则n b n n -==-43log 43，·········································8分∴当4≤n 时，0≥n b ，········································································9分∴当3=n 或4时，T n 取得最大值：612343=++==T T ．···························12分18．解：（1）∵1)8tan()3(=+=ϕππf ，∴πππϕk +=+48，而2||πϕ<，····························································2分∴8πϕ=，即)883tan()(π+=x x f ，·························································3分∴()f x 的最小正周期为：83T ππω==；··················································4分（2）由题意，33()tan()888g x x πλ=++，····················································5分∵(0)tan tan()88f ππ-=-=-，∴)8tan()883323tan()0(4(ππλππ-=++-=，得由f g ，··································7分∴∈+-=+k k ，πππλ832783Z ，······························································9分∴0381211>∈+-=λππλ，又，Z k k ，·····················································10分∴λ的最小值为74π．··········································································12分19．解：（1）∵232()(2)(2)=22(2)(2)f x x m x m x m x mx m m =+-+--+--为奇函数，∴2(2)0(2)0m m m --=⎧⎨--=⎩，解得：m =2．···························································5分（2）当m >0时，2x 2+m >0，∴函数2()(2)(2)f x x m x m =+-+不可能有两个零点．································6分当m <0时，由()0f x =，解得：x =m -2，·································7分要使得f (x )仅有两个零点，则2m -=，··········································8分即22780m m -+=，此方程无解．故m =0，即32()24f x x x =+，·······························································9分令32()()3243h x f x x x =-=+-，则2()682(34)h x x x x x '=+=+，()0h x '>，解得：0x >或43x <-，()0h x '<解得：403x -<<，故()h x 在4()3，-∞-，(0)，+∞上递增，在4(0)3，-上递减，···························10分又417()0327h -=-<，故函数()3y f x =-仅有一个零点．·························································12分20．解：（1）∵cos(C -B )sin A=cos(C -A )sin B∴(cos C cos B+sin C sin B )sin A=(cos C cos A+sin C sin A )sin B ·································2分∴cos C cos B sin A=cos C cos A sin B ·······························································3分又∵△ABC 为斜三角形，则cos C ≠0，∴cos B sin A =cos A sin B ，·········································································5分∴sin(A -B )=0，又A ，B 为△ABC 的内角，∴A=B ；···························································································6分（2）在△ABC 中，由（1）知，a=b ，由正弦定理sin sin b c B C =，则1sin sin C b c B=，···············································7分又1sin B c=，即sin 1c B =，∴11sin sin()sin 2C A B B a b===+=，∴2211ac -==sin 2B -sin 22B ，·································································9分∴2211a c -=sin 2B -sin 22B=sin 2B -4cos 2B sin 2B=sin 2B -4(1-sin 2B )sin 2B ，············10分令sin 2B=t ，令f (t )=t -4(1-t )t=4t 2-3t ，······················································11分又因为0＜sin 2B<1，即0＜t<1，∴当t=38时，f (t )取最小值，且f (t )min =916-，综上所述：2211a c -的最小值为916-．···················································12分21．解：（1）方法一：a ax x x f x -+-='-21e )(，············································1分因为()f x 在(1)+∞，上单调递增，∴()0≥f x '恒成立，故：当1x >时，21e 1≥x x a x ---恒成立．·····················································3分设21e ()(1)1x x g x x x --=>-，则max ()≥a g x ，则12(2)(e )()(1)x x x g x x ----'=-，易知1+≥x e x ，所以x e x ≥-1，故令0)(>'x g 得到：21<<x ；令0)(<'x g 得到：2>x ．∴()g x 在(2)，+∞上递减；在(12)，上递增．·············································5分故：当1>x 时，max ()(2)4e g x g ==-．∴实数a 的取值范围：4e ≥a -．···························································6分方法二：12()e x f x x ax a -'=-+-，因为()f x 在(1)+∞，上单调递增，所以()0≥f x '恒成立，等价于：2110e ≤x x ax a --+-在[1)+∞，上恒成立，········································2分设21()1(1)e x x ax a g x x --+=->，则max ()0≤g x ，1()(2)()e x x a x g x ----'=，当2a =时，()0g x '<，∴()g x 在[1)+∞，上递减，max ()(1)0g x g ==，符合题意．····························3分当2a >时，易知()g x 在(12)，上递减，在(2)a ，上递增，在）（+∞,2上递减，因为(1)0g =，故只需满足1()10a ag a e -=-≤（由1+≥x e x易得），符合题意．···················4分当21<<a 时，易知()g x 在(1，a )上递减，在(a ，2)上递增，在）（+∞,2上递减，因为(1)0g =，故只需满足4(2)10ea g -=-≤，即24<≤-a e ，当1≤a 时，易知()g x 在(1，2)上递增，在2+∞（，）上递减，························5分max 4()(2)10a g x g e-==->，不符合题意．综上：实数a 的取值范围：4e a -≥．·····················································6分（2）()f x 的极值点个数等价于()f x '的变号零点个数，令21()1e x x ax a g x --+=-，则等价于()g x 的变号零点个数，···························7分当x →-∞时，()g x →+∞；当+∞→x 时，1)(-→x g ，由（1）可知1()(2)()e x x a x g x ----'=，(1)0g =，当2=a 时，易知()g x 在），（∞+∞-上递减，故()g x 有唯一变号零点1；······8分当2a >时，易知()g x 在），（2∞-上递减，在），（a 2上递增，在）（+∞,2上递减，因为(2)(1)0g g <=，1()10e a ag a -=-≤，故()g x 有唯一变号零点1；当2<a 且1≠a 时，易知()g x 在()a -∞，上递减，在(a ，2)上递增，在2+∞（，）上递减，·············································································································9分01e )(1<-=-a aa g ，4(2)1ea g -=-，若(2)0g ≤，即4e 2a -<≤时，有唯一变号零点1；···································10分若(2)0g >，即4a e <-且1a ≠时，()g x 有三个变号零点1，2x ，3x ，且2312x x <<<。
四川省绵阳市2018届高三第一次诊断性考试数学文试题
绵阳市高中2015级第一次诊断性考试数学（文史类） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合()(){}410A x x x =∈-+<Z ，{}2,3,4B =，则A B =I （ ） A ．()2,4 B ．{}2,4 C ．{}3 D ．{}2,3 2．若x y >，且2x y +=，则下列不等式成立的是（ ） A ．22x y < B ．11x y< C ．1x > D ．0y < 3．．已知向量()1,2a x =-r ，(),1b x =r ，若a b ∥r r，则x 的值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2 4．若tan 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan 2α=（ ） A ．3- B ．3 C ．34-D ．345．某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（ ）立方米. A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 6．已知命题0:p x ∃∈R ，使得00x e≤；命题:,q a b ∈R ，若12a b -=-，则1a b -=-.下列命题为真命题的是（ ）A ．pB ．q ⌝C ．p q ∨D ．p q ∧7．函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当11x -≤≤时，()f x x =.若函数()y f x =的图象与函数()log a g x x =（0a >，且1a ≠）的图象有且仅有4个交点，则a 的取值集合为（ ） A ．()4,5 B ．()4,6 C ．{}5 D ．{}68．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>，若将()y f x =的图象向右平移16个单位得到()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一条对称轴方程是（ ） A ．56x =B ．13x =C ．12x = D ．0x = 9．在ABC ∆中，“2C π=”是“sin cos A B =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 10．已知01a b <<<，给出以下结论：①1123a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②1132a b >；③1123log log a b >. 则其中正确的结论个数是（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个11．已知1x 是函数()()1ln 2f x x x =+-+的零点，2x 是函数()2244g x x ax a =-++的零点，且满足121x x -≤，则实数a 的最小值是（ ）A ．1-B ．2- C．2-．1-12．已知,,a b c ∈R ，且满足221b c +=，如果存在两条互相垂直的直线与函数()cos sin f x ax b x c x =++的图象都相切，则a 的取值范围是（ ）A ．[]2,2- B．⎡⎣ C．⎡⎣ D．⎡-⎣第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知变量,x y 满足约束条件6,32,1,x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是 ．14．已知偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，且()21f =，若()211f x +<，则x 的取值范围是 ．15．在ABC ∆中，2AB =，4AC =，3A π∠=，且,M N 是边BC 的两个三等分点，则AM AN ⋅=u u u r u u u r．16．已知数列{}n a 的首项1a m =，且121n n a a n ++=+，如果{}n a 是单调递增数列，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.若函数()()sin f x A x ωϕ=+0,0,22A ππωϕ⎛⎫>>-<<⎪⎝⎭的部分图象如下图所示.（1）求函数()f x 的解析式； （2）设0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()65f α=，求sin 2α的值. 18.设公差大于0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知315S =，且1413,,a a a 成等比数列，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .（1）求n T ；（2）若对于任意的*n ∈N ，11n n tT a <+恒成立，求实数t 的取值范围. 19．在ABC ∆中，23B π∠=，D 是边BC上一点，且AD =2BD =. （1）求ADC ∠的大小；（2）若AC =ABC ∆的面积. 20．已知函数()()32f x x x x a a =+-+∈R .（1）求()f x 在区间[]1,2-上的最值；（2）若过点()1,4P 可作曲线()y f x =的3条切线，求实数a 的取值范围. 21．函数()()()21ln 122f x x ax a x a =-++--∈R .（1）求()f x 的单调区间； （2）若0a >，求证：()32f x a≥-. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是35cos ,45sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）设1:6l πθ=，2:3l πθ=，若12,l l 与曲线C 分别交于异于原点的,A B 两点，求AOB ∆的面积.23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()2123f x x x =-++. （1）解不等式()6f x ≥；（2）记()f x 的最小值是m ，正实数,a b 满足22ab a b m ++=，求2a b +的最小值.绵阳市高2015级第一次诊断性考试 数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． DCADC BCBAB AB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．3 14．)21()23(∞+--∞，，15．32016．(21，23)三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解 ：（Ⅰ）由图得，2=A ． …………………………………………………1分43125343πππ=+=T ，解得π=T ， 于是由T =πωπ=2，得2=ω．…………………………………………………3分 ∵ 2)32sin(2)3(=+=ϕππf ，即1)32sin(=+ϕπ， ∴2232ππϕπ+=+k ，k ∈Z ，即62ππϕ-=k ，k ∈Z ， 又)22(ππϕ，-∈，所以6πϕ-=，即)62sin(2)(π-=x x f ． …………………6分(Ⅱ) 由已知56)62sin(2=-πα，即53)62sin(=-πα， 因为)30(πα，∈，所以)26(62πππα，-∈-，∴ 54)62(sin 1)62cos(2=--=-παπα． …………………………………8分 ∴]6)62sin[(2sin ππαα+-=6sin )62cos(6cos )62sin(ππαππα-+-= =21542353⨯+⨯ 10334+=． ………………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）设{a n }的公差为d (d >0)，由S 3=15有3a 1+d 223⨯=15，化简得a 1+d =5，① ………………………2分 又∵ a 1，a 4，a 13成等比数列，∴ a 42=a 1a 13，即(a 1+3d )2=a 1(a 1+12d )，化简3d =2a 1，② ………………4分 联立①②解得a 1=3，d =2，∴ a n =3+2(n -1)=2n +1． ……………………………………………………5分∴)321121(21)32)(12(111+-+=++=+n n n n a a n n ， ∴ )32(3)32131(21)]321121()7151()5131[(21+=+-=+-+++-+-=n n n n n T n ．……………………………………………………7分(Ⅱ) ∵ n n a tT <+11，即122)32(3+<+n n tn，∴ 90)9(12)36304(3)32)(122(32++=++=++<nn n n n n n n t ，………………9分又nn 9+≥6 ，当且仅当n =3时，等号成立， ∴ 90)9(12++nn ≥162， ……………………………………………………11分 ∴ 162<t ．……………………………………………………………………12分 19．解：（Ⅰ）△ABD 中，由正弦定理BADBDB AD ∠=∠sin sin ，得21sin sin =∠⨯=∠AD B BD BAD ， …………………………………………4分∴ 66326πππππ=--=∠=∠ADB BAD ，， ∴ 656πππ=-=∠ADC ． ……………………………………………………6分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知，∠BAD =∠BDA =6π，故AB =BD =2．在△ACD 中，由余弦定理：ADC CD AD CD AD AC ∠⋅⋅-+=cos 2222， 即)23(32212522-⋅⋅⨯-+=CD CD ， ……………………………………8分 整理得CD 2+6CD -40=0，解得CD =-10（舍去），CD =4，………………10分 ∴ BC =BD +CD =4+2=6． ∴ S △ABC =33236221sin 21=⨯⨯⨯=∠⨯⨯⨯B BC AB ． ……………………12分 20．解：（Ⅰ）)1)(13(123)(2+-=-+='x x x x x f ， ……………………………1分由0)(>'x f 解得31>x 或1-<x ；由0)(<'x f 解得311<<-x ，又]21[，-∈x ，于是)(x f 在]311[，-上单调递减，在]231[，上单调递增． …………………………………………………………………3分∵ a f a f a f +-=+=+=-275)31(10)2(1)1(，，，∴ )(x f 最大值是10+a ，最小值是a +-275．………………………………5分 (Ⅱ) 设切点)41()(23，，，P a x x x x Q +-+， 则14123)(232--+-+=-+='=x a x x x x x x f k PQ， 整理得0522223=-+--a x x x ， ……………………………………………7分 由题知此方程应有3个解． 令a x x x x -+--=5222)(23μ， ∴ )1)(13(2246)(2-+=--='x x x x x μ，由0)(>'x μ解得1>x 或31-<x ，由0)(<'x μ解得131<<-x ，即函数)(x μ在)31(--∞，，)1(∞+，上单调递增，在)131(，-上单调递减． ……………………………………………………………………10分要使得0)(=x μ有3个根，则0)31(>-μ，且0)1(<μ，解得271453<<a ， 即a 的取值范围为)271453(，． ………………………………………………12分 21．解：（Ⅰ）xx ax x x a ax a ax x x f )1)(1(1)1()1(1)(2+-=--+=-++-='． …1分 ① 当a ≤0时，0)(<'x f ，则)(x f 在)0(∞+，上单调递减；………………3分 ② 当0>a 时，由0)(>'x f 解得a x 1>，由0)(<'x f 解得ax 10<<． 即)(x f 在)10(a ，上单调递减；)(x f 在)1(∞+，a上单调递增； 综上，a ≤0时，)(x f 的单调递减区间是)0(∞+，；0>a 时，)(x f 的单调递减区间是)10(a ，，)(x f 的单调递增区间是)1(∞+，a ． ……………………5分(Ⅱ) 由（Ⅰ）知)(x f 在)10(a ，上单调递减；)(x f 在)1(∞+，a上单调递增， 则121ln )1()(min --==aa a f x f ． …………………………………………6分 要证)(x f ≥a 23-，即证121ln --a a ≥a 23-，即a ln +11-a≥0，即证a ln ≥a11-．………………………………………………………………8分 构造函数11ln )(-+=aa a μ，则22111)(a a a a a -=-='μ，由0)(>'a μ解得1>a ，由0)(<'a μ解得10<<a ， 即)(a μ在)10(，上单调递减；)(a μ在)1(∞+，上单调递增； ∴ 01111ln )1()(min =-+==μμa ，即11ln -+aa ≥0成立． 从而)(x f ≥a23-成立．………………………………………………………12分 22．解：（Ⅰ）将C 的参数方程化为普通方程为(x -3)2+(y -4)2=25，即x 2+y 2-6x -8y =0． ……………………………………………………………2分 ∴ C 的极坐标方程为θθρsin 8cos 6+=． …………………………………4分 （Ⅱ）把6πθ=代入θθρsin 8cos 6+=，得3341+=ρ，∴ )6334(π，+A ． ……………………………………………………………6分把3πθ=代入θθρsin 8cos 6+=，得3432+=ρ，∴ )3343(π，+B ． ……………………………………………………………8分∴ S △AOB AOB ∠=sin 2121ρρ )63sin()343)(334(21ππ-++= 432512+=． ……………………………………………………10分 23．解：（Ⅰ）当x ≤23-时，f (x )=-2-4x ， 由f (x )≥6解得x ≤-2，综合得x ≤-2，………………………………………2分当2123<<-x 时，f (x )=4，显然f (x )≥6不成立，……………………………3分当x ≥21时，f (x )=4x +2，由f (x )≥6解得x ≥1，综合得x ≥1，……………4分所以f (x )≥6的解集是)1[]2(∞+--∞，，．…………………………………5分 （Ⅱ）)(x f =|2x -1|+|2x +3|≥4)32()12(=+--x x ，即)(x f 的最小值m =4． ………………………………………………………7分 ∵ b a 2⋅≤2)22(b a +， …………………………………………………………8分 由224ab a b ++=可得)2(4b a +-≤2)22(b a +， 解得b a 2+≥252-，∴ b a 2+的最小值为252-．………………………………………………10分。
绵阳市2018年高三一诊模拟考试文科数学试题含答案
绵阳市2018年高三一诊模拟考试数学（文史类）命题人：陈山 审题人：王振、李小兰、李雪本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷2至4页.考生作答时,须在答题卡上作答,在本试卷、草稿纸上作答无效.满分150分,考试时间120分钟.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的).1．设集合 ， ，则 等于（ ） A ． B ． C ． D ． 2．已知命题 ： ， ，则 ：（ ） A ． ， B ． ， C ． ， D ． ，3．已知平面向量 , , 且 , 则 ( ) A ． ． ． ．4．已知函数 ，那么 的值（ ）．A ．B ．C ．D ．5．已知 =, )4tan(πβ-=,那么为（ ）A ．B ．C ．D ．6．下列函数中周期为π且为偶函数的是（ ） A.)22sin(π-=x y B.)22cos(π-=x yC.)2sin(π+=x y D.)2cos(π+=x y7．已知 ， 为非零实数，且 ，则下列不等式一定成立的是（ ） A ． B ．C ．D ．8．设 ,则“2-x ≥0”是“ ≤1”的（ ） A ． 充分而不必要条件 B ． 必要而不充分条件 C ． 充要条件 D ． 既不充分也不必要条件 9．将函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像向左平移3π个单位后，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 图像的一条对称轴方程可以是（ ） A ． 4x π=-B ． 2x π=C ． 6x π=-D ． 3x π=10．已知，，，则（ ）A ．B ．C ．D ． 11．函数 的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.312．设函数 ，其中 ，若存在唯一负整数 ，使得 ，则实数 的取值范围( )A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)．13．若实数y x ,满足不等式组，则y x +的最小值等于____________．14．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第4节的容积为_____升．15．如图，在ABC ∆中，2AB =，3AC =，D 是边BC 的中点，则AD BC ⋅=__________。
高三数学第一次诊断性考试试题文(2021学年)
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四川省绵阳市2０１８届高三数学第一次诊断性考试试题文绵阳市高级第一次诊断性考试数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题:本大题共１2小题,每小题５分，共60分．DCADC B ＣＢＡＢ ＡB二、填空题：本大题共４小题,每小题5分，共20分．13.3ﻩ ﻩ１４．)21()23(∞+--∞，，15．320 16.（21，23) 三、解答题:本大题共６小题，共70分．1７．解 ：（Ⅰ）由图得,2=A ． …………………………………………………1分43125343πππ=+=T ,解得π=T , 于是由T =πωπ=2,得2=ω.…………………………………………………3分 ∵ 2)32sin(2)3(=+=ϕππf ,即1)32sin(=+ϕπ, ∴2232ππϕπ+=+k ,k ∈Z ，即62ππϕ-=k ,k ∈Z , 又)22(ππϕ，-∈，所以6πϕ-=，即)62sin(2)(π-=x x f ． …………………6分(Ⅱ) 由已知56)62sin(2=-πα,即53)62sin(=-πα，因为)30(πα，∈,所以)26(62πππα，-∈-，∴ 54)62(sin 1)62cos(2=--=-παπα． …………………………………８分∴]6)62sin[(2sin ππαα+-=6sin )62cos(6cos)62sin(ππαππα-+-= ＝21542353⨯+⨯10334+=． ………………………………………………………1２分 １８．解:(Ⅰ）设｛ａn ｝的公差为d (d 〉0）,由S 3=１5有3ａ1+d 223⨯＝15,化简得ａ1+d =5，① ………………………2分 又∵ ａ1,a 4,a 13成等比数列，∴ a ４2=a 1ａ13，即(a １+3d ）２＝a 1（a 1+12d ),化简3ｄ＝2a 1,② ………………４分 联立①②解得a １＝３,d =2，∴ a n =３+2(n —1）=2n +1． ……………………………………………………5分四川省绵阳市2018届高三数学第一次诊断性考试试题 文 ∴ )321121(21)32)(12(111+-+=++=+n n n n aa n n , ∴ )32(3)32131(21)]321121()7151()5131[(21+=+-=+-+++-+-=n nn n n T n .……………………………………………………7分(Ⅱ) ∵ n n a tT <＋1１,即122)32(3+<+n n tn,∴ 90)9(12)36304(3)32)(122(32++=++=++<nn n n n n n n t ,………………9分 又nn 9+≥６ ,当且仅当n =3时,等号成立，∴ 90)9(12++nn ≥1６2， ……………………………………………………１1分 ∴ 162<t ．……………………………………………………………………12分 19.解:(Ⅰ）△ＡＢD 中，由正弦定理BADBDB AD ∠=∠sin sin ,得21sin sin =∠⨯=∠AD B BD BAD ， …………………………………………４分∴ 66326πππππ=--=∠=∠ADB BAD ，, ∴ 656πππ=-=∠ADC ． ……………………………………………………6分 （Ⅱ)由(Ⅰ）知，∠ＢAD ＝∠BDA =6π,故ＡB =BD =2．在△ACD 中,由余弦定理：ADC CD AD CD AD AC ∠⋅⋅-+=cos 2222, 即)23(32212522-⋅⋅⨯-+=CD CD ， ……………………………………8分 整理得ＣD 2＋６C Ｄ-40=0，解得CD =—10(舍去）,CD =4，………………10分 ∴ BC =BD +ＣD =4＋2=6.∴ S △ABC ＝33236221sin 21=⨯⨯⨯=∠⨯⨯⨯B BC AB . ……………………12分 20．解：（Ⅰ))1)(13(123)(2+-=-+='x x x x x f , ……………………………1分由0)(>'x f 解得31>x 或1-<x ;由0)(<'x f 解得311<<-x ，又]21[，-∈x ,于是)(x f 在]311[，-上单调递减，在]231[，上单调递增. …………………………………………………………………３分∵ a f a f a f +-=+=+=-275)31(10)2(1)1(，，, ∴ )(x f 最大值是1０+a ,最小值是a +-275.………………………………5分（Ⅱ） 设切点)41()(23，，，P a x x x x Q +-+， 则14123)(232--+-+=-+='=x a x x x x x x f k PQ, 整理得0522223=-+--a x x x ， ……………………………………………7分 由题知此方程应有3个解. 令a x x x x -+--=5222)(23μ,∴ )1)(13(2246)(2-+=--='x x x x x μ，由0)(>'x μ解得1>x 或31-<x ,由0)(<'x μ解得131<<-x ，即函数)(x μ在)31(--∞，,)1(∞+，上单调递增，在)131(，-上单调递减. ……………………………………………………………………１０分要使得0)(=x μ有3个根，则0)31(>-μ,且0)1(<μ, 解得271453<<a , 即a 的取值范围为)271453(，． ………………………………………………12分 ２１．解:(Ⅰ）xx ax x x a ax a ax x x f )1)(1(1)1()1(1)(2+-=--+=-++-='． …1分① 当a ≤0时,0)(<'x f ，则)(x f 在)0(∞+，上单调递减;………………３分 ② 当0>a 时,由0)(>'x f 解得a x 1>,由0)(<'x f 解得ax 10<<. 即)(x f 在)10(a，上单调递减；)(x f 在)1(∞+，a上单调递增; 综上,a ≤0时，)(x f 的单调递减区间是)0(∞+，;0>a 时，)(x f 的单调递减区间是)10(a，，)(x f 的单调递增区间是)1(∞+，a． ……………………5分（Ⅱ） 由（Ⅰ）知)(x f 在)10(a，上单调递减;)(x f 在)1(∞+，a上单调递增, 则121ln )1()(min --==aa a f x f . …………………………………………6分 要证)(x f ≥a 23-，即证121ln --aa ≥a23-,即a ln +11-a≥０，即证a ln ≥a11-．………………………………………………………………8分 构造函数11ln )(-+=aa a μ，则22111)(aa a a a -=-='μ， 由0)(>'a μ解得1>a ，由0)(<'a μ解得10<<a ,即)(a μ在)10(，上单调递减；)(a μ在)1(∞+，上单调递增； ∴ 01111ln )1()(min =-+==μμa ， 即11ln -+aa ≥0成立． 从而)(x f ≥a23-成立．………………………………………………………12分2２.解:（Ⅰ)将C 的参数方程化为普通方程为(x —3）2+(y -4)2=25，即x ２＋y ２—6ｘ—8y =0. ……………………………………………………………2分 ∴ C 的极坐标方程为θθρsin 8cos 6+=． …………………………………4分 (Ⅱ)把6πθ=代入θθρsin 8cos 6+=，得3341+=ρ，∴ )6334(π，+A ． ……………………………………………………………6分把3πθ=代入θθρsin 8cos 6+=,得3432+=ρ,∴ )3343(π，+B . ……………………………………………………………８分∴ S △AOB AOB ∠=sin 2121ρρ)63sin()343)(334(21ππ-++= 432512+=． ……………………………………………………10分23．解:(Ⅰ）当x ≤23-时,f (x )＝—２—4x ,由f (x )≥6解得x ≤—2，综合得x ≤-2，………………………………………2分当2123<<-x 时,f (x )=4,显然f (ｘ)≥６不成立,……………………………３分当x ≥21时，f （x )=4x +２,由f (ｘ)≥6解得x ≥１，综合得x ≥1,……………４分所以ｆ(x )≥６的解集是)1[]2(∞+--∞，，.…………………………………5分 （Ⅱ))(x f =|２x —１|+｜2x +３｜≥4)32()12(=+--x x ，即)(x f 的最小值ｍ=4. ………………………………………………………7分 ∵ b a 2⋅≤2)22(b a +, …………………………………………………………8分 由224ab a b ++=可得)2(4b a +-≤2)22(b a +， 解得b a 2+≥252-,∴ b a 2+的最小值为252-.………………………………………………１０分以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。
四川省绵阳第一中学2021届高三一诊适应性考试数学(文)试卷
文科数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一. 选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在四个选项中，只有一个是符合要求的.1.已知集合}2|{->=x x A ，}1|{≥=x x B ，则=B AA ．}2|{->x xB ．}12|{≤<-x xC ．}2|{-≤x xD ．}1|{≥x x2.在下列四个说法中，与“不经冬寒，不知春暖”意义相同的是 A ．若经冬寒，必知春暖 B ．不经冬寒，但知春暖 C ．若知春暖，必经冬寒D ．不经春暖，必历冬寒3.已知0a b >>，则下列不等式一定成立的是A. ab a -<2B. ||||b a <C.b a 11> D. b a )21()21(> 4.溶液酸碱度是通过PH 计算的，PH 的计算公式为]lg[+-=H PH ，其中][+H 表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为2105.2-⨯摩尔/升，则胃酸的PH 约为（参考数据：3010.02lg ≈）A ．602.1B ．204.1C ．398.1D ．602.2 5.已知函数2()22f x x x =+-的图像在点M 处的切线与x 轴平行,则点M 的坐标是A ．)3,1(-B ．)3,2(-C ．)3,2(--D ．)3,1(-- 6.已知各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为22，则7112a a +最小值为A ．16B ．8C ．22D ．47.“0a >”是“函数()3f x x ax =+在区间),0(+∞上是增函数”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.如图，在ABC ∆中，AC AN 31=，P 是BN 上的一点，若AB AC m AP 32+=则实数m 的值为 A.91 B.31C. 1D. 2 9.已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωφωφπ=+>><<的部分图象如图所示，则()2f π=A .322 B . 322- C . 32- D . 3210.已知R 上的偶函数()x mf x e -=，记()ln3a f =-，()2log 5b f =，()2mc f =，则A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<11.已知数列}{n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若)13,(13<∈=-n N n S S n n ，以下结论：①07=a ； ②013=S ； ③}{n a 为递增数列； ④013=a 其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 12.对于函数)sin(cos )(x x f =，下列结论错误的是A ．)(x f 为偶函数B ．)(x f 的最小正周期为π2C ．)(x f 的值域为]1sin ,1sin [-D ．)(x f 在],0[π上单调递增第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案直接填在答题卡中.13.若实数,x y 满足43600x y x y y +≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是 ；14.函数72+=-x a y （0a >，且1a ≠）的图象恒过定点P ，P 在幂函数αx x f =)(的图象上，则)3(f = ；15.已知向量b a ,满足2||,2||==b a ，且)2(b a a +⊥，则b 在a 方向上的投影为 ；16.已知函数1)1(4)1()(22++-+=xx a x x a x f 恰有三个不同的零点，则这三个零点之和为 ．三．解答题：本大题共6小题，每小题12分，共70分.解答应写出文字说明、过程.17.已知向量)1,(cos ),43,(sin -==x b x a（1）当b a //，求x 2tan 的值.（2）设函数b b a x f ⋅+=)(2)(，且)2,0(π∈x ，求函数)(x f 的最大值以及对应的x 值18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T 。
四川省绵阳市2021届高三数学第一次诊断试题 文
四川省绵阳市2021届高三数学第一次诊断试题 文（扫描版）绵阳市高2012级第一次诊断性考试数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．BBDDC BACCA二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．11．53- 12．-1 13．-2 14．15 15．(0，2)三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：(Ⅰ)=)(x f 2m·n -11cos 2cos sin 22-+⋅=x x x ωωω =)42sin(22cos 2sin πωωω+=+x x x ． ……………………………6分 由题意知：π=T ，即πωπ=22，解得1=ω．…………………………………7分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知)42sin(2)(π+=x x f ， ∵ 6π≤x ≤4π，得127π≤42π+x ≤43π， 又函数y =sin x 在[127π，43π]上是减函数， ∴ )34sin(2127sin 2)(max πππ+==x f ……………………………………10分 =213+．…………………………………………………………12分 17．解：(Ⅰ) 由题知⎩⎨⎧≥->-，，0102t t 解得21<≤t ，即)21[，=D ．……………………3分 (Ⅱ) g (x )=x 2+2mx -m 2=222)(m m x -+，此二次函数对称轴为m x -=．……4分① 假设m -≥2，即m ≤-2时， g (x )在)21[，上单调递减，不存在最小值；②若21<-<m ，即12-<<-m 时， g (x )在)1[m -，上单调递减，]2(，m -上递增，现在22)()(2min ≠-=-=m m g x g ，现在m 值不存在；③m -≤1即m ≥-1时， g (x )在)21[，上单调递增，现在221)1()(2min =-+==m m g x g ，解得m =1． …………………………11分综上：1=m ． …………………………………………………………………12分18．解：(Ⅰ) 51cos 5=∠=ABC AB ，，4BC =， 又(0,)ABC π∠∈，因此562cos 1sin 2=∠-=∠ABC ABC ， ∴645624521sin 21=⨯⨯⨯=∠⋅⋅=∆ABC BC BA S ABC ． ………………6分 (Ⅱ) 以BC BA ，为邻边作如下图的平行四边形ABCE ，如图， 则51cos cos -=∠-=∠ABC BCE ，BE =2BD =7，CE =AB =5， 在△BCE 中，由余弦定理：BCE CE CB CE CB BE ∠⋅⋅-+=cos 2222． 即)51(5225492-⨯⨯⨯-+=CB CB ，解得：4=CB ． ………………………………………………………………10分19．解：(Ⅰ) 由832539a a a S ⋅==，， 得：⎪⎩⎪⎨⎧+⋅+=+=⨯+，，)7()2()4(9223311211d a d a d a d a 解得：121==d a ，．∴ 1+=n a n ，n n n n S n 2322)12(2+=++=． …………………………………5分 (Ⅱ) 由题知=n c )1(2++n n λ． ………………………………………………6分假设使}{n c 为单调递增数列，则=-+n n c c 1-+++)2()1(2n n λ)]1([2++n n λ=012>++λn 对一切n ∈N *恒成立，即： 12-->n λ对一切n ∈N *恒成立， ………………………………… 10分又12)(--=n n ϕ是单调递减的,∴ 当1=n 时，max )(n ϕ=-3，∴ 3->λ． …………………………………………………………………12分20．(Ⅰ)证明： 由1)(--=ax e x f x ，得a e x f x -=')(．…………………………1分由)(x f '>0，即a e x ->0，解得x >ln a ，同理由)(x f '<0解得x <ln a ，∴ )(x f 在(-∞，ln a )上是减函数，在(ln a ，+∞)上是增函数，B C DAE于是)(x f 在a x ln =取得最小值．又∵ 函数)(x f 恰有一个零点，那么0)(ln )(min ==a f x f ， ………………… 4分即01ln ln =--a a e a ．………………………………………………………… 5分化简得：1ln 1ln 01ln -=-==--a a a a a a a a a 于是，即，， ∴ 1-=a a e a ． ………………………………………………………………… 6分(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，)(x f 在a x ln =取得最小值)(ln a f ，由题意得)(ln a f ≥0，即1ln --a a a ≥0，……………………………………8分令1ln )(--=a a a a h ，那么a a h ln )(-='，由0)(>'a h 可得0<a <1，由0)(<'a h 可得a >1．∴ )(a h 在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，即0)1()(max ==h a h ，∴ 当0<a <1或a >1时，h (a )<0，∴ 要使得)(x f ≥0对任意x ∈R 恒成立，.1=a∴a 的取值集合为{1}……………………………13分21．解：(Ⅰ) 1==b a 时，x x x x f ln 21)(2+-=，x x x f 11)(+-='， ∴21)1(-=f ，1)1(='=f k ，…………………………………………………2分 故)(x f 点()1(1f ，)处的切线方程是2230x y --=．……………………3分(Ⅱ)由()()∞+∈+-=，，0ln 22x x bx x a x f ，得x bx ax x f 1)(2+-='． (1)当0=a 时，x bx x f -='1)(． ①假设b ≤0，由0>x 知0)(>'x f 恒成立，即函数)(x f 的单调递增区间是)0(∞+，．………………………………………………5分②假设0>b ， 当b x 10<<时，0)(>'x f ；当bx 1>时，0)(<'x f ． 即函数)(x f 的单调递增区间是(0，b 1)，单调递减区间是(b 1，+∞)． ……………………………………………7分(2) 当0<a 时，0)(='x f ，得012=+-bx ax ，由042>-=∆a b 得a a b b x a a b b x 24242221--=-+=，． 显然，0021><x x ，，当20x x <<时，0)(>'x f ，函数)(x f 的单调递增，当2x x >时，0)(<'x f ，函数)(x f 的单调递减，因此函数)(x f 的单调递增区间是(0，a a b b 242--)，单调递减区间是(aa b b 242--，+∞)．………………………………………………………………9分综上所述：当a =0，b ≤0时，函数)(x f 的单调递增区间是)0(∞+，；当a =0，b >0时，函数)(x f 的单调递增区间是(0，b 1)，单调递减区间是(b1，+∞)； 当0<a 时，函数)(x f 的单调递增区间是(0，a a b b 242--)，单调递减区间是(aa b b 242--，+∞)． ……………………………………………………………10分(Ⅲ)由题意知函数)(x f 在2=x 处取得最大值．由(II)知，aa b b 242--是)(x f 的唯一的极大值点， 故aa b b 242--=2，整理得a b 412--=-． 于是ln()(2)ln()(14)ln()14a b a a a a ---=----=-++令()ln 14(0)g x x x x =+->，那么1()4g x x '=-． 令0)(='x g ，得14x =，当1(0)4x ∈，时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增；当1()4x ∈+∞，时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减．因此对任意0x >，)(x g ≤11()ln 044g =<，又0a ->， 故()0g a -<，即041)ln(<++-a a ，即ln()142a a b -<--=-，∴ ln()2a b -<-．……………………………………………………………14分。
高三数学一诊模拟试题文(无答案)(2021学年)
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四川省绵阳市2０18届高三数学一诊模拟试题 文（无答案）注意事项：1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
２.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在题卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一.选择题：本大题共１2小题,每小题５分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
１。
已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--,则()R C A B ⋂=（ ）A.{}2- ﻩＢ.{}1,0,1- 。
ﻩＣ。
{}2,1-- D.{}0,1 2．若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= （ ） A 。
6425 B 。
4825 Ｃ。
1 D 。
16253．已知命题p ：“x ∈R 时,都有2104x x -+<”;命题q ：“存在x ∈R ，使sin cos x x +.则下列判断正确的是（ ）A ．p ∨q 为假命题 B.p ∧q 为真命题C.⌝ｐ∧ｑ为真命题 D ．⌝ｐ∨⌝q 是假命题4．已知平面向量a 与b 的夹角等于56π，如果4,3a b ==,那么2a b -=（ )B ．9C ．１０D ５.设函数311log (2),1()3,1x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,求3(7)(log 12)f f -+=( ）A.8 B ．1５ C ．7 D.１６6.已知函数()f x 是偶函数，当0x >时,()()21ln f x x x =-，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处切线的斜率为( )A.-２ B ．－1 Ｃ.1 D.27.不等式组错误!的最大值为则y x z -=等于( ）A.—4B.34- Ｃ．0 Ｄ.错误!8。