数值分析课后题答案

数值分析 第二章

2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解：

0120121200102021101201220211,1,2,

()0,()3,()4;()()1

()(1)(2)()()2()()1

()(1)(2)

()()6

()()1

()(1)(1)

()()3

x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------=

=-+--

则二次拉格朗日插值多项式为

2

20

()()k k k L x y l x ==∑

0223()4()

14

(1)(2)(1)(1)23

537623

l x l x x x x x x x =-+=---+

-+=

+- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1）

0()n

k

k

j j j x l x x

=≡∑ (0,1,,);k n =L

（2）0

()()0n

k j

j j x

x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L

证明

（1） 令()k

f x x =

若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0

()()n

k n j j j L x x l x ==

∑。

插值余项为(1)1()

()()()()(1)!

n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=

+ 又,k n ≤Q

(1)()0

()0

n n f R x ξ+∴=∴=

0()n

k k

j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0

000

(2)()()

(())()()(())

n

k j j j n n

j i k i k j j j i n

n

i

k i

i k

j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑

0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知

()n

k i

j j

j x l x x ==∑

()()0

n

i k i i

k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式

∴得证。

7设[]2

(),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证：

21

max ()()max ().8

a x

b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为

10

101010

()()

()x x x x L x f x f x x x x x --=+--

=()

()

x b x a

f a f b a b x a

--=+-- 1()()0()0

f a f b L x ==∴=Q 又

插值余项为1011

()()()()()()2

R x f x L x f x x x x x ''=-=

-- 011

()()()()2

f x f x x x x x ''∴=

--

[]012

012102()()

1()()21()41

()4

x x x x x x x x x x b a --⎧⎫≤-+-⎨⎬⎩⎭

=-=-Q 又

∴21

max ()()max ().8

a x

b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 8．在44x -≤≤上给出()x

f x e =的等距节点函数表，若用二次插值求x

e 的近似值，要使

截断误差不超过6

10-，问使用函数表的步长h 应取多少？

解：若插值节点为1,i i x x -和1i x +，则分段二次插值多项式的插值余项为

2111

()()()()()3!i i i R x f x x x x x x ξ-+'''=

--- 211441

()()()()max ()6i i i x R x x x x x x x f x -+-≤≤'''∴≤---

设步长为h ，即11,i i i i x x h x x h -+=-=+

4343

21().6R x e h ∴≤=

若截断误差不超过6

10-，则

6243

6()10100.0065.R x h h --≤≤∴≤ 9．若44

2,.n n n n y y y δ=∆求及，

解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。

2n n y =

44(1)n n y E y ∆=-