一维无限深势阱

n*dx
=
a −a
A sin ⎢⎣⎡
nπ 2a
(x
+
a)⎥⎦⎤dx
= aA2 = 1
A= 1 a
ψn =
1 a
sin
⎡ ⎢⎣
nπ 2a
(
x
+
a)⎥⎦⎤
ψ
n
( x, t )
=
ψ
− i Et
ne h
=
1 a
sin
⎡ ⎢⎣
nπ 2a
(x
+
a)⎥⎦⎤
⋅
−i
eh
Et
En
=
n2π 2h 2 8μA2
ΔEn
=
En +1
§2.6 一维无限深势阱 （1） 序
一维运动 相互作用用势函数 U 表示
势场
⎧散射场 ⎩⎨束缚态
势垒
方形势阱
⎧方形势阱 ⎪⎪谐振子势阱 ⎪⎨δ 阱 ⎪⎩周期阱
一维无限深势阱，图 2.1 所示
Fig 2.1 一维无限深势阱
（2） 一维无限深势阱 在一维空间中运动的粒子，粒子在一定区域内（x=-a 到 x=a）为零，而在此区域外，势能为无
a −a
⎢⎣⎡cos
n
+ n′ 2a
(
x
+
a)
−
cos
n
− n′ 2a
(
x
+
a)⎥⎦⎤
dx
=0
——此即为波函数的正交条件。
8．波函数可视为两波波函数的迭加
ψ = c e + c e i h
(
nπh 2a
−
Ent
)
−
i h
(
nπh 2a
−
Ent
)
n
1
2
[n = 2μE
h2
所以这方程的解
ψ = Asin(αx + β )
又由边界条件
ψ ψ
x=a = Asin(αa + β ) = 0 x=−a = Asin(−αa + β ) =
0
⇒
⎧sin(αa ⎩⎨sin(αa
+ −
β β
) )
= =
0 0
令 β =0 β =π 2
所以
联合上两式
αa = nπ
−
En
=
(2n + 1)π 2h2 8μa2
U (x) = U (−x) ψ n (x) = ±ψ n (−x) ψ n (x) = −ψ n (−x) ψ n (x) = +ψ n (−x)
n 取奇数 奇宇称 n 取偶数 偶宇称
2.6-7 2.6-8
Fig 2.4(上)一维无限深势阱的能量本征函数 Fig2.5（下）一维无限深势阱中粒子位置几率密度分布
=
A
sin
⎡ ⎢⎣
nπ 2a
(x
+
a)⎥⎦⎤
n = 1, 2,
3． 由 2.6-6 可得
α = nπ 2a
而
α
2
=
⎜⎛ ⎝
2μE h
⎟⎞ 2 ⎠
故
En
=
n2π 2h 2 8μa 2
（3） 结果的讨论 1. 束缚态——粒子被约束在空间某一确定范围。
ψ 在无穷远 → 0
lim ψ = 0
x→±a
能级有分立态，即分立谱 2．基态
7．对于不同的 En 的波函数的正交性
ψn =
1 sin nπ (x + a) a 2a
ψ n′ =
1 sin n′π (x + a) a 2a
∫ ∫ ψ ψ ∞ * −∞ n′ n
=ψ n
=1 a
a sin nπ (x + a) ⋅ sin n′π (x + a)dx
−a 2a
2a
∫ = − 1
2a
n = 1, 2,L
αa + β = αa + π = mπ 2
m = 1,
2,
3L
αa = (m − 1)π 2
ψ = Asin( nπ x) a
n = 1, 2,L
ψ
=
B sin⎢⎣⎡(m −
1)π 2a
x+
π⎤ 2 ⎥⎦
=
B′cos⎢⎣⎡(m −
1)π 2a
x⎥⎦⎤
m = 1, 2, 3,L
ψ
=
Eψ
2． 由波函数的标准条件
a. ψ ≡ 0
b. 由 2.6-2 得
d 2ψ dx 2
+
2μE ψ h2
=0
2.6-3
x ≥a
2.6-4* 该方程的特征方程是
r2 +α 2 = 0 ，所以它有一对特征根 r = ±iα ，故方程的通解是 ψ = c1 cosαx + c2 sin αx = c′sin(αx + β )
体系能量最低的状态，由 2.6-6 可知
ψ = A′cos π x —— 2a
偶函数
2.6-5*
3,L
2.6-6
3．归一化系数
所以 亦 4. 能级 即 5．宇称
6．节点
E1
=
π 2h2 8μa 2
ψn
=
A sin
⎡ ⎢⎣
nπ 2a
(x + a)⎥⎦⎤
∫ ∫ ∫ ∞
2
ψ −∞ n dx =
aψ
−a
nψ
限大。
U (x) = 0, x < a
这是定态问题
2.6-1
U (x) = ∞ x ≥ a
粒子能量束缚在 − ∞, ∞ 。
1． 在阱内（ x < a ），体系所满足的薛定谔方程
− h2 2μ
d 2ψ dx 2
= Eψ
2.6-2
在阱外（ x ≥ a ），定态薛定谔方程
−
h2 2μ
d 2ψ dx 2
+ Uψ