上海市高二(下)数学期末复习(含答案)

高二（下）数学期末复习

一．填空题：

1．计算：2(12)(32)1i i i +-+

+＝ 8＋3i ． 2．ϑ∈(π，2

3π)，直线l ：ϑsin x ＋ϑcos y ＋1＝0的倾角α＝ 2π－ϑ ． 3. 与两平行直线1l ：3x －y ＋9＝0与2l ：3x －y －3＝0等距离的直线方程 为： 3x －y ＋3＝0 ．

4．在复平面上，满足条件2＜|z |≤4的复数z 所对应的点Z 组成的图形的面积是 12π ．

5．一条渐近线方程3x ＋4y ＝0，且经过点是(4，6)的双曲线标准方程是27

2

y －482x ＝1． 6．与直线y ＝x ＋1平行，被椭圆2244x y +=截得的弦长为2的直线l 的方程

是： y ＝x ±

455 ． 7．若|i

a ai 222+-|＝2，则实数a 的值是： ±3 ． 8．已知复数1z ＝3＋4i ，2z ＝t ＋i ，且21z z ⋅是实数，则实数t 等于 34

． 9．直线a ∥平面α，直线b ⊂平面α，则a 、b 的位置关系是 平行或异面 ．

10．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，若EF ＝3，则AD 、BC 所成角为 60o ．

11．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AA 1和BB 1的中点，则异面直线C 1M 与DN 所成角的大小为 9

1

arccos ． 12．已知命题：椭圆252x ＋92y ＝1与双曲线112x －5

2

y ＝1的焦距相等．试将此命题推广到一般情形，使已知命题成为推广后命题的一个特例：

椭圆22a x ＋22b y ＝1与双曲线22c x －22

d

y ＝1)(2222d c b a +=-的焦距相等 ． 二．选择题：

13．设M 、N 是空间四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点，则下列答案中正确的是（ B ）

（A ）MN ＝

(21AB ＋CD )； （B ）MN ＜(2

1AB ＋CD )； （C ）MN ＞(21AB ＋CD )； （D ）MN 与(21AB ＋CD )的大小关系不确定． 14．命题甲：“双曲线C 的方程为22a x －22

b

y ＝1(a ＞0，b ＞0)”，命题乙：“双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x a

b ”，那么甲是乙的（ A ） （A ）充分不必要条件；（B ）必要不充分条件；（C ）充要条件；（D ）非充分非必要条件．

15．设1z ，2z 为复数，则下列四个结论中正确的是（ D ）

（A ）若22120z z +>，则2212z z >-； （B ）若22120z z +=，则120z z ==；

（C ）12z z -= （D ）11z z -是纯虚数或零．

16．在实数集R 上定义运算⊕：y y x y x -++=⊕1222，则满足x y y x ⊕=⊕的实数对)(y x ，在平面直角坐标系内对应点的轨迹是（ D ）

（A ）一个圆； （B ）双曲线； （C ）一条直线； （D ）两条直线．

三．解答题：

17．已知z 、ω为复数，(13)i z +为实数，ω＝

i z +2，且|ω|＝52，求复数ω． 解：设ω＝x ＋yi （x ，y ∈R ），ω＝i

z +2⇒z ＝ω)2(i +． (13)i z +＝ω)2)(31(i i ++＝))(71(yi x i ++-＝－x －7y ＋i y x )7(-，

依题意(13)i z +为实数，且|ω|＝52，

∴227050x y x y -=⎧⎨+=⎩

，解之得17x y =⎧⎨=⎩或17x y =-⎧⎨=-⎩，∴ω＝1＋7i 或ω＝－1－7i ．

18．已知1z 、2z 是实系数一元二次方程2x ＋px ＋q ＝0的两个虚根，且1z 、2z 满足方程21z ＋2)1(z i -＝

i i ++-182，求p 、q 的值． 解：i

i ++-182＝3＋5i ． 设1z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ），则2z ＝a －bi ．

代入并化简得：(3a －b )＋i a b )(-＝3＋5i ，解得49a b ⎧=⎨

=⎩． ∴p ＝－(1z ＋2z )＝－2a ＝－8，q ＝21z z ⋅＝2a ＋2b ＝97．

19．已知动圆过定点F (21，0)，且与定直线l ：x ＝－2

1相切． （1）求动圆圆心M 的轨迹方程；

（2）设点O 为坐标原点， P 、Q 两点在动点M 的轨迹上，且满足OP ⊥OQ ，OP ＝OQ ，求

等腰直角三角形POQ 的面积．

解：（1）根据抛物线定义可得动圆圆心M 的轨迹方程为2y ＝2x ；

（2）因为OP ⊥OQ ，设直线OP 的方程为y ＝kx ，则直线OQ 的方程为y ＝－

x k 1， 解得点P 、Q 的坐标分别为(

22k ，k 2)，(22k ，23k )． 由OP ＝OQ ，得：24k ＋44k

＝44k ＋46k ，8k ＝1， 可得点P 、Q 坐标分别为(2，2)，(2，－2)．

∴POQ S ＝2||2

1OP ＝4．

20．如图：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝6，AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1和BC 的中点．求：

（1）A 1B 与B 1C 所成的角；

（2）MN 与AC 所成的角；

（3）MN 与平面ABCD 所成的角．

解：（1）10

2arccos ； （2）13

132arctan ； （3）13132arctan

．