上海市高二(下)数学期末复习(含答案)
2021-2022学年上海市市北中学高二年级下册学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年上海市市北中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知物体做直线运动的方程为，则表示的意义是（ ）()s s t =()410s '=A ．经过4s 后物体向前走了10m B ．物体在前4秒内的平均速度为10m/s C ．物体在第4秒内向前走了10m D ．物体在第4秒末的瞬时速度为10m/sD【分析】根据导函数的定义判断可得选项.【详解】解：由导数的意义知表示物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s ．()410s '=故选：D.2．若，则的值是（ ）(1)x +7280128(12)x a a x a x a x -=++++ 127a a a +++ A ．-2B ．-3C ．125D ．-131C【详解】试题分析：令，得；令，得，即0x =01a =1x =01282a a a a -=++++ ．又，所以，故选1283a a a +++=- 7787(2)128a C =-=-12783125a a a a +++=--= C ．二项式定理．3．如图，在杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，则数列的第10项为A ．55B ．89C ．120D ．144A【分析】根据杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，找出规律，即可求出数列的第10项，得到答案.【详解】由题意，可知，1234561,1,112,123,235,358a a a a a a ===+==+==+==+=，789105813,81321,132134,213455a a a a =+==+==+==+=故选A.本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中读懂题意，理清前后项的关系，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、多选题4．对于函数，若，则当无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于()f x ()02f x '=h 2的式子有（ ）A ．B ．()()00f x h f x h +-()()002f x h f x h +-C ．D ．()()002f x h f x h +-()()0022f x h f x h +-AD【分析】利用平均变化率的定义以及导数的定义对四个选择逐一判断即可．【详解】解：因为，故选项A 正确；0000()()lim()2h f x h f x f x h →+-='=因为，故选项B 错误；0000()()1lim()122h f x h f x f x h →+-='=因为，故选项C 错误；0000(2)()lim2()4h f x h f x f x h →+-='=因为，故选项D 正确．0000(2)()lim()22h f x h f x f x h →+-='=故选：AD ．三、填空题5．除以的余数是___________.115071【分析】由结合二项式定理可求得除以的余数.()111150491=+11507【详解】，()111111110210101111115049149C 49C 49C 491=+=+⋅+⋅++⋅+ 而能被整除，111102101011111149C 49C 49C 49+⋅+⋅++⋅ 7故除以的余数是.115071故答案为.16．展开式的中间项是___________.6(1)x +320x 【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可求解.【详解】解：展开式的通项为：，展开共有7项，故中间项是第4项，16C k kk T x +=，33346C 20T x x ==故答案为.320x7．函数的导数为___________.32e xy x =1231e 2xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】根据导数四则运算，即可求解.【详解】解：，()'331'2223e e 1e 2x x xy x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'故1231e 2xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭8．计算：___________.33333456C C C C +++=35【分析】直接求解.【详解】,33333456C C C C 14102035+++=+++=故35.9．设常数，在空格内，写出左边到右边的推导过程：0,1a a >≠___________.()log a x '=1ln x a =()ln 1ln ln ln x x a a'⎛⎫'=⋅ ⎪⎝⎭【分析】根据基本初等函数的导数及导数的运算，即可求解.【详解】.()()ln 1log ln ln ln a x x x a a '⎛⎫''==⋅ ⎪⎝⎭1ln x a =故答案为.()ln 1ln ln ln x x a a'⎛⎫'=⋅ ⎪⎝⎭10．将4本不同的书分给3所不同的学校，其中一所学校分得2本，另两所学校各分得1本，则分书的种数为___________.36【分析】这是部分均匀分配问题，先分堆，后分配.【详解】解：分书的种数为(种).211342132236C C C A A ⨯=故36.11．曲线在点处的切线方程为___________.12exy -=1,12⎛⎫⎪⎝⎭220x y +-=【分析】根据导数求切线斜率，即可求解.【详解】解：，所以切线斜率为：，切线方程为，122exy --'=2k =-112(2y x -=--整理得：，220x y +-=故220x y +-=12．已知函数的定义域为R ，其导函数的图象如图所示，则对于任意()f x ()'f x ，下列结论正确的是___________.（填序号）()1212,x xx x ∈≠R ①恒成立；()0f x <②；()()()1212[]0x x f x f x --<③；()()()1212[]0x x f x f x -->④；()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭⑤()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭②⑤【分析】由导数的图象，分析原函数的图象，根据图象的单调性判断①②③选项，根据图象的凹凸性判断④⑤选项.【详解】由题中图象可知，导函数的图象在x 轴下方，即，且其绝对值()'f x ()0f x '<越来越小，因此过函数图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾()f x 斜角是越来越大的钝角，由此可得的大致图象如图所示．()f x选项①，导函数只能反映原函数的单调性，不能反映原函数的正负，故①错；选项②表示与异号，即图象的割线斜率为负，12x x -()()12f x f x -()f x ()()1212f x f x x x --故②正确，选项③表示与同号，即图象的割线斜率为正，12x x -()()12f x f x -()f x ()()1212f x f x x x --故③不正确；表示对应的函数值，即图中点B 的纵坐标，122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭122x x +表示当和时所对应的函数值的平均值，即图中点A 的纵坐标，()()122f x f x +1x x =2x x =显然有，故④不正确，⑤正确．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭故答案为:②⑤．四、双空题13．有8名学生排成一排，甲､乙相邻的排法种数为___________，甲不在排头，乙不在排尾的排法种数为___________.（用数字作答） 10080 30960【分析】（1）把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素，再和另外6人全排列；（2）可采用间接法得到；【详解】（1）把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素，再和另外6人全排列，故有种情况；77210080A =（2）利用间接法，用总的情况数减去甲在排头、乙在排尾的情况数，再加上甲在排头同时乙在排尾的情况，故有种情况876876A 2A A 30960-+=故10080；3096014．在一块正三角形的铁板的三个角上分别剪去三个全等的四边形，然后折成一个正三棱柱，尺寸如图所示当x 为___________时，正三棱柱的体积最大，最大值是___________.6a354a 【分析】先设内部小三角形的边长为，根据三棱柱的体积的表达式，构建函数，2a x -利用导函数求最值，即可.【详解】解：由题意得：内部小三角形的边长为，又，所以，2a x -20a x ->02a x <<三棱柱的体积为，()()22212sin 60tan 3024x a x V a x x -=-⨯⨯=令()2322()244(0),2a f x x a x x ax a x x =-=-+<<，()()22()12862f x x ax a x a x a '=-+=--所以故，0,,()0,,,()0,662a a a x f x x f x ⎛⎫⎛⎫''∈>∈< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3max 2()()627a f x f a ==所以.33max1242754a V a =⨯=故；；6a354a 五、解答题15．求函数的导函数，并由此确定正切函数的单调区间.()tan f x x =单调递增区间为：,,22k k k Zππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【分析】根据导函数及定义域，即可求解单调区间.【详解】解：，又定义域为2222sin cos sin 1()(tan )(0cos cos cos x x x f x x x x x +'''====>,所以单调递增区间为：,无单调递减区间.|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭,,22k k k Zππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭16．一个罐子中有同样大小及重量的20个玻璃球，其中4个是红色的，6个是黑色的，10个是白色的.经充分混合后，从罐子中同时取出2个球，求下列事件的概率：(1)两个球都是黑色的；(2)两个球的颜色不同.(1)338(2)6295【分析】(1)根据组合数公式即可求解，（2）先算出摸出的两个球是同色的概率，再用排除法即可求解.【详解】(1)两个球都是黑色的概率为26220C 3C 38P ==(2)两个球的颜色不同的概率为.2226104222202020C C C 621C C C 95P =---=17．设展开式的各项系数和为t ，其二项式系数和为h ，若，n 4160t h +=求：(1)展开式中x 的无理项个数；(2)展开式中系数最大的项.(1)5(2)1361458x【分析】(1)由二项式系数和与各项系数和可得n ，再由通项公式，即可求解.(2)假设第项系数最大，再由不等式，即可求解.1r +【详解】(1)解：各项系数和为，()24,2,42224160n n n n n n t h t h ==+=+=+=解得：，解得，()()2642650nn -+=2646nn =⇒=展开式通项公式为，，12666166(3r r r r rr r T C C x+--+==0,1,2,3,4,5,6r =当时，是整数，时，不是整数，系数是无理数，共有0,6r =126r +1,2,3,4,5r =126r+5项．(2)假设第项系数最大，则1r +，即，61566617663333r r r r r r r r C C C C -+----⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩()()()()()()6!6!3!6!1!5!6!6!3!6!1!7!r r r r r r r r ⎧⋅≥⎪⋅-+⋅-⎪⎨⎪≥⋅⎪⋅--⋅-⎩解得：，3744r ≤≤又,所以，所以系数最大的项为.*r Z ∈1r =131351662631458T C x x==18．（1）若，解不等式；x N ∈2996x x P P ->（2）在的展开式中，第k 项，第项，第项的系数成等差()(2030)na b n +<<1k +2k +数列，求n 和k 的值；（3）设计一道排列组合的应用题，验证下面这个等式成立：()1122C C C C C C C C 1,,,m m m k m km n k n k n k n n k k m n k m n ---*+++++=≤≤≤∈N (1)；(2) ,.(3)过程见解析;{}234567，，，，，914k =或23n =【分析】(1)利用排列数公式,即可求解;(2)列用二项式展开式的通项公式,即可求解;(3)根据的展开式中项的系数设计题目,即可证明.(1)n kx ++mx 【详解】解:(1)得,,化简得,又()299296x x P P x ->≤≤()()9!9!69!11!x x >--2211040x x -+>,所以92x ≤≤234567x =，，，，，(2),所以有1C k n k k k n T a b -+=112C C +C ,k k k n n n -+=展开得:,()()()()()!!!2!!1!1!1!1!n n n k n k k n k k n k ⨯=+---++--化简得:,整理得,211k n kn k k -=+-++()2241420n k n k -++-=且,()()2241442890k k k ∆=+--=+>解得:n =n =所以只能是一个奇数的平方,89k +令,2*89(21),k m m N +=+∈所以,,228(21)9448k m m m =+-=+-222m m k +-=此时,22212n m m n m =+-=-或所以,.2220213042392023052314m m m n k m m n k <+-<===<-<===，，，或，，，(3)题目为: “求的展开式中项的系数为多少?”,(1)n k x ++m x ()1,,,k m n k m n *≤≤≤∈N解:由题意可得: 展开式中含项为,m x m mn k C x +也可以拆开为,故展开式中含项可以按照前面提供个x ,后面提供个(1)(1)n k x x ++mx m 0x , 前面提供个x ,后面提供个x,……以此类推,1m -1即可得展开式中含项为,m x 1122(C C C C C C )C m m m m k m k n k n k n k n x ---++++ 所以得证.()1122C C C C C C C C 1,,,m m m k m km n k n k n k n n k k m n k m n ---*+++++=≤≤≤∈N 19．已知函数.21()ln 2f x x a x =+(1)若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值；1a =-()f x (2)若，求函数在上的最大值和最小值；1a =()f x [1,e](3)若，求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方；1a =[1,)+∞()f x 32()3g x x=由此启发，给出以下结论成立的一个判断依据，“在区间（a 为常数）上，可导[,)a +∞函数的图象在可导函数的图象上方”（不必证明）.()f x ()g x (1)极小值()112f =(2)，min 1()2f x =2max 1()e 12f x =+(3)见解析【分析】（1）代入，从而化简并求其定义域，再求导判断函数的单调性及1a =-()f x 极值即可；（2）代入，从而化简并求其定义域，再求导判断函数的单调性及求函数的1a =()f x 最值；（3）代入，令，从而化在区间，上，函数1a =3221()()()ln 32F x g x f x x x x =-=--[1)∞+的图象在的图象下方为在，上恒成立，再化为函数的最()f x 32()3g x x=()0F x >[1)∞+值问题即可．【详解】(1)解：当时，的定义域为，1a =-21()ln 2f x x x =-(0,)+∞，1(1)(1)()x x f x x x x -+'=-=当时，，当时，，01x <<()0f x '<1x >()0f x '>所以在上是减函数，在上是增函数，()f x (0,1)(1,)+∞所以在处取得极小值；()f x 1x =()112f =(2)解：当时，的定义域为，1a =21()ln 2f x x x =+(0,)+∞，1()0f x x x '=+>故在，上是增函数，()f x [1e]故，；()min 1()12f x f ==()2max 1()e e 12f x f ==+(3)证明：令，3221()()()ln 32F x g x f x x x x =-=--则，221(1)(21)()2x x x F x x x x x -++'=--=，，[1x ∈ )∞+，2(1)(21)()0x x x F x x -++'∴=≥在，上是增函数，()F x ∴[1)∞+故，()211()10326F x F ≥=-=>故在区间，上，函数的图象在的图象下方，[1)∞+()f x 32()3g x x=要使在区间（a 为常数）上，可导函数的图象在可导函数的图象上方，[,)a +∞()f x ()g x 只需要函数在区间（a 为常数）上恒成立即可.()()0f xg x ->[,)a +∞。
上海高二高中数学期末考试带答案解析
上海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.________________ ．2.已知复数满足是虚数单位)，则_____________．3.已知是纯虚数，是实数，则4.已知，求=5.复数的值是．6.若关于x的一实系数元二次方程有一个根为，则______7.设复数，则=_____________．8.若且的最小值是_____________9.在复平面上，已知直线上的点所对应的复数满足，则直线的倾斜角为（结果用反三角函数值表示）|为直径的圆的面积为______．10.，那么以|z111.用一个平面去截正方体。
其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是条12.已知空间四边形，、分别是、中点，，，，则与所成的角的大小为_________二、选择题1.若复数z=a+bi(a、b∈R),则下列正确的是（）A．>B．=C．<D．=z22.在复平面内，若复数对应的向量为，复数对应的向量为，则向量对应的复数是（）A．1B．C．D．3.如图，正方体中，若分别为棱的中点，、分别为四边形、的中心，则下列各组中的四个点不在同一个平面上的是（）（A）（B）（C）（D）4.若为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．异面或相交三、解答题1.（本小题满分10分）已知复数z 1满足(1+i )z 1=－1+5i ， z 2=a －2－i ， 其中i 为虚数单位，a ∈R ， 若<|z 1|，求a 的取值范围.2.（本小题满分12分） 如图，长方体中，AD=2，AB=AD=4，，点E 是AB 的中点，点F 是的中点。
（1）求证：；（2）求异面直线与所成的角的大小；（本题满分12分） 已知，且以下命题都为真命题： 命题 实系数一元二次方程的两根都是虚数； 命题存在复数同时满足且.求实数的取值范围.3.（本小题满分14分）已知实系数一元二次方程x 2+px +q =0的两根分别为x 1，x 2。
2021-2022学年上海市闵行区教育学院附属中学高二年级下册学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年上海市闵行区教育学院附属中学高二下学期期末数学试题一、填空题1．经过点(0,0)和的直线的斜率为______．【分析】利用斜率公式计算即可.【详解】经过点(0,0)和的直线的斜率为k2．已知()sin f x x =，则()f x '=______．【答案】cos x【分析】利用求导公式计算即可.【详解】()cos f x x '=.故答案为：cos x .3．抛物线y 2=6x 的焦点到准线的距离为___________.【答案】3【分析】利用抛物线焦点到准线的距离为p ，从而得到结果.【详解】抛物线26y x =的焦点到准线的距离为p ，由标准方程可得3p =.故答案为：34．若椭圆22194x y +=与椭圆2213x y k +=圆扁程度相同，则k 的值为______． 【答案】274或43 【分析】根据焦点的位置以及椭圆离心率的计算公式即可求解.【详解】两椭圆的圆扁程度相同，所以两个椭圆的离心率相同，椭圆22194x y +=当焦点在x 轴时，椭圆2213x y k +=274k =当焦点在y 轴时，椭圆2213x y k +==，可得43k =，故k 的值为274或43， 故答案为：274或435．函数()()221f x x =+在()()0,0f 处的切线方程为______．【答案】41y x =+【分析】直接求出导数，得到切线的斜率，利用点斜式写出切线方程.【详解】()()2221441f x x x x =+=++.所以()00011f =++=，即切点为（0，1）. ()84f x x '=+，所以()0044f '=+=.所以在()()0,0f 处的切线方程为41y x =+.故答案为：41y x =+.6．直线:10l x y --=与圆22:(2)4C x y -+=交于,A B 两点，则||AB =______．【分析】先求出圆心到直线的距离，然后利用垂径定理即可求解.【详解】直线:10l x y --=到圆22:(2)4C x y -+=距离d =由垂径定理可得：2AB ===7．已知1()x f x x，则0(2)(2)lim h f h f h →+-=______． 【答案】14-##0.25-. 【分析】先求出(2)(2)f h f +-，然后代入0(2)(2)lim h f h f h →+-中求解即可. 【详解】因为11()1x f x x x +==+， 所以1111(2)(2)1122222(2)h f h f h h h -⎛⎫+-=+-+=-= ⎪+++⎝⎭， 所以000(2)(2)lim lim l 112(2)2(2)4im h h h hf h f h h h h →→→+--++==-=-，故答案为：14-.8．已知直线l 过点（1，2），且原点到直线l 的距离为1，则直线l 方程为__________．【答案】x =1或3x ﹣4y +5=0【分析】分两种情况，当斜率不存在时，验证是否满足题意；当斜率存在时，设出点斜式方程，再由点到直线的距离公式求出斜率即可求解.【详解】直线l 的斜率不存在时，可得直线l 的方程为：x =1，满足题意；直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为：y ﹣2=k （x ﹣1），化为：kx ﹣y +2﹣k =0．1=，解得：k 34=， ∴直线l 的方程为：y ﹣234=（x ﹣1），化为：3x ﹣4y +5=0， 综上可得：直线l 的方程为：x =1或3x ﹣4y +5=0，故答案为：x =1或3x ﹣4y +5=0．【点睛】本题主要考查直线的点斜式方程、点到直线的距离公式，注意斜率不存在的情况，考查分类讨论的思想，属于基础题9．过抛物线24y x =的焦点且斜率为2的直线与抛物线交于,A B 两点，则线段AB 长为___．【答案】5【分析】首先求过焦点的直线方程，再与抛物线方程联立，利用韦达定理表示焦点弦长，即可求解.【详解】由抛物线方程可知，焦点坐标为()1,0，2p =，所以过焦点，斜率为2的直线为()21y x =-，与抛物线方程24y x =联立，得()2414x x -=，整理为：2310x x -+=，123x x +=， 线段AB 的长为12325x x p ++=+=.故答案为：51010=化简后为______． 【答案】2212516y x += 【分析】运用方程的几何意义得出结果.【详解】解：10，故令(),M x y ，()10,3F -，()20,3F∴1212106MF MF F F +=>=，∴方程表示的曲线是以()10,3F -，()20,3F 为焦点，长轴长210a =的椭圆，即5a =，3c =，4b ，∴方程为2212516y x +=. 故答案为：2212516y x +=. 11．书架上有2本不同的数学书，3本不同的语文书，4本不同的英语书．若从这些书中取不同科目的书两本，有____种不同的取法．【答案】26【分析】分三种情况讨论即可求解.【详解】取两本不同科目的书，可以分三种情况：①一本数学书和一本语文书，有1123C C 6⨯=种；②一本数学书和一本英语书，有1124C C 8⨯=种；③一本语文书和一本英语书，有1134C C 12⨯=种.根据分类加法计数原理，共有681226++=种不同的取法.故答案为：2612．若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则22||||OP PF +的取值范围为_______．【答案】2,5⎡+⎣【分析】设(),P x y ，则()2212x y x ⎡=-∈⎣，由两点距离公式即可得所求取值的函数，进而讨论范围即可.【详解】由题意得，()0,0O ，()1,0F -，设(),P x y ，则()2212x y x ⎡=-∈⎣，则()()()2222222222|1121122,||2|5x x y x y x x OP PF x ⎛⎫⎡=++++=+++-=++∈+ +⎪⎣⎝⎭.故答案为：2,5⎡+⎣二、单选题13．若P 是椭圆221259x y +=上动点，则P 到该椭圆两焦点距离之和是（ ） A ．234B ．10C ．6D ．8【答案】B 【分析】根据椭圆定义直接求解即可.【详解】由椭圆方程得：5a =，根据椭圆定义可知：P 到椭圆两焦点的距离之和为210a =. 故选：B.14．已知点(2,1)在双曲线22221x y a b-=上，则（ ） A ．点(2,1)--不在双曲线上B ．点(2,1)-不在双曲线上C ．点(2,1)-在双曲线上D ．以上均无法确定【答案】C【分析】根据双曲线的对称性进行判断即可. 【详解】因为双曲线22221x y a b-=关于横轴、纵轴、原点对称， 而点(2,1)关于横轴、纵轴、原点对称的点分别为(2,1)-、(2,1)-、(2,1)--，所以只有选项C 正确，故选：C15．现有5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（ ）A ．54B ．45C ．20D ．9【答案】A【分析】将此事分为5步，每一步均为1名同学选择讲座，后由分步计数原理可得答案.【详解】将完成此事分为5步.第1步为第一名同学完成选择，有4种方法；第2步为第二名同学完成选择，有4种方法；；第5步为第五名同学完成选择，有4种方法. 则由分步计数原理可知，不同选法的种数位为：5444444⨯⨯⨯⨯=.故选：A16．函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，以下命题错误的是（ ）A ．3-是函数()y f x =的极值点B ．1-是函数()y f x =的最小值点C ．()y f x =在区间()3,1-上单调递增D ．()y f x =在0x =处切线的斜率大于零【答案】B 【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．【详解】解：根据导函数图象可知当(,3)x ∈-∞-时，()0f x '<，在(3,1)x ∈-时，()0f x '≥， ∴函数()y f x =在(,3)-∞-上单调递减，在(3,1)-上单调递增，故C 正确；易知3-是函数()y f x =的极小值点，故A 正确；在(3,1)-上单调递增，1∴-不是函数()y f x =的最小值点，故B 不正确；函数()y f x =在0x =处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D 正确.故选：B ．三、解答题17．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中．(1)求证：1BD ⊥面1AB C ；(2)E 为线段1A D 的中点，求异面直线BE 与1AA 所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，利用垂直关系转化，即可证明；（2）将异面直线所成角，转化位相交直线所成角，即可求解.【详解】（1）如图，连接BD ，BD AC ⊥，1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，且1BD DD D =，所以AC ⊥平面1D DB ，1D B ⊂平面1D DB ，所以1AC D B ⊥，同理，11B C D B ⊥，且1AC B C C ⋂=，1,AC B C ⊂平面1ACB所以1D B ⊥平面1ACB（2）取AD 中点F ，连接,EF BF ，因为点,E F 分别是1A D 和AD 的中点，所以1//EF AA ,所以异面直线BE 与1AA 所成角为BEF ∠，221,125EF BF ==+= 所以tan 5BEF ∠5BEF ∠=18．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 上的动点P 到点(1,0)的距离是到点(1,0)-3(1)求曲线C 的轨迹方程；(2)若(2,2)A -，求过点A 且与曲线C 相切的直线l 的方程．【答案】(1)22(2)3x y ++= 332360x y -+=332360x y ++=.【分析】（1）设(,)P x y ，根据已知条件列方程，化简求得曲线C 的轨迹方程；（2）设出直线l 的方程，根据圆心到直线的距离等于半径列方程，求得直线l 的斜率，进而求得直线l 的方程.【详解】（1）设(,)P x y 2222(1)3(1)x y x y -+=++22(2)3x y ++=，故曲线C 的轨迹方程为22(2)3x y ++=；（2）曲线C ：22(2)3x y ++=是以()2,0-3.显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2(2)y k x -=+，即220kx y k -++=231k =+3k =， 所以直线l 32320y -=或32320y -=，360y -+=360y ++=.19．求函数31()23f x x x =-+． (1)求函数()f x 的单调区间和极值；(2)求()f x 在区间[2,2]-上的最值．【答案】(1)()f x 在(,1]-∞-和[1,)+∞上单调递增，在[1,1]-上单调递减，极大值为83，极小值为43； (2)最大值为83，最小值为43.【分析】（1）求导，计算导数大于0的解为原函数的单调递增区间，导数小于0为单调递减区间，递增递减的转折点为极大值点，递减递增的转折点为极小值点；（2）由第一小问的单调性，写出[2,2]-上的极值点和端点函数值，比较其大小可得最值.【详解】（1）31()2,3f x x x =-+∴2()1f x x '=-， 令()0f x '>，得1x <-或1x >；令()0f x '<，得11x -<<，所以()f x 在(,1]-∞-和[1,)+∞上严格增，在[1,1]-上严格减，极大值为8(1)3f -=，极小值为4(1)3f =； （2）由（1）得()f x 在[2,1]--和[1,2]上严格增，在[1,1]-上严格减， 又4(2)3f -=，8(2)3f =， 所以最大值为83，最小值为43．20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为y x =，左焦点为(2,0)F -经过点F 的直线l 交双曲线C 于,A B 两点．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)若直线l 在y 轴上截距为2，求||AB ；(3)若,A B 的中点横坐标为1，求直线l 的方程．【答案】(1)2213x y -=(2)(3)1(2)3y x =±+【分析】（1）根据渐近线方程，焦点坐标，列出,,a b c 的方程进行求解即可；（2）利用弦长公式直接计算即可；（3）先确定直线斜率是否存在，然后联立直线与双曲线，通过中点坐标公式列方程求解.【详解】（1）由题意得2223,2,3b c c a b a ===+，所以223,1a b ==， 所以双曲线C 的标准方程为2213x y -=； （2）由题意得直线l 的方程为2y x =+，由22132x y y x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得，2212150x x ++=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212156,2x x x x +=-=，所以221212||11()423AB x x x x =++-=； （3）当直线l 的斜率不存在时，中点横坐标为2-，显然不合题意，所以设直线l 的方程为(2)y k x =+，由()22132x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，得2222(31)121230k x k x k -+++=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则212261231x x k k +=-=-，解得13k =±， 此时所联立方程可整理化简得：224130x x --=，满足1200∆=>，符合题意，故直线l 的方程为1(2)3y x =±+． 21．如图，用一张边长为3的正方形硬纸板，在四个角裁去边长为x 的四个小正方形，再折叠成无盖纸盒．当裁去的小正方形边长x 发生变化时，纸盒的容积V 会随之发生变化．问：(1)求V 关于x 的函数关系式，并写出x 的范围；(2)x 在什么范围内变化时，容积V 随x 的增大而增大随x 的增大而减小?(3)x 取何值时，容积V 最大？最大值是多少？【答案】(1)23(32),0,2V x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭； (2)当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，容积V 随x 的增大而增大；当13,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，容积V 随x 的增大而减小； (3)当12x =时，max 2V =.【分析】（1）根据题意和长方体体积公式直接得解;（2）求导后根据导数正负确定函数增减即可；（3）确定根据函数的单调性即可确定最值.【详解】（1）23(32),0,2V x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭. （2）324129V x x x =-+，2122493(23)(21)V x x x x'=-+=--，当1(0,)2x∈时，0V'>，容积V随x的增大而增大，当13(,)22x∈时，0V'<，容积V随x的增大而减小；（3）当12x=时，max2V=．。
上海市高二(下)数学期末复习(含答案)
高二（下）数学期末复习一．填空题：1．计算：2(12)(32)1i i i +-++＝ 8＋3i ． 2．ϑ∈(π，23π)，直线l ：ϑsin x ＋ϑcos y ＋1＝0的倾角α＝ 2π－ϑ ． 3. 与两平行直线1l ：3x －y ＋9＝0与2l ：3x －y －3＝0等距离的直线方程 为： 3x －y ＋3＝0 ．4．在复平面上，满足条件2＜|z |≤4的复数z 所对应的点Z 组成的图形的面积是 12π ．5．一条渐近线方程3x ＋4y ＝0，且经过点是(4，6)的双曲线标准方程是272y －482x ＝1． 6．与直线y ＝x ＋1平行，被椭圆2244x y +=截得的弦长为2的直线l 的方程是： y ＝x ±455 ． 7．若|ia ai 222+-|＝2，则实数a 的值是： ±3 ． 8．已知复数1z ＝3＋4i ，2z ＝t ＋i ，且21z z ⋅是实数，则实数t 等于 34． 9．直线a ∥平面α，直线b ⊂平面α，则a 、b 的位置关系是 平行或异面 ．10．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，若EF ＝3，则AD 、BC 所成角为 60o ．11．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AA 1和BB 1的中点，则异面直线C 1M 与DN 所成角的大小为 91arccos ． 12．已知命题：椭圆252x ＋92y ＝1与双曲线112x －52y ＝1的焦距相等．试将此命题推广到一般情形，使已知命题成为推广后命题的一个特例：椭圆22a x ＋22b y ＝1与双曲线22c x －22dy ＝1)(2222d c b a +=-的焦距相等 ． 二．选择题：13．设M 、N 是空间四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点，则下列答案中正确的是（ B ）（A ）MN ＝(21AB ＋CD )； （B ）MN ＜(21AB ＋CD )； （C ）MN ＞(21AB ＋CD )； （D ）MN 与(21AB ＋CD )的大小关系不确定． 14．命题甲：“双曲线C 的方程为22a x －22by ＝1(a ＞0，b ＞0)”，命题乙：“双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x ab ”，那么甲是乙的（ A ） （A ）充分不必要条件；（B ）必要不充分条件；（C ）充要条件；（D ）非充分非必要条件．15．设1z ，2z 为复数，则下列四个结论中正确的是（ D ）（A ）若22120z z +>，则2212z z >-； （B ）若22120z z +=，则120z z ==；（C ）12z z -= （D ）11z z -是纯虚数或零．16．在实数集R 上定义运算⊕：y y x y x -++=⊕1222，则满足x y y x ⊕=⊕的实数对)(y x ，在平面直角坐标系内对应点的轨迹是（ D ）（A ）一个圆； （B ）双曲线； （C ）一条直线； （D ）两条直线．三．解答题：17．已知z 、ω为复数，(13)i z +为实数，ω＝i z +2，且|ω|＝52，求复数ω． 解：设ω＝x ＋yi （x ，y ∈R ），ω＝iz +2⇒z ＝ω)2(i +． (13)i z +＝ω)2)(31(i i ++＝))(71(yi x i ++-＝－x －7y ＋i y x )7(-，依题意(13)i z +为实数，且|ω|＝52，∴227050x y x y -=⎧⎨+=⎩，解之得17x y =⎧⎨=⎩或17x y =-⎧⎨=-⎩，∴ω＝1＋7i 或ω＝－1－7i ．18．已知1z 、2z 是实系数一元二次方程2x ＋px ＋q ＝0的两个虚根，且1z 、2z 满足方程21z ＋2)1(z i -＝i i ++-182，求p 、q 的值． 解：ii ++-182＝3＋5i ． 设1z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ），则2z ＝a －bi ．代入并化简得：(3a －b )＋i a b )(-＝3＋5i ，解得49a b ⎧=⎨=⎩．∴p ＝－(1z ＋2z )＝－2a ＝－8，q ＝21z z ⋅＝2a ＋2b ＝97．19．已知动圆过定点F (21，0)，且与定直线l ：x ＝－21相切． （1）求动圆圆心M 的轨迹方程；（2）设点O 为坐标原点， P 、Q 两点在动点M 的轨迹上，且满足OP ⊥OQ ，OP ＝OQ ，求等腰直角三角形POQ 的面积．解：（1）根据抛物线定义可得动圆圆心M 的轨迹方程为2y ＝2x ；（2）因为OP ⊥OQ ，设直线OP 的方程为y ＝kx ，则直线OQ 的方程为y ＝－x k 1， 解得点P 、Q 的坐标分别为(22k ，k 2)，(22k ，23k )． 由OP ＝OQ ，得：24k ＋44k＝44k ＋46k ，8k ＝1， 可得点P 、Q 坐标分别为(2，2)，(2，－2)．∴POQ S ＝2||21OP ＝4．20．如图：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝6，AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1和BC 的中点．求：（1）A 1B 与B 1C 所成的角；（2）MN 与AC 所成的角；（3）MN 与平面ABCD 所成的角．解：（1）102arccos ； （2）13132arctan ； （3）13132arctan．。
上海市高二数学下学期期末试卷(共3套,含参考答案)
上海市闵行区高二（下）期末数学试卷一、填空题1．在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是______．2．若点H（﹣2，4）在抛物线y2=2p x的准线上，则实数p的值为______．3．若椭圆上一点P到其焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为______．4．若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为______．5．经过点（﹣2，2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程为______．6．已知实数x、y满足约束条件则z=2x+4y的最大值为______．7．一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为______．8．在平面直角坐标系x0y中，直线（t为参数）与圆（θ为参数）相切，切点在第一象限，则实数a的值为______．9．在北纬45°的线圈上有A、B两地，它们的经度差为90°，若地球半径为R，则A、B两地的球面距离为______．10．设α与β是关于x的方程x2+2x+m=0的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=______．11．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱的长度都为4，则异面直线AB1与BC1所成的角是______（结果用反三角函数值表示）．12．已知复数z满足|z|=3，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是______．13．已知x、y、u、v∈R，且x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy，则T的最小值为______．14．已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T={（x，y）|F（x，y）=0}，若对于任意的（x1，y1）∈T，都存在（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，则称曲线C为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有______（写出所有曲线的序号）①2x2+y2=1；②x2﹣y2=1；③y2=2x；④|x|﹣|y|=1；⑤（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0．；二、选择题15．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1（）A．关于x轴对称B．关于原点对称，但不关于直线y=x对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称17．下列命题中，正确的命题是（）A．若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1＞z2B．若z∈R，则z•=|z|2不成立C．z1、z2∈C，z1•z2=0，则z1=0或z2=0D．z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=018．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：①点P在直线BC1上运动，三棱锥A﹣D1PC的体积不变②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变③点P在直线BC1上运动，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的直线．其中的真命题是（）A．①③B．①③④C．①②④D．③④三、解答题19．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是3米，底面的边长是8米：（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积（冷水塔的厚度忽略不计）（2）制造这个冷水塔的侧面需要多少平方米的钢板？；20．设直线 y= x +2 与双曲线﹣ =1 交于 A 、B 两点，O 为坐标原点，求：（1）以线段 AB 为直径的圆的标准方程；（2）若 OA 、OB 所在直线的斜率分别是 k OA 、k OB ，求 k OA •k OB 的值．21．已知复数 α 满足（2﹣i ）α=3﹣4i ，β=m ﹣i ，m ∈R ． （1）若|α+β|＜2| |，求实数 m 的取值范围；（2）若 α+β 是关于 x 的方程 x 2﹣nx +13=0（n ∈R ）的一个根，求实数 m 与 n 的值．22．如图，在四棱锥 P ﹣ABCD 中，底面是边长为 2 的正方形，PA ⊥底面 ABCD ，E 为 BC 的中点，PC 与平面 PAD 所成的角为 arctan．（1）求证：CD ⊥PD ；（2）求异面直线 AE 与 PD 所成的角的大小（结果用反三角函数表示）（3）若直线 PE 、PB 与平面 PCD 所成角分别为 α、β，求的值．23．在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 到定点 F （0，﹣1）的距离与 P 到定直线 y=﹣2 的距离的比为 ，动点 P 的轨迹记为 C ． （1）求轨迹 C 的方程；（2）若点 M 在轨迹 C 上运动，点 N 在圆 E ：x 2+（y ﹣0.5）2=r 2（r ＞0）上运动，且总有|MN |≥0.5， 求 r 的取值范围；（3）过点 Q （﹣ ，0）的动直线 l 交轨迹 C 于 A 、B 两点，试问：在此坐标平面上是否存在一个定点 T ，使得无论 l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过点 T ？若存在，求出点 T 的坐标．若不存在，请说明理由．上海市闵行区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是平行或异面．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】根据直线a，b是否共面得出结论．【解答】解；当a，b在同一个平面上时，a，b平行；当a，b不在同一个平面上时，a，b异面．故答案为：平行或异面．2．若点H（﹣2，4）在抛物线y2=2p x的准线上，则实数p的值为4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，由题意可得﹣=﹣2，即可解得p的值．【解答】解：抛物线y2=2p x的准线方程为x=﹣，由题意可得﹣=﹣2，解得p=4．故答案为：4．3．若椭圆上一点P到其焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为14．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=20，结合P到其焦点F1的距离为6，可求P到另一焦点F2的距离．【解答】解：根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=20∵P到其焦点F1的距离为6，∴|PF2|=20﹣6=14即P到另一焦点F2的距离为14故答案为：14．4．若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为2π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据轴截面积得出圆柱底面半径与高的关系，代入侧面积公式即可得出答案．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的轴截面面积为2rh=2，∴rh=1．∴圆柱的侧面积S=2πrh=2π．故答案为：2π．5．经过点（﹣2，2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据渐近线相同，利用待定系数法设出双曲线方程进行求解即可．【解答】解：与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线的方程可设为线﹣y2=λ，（λ≠0），∵双曲线过点（﹣2，2），∴λ=，即﹣y2=﹣2，即，故答案为：6．已知实数x、y满足约束条件则z=2x+4y的最大值为8．【考点】简单线性规划．【分析】①画可行域②z为目标函数纵截距四倍③画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）时z有最大值【解答】解：画可行域如图，z为目标函数纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）点时z有最大值8故答案为87．一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据圆锥的侧面展开图的弧长为圆锥底面周长得出圆锥底面半径，从而得出圆锥的高，代入体积公式计算即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π，∴r=1．∴圆锥的高h==．=．∴圆锥的体积V=故答案为：．8．在平面直角坐标系x0y中，直线（t为参数）与圆（θ为参数）相切，切点在第一象限，则实数a的值为+1．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】把直线和圆的参数方程都化为普通方程，由直线与圆相切d=r，切点在第一象限，求出a的值．【解答】解：圆的参数方程（θ为参数）化为普通方程是（x﹣1）2+y2=1，直线的参数方程（t为参数）化为普通方程是x+y=a；直线与圆相切，则圆心C（1，0）到直线的距离是d=r，即=1；解得|1﹣a|=，∴a=+1，或a=1﹣；∵切点在第一象限，∴a=+1；故答案为：+1．9．在北纬45°的线圈上有A、B两地，它们的经度差为90°，若地球半径为R，则A、B两地的球面距离为R．【考点】球面距离及相关计算．【分析】求出球心角，然后A、B两点的距离，即可求出两点间的球面距离．【解答】解：地球的半径为R，在北纬45°，而AB=R，所以A、B的球心角为：，所以两点间的球面距离是：；故答案为：．10．设α与β是关于x的方程x2+2x+m=0的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=2．【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由题意，可设α=a+bi，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β=a﹣bi，且m与n为实数，b ≠0．由根与系数的关系得到a，b的关系，上α，β，0对应点构成直角三角形，求得到实数m的值【解答】解：设α=a+bi，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β=a﹣bi，且m与n为实数，n≠0．由根与系数的关系可得α+β=2a=﹣2，α•β=a2+b2=m．∴m＞0．∴a=﹣1，m=b2+1，∵复平面上α，β，0对应点构成直角三角形，∴α，β在复平面对应的点分别为A，B，则OA⊥OB，所以b2=1，所以m=1+1=2；，故答案为：211．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱的长度都为4，则异面直线AB1与BC1所成的角是acrcos （结果用反三角函数值表示）．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】利用两个向量数量积的定义求得，由=（）•（）求得，求得cos＜＞=，故异面直线AB1与BC1所成的角是arccos．【解答】解：=4×4cos＜＞=32cos＜＞．又=（）•（）=+++=4×4cos120°+0+0+4×4=8．故有32cos＜＞=8，∴cos＜＞=，∴＜＞=arccos，故异面直线AB1与BC1所成的角是arccos，故答案为arccos．12．已知复数z满足|z|=3，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是[8，10]．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数z满足|z|=3，表示以原点为圆心，以3为半径的圆，则|z+4|+|z﹣4|的表示圆上的点到（﹣4，0）和（4，0）的距离，结合图形可求．【解答】解：复数z满足|z|=3，表示以原点为圆心，以3为半径的圆，则|z+4|+|z﹣4|的表示圆上的点到（﹣4，0）和（4，0）的距离，由图象可知，当点在E，G处最小，最小为：4+4=8，当点在D，F处最大，最大为2=10，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是[8，10]，故答案为[8，10]13．已知x、y、u、v∈R，且x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy，则T的最小值为10．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，相减，整理可得（x﹣u）+3（y﹣v）=10．设x﹣u=m，y﹣v=n，∴m+3n=10．T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy=（x﹣u）2+（y﹣v）2=m2+n2，利用柯西不等式，即可得出结论．【解答】解：x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，相减，整理可得（x﹣u）+3（y﹣v）=10．设x﹣u=m，y﹣v=n，∴m+3n=10．T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy=（x﹣u）2+（y﹣v）2=m2+n2，∵（m2+n2）（1+9）≥（m+3n）2，∴m2+n2≥10，∴T的最小值为10．故答案为：10．14．已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T={（x，y）|F（x，y）=0}，若对于任意的（x1，y1）∈T，都存在（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，则称曲线C为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有①③⑤（写出所有曲线的序号）①2x2+y2=1；②x2﹣y2=1；③y2=2x；④|x|﹣|y|=1；⑤（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0．【考点】曲线与方程．【分析】由曲线的定义可知，具备曲线的条件是对于任意的P1（x1，y1）∈T，都存在P2（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，即OP1⊥OP2．然后逐个验证即可得到答案．【解答】解：对于任意P1（x1，y1）∈T，存在P2（x2，y2）∈T，使x1x2+y1y2=0成立，即OP1⊥OP2．对于①2x2+y2=1，∵2x2+y2=1的图象关于原点中心对称，∴对于任意P1（x1，y1）∈C，存在P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故2x2+y2=1为曲线；对于②x2﹣y2=1，当P1（x1，y1）为双曲线的顶点时，双曲线上不存在点P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故x2﹣y2=1不是曲线；对于③y2=2x，其图象关于y轴对称，OP1的垂线一定与抛物线相交，故y2=2x为曲线；对于④，当P1（x1，y1）为（1，0）时，曲线上不存在点P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故④不是曲线；对于⑤，由（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0可得2x﹣y+1=0或点（1，2），∴对于任意P1（x1，y1）∈C，存在P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0为曲线．故答案为：①③⑤．二、选择题15．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直线l垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与α不一定平行，如果l⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线，最后根据“若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件”可得结论．【解答】解：直线l垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与α不一定平行，如果l⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线．故“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的必要不充分条件．故选：B．16．曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1（）A．关于x轴对称B．关于原点对称，但不关于直线y=x对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称【考点】曲线与方程．【分析】由题意，x，y互换，方程不变；以﹣x代替y，以﹣y代替x，方程不变，即可得出结论．【解答】解：由题意，x，y互换，方程不变；以﹣x代替y，以﹣y代替x，方程不变，∴曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称，故选：D．17．下列命题中，正确的命题是（）A．若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1＞z2B．若z∈R，则z•=|z|2不成立C．z1、z2∈C，z1•z2=0，则z1=0或z2=0D．z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=0【考点】复数的基本概念．【分析】由已知条件利用复数的性质及运算法则直接求解．【解答】解：在A中，若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1的实数大于z2的实部，z1与z2的虚部相等，z1与z2不能比较大小，故A错误；在B中，若z∈R，当z=0时，z•=|z|2成立，故B错误；在C中，z1、z2∈C，z1•z2=0，则由复数乘积的运算法则得z1=0或z2=0，故C正确；在D中，令Z1=1，Z2=i，则Z12+Z22=0成立，而Z1=0且Z2=0不成立，∴z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=0不成立，故D错误．故选：C．18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：①点P在直线BC1上运动，三棱锥A﹣D1PC的体积不变②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变③点P在直线BC1上运动，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的直线．其中的真命题是（）A．①③B．①③④C．①②④D．③④【考点】棱柱的结构特征．【分析】①由正方体的性质可得：BC1∥AD1，于是BC1∥平面AD1C，可得直线BC1上的点到平面AD1C 的距离不变，而△AD1C的面积不变，即可判断出结论．②由①可知：直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而AP的大小在改变，可得直线AP与平面ACD1所成角的大小改变，即可判断出正误．③由①可知：点P到平面AD1C的距离不变，点P到AD1的距离不变，即可判断出二面角P﹣AD1﹣C的大小是否改变．④如图所示，不妨设正方体的棱长为a，设P（x，y，0），利用|PD|=|PC1|，利用两点之间的距离公式化简即可得出．【解答】解：①由正方体的性质可得：BC1∥AD1，于是BC1∥平面AD1C，因此直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，点P在直线BC1上运动，又△AD1C的面积不变，因此三棱锥A﹣D1PC的体积=不变．②点P在直线BC1上运动，由①可知：直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而AP的大小在改变，因此直线AP与平面ACD1所成角的大小改变，故不正确．③点P在直线BC1上运动，由①可知：点P到平面AD1C的距离不变，点P到AD1的距离不变，可得二面角P﹣AD1﹣C的大小不变，正确；④如图所示，不妨设正方体的棱长为a，D（0，0，0），C1（0，a，a），设P（x，y，0），∵|PD|=|PC1|，则=，化为y=a，因此P的轨迹是过点B的直线，正确．其中的真命题是①③④．故选：B．； （三、解答题19．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是 3 米，底面的边长是 8 米： （1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积（冷水塔的厚度忽略不计） （2）制造这个冷水塔的侧面需要多少平方米的钢板？【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】 1）求出正四棱锥形的体积即可； （2）求出斜高，在计算侧面积．【解答】解：（1）V= S正方形 ABCDh= =64．∴正四棱锥形冷水塔的容积为 64 立方米．（2）取底面 ABCD 的中心 O ，AD 的中点 M ，连结 PO ，OM ，PM ． 则 PO ⊥平面 ABCD ，PM ⊥AD ，∴PO=h=3，OM=，∴PM==5，∴S △PAD == =20．∴S 侧面积=4S △PAD =80．∴制造这个冷水塔的侧面需要 80 平方米的钢板．（ （20．设直线 y= x +2 与双曲线﹣ =1 交于 A 、B 两点，O 为坐标原点，求：（1）以线段 AB 为直径的圆的标准方程；（2）若 OA 、OB 所在直线的斜率分别是 k OA 、k OB ，求 k OA •k OB 的值．【考点】双曲线的简单性质． 【分析】 1）联立方程组，消去 y 得关于 x 的一元二次方程，利用中点坐标公式以及两点间的距离公式求 出半径和圆心即可得到结论．（2）求出对应的斜率，结合根与系数之间的关系代入进行求解即可．【解答】解：（1）将直线 y= x +2 代入设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则 x 1+x 2=4，x 1x 2=﹣14，则 AB 的中点 C 的横坐标 x=|AB |=则半径 R=，则圆的标准方程为（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=﹣ =1 得 x 2﹣4x ﹣14=0，，纵坐标 y== =．，即圆心 C （2，3），=3 ，（2）若 OA 、OB 所在直线的斜率分别是 k OA 、k OB ，则 k OA = ，k OB =，则 k OA •k OB == = = =﹣．21．已知复数 α 满足（2﹣i ）α=3﹣4i ，β=m ﹣i ，m ∈R ． （1）若|α+β|＜2| |，求实数 m 的取值范围；（2）若 α+β 是关于 x 的方程 x 2﹣nx +13=0（n ∈R ）的一个根，求实数 m 与 n 的值． 【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算． 【分析】 1）根据复数的混合运算和复数模的即可求出； （2）根据韦达定理即可求出．；（【解答】解：（1）∵（2﹣i ）α=3﹣4i ，∴a==2﹣i ，∴α+β=2+m ﹣2i ， ∵|α+β|＜2| |，∴（2+m ）2+4＜4（4+1）， 解得﹣6＜m ＜2，∴m 的取值范围为（﹣6，2），（2）α+β 是关于 x 的方程 x 2﹣nx +13=0（n ∈R ）的一个根， 则 2+m +2i 也是方程的另一个根，根据韦达定理可得，解的或22．如图，在四棱锥 P ﹣ABCD 中，底面是边长为 2 的正方形，PA ⊥底面 ABCD ，E 为 BC 的中点，PC 与平面 PAD 所成的角为 arctan．（1）求证：CD ⊥PD ；（2）求异面直线 AE 与 PD 所成的角的大小（结果用反三角函数表示）（3）若直线 PE 、PB 与平面 PCD 所成角分别为 α、β，求的值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角． 【分析】 1）由 PA ⊥平面 ABCD 得出 PA ⊥CD ，又 CD ⊥AD 得出 CD ⊥平面 PAD ，故而 CD ⊥PD ；（2）以 A 为坐标原点激励空间直角坐标系，求出 ， 的坐标，计算 ， 的夹角即可得出答案； （3）求出平面 PCD 的法向量 ，则 sin α=|cos ＜ ， ＞|，sin β=|cos ＜ ， ＞|． 【解答】证明：（1）∵PA ⊥平面 ABCD ，CD ⊂ 平面 ABCD ， ∴PA ⊥CD ．∵四边形 ABCD 是正方形，∴CD ⊥AD ．又 PA ⊂ 平面 P AD ，AD ⊂ 平面 PAD ，PA ∩AD=A ， ∴CD ⊥平面 P AD ，∵PD ⊂ 平面 P AD ，∴CD⊥PD．（2）由（1）可知CD⊥平面P AD，∴∠CPD为PC与平面PAD所成的角．∴tan∠CPD=，∴PD=2．∴P A==2．以A为原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（2，1，0），P（0，0，2），D（0，2，0）．∴=（2，1，0），=（0，2，﹣2）．∴=2，||=，||=2，∴cos＜＞==．∴异面直线AE与PD所成的角为arccos （3）∵C（2，2，0），B（2，0，0），∴设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则∴，令z=1得=（0，1，1）．．=（﹣2，0，2），，=（﹣2，﹣1，2），=（﹣2，0，0）．∴=1，=2．∴cos＜∴sinα=∴=＞==，cos＜＞==．，sinβ=．．23．在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（0，﹣1）的距离与P到定直线y=﹣2的距离的比为动点P的轨迹记为C．5（ 过点 Q （﹣ ，0）的动直线 l 的方程为：y=k （x + ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．与椭圆方程化为： 18+9k 2），化为：x 2+∪（1）求轨迹 C 的方程；（2）若点 M 在轨迹 C 上运动，点 N 在圆 E ：x 2+（y ﹣0.5）2=r 2（r ＞0）上运动，且总有|MN |≥0.5， 求 r 的取值范围；（3）过点 Q （﹣ ，0）的动直线 l 交轨迹 C 于 A 、B 两点，试问：在此坐标平面上是否存在一个定点 T ，使得无论 l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过点 T ？若存在，求出点 T 的坐标．若不存在，请说明理由． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】 1）设点 P （x ，y ），由题意可得： = = ，化简即可得出．（2）E （0， ）．分类讨论：①r ≥+ ，根据|MN |≥0.5，可得 r ≥ + + ．②0＜r ＜ + ，设M ，|MN |=|EN |﹣r ，解得 r ≤|EN |﹣ 的最小值，即可得出 r 的取值范围．（3）把 x=﹣ 代入椭圆的方程可得：+ =1，解得 y=± ．取点 T （1，0）时满足 =0．下面证明：在此坐标平面上存在一个定点 T （1，0），使得无论 l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过点 T （1，0）．设（x 2+6k 2x +k 2﹣18=0，利用根与系数的关系、数量积运算性质可得=（x 1﹣1）（x 2﹣1）+=0．即可证明．【解答】解：（1）设点 P （x ，y ），由题意可得： = ==1．（2）E （0， ）．分类讨论：①r ≥+ ，∵总有|MN |≥0.5，∴r ≥+ + = +1．②0＜r ＜ + ，设 M，|MN |=|EN |﹣r∴，解得 r ≤|EN |﹣ =．﹣ = ﹣ ，综上可得：r 的取值范围是．（3）把 x=﹣ 代入椭圆的方程可得：+ =1，解得 y=± ．取 A ，B ．取点 T （1，0）时满足 =0．下面证明：在此坐标平面上存在一个定点 T （1，0），使得无论 l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过点 T ．（x 1+x 2）+1+﹣×设过点 Q （﹣ ，0）的动直线 l 的方程为：y=k （x + ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．联立，化为：（18+9k 2）x 2+6k 2x +k 2﹣18=0，∴x 1+x 2= 则，x 1x 2= ．=（x 1﹣1）（x 2﹣1）+y 1y 2=（x 1﹣1）（x 2﹣1）+=（1+k 2）x 1x 2+=（1+k 2）×+1+ =0．∴在此坐标平面上存在一个定点 T （1，0），使得无论 l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过点 T ．2015-2016学年上海市浦东新区高二（下）期末数学试卷一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．抛物线x2=﹣8y的准线方程为．2．如果直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，则系数a=．3．双曲线9x2﹣4y2=﹣36的渐近线方程是．4．已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=．5．已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为．6．设复数z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z=．7．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．8．一动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是．9．若复数z满足|z+3i|=5（i是虚数单位），则|z+4|的最大值=．10．设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°△，则F1PF2的面积是．11．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是米．12．已知圆x2+y2+2x﹣4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则a﹣b的取值范围是．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．直线倾斜角的范围是（）A．（0，]B．[0，]C．[0，π）D．[0，π]14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|P A|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3B．b=﹣2，c=3C．b=﹣2，c=﹣1D．b=2，c=﹣116．对于抛物线C：y2=4x，我们称满足y02＜4x0的点M（x0，y0）在抛物线的内部．若点M（x0，y0）在抛物线内部，则直线l：y0y=2（x+x0）与曲线C（）A．恰有一个公共点B．恰有2个公共点C．可能有一个公共点，也可能有两个公共点D．没有公共点三、解答题（共5小题，满分52分）17．已知直线l平行于直线3x+4y﹣7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．18．设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求．19．已知圆C和y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为，求圆C的方程．20．已知F1，F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M，设|MF2|=d．（1）证明：b2=ad；（2）若M的坐标为（，1），求椭圆C的方程．21．已知双曲线C1：．（1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C2的标准方程；（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点．当=3时，求实数m的值．2015-2016学年上海市浦东新区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．抛物线x2=﹣8y的准线方程为y=2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由于抛物线x2=﹣2py的准线方程为y=，则抛物线x2=﹣8y的准线方程即可得到．【解答】解：由于抛物线x2=﹣2py的准线方程为y=，则有抛物线x2=﹣8y的准线方程为y=2．故答案为：y=2．2．如果直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，则系数a=．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用相互垂直的直线的斜率之间关系即可得出．【解答】解：由ax+y+1=0得y=﹣ax﹣1，直线3x﹣y﹣2=0得到y=3x﹣2，又直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，∴﹣a3=﹣1，∴a=，故答案为：3．双曲线9x2﹣4y2=﹣36的渐近线方程是y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的标准方程，结合双曲线渐近线的方程进行求解即可．【解答】解：双曲线的标准方程为﹣=1，则双曲线的渐近线方程为y=±x，故答案为：y=±x4．已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=10．【考点】复数求模；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的模的平方等于复数的模的乘积，直接计算即可．【解答】解：复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=|3+i||3+i|==10．故答案为：10．5．已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为（x﹣1）2+（y+3）2=29．【考点】圆的标准方程．【分析】由点A和点B的坐标，利用中点坐标公式求出线段AB的中点C的坐标，因为线段AB为所求圆的直径，所以求出的中点C的坐标即为圆心坐标，然后由圆心C的坐标和点A的坐标，利用两点间的距离公式求出|AC|的长即为圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为C（1，﹣3），即圆心的坐标为C（1，﹣3）；，故所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．故答案为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．6．设复数z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z=3+5i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】等式两边同乘2+i，然后化简，即可求出复数z．【解答】解：因为z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），所以z（2﹣i）（2+i）=（11+7i）（2+i），即5z=15+25i，z=3+5i．故答案为：3+5i．7．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．【考点】椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．【分析】先确定双曲线的顶点和焦点坐标，可得椭圆C的焦点和顶点坐标，从而可得椭圆C的方程【解答】解：双曲线的顶点和焦点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∵椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线∴椭圆C的焦点和顶点坐标分别为（±的顶点和焦点，，0）、（±3，0）∴a=3，c=∴∴椭圆C的方程是故答案为：8．一动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是x2+y2﹣3x+2=0．【考点】轨迹方程；中点坐标公式．【分析】设出中点坐标，利用中点坐标公式求出与之有关的圆上的动点坐标，将圆上的动点坐标代入圆的方程，求出中点轨迹方程．【解答】解：设中点坐标为（x，y），则圆上的动点坐标为（2x﹣3，2y）所以（2x﹣3）2+（2y）2=1即x2+y2﹣3x+2=0故答案为：x2+y2﹣3x+2=09．若复数z满足|z+3i|=5（i是虚数单位），则|z+4|的最大值=10．【考点】复数求模．【分析】由复数模的几何意义可得复数z对应的点在以（0，﹣3）为圆心，以5为半径的圆周上，由此可得|z+4|的最大值是点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离加上半径5．【解答】解：由|z+3i|=5，所以复数z对应的点在以（0，﹣3）为圆心，以5为半径的圆周上，所以|z+4|的最大值是点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离加上半径5，点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离：=5．|z+4|的最大值：5+5=10故答案为：10．10．设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°△，则F1PF2的面积是1．【考点】双曲线的应用；双曲线的简单性质．【分析】设|PF1|=x，|PF2|=y，根据根据双曲线性质可知x﹣y的值，再根据∠F1PF2=90°，求得x2+y2的值，进而根据2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2求得xy，进而可求得△F1PF2的面积．【解答】解：设|PF1|=x，|PF2|=y，（x＞y）根据双曲线性质可知x﹣y=4，PF2=90°，∵∠F1∴x2+y2=20∴2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2=4∴xy=2PF2的面积为xy=1∴△F1故答案为：1．11．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是4米．【考点】双曲线的标准方程．【分析】以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y轴，水平轴为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x2=ay，由x=4，y=﹣2，解得a=﹣8，由此能求出当水面上升米后，水面的宽度．【解答】解：以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y轴，水平轴为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x2=ay，由x=4，y=﹣2，解得a=﹣8，当水面上升米后，y=﹣2+=﹣，x2=（﹣8）•（﹣）=12．解得x=2，或x=﹣2，∴水面宽为4（米）．故答案为：4．12．已知圆x2+y2+2x﹣4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则a﹣b的取值范围是（﹣∞，1）．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】求出圆的圆心，由题意圆心在直线上，求出a，b的关系，然后确定a﹣b的范围．【解答】解：圆的方程变为（x+1）2+（y﹣2）2=5﹣a，∴其圆心为（﹣1，2），且5﹣a＞0，即a＜5．又圆关于直线y=2x+b成轴对称，∴2=﹣2+b，∴b=4．∴a﹣b=a﹣4＜1．故答案为：（﹣∞，1）二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．直线倾斜角的范围是（）A．（0，]B．[0，]C．[0，π）D．[0，π]【考点】直线的倾斜角．【分析】根据直线倾斜角的定义判断即可．【解答】解：直线倾斜角的范围是：[0，π），故选：C．14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|P A|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和|P A|+|PB|=2a（a＞0，且a为常数）成立是定值．若动点P到两定点A，B的距离之和|P A|+|PB|=2a（a＞0，且a为常数），当2a≤|AB|，此时的轨迹不是椭圆．∴甲是乙的必要不充分条件．故选：B．15．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3B．b=﹣2，c=3C．b=﹣2，c=﹣1D．b=2，c=﹣1【考点】复数相等的充要条件．R【分析】由题意，将根代入实系数方程 x 2+bx+c=0 整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数 a ，b 的方程组 ，解方程得出 a ，b 的值即可选出正确选项【解答】解：由题意 1+ i 是关于 x 的实系数方程 x 2+bx+c=0 ∴1+2 i ﹣2+b+ bi+c=0∴，解得 b=﹣2，c=3故选 B16．对于抛物线 C ：y 2=4x ，我们称满足 y 02＜4x 0 的点 M （x 0，y 0）在抛物线的内部．若点 M （x 0，y 0）在 抛物线内部，则直线 l ：y 0y=2（x+x 0）与曲线 C （ ）A ．恰有一个公共点B ．恰有 2 个公共点C ．可能有一个公共点，也可能有两个公共点D ．没有公共点【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把直线与抛物线方程联立消去 y ，进而根据 y 02＜4x 0 判断出判别式小于 0 进而判定直线与抛物线 无交点．【解答】解：由 y 2=4x 与 y 0y=2（x+x 0）联立，消去 x ，得 y 2﹣2y 0y+4x 0=0， ∴△=4y 02﹣4×4x 0=4（y 02﹣4x 0）． ∵y 02＜4x 0，∴ ＜△0，直线和抛物线无公共点． 故选 D三、解答题（共 5 小题，满分 52 分）17．已知直线 l 平行于直线 3x+4y ﹣7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，求直线 l 的方程． 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】设直线 l 的方程为：3x+4y+m=0，分别令 x=0，解得 y=﹣ ；y=0，x=﹣ ．利用 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，可得=24，解得 m 即可．【解答】解：设直线 l 的方程为：3x+4y+m=0，分别令 x=0，解得 y=﹣ ；y=0，x=﹣ ．∵l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，∴=24，解得 m=±24．∴直线 l 的方程为 3x+4y ±24=0．18．设复数 z 满足|z|=1，且（3+4i ）•z 是纯虚数，求 ． 【考点】复数的基本概念；复数求模．【分析】设出复数 z ，|z|=1 可得一个方程，化简（3+4i ）•z 是纯虚数，又得到一个方程，求得 z ，然后求 ．【解答】解：设 z=a+bi ，（a ，b ∈ ），由|z|=1 得 ；。
上海市高二数学下学期期末试卷(共3套,含答案)
上海市闵行区高二（下）期末数学试卷一、填空题1．在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是______．2．若点H（﹣2，4）在抛物线y2=2px的准线上，则实数p的值为______．3．若椭圆上一点P到其焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为______．4．若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为______．5．经过点（﹣2，2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程为______．6．已知实数x、y满足约束条件则z=2x+4y的最大值为______．7．一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为______．8．在平面直角坐标系x0y中，直线（t为参数）与圆（θ为参数）相切，切点在第一象限，则实数a的值为______．9．在北纬45°的线圈上有A、B两地，它们的经度差为90°，若地球半径为R，则A、B两地的球面距离为______．10．设α与β是关于x的方程x2+2x+m=0的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=______．11．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱的长度都为4，则异面直线AB1与BC1所成的角是______（结果用反三角函数值表示）．12．已知复数z满足|z|=3，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是______．13．已知x、y、u、v∈R，且x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy，则T的最小值为______．14．已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T={（x，y）|F（x，y）=0}，若对于任意的（x1，y1）∈T，都存在（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，则称曲线C为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有______（写出所有曲线的序号）①2x2+y2=1；②x2﹣y2=1；③y2=2x；④|x|﹣|y|=1；⑤（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0．二、选择题15．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1（）A．关于x轴对称B．关于原点对称，但不关于直线y=x对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称17．下列命题中，正确的命题是（）A．若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1＞z2B．若z∈R，则z•=|z|2不成立C．z1、z2∈C，z1•z2=0，则z1=0或z2=0D．z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=018．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：①点P在直线BC1上运动，三棱锥A﹣D1PC的体积不变②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变③点P在直线BC1上运动，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的直线．其中的真命题是（）A．①③B．①③④ C．①②④ D．③④三、解答题19．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是3米，底面的边长是8米：（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积（冷水塔的厚度忽略不计）；（2）制造这个冷水塔的侧面需要多少平方米的钢板？20．设直线y=x+2与双曲线﹣=1交于A、B两点，O为坐标原点，求：（1）以线段AB为直径的圆的标准方程；（2）若OA、OB所在直线的斜率分别是k OA、k OB，求k OA•k OB的值．21．已知复数α满足（2﹣i）α=3﹣4i，β=m﹣i，m∈R．（1）若|α+β|＜2||，求实数m的取值范围；（2）若α+β是关于x的方程x2﹣nx+13=0（n∈R）的一个根，求实数m与n的值．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为arctan．（1）求证：CD⊥PD；（2）求异面直线AE与PD所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；（3）若直线PE、PB与平面PCD所成角分别为α、β，求的值．23．在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（0，﹣1）的距离与P到定直线y=﹣2的距离的比为，动点P的轨迹记为C．（1）求轨迹C的方程；（2）若点M在轨迹C上运动，点N在圆E：x2+（y﹣0.5）2=r2（r＞0）上运动，且总有|MN|≥0.5，求r的取值范围；（3）过点Q（﹣，0）的动直线l交轨迹C于A、B两点，试问：在此坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标．若不存在，请说明理由．上海市闵行区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是平行或异面．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】根据直线a，b是否共面得出结论．【解答】解；当a，b在同一个平面上时，a，b平行；当a，b不在同一个平面上时，a，b异面．故答案为：平行或异面．2．若点H（﹣2，4）在抛物线y2=2px的准线上，则实数p的值为4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，由题意可得﹣=﹣2，即可解得p的值．【解答】解：抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，由题意可得﹣=﹣2，解得p=4．故答案为：4．3．若椭圆上一点P到其焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为14．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=20，结合P到其焦点F1的距离为6，可求P到另一焦点F2的距离．【解答】解：根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=20∵P到其焦点F1的距离为6，∴|PF2|=20﹣6=14即P到另一焦点F2的距离为14故答案为：14．4．若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为2π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据轴截面积得出圆柱底面半径与高的关系，代入侧面积公式即可得出答案．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的轴截面面积为2rh=2，∴rh=1．∴圆柱的侧面积S=2πrh=2π．故答案为：2π．5．经过点（﹣2，2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据渐近线相同，利用待定系数法设出双曲线方程进行求解即可．【解答】解：与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线的方程可设为线﹣y2=λ，（λ≠0），∵双曲线过点（﹣2，2），∴λ=，即﹣y2=﹣2，即，故答案为：6．已知实数x、y满足约束条件则z=2x+4y的最大值为8．【考点】简单线性规划．【分析】①画可行域②z为目标函数纵截距四倍③画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）时z有最大值【解答】解：画可行域如图，z为目标函数纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）点时z有最大值8故答案为87．一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据圆锥的侧面展开图的弧长为圆锥底面周长得出圆锥底面半径，从而得出圆锥的高，代入体积公式计算即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π，∴r=1．∴圆锥的高h==．∴圆锥的体积V==．故答案为：．8．在平面直角坐标系x0y中，直线（t为参数）与圆（θ为参数）相切，切点在第一象限，则实数a的值为+1．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】把直线和圆的参数方程都化为普通方程，由直线与圆相切d=r，切点在第一象限，求出a的值．【解答】解：圆的参数方程（θ为参数）化为普通方程是（x﹣1）2+y2=1，直线的参数方程（t为参数）化为普通方程是x+y=a；直线与圆相切，则圆心C（1，0）到直线的距离是d=r，即=1；解得|1﹣a|=，∴a=+1，或a=1﹣；∵切点在第一象限，∴a=+1；故答案为： +1．9．在北纬45°的线圈上有A、B两地，它们的经度差为90°，若地球半径为R，则A、B两地的球面距离为R．【考点】球面距离及相关计算．【分析】求出球心角，然后A、B两点的距离，即可求出两点间的球面距离．【解答】解：地球的半径为R，在北纬45°，而AB=R，所以A、B的球心角为：，所以两点间的球面距离是：；故答案为：．10．设α与β是关于x的方程x2+2x+m=0的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=2．【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由题意，可设α=a+bi，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β=a﹣bi，且m与n为实数，b ≠0．由根与系数的关系得到a，b的关系，上α，β，0对应点构成直角三角形，求得到实数m的值【解答】解：设α=a+bi，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β=a﹣bi，且m与n为实数，n≠0．由根与系数的关系可得α+β=2a=﹣2，α•β=a2+b2=m．∴m＞0．∴a=﹣1，m=b2+1，∵复平面上α，β，0对应点构成直角三角形，∴α，β在复平面对应的点分别为A，B，则OA⊥OB，所以b2=1，所以m=1+1=2；，故答案为：211．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱的长度都为4，则异面直线AB1与BC1所成的角是acrcos （结果用反三角函数值表示）．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】利用两个向量数量积的定义求得，由=（）•（）求得，求得cos＜＞=，故异面直线AB1与BC1所成的角是arccos．【解答】解：=4×4cos＜＞=32cos＜＞．又=（）•（）=+++=4×4cos120°+0+0+4×4=8．故有32cos＜＞=8，∴cos＜＞=，∴＜＞=arccos，故异面直线AB1与BC1所成的角是arccos，故答案为arccos．12．已知复数z满足|z|=3，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是[8，10] ．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数z满足|z|=3，表示以原点为圆心，以3为半径的圆，则|z+4|+|z﹣4|的表示圆上的点到（﹣4，0）和（4，0）的距离，结合图形可求．【解答】解：复数z满足|z|=3，表示以原点为圆心，以3为半径的圆，则|z+4|+|z﹣4|的表示圆上的点到（﹣4，0）和（4，0）的距离，由图象可知，当点在E，G处最小，最小为：4+4=8，当点在D，F处最大，最大为2=10，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是[8，10]，故答案为[8，10]13．已知x、y、u、v∈R，且x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy，则T的最小值为10．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，相减，整理可得（x﹣u）+3（y﹣v）=10．设x﹣u=m，y﹣v=n，∴m+3n=10．T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy=（x﹣u）2+（y﹣v）2=m2+n2，利用柯西不等式，即可得出结论．【解答】解：x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，相减，整理可得（x﹣u）+3（y﹣v）=10．设x﹣u=m，y﹣v=n，∴m+3n=10．T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy=（x﹣u）2+（y﹣v）2=m2+n2，∵（m2+n2）（1+9）≥（m+3n）2，∴m2+n2≥10，∴T的最小值为10．故答案为：10．14．已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T={（x，y）|F（x，y）=0}，若对于任意的（x1，y1）∈T，都存在（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，则称曲线C为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有①③⑤（写出所有曲线的序号）①2x2+y2=1；②x2﹣y2=1；③y2=2x；④|x|﹣|y|=1；⑤（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0．【考点】曲线与方程．【分析】由曲线的定义可知，具备曲线的条件是对于任意的P1（x1，y1）∈T，都存在P2（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，即OP1⊥OP2．然后逐个验证即可得到答案．【解答】解：对于任意P1（x1，y1）∈T，存在P2（x2，y2）∈T，使x1x2+y1y2=0成立，即OP1⊥OP2．对于①2x2+y2=1，∵2x2+y2=1的图象关于原点中心对称，∴对于任意P1（x1，y1）∈C，存在P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故2x2+y2=1为曲线；对于②x2﹣y2=1，当P1（x1，y1）为双曲线的顶点时，双曲线上不存在点P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故x2﹣y2=1不是曲线；对于③y2=2x，其图象关于y轴对称，OP1的垂线一定与抛物线相交，故y2=2x为曲线；对于④，当P1（x1，y1）为（1，0）时，曲线上不存在点P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故④不是曲线；对于⑤，由（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0可得2x﹣y+1=0或点（1，2），∴对于任意P1（x1，y1）∈C，存在P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0为曲线．故答案为：①③⑤．二、选择题15．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直线l垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与α不一定平行，如果l⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线，最后根据“若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件”可得结论．【解答】解：直线l垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与α不一定平行，如果l⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线．故“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的必要不充分条件．故选：B．16．曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1（）A．关于x轴对称B．关于原点对称，但不关于直线y=x对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称【考点】曲线与方程．【分析】由题意，x，y互换，方程不变；以﹣x代替y，以﹣y代替x，方程不变，即可得出结论．【解答】解：由题意，x，y互换，方程不变；以﹣x代替y，以﹣y代替x，方程不变，∴曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称，故选：D．17．下列命题中，正确的命题是（）A．若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1＞z2B．若z∈R，则z•=|z|2不成立C．z1、z2∈C，z1•z2=0，则z1=0或z2=0D．z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=0【考点】复数的基本概念．【分析】由已知条件利用复数的性质及运算法则直接求解．【解答】解：在A中，若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1的实数大于z2的实部，z1与z2的虚部相等，z1与z2不能比较大小，故A错误；在B中，若z∈R，当z=0时，z•=|z|2成立，故B错误；在C中，z1、z2∈C，z1•z2=0，则由复数乘积的运算法则得z1=0或z2=0，故C正确；在D中，令Z1=1，Z2=i，则Z12+Z22=0成立，而Z1=0且Z2=0不成立，∴z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=0不成立，故D错误．故选：C．18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：①点P在直线BC1上运动，三棱锥A﹣D1PC的体积不变②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变③点P在直线BC1上运动，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的直线．其中的真命题是（）A．①③B．①③④ C．①②④ D．③④【考点】棱柱的结构特征．【分析】①由正方体的性质可得：BC1∥AD1，于是BC1∥平面AD1C，可得直线BC1上的点到平面AD1C 的距离不变，而△AD1C的面积不变，即可判断出结论．②由①可知：直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而AP的大小在改变，可得直线AP与平面ACD1所成角的大小改变，即可判断出正误．③由①可知：点P到平面AD1C的距离不变，点P到AD1的距离不变，即可判断出二面角P﹣AD1﹣C的大小是否改变．④如图所示，不妨设正方体的棱长为a，设P（x，y，0），利用|PD|=|PC1|，利用两点之间的距离公式化简即可得出．【解答】解：①由正方体的性质可得：BC1∥AD1，于是BC1∥平面AD1C，因此直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，点P在直线BC1上运动，又△AD1C的面积不变，因此三棱锥A﹣D1PC的体积=不变．②点P在直线BC1上运动，由①可知：直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而AP的大小在改变，因此直线AP与平面ACD1所成角的大小改变，故不正确．③点P在直线BC1上运动，由①可知：点P到平面AD1C的距离不变，点P到AD1的距离不变，可得二面角P﹣AD1﹣C的大小不变，正确；④如图所示，不妨设正方体的棱长为a，D（0，0，0），C1（0，a，a），设P（x，y，0），∵|PD|=|PC1|，则=，化为y=a，因此P的轨迹是过点B的直线，正确．其中的真命题是①③④．故选：B．三、解答题19．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是3米，底面的边长是8米：（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积（冷水塔的厚度忽略不计）；（2）制造这个冷水塔的侧面需要多少平方米的钢板？【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）求出正四棱锥形的体积即可；（2）求出斜高，在计算侧面积．【解答】解：（1）V=S 正方形ABCD •h==64．∴正四棱锥形冷水塔的容积为64立方米．（2）取底面ABCD 的中心O ，AD 的中点M ，连结PO ，OM ，PM ．则PO ⊥平面ABCD ，PM ⊥AD ，∴PO=h=3，OM=，∴PM==5， ∴S △PAD ===20． ∴S 侧面积=4S △PAD =80．∴制造这个冷水塔的侧面需要80平方米的钢板．20．设直线y=x+2与双曲线﹣=1交于A、B两点，O为坐标原点，求：（1）以线段AB为直径的圆的标准方程；（2）若OA、OB所在直线的斜率分别是k OA、k OB，求k OA•k OB的值．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）联立方程组，消去y得关于x的一元二次方程，利用中点坐标公式以及两点间的距离公式求出半径和圆心即可得到结论．（2）求出对应的斜率，结合根与系数之间的关系代入进行求解即可．【解答】解：（1）将直线y=x+2代入﹣=1得x2﹣4x﹣14=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4，x1x2=﹣14，则AB的中点C的横坐标x=，纵坐标y=，即圆心C（2，3），|AB|====3，则半径R=，则圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=．（2）若OA、OB所在直线的斜率分别是k OA、k OB，则k OA=，k OB=，则k OA•k OB=====﹣．21．已知复数α满足（2﹣i）α=3﹣4i，β=m﹣i，m∈R．（1）若|α+β|＜2||，求实数m的取值范围；（2）若α+β是关于x的方程x2﹣nx+13=0（n∈R）的一个根，求实数m与n的值．【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算．【分析】（1）根据复数的混合运算和复数模的即可求出；（2）根据韦达定理即可求出．【解答】解：（1）∵（2﹣i）α=3﹣4i，∴a==2﹣i，∴α+β=2+m﹣2i，∵|α+β|＜2||，∴（2+m）2+4＜4（4+1），解得﹣6＜m＜2，∴m的取值范围为（﹣6，2），（2）α+β是关于x的方程x2﹣nx+13=0（n∈R）的一个根，则2+m+2i也是方程的另一个根，根据韦达定理可得，解的或22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为arctan．（1）求证：CD⊥PD；（2）求异面直线AE与PD所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；（3）若直线PE、PB与平面PCD所成角分别为α、β，求的值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由PA⊥平面ABCD得出PA⊥CD，又CD⊥AD得出CD⊥平面PAD，故而CD⊥PD；（2）以A为坐标原点激励空间直角坐标系，求出，的坐标，计算，的夹角即可得出答案；（3）求出平面PCD的法向量，则sinα=|cos＜，＞|，sinβ=|cos＜，＞|．【解答】证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．∵四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD．又PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD．（2）由（1）可知CD⊥平面PAD，∴∠CPD为PC与平面PAD所成的角．∴tan∠CPD=，∴PD=2．∴PA==2．以A为原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（2，1，0），P（0，0，2），D（0，2，0）．∴=（2，1，0），=（0，2，﹣2）．∴=2，||=，||=2，∴cos＜＞==．∴异面直线AE与PD所成的角为arccos．（3）∵C（2，2，0），B（2，0，0），∴=（﹣2，0，2），=（﹣2，﹣1，2），=（﹣2，0，0）．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=1得=（0，1，1）．∴=1，=2．∴cos＜＞==，cos＜＞==．∴sinα=，sinβ=．∴=．23．在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（0，﹣1）的距离与P到定直线y=﹣2的距离的比为，动点P的轨迹记为C．（1）求轨迹C的方程；（2）若点M在轨迹C上运动，点N在圆E：x2+（y﹣0.5）2=r2（r＞0）上运动，且总有|MN|≥0.5，求r的取值范围；（3）过点Q（﹣，0）的动直线l交轨迹C于A、B两点，试问：在此坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标．若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设点P（x，y），由题意可得：==，化简即可得出．（2）E（0，）．分类讨论：①r≥+，根据|MN|≥0.5，可得r≥++．②0＜r＜+，设M，|MN|=|EN|﹣r，解得r≤|EN|﹣的最小值，即可得出r的取值范围．（3）把x=﹣代入椭圆的方程可得： +=1，解得y=±．取点T（1，0）时满足=0．下面证明：在此坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．设过点Q（﹣，0）的动直线l的方程为：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程化为：（18+9k2）x2+6k2x+k2﹣18=0，利用根与系数的关系、数量积运算性质可得=（x1﹣1）（x2﹣1）+ =0．即可证明．【解答】解：（1）设点P（x，y），由题意可得：==，化为：x2+=1．（2）E（0，）．分类讨论：①r≥+，∵总有|MN|≥0.5，∴r≥++=+1．②0＜r＜+，设M，|MN|=|EN|﹣r，解得r≤|EN|﹣=﹣=﹣，∴．综上可得：r的取值范围是∪．（3）把x=﹣代入椭圆的方程可得： +=1，解得y=±．取A，B．取点T（1，0）时满足=0．下面证明：在此坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T．设过点Q（﹣，0）的动直线l的方程为：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（18+9k2）x2+6k2x+k2﹣18=0，∴x1+x2=，x1x2=．则=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（x1﹣1）（x2﹣1）+=（1+k2）x1x2+（x1+x2）+1+=（1+k2）×﹣×+1+=0．∴在此坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T．2015-2016学年上海市浦东新区高二（下）期末数学试卷一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．抛物线x2=﹣8y的准线方程为．2．如果直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，则系数a=．3．双曲线9x2﹣4y2=﹣36的渐近线方程是．4．已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=．5．已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为．6．设复数z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z=．7．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．8．一动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是．9．若复数z满足|z+3i|=5（i是虚数单位），则|z+4|的最大值=．10．设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是．11．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是米．12．已知圆x2+y2+2x﹣4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则a﹣b的取值范围是．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．直线倾斜角的范围是（）A．（0，]B．[0，]C．[0，π）D．[0，π]14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣116．对于抛物线C：y2=4x，我们称满足y02＜4x0的点M（x0，y0）在抛物线的内部．若点M（x0，y0）在抛物线内部，则直线l：y0y=2（x+x0）与曲线C （）A．恰有一个公共点B．恰有2个公共点C．可能有一个公共点，也可能有两个公共点D．没有公共点三、解答题（共5小题，满分52分）17．已知直线l平行于直线3x+4y﹣7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．18．设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求．19．已知圆C和y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为，求圆C的方程．20．已知F1，F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M，设|MF2|=d．（1）证明：b2=ad；（2）若M的坐标为（，1），求椭圆C的方程．21．已知双曲线C1：．（1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C2的标准方程；（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点．当•=3时，求实数m的值．2015-2016学年上海市浦东新区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．抛物线x2=﹣8y的准线方程为y=2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由于抛物线x2=﹣2py的准线方程为y=，则抛物线x2=﹣8y的准线方程即可得到．【解答】解：由于抛物线x2=﹣2py的准线方程为y=，则有抛物线x2=﹣8y的准线方程为y=2．故答案为：y=2．2．如果直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，则系数a=．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用相互垂直的直线的斜率之间关系即可得出．【解答】解：由ax+y+1=0得y=﹣ax﹣1，直线3x﹣y﹣2=0得到y=3x﹣2，又直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，∴﹣a•3=﹣1，∴a=，故答案为：3．双曲线9x2﹣4y2=﹣36的渐近线方程是y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的标准方程，结合双曲线渐近线的方程进行求解即可．【解答】解：双曲线的标准方程为﹣=1，则双曲线的渐近线方程为y=±x，故答案为：y=±x4．已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=10．【考点】复数求模；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的模的平方等于复数的模的乘积，直接计算即可．【解答】解：复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=|3+i||3+i|==10．故答案为：10．5．已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为（x﹣1）2+（y+3）2=29．【考点】圆的标准方程．【分析】由点A和点B的坐标，利用中点坐标公式求出线段AB的中点C的坐标，因为线段AB为所求圆的直径，所以求出的中点C的坐标即为圆心坐标，然后由圆心C的坐标和点A的坐标，利用两点间的距离公式求出|AC|的长即为圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为C（1，﹣3），即圆心的坐标为C（1，﹣3）；，故所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．故答案为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．6．设复数z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z=3+5i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】等式两边同乘2+i，然后化简，即可求出复数z．【解答】解：因为z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），所以z（2﹣i）（2+i）=（11+7i）（2+i），即5z=15+25i，z=3+5i．故答案为：3+5i．7．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．【考点】椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．【分析】先确定双曲线的顶点和焦点坐标，可得椭圆C的焦点和顶点坐标，从而可得椭圆C的方程【解答】解：双曲线的顶点和焦点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∵椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，∴椭圆C的焦点和顶点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∴a=3，c=∴∴椭圆C的方程是故答案为：8．一动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是x2+y2﹣3x+2=0．【考点】轨迹方程；中点坐标公式．【分析】设出中点坐标，利用中点坐标公式求出与之有关的圆上的动点坐标，将圆上的动点坐标代入圆的方程，求出中点轨迹方程．【解答】解：设中点坐标为（x，y），则圆上的动点坐标为（2x﹣3，2y）所以（2x﹣3）2+（2y）2=1即x2+y2﹣3x+2=0故答案为：x2+y2﹣3x+2=09．若复数z满足|z+3i|=5（i是虚数单位），则|z+4|的最大值=10．【考点】复数求模．【分析】由复数模的几何意义可得复数z对应的点在以（0，﹣3）为圆心，以5为半径的圆周上，由此可得|z+4|的最大值是点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离加上半径5．【解答】解：由|z+3i|=5，所以复数z对应的点在以（0，﹣3）为圆心，以5为半径的圆周上，所以|z+4|的最大值是点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离加上半径5，点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离：=5．|z+4|的最大值：5+5=10故答案为：10．10．设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是1．【考点】双曲线的应用；双曲线的简单性质．【分析】设|PF1|=x，|PF2|=y，根据根据双曲线性质可知x﹣y的值，再根据∠F1PF2=90°，求得x2+y2的值，进而根据2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2求得xy，进而可求得△F1PF2的面积．【解答】解：设|PF1|=x，|PF2|=y，（x＞y）根据双曲线性质可知x﹣y=4，∵∠F1PF2=90°，∴x2+y2=20∴2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2=4∴xy=2∴△F1PF2的面积为xy=1故答案为：1．11．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是4米．【考点】双曲线的标准方程．【分析】以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y轴，水平轴为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x2=ay，由x=4，y=﹣2，解得a=﹣8，由此能求出当水面上升米后，水面的宽度．【解答】解：以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y轴，水平轴为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x2=ay，由x=4，y=﹣2，解得a=﹣8，当水面上升米后，y=﹣2+=﹣，x2=（﹣8）•（﹣）=12．解得x=2，或x=﹣2，∴水面宽为4（米）．故答案为：4．12．已知圆x2+y2+2x﹣4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则a﹣b的取值范围是（﹣∞，1）．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】求出圆的圆心，由题意圆心在直线上，求出a，b的关系，然后确定a﹣b的范围．【解答】解：圆的方程变为（x+1）2+（y﹣2）2=5﹣a，∴其圆心为（﹣1，2），且5﹣a＞0，即a＜5．又圆关于直线y=2x+b成轴对称，∴2=﹣2+b，∴b=4．∴a﹣b=a﹣4＜1．故答案为：（﹣∞，1）二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．直线倾斜角的范围是（）A．（0，]B．[0，]C．[0，π）D．[0，π]【考点】直线的倾斜角．【分析】根据直线倾斜角的定义判断即可．【解答】解：直线倾斜角的范围是：[0，π），故选：C．14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数）成立是定值．若动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数），当2a≤|AB|，此时的轨迹不是椭圆．∴甲是乙的必要不充分条件．故选：B．15．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣1【考点】复数相等的充要条件．【分析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项【解答】解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i﹣2+b+bi+c=0∴，解得b=﹣2，c=3故选B16．对于抛物线C：y2=4x，我们称满足y02＜4x0的点M（x0，y0）在抛物线的内部．若点M（x0，y0）在抛物线内部，则直线l：y0y=2（x+x0）与曲线C （）A．恰有一个公共点B．恰有2个公共点C．可能有一个公共点，也可能有两个公共点D．没有公共点【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把直线与抛物线方程联立消去y，进而根据y02＜4x0判断出判别式小于0进而判定直线与抛物线无交点．【解答】解：由y2=4x与y0y=2（x+x0）联立，消去x，得y2﹣2y0y+4x0=0，∴△=4y02﹣4×4x0=4（y02﹣4x0）．∵y02＜4x0，∴△＜0，直线和抛物线无公共点．故选D三、解答题（共5小题，满分52分）17．已知直线l平行于直线3x+4y﹣7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】设直线l的方程为：3x+4y+m=0，分别令x=0，解得y=﹣；y=0，x=﹣．利用l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，可得=24，解得m即可．【解答】解：设直线l的方程为：3x+4y+m=0，分别令x=0，解得y=﹣；y=0，x=﹣．∵l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，∴=24，解得m=±24．∴直线l的方程为3x+4y±24=0．18．设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求．【考点】复数的基本概念；复数求模．【分析】设出复数z，|z|=1可得一个方程，化简（3+4i）•z是纯虚数，又得到一个方程，求得z，然后求．【解答】解：设z=a+bi，（a，b∈R），由|z|=1得；。
上海市浦东新区高二数学下学期期末试卷(含解析)-人教版高二全册数学试题
2015-2016学年某某市浦东新区高二（下）期末数学试卷一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．抛物线x2=﹣8y的准线方程为．2．如果直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，则系数a=．3．双曲线9x2﹣4y2=﹣36的渐近线方程是．4．已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=．5．已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为．6．设复数z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z=．7．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．8．一动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是．9．若复数z满足|z+3i|=5（i是虚数单位），则|z+4|的最大值=．10．设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是．11．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是米．12．已知圆x2+y2+2x﹣4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则a﹣b的取值X围是．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．直线倾斜角的X围是（）A．（0，]B．[0，]C．[0，π） D．[0，π]14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件15．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣116．对于抛物线C：y2=4x，我们称满足y02＜4x0的点M（x0，y0）在抛物线的内部．若点M（x0，y0）在抛物线内部，则直线l：y0y=2（x+x0）与曲线C （）A．恰有一个公共点B．恰有2个公共点C．可能有一个公共点，也可能有两个公共点D．没有公共点三、解答题（共5小题，满分52分）17．已知直线l平行于直线3x+4y﹣7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．18．设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求．19．已知圆C和y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为，求圆C的方程．20．已知F1，F2为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M，设|MF2|=d．（1）证明：b2=ad；（2）若M的坐标为（，1），求椭圆C的方程．21．已知双曲线C1：．（1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C2的标准方程；（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点．当•=3时，某某数m 的值．2015-2016学年某某市浦东新区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．抛物线x2=﹣8y的准线方程为y=2 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由于抛物线x2=﹣2py的准线方程为y=，则抛物线x2=﹣8y的准线方程即可得到．【解答】解：由于抛物线x2=﹣2py的准线方程为y=，则有抛物线x2=﹣8y的准线方程为y=2．故答案为：y=2．2．如果直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，则系数a=．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用相互垂直的直线的斜率之间关系即可得出．【解答】解：由ax+y+1=0得y=﹣ax﹣1，直线3x﹣y﹣2=0得到y=3x﹣2，又直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，∴﹣a•3=﹣1，∴a=，故答案为：3．双曲线9x2﹣4y2=﹣36的渐近线方程是y=±x ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的标准方程，结合双曲线渐近线的方程进行求解即可．【解答】解：双曲线的标准方程为﹣=1，则双曲线的渐近线方程为y=±x，故答案为：y=±x4．已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|= 10 ．【考点】复数求模；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的模的平方等于复数的模的乘积，直接计算即可．【解答】解：复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=|3+i||3+i|==10．故答案为：10．5．已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为（x﹣1）2+（y+3）2=29 ．【考点】圆的标准方程．【分析】由点A和点B的坐标，利用中点坐标公式求出线段AB的中点C的坐标，因为线段AB为所求圆的直径，所以求出的中点C的坐标即为圆心坐标，然后由圆心C的坐标和点A 的坐标，利用两点间的距离公式求出|AC|的长即为圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为C（1，﹣3），即圆心的坐标为C（1，﹣3）；，故所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．故答案为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．6．设复数z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z= 3+5i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】等式两边同乘2+i，然后化简，即可求出复数z．【解答】解：因为z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），所以z（2﹣i）（2+i）=（11+7i）（2+i），即5z=15+25i，z=3+5i．故答案为：3+5i．7．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．【考点】椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．【分析】先确定双曲线的顶点和焦点坐标，可得椭圆C的焦点和顶点坐标，从而可得椭圆C 的方程【解答】解：双曲线的顶点和焦点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∵椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，∴椭圆C的焦点和顶点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∴a=3，c=∴∴椭圆C的方程是故答案为：8．一动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是x2+y2﹣3x+2=0 ．【考点】轨迹方程；中点坐标公式．【分析】设出中点坐标，利用中点坐标公式求出与之有关的圆上的动点坐标，将圆上的动点坐标代入圆的方程，求出中点轨迹方程．【解答】解：设中点坐标为（x，y），则圆上的动点坐标为（2x﹣3，2y）所以（2x﹣3）2+（2y）2=1即x2+y2﹣3x+2=0故答案为：x2+y2﹣3x+2=09．若复数z满足|z+3i|=5（i是虚数单位），则|z+4|的最大值= 10 ．【考点】复数求模．【分析】由复数模的几何意义可得复数z对应的点在以（0，﹣3）为圆心，以5为半径的圆周上，由此可得|z+4|的最大值是点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离加上半径 5．【解答】解：由|z+3i|=5，所以复数z对应的点在以（0，﹣3）为圆心，以5为半径的圆周上，所以|z+4|的最大值是点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离加上半径5，点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离： =5．|z+4|的最大值：5+5=10故答案为：10．10．设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是 1 ．【考点】双曲线的应用；双曲线的简单性质．【分析】设|PF1|=x，|PF2|=y，根据根据双曲线性质可知x﹣y的值，再根据∠F1PF2=90°，求得x2+y2的值，进而根据2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2求得xy，进而可求得△F1PF2的面积．【解答】解：设|PF1|=x，|PF2|=y，（x＞y）根据双曲线性质可知x﹣y=4，∵∠F1PF2=90°，∴x2+y2=20∴2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2=4∴xy=2∴△F1PF2的面积为xy=1故答案为：1．11．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是4米．【考点】双曲线的标准方程．【分析】以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y轴，水平轴为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x2=ay，由x=4，y=﹣2，解得a=﹣8，由此能求出当水面上升米后，水面的宽度．【解答】解：以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y轴，水平轴为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x2=ay，由x=4，y=﹣2，解得a=﹣8，当水面上升米后，y=﹣2+=﹣，x2=（﹣8）•（﹣）=12．解得x=2，或x=﹣2，∴水面宽为4（米）．故答案为：4．12．已知圆x2+y2+2x﹣4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则a﹣b的取值X围是（﹣∞，1）．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】求出圆的圆心，由题意圆心在直线上，求出a，b的关系，然后确定a﹣b的X围．【解答】解：圆的方程变为（x+1）2+（y﹣2）2=5﹣a，∴其圆心为（﹣1，2），且5﹣a＞0，即a＜5．又圆关于直线y=2x+b成轴对称，∴2=﹣2+b，∴b=4．∴a﹣b=a﹣4＜1．故答案为：（﹣∞，1）二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．直线倾斜角的X围是（）A．（0，]B．[0，]C．[0，π） D．[0，π]【考点】直线的倾斜角．【分析】根据直线倾斜角的定义判断即可．【解答】解：直线倾斜角的X围是：[0，π），故选：C．14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数）成立是定值．若动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数），当2a≤|AB|，此时的轨迹不是椭圆．∴甲是乙的必要不充分条件．故选：B．15．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣1【考点】复数相等的充要条件．【分析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项【解答】解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i﹣2+b+bi+c=0∴，解得b=﹣2，c=3故选B16．对于抛物线C：y2=4x，我们称满足y02＜4x0的点M（x0，y0）在抛物线的内部．若点M（x0，y0）在抛物线内部，则直线l：y0y=2（x+x0）与曲线C （）A．恰有一个公共点B．恰有2个公共点C．可能有一个公共点，也可能有两个公共点D．没有公共点【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把直线与抛物线方程联立消去y，进而根据y02＜4x0判断出判别式小于0进而判定直线与抛物线无交点．【解答】解：由y2=4x与y0y=2（x+x0）联立，消去x，得y2﹣2y0y+4x0=0，∴△=4y02﹣4×4x0=4（y02﹣4x0）．∵y02＜4x0，∴△＜0，直线和抛物线无公共点．故选D三、解答题（共5小题，满分52分）17．已知直线l平行于直线3x+4y﹣7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】设直线l的方程为：3x+4y+m=0，分别令x=0，解得y=﹣；y=0，x=﹣．利用l 与两坐标轴围成的三角形的面积为24，可得=24，解得m即可．【解答】解：设直线l的方程为：3x+4y+m=0，分别令x=0，解得y=﹣；y=0，x=﹣．∵l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，∴=24，解得m=±24．∴直线l的方程为3x+4y±24=0．18．设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求．【考点】复数的基本概念；复数求模．【分析】设出复数z，|z|=1可得一个方程，化简（3+4i）•z是纯虚数，又得到一个方程，求得z，然后求．【解答】解：设z=a+bi，（a，b∈R），由|z|=1得；（3+4i）•z=（3+4i）（a+bi）=3a﹣4b+（4a+3b）i是纯虚数，则3a﹣4b=0，，．19．已知圆C和y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为，求圆C的方程．【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系．【分析】由圆心在直线x﹣3y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，然后过圆心作出弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为弦的中点，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线y=x的距离d，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．【解答】解：设圆心为（3t，t），半径为r=|3t|，则圆心到直线y=x的距离d==|t|，由勾股定理及垂径定理得：（）2=r2﹣d2，即9t2﹣2t2=7，解得：t=±1，∴圆心坐标为（3，1），半径为3；圆心坐标为（﹣3，﹣1），半径为3，则（x﹣3）2+（y﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9．20．已知F1，F2为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M，设|MF2|=d．（1）证明：b2=ad；（2）若M的坐标为（，1），求椭圆C的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）x=c代入椭圆方程求得y，进而求得d，可知d×a=b2，原式得证；（2）由M坐标可得c，再把M再把代入椭圆方程求得a和b的关系，结合隐含条件得到a 和b的方程组，求得a，b，则椭圆的方程可求．【解答】（1）证明：把x=c代入椭圆方程： +=1，得，则d=|y|=，∴d×a=b2，即b2=ad；（2）解：∵M的坐标为（，1），∴c=，则，解得b2=2，a2=4．故椭圆的方程为．21．已知双曲线C1：．（1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C2的标准方程；（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点．当•=3时，某某数m 的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．【分析】（1）先确定双曲线C1：的焦点坐标，根据双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，），建立方程组，从而可求双曲线C2的标准方程；（2）直线方程与双曲线C1的两条渐近线联立，求出A、B两点的坐标用坐标，利用数量积，即可求得实数m的值．【解答】解：（1）∵双曲线C1：，∴焦点坐标为（，0），（，0）设双曲线C2的标准方程为（a＞0，b＞0），∵双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）∴，解得∴双曲线C2的标准方程为（2）双曲线C1的两条渐近线为y=2x，y=﹣2x由，可得x=m，y=2m，∴A（m，2m）由，可得x=﹣m，y=m，∴B（﹣m， m）∴∵∴m2=3∴。
上海市2021学年高二数学下学期期末考试复习卷(含解析)
【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，关键是能够根据题意将问题拆分成几个步骤来进行处理，要注意不重不漏.
10.已知向量 ， ，若向量 、 的夹角为钝角，则实数 的取值范围是__________。
【答案】
【解析】
【分析】
பைடு நூலகம்根据向量夹角为钝角，可知 且 ，解不等式可求得结果.
详解】由题意可知：
【答案】40
【解析】
【分析】
将问题分成三步解决，首先将 排列，再将 插空排列，再根据已排好的位置将 整体插空放入，利用分步乘法计数原理计算可得结果.
【详解】第一步：将 进行排列，共有 种排法
第二步：将 插空排列，共有 种排法
第三步：将 整体插空放入，共有 种排法
根据分步乘法计数原理可得共有： 种排法
【详解】编号为 的三个盒子中分别放入 个小球，则还剩 个小球
则问题可变为求 个相同的小球放入三个盒子中，每个盒子至少放一个球的不同方法的种数
由隔板法可知共有： 种方法
本题正确结果：
【点睛】本题考查隔板法求解组合应用问题，关键是能够首先将问题转化为符合隔板法的形式，隔板法主要用来处理相同元素的组合问题.
14.给出下列三个命题：(1)如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；(2)一个平面内的任意一条直线都与另一个平面不相交，则这两个平面平行；(3)一个平面内有不共线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；其中正确命题的个数是( )
【答案】20．
【解析】
解：∵A、B、C三层，个体数之比为5：3：2．又有总体中每个个体被抽到的概率相等，∴分层抽样应从C中抽取100× =20．故答案为：20．
3.圆柱的高为1，侧面展开图中母线与对角线的夹角为60°，则此圆柱侧面积是_________。
上海高二高中数学期末考试带答案解析
上海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.计算矩阵的乘积______________2.计算行列式=____________3.直线的倾斜角为，则的值是___________4.=___________5.已知直线与圆相切，则的值为___________6.以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为___________7.已知方程表示椭圆，则的取值范围为___________8.若向量，，且，那么的值为___________9.若直线经过原点，且与直线的夹角为，则直线方程为___________10.若三条直线，和只有两个不同的交点，则实数的值为__________11.执行右边的程序框图，则输出的结果是___________12.若点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为__________13.已知，是圆：(为圆心)上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为___________14.双曲线的左、右焦点分别为，，点在其右支上，且满足，，则横坐标的值是___________二、选择题1.与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（）A．B．C．D．2.在等比数列中，，公比.若，则=( )A．9B．10C．11D．123.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且，则有( )A．B．C．D．4.已知是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的，若成立，则成立，下列命题成立的是( )A．若成立，则对于任意，均有成立B．若成立，则对于任意的，均有成立C．若成立，则对于任意的，均有成立D．若成立，则对于任意的，均有成立三、解答题1.（12分）过椭圆的右焦点的直线L与圆相切，并且直线L过抛物线的焦点。
(1)求、的坐标；(2)求直线L的方程。
2.（12分）已知一个圆与轴相切，在直线上截得弦长为2，且圆心在直线上，求此圆的方程.3.（14分）已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线交轨迹于两点，点O是直角坐标系的原点，求面积的最小值，并求出当的面积取到最小值时直线的方程。
上海市高二下学期期末考试数学试题(带答案)
高二下学期期末考试数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分 ）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.过点)2,1(、)6,3(的直线的斜率为______________．2.若i 是虚数单位，复数z 满足5)43(=-z i ,则z 的虚部为_________．3.正四面体ABC S -的所有棱长都为2，则它的体积为________．4.以)2,1(-为圆心且过原点的圆的方程为_____________．5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为__________．6.已知圆锥的高与底面半径相等，则它的侧面积与底面积的比为________．7.正方体1111D C B A ABCD -中，二面角111C D A B --的大小为__________． 8.双曲线1422=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于_________． 9.已知球的半径为1，A 、B 是球面上两点，线段AB 的长度为3，则A 、B 两点的球面距离为 ________．10.在长方体1111D C B A ABCD -中，已知36,91==BC AA ，N 为BC 的中点，则直线11C D 与 平面N B A 11的距离是___________．11.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派6人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________(用数字作答)．12. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为_________________．13.设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--,032,042,02y y x y x 则y x z -=2的最大值为____________.14.在棱长为1的正方体盒子里有一只苍蝇，苍蝇为了缓解它的无聊，决定要考察这个盒子的每一 个角，它从一个角出发并回到原处，并且每个角恰好经过一次，为了从一个角到另一个角，它或直 线飞行，或者直线爬行，苍蝇的路径最长是____________．（苍蝇的体积不计）二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编 号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.在正方体1111D C B A ABCD -中，任取两条棱，则这两条棱为异面直线的概率为（ ）A ．112B ．114C ．116D ．11816.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50),[50,60),[60,70), [70,80),[80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）A ．588B ．480C ．450D ．12017.=++-+++-+1)1(4)1(6)1(4)1(234x x x x （ ）A ．4xB ．4x -C ．1D ．1- 18.若直线m x y l +-=2:与曲线|4|21:2x y C -=有且仅有三个交点，则m 的取值范围是（） A ．)12,12(+- B ．)2,1( C ．)12,1(+ D ．)12,2(+三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．19.（12分）求8)32(xx +的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.20.（14分）求半径为10，且与直线07034=-+y x 相切于)10,10(的圆的方程.21.（14分）已知椭圆13422=+y x 上存在两点A 、B 关于直线m x y +=4对称，求m 的取值范围.22.（16分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中, 侧棱⊥A A 1底面ABCD ，AD AB DC AB ⊥,//， 1==CD AD ，21==AB AA ，E 为棱1AA 的中点.(1) 证明：CE C B ⊥11；(2) 求异面直线E C 1与AD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）23.（18分）下图是利用计算机作图软件在直角坐标平面xOy 上绘制的一列抛物线和一列直线，在焦点为n F 的抛物线列x p y C n n 4:2=中，n p 是首项和公比都为)10(<<p p 的等比数列，过n F 作斜率2的直线n l 与n C 相交于n A 和n B （n A 在x 轴的上方，n B 在x 轴的下方）.（1）证明：n OA 的斜率是定值；（2）求1A 、2A 、Λ、n A 、Λ所在直线的方程；（3）记n n OB A ∆的面积为n S ，证明：数列}{n S 是等比数列，并求所有这些三角形的面积的和.第23题图第二学期高二年级数学学科期末考试卷参考答案19.（12分）解：4485)32)((x x C T =， 所以二项式系数为7048=C ，系数为811120.21.（14分）解：设直线AB 方程为b x y +-=4，联立 ⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,4,124322b x y y x 得,0481681322=-+-b bx x 从而,138b x x B A =+ ,13242)(41b b x x y y B A B A =++-=+则B A ,中点是)1312,134(b b， 则,013121344=+-⋅m b b 解得.134b m -= 由0481681322=-+-b bx x 有实数解得,0)4816(526422≥--=∆b b 即.4132≤b 于是.413)413(2≤-m 则m 的取值范围是.1313213132≤≤-m23.（18分）解：（1）由已知得n n p p =，抛物线焦点)0,(n n p F ，抛物线方程为x p y n42=，直线n l 的方程为).(2n p x y -=于是，抛物线n C 与直线n l 在x 轴上方的交点),(11y x A n 的坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧-==),(2,411121n n p x y x p y 则有,042211121=-+x y x y而直线n OA 的斜率为11x y k n OA =，则,042112=-+OA OA k k 解得,51±-=n OA k 又,0>k 点n A 在第一象限，则51+-=n OA k ；（2）直线方程为x y )51(+-=；（3）由⎪⎩⎪⎨⎧-==),(2,42n n p x y x p y 得,04222=--n n p y p y 则n p AB 10||=， 而O 到直线n l 的距离为52np ，于是n n OB A ∆的面积n n p S 252=，所以数列}{n S 是以252p 为首项，2p 为公比的等比数列.由于10<<p ， 所以所有三角形面积和为22152p p -.。
上海市高二下学期期末数学试题(解析版)
5．双曲线的渐近线方程为22124x y -=6．以为圆心，且经过()1,1C 7．如图所示，靶子由一个中心圆面概率分别为0.35、0.30、0.25A．2 B．315．下列命题：①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；②各侧棱的长都相等的棱锥是正棱锥；③各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥A ．80厘米B ．100厘米C ．120厘米D ．140厘米三、解答题17．设等比数列的前项和为，已知，.{}n a n n S 34a =632a =- (1)根据茎叶图提供的有限信息，求频率分布直方图中和的值，指出样本的x y(1)当点是棱的中点时，求证：直线M 1CC (2)当时，求点11D M AB ⊥(3)当平面将正四棱柱1AB M 线段的长度.MC 21．如图，已知点(2,1A (1)求椭圆的离心率；Γ(2)直线交椭圆于两点（BD ΓB D 、为2，直线是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由BD (3)点、点是椭圆上的两个点，圆E G Γ【详解】 由题意可得，，则异面直线11//AC A C ，且为等腰直角三角形，所以CAB ABC 故答案为：45︒2x 【解析】根据方程得出，即可得出该双曲线的渐近线方程2,2a b ==【详解】 设圆锥底面圆半径AO OB ==因为圆锥的体积为，即3π3π，所以333SO SAB OA ===故答案为：. π3①②④设正三棱柱的各条棱长都为111ABC A B C -1(0,0,0),(0,2,0),(3,1,0),(0,0,B A C B于是，.()()()10049991101,49999914900i a i i a =+--=+-=故答案为：4900.13．C【分析】由向量相等的定义即可判断.【详解】由相等向量的定义：方向相同且大小相等的两个向量是相等向量，故在长方体中，与相等的向量是、、，1111ABCD A B C D -AB DC 11A B 11D C 故选：C14．D【分析】根据球的几何性质，利用截面距及球半径由勾股定理计算即可求得截面圆半径.【详解】如图所示，为球面上一点，则，C 5OC =球心到平面的距离为3，即，且，O α13OO =11OO O C ⊥则小圆的半径长即为，1O 1O C 在中，由勾股定理可得，解得.1OO C 22211OC OO O C =+14O C =故选：D15．A【分析】由正棱锥满足的条件即可判断.【详解】是正棱锥必须满足两个条件：（1）底面是正多边形（2）过顶点作底面垂线，垂足为底面正多边形中心，即侧面是全等的等腰三角形.对于①，底面是正多边形的棱锥，但侧面不是全等的等腰三角形时不满足条件（2），故错误；对于②，比如一个四棱锥满足各侧棱的长都相等，但其底面可以为矩形，此时不满足条件（1），故错误；对于③，比如一个四棱锥满足各侧面是全等的等腰三角形，但其底面可以为菱形，此时不满足条件（1），故错误.丝带从棱上的点出发，沿着长方体的各个表面绕行一圈回到AD G 方体从面1111ABCD A B C D -ABCD 所示：则线段即为最短路径，即为所需丝带的最短长度，1GG 易知，，所以180HG =60HG =2180GG =+所以在捆扎方案一中，丝带长度最短为100厘米；在捆扎方案二中，所需丝带长度为矩形ABCD()(11,1,1,0,1,1AM B M ==- 由，10AM B M ⋅= 1AM D M ⋅ 又，、11B M D M M ⋂=1B M 所以直线平面AM ⊥11B MD （2）如图，以为原点，A（3）作平行于，交MN 1B A 连接，设线段的长为BM CM 由得，12CN h =2hCN =S 梯形可得11324M ABCN h V -⎛⎫=⨯+⨯ ⎪⎝⎭又由112132M ABB V -⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪11NMC AB B P AB B P NMC V V V ---=-棱台棱锥棱锥()21111113343h x x x ⎛=⨯⨯+-⨯⨯= ⎝由题意，()1112NMC AB B V -=⨯⨯⨯棱台所以，整理得21121h x ⎛⎫-+=即，则点223n =()(0,E n r y +，整理得()2222y rn rn r =++++由得()220142n r y ++=02y -=。
上海高二高中数学期末考试带答案解析
上海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.计算．2.已知复数，则= ．3.经过点的直线l的点方向式方程是．4.已知点，则线段AB的垂直平分线l的点法向式方程是．5.已知方程表示的曲线是圆，则实数a的值是．6.已知两点，则以线段PQ为直径的圆的方程是 .7.双曲线C过点(2，3)，且其中一条渐近线是，则双曲线C的标准方程是．8.已知直线与直线的夹角为，则实数k= .9.直角坐标平面上点P与点的距离比它到直线的距离小2，则点P的轨迹方程是 .10.直线两点，则以A为焦点，经过B点的椭圆的标准方程是．11.圆与直线的位置关系是．(相交、相切、相离)12.已知直线l与两点，若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是．二、选择题1.若复数是虚数，则a、b应满足的条件是 . [答]( )2.已知，则在复平面上所对应的复数是 .[答]( )3.若过点的直线l与抛物线有且只有一个交点，则这样的直线l共有条． [答]( )A 1B 2C 3D 44.下列说法正确的是． [答]( )(1)若直线l的倾斜角为，则；(2)若直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率；(3)若直线l的方程为，则直线l的一个法向量为．A．(1)(2)B．(1)(3)C．(2)(3)D．(1)(2)(3)三、解答题1.本题满分8分．已知关于的实系数一元二次方程有两个虚数根、，若，且，求方程的根、．2.本题满分10分．已知椭圆，椭圆上动点P的坐标为，且为钝角，求的取值范围。
3.(本题满分10分)本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分3分，第3小题满分3分．已知直线讨论当实数m为何值时，(1)4.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．已知直线l：与双曲线C：相交于A、B两点．(1)求实数a的取值范围；(2)当实数a取何值时，以线段AB为直径的圆经过坐标原点．5.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．已知抛物线，F是焦点，直线l是经过点F的任意直线．(1)若直线l与抛物线交于两点A、B，且(O是坐标原点，M是垂足)，求动点M的轨迹方程；(2)若C、D两点在抛物线上，且满足，求证直线CD必过定点，并求出定点的坐标．上海高二高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.计算．【答案】【解析】略2.已知复数，则= ．【答案】【解析】略3.经过点的直线l的点方向式方程是．【答案】【解析】略4.已知点，则线段AB的垂直平分线l的点法向式方程是．【答案】【解析】略5.已知方程表示的曲线是圆，则实数a的值是．【答案】【解析】略6.已知两点，则以线段PQ为直径的圆的方程是 .【答案】【解析】略7.双曲线C过点(2，3)，且其中一条渐近线是，则双曲线C的标准方程是．【答案】【解析】略8.已知直线与直线的夹角为，则实数k= .【答案】【解析】9.直角坐标平面上点P与点的距离比它到直线的距离小2，则点P的轨迹方程是 .【答案】【解析】略10.直线两点，则以A为焦点，经过B点的椭圆的标准方程是．【答案】【解析】略11.圆与直线的位置关系是．(相交、相切、相离)【答案】【解析】略12.已知直线l与两点，若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是．【答案】【解析】略二、选择题1.若复数是虚数，则a、b应满足的条件是 . [答]( )【答案】D【解析】略2.已知，则在复平面上所对应的复数是 .[答]( )【答案】D【解析】略3.若过点的直线l与抛物线有且只有一个交点，则这样的直线l共有条． [答]( )A 1B 2C 3D 4【答案】C【解析】略4.下列说法正确的是． [答]( )(1)若直线l的倾斜角为，则；(2)若直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率；(3)若直线l的方程为，则直线l的一个法向量为．A．(1)(2)B．(1)(3)C．(2)(3)D．(1)(2)(3)【答案】B【解析】略三、解答题1.本题满分8分．已知关于的实系数一元二次方程有两个虚数根、，若，且，求方程的根、．【答案】当时，解，得，即方程的根为．当时，解，得，即方程的根为．【解析】本题满分8分．解由题可知，是实数，又，……………………………………2分∵是方程的两个虚数根，∴．……………………4分∴，即，解得．……………6分当时，解，得，即方程的根为．…………………7分当时，解，得，即方程的根为．…………………8分2.本题满分10分．已知椭圆，椭圆上动点P的坐标为，且为钝角，求的取值范围。
2023-2024学年上海中学高二下学期数学期末试卷及答案(2024.06)
1上海中学2023-2024学年第二学期高二年级数学期末2024.06一、填空题(每题3分，共36分)1.已知事件A 满足()0.3P A =，则()P A =___________.2.将4封不同的信投入3个不同的信箱，则不同的投递方式共有___________种.3.已知3223n n C P =，则n =___________.4.在()101x +的展开式中，3x 的系数为.___________(以数字作答)5.函数()242f x lnx x x =−−的驻点为___________.6.若随机变量X 服从正态分布()1,3,21N Y X =+，则[]D Y =___________.7.集合A 是{}12,3,4,5,6,7,8,9,10，的子集，且A 中的元素有完全平方数，则满足条件的集合A 共有___________个.8.从正方体的12条棱中选择两条，这两条棱所在直线异面直线的概率为___________. 9.若不等式x e ax ≥对任意1x ≥−成立，则a 的取值范围是___________.10.对于在定义域上恒大于0的函数()f x ，令()()g x lnf x =.已知()f x 与()g x 的导函数满足关系式()()()f x f x g x ′=′.由此可知，函数()2x f x x =在1x =处的切线方程为___________.11.甲、乙、丙、丁、戊乘坐高铁结伴出行并购买了位于同一排座位的五张车票，因此他们决定自行安排这些座位.高铁列车的座位安排如图，甲希望坐在靠窗的座位上，乙不希望坐在B 座，丙和丁希望坐在相邻的座位上(中间不能隔着过道)，则满足要求的座位安排方式共有___________种.12.将1,2,3,4,5,6的所有排列按如下方式排序:首先比较从左至右第一个数的大小，较大的排列在后;若第一个数相同，则比较第二个数的大小，较大的排列在后，依此类推.按这种排序2方式，排列2，3，4，5，6，1的后一个排列是___________. 二、选择题(每题4分，共16分) 13.设()2f x sin x =，则()f x ′=（ ）(A)2cos x (B)2cos x − (C)22cos x (D)22cos x −14.某班级共有40名同学，其中15人是团员.现从该班级通过抽签选择10名同学参加活动，定义随机变量X 为其中团员的人数，则X 服从（ ）(A)二项分布 (B)超几何分布 (C)正态分布 (D)伯努利分布 15.将一枚硬币连续抛掷三次，每次得到正面或反面的概率均为12，且三次抛掷的结果互相独立.记事件A 为“至少两次结果为正面”，事件B 为“第三次结果为正面”，则()P B A =∣（ ） (A)12 (B)23 (C)34 (D)7816.现有编号分别为()1,2,,*n n N …∈的小球各两个，每个球的大小与质地均相同.将这2n 个球排成一列，使得任意编号相同的球均不相邻，记满足条件的排列个数为n a ，则（ ） ①对任意,*n n N a ∈都是偶数;②()()()11212n n a n n a n −>−−≥.(A)①②都是真命题 (B)①是真命题，②是假命题 (C)①是假命题，②是真命题 (D)①②都是假命题 三、解答题(本大题共5题，共48分，解答各题须写出必要的步骤) 17.(本题8分)求函数()()231x f x e x x =⋅−+的单调区间.18.(本题8分)某公司对购买其产品的消费者进行了调研，已知这些消费者在一年内再次购买产品的概率为33%，且这些消费者可以分为A B C、、三类.其中A类消费者占30%，其在一年内再次购买产品的概率为60%;B类消费者占40%，其在一年内再次购买产品的概率为30%;C类消费者占比x%，其在一年内再次购买产品的概率为y%.(1)求x与y的值.(2)若一名消费者在一年内再次购买了产品，求其是B类消费者的概率.19.(本题10分)某学校举办知识竞赛，该竞赛共有三道问题，参赛同学须回答这些问题，以其答对的问题的得分之和作为最终得分.每个问题的得分与参赛同学答对的概率如下表(每次回答是否正确相互独立).定义随机变量X为最终得分.(1)求()50P X=.(2)求[]D X.E X与[]3420.(本题10分)设函数()()()1f x x x x a =−−，其中1a >.且()f x 在0x =与x a =处的切线分别为12,l l .(1)若1l 与2l 平行，求a 的值.(2)记(1)中a 的值为0a .当0a a >时，记12,l l 与x 轴围成的三角形面积为S .当S 取到最小值时，求a 的值.21.(本题12分)仿照二项式系数，可以定义“三项式系数”k n T 为()21nx x ++的展开式中kx 的系数()02k n ≤≤，即()201122221.nn n n n n n x x T T x T x T x ++++++其中0122,,,,n n n n n T T T T Z …∈. (1)求234333,,T T T 的值:(2)对于给定的*n N ∈，计算以下两式的值:20n knk T =∑与20nk n k k T =∑(3)对于*n N ∈，记0122,,,,n n n n n T T T T …中偶数的个数为n a ，奇数的个数为n b .是否存在n 使得2024n n a b −≥?若存在，请给出一个满足要求的n 并说明理由;若不存在，请给出证明.5参考答案一、填空题1.0.7;2.81;3.11;4.120;5.1;6.12;7.896;8.411;9.1,e e−; 10.210x y −−=； 11.11 12.2，3，4，6，1，5二、选择题13.C 14.B 15.C 16.A 三．解答题17.（1）增区间为()(),1,2,−∞−+∞，减区间为[]1,2− 18.（1）30,10x y == （2）123319.（1）0.36 （2）[]57E X =，[]853D X = 20．（1）2 （221．（1）234333676,,T T T ===（2）203nnk nk T ==∑，203n nk n k k T n ==⋅∑ （3）1024n =。
2021-2022学年上海市金山中学高二年级下册学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年上海市金山中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知是定义在R 上的可导函数，若，则=（ ）()f x 0(2)(2)1lim22x f f x x →-+∆=∆ (2)f 'A ．B ．C ．1D ．1-14-14【答案】A【分析】根据极限与导数的定义计算．【详解】0(2)(2)(2)(2)1lim2lim 2122(2)x x f x f f f x f x x →→'+∆--+∆=-==-⨯=-∆∆ 故选：A ．2．从编号为的20张卡片中依次不放回地抽出两张，记：第一次抽到数字为6的倍数，120-A ：第二次抽到的数字小于第一次，则=（ ）B (|)P B A A ．B ．C ．D ．8191119811719【答案】B【分析】根据条件概率公式直接求解即可.【详解】记事件：第一次抽到的数字为的倍数；事件：第二次抽到的数字小于第一次；A 6B 则数字为的倍数的数有：，所以，66,12,18()320P A =第二次抽到的数字小于第一次的情况分为：第一次抽到的数字为，第二次则抽到，共5种；61,2,3,4,5第一次抽到的数字为12，第二次则抽到，共11种；111 第一次抽到的数字为18，第二次则抽到，共17种.117~则，()51117332019380P AB ++==⨯.()()()331138031920P AB P B A P A ∴===故选：B.3．已知抛物线E ：（）的焦点为F ，点A 是抛物线E 的准线与坐标轴的交点，点P22y px =0p >在抛物线E 上，若，则（ ）30PAF ∠=sin PFA ∠=A ．BCD 12【答案】B【分析】过作准线的垂线，垂足为，由，可得，求出的值，P Q 30PAF ∠=︒30APQ ∠=︒cos APQ ∠由抛物线的性质可得，由正弦定理可得的值．||||PQ PF =sin PFA ∠【详解】过作准线的垂线，垂足为，由，可得，由题意如图所示：P Q 30PAF ∠=︒30APQ ∠=︒在中，可Rt AQP △||cos ||QP APQ PA ∠=由抛物线的性质可得，所以||||PQ PF =||||PF PA =在中，由正弦定理可得：，PAF △||||sin sin PA PF PFA PAF =∠∠所以||1sin sin ||2AP PFA PAF PF ∠=⋅∠故选：B ．4．如图，在边长为中，圆与相切，圆与圆相切且与、ABC 1D ABC 2D 1D AB 相切，，圆与圆相切且与、相切，依次得到圆、、、．当圆的AC 1n D +n D AB AC 3D 4D n D n D 半径小于时，的最小值为（ ）181nA ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】由正三角形性质，分别根据几何关系求出正三角形内切圆半径与边长的关系，边长n r n a 与、的关系，即可进一步求出与的关系，从而求出的通项公式，列不等式求解.n a 1n a -1n r -n r 1n r -n r 【详解】由题，正三角形内切圆半径与边长满足：①，n r na 11322n n n n n n a r a a ⋅=⇒=1a =由正三角形性质易得，BC 边上的高过圆心，且圆切线，其中n h n D n D ()2n n E F BC n ≥ ，则组成正三角形，即，111E F BC a ==n nAE F n n na E F =则边长与高满足：②，n a nh 111112n n n n n n n a h hr a h h ------===11n n n a a--=由①②得，，111113n n n n n n rr ----==⇒=由，∴数列为首项为1，公比为的等比数列，故.111a r ==⇒={}n r 13113n n r -=由，故的最小值为6.1115381n n r n -=⇒n 故选：B二、填空题5．计算______．223ii +∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑【答案】43【分析】用等比数列求和公式计算即可.【详解】由已知条件，设数列，则23nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23422223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1114219342442123333313n n n ---⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-=-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-所以24lim 33ii ∞→⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为：436．等差数列的前项和为，，，，则______．{}n a n n S 35a =228n a -=198n S =n =【答案】12【分析】根据等差数列性质，若，则，可得，代入前m n p q +=+m n p q a a a a +=+132nn a a a a -+=+项和公式即可.n 【详解】，解得()()()132528198222n n n n a a n a a n S -+++====12n =故答案为：127．若二项式展开式的常数项为60，则实数的值为_________．62x ⎛⎝a 【答案】1±【分析】根据二次展开式的通项公式确定常数项即可求的值.a 【详解】二项式展开式的通项为，62x ⎛ ⎝36612666(2)()2r r rr r r r r T C x C a x---+⎛==-⋅⋅ ⎝令，得，常数项为，得．3602r -=4r =()44244626060,1C a a a -⋅===1a =±故答案为：.1±8．某次演出有6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定，则不同的排法有____种．【答案】120【分析】根据已知条件求出6个节目全排的种数，再求出甲、乙、丙3个节目全排的种数，二者相除即可求解.【详解】演出中的6个节目全排列有,66A 654321720=⨯⨯⨯⨯⨯=甲、乙、丙3个节目全排列有,33A 3216=⨯⨯=所以演出中的6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定，则不同的排法有，6633A 720120A 6==故答案为：.1209．已知是函数的极小值点，则_____．x a =32()(3)5f x x a x x =-++=a 【答案】5【分析】求导，根据是函数的极小值点，由求解，()()23235f x x a x '=-++x a =()f x ()0f a ¢=并检验即可.【详解】解：因为函数，()()3235f x x a x x=-++所以，()()23235f x x a x '=-++因为是函数的极小值点，x a =()()3235f x x a x x =-++所以，即，解得或，()()232350f a a a a '=-++=2650a a -+=1a =5a =当时，，1a =()2385f x x x '=-+当或时，，当时，，1x <53x >()0f x ¢>513x <<()0f x '<所以，在区间上单调递增，在上单调递减，()f x ()5,1,,3⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭()f x 51,3⎛⎫⎪⎝⎭所以当时，函数取得极大值，不符合题意；1x =()f x 当时，，5a =()23165f x x x '=-+当或时，，当时，，13x <5x >()0f x ¢>153x <<()0f x '<所以，在区间上单调递增，在上单调递减，()f x ()1,,5,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭()f x 1,53⎛⎫⎪⎝⎭所以，当时，函数取得极小值，符合题意；5x =()f x 所以，5a =故答案为：510．已知第一层书架中有6本数学书，4本语文书；第二层书架中有8本数学书，12本语文书．随机选取一层，再从该层中随机取一本书，则它是数学书的概率为_____．【答案】##0.512【分析】利用独立事件乘法公式和互斥事件概率加法公式进行求解.【详解】若选到第一层，则选到数学书的概率为，16326410⨯=+若选到第二层，则选到数学书的概率为，18128125⨯=+故随机选取一层，再从该层中随机取一本书，则它是数学书的概率为.3111052+=故答案为：1211．已知数列的前项和为，则_____．{}n a n 111,0,1n n n n S S S a a +++==2022S =【答案】．12022【分析】由代入已知条件变形后可得是等差数列（变形前说明），求出通11n n n a S S ++=-1{}n S 0n S >项公式后得，从而易得结论．n S 【详解】∵，∴，，110n n n S S a +++=110n n n n S S S S +++-=1(1)n n n S S S +=+时， ，又，所以（）．0n S >10n S +>1110S a ==>0n S >N*n ∈∴由，得，110n n n n S S S S +++-=1111n n S S +-=所以是等差数列，公差为1，首项为1，1{}n S ∴，，1n n S =1nS n =从而．202212022S =故答案为：．1202212．在对具有线性相关的两个变量和进行统计分析时，得到如下数据：x y x4m81012y12356由表中数据求得关于的回归方程为，则在处的离差的绝对值为_____．y x 0.65.8ˆ1yx =-x m =【答案】1.3【分析】将样本的中心代入回归直线中，求得，再算出当时的观测值，即可得答案.(,x y 6m =6m =【详解】解：因为，4810123455m m x +++++==，123561755y ++++==又因为关于的回归方程为，y x 0.65.8ˆ1yx =-所以，17340.65 1.855m +=⨯-解得，6m =当时，，6m =0.656 1.8 2.1ˆy=⨯-=所以.17|2.1| 1.35-=故答案为:.1.313．已知椭圆，斜率为1的直线过点其左焦点，且与椭圆交于、两点，则弦长22143x y +=l 1F A B _____．||AB =【答案】247【分析】求得直线的方程并与椭圆方程联立，结合弦长公式求得.l AB【详解】椭圆方程为，所以，22143x y +=2,1a b c ===所以，所以直线的方程为，()11,0F -l 1y x =+由消去并化简得，221143y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y 27880,644782880x x +-=∆=+⨯⨯=>设，所以，()()1122,,,A x y B x y 121288,77xx x x +=-=-.247==故答案为：24714．如图是函数的导函数的图象：()y f x =()y f x '=①函数在区间上严格递减； ()f x (1,3)②；(1)(2)f f <③函数在处取极大值； ()f x 1x =④函数在区间内有两个极小值点．()f x (2,5)-则上述说法正确的是______．【答案】②④【分析】根据导函数图象分析得到函数的单调性，进而判断是否为极值点，比较出函数值的大小，判断出正确答案.【详解】由导函数的图象可知：函数在上单调递增，在上单调递减，故()y f x '=()f x ()1,2()2,3，故①错误，②正确；()()12f f <由导函数的图象可知：在上均单调递增，故不是函数的极大值点，③错误；()f x ()1,2-1x =由导函数图象可得：在区间内有，且在与上导函数小于0，(2,5)-()()140f f ''-==()2,1--()3,4在和上导函数大于0，()1,0-()4,5故和为函数的两个极小值点，故在区间内有两个极小值点，④正确.=1x -4x =(2,5)-故答案为：②④15．已知、为双曲线的两个焦点，、为上关于坐标原点对称的两1F 2F 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>P Q C 点，且，若直线的倾斜角为，则的离心率为____．12||||PQ F F =PQ 3πC##1【分析】由题意画出图形，可得为正三角形，进一步得到四边形为矩形，再由双曲2OQF △21PF QF 线的定义求解得答案．【详解】如图，∵直线的倾斜角为，∴，PQ π3260QOF ∠=︒又，∴，可得为正三角形，12||||PQ F F =2=OQ OF 2OQF △由对称性可得，四边形，21PF QF，2c a -=∴，1e =.16．若过点的任意一条直线都不与曲线相切，则的取值范围是________．(),0A a ():1xC y x e =-a 【答案】()3,1-【解析】设点为曲线上任意一点，求出函数的导函数，即可求出切线方程，由()()000,1x B x x e -C 切线不经过点，即可得到方程无实根，利用根的判别式求出参数的取值范围；l A ()200110x a x -++=【详解】解：设点为曲线上任意一点，因为，则曲线在()()000,1x B x x e -C ()1xxxy e x exe =+-='C 点处的切线的方程为.B l ()()00001x x y x ex e x x --=-据题意，切线不经过点，则关于的方程，即无实l A 0x ()()00001x x x ex e a x --=-()200110x a x -++=根，所以，解得，所以的取值范围是.()2Δ140a =+-<31a -<<a ()3,1-故答案为：()3,1-三、解答题17．如图，是圆的直径，点是圆上异于A 、B 的点，直线平面，、分别AB O C O PC ⊥ABC E F 是、的中点．PA PC(1)记平面与平面的交线为，求证：直线平面；BEF ABC l //l PAC (2)若，点是的中点，求二面角的余弦值．2PC AB ==CAB E l C --【答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用中位线证明，则可推出平面，由线面平行的性质，可知，//EF AC //EF ABC //EF l 即可证出直线平面；//l PAC （2）由题意分析，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，C ,,CA CB CP ,,x y z 计算平面和平面的法向量，根据二面角公式可求出平面和平面的余弦值，即为EFB ABC EFB ABC 二面角的余弦值.E l C --【详解】（1）证明：、分别是、的中点， EF PA PC 是的中位线，则，EF ∴PAC △//EF AC 平面ABC ，平面，AC ⊂ EF ⊄ABC 平面，//EF ∴ABC 又平面，平面与平面的交线为，EF ⊂BEF BEF ABC l ，//∴EF l 平面，平面，l ⊄ PAC EF ⊂PAC 平面.//l ∴PAC （2）解：如图，是圆的直径，是的中点，，AB O C AB 2AB =，CA CB ∴⊥CA CB ==直线平面，PC ⊥ABC ，，PC CA ∴⊥PC CB ⊥以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，∴C ,,CA CB CP ,,x y z 则，，，(0,0,1)F B E ⎫⎪⎪⎭，(0,BF∴=BE ⎫=⎪⎪⎭ 设平面的法向量，EFB (,,)n x y z=则，取，则，00BF n z BE n x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩1y =n = 直线平面，PC ⊥ABC 是平面的法向量，(0,0,1)CP ∴=ABC，cos ,||||CP n CP n CP n ⋅∴===⋅二面角∴E l C --18．2021年9月，教育部印发《关于全面加强和改进新时代学校卫生与健康教育工作的意见》中指出：中小学生各项身体素质有所改善，大学生整体下降．某高校为提高学生身体素质，号召全校学生参加体育锻炼，结合“微信运动”APP 每日统计运动情况，对每日平均运动10000步或以上的学生授予“运动达人”称号，低于10000步称为“参与者”，统计了200名学生在某月的运动数据，结果如下：运动达人参与者合计男生70女生80合计80200(1)完善列联表并说明：是否有99%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关?22⨯(2)从全校运动“运动达人”中按性别分层抽取8人，再从8人中选取4人参加特训，将男生人数记为，求的分布列．X X 参考公式：．22(),()()()()n ad bc K n a b c da b c d a c b d -==+++++++a 2.072 2.706 3.841 6.6357.87910.828()2P x a ≥0.150.100.050.0100.0050.001【答案】(1)没有99%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关；(2)X 1234P57030703070570【分析】（1）先完善列联表，通过卡方检验中计算与6.635比较大小从而判断在犯错误概率不超2K 过0.01的前提下认为获得“运动达人”称号与性别的相关性；（2）判断X 服从超几何分布概型，得到X 的分布列．【详解】（1）由题意完善列联表：运动达人参与者合计男生为人，易知列联表数22⨯20080120-=据如下：运动达人参与者合计男生5070120女生305080合计80120200此时：．()2220070305050250.35 6.635120801208072K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯查表可知，()2 2.7060.1P K ≥=所以：没有99%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关（2）由题意知：选取的8人运动参与者中男生5人，女生3人X 的所有可能情况为： 1、2、3、4且，()135348C C 11C 14P X ===()225348C C 32C 7P X ⋅===，()315384C C 3=3C 7P X ==()443805C C 14=C 14P X ==X 的分布列为：X 1234P114373711419．已知椭圆：（）上一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为.C 22221x y a b +=0a b >>P 12(1)求椭圆的方程和短轴长；C (2)已知点，过左焦点且与不垂直坐标轴的直线交椭圆于，，设直线与椭圆的()4,0D -1F A B AD C 另一个交点为，连接，求证：平分.E 1EF 1F D 1BF E ∠【答案】(1)，短轴长22143x y +=(2)证明见解析.【分析】（1）由椭圆定义、离心率可得，进而求得，即可得椭圆方程和短轴长；21a c =⎧⎨=⎩b =（2）将问题化为证明，令为联立椭圆，应用韦达定理、斜率两点式110AF EF k k +=AD (4)y k x =+并化简，即可证结论.11AF EF k k +【详解】（1）由题意，则，故，则，2412a c a =⎧⎪⎨=⎪⎩21a c =⎧⎨=⎩2223b a c =-=b 所以，短轴长22143x y +=（2）要证平分，即，如下图示，1F D 1BF E ∠1112EF D BF D AF F ∠=∠=∠所以，只需证即可，，110AF EF k k +=1(1,0)F -由题意，设为，联立椭圆并整理得：，AD (4)y k x =+2222(34)3264120k x k x k +++-=所以，且，即，223234A E k x x k +=-+22641234A Ek x x k -=+2144(14)0k ∆=->1122k -<<而，11(4)(4)[25()8]1111()1A E A E A E A E AF EF A E A E A E A E y y k x k x k x x x x k k x x x x x x x x ++++++=+=+=+++++++又，22222212824160322425()80343434A E A E k k k x x x x k k k -++++=-+=+++所以，故平分，得证.110AF EF k k +=1F D 1BF E ∠20．近两年因为疫情的原因，线上教学越来越普遍了．为了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了．经过一个月对全体同学上课情况的观察统计，平均每次专注度监测有的同学能够正常完成签到．为90%了能够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定：①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等；②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分．请回答如下两个问题：(1)若一节课老师会进行3次专注度监测，那么某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？(2)记某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为分的概率为（比如：表示累计得分为分的n n P 1P 1概率，表示累计得分为的概率），求：2P 2①的通项公式；1{}n n P P +-②的通项公式．{}n P 【答案】(1)；5.7(2)①；②.11910n n n P P ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1099191910nn P ⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据二项分布的期望求解，求得三次监测中完成签到次数的数学期望，再求结果即可；（2）求得的递推关系，结合等比数列的通项公式，即可求得；再结合累加法，11,,n n n P P P +-1n n P P +-以及等比数列前项和公式，即可求得.n n P 【详解】（1）设某班同学在3次专注度监测中完成签到的次数为，由题可知，，故X ()~3,0.9X B ，()30.9 2.7E X =⨯=设某班同学3次专注度监测的总得分为，根据题意，故Y ()233Y X X X =+-=+.()()3 5.7E Y E X =+=故某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是.5.7（2）①由题可知，120.1,0.90.10.10.91P P ==+⨯=根据题意，，故可得*1119,2,N 1010n n n P P P n n +-=+≥∈()11910n n n n P P P P +--=--故数列为首项，公比为的等比数列，{}1n n P P +-21810.81100P P -==910-则.11181991001010n n n n P P -++⎛⎫⎛⎫-=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭②根据上式可得，()()()112211n n n n n P P P P P P P P ---=-+-++-+ 则，1299110109999109911910101010191910110nn n nn P -⎡⎤⎛⎫-⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-+-++-+-+=+=+⨯- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭故的通项公式.{}n P 1099191910nn P ⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭21．已知函数．()ln (,)f x a x bx a b =+∈R (1)若，求函数的图像在处的切线方程；1a b ==()y f x =1x =(2)若，求函数的单调区间；1a =()y f x =(3)若，已知函数有两个相异零点，求证：．1b =-()y f x =12,x x 212e x x >【答案】(1)210x y --=(2)答案见解析.(3)证明见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）根据题意，分和两种情况讨论求解即可；0b ≥0b <（3）由题知，方程有两个不相等的实数根，进而得，再不妨令，进而将问ln xa x =e a >120x x >>题转化为证明，故令，进一步转化为证明，1112221ln 21x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭121x t x =>()()1ln 21t t t +>-成立，再构造函数证明不等式即可.1t >【详解】（1）解：当时，函数，，1a b ==()ln f x x x =+1()1f x x '=+所以，，()()1ln111,12f f =+=='所以函数的图像在处的切线方程为，即.()y f x =1x =()121y x -=-210x y --=所以，函数的图像在处的切线方程为()y f x =1x =210x y --=（2）解：当时，，定义域为，1a =()ln f x x bx =+()0,∞+所以，，11()bx f x b x x +'=+=所以，时，在上恒成立，故在上单调递增，0b ≥()0f x '≥()0,∞+()f x ()0,∞+当时，令得，0b <()0f x '=1x b =-所以，当时，，单调递增；10,x b ∈-⎛⎫ ⎪⎝⎭()0f x '>()f x 当时，，单调递减；1,x b ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 综上，时，在上单调递增；0b ≥()f x ()0,∞+时，在上单调递增，在上单调递减.0b <()f x 10,b ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,b ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（3）解：由题知，，1b =-()ln f x a x x =-因为函数有两个相异零点，且()y f x =12,x x (1)1f =-所以且，，即，11x ≠21x ≠1122ln 0ln 0a x x a x x -=⎧⎨-=⎩1122ln ln x a x x a x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，方程有两个不相等的实数根，ln xa x =令，则，()ln x g x x =()()2ln 1ln x g x x -'=故当时，，时，，()()0,11,e x ∈ ()0g x '<()e,x ∈+∞()0g x '>所以，在上单调递减，在上单调递增，()g x ()()0,1,1,e ()e,+∞因为，()()0,1,0x g x ∈<()()1,,0x g x ∈+∞>所以，要使方程有两个不相等的实数根，则.ln xa x =()e e a g >=不妨令，则120x x >>1122ln ,ln a x x a x x ==所以，，()121212ln ln ln a x x a x x x x +==+()1212ln ln a x x x x -=-要证，只需证，即证：212e x x >12ln 2x x >1212ln 2x x x x a+=>因为，1212ln ln 1x x a x x -=-所以，只需证，()121211212122ln ln ln 2x x x x x x x x x x x x +---+=>只需证，即1211221ln 21x x xx x x +>-1112221ln 21x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故令，121x t x =>故只需证，成立，()()1ln 21t t t +>-1t >令()()()1ln 21,1h t t t t t =+-->则，()11ln 2ln 1t h t t t t t +'=+-=+-在恒成立，()221110t h t t t t -''=-=>()1,+∞所以，在上单调递增，()h t '()1,+∞因为，()10h '=所以在恒成立，()0h t '>()1,+∞所以，在上单调递增，()h t ()1,+∞所以，，即，成立，()()10h t h >=()()1ln 21t t t +>-1t >所以，成立.212e x x >【点睛】本题第三问解题的关键在于根据题意，将问题转化为证明，进而1112221ln 21x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，再构造函数证明成立即可.121x t x =>()()()1ln 21,1h t t t t t =+-->()()1ln 21t t t +>-1t >。
上海高二数学下学期期末考试试卷含答案(共3套)
上海市静安区第二学期高中教学质量检测高二数学试卷一、填空题1．若一个实系数一元二次方程的一个根是112z i =+，则此方程的两根之积为______.2．1-的平方根为______.3．如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，3AB =，14AA =，则11AC 与1BC 所成角的余弦值为______.4．622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 项的系数为______. 5．设A 、B 是半径为1的球面上一个大圆上的两点，且1AB =，则A 、B 两点的球面距离为______.6．在3名男生和4名女生中选出3人，男女生都有的选法有______种.7．由一条直线和直线外的5个点可确定平面的个数最多为______.8．请列举出用0，1，2，3，4这5个数字所组成的无重复数字且比3000大的，且相邻的数字的奇偶性不同的所有四位数奇数，它们分别是______.二、选择题9．复数a bi +（a 、b R ∈）和c di +（c 、d R ∈）的积是实数的充要条件是（ ）A ．0ad bc +=B ．0ac bd +=C ．ac bd =D ．ad bc = 10．①垂直于同一直线的两条不同的直线平行；②垂直于同一平面的两条不同的直线平行；⑤平行于同一平面的两条不同的直线平行；④平行于同一直线的两条不同的直线平行.以上4个关于空间直线与平面的命题中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4三、解答题11．（1）设m 、*n N ∈，m n ≤，求证：1111m m n n n C C m +++=+； （2）请利用二项式定理证明：()2*3213,n n n n N >+≥∈. 12．如图，菱形ABCD 的边长为2，60A ∠=︒，将ABD △沿BD 翻折，使点A 移至点P .（1）求证：BD PC ⊥；（2）若二面角P BD C --的平面角为60︒，求PC 与平面BCD 所成角的大小.13．如图，我们知道，圆锥是Rt AOP △（及其内部）绕OP 所在的直线旋转一周形成的几何体.我们现将直角梯形11AOO A （及其内部）绕1OO 所在的直线旋转一周形成的几何体称为圆台.设1O 的半径为r ，O 的半径为R ，1OO h =.（1）求证：圆台的体积3313R r V h R rπ-=⋅-； （2）若2R =，1r =，3h =，求圆台的表面积S .14．现新定义两个复数111z a bi =+（1a 、1b R ∈）和222z a b i =+（2a 、2b R ∈）之间的一个新运算⊗，其运算法则为：121212z z a a bb i ⊗=+.（1）请证明新运算⊗对于复数的加法满足分配律，即求证：()1231213z z z z z z z ⊗+=⊗+⊗；（2）设运算○÷为运算⊗的逆运算，请推导运算○÷的运算法则.高二数学试卷答案一、填空题1．52．i ± 3．10 4．－160 5．3π6．30 7．158．4103，4301，4123，4321 二、选择题9．A 10．B三、解答题11．证：（1）()()()()111!1!11!!1!!1m m n nn n n n C C m n m m m n m m +++++==⋅=+-+-+； （2）当3n ≥，*n N ∈时，()122312122...2n n n n n C C =+=+⋅+⋅++122212221n n C C n >+⋅+⋅=+12．（1）证：设BD 的中点为E ，联结,PE CE .∵ABCD 是菱形，∴BD PE ⊥，BD CE ⊥.又PC 在平面PEC 上，∴BD PC ⊥.（2）在AEC △中，作PO EC ⊥，O 是垂足，又由（1）有PO BD ⊥，∴PO ⊥平面BCD ，∴点O 是点P 在平面BCD 上的射影，∴PCO ∠既为PC 与平面BCD 所成角.∵BD PE ⊥，BD CE ⊥，∴60PEC ∠=︒，∵PE CE =，∴AEC △是等边三角形.13．解：（1）证：∵11~PAO PAO △△， ∴11PO r PO h R=+，解得1rh PO R r =-，∴2211133V R PO r PO ππ=⋅-⋅ 221133rh rh R h r R r R r ππ⎛⎫=⋅+-⋅ ⎪--⎝⎭ 2313R r h R rπ-=⋅- （2）在PAO △中，过点1A 作1AB AO ⊥，B 是垂足， 则在1Rt ABA △中，1AB R r =-=，1A B∴160A AB ∠=︒，∴4PA =，12PA =， 所以，该圆台的表面积221112222S R PA r PA R r ππππ=⋅-⋅++ 22111221122R PA r PA R r πππππ=⋅-⋅++= 14．解：（1）证：设333z a b i =+（3a 、3b R ∈）.左()()()()123112323z z z a b i a a b b i =⊗+=+⊗+++⎡⎤⎣⎦()()123123a a a b b b i =+++()()12131213a a a a bb bb i =+++右121312121313z z z z a a bb i a a bb i =⊗+⊗=+++()()12131213a a a a bb bb i =+++左=右，证毕.（2）因为运算○÷为运算⊗的逆运算，所以1z ○÷2z 的运算结果是关于变量z 的方程21z z z ⊗=的解. 设z x yi =+（x 、y R ∈），则()()2211x yi a b i a bi +⊗+=+，即2211xa yb i a bi +=+.当10a ≠，10b ≠时，解得，21a x a =，21b y b =.∴1122a b z i a b =+， 故，当10a ≠，10b ≠时，1z ○÷11222a b z i a b =+.上海市嘉定区第二学期高二年级数学期末质量调研（满分150分，时间120分钟）一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．抛物线24y x =的焦点坐标为 .2．平面直角坐标系中点)2,1(到直线012=++y x 的距离为 ．3．若复数z 满足(1i)4z -=（i 是虚数单位），则z 的虚部是 .4．世界杯小组赛，从四支队伍中出线两支队伍，则出线队伍共有 种不同的组合．5．侧棱长为3,底面面积为8的正四棱柱的体对角线的长为 .6．双曲线22133x y -=的两条渐近线的夹角大小为 . 7．底面半径和高均为3的圆柱的表面积为 ．8．双曲线221y x m +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = ． 9．已知空间直角坐标系中，某二面角-l-αβ的大小为θ，02πθ<<，半平面α和β的一个法向量分别为1(1,3,0)n =，2(0,2,4)n =，则θ= ．(结果用反三角函数值表示)10．二项式31(2)x x +的展开式中各项系数的和是 ．11．有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是5厘米，高是10厘米，容器内放着49个半径为1厘米的玻璃球，在向容器倒满水后，再把玻璃球全部取出，则此时容器内水面的高度为 厘米．12．已知定点(0,2)P ，点Q 在抛物线24x y =上运动，若复数12z z 、在复平面内分别对应点P Q 、的位置，且12z z z =-，则z 的最小值为 ．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．空间内，异面直线所成角的取值范围是……………………………………（ ）． (A) π(0,)2 (B) π(0,]2(C) π[0,)2 (D) π[0,]214.“14a =”是“直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=相互垂直”的 ……………………………………………………………………………（ ）.（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件15．曲线22:21x xy y Γ-+=的图像………………………………………………( )．(A)关于x 轴对称 (B)关于原点对称，但不关于直线y x =对称(C)关于y 轴对称 (D)关于直线y x =对称，也关于直线y x =-对称16．下列命题中，正确的命题是……………………………………………………( )．(A) 若1z 、2z ∈C ，120z z ->，则12z z >．(B) 若z ∈R ，则2||z z z ⋅=不成立．(C) 12z z ∈C 、，120z z ⋅=，则10z =或20z =．(D) 12z z ∈C 、，22120z z +=，则10z =且20z =．三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知复数2i α=-，i m β=-，m ∈R .（1）若2αβα+<，求实数m 的取值范围；（2）若β是关于x 的方程2100()x nx n -+=∈R 的一个根，求实数m 与n 的值.18.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题7分，第（2）小题7分.如图，长方体1111B ABC A C D D -中，2AB BC ==，直线1A C 与平面ABCD 所成的角的大小为4π． （1）求三棱锥1A A BD -的体积；（2）求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小．19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知4()2n x x +的二项展开式中，第三项的系数为7．（1）求证：前三项系数成等差数列；（2）求出展开式中所有有理项（即x 的指数为整数的项）．20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.已知椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：的左右顶点分别是(2,0)(2,0)A B -，，点1(3,)2在椭圆上．过该椭圆上任意一点P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点C 在QP 的延长线上，且QP PC =．（1）求椭圆Γ的方程；（2）求动点C 的轨迹E 的方程；（3）设直线AC （C 点不同于A B 、）与直线2x =交于R ，D 为线段RB 的中点，证明：直线CD 与曲线E相切．21. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．已知曲线C 上任意一点(,)P x y （其中0x ≥）到定点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离大1.（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）若过点(1,0)F 的直线l 与曲线C 相交于不同的,A B 两点，求OA OB ⋅的值；（3）若曲线C 上不同的两点M 、N 满足0,OM MN ⋅=求ON 的取值范围．第二学期高二期末质量调研数学答案（满分150分，时间120分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考试号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．本试卷共有21道试题，可以使用规定型号计算器．一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1．抛物线24y x =的焦点坐标为 . (1,0)2．平面直角坐标系中点)2,1(到直线012=++y x 的距离为 ．3．若复数z 满足(1i)4z -=（i 是虚数单位），则z 的虚部是 . 24．世界杯小组赛，从四支队伍中出线两支队伍，则出线队伍共有 种不同的组合．246C =5．侧棱长为3,底面面积为8的正四棱柱的体对角线的长为 . 56．双曲线22133x y -=的两条渐近线的夹角大小为 . π2 7．底面半径和高均为3的圆柱的表面积为 ．36π8．双曲线221y x m+=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = ．4- 9．已知空间直角坐标系中，某二面角-l-αβ的大小为θ，02πθ<<，半平面α和β的一个法向量分别为1(1,3,0)n =，2(0,2,4)n =，则θ= ．(结果用反三角函数值表示) 10．二项式31(2)x x+的展开式中各项系数的和是 ．2711．有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是5厘米，高是10厘米，容器内放着49个半径为1厘米的玻璃球，在向容器倒满水后，再把玻璃球全部取出，则此时容器内水面的高度为 厘米．612．已知定点(0,2)P ，点Q 在抛物线24x y =上运动，若复数12z z 、在复平面内分别对应点P Q 、的位置，且12z z z =-，则z 的最小值为 ． 2二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．空间内，异面直线所成角的取值范围是……………………………………（ B ）． (A) π(0,)2(B) π(0,]2(C) π[0,)2(D) π[0,]214.“14a =”是“直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=相互垂直”的 ……………………………………………………………………………（ A ）. （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件15．曲线22:21x xy y Γ-+=的图像………………………………………………( D )．(A)关于x 轴对称 (B)关于原点对称，但不关于直线y x =对称(C)关于y 轴对称 (D)关于直线y x =对称，也关于直线y x =-对称 16．下列命题中，正确的命题是……………………………………………………( C )． (A) 若1z 、2z ∈C ，120z z ->，则12z z >． (B) 若z ∈R ，则2||z z z ⋅=不成立．(C) 12z z ∈C 、，120z z ⋅=，则10z =或20z =．(D) 12z z ∈C 、，22120z z +=，则10z =且20z =．三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知复数2i α=-，i m β=-，m ∈R . （1）若2αβα+<，求实数m 的取值范围；（2）若β是关于x 的方程2100()x nx n -+=∈R 的一个根，求实数m 与n 的值.解: （1）αα==………………………………………………………………2分于是 222i m i m i αβ+=-+-=+-=…………………………4分又2αβα+< ，所以()22425m ++<62m -<<. …………6分所以实数m 的取值范围为(6,2)-. …………………………………………………7分（2）因为m i -（m ∈R ）是方程2100()x nx n -+=∈R 的一个根，m i +（m ∈R ）也是此方程的一个根，…………………………………………9分于是()()()()10m i m i nm i m i ++-=⎧⎪⎨+⋅-=⎪⎩ …………………………………………………11分解得36m n =⎧⎨=⎩ 或36m n =-⎧⎨=-⎩，且满足2()4130,n ∆=--⨯<……………………13分所以36m n =⎧⎨=⎩或36m n =-⎧⎨=-⎩ ……………………………………………………………14分18.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题7分，第（2）小题7分.如图，长方体1111B ABC A C D D -中，2AB BC ==，直线1A C 与平面ABCD 所成的角的大小为4π． （1）求三棱锥1A A BD -的体积；（2）求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小． 解：（1）联结AC ， 因为1AA ABCD ⊥平面，所以1ACA ∠就是直线1A C 与平面ABCD 所成的角，………………………………2分 所以14A CA π∠=，所以122AA =……………………………………………4分所以11114233A BD ABD ABD A A V V S A A --==⋅7分（2）联结1A D ，BD因为11//A B CD ，所以11//AD B C 所以1BA D ∠就是异面直线1A B 与1B C 所成的角或其补角………………………10分在△1BA D 中，2221(23)(23)(22)2cos 322323BA D ∠==⨯⨯所以12arccos3BA D ∠=……………………………………………………………13分 所以异面直线1A B 与1B C 所成角的大小是2arccos 3…………………………………14分19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知4()2n x x+的二项展开式中，第三项的系数为7．（1）求证：前三项系数成等差数列；（2）求出展开式中所有有理项（即x 的指数为整数的项）． 解：（1）322222341()()42n-n nn T C x C x x-==…………………………………2分22172884n n C C n =⇒=⇒=，……………………………………………4分 所以前三项分别为0804184()()2T C x x x==，131714284()()42T C x x x==，52622384()()72T C x x x==……………………………………………………7分所以前三项系数分别为1,4,7，即前三项系数成等差数列……………………8分 （2）348418841()(),0,1,2,,7,822rr rrr r r T C x C x r x --+===……………10分0,4,8r ∴=时，展开式中x 的指数为整数，所以展开式中所有有理项为：0804184()()2T C x x x==、348178T C x x ==、8288211256256T C x x -==……………………………………………………………14分20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.已知椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：的左右顶点分别是(2,0)(2,0)A B -，，点1(3,)2在椭圆上．过该椭圆上任意一点P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点C 在QP 的延长线上，且QP PC =．（1）求椭圆Γ的方程；（2）求动点C 的轨迹E 的方程；（3）设直线AC （C 点不同于A B 、）与直线2x =交于R ，D 为线段RB 的中点，证明：直线CD 与曲线E 相切．解：（1）由题意可知24a =且22311144b b+=⇒=，………………………………2分 所以椭圆方程为1422=+y x ……………………………………………………………4分 （2）设(,)C x y ，则由QP PC =可得1(,)2P x y ， ………………………………6分 又1(,)2P x y 在椭圆1422=+y x 上，可知224x y +=，……………………………9分 所以动点C 的轨迹E 的方程是224x y +=……………………………………………10分 （3）设(,)C m n ，(2,)R t ，由题意可知A C R 、、三点共线，所以AC AR ，因为(2,)AC m n =+，(4,)AR t =，则44(2)2n n t m t m =+⇒=+，即4(2,)2nR m +， …………………………………………………………………………12分2(2,)2n D m +，从而22224CD nn mn m k m m -+==--，又224m n +=， 故224CD mn mn mk m n n===--- :()40CD ml y n x m mx ny n-=--⇒+-= …………………………………14分则圆心到直线CD的距离2d r === …………………………………15分所以直线CD 与曲线E 相切 …………………………………………………………16分21. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．已知曲线C 上任意一点(,)P x y （其中0x ≥）到定点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离大1.（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）若过点(1,0)F 的直线l 与曲线C 相交于不同的,A B 两点，求OA OB ⋅的值； （3）若曲线C 上不同的两点M 、N 满足0,OM MN ⋅=求ON 的取值范围．解：（1）依题意知，动点P 到定点F (1,0)的距离等于P 到直线1x =-的距离，曲线C 是以原点为顶点，F (1,0)为焦点的抛物线………2分∵12p= ∴2p = ∴ 曲线C 方程是24y x =…………………4分 （2）当l 平行于y 轴时，其方程为1x =，由214x y x =⎧⎨=⎩解得(1,2)A 、(1,2)B -此时=14=3OA OB ⋅--…………………………………………………6分当l 不平行于y 轴时，设其斜率为k ， 则由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩ 得2222(24)0k x k x k -++= 设1122(,),(,)A x y B x y 则有121x x =，212224+k x x k +=……………………8分∴12121212==(1)(1)OA OB x x y y x x k x k x ⋅++--2221212(1)()k x x k x x k =+-++ 2222224=1+143k k k k k +-⋅+=-=-……………………………10分 （3）设221212(,),(,)44y y M y N y∴222121121(,),(,)44y y y OM y MN y y -==- ………………………………12分 ∵0OM MN ⋅=∴0)(16)(121212221=-+-y y y y y y ∵0,121≠≠y y y ，化简得)16(112y y y +-=………………………………14分∴6432256232256212122=+≥++=y y y ……………………………………14分当且仅当 4,16,2561212121±===y y y y 时等号成立………………………………16分∵22||(64y ON y ==≥∴当222min 64,8||85||y y ON ON ==±=，，故的取值范围是),58[+∞………18分上海市高二下学期期末数学测试卷一、填空题1．已知复数12z i =-，则z =______.2．()()21m i mi ++是实数，则实数m =______.3．若,a b R ∈，且()a i i b i +=+，则a b +=______.4．直线1:10l x y -+=与直线2:50l x y -+=之间的距离是______. 5．若复数z 同时满足2z z i -=，z iz =，则z =______.6．若抛物线24y x =上一点M 到焦点的距离等于2，则M 到坐标原点O 的距离等于______. 7．若方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则实数m 的取值范围是______. 8．过点()3,2P -且与直线210x y ++=垂直的直线方程是______.9．已知点)M，椭圆2214x y +=与直线(y k x =+交于,A B ，则ABM △的周长为______.10．设()1,2A ，()3,1B -，若直线2y kx =-与线段AB 有公共点，则实数k 的取值范围是______.11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，若1F A AB =，120F B F B ∈=，则C 的渐近线方程为______. 12．曲线C 是平面内与两个定点()11,0F -和()21,0F 的距离的积等于常数()21aa >的点的轨.给出下列四个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则122PF PF a +<；④若点P 在曲线C 上，则12F PF △的面积212S a ≤.其中，所有正确的序号是______. 二、选择题13．已知直角坐标系xOy 平面上的直线1x ya b+=经过第一、第二和第四象限，则,a b 满足（ ） A ．0,0a b >> B ．0a >，0b < C ．0a <，0b <D ．0a <，0b <14．复数(),z a bi a b R =+∈，()m z z b =+，n z z =⋅，2p z =，则（ ）A ．m 、n 、p 三数都不能比较大小B ．m 、n 、p 三数的大小关系不能确定C ．m n p ≤=D ．m n p ≥=15．设复数()0,0z a bi a b =+>≠是实系数方程20x px q ++=的根，又3z 为实数，则点(),p q 的轨迹在一条曲线上，这条曲线是（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线16．已知a ，b ，c 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+=，则a b -的最小值是（ ）A 1B 1C ．2D ．2三、解答题17．设,αβ分别是方程220x x a ++=()a R ∈的两个虚数根.（1）求a 的取值范围及αβ+的值；（2）若4αβ-=，求a 的值.18．已知ABC △的三个顶点(),A m n 、()2,1B 、()2,3C -. （1）求BC 的边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且ABC △的面积为7，求点A 的坐标. 19．已知直线:l y x m =+，m R ∈.（1）若以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； （2）若直线l 与抛物线2:4C x y =有且仅有一个公共点，求m 的取值范围.20．已知椭圆222:1x C y m+=（常数1m >），点P 是C 上的动点，M 是右顶点，定点A 的坐标为()2,0.（1）若M 与A 重合，求C 的焦点坐标； （2）若3m =，求PA 的最大值与最小值； （3）若PA 的最小值为MA ，求m 的取值范围.21．已知直线1:l y x =及直线2:l y x =-.平面上动点(),A x y ，且x y >，记M 到直线1l 、2l 的距离分别为1d 、2d ，满足：()21202a d d a ⋅=>.（1）求动点M 的轨迹Γ的方程；（2）若直线l 的方向向量为()1,2，过),0的直线l 与曲线Γ交于A 、B 两点，问以AB 为直径的圆是否恰过原点O ？若是，求a 的值；若不是，判断原点在圆内还是圆外，并说明理由？（3）若过原点O 作斜率为k 的直线l 交曲线Γ于M 、N 两点，设()0,1P ，求PMN △的面积S 关于k 的函数解析式，并求S 的取值范围.参考答案一、填空题1 2．1- 3．04．5．1o -+67．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭8．270x y --=9．810．[){}4,1+∞-11．y =12．②④二、选择题13．A 14．C 15．D 16．B 三、解答题17．（1）1a >，（2）518．（1）240x y +-=；（2）()3,0-或()3,419．（1）()2228x y -+=；（2）1m =-20．（1）()；（2）2，5；（3）11m <≤21．（1）222x y a -=；（2）圆外；（3）[),a +∞.。
上海市高二下学期期末考试数学试题(共3套,含答案)
高二下学期期末考试数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分 ）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.过点)2,1(、)6,3(的直线的斜率为______________．2.若i 是虚数单位，复数z 满足5)43(=-z i ,则z 的虚部为_________．3.正四面体ABC S -的所有棱长都为2，则它的体积为________．4.以)2,1(-为圆心且过原点的圆的方程为_____________．5.从一副52张扑克牌中第一张抽到“Q ”，重新放回，第二张抽到一张有人头的牌，则这两个事件都发生的概率为________．6.已知圆锥的高与底面半径相等，则它的侧面积与底面积的比为________．7.正方体1111D C B A ABCD -中，二面角111C D A B --的大小为__________．8.双曲线1422=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于_________． 9.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为9,11,10,,y x .已知这组数据的平均数为10，方差为2，则=-||y x __________．10.在长方体1111D C B A ABCD -中，已知36,91==BC AA ，N 为BC 的中点，则直线11C D 与平面N B A 11的距离是___________．11.棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -的8个顶点都在球面O 的表面上，E 、F 分别是棱1AA 、1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为________．12.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外 科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________．(用数字作答)13.在棱长为1的正方体盒子里有一只苍蝇，苍蝇为了缓解它的无聊，决定要考察这个盒子的每一个角，它从一个角出发并回到原处，并且每个角恰好经过一次，为了从一个角到另一个角，它或直线飞行，或者直线爬行，苍蝇的路径最长是____________．（苍蝇的体积不计）14.设焦点是)5,0(1-F 、)5,0(2F 的双曲线C 在第一象限内的部分记为曲线T ，若点ΛΛ),,(),,2(),,1(2211n n y n P y P y P 都在曲线T 上，记点),(n n y n P到直线02:=+-k y x l 的距离为),2,1(Λ=n d n ,又已知5lim =∞→n n d ，则常数=k ___________． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（ ）平方米.A ．32424-πB ．33636-πC ．32436-πD ．33648-π第15题图16.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50),[50,60),[60,70), [70,80),[80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）A ．588B ．480C ．450D ．12017.使得*)()13(N n x x x n ∈+的展开式中含有常数项的最小的n 为 （ ） A ．4B ．5C ．6D ．7 18.若直线m x y l +-=2:与曲线|4|21:2x y C -=有且仅有三个交点，则m 的取值范围是（） A ．)12,12(+- B ．)2,1( C ．)12,1(+ D ．)12,2(+三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．19.（12分）求8)32(xx +的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.20.（14分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者从装有3个红球、1 个蓝球、6奖如下:奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额一等奖 3红1蓝 200元二等奖 3红1白 50元三等奖 2红1蓝或2红2白 10元(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望()E X .21.（14分）已知椭圆13422=+y x 上存在两点A 、B 关于直线m x y +=4对称，求m 的取值范围.22.（16分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中, 侧棱⊥A A 1底面ABCD ，AD AB DC AB ⊥,//， 1==CD AD ，21==AB AA ，E 为棱1AA 的中点.(1) 证明：CE C B ⊥11；(2) 设点M 在线段E C 1上, 且直线AM 与平面11A ADD 所成角的正弦值为62, 求线段AM 的长.23.（18分）下图是利用计算机作图软件在直角坐标平面xOy 上绘制的一列抛物线和一列直线，在焦点为n F 的抛物线列x p y C n n 4:2=中，n p 是首项和公比都为)10(<<p p 的等比数列，过n F 作斜率2的直线n l 与n C 相交于n A 和n B （n A 在x 轴的上方，n B 在x 轴的下方）.（1）证明：n OA 的斜率是定值；（2）求1A 、2A 、Λ、n A 、Λ所在直线的方程；（3）记n n OB A ∆的面积为n S ，证明：数列}{n S 是等比数列，并求所有这些三角形的面积的和.第22题图 E D 1 C 1 B 1 A 1 D C B A金山中学第二学期高二年级数学学科期末考试卷参考答案19.（12分）解：4485)32)((xx C T =， 所以二项式系数为7048=C ，系数为811120. 20.（14分）解：（1）214103713=C C C ； X0 10 50 200 P(X) 4231 358 351 2101 321020035503510420)(=⋅+⋅+⋅+⋅=X E . 21.（14分）解：设直线AB 方程为b x y +-=4，联立 ⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,4,124322b x y y x 得,0481681322=-+-b bx x 从而,138b x x B A =+ ,13242)(41b b x x y y B A B A =++-=+ 则B A ,中点是)1312,134(b b ，则,013121344=+-⋅m b b 解得.134b m -= 由0481681322=-+-b bx x 有实数解得,0)4816(526422≥--=∆b b 即.4132≤b 于是.413)413(2≤-m 则m 的取值范围是.1313213132≤≤-m23.（18分）解：（1）由已知得n n p p =，抛物线焦点)0,(n n p F ，抛物线方程为x p y n 42=，直线n l 的方程为).(2np x y -=于是，抛物线n C 与直线n l 在x 轴上方的交点),(11y x A n 的坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧-==),(2,411121n n p x y x p y 则有,042211121=-+x y x y而直线n OA 的斜率为11x y k n OA =，则,042112=-+OA OA k k 解得,51±-=n OA k 又,0>k 点n A 在第一象限，则51+-=n OA k ；（2）直线方程为x y )51(+-=；（3）由⎪⎩⎪⎨⎧-==),(2,42n n p x y x p y 得,04222=--n n p y p y 则n p AB 10||=， 而O 到直线n l 的距离为52np ，于是n n OB A ∆的面积n n p S 252=，所以数列}{n S 是以252p 为首项，2p 为公比的等比数列.由于10<<p ， 所以所有三角形面积和为22152pp -.高二下学期期末考试数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分 ）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.过点)2,1(、)6,3(的直线的斜率为______________．2.若i 是虚数单位，复数z 满足5)43(=-z i ,则z 的虚部为_________．3.正四面体ABC S -的所有棱长都为2，则它的体积为________．4.以)2,1(-为圆心且过原点的圆的方程为_____________．5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为__________．6.已知圆锥的高与底面半径相等，则它的侧面积与底面积的比为________．7.正方体1111D C B A ABCD -中，二面角111C D A B --的大小为__________． 8.双曲线1422=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于_________． 9.已知球的半径为1，A 、B 是球面上两点，线段AB 的长度为3，则A 、B 两点的球面距离为 ________．10.在长方体1111D C B A ABCD -中，已知36,91==BC AA ，N 为BC 的中点，则直线11C D 与 平面N B A 11的距离是___________．11.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派6人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________(用数字作答)．12. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为_________________．13.设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--,032,042,02y y x y x 则y x z -=2的最大值为____________.14.在棱长为1的正方体盒子里有一只苍蝇，苍蝇为了缓解它的无聊，决定要考察这个盒子的每一 个角，它从一个角出发并回到原处，并且每个角恰好经过一次，为了从一个角到另一个角，它或直 线飞行，或者直线爬行，苍蝇的路径最长是____________．（苍蝇的体积不计）二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编 号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.在正方体1111D C B A ABCD -中，任取两条棱，则这两条棱为异面直线的概率为（ ）A ．112B ．114C ．116D ．11816.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50),[50,60),[60,70), [70,80),[80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）A ．588B ．480C ．450D ．12017.=++-+++-+1)1(4)1(6)1(4)1(234x x x x （ ）A ．4xB ．4x -C ．1D ．1- 18.若直线m x y l +-=2:与曲线|4|21:2x y C -=有且仅有三个交点，则m 的取值范围是（） A ．)12,12(+- B ．)2,1( C ．)12,1(+ D ．)12,2(+三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．19.（12分）求8)32(xx +的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.20.（14分）求半径为10，且与直线07034=-+y x 相切于)10,10(的圆的方程.21.（14分）已知椭圆13422=+y x 上存在两点A 、B 关于直线m x y +=4对称，求m 的取值范围.22.（16分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中, 侧棱⊥A A 1底面ABCD ，AD AB DC AB ⊥,//， 1==CD AD ，21==AB AA ，E 为棱1AA 的中点.(1) 证明：CE C B ⊥11；(2) 求异面直线E C 1与AD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）24.（18分）下图是利用计算机作图软件在直角坐标平面xOy 上绘制的一列抛物线和一列直线，在焦点为n F 的抛物线列x p y C n n 4:2=中，n p 是首项和公比都为)10(<<p p 的等比数列，过n F 作斜率2的直线n l 与n C 相交于n A 和n B （n A 在x 轴的上方，n B 在x 轴的下方）.（4）证明：n OA 的斜率是定值；（5）求1A 、2A 、Λ、n A 、Λ所在直线的方程；（6）记n n OB A ∆的面积为n S ，证明：数列}{n S 是等比数列，并求所有这些三角形的面积的和.第23题图第二学期高二年级数学学科期末考试卷参考答案19.（12分）解：4485)32)((x x C T =， 所以二项式系数为7048=C ，系数为811120.22.（14分）解：设直线AB 方程为b x y +-=4，联立 ⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,4,124322b x y y x 得,0481681322=-+-b bx x 从而,138b x x B A =+ ,13242)(41b b x x y y B A B A =++-=+则B A ,中点是)1312,134(b b， 则,013121344=+-⋅m b b 解得.134b m -= 由0481681322=-+-b bx x 有实数解得,0)4816(526422≥--=∆b b 即.4132≤b 于是.413)413(2≤-m 则m 的取值范围是.1313213132≤≤-m24.（18分）解：（1）由已知得n n p p =，抛物线焦点)0,(n n p F ，抛物线方程为x p y n42=，直线n l 的方程为).(2np x y -=于是，抛物线n C 与直线n l 在x 轴上方的交点),(11y x A n 的坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧-==),(2,411121nnp x y x p y 则有,042211121=-+x y x y 而直线n OA 的斜率为11x y k n OA =，则,042112=-+OA OA k k 解得,51±-=n OA k 又,0>k 点n A 在第一象限，则51+-=n OA k ； （4）直线方程为x y )51(+-=；（5）由⎪⎩⎪⎨⎧-==),(2,42nn p x y x p y 得,04222=--n n p y p y 则np AB 10||=，而O 到直线n l 的距离为52np ，于是n n OB A ∆的面积nn pS 252=，所以数列}{n S 是以252p 为首项，2p 为公比的等比数列.由于10<<p ，所以所有三角形面积和为22152pp -.上海市高二年级第二学期数学学科期终考试试卷（注意事项：本试卷共2页，满分100分，答题时间90分钟。
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高二（下）数学期末复习
一．填空题：
1．计算：2(12)(32)1i i i +-+
+＝ 8＋3i ． 2．ϑ∈(π，2
3π)，直线l ：ϑsin x ＋ϑcos y ＋1＝0的倾角α＝ 2π－ϑ ． 3. 与两平行直线1l ：3x －y ＋9＝0与2l ：3x －y －3＝0等距离的直线方程 为： 3x －y ＋3＝0 ．
4．在复平面上，满足条件2＜|z |≤4的复数z 所对应的点Z 组成的图形的面积是 12π ．
5．一条渐近线方程3x ＋4y ＝0，且经过点是(4，6)的双曲线标准方程是27
2
y －482x ＝1． 6．与直线y ＝x ＋1平行，被椭圆2244x y +=截得的弦长为2的直线l 的方程
是： y ＝x ±
455 ． 7．若|i
a ai 222+-|＝2，则实数a 的值是： ±3 ． 8．已知复数1z ＝3＋4i ，2z ＝t ＋i ，且21z z ⋅是实数，则实数t 等于 34
． 9．直线a ∥平面α，直线b ⊂平面α，则a 、b 的位置关系是 平行或异面 ．
10．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，若EF ＝3，则AD 、BC 所成角为 60o ．
11．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AA 1和BB 1的中点，则异面直线C 1M 与DN 所成角的大小为 9
1
arccos ． 12．已知命题：椭圆252x ＋92y ＝1与双曲线112x －5
2
y ＝1的焦距相等．试将此命题推广到一般情形，使已知命题成为推广后命题的一个特例：
椭圆22a x ＋22b y ＝1与双曲线22c x －22
d
y ＝1)(2222d c b a +=-的焦距相等 ． 二．选择题：
13．设M 、N 是空间四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点，则下列答案中正确的是（ B ）
（A ）MN ＝
(21AB ＋CD )； （B ）MN ＜(2
1AB ＋CD )； （C ）MN ＞(21AB ＋CD )； （D ）MN 与(21AB ＋CD )的大小关系不确定． 14．命题甲：“双曲线C 的方程为22a x －22
b
y ＝1(a ＞0，b ＞0)”，命题乙：“双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x a
b ”，那么甲是乙的（ A ） （A ）充分不必要条件；（B ）必要不充分条件；（C ）充要条件；（D ）非充分非必要条件．
15．设1z ，2z 为复数，则下列四个结论中正确的是（ D ）
（A ）若22120z z +>，则2212z z >-； （B ）若22120z z +=，则120z z ==；
（C ）12z z -= （D ）11z z -是纯虚数或零．
16．在实数集R 上定义运算⊕：y y x y x -++=⊕1222，则满足x y y x ⊕=⊕的实数对)(y x ，在平面直角坐标系内对应点的轨迹是（ D ）
（A ）一个圆； （B ）双曲线； （C ）一条直线； （D ）两条直线．
三．解答题：
17．已知z 、ω为复数，(13)i z +为实数，ω＝
i z +2，且|ω|＝52，求复数ω． 解：设ω＝x ＋yi （x ，y ∈R ），ω＝i
z +2⇒z ＝ω)2(i +． (13)i z +＝ω)2)(31(i i ++＝))(71(yi x i ++-＝－x －7y ＋i y x )7(-，
依题意(13)i z +为实数，且|ω|＝52，
∴227050x y x y -=⎧⎨+=⎩
，解之得17x y =⎧⎨=⎩或17x y =-⎧⎨=-⎩，∴ω＝1＋7i 或ω＝－1－7i ．
18．已知1z 、2z 是实系数一元二次方程2x ＋px ＋q ＝0的两个虚根，且1z 、2z 满足方程21z ＋2)1(z i -＝
i i ++-182，求p 、q 的值． 解：i
i ++-182＝3＋5i ． 设1z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ），则2z ＝a －bi ．
代入并化简得：(3a －b )＋i a b )(-＝3＋5i ，解得49a b ⎧=⎨
=⎩． ∴p ＝－(1z ＋2z )＝－2a ＝－8，q ＝21z z ⋅＝2a ＋2b ＝97．
19．已知动圆过定点F (21，0)，且与定直线l ：x ＝－2
1相切． （1）求动圆圆心M 的轨迹方程；
（2）设点O 为坐标原点， P 、Q 两点在动点M 的轨迹上，且满足OP ⊥OQ ，OP ＝OQ ，求
等腰直角三角形POQ 的面积．
解：（1）根据抛物线定义可得动圆圆心M 的轨迹方程为2y ＝2x ；
（2）因为OP ⊥OQ ，设直线OP 的方程为y ＝kx ，则直线OQ 的方程为y ＝－
x k 1， 解得点P 、Q 的坐标分别为(
22k ，k 2)，(22k ，23k )． 由OP ＝OQ ，得：24k ＋44k
＝44k ＋46k ，8k ＝1， 可得点P 、Q 坐标分别为(2，2)，(2，－2)．
∴POQ S ＝2||2
1OP ＝4．
20．如图：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝6，AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1和BC 的中点．求：
（1）A 1B 与B 1C 所成的角；
（2）MN 与AC 所成的角；
（3）MN 与平面ABCD 所成的角．
解：（1）10
2arccos ； （2）13
132arctan ； （3）13132arctan
．。