讲义6——整数与整除

数？
【思考】 一个数，它最大的因数是 ，最小的倍数是 。 倍数与因数是两个数的相互关系，单独一个数不能说成倍数或因数。
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【知识点 3】 奇数和偶数：能被 2 整除的数叫做偶数，不能被 2 整除的数叫做奇数． 【探究】 写出能被 2 整除的数：
写出能被 5 整除的数： 总结： 能被 2、5 整除的数的特征：个位上是 0，2，4，6，8 的数都能被 2 整除． 个位上是 0 或者 5 的数都能被 5 整除． 【拓展】 能被 3 整除的数的特征：各个位上的数字之和是 3 的整数倍 例如：12 312 459 123456 .............. [兴趣探究] 试证明：能被 3 整除的三位数各数位上数的和能被 3 整除。
易错点： (1)除数、被除数都是整数；
(2)被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
12÷6=2 18÷2=9 25÷5=5 125÷5=25 144÷12=12 ......... 2、自然数和整数
零和正整数统称为自然数． 0 1 2 3 4 .........
正整数．零和负整数统称为整数. ....-3 -2 -1 0 1 2 3 .....
【拓展题 1】 三个连续自然数的和是 306，求这三个自然数。
【知识点 2】因数和倍数： 整数 a 能被整数 b 整除， a 就叫做 b 的倍数， b 就叫做 a 的因数(也称为约 数)
【典型例题 2】写出 18 的因数。 解：18÷1=18 18÷2=9 18÷3=6 18÷6=3 18÷9=2 18÷18=1 18 的因数：1、2、3、6、9、18 或 18=1×18=2×9=3×6 18 的因数：1、18、2、9、3、6 【变式】写出 20 以内 3 的倍数。 解：3×1=3 3×2=6 3×3=9 3×4=12 3×5=15 3×6=18 20 以内 3 的倍数：3、6、9、12、15、18 【基本习题限时训练 2】
【基本习题限时训练 1】 1、 下列算式中表示整除的算式是（ ）
（A）9÷18＝0.5 （B）6÷2＝3 （C）15÷4＝3……3 （D）0.9÷0.3＝3 2、 下列各组数中，均为自然数的是（ ）
（A） 1.1，1.2，1.3 （B）-1，-2，-3 （C） 2 ， 3 ， 4 （D） 2，4，6
【典型例题 3】用 0、1、5、6 四个数字，按要求排成没有重复数字的四位 数：
（1）能被 2 整除，但不能被 5 整除。 分析：个位上是 0，2，4，6，8 的数都能被 2 整除．个位上是 0 或者 5 的数 都能被 5 整除． 于是，本题的个位上只能是 6. 这样的四位数有：1506 1056 5106 5016 （2）能被 5 整除，但不能被 2 整除。
1、 下列说法正确的是 （ ） （A）1 没有因数，也没有倍数 （B）一个整数的因数的个数有限 (C) 一个整数的倍数的个数有限 （D）6 的因数只有 2 和 3
2、 在 80 以内，24 的因数和倍数分别有（ ） （A）2，3，4，6，8，12；48，72 （B）2，3，4，6，8，12，48，72 （C）1，2，3，4，6，8，12，24，48，72 （D）1，2，3，4，6，8，12，24; 24，48，72 3、24 的因数有（ ）个。 （A）6 （B）只有 1 和本身 （C）无数多个 （D）8
（3）既能被 2 整除，又能被 5 整除。
【基本习题限时训练 3】
1、20 以内的自然数中，奇数共有（ ）
（A）7 个 （B）8 个 （C）9 个 （D）10 个
2、下列说法正确的是（ ）
（A）奇数不可能被 2 整除
（B）5 不可能整除偶数
（C）25.5 的末位数是 5，故它能被 5 整除
（D）0.4÷2＝0.2，没有余数，所以 0.4 是偶数
4、100 以内(不包括 100)5 的倍数有（ ）个。
（A）10
（B）18
（C）19
（D）20
5、一个数既是 30 的倍数，又是 120 的因数。下列说法中，正确的是（ ）。
（A）这样的数只有一个 （B）这样的数有限个。
（C）这样的数有无数多个
（D）这样的数不存在
6、能被 48 整除的数一定是下列（ ）的倍数。
★★★除尽：在整数或小数除法中，如果商是整数或有限小数，则叫做能
够除尽。 【典型例题 1】 试证明“三个连续的正整数之和能被 3 整除”。
分析：三个连续的正整数，怎样表示呢？什么是整除呢？ 解：我们设中间数为 a，a 为大于 1 的正整数，紧邻它而比它小的正整数可
以表示为 a-1，紧邻它而比它大的正整数可以表示为 a+1， 因为 a+(a-1）+（a+1)=3a, 3a÷3=a. 所以三个连续的正整数之和能被 3 整除。 【变式】 试证明“三个连续的偶数之和能被 3 整除”。
（A）18 （B）24
（C）36
（D）96
7、正整数 a 既是甲的倍数，又是乙的因数。下列说法中，正确的是（ ）。
（A）甲乙两数大小相等 （B）甲小于乙
（C）甲是乙的因数 （D）乙是甲的因数
8、填空：50 以内 7 的倍数有
9、对于任意整数 m，有没有最大或最小的因数，如果有，它们各是什么
讲义课题 教学目标
整数与整除
重点：整数和整除的意义、因数和倍数、能被 2、5 整 除的数的特征
难点：熟练运用知识解题 教学关键：讲练结合，巩固基础，提高能力
教学内容
教学过程：
【知识点 1】
1、整数和整除的意义
整数 a 除以整数 b ，如果除得的商是整数而余数为零，就说 a 能被 b 整除；
或者说 b 能整除 a 。
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3、 下列说法正确的是…………………………………………… （ ） （A）最小的整数是 0 （B）最小的正整数是 1
（C）没有最大的负整数 （D）最小的自然数是 1 4、 判断：
（1）零是整数，但不是自然数； （2）-1 是最大的负整数； （3） 32 4 8 ，则 4 能被 32 整除； （4）整数中没有最大的数，也没有最小的数。 5、13、24、57、88 四个数中能被 2 整除的数有哪几个？ 6、正整数 36 能被正整数 a 整除，写出所有符合条件的正整数 a 。