2019年天津大学生数学竞赛(免费)精品文档10页

2011年 天津市大学数

学竞赛试题

(理工类)

一. 填空题（本题15分，每小题3分）: 1. 设()f x 是连续函数, 且0()lim

41cos x f x x →=-, 则01

()lim 1x x

f x x →⎛

⎫+= ⎪⎝⎭

2e .

2. 设223

()2

x f x ax b x +=

++- , 若 lim ()0,x f x →∞= 则 a =2,- b =4.-

3.

1e ln d x x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭

⎰ e ln .x

x C + 4. 设(,)f x y 是连续函数, 且(,)(,)d d ,D

f x y xy f x y x y =+

⎰⎰

其中D 由x 轴、y

轴以及直线1x y +=围成, 则(,)f x y =1

.12

xy +

5. 椭球面22221x y z ++=平行于平面20x y z -+=的切平面方程为

和 二. 选择题（本题15分，每小题3分）: 1. 设()(2)ln(1),f x x x =+- 则()f x 在0x =处

(A) (0)2f '=-, (B) (0)0f '=, (C) (0)2f '=, (D)

不可导.

答: (A)

2. 设函数()y f x =具有二阶导数, 且满足方程sin e 0.x y y '''+-=已知

0()0,f x '=则

(A) ()f x 在0x 的某个邻域中单调增加, (B) ()f x 在0x 的某个邻

域中单调增少,

(C) ()f x 在0x 处取得极小值, (D)

()f x 在0x 处取得极大值.

答: ( C)

3. 图中曲线段的方程为()y f x =, 函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数, 则积分 0()d a

x f x x '⎰表示

(A) 直角三角形AOB 的面积, (B)

, (C) 曲边三角形AOB 的面积, (D) . 答: (D)

4. 设在区间 [,]a b 上的函数()0,f x > 且 ()0,f x '< ()0.f x ''> 令

1()d ,b

a S f x x =⎰ 2()(),S f

b b a =- 31

[()()](),2

S f a f b b a =+- 则

(A) 123,S S S << (B) 312,S S S << (C) 213,S S S << (D) 231.S S S <<

答: (C )

5. 设 曲面22{(,,)|,01},x y z z x y z ∑==+≤≤取上侧为正, 1∑是 ∑在

0x ≥的部分, 则曲面积分

(A)

d d 0,x y z ∑

=⎰⎰ (B)

1

d d 2d d .z x y z x y ∑

∑=⎰⎰

⎰⎰

(C) 1

22d d 2d d ,y y z y y z ∑∑=⎰⎰⎰⎰ (D) 1

22d d 2d d ,x y z x y z ∑∑=⎰⎰⎰⎰

答: (B)

三. (6分) 设函数 ()2

02[(1)()d ]d 0sin 00x

t t u u t ,x ,f x x

,

x .

ϕ⎧-⎪≠=⎨

⎪=⎩⎰⎰ 其中函数ϕ处处连续. 讨论()f x 在0x =处的连续性及可导性.

解 2

2

2

[(1)()d ]d (1)()d lim ()lim

lim

2x x x x t x t u u t

x u u

f x x

x

ϕϕ→→→--==⎰⎰⎰

2

2

()d ()d lim

lim

22x x x x x u u

u u

x

x

ϕϕ→→=-⎰⎰

202()

0lim

0(0)2

x x x f ϕ→⋅=-== 因此, ()f x 在0x =处连续.

x

200

300[(1)()d ]d ()(0)lim lim x

x x t t u u t f x f x x

ϕ→→--=⎰⎰ 2

020(1)()d lim 3x x x u u x ϕ→-=⎰

2

2

00

2200()d ()d 11lim lim 33x x x x x u u u u x x ϕϕ→→=-⎰⎰ 1(0)3

ϕ=- 因此, ()f x 在0x =处可导, 且 1

(0)(0).

3f ϕ'=-

四. (6分) 设函数()x x t =由方程cos 0t x x +=确定, 又函数()y y x =由方程

2e 1y xy --=确定, 求复合函数(())y y x t =的导数

d d .t y

t

=

解 方程cos 0t x x +=两边对t 求导

d d cos sin 0.d d x x

x t x t t -⋅+=

当 t=0时, x=0, 故

00

d cos 1.d sin 1t t x x x

t t x ====--=

方程2

e 1y xy --= 两边对x 求导 2d d e 0.d d y y y y x x x

-⋅--⋅= 当 0x =时,2,y = 故

02

2

d 2.d e

x y y x y

y x

x

==-==-=

因此,

00

d d d .d d d 2t x t y y x

t x

t ====⋅

=- 五. (6分) 设函数()f x 在(,)-∞+∞上二阶可导，且0

()

lim

0x f x x

→=，记10

()()x f xt dt ϕ'=⎰，求)(x ϕ的导数，并讨论)(x ϕ'在0x =处的连续性.

解 由已知的极限知(0)0,(0)0,f f '== 从而有 1

0(0)(0)d 0.f t ϕ'==⎰

当 0x ≠时, 1

10

0011()

()()()d()()d ,x f x x f x t dt f x t x t f u u x x x ϕ'''==

==⎰⎰⎰

从而有