数值逼近答案以及试题
数值计算方法试题及答案 经过订正
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ 11 ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（)0,22(-)22,0(）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( 3 )，b =（ 3 ），c =（ 1 ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( 1 )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f和=∆07f 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 5 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 9 。
7、{}∞=0)(k k x ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 0 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是2 阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
数值分析试题及答案汇总
数值分析试题一、 填空题（2 0×2′）1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有 2 位有效数字。
2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ，f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。
3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____，‖AX ‖∞≤_15_ __。
4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。
6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。
7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=ni i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。
8. 要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4 位有效数字。
9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。
10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。
11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。
12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。
最新数值分析整理版试题及答案
例1、 已知函数表求f (x)的Lagrang 「次插值多项式和Newtor 二次插值多项式。
解：(1)由题可知插值基函数分别为故所求二次拉格朗日插值多项式为k 03 1 x 1 x 20 1x 1 x 26 2 14 , ,X 1 x 2x 1 x 1 235 2 3 7X X —623(2) —阶均差、二阶均差分别为均差表为精品文档f X 0,X! f X 0 f Xif X 1,X 2 X 0 X 1 x 1 f x 2x 1 x 2 f X 0，X!，X 2f X 0,X 1 f X 1,X 2X 0 X 2l o (x)x X] x x 2 X oXiX o X 2l 1(x)X x 0 X x 2 Xi X o Xi X 2 x 1 x 2 1112l 2(X )X x 0 x x 1 x 2 x 0 x 2 x 1L 2(x) ykh x故所求Newton^次插值多项式为P2 x f X。
f X0, X1 x X0 f X0,X1,X2 X X0 X Xic 3 ‘ 5 ‘13 - x 1 X 1 X2 65 2 3 7x x —6 2 3例2、设f(x) x23x 2，x ［0,1］，试求f(x)在［0, 1］上关于(x) 1，的最佳平方逼近多项式。
解:若span1,x，贝U 0(x) 1，1(x) x，且(x) 1，这样，有所以，法方程为再回代解该方程，得到印4 , a o 口6故，所求最佳平方逼近多项式为S；(x) 114x6例3、设 f (x) e x，x ［0,1］，试求 f (x)在［0, 1］上关于(x) 1，平方逼近多项式。
解：spa n 1,xdxdx2XXxd23一62X3dx丄2 a oa i 236，经过消元得942312a oa1span 1,x的最佳span 1,x，则o(x) 1，1(x) x，这样，有解法方程，得到 a 0 0.8732 , a 1 1.6902 , 故，所求最佳平方逼近多项式为S ；(x) 0.8732 1.6902X例4、 用n 4的复合梯形和复合辛普森公式计算积分：xdx解：(1)用n 4的复合梯形公式 由于h 2， f xx ， x k1 2k k 1,2,3，所以，有<xdx T 4h 3[f 1 2 f X kf 9] 2 k 1-[1 2 35• 79]217.2277(2)用n 4的复合辛普森公式 由于 h 2， f x 、x ， x<1 2k k1,11dx0 1x 2dx1 31xdx所以，2 1 3e x dx0 1xe x dx法方程为 1.71831.7183 11,2,3 ， x 1 k 一2 2k k 0,1,2,3，所以，有1 .xdx S 4-[f314 f X1 6k 0k 21 3[1 42.4617.332132 f X kf 9 ]k 18 2,3 ,5 ,73]例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。
数值分析题库答案(含详细解题步骤)
第 1 页/共 22 页1. 正方形的边长大约为100cm ，应怎样测量才干使面积误差不超过1cm 22. 已测得某场地长l 的值为110=*l m ，宽d 的值为80=*d m ，已知 2.0≤-*l l m,1.0≤-*d d m, 试求面积ld s =的绝对误差限与相对误差限.3.为使π的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？4.设x的相对误差界为δ，求n x的相对误差界.5.设有3个近似数a=2.31，b=1.93，c=2.24，它们都有3位有效数字，试计算p=a+bc的误差界和相对误差界，并问p的计算结果能有几位有效数字？第 3 页/共 22 页6. 已知333487.034.0sin ,314567.032.0sin ==，请用线性插值计算3367.0sin 的值，并预计截断误差.7. 已知sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487, sin0.36= 0.352274,用抛物插值计算sin0.3367的值, 并预计误差.8. 已知16243sin ,sin πππ===请用抛物插值求sin50的值,并预计误差9. . .6,8,7,4,1)(,5,4,3,2,1求四次牛顿插值多项式时设当==i i x f x第 5 页/共 22 页10. 已知4)2(,3)1(,0)1(=-=-=f f f ， 求函数)(x f 过这3点的2次牛顿插 值多项式.11. 设x x f =)(，并已知483240.1)2.2(,449138.1)1.2(,414214.1)0.2(===f f f ，试用二次牛顿插值多项式计算(2.15)f 的近似值，并研究其误差12. 设],[)(b a x f 在上有四阶延续导数，试求满意条件)2,1,0()()(==i x f x P i i 及)()(11x f x P '='的插值多项式及其余项表达式.13. 给定3201219(),,1,,44f x x x x x ====试求()f x 在1944⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的三次埃尔米特插值多项式()P x ,使它满意11()()(0,1,2),()(),i i P x f x i P x f x ''===并写出余项第 7 页/共 22 页表达式.14. 设],1,0[,23)(2∈++=x x x x f 试求)(x f 在]1,0[上关于,,1{,1)(x span x =Φ=ρ}2x 的最佳平方逼近多项式15.已知实验数据如下：用最小二乘法求形如y=a+bx2的拟合曲线，并计算均方误差.16.已知数据表如下第 9 页/共 22 页x i 1 2 3 4 5 y iωi4 4.56 8 8.5 2 1 3 1 1试用最小二乘法求多项式曲线与此数据组拟合17. .1)(},1{span ,1]41[)(的最佳平方逼近多项式中的关于上的在在求==Φ=x x x x f ρ18. 决定求积公式⎰++≈10110)1()(32)0()(f A x f f A dx x f 中的待定参数110,,A x A , 使其代数精度尽量高，并指出所决定的求积公式的代数精度.19. 用复化辛普森公式计算积分⎰=10dx e I x , 问区间[0,1]应分多少等分才干使截断误差不超过?10215-⨯第 11 页/共 22 页20. 利用下表中给出的数据，分离用复化梯形公式和复化辛甫生公式计算定积分dx x I ln 21⎰=的近似值（要求结果保留到小数点后六位）21. 用复化梯形公式和复化辛甫生公式计算积分⎰=6.28.1)(dx x f I ,函数)(x f 在某些节点上的值如下图：（本题共14分）22. 决定公式⎰+≈101100)()()(x f A x f A dx x f x 的系数1010,,,x x A A ,使其具有最高代数精度23. 决定求积公式⎰++≈1110)1()(32)0()(f A x f f A dx x f 中的待定参数110,,A x A ,使其代数精度尽量高，并指出所决定的求积公式的代数精度第 13 页/共 22 页24.用LU 分解法求解以下方程组 (10分)123123142521831520x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭25.用LU 分解法求解以下方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛8892121514131615141321x x x26. 用LU 分解法求解以下方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛542631531321321x x x27. 设方程组b Ax =，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=220122101A ，Tb ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32,31,21, 已知它有解Tx ⎪⎭⎫⎝⎛-=0,31,21，若右端有小扰动61021-∞⨯=bδ，试预计由此引起的解的相对误差.第 15 页/共 22 页28. 设方程组b Ax =，其中212 1.0001A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，11.0001b -⎛⎫= ⎪⎝⎭,当右端向量b 有误差00.0001δ⎛⎫= ⎪⎝⎭b 时，试预计由此引起的解的相对误差(用∞范数计算)29. 给定b Ax =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111a a a a a a A 证实：(1) 当121<<-a 时，A 对称正定，从而GS 法收敛. (2) 惟独当2121<<-a 时，J 法收敛.30. 对于线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+=+1242043 16343232121x x x x x x x ，列出求解此方程组的Jacobi 迭代格式，并判断是否收敛。
河北大学数值逼近考试试卷
河北大学课程考核参考答案及评分标准（ 2008 — 2009 学年第 一 学期）考核科目 数值逼近 课程类别 选修 考核方式 闭卷 卷别 A一、填空题：（共16分，每空2分）1、f(x)=x 在[-1,1]上最佳零次逼近多项式为 0 .2、2)(2+=x x f ，则=)1,0(f 1 ， =)2,1,0(f 1 .3、具有最高代数精度的插值型求积公式为 Gauss 型求积公式 .4、寻求最小零偏差多项式)(x p n 的问题，等价于寻求n x x f =)(的n-1次最佳一致逼近多项式的问题.5、举出两个直交函数系1,cos ,sin ,cos 2,sin 2,.cos ,sin ,[,]x x x x nx nx ππ- ；21()()(1)(0,1,2,)[1,1]2!n nn n d p x x n n dx =-=-6、Legendre 多项式为21()()(1)(0,1,2,)[1,1]2!n nn n d p x x n n dx=-=- 7、逐次分半加速法为：用两个相邻的近似公式（其中一个公式是由另一个公式的分半得到的）的线性组合而得到更好的近似公式的方法，就是近代电子计算机上常用的Romberg 求积公式，也叫逐次分半加速法.二、判断题：（共14分，每小题2分）1、 插值多项式的次数越高，其精度越高 × .2、 连续模数)(δω是单调递减的 × .3、 直交系的完备性与封闭性是等价的 √ .4、 n 次多项式的n+1阶差商为0 √ .5、 最佳逼近多项式p(x)关于f(x)的正负偏离点必同时存在 √ .6、 最小偏差序列是单调下降收敛于零的 √ .7、 对于任何正数λ，连续模数)()(δλωλδω≤ × .三、计算题：（70分）1、求解下列问题： 01min max x x eax b ≤≤--=解：等价于求()x f x e =的1次最佳逼近多项式()p x ax b =+的问题. ()()x f x p x e ax b -=--的偏离点至少有3个.由'(()())x f x p x e a -=-得ln x a =''(()())x f x p x e -=故()()f x p x -在[0,1]上零点只有1个, 所以0,ln ,1a 为三个偏离点…………………………….5分 (0)(0)1(ln )(ln )ln (0)(0)1(1)(1)f p b f a p a a a a b p f b p f e a b -=-=-+=-++⎧⎨-=-=-=-++⎩……………………….…….5分 解得(1)ln(1)1,2e e e a e b ---=-= 故()f x 的1次最佳逼近多项式为))1ln()1((2/1)1()(---+-=e e e x e x p ………………………………………...5分2、决定参数a,b,c,d,e,f,g 和h 使得s(x)是自然三次样条函数，其中⎩⎨⎧∈+++-∈+++=]1,0[,]0,1[,)(2323x h gx fx ex x d cx bx ax x s 插值条件s(-1)=1, s(0)=2, s(1)=-1.解： 2232,[1,0]'()32,[0,1]a xb xc x s x ex fx g x ⎧++∈-=⎨++∈⎩ 62,[1,0]''()62,[0,1]ax b x s x ex f x +∈-⎧=⎨+∈⎩……………………….…….5分 由三次样条函数的定义得33121c g b f b a f e a b c d d h e f g h =⎧⎪=⎪⎪=⎪=-⎨⎪-+-+=⎪==⎪⎪+++=-⎩……………………….…….5分 13121312a b c d e f g h =-⎧⎪=-⎪⎪=-⎪=⎪⇒⎨=⎪⎪=-⎪=-⎪⎪=⎩……………………….…….5分3、试求()f x x =关于Legendre 多项式的展开式.解: Legendre 多项式为:23012311()1,(),()(31),()(53)22p x p x x p x x p x x x ===-=-…….…….5分 2(,),0,1,2,32i j p p j j ==+01231(,)1,(,)0,(,),(,)0,4p f p f p f p f ====………………………….. 5分0312012300112233(,)(,)(,)(,)11,0,,0,(,)(,)(,)2(,)p f p f p f p f a a a a p p p p p p p p ======== 011()()()2f x p x p x =++ ………………………….. 5分 4、确定下列求积公式的待定系数，使其代数精度尽量高111()[(1)2()3()]3f x dx f f f αβ-≈-++⎰ （考察学生是否掌握待定系数法） 解：1111122221()11221()0(123)321()(123)33f x dx f x x xdx f x x x dx αβαβ---======-++===++⎰⎰⎰时公式精确成立时公式精确成立时公式精确成立 ……………6分15αβ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩………………5分 3()f x x =≠时公式左右故具有2次代数精度 …………………4分5、函数y 依赖于温度Q 0C 的实验数据如下：Q j1 2 3 4 y j 0.8 1.5 1.8 2.0且已知经验公式是201()Q a Q a Q ϕ=+，试用最小二乘法求01,.a a（考察学生是否掌握最小二乘法）解：()23201010010101(,),(,)min (,)i ii i S a a a Q a Q y a a S a a S a a ==+-=∑求，使 ……………3分()()320100322010102()002()0i i i i i i i i i i S a Q a Q y Q a S a Q a Q y Q a ==∂⎧⎧=+-=⎪⎪∂⎪⎪⇒⎨⎨∂⎪⎪=+-=⎪⎪∂⎩⎩∑∑ …………5分 010.987209310.717054a a =⎧⇒⎨=⎩ ……………………2分。
数值逼近上机练习答案
实验一1． 分别用循环型Arnoldi 算法和循环型GMRES 算法求解线性方程组Ax b =。
1000110011101111A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1111b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦取2m =，初始值(0)[0,0,0,0]x T =，迭代终止条件为810ε-=。
要求输出数值近似解和迭代步数。
M-文件Arnoldi 算法function X=Arnoldi(X0,m,A,b,ep)nk=0;while (max(abs(A*X0-b))>=ep)r0=b-A*X0;n=length(b);v=zeros(n,m+1);h=zeros(m,m);p=sqrt(sum(r0.^2));v(:,1)=r0./p;for k=2:m;tmp=0;for i=1:k-1h(i,k-1)=(A*v(:,k-1))'*v(:,i);tmp=tmp+h(i,k-1)*v(:,i);endvk=A*v(:,k-1)-tmp;h(k,k-1)=sqrt(sum(vk.^2));v(:,k)=vk/h(k,k-1);endtmp=0;for i=1:mh(i,m)=(A*v(:,m))'*v(:,i);tmp=tmp+h(i,m)*v(:,i);endvm1=A*v(:,m)-tmp;hm1=sqrt(sum(vm1.^2));v(:,m+1)=vm1/hm1;e1=zeros(m,1);e1(1)=1;y=inv(h)*p*e1;z=v(:,1:m)*y;X0=X0+z;nk=nk+1;endnkX=X0;Command windows：A=[1 0 0 0;1 1 0 0;1 1 1 0;1 1 1 1]b=[1 1 1 1]'m=2x0=[0 0 0 0]'ep=1.0e-8结果：Arnoldi(X0,m,A,b,ep)nk =23ans =1.00000.0000-0.0000-0.0000GMRES算法function X=GMRES(X0,m,A,b,ep)nk=0;while(max(abs(A*X0-b))>=ep)r0=b-A*X0;n=length(b);v=zeros(n,m+1);h=zeros(m,m);p=sqrt(sum(r0.^2));v(:,1)=r0./p;for k=2:m;tmp=0;for i=1:k-1h(i,k-1)=(A*v(:,k-1))'*v(:,i); tmp=tmp+h(i,k-1)*v(:,i);endvk=A*v(:,k-1)-tmp;h(k,k-1)=sqrt(sum(vk.^2));v(:,k)=vk/h(k,k-1);endtmp=0;for i=1:mh(i,m)=(A*v(:,m))'*v(:,i);tmp=tmp+h(i,m)*v(:,i);endvm1=A*v(:,m)-tmp;hm1=sqrt(sum(vm1.^2));v(:,m+1)=vm1/hm1;H=[h;[zeros(1,m-1),hm1]];e1=zeros(m+1,1);e1(1)=1;y=pinv(H)*p*e1;z=v(:,1:m)*y;X0=X0+z;nk=nk+1;endnkX=X0;Command windowsA=[1 0 0 0;1 1 0 0;1 1 1 0;1 1 1 1]b=[1 1 1 1]'m=2x0=[0 0 0 0]'ep=1.0e-8结果：GMRES(X0,m,A,b,ep)nk =12ans =1.0000 0.0000 -0.0000 -0.00001. 用追赶法、线性插值法和双参数法求解n 阶三对角方程组Ax f =。
数值分析第三版课本知识题及答案解析
数值分析第三版课本知识题及答案解析第⼀章绪论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五⼊得到的近似数,即误差限不超过最后⼀位的半个单位,试指出它们是⼏位有效数字:*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====?4. 利⽤公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=-( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多⼤误差?7. 求⽅程25610x x -+=的两个根,使它⾄少具有四位有效数字27.982).8. 当N 充分⼤时,怎样求211Ndx x +∞+?9. 正⽅形的边长⼤约为100㎝,应怎样测量才能使其⾯积误差不超过1㎝210. 设212S gt =假定g 是准确的,⽽对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,⽽相对误差却减⼩.11. 序列{}n y 满⾜递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多⼤?这个计算过程稳定吗?12. 计算61)f =, 1.4≈,利⽤下列等式计算,哪⼀个得到的结果最好?3--()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平⽅⽤六位函数表,问求对数时误差有多⼤?若改⽤另⼀等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多⼤?14. 试⽤消元法解⽅程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只⽤三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三⾓形⾯积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c 证明⾯积的误差s ?满⾜.s a b cs a b c ≤++第⼆章插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙⾏列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xxx ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的⼆次插值多项式.3. 给出f (x )=ln x 的数值表⽤线性插值及⼆次插值计算ln 0.54 的近似值.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究⽤线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设j x 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i)0()(0,1,,);j j j x l x xk n =≡=∑ii)()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若⽤⼆次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使⽤函数表的步长h 应取多少?9. 若2n n y =,求4n y ?及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ?=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)kf x k m ?≤≤是m k -次多项式,并且()0(m lf x l +?=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +?=?+?.12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==?=--?∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=?=?-?∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f及0182,2,,2f.17. 证明两点三次埃尔⽶特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔⽶特插值的误差限.18. 求⼀个次数不⾼于4次的多项式()P x ,使它满⾜(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔⽶特插值的误差限.19. 试求出⼀个最⾼次数不⾼于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满⾜以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造⼀个台阶形的零次分段插值函数()n x ?并证明当n →∞时,()n x ?在[],a b 上⼀致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔⽶特插值,并估计误差.24. 给定数据表如下:试求三次样条插值并满⾜条件 i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='=(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"?;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'?.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可⽤(8.7)式的表达式).第三章函数逼近与计算1. (a)利⽤区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做⽐较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳⼀致逼近多项式.4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳⼀致逼近多项式.5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极⼩,⼜问这个解是否唯⼀?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳⼀次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳⼀次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最⼩?r 是否唯⼀? 9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式. 10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利⽤插值极⼩化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极⼩化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若n f L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ?=-----,试将()x ?降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[ ]1,1-上利⽤幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n nF x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dx π+-?为最⼩.并与1题及6题的⼀次逼近多项式误差作⽐较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+??问它们是否构成内积?19. ⽤许⽡兹不等式(4.5)估计6101x dx x +?的上界,并⽤积分中值定理估计同⼀积分的上下界,并⽐较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最⼩值:1122211(),x ax dx x ax dx----??.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1?=?=,分别在1?、2?上求出⼀个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平⽅逼近,并⽐较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ?=上的最佳平⽅逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第⼆类切⽐雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切⽐雪夫多项式展开,求三次最佳平⽅逼近多项式并画出误差图形,再计算均⽅误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切⽐雪夫级数.26. ⽤最⼩⼆乘法求⼀个形如2y a bx =+的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均⽅误差.27.28. 在某化学反应⾥,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:⽤最⼩⼆乘拟合求.29. 编出⽤正交多项式做最⼩⼆乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出⼀张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试⽤改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量⾼,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度: (1)101()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++?; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f hA f A f h --≈-++?;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dxf f x f x -≈-++?;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'?.2. 分别⽤梯形公式和⾟普森公式计算下列积分: (1)120,84xdx n x =+?; (2)1210(1),10x e dx n x --=?;(3)1,4n =?; (4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. ⽤⾟普森公式求积分1x e dx-?并计算误差.5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2baf f x dx b a f a b a 'η=-+-?; (2)2()()()()()2baf f x dx b a f b b a 'η=---?;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-?.6. 证明梯形公式(2.9)和⾟普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx.7. ⽤复化梯形公式求积分()baf x dx,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍⼊误差)?8. 1xedx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是⼀个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这⾥a 是椭圆的半长轴,c是地球中⼼与轨道中⼼(椭圆中⼼)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公⾥为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第⼀颗⼈造卫星近地点距离439h =公⾥,远地点距离2384H =公⾥,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!n nn n ππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,⽤外推算法求π的近似值.11. ⽤下列⽅法计算积分31dyy ?并⽐较结果.(1) 龙贝格⽅法;(2) 三点及五点⾼斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,⽤复化两点⾼斯公式.12. ⽤三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误差.()f x 的值由下表给出:第五章常微分⽅程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉⽅法和改进的尤拉⽅法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相⽐较。
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数值逼近题库（含参考答案）习题一1.用3位数字计算出方程：的解x，y，再用6位数字计算出x与y，已知正确解为练习练习x=1,y=-1,计算结果说明什么？解：用3位浮点计算：，即得：，解得：用6位浮点计算：，即得：，解得：此例说明，在计算过程中，选取有效数字位数越多，相对误差越小，计算结果越精确。
11．将（2，4，-2，2）中的数全部列出来，且在实轴上表示出来，问总共有多少？解：(2,4,-2,2)系统中的所有正数为：共有个，再加上中的80个负数以及0，故共有161个。
15．求的误差分析。
解：其中。
16．有误差，，问的传播误差是多少？解：因为若，则，又由于：，则：当时，，当时，，当时，。
14．假设有一种算法，求可得到6位有效数字，问为了使有4位有效数字，应取几位有效数字？解：因为其中：为取近似值时的相对误差，为求开方运算的相对误差，由题设和定理1知所以：若，即对取6位有效数字时，有4位有效数字（由定理1）。
10．都是中的数，试给出的向前误差分析和向后误差分析。
解：（1）由定理5，向前误差分析为其中，。
（2）向后误差分析，仍由定理5其中：。
第二章函数的插值1．下列函数表（表18）中的数字都是有效数字。
（1）通过ctgx的函数表，进行插值，求ctg(0.0015)，并估计误差；解：先作差分表：取：又由：所以误差为：2．给定的函数值如表19所示，用3种途径求3次插值多项式。
解：（1）用牛顿方法。
先作差商表：所以：（2）用Lagrange 方法化简得：（3）用内维尔方法再由：得：3．给定的函数值如表20所示，求解：先作差商表：即：故：4．求，利用，取节点作插值，并估计截断误差。
解：先作差商表：所以，。
故：其截断误差：由于，所以5．证明：在两个节点：上作线性插值，当时，余项为证：因为其中：6．若是小量，则三个函数值应怎样线性组合，才能得到较好的的近似值。
解：由于所以：，即：。
7．证明。
证：设，则11．用拉格朗日途径导出如下的次埃尔米特插值，满足：。
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xkj lk (0)
1, 0, ( 1) n x0 x1...xn
n k 0 n 1 xk lk ( x) n k 0
j 0 j 1,2,...,n j n 1
n f ( n 1) () wn 1 ( x) 其中，wn+1(x)= ( x (n 1)! j 0
n k 0
证明： f ( x)
f (3) () 2 (x 3! k 0 xk )
(3). 三次样条插值与一般分段 3 次多项式插值的区别是_____ (三次样条连续且光 滑，一般分段 3 次连续不一定光滑。) §2. 计算题 (1). (a10 分)依据下列函数值表，建立不超过 3 次的 lagrange 插值多项式 L3(x). x 0 1 2 3 f(x) 1 9 23 3 解：基函数分别为
xn
1
(x
j 0
xj )
n 1 xk lk ( x)
wn 1 ( x) 可见其为 n 次多项式，并且可得其最高次系数为
(x0+…+ xn) (5). 设函数 f(x)是 k 次多项式，对于互异节点 x1,…, xn,， 证明当 n>k 时，差商 f [x, x1,…,xn]0，当 nk 时，该差商是 k-n 次多项式。 证明：因 f [ x0 , x1 , , xn ]
多项式 P1(x)在子区间[a,b]上的余项估计式，再估计最值即可。
f ( x) P 1 ( x) f () ( x a)( x b) 2!
x3 , c( x 1)
2 3
hi2 max f // ( x) a 8 x b
0 x x 1 2
x [a, b]
(12). s(x)=
2
已知 s(x)是[0,2]上的已知自然边界条件的三次样条函数，试确定
数值分析最佳习题(含答案)
第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字？（有效数字的计算）解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。
4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
（误差限的计算） 解：*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ绝对误差限为πππ252.051.02052)5,20(),(2=⨯⋅+⨯⋅⋅⋅≤-v r h v相对误差限为%420120525)5,20()5,20(),(2==⋅⋅≤-ππv v r h v 6 设x 的相对误差为%a ,求nx y =的相对误差。
《数值逼近》-复习-学生版
数值逼近考试范围 .................................................................................................................................................... 1 数值逼近作业 ............................................................................................................................................................ 1 提高篇 ........................................................................................................................................................................ 6 第一套参考试卷 ........................................................................................................................................................ 6 第二套参考试卷 ........................................................................................................................................................ 7 练习试题 .. (8)数值逼近作业作业：课本P25：16，17，191．序列{}n y 满足递推关系1101,1,2,...n n yy n -=-=。
数值分析试题及答案汇总
数值分析试题一、填空题（2 0×2′） 1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有 2 位有效数字。
2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ，f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。
3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____，‖AX ‖∞≤_15_ __。
4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。
6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。
7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=ni i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。
8. 要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4 位有效数字。
9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。
10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。
11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。
12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。
数值逼近答案以及试题
第一章 误差1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差.解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式24A r π=计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生的误差即为模型误差.在计算过程中,要用到π,我们利用无穷乘积公式计算π的值:12222...q q π=⋅⋅⋅ 其中112,3,...n q q n +⎧=⎪⎨==⎪⎩ 我们取前9项的乘积作为π的近似值,得3.141587725...π≈这个去掉π的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差.2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字:816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 2363. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位 三位 六位 四位4. 若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字? 解: 两位5. 若 1.1062,0.947a b ==,是经过舍入后得到的近似值,问:,a b a b +⨯各有几位有效数字?解: 已知4311d 10,d 1022a b --<⨯<⨯, 又0.2053210a b +=⨯,()433211110100.551010222d a b da db da db ----+=+≤+=⨯+⨯=⨯<⨯,所以a b +有三位有效数字;因为0.1047571410a b ⨯=⨯,()43321110.94710 1.1062100.600451010222d a b b da a db ----⨯=+=⋅⨯+⋅⨯=⨯<⨯所以a b ⨯有三位有效数字.6. 设120.9863,0.0062y y ==,是经过舍入后作为12,x x 的近似值.求1211,y y 的计算值与真值的相对误差限及12y y ⋅与真值的相对误差限. 解: 已知-4-41112221211d ,d ,d =10,d 1022x y x x y x x x =+=+⨯=⨯, ()44111111110d d 12dr dr 0.50100.9863x xx x x y --⨯⎛⎫==≈=≈⨯ ⎪⎝⎭;()42222222110d d 12dr dr 0.81100.0062x xx x x y --⨯⎛⎫==≈=≈⨯ ⎪⎝⎭;()()()4221212dr dr dr 0.50100.81100.8210x x x x ---⋅=+≈⨯+⨯≈⨯.7. 正方形的边长约为100cm,应该怎样测量,才能使其面积的误差不超过1cm 2.解: 设正方形面积为S,边长为a,则S=a 2.所以要使:2d d 2d 1s a a a ==≤,则要求211d 0.5102200a a -≤==⨯.所以边长的误差不能超过20.510-⨯cm.8. 用观测恒星的方法求得某地维度为4502'''o(读到秒),试问:计算sin ϕ将有多大误差?解: ()()1d sin cos d cos 45022ϕϕϕ*''⎛⎫'''== ⎪⎝⎭o.9 . 真空中自由落体运动距离s 与时间的关系由公式212s gt =确定,g 是重力加速度.现在假设g 是准确的,而对t 的测量有0.1s ±的误差,证明t 增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.证明: 因为:221d d d d d d d ;2.122s gt t gt t t s gt gt t s s t gt ⎛⎫=====⎪⎝⎭ d s 与t 成正比,d s s与t 成反比,所以当d t 固定的时候, t 增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.10. 设0x >,x 的相对误差为δ,求ln x 的绝对误差. 解: 已知d x x δ=,所以ln x 的绝对误差()d d ln x x xδ==.11. 设x 的相对误差为%α,求nx 的相对误差.解: 1d d d %n n n n x nx x n xn x x xα-===.12. 计算球的体积,为了使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限如何? 解: 已知343V R π=,设()d dr R R a R ==,则要使得 ()()3d dr dln d ln 3d ln 3d ln 3dr 31%V V V R R R R a V ========,则11%3a =⋅. 第二章 函数的插值2．给定的函数值如表19所示，用3种途径求3次插值多项式。
数值分析试卷及其答案6
期末自出试卷科082班李海燕 081637分位有效数字有即）（分位有效数字有即）（分位有效数字有即）解：（分别有几位有效数字？为其近似值，求它们设分）（34x ,4.1310210000508.07320.17320508.1*,1,1017320.07320.1x 335,51410210000492.07321.17320508.1*,1,1017321.07321.1x 233x ,31210210020508.073.17320508.1,1,10173.073.1x 17320.1,7321.1,73.1,7320508.13.193313241212*11321⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=⇒-=-∴⨯<=-=-=⨯==⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=⇒-=-∴⨯<=-=-=⨯==⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=⇒-=-∴⨯<=-=-=⨯=======---n n x x k x n n x x k n n x x k x x x x （10分）2．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-25502550001，求。
21,,A A A ∞{}{}()分分，，故：分，）（分）（分）解：（12251250A 31250501201250000500001A A E 12500005000012550255000125250550001A A 32,3030,30,1max 22,5050,10,1max 12321T Tmax 21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯==∴⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯===⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=---=-∴⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯==⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯==∞λλλλλλλλAA A A A T（8分）3．用列主元消元法解如下方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++-644505124835321321321x x x x x x x x x分分解：430735731733314611201273812115512433146127351120800121150012313127354803212115001264548013545126544081534125A 3213322111831,125r 23131221⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=+=-∴⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--+−→←x x x x x x x x r r r r r r r （因为系数没选好，导致最后的结果不容易计算）（9分）4．应用迭代法于方程03=-a x ，导出迭代共事，并讨论其收敛性。
数值分析试题及答案
数值分析试题一、 填空题（2 0×2′）1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有 2 位有效数字。
2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ，f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。
3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____，‖AX ‖∞≤_15_ __。
4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。
6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。
7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=ni i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。
8. 要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4 位有效数字。
9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。
10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。
11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。
12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差r i＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。
大连理工大学至第二学期数值逼近期末考试试题C
大连理工大学2004至2005学年第二学期数值逼近期末考试试题C大连理工大学课程名称：数值逼近试卷：C授课院(系): 数学系考试日期:2005年2 月28日、填空(18分)(1) [a,b]上具有n+1个求积节点的求积公式的代数精度最多为( )。
(2) 设连续函数f (x) EC[0,1 ],则它的n次Bernstein多项式为( )。
(3) 设f(x) EC[a,b],m和M分别为f(x)在[a,b]上的最小值与最大值，则f(x)在[a,b]上的零次最佳逼近多项式为().(4) n次直交多项式的单根个数为( )。
(5) 设"砂+ ..•<&<咏或则轧X*.%) 的一组基底为()，其中乳■矽”如)表示以、4 '■为节点的n 次样条函数的全体。
(6) N次Bezier曲线的表示式是()。
、判断题(18分)(正确的错误的X)(1) 具有n个求积节点的求积公式的代数精度至少为n-1。
( )。
(2) ［a , b］上的两个直交多项式匕和%!没有公共的根()。
(3) 4中的一个多项式p(x)成为C［a,b］中某给定函数f(x)的最佳逼近多项式必须且只需p(x)-f(x)在［a,b］上的偏离点的个数不少丁n+2( )。
(4) Simpson求积公式的代数精度是3 ( )。
(5) 设连续函数f (x) EC［a,b］ , 是其n次最佳平方逼近多项式，M・』驹顼工)( )(6) n次Chebysheff(切比雪夫)多项式在［-1 , 1］上恰有n个极大值点。
( )。
三、(10分)叙述并证明Wereistrass 第一定理。
Weierstrass 第一定理：设六对攻明,那么对丁任意给定的E>0,都存在这样的多项式相,使得四、(8分)求昭 K在［0 , 1］上的一次平■方逼近多项式。
五、(10分)确定下列求积公式的求积系数和求积节点，使求积公式的代数精度最高。
(求积系数只需给出公式即可)£六泸乂/(功"与)六、(10分)求f (x)=『在［0 , 1］上的一次最佳逼近多项式。
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第一章 误差1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差.解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式24A r π=计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生的误差即为模型误差.在计算过程中,要用到π,我们利用无穷乘积公式计算π的值:12222...q q π=⋅⋅⋅ 其中112,3,...n q q n +⎧=⎪⎨==⎪⎩ 我们取前9项的乘积作为π的近似值,得3.141587725...π≈这个去掉π的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差.2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字:816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 2363. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位 三位 六位 四位4. 若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字? 解: 两位5. 若 1.1062,0.947a b ==,是经过舍入后得到的近似值,问:,a b a b +⨯各有几位有效数字?解: 已知4311d 10,d 1022a b --<⨯<⨯, 又0.2053210a b +=⨯,()433211110100.551010222d a b da db da db ----+=+≤+=⨯+⨯=⨯<⨯,所以a b +有三位有效数字;因为0.1047571410a b ⨯=⨯,()43321110.94710 1.1062100.600451010222d a b b da a db ----⨯=+=⋅⨯+⋅⨯=⨯<⨯所以a b ⨯有三位有效数字.6. 设120.9863,0.0062y y ==,是经过舍入后作为12,x x 的近似值.求1211,y y 的计算值与真值的相对误差限及12y y ⋅与真值的相对误差限. 解: 已知-4-41112221211d ,d ,d =10,d 1022x y x x y x x x =+=+⨯=⨯, ()44111111110d d 12dr dr 0.50100.9863x xx x x y --⨯⎛⎫==≈=≈⨯ ⎪⎝⎭;()42222222110d d 12dr dr 0.81100.0062x xx x x y --⨯⎛⎫==≈=≈⨯ ⎪⎝⎭;()()()4221212dr dr dr 0.50100.81100.8210x x x x ---⋅=+≈⨯+⨯≈⨯.7. 正方形的边长约为100cm,应该怎样测量,才能使其面积的误差不超过1cm 2.解: 设正方形面积为S,边长为a,则S=a 2.所以要使:2d d 2d 1s a a a ==≤,则要求211d 0.5102200a a -≤==⨯.所以边长的误差不能超过20.510-⨯cm.8. 用观测恒星的方法求得某地维度为4502'''(读到秒),试问:计算sin ϕ将有多大误差?解: ()()1d sin cos d cos 45022ϕϕϕ*''⎛⎫'''== ⎪⎝⎭.9 . 真空中自由落体运动距离s 与时间的关系由公式212s gt =确定,g 是重力加速度.现在假设g 是准确的,而对t 的测量有0.1s ±的误差,证明t 增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.证明: 因为:221d d d d d d d ;2.122s gt t gt t t s gt gt t s s t gt ⎛⎫=====⎪⎝⎭ d s 与t 成正比,d s s与t 成反比,所以当d t 固定的时候, t 增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.10. 设0x >,x 的相对误差为δ,求ln x 的绝对误差. 解: 已知d x x δ=,所以ln x 的绝对误差()d d ln x x xδ==.11. 设x 的相对误差为%α,求nx 的相对误差.解: 1d d d %n n n n x nx x n xn x x xα-===.12. 计算球的体积,为了使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限如何? 解: 已知343V R π=,设()d dr R R a R ==,则要使得 ()()3d dr dln d ln 3d ln 3d ln 3dr 31%V V V R R R R a V ========,则11%3a =⋅. 第二章 函数的插值2．给定的函数值如表19所示，用3种途径求3次插值多项式。
解：（1）用牛顿方法。
先作差商表：所以：（2）用Lagrange 方法化简得：（3）用内维尔方法再由：得：4．求，利用，取节点作插值，并估计截断误差。
解：先作差商表：所以，。
故：其截断误差：由于，所以5．证明：在两个节点：上作线性插值，当时，余项为证：因为其中：7．证明。
证：设，则11．用拉格朗日途径导出如下的次埃尔米特插值，满足：。
解：先构造次数不高于的多项式满足下列2n个条件：满足上述条件的的多项式可以写成：其中A为待定系数，再由条件得：即：再构造次数不高于的多项式满足下列2n个条件：，令：它满足上述条件中除外的所有其他条件，于是再由所以，于是：于是所求的埃尔米特插值多项式为三样条插值和曲线拟合12．若是实轴上个由小到大排列的点，考虑一个上的函数，它在上是一个二次多项式，并且是已知值，又在内节点上连续，这样的称为二次样条插值。
试证这样的二次样条插值有很多，并问加上何种条件才能使它唯一，给出求的方程。
解：由于在每个小区间上，有3个待定系数，于是在上共有个待定系数，。
要满足的条件是：通过型值点：，共有个方程；的一阶导数连续，即共有个方程。
这样总共有个方程，而待定系数有个，于是可以有很多。
若要使它唯一确定，加上即可。
事实上：考虑在上是一个二次多项式，可以写成：，若记为未知量，则：，再由得，故，再由得：再由为已知，从而由，可求得，且由递推关系知是唯一确定的。
16．证明：贝齐尔曲线。
证：因19．证明：。
证：因为：，两边求导得：故：。
四最佳逼近6．证明的最佳一致逼近次多项式就是在上的某个次拉格朗日插值多项式。
证明：（1）若，则的最佳一致逼近次多项式就是自身。
这时在上任取个不同的点，就可以看作以这个点为插值节点的关于自身的拉格朗日插值多项式。
（2）若，且是的最佳一致逼近次多项式，则由契比雪夫定理知，误差曲线在上有至少由个点组成的交错点组，从而由介值定理知在上至少有个零点，于是就是以这个零点为插值节点的次拉格朗日插值多项式。
12．构造区间上的最小零偏差次代数多项式。
解：已知在[的最小零偏差次代数多项式为，即它是次首一多项式，且在[-1，1]上的个点处轮流取得其最大值与最小值。
对于区间，作变换，则当时，，以代入得，其首项系数为，于是是在上的次首一多项式，且在个点处轮流取得其最大值与最小值，故上的最小零偏差次代数多项式为。
15．假设是上的个互不相同的点，证明：对于任意向量，方程组有唯一解。
证明：原方程组的矩阵形式为：为证明上述方程组有唯一解，仅需证明对应的齐次方程组只有零解。
用反证法，假设对应的齐次方程组有非零解，由此令，于是对应的齐次方程组相当于，注意到已知且互不相同以及在中为奇函数，故，再加上，从而次三角多项式在中有个零点，这与引理3的性质6相矛盾。
于是原方程组有唯一解。
17．证明许瓦兹不等式，并借此证明内积范数满足范数的3条性质。
证：取，则故：。
并由内积的性质：推出：（1）且（2）（3）由于：所以：20．若连续函数列在上带权正交，且恒正，证明：对任意个数，广义多项式在上至少有一个零点。
证明：用反证法。
若存在个数，使广义多项式在上没有零点，由于为连续函数，故在上恒正，或恒负。
不妨设，又由恒正，故。
但由于在上带权正交，故，这与上式矛盾。
因此，对任意个数，广义多项式在上至少有一个零点。
第五章数值积分1.若求积公式（2）具有m次代数精度，试证明对于任意次数不超过m的代数多项式，都有。
证明：因为对，都有，从而由的线性性质以及任意有：。
结论成立。
2.证明柯特斯系数满足。
证明：（1）由，令，则故（2）由于牛顿-柯特斯公式的代数精度，故对零次多项式，有，即，也就是，即，由得。
3.证明柯特斯系数满足方程组：证明：由于牛顿-柯特斯公式的代数精度，故在区间上使用牛顿-柯特斯公式对精确成立，即：，也就是：或，写成矩阵形式即为：4．证明，若不是整数，且，则；若不是整数，且，则。
证明：因为，所以：若不是整数，且时，有成立，所以：，于是。
再由：和得：。
同理当时，，两边再减有：，即，所以若不是整数，且时，。
证毕5.假设在上连续，。
证明：存在成立证明：因在上连续，故在上必取得最大值和最小值，即当时。
又若令，则由得：。
故由连续函数的介值定理知：必存在，使，即。
6.若用复化梯形公式求积分，则积分区间要多少等分才能保证计算结果有五位有效数字？解：欲使，其中，只须，即积分区间要68等分才能保证计算结果有五位有效数字。
8．验证复化柯特斯公式和复化辛卜生公式之间存在递推关系。
解：将区间n等分，其节点，在每个小区间上采用辛卜生公式得：，以及：，于是：即：。
证毕。
13．假定在上有二阶连续导数，求证，证明：因在上有二阶连续导数，则：，两边积分得：，因在上连续，故存在，使，即：。
证毕14．给定求积公式，试决定求积系数，使之代数精确度尽可能高。
解：若求积公式对精确成立，则必满足方程组：，解之得：，由于当时，求积公式仍精确成立，但当时，求积公式不再精确成立，故该求积公式具有3次代数精度。
第二章函数的插值2．给定的函数值如表19所示，用3种途径求3次插值多项式。
解：（1）用牛顿方法。
先作差商表：所以：（2）用Lagrange 方法化简得：（3）用内维尔方法再由：得：4．求，利用，取节点作插值，并估计截断误差。
解：先作差商表：所以，。
故：其截断误差：由于，所以5．证明：在两个节点：上作线性插值，当时，余项为证：因为其中：7．证明。
证：设，则11．用拉格朗日途径导出如下的次埃尔米特插值，满足：。
解：先构造次数不高于的多项式满足下列2n个条件：满足上述条件的的多项式可以写成：其中A为待定系数，再由条件得：即：再构造次数不高于的多项式满足下列2n个条件：，令：它满足上述条件中除外的所有其他条件，于是再由所以，于是：于是所求的埃尔米特插值多项式为三样条插值和曲线拟合12．若是实轴上个由小到大排列的点，考虑一个上的函数，它在上是一个二次多项式，并且是已知值，又在内节点上连续，这样的称为二次样条插值。