第二章 模糊集合论基础2新

解: A1 x1 A0.8 x1 , x2 A0.4 x1 , x2 , x3 , x4 A0 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7
~ ~
SuppA x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6
第4节
分解定理和扩展定理

8)复原律
( Ac )c A
第三节水平截集与支集
模糊集合的 水平截集定义如下: 设给定模糊集合 A F ( X ) , 对任意 0,1 闭区间中的实数 ,称
( A) A x / x X , A ( x)
~
~



~

为模糊集合 A 的 水平截集，这里, A 是一个普通集合, 是由在模糊集合 A 中 的隶属度达到或超过 的元素所组成。实际上,模糊子集的 水平截集,是在模 糊集合和普通集合之间架起了一个互相联系的桥梁,它解决了模糊集合和普通集 合之间转化的问题。当给定一个模糊集合 截集, 模糊集合 A 就转化为普通集
0 ,1
任何模糊集合都可以用普通集合表示，任何模糊集合问题都可以通过分解定理转化为普 通集合问题，为解决模糊数学问题提供一种可行的途径。
第4节
A ( x)
~
分解定理和扩展定理
1
1 2 3 4 5
0
图 构造模糊集
x
第4节
分解定理和扩展定理
Zadeh 教授于 1975 年提出了扩展原理, 它是模糊集合论中最基本 法则之一。 扩展原理给出了用映射将一个论域上的模糊集 A 变为另
~
当论域 X 为实数轴上的区间时,称为连续论域的模糊集合 A
~
可表示为:
A A (x ) / x
~ X
~
(x X )
第二节模糊集合其运算
二、模糊集合的运算
模糊集合一般都是某一论域上的子集，所以通常称它为模糊子集, 模糊集 合是从普通集合拓广而来,故普通集合的运算可以推广到模糊集合。不同的是模 糊集合由它的隶属函数确定,因此模糊集合的运算需要重新定义。
第二节模糊集合及其运算
1965年美国学者扎德(L. A. Zadeh)发表了著名论文<Fuzzy set>，第一次从数量角度对模糊现象进行了科学的研究，推广了 普通集合论，提出了模糊集合的理论和方法。扎德教授提出了模 糊集合的定义如下： 论域 X x上的模糊集合 A 是由隶属函数 A ( x ) 来表征的,其中
~
~
第二节模糊集合其运算
(2) B 包含 A , 对 X 上 x ,如果 A ( x ) B ( x )
~ ~
~ ~
则 B A或 A B
~ ~ ~ ~
(3) 空模糊集, 对 X 上 x ,如果 A ( x ) =0
~
则 A
~
第二节模糊集合其运算
(4) A与 B的并集 A B
1- 1 分解定理 设 A 是论域 X 上的模糊集合, 0,1 ,则定义
~
( A) ( x) A ( x)
~ ~

称 A 为数乘模糊集。
~
第4节
~
分解定理和扩展定理
~
分解定理 : 设 A 是论域 X 上的模糊集合, A 为 A 的 截集, A 为 A 的特征函数,则:
A
~
A
0,1
~
或
A ( x) ( A ( x))
0 ,1
~
分解定理表明:求模糊集合 A 中的某元素的隶属函数,可先求 与 A 的特征函数 最小值,即： A ( x) 之后, 对于不同的 值, 取最大值, 即： ( A ( x)) 。
~
~ ~ ~
~
这种表示只有形式上的意义, 加号不代表算术和,分数线 也不代表相除,只表示元素和对应的隶属程度的对应排列。
第二节模糊集合及其运算
在有限论域时, 模糊集合 A 还可表示为:
~
A A ( xi ) / xi
~ i 1
n
~
n
或记为:
源自文库
A A ( xi ) / xi
~ i 1
设 f 是平方根运算,即 y f ( x) x ,于是
f (小) (小) 1 1 0.8 0.6 0.4 1 2 2 3 5
1 2
第4节
分解定理和扩展定理
n
扩展原理可以推扩到 n 个集合构成的笛卡尔积上。 设 X X 1 X 2 X n X i ，若 A1 , A2 , An 分别为
~
~
~
合 A ,相应的隶属函数转化成特征函数，这种转化示于下图。
第三节水平截集与支集
A ( x)
~
A ( x)
1

A
0 图 4 A 与 A 关系
~
A ( x)
~
x
第三节水平截集与支集

设给定模糊集合 A F ( X ) ,称: SuppA x / x X , A ( x) 0
第三节水平截集与支集
截集有以下性质:
1) ( A B) A B 2) ( A B) A B 3)若 1 , 2 0,1 且 1 2 , 则
A1 A21
第三节水平截集与支集
1 0.9 0.7 0.5 0.3 0.1 0 例题: 设 A ,求 ~ x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 A1 , A0.8 , A0.4 , A0 , SuppA 。
~
~
~


~
为模糊集合 A 的支集。 当 1 时, 模糊集合 A 的截集 A1 称为 A 的核。
~
A 的截集, 支集和核关系示于下图。 若 A 的核不空,即 A1 ,则称 A
~ ~
~
~
为正规模糊集,否则称 A 为非正规模糊集。 随着 下降趋近于 0 但不达到 0, A 从 A 的核 A1 逐渐扩张到 A 的支集
A ( x ) 在 0,1 上取值,其值大小表示 x 对于 A 的隶属程度。
~
~
~
表征模糊集合 A 的隶属函数 A ( x ) 在 0,1 闭区间上取值, 而表征普
~
~ ~
~
通集合 A 的特征函数只取 0 或 1 两个值,当隶属函数 A ( x ) 只取 0 或 1 两个值时, A ( x ) 蜕化成普通集合 A 的特征函数, 模糊集合 A 蜕化成普
~
按扎德记法,可表示为:
A ( x) ((1 A ( x)) / x)
C ~
X
~
A与 B的交集 A B
~ ~ ~ ~
第二节模糊集合及其运算

模糊集合并,交可推广到多个有限模糊集上。
A A1 An
n
A2
Ai
i 1
A
1
A2 An
(u) Max( A1 (u), A2 (u), , An (u))
~
SuppA 。 因此, 普通子集族: A / 0 1象征着一个具有游动,弹性边
~
~
~
界的集合,一个可变的, 运动的集合。
第三节水平截集与支集
A ( x)
~
1

0
A1 A Supp A
~
x
模糊子集的水平截集,在模糊集合和普通集合之间架起了一个互相联系的桥 梁,它解决了模糊集合和普通集合之间转化的问题.把模糊集合的核, 截集与支 集结合到一起,对模糊子集的结构作了分解,从而形象化描述了模糊集合。
第4节
分解定理和扩展定理
例 设 X= 1,2,3, ,10, 小是 X 上的一个模糊集合,定义为:
小 1 1 0.8 0.6 0.4
1 2 3 4 5
设 f 是平方运算,即 y f ( x) x 2 ,于是
f (小) (小) 2 1 1 0.8 0.6 0.4 1 4 9 16 25

4)分配律
A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C )
第二节模糊集合及其运算

５)吸收律
( A B)

A A,( A B)
A A
6)同一律

7)对偶律
A U A, A U A A A, A
(A (A B ) c Ac B ) c Ac Bc Bc
~ ~ ~ ~
模糊子集 A与 B的并集 A B 的隶属函数定义为:
~ ~ ~ ~
AB ( x) Max(( A ( x), B ( x))
~ ~ ~ ~

也可表示为:
A B ( x) A ( x) B ( x)
~ ~ ~ ~
按扎德记法,可表示为:
A B (Max( A ( x), B ( x)) / x)
第二节模糊集合及其运算

模糊集的代数运算 (1)代数积
A B (u) A (u) B (u)

(2)代数和 (3)有界和 (4)有界积
A B (u ) A (u) B (u) A B (u)


AB (u) 1 (A (u) B (u))
~
一个论域上的模糊集 B 时,确定 B 的隶属函数的方法。
~ ~
扩展原理: 和 是两个论域,设映射 f : f 诱导出一个新的映射，记作 f 。

, f ( x) y Y 。 由
第4节
分解定理和扩展定理
f : F ( X ) F (Y ) A f ( A) B, A F ( X ), f（ A） F (Y )
An
n
A A1
A2
Ai
i 1
A
1
A2 An
(u) Min( A1 (u), A2 (u), , An (u))
并
第二节模糊集合及其运算
以上模糊集合,交,补的运算,与普通集合的同类的运算是相通的,只要隶 属函数仅取两个值, 模糊子集交,补的运算就变成了普通集合交,补的运算。 以上模糊集合的交,补的运算,可用以下图表示出来。

AB (u) 0 (A (u) B (u) 1)
第二节模糊集合及其运算

模糊集和的运算性质: 1)幂等律
2)交换律
A A A, A A A,
A, A B B A,

A BB

3)结合律
( A B) C A ( B C ) ( A B) C A ( B C )
~ ~ ~ ~
按扎德记法,可表示为:
A B (Min( A ( x), B ( x)) / x)
~ ~ X
~ ~
第二节模糊集合及其运算
c 的补集 A (6) 模糊子集 A ~ ~
对 X 上 x ,如果
A ( x) 1 A ( x)
C ~ ~
c 则称 A 为模糊子集 A的补集 ~
~ ~ X
~ ~
第二节模糊集合及其运算
(5) A与 B的交集 A B
~ ~ ~ ~
模糊集合 A与 B的交集 A B 的隶属函数定义为:
~ ~ ~ ~
AB ( x) Min(( A ( x), B ( x))
~ ~ ~ ~

也可表示为:
A B ( x) A ( x) B ( x)
~
~
通集合 A,由此可见, 普通集合是模糊集合的特殊情况, 模糊集合是普通 集合推广。这说明了模糊集合是建立在普通集合之上的。
第二节模糊集合其运算
当论域 X 为有限论域时, X x1 , x2 , , xn 上, 论域 X 上的 模糊集合 A 可表示为:
A A ( x1 ) / x1 A ( x 2 ) / x 2 A ( x n ) / x n
~ ~ ~ ~ ~
意味着对任意给定的 论域上的模糊集 A ,通过映射 f 可将其诱导成
~
论域上的模糊集 B ,其隶属函数为:
~
A ( x) y f ( x ) ~ B ( y ) f ( A) ( y ) ~ ~ 0
f
1
( y)
f 1 ( y )
F(X)是论域 X 上的模糊集类,
~ ~
A, B F ( X ) ,则定义以下计算:
~ ~
(1) A 与 B 相等 :由于模糊集合特征由它的隶属函数确定,所以把隶属 函数全部相等的两个模糊子集定义为相等,即, 对 X 上 x ,如果
A ( x) = B ( x) , 则 A B
~
~