巧用导数求函数值域
求函数的定义域与值域的常用方法
求函数的定义域与值域的常用方法在数学中，函数的定义域和值域是非常重要的概念。
定义域是指函数可以接受的输入值的集合，而值域则是函数能够取得的输出值的集合。
正确确定函数的定义域和值域是解决函数相关问题的关键，下面我们将详细介绍求函数定义域和值域的常用方法。
一、函数的定义域的常用方法：1. 显式定义法：对于一些常见的函数，我们可以直接根据其表达式来确定其定义域。
例如，对于一元多项式函数f(x)=ax^n+bx^m+...+c，其定义域可以是实数集或者区间。
2.隐式定义法：对于一些函数可能没有明确的表达式，或者函数的定义域和表达式没有直接的关系，我们可以根据函数的特性和性质来确定其定义域。
例如，对于分式函数f(x)=1/(x-1)，我们可以得知分母不能为0，所以其定义域是实数集减去1的那部分实数。
3.已知条件法：有时候我们可以根据函数在一些点的取值情况来确定其定义域。
例如，对于一个连续函数f(x)，如果我们知道在一些区间上f(x)恒大于0，那么可以确定该区间为函数的定义域。
4.集合运算法：当函数的定义域可以表示为多个区间或集合的并、交、差等运算时，我们可以利用这些运算来求解函数的定义域。
例如，对于函数f(x)=√(x+1)-√(x-1)，我们可以先求出√(x+1)和√(x-1)的定义域，然后求出它们的交集。
二、函数的值域的常用方法：1.考察函数表达式法：对于一些常见的函数，我们可以观察其表达式，根据其中的字母、常数等特性来确定其值域的范围。
例如，对于平方函数f(x)=x^2，我们可以观察到平方函数的输出恒为非负数，所以其值域是[0,+∞)。
2.定义域与函数性质法：当我们已经确定了函数的定义域后，可以根据函数的性质来确定其值域。
例如，对于连续函数f(x)在一些区间上单调增加或者单调减少，我们可以确定函数在该区间上取值范围。
3.极限与极大极小值法：利用函数的极限性质、导数等衍生性质来确定函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^3-3x+2，我们可以求出其导数为f'(x)=3x^2-3，然后根据导数的符号确定函数的单调性和极值点，从而确定其值域。
例说求函数值域的十种基本方法
例说求函数值域的十种基本方法求函数值域是数学中的一个重要问题，涉及到了函数的性质和特点。
接下来，我将为您介绍求函数值域的十种基本方法。
1.函数特性法首先，我们可以通过函数的特性来判断其值域。
例如，如果函数是线性函数，那么它的值域是整个实数集；如果函数是二次函数，那么它的值域可以通过求解二次方程得到。
2.函数图像法通过绘制函数的图像，可以直观地看出函数的值域。
值域可以通过观察函数图像的最高点、最低点以及其他特殊点得出。
3.函数解析式法通过函数的解析式，可以对其进行分析，确定函数的值域。
例如，对于一个多项式函数，可以通过求导，找出函数的极值点，从而得到值域。
4.函数区间法将函数的定义域划分为若干个区间，在每个区间内分别求出函数的最大值和最小值，然后取这些最值的并集，即可得到函数的值域。
5.函数性质法根据函数的性质，判断其值域。
例如，若函数是奇函数，那么其值域与定义域对称；若函数是周期函数，那么值域只需要求出一个周期内的值。
6.函数导数法通过求函数的导数，可以找出函数的极值点，然后确定函数的值域。
导数为零的点是函数的极值点，其中最大值和最小值即为函数的值域的上界和下界。
7.函数符号法通过研究函数的符号变化，可以确定函数值域。
例如，对于一个有理函数，可以研究当自变量趋于正无穷和负无穷时，函数值的变化情况。
8.函数求导法对于一些复杂的函数，可以通过对函数进行求导，并求出导函数的零点，从而找到函数的极值点。
极值点即为函数的值域的边界点。
9.函数的逆函数法若函数的逆函数存在，可以通过研究逆函数的定义域来确定函数的值域。
逆函数与原函数的值域相同，因此可以求出函数的逆函数，然后通过研究逆函数的值域来确定函数的值域。
10.函数的一些特点法对于一些具有特殊特点的函数，可以通过对这些特点进行分析，来确定函数的值域。
例如，对于一个增函数，函数的值域是从函数图像的最低点到最高点。
重难点2-1 函数值域的常见求法8大题型(解析版)
重难2-1 函数值域的求法8大题型函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。
在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
一、求函数值域的常见方法1、直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2、逐层法：求12(())n f f f x 型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3、配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“(0)x y ax bx c a =++≠”或“2[()]()(0)y a f x bf x c a =++≠”的函数均可用配方法求值域；4、换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有 （1）y cx d=+或cx d y ax b +=+的结构，可用cx d t +=”换元；（2）y ax b cx d =+±+,,,a b c d 均为常数，0,0a c ≠≠），可用“cx d t +=”换元；（3）22y bx a x =-型的函数，可用“cos ([0,])x a θθπ=∈”或“sin ([,])22x a ππθθ=∈-”换元；5、分离常数法：形如(0)ax by ac cx d+=≠+的函数，应用分离常数法求值域，即2()ax b a bc ady d cx d c c x c+-==+++，然后求值域；6、基本不等式法：形如(0)by ax ab x =+>的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a b +≥求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①0,0a b >>；②a b+（或ab ）为定值；③取等号的条件为a b =，三个条件缺一不可；7、函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）（1）形如0)y ax b ac =+<的函数可用函数单调性求值域；（2）形如by ax x=+的函数，当0ab >时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解； 当0ab <时，by ax x=+在(,0)-∞和(0,)+∞上为单调函数，可直接利用单调性求解。
高中数学讲义：利用导数解函数的最值
函数的最值一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D $Î，使得对x D "Î，均满足()()0f x f x £，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D $Î，使得对x D "Î，均满足()()0f x f x ³，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值（3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。
例如：()[)ln ,1,4f x x x =Î，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln 4,但就是达不到。
()f x 没有最大值。
（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z pp =+Î，有无穷多个。
2．“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x （1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点（2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点8、最值点的作用（1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =-+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ³=，即不等式ln 1x x £-二、典型例题：例1：求函数()x f x xe -=的最值思路：首先判定定义域为R ,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值解：()()'1x fx x e -=-，令()'0f x >,解得：1x <()f x \的单调区间为：x (),1-¥()1,+¥'()f x +-()f x Z ]()()max 11f x f e\==，无最小值小炼有话说：函数()xf x xe-=先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。
解析几何中的取值范围问题
解析几何中的取值范围问题
在解析几何中，取值范围问题是非常重要的一个部分。
一般来说，我们需要根据题意来确定自变量的取值范围，进而求解函数的值域或图像。
下面是一些常见的取值范围问题的解决方法:
1. 明确函数的定义域：在求解函数值域时，我们需要明确函数的定义域。
通常情况下，函数的定义域是求解域的子集，但也可能会出现定义域不包含求解域的情况。
2. 分析函数的导数：在求解函数值域时，我们可以利用函数的导数来确定其值域。
一般情况下，函数的导数在区间端点处取值为零，但在一些特殊情况下，导数可能不为零。
3. 利用不等式来确定取值范围：在解析几何中，我们经常利用不等式来确定自变量的取值范围。
例如，利用均值不等式、柯西不等式、排序不等式等。
4. 利用几何图形来确定取值范围：在解析几何中，几何图形是非常重要的一部分。
我们可以通过几何图形来直观理解自变量的取值范围，进而求解函数的值域或图像。
在实际应用中，取值范围问题是非常常见的。
因此，我们需要熟练掌握各种取值范围问题的解决方法，并能够灵活运用这些方法来解决实际的问题。
拓展:
在解析几何中，还有一种非常重要的取值范围问题，那就是参数方程的取值范围问题。
一般来说，参数方程的取值范围取决于参数的取值。
我们需要根据题意来确定参数的取值范围，进而求解参数方程的值域或图像。
在求解参数方程的值域或图像时，我们可以利用参数方程的导数和不等式等方法来确定其取值范围。
求函数值域的方法大全
求函数值域的方法大全
1、极限法：极限法是求函数值域的一种重要技术，可以用来求函数
的极值。
原理是找到函数的变量的极限，在此极限处求函数的极值。
求极
限的方法有四种：求不等式的极限，求一元函数的极限，求二元函数的极限，求多元函数的极限。
2、求导法：求导法是求函数的最值的经典方法。
原理是求函数的导数，当导数当0的时候，其点处就会是极值点，可以分别求函数的一次导
数和二次导数，分析二次导数的符号可以判断函数的极值点属性，从而有
效解决函数求极值问题。
3、几何法：几何法是求函数最值问题的一种有效方法。
原理是利用
函数的图象特征，以图形分析的方法在实值空间中求解函数的极值、拐点，从而求函数的最值。
因为函数图象的研究具有直观性，使用几何法能够比
较快速地解决函数最值问题。
4、范数法：范数法是求函数值域的一种重要方法，可以用来求函数
的最大值和最小值。
这种方法利用范数的基本性质，即大于等于零、对称
性以及三角不等式，一般使用二范数求解，其核心思想是将函数转化为范
数的格式，得出最值的解。
5、参数法：参数法是求函数值域的一种重要方法，可以用来求函数
的最大值和最小值。
如何用导数求函数在开区间上的值域
如何用导数求函数在开区间上的值域刘 忠 （江西省永丰中学）用导数求函数()y f x =，[],x a b ∈的最值的步骤是：（1）求导数()f x '；（2）求[],x a b ∈时的驻点（方程()0f x '=的解）；（3）求极值点0x （在0x 两侧导数值异号的驻点）；（4）求0(),(),()f x f a f b 的值；（5）下结论：0(),(),()f x f a f b 中大者为最大值，小者为最小值.如果用导数法求函数()y f x =，(],x a b ∈的最值，方法是否与上法相同呢？回答是否定的！请看下例：例题 求函数1()f x x x=+，(]0,3x ∈的值域. 错解 21()1,f x x '=- 令()0f x '=，得1x =(]()10,3x =-∉舍去. ∵ 当x (]0,1时()0f x '≤, 当x []1,3时()0f x '≥, ∴ x=1为极值点. 又∵ (1)2f =，10(3)3f =，∴最大值为103，最小值为2. 错因 因为定义域是左开右闭区间，所以虽然没有左端点但也要考虑当x 从右边趋近于左端点时函数的极限，如图.正解 21()1,f x x'=- 令()0f x '=，得1x =(]()10,3x =-∉舍去. ∵ 当x (]0,1时()0f x '≤, 当x []1,3时()0f x '≥, ∴x=1为极值点. 又∵ (1)2f =，10(3)3f =，且01lim x x x +→⎛⎫+=+∞ ⎪⎝⎭， ∴()f x 无最大值，最小值为2. 由此我们知道，用导数求函数()y f x =，(],x a b ∈的最值时，不仅要注意端点及极值点的函数值，还要注意开区间端点处的左（右）极限值.。
函数值域12种求法
函数值域的12种求法在函数的三要素中，定义域和对应法则起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。
研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。
本文就函数值域求法归纳如下，供参考。
一、函数值域的12种求法1. 观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过直接观察即可得到。
例1. 求函数 x 1y =的值域。
解：∵0x ≠ ∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数 x 3y -=的值域。
解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 函数单调性法：根据函数单调性及定义域求函数值域例9. 求函数 )10x 2(1x log 2y 35x ≤≤-+=-的值域。
解：令1x l o g y ,2y 325x 1-==-则21y ,y 在[2，10]上都是增函数所以21y y y +=在[2，10]上是增函数当x=2时，8112l o g 2y 33m i n =-+=-当x=10时，339log 2y 35max =+=故所求函数的值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡33,81例10. 求函数 1x 1x y --+=的值域。
解：原函数可化为：1x 1x 2y -++= 令1x y ,1x y 21-=+=，显然 21y ,y 在 ],1[+∞上为无上界的增函数所以1y y =，2y 在 ],1[+∞上也为无上界的增函数所以当x=1时，21y y y +=有最小值 2，原函数有最大值 222=显然 0y >，故原函数的值域为 ]2,0(3. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数 ]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
利用导数探求参数的取值范围
利用导数探求参数的取值范围
作者：沈波
来源：《试题与研究·教学论坛》2016年第13期
一、与曲线的切线有关
函数y=f（x）在点x=x0处的导数f′（x）就是相应曲线在点（x0，f（x0）处切线的斜率，即k=f′（x0），此类试题先求导数，然后转化为关于自变量x0的函数，通过求值域，从而得到切线斜率k的取值范围，而切线斜率又与其倾斜角有关，所以又会转化为求切斜角范围问题。
例1 已知点P在曲线y=ex+x上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围为_______。
思路分析：先求导函数f′（x）的值域，即切线斜率范围，而k=tanα（0
解析：由导数的几何意义，函数y=ex+x上任意一点P处切线的斜率等于改点的导函数值。
点评：第一问中要注意导函数中根与定义域的位置关系，并结合图象判断导函数的符号；第二问中需要正确理解全称量词和特称量词的含义，将其转化为f（x）max
综合上述四种类型，利用导数求解含参问题时，首先具备必要的基础知识（导数的几何意义、导数在单调性上的应用、函数的极值求法、最值求法等），其次要灵活掌握各种解题方法和运算技巧，比如参变分离法、分类讨论思想和数形结合思想等，涉及极值和最值问题时，一般情况下先求导函数，然后观察能否分解因式，若能则比较根的大小，并与定义域比较位置关系、分段考虑导函数符号，划分单调区间，判断函数大致图象；若不能分解因式，则考虑二次求导，研究函数是否具有单调性。
利用导数处理参数范围问题并不可怕，关键在于通过解题不断摸索解题思路，形成一种解题格式和套路。
（作者单位：江西省吉安县第二中学）。
求函数值域的几种常见方法详解
求函数值域的几种常见方法详解函数的值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
求函数值域的方法有几种常见的途径，包括图像法、公式法、定义域分析法和求导数法等。
下面详细介绍这几种方法：1.图像法：通过绘制函数的图像，我们可以直观地看出函数的值域。
通过观察图像的上下界限以及函数的单调性，我们可以大致确定函数的值域。
这种方法适用于简单的函数，特别是连续的函数。
但对于复杂的函数，这种方法可能不太可行。
2.公式法：有些函数可以通过一些数学公式来表示，例如多项式函数、指数函数、对数函数等。
通过观察这些公式的特点，我们可以得到函数的值域。
例如，指数函数的值域是(0,+∞)，对数函数的值域是(-∞,+∞)等。
通过数学推导和分析，我们可以得到更复杂函数的值域。
3.定义域分析法：通过分析函数的定义域和性质，我们可以推断出函数的值域。
例如，当函数的定义域为有界闭区间时，值域也是有界闭区间。
当函数的定义域是无界，但函数是有界的，值域也是有界的。
当函数具有对称性或周期性时，我们可以根据这些性质来推断函数的值域。
4.求导数法：对于可导的函数，我们可以通过求导数来研究函数的单调性。
通过研究导数的正负情况以及极值点，我们可以确定函数的值域。
当导数为正时，函数递增，值域是无穷大。
当导数为负时，函数递减，值域是无穷小。
当导数的正负变化时，函数具有极值点，这些点可能是函数值域的边界。
在求函数值域时，我们还可以结合使用以上多种方法，以得到更准确和完整的结果。
同时，需要注意的是，有些函数的值域是无法用简单的数学方法来确定的，这时我们可以利用数值计算和逼近方法来估算函数的值域。
总之，求函数值域是函数分析中的一个重要步骤，可以帮助我们了解函数的性质和行为。
通过应用图像法、公式法、定义域分析法和求导数法等方法，我们可以推断和确定函数的值域。
不同的函数可能适用不同的方法，因此需要根据具体情况综合应用多种方法来进行分析。
求函数值域的方法大全
求函数值域的方法大全函数的值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
找到函数的值域可以帮助我们了解函数的整体走势和性质。
下面是一些常见的方法帮助我们求函数值域。
1.用图形法求值域：使用图形来观察函数的形状和趋势，根据图形的有界性和单调性来确定函数值域的范围。
例如，如果函数是上凸的，那么它的值域可能是从函数的最小值开始一直到正无穷大。
如果函数是下凸的，那么它的值域可能是从负无穷大到函数的最大值。
2.用定义法求值域：通过函数的定义式，将自变量的范围带入函数，计算函数的输出值，从而找到函数的可能取值。
例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以把不同的x值代入函数中，并记录下函数的输出值，得到一个可能的值域的集合。
3.用反函数法求值域：如果函数具有反函数，可以通过求反函数的定义域来求原函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^2，它的反函数是f^(-1)(x)=√x，定义域为非负实数，因此原函数的值域也是非负实数。
4.用导数法求值域：对于给定范围内的函数，利用导数求得函数的驻点和拐点，结合函数的单调性和图像的形状来求值域。
例如，当函数的导数为零时，这些点可能是函数的最大值或最小值，通过比较这些点的对应函数值，可以确定函数的值域的上下界。
5.用极限法求值域：当函数的定义域是无界的时候，可以利用函数的极限来求值域。
通过求函数在正无穷大和负无穷大时的极限，可以确定函数的值域的上下界。
6.用解析法求值域：对于一些特定形式的函数，可以通过解析方法求值域。
例如，对于一次函数f(x)=ax+b，其中a和b为常数，如果a>0，则函数的值域是从负无穷大到正无穷大的实数集合。
7.用二次函数求值域：对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，其中a>0，可以通过将二次函数转化为顶点形式来求值域。
首先通过求导数找到二次函数的极值点（即顶点），然后结合函数的开口方向和顶点的y坐标，可以确定二次函数的值域。
8.用指数和对数函数求值域：对于指数函数f(x)=a^x和对数函数f(x)=log_a(x)，其中a>0且a≠1，可以利用指数和对数函数的性质来求值域。
函数求值域的15种方法
函数求值域的15种方法
1. 通过图像观察函数的值域
2. 分析函数的定义域和性质来求值域
3. 使用函数的极限来求值域
4. 使用反函数来求值域
5. 使用微积分方法求值域
6. 利用代数方法求值域
7. 使用函数的导数来求值域
8. 使用平移、伸缩和反转等变换来求值域
9. 使用图像变换方法来求值域
10. 利用函数的周期性来求值域
11. 利用函数的分段定义来求值域
12. 使用函数的周期性来求值域
13. 利用对称性来求值域
14. 使用级数和级数收敛性来求值域
15. 利用函数的特殊性质和特殊值来求值域。
求函数值域的十种方法
求函数值域的常用方法函数的值域是指函数能够取到的所有可能的输出值。
确定一个函数的值域有很多常用的方法，下面将介绍其中一些常用的方法。
1.求极限。
当自变量趋于无穷大或无穷小时，函数的极限可以帮助确定函数的值域。
如果一个函数的极限存在，并且随着自变量的增大或减小而无限接近一些确定的值，那么该函数的值域一定包含该极限值。
2.分析函数的定义域。
函数的定义域是指函数的自变量的取值范围。
如果函数在定义域上是连续的，并且没有间断点，那么函数的值域可以通过分析函数在定义域上的取值范围来确定。
3.分析函数的图像。
函数的图像是函数在坐标平面上的表示。
通过观察函数的图像可以初步估计函数的值域。
如果函数的图像在一些区间上单调递增或递减，并且没有振荡现象，那么该函数的值域将是该区间的闭区间。
4.求函数的导数。
函数的导数描述了函数的变化趋势。
通过求函数的导数可以确定函数的极值点，从而确定函数的值域。
当函数的导数在一些点处为零，并且在该点的左侧和右侧具有不同的符号，那么该点就是函数的极值点。
函数在极值点取到最大值或最小值时，该值一定属于函数的值域。
5.利用奇偶性。
一些函数具有奇偶性，即在定义域内满足一定的对称性。
如果函数是偶函数，则函数的值域在对称轴上具有对称性，可以根据对称轴的函数值确定其值域。
如果函数是奇函数，则函数的值域在原点上具有对称性。
6.利用函数的周期性。
一些函数具有周期性，即在定义域内满足重复性。
如果函数是周期函数，那么其值域也是周期性的，可以通过分析一个周期内的函数值来确定其值域。
7.求函数的反函数。
有些函数存在反函数，通过求反函数可以确定函数的值域。
反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域。
8.利用已知的数学性质。
根据一些已知的数学性质来确定函数的值域，例如三角函数的取值范围是[-1,1]，对数函数的定义域是正实数，指数函数的值域是正实数等。
以上是常用的一些方法来确定函数的值域。
在实际问题中，可以结合多种方法来确定函数的值域。
求函数值域的常用方法
求函数值域（最值）的方法大全函数是中学数学的一个重点,而函数值域(最值)的求解方法更是一个常考点, 对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，因此能熟练掌握其值域(最值)求法就显得十分的重要，求解过程中若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。
本文旨在通过对典型例题的讲解来归纳函数值域(最值)的求法，希望对大家有所帮助。
一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.，反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 二、求函数值域（最值）的常用方法 1. 直接观察法适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域(最值)的简单函数例1、求函数y =211x +的值域 解： 22111,011x x +≥∴<≤+ 显然函数的值域是：(]0,1例2、求函数y =2－x 的值域。
解： x ≥0 ∴－x ≤0 2－x ≤2故函数的值域是：[-∞，2 ] 2 、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例3、求函数y=2x -2*+5，*∈[-1，2]的值域。
利用导数求参数的取值范围方法归纳
利用导数求参数的取值范围一．已知函数单调性，求参数的取值范围类型1．参数放在函数表达式上例１． 设函数R a ax x a x x f ∈+++-=其中86)1(32)(23．的取值范围求上为增函数在若的值求常数处得极值在若a x f a x x f ,)0,()()2(.,3)()1(-∞=二．已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围类型１．参数放在不等式上例3.已知时都取得极值与在132)(23=-=+++=x x c bx ax x x f（1）求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间．（2）若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围． __________)(]2,1[,522)(.323的取值范围是则实数都有若对任意已知函数m m x f x x x x x f >-∈+--=类型2．参数放在区间上例４．已知三次函数d cx x ax x f ++-=235)(图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且)(x f 在x=3处有极值.（1）求)(x f 的解析式.（2）当),0(m x ∈时, )(x f >0恒成立,求实数m 的取值范围.分析:(1)935)(23++-=x x x x f ]3,0(),0(0)(]3,0(),0(0)(30)3()(,)(,0)()3,31(9)0()()(,0)()31,0(3,310)()3)(13(3103)().2(''21‘2'的取值范围为所以内恒成立在时当且仅当内不恒成立在时所以当所以单调递减时当所以单调递增时当得由m m x f m ，m x f m f x f x f x f x f x f ，x f x f x x x x f x x x x x f >∈>>=><∈=>>∈===--=+-=基础训练：.___________24.434的取值范围是则实数都成立对任意实数若不等式a ，x a x x -≥-三．知函数图象的交点情况，求参数的取值范围．例5.已知函数1,13)(23=-=-+=x x x bx ax x f 在处取得极值(1) 求函数)(x f 的解析式.(2) 若过点)2)(,1(-≠m m A 可作曲线y=)(x f 的三条切线,求实数m 的取值范围.略解(1)求得x x x f 3)(3-=(2)设切点为33)(),3,(2'0300-=-x x f x x x M 因为200'20300020300200302066)(332)(,0332)1)(33(3),1)(33(x x x g m x x x g x A m x x x x m x x Mx x m y -=++-=**=++---=----=-则设有三个不同的实数根的方程所以关于可作曲线的三条切线因为过点即所以又切线过点所以切线方程为)2,3(230)1(0)0(1,0)(,)1,0(,),1(),0,()(100)(00000000'---<<-⎩⎨⎧<>*==+∞-∞===的取值范围是所求的实数解得条件是有三个不同实根的充要的方程所以关于的极值点为故函数上单调递减在上单调递增在所以或得由m m g g x x x x g x g x x x g总结:从函数的极值符号及单调性来保证函数图象与x 轴交点个数.基础训练：轴仅有一个交点与曲线在什么范围内取值时当的极值求函数为实数设x x f y a x f ax x x x f a )(,)2()()1()(,.523=+--=变式2：若函数5)(23-+-=x x ax x f 在),(+∞-∞上单调递增，求a 的取值范围。
利用导数求参数的取值范围
利用导数求参数的取值范围在数学中，导数是一个非常重要的概念，用于刻画函数在其中一点的变化率。
利用导数求参数的取值范围，常常用于优化问题、最值问题等等。
下面我将从几个典型的例子入手，详细介绍如何利用导数求参数的取值范围。
首先，我们考虑一个简单的一元函数的例子。
假设有一个函数f(x)，它的导数f'(x)在一些区间内恒大于0。
那么我们可以推知，在这个区间内，f(x)是递增的。
反过来，如果f'(x)在一些区间内恒小于0，那么f(x)在该区间是递减的。
利用这一点，我们可以通过求导数的方式来确定参数的取值范围。
举个例子来说明。
假设我们要求函数f(x) = ax^2 + bx + c(x > 0)在0到正无穷的取值范围。
我们可以先计算导函数f'(x) = 2ax + b。
由于题目中没有给定a的取值范围，我们要通过导数f'(x)来确定a的取值范围。
首先，我们要求f'(x)大于0。
这意味着2ax + b大于0。
当a大于0时，方程2ax + b = 0没有实数解，所以我们要求a小于0。
然后，我们要求f'(x)在x > 0时恒大于0，即对所有的x > 0，2ax + b > 0。
这表明a也必须小于0才能满足这个条件。
因此，我们可以得出结论，a小于0。
至于b和c，没有给出取值范围的要求，所以可以是任意实数。
接下来，我们考虑一个多元函数的情况。
同样地，我们希望通过求导数来确定参数的取值范围。
假设有一个二元函数f(x, y) = x^2 + y^2 + ax + by + c。
我们可以分别计算f对x和y的偏导数f_x和f_y。
如果f_x和f_y的取值范围有限，那么我们可以据此确定a和b的取值范围。
举个例子来说明。
假设我们要求函数f(x, y) = x^2 + y^2 + ax +by + c在整个二维平面的取值范围。
我们计算f对x和y的偏导数，得到f_x = 2x + a和f_y = 2y + b。
函数求值域的方法
函数求值域的方法要求一个函数的值域，就是要确定函数所有可能的输出值组成的集合。
求解函数的值域可以使用多种方法，下面给出几种常见的方法。
1.图像法：利用函数的图像来确定值域。
对于函数$f(x)$，可以绘制出其图像，并观察图像的整体形状以及趋势，确定函数的值域。
2.定义域与连续性：对于连续函数，可以利用定义域的性质来求解其值域。
先求解定义域，然后观察函数在定义域上的变化情况，判断其是否存在极值点、单调递增递减区间等性质，进而确定函数的值域。
3.导数法：对于可导函数，可以求解其导数，并观察导数的性质，判断函数在极值点、拐点等位置的变化情况，从而推断函数的值域。
4.分段函数法：对于分段函数，将函数分成多个部分，分别求解各个部分的值域，然后将这些值域合并起来，得到整个函数的值域。
5.利用函数的性质：利用函数的特定性质，比如奇偶性、周期性等，来推导函数的值域。
通过观察函数的性质，可以得到一些约束条件，从而确定函数的值域。
6.极值法：对于有界闭区间上的连续函数，可以通过求解其极值点，以及观察极值点的性质来确定函数的值域。
7.广义值域：对于复合函数、反函数等情况，可以利用相关的函数性质和变换进行求解。
通过对函数的复合、反函数的求解，可以确定广义值域，即函数的所有可能输出值的集合。
在实际应用中，常常需要结合多种方法来确定函数的值域。
可以综合运用图像法、导数法、分段函数法等多种方法，特别是观察函数的性质和变化规律，从而更准确地确定函数的值域。
同时，函数的值域可能是一个区间、一个集合、一个集合的并集等形式，要充分考虑不同情况下的求解方法。
最后，对于特殊情况和特殊函数，还需要进一步研究和推导，才能确定其值域。
利用导数求参数的取值范围方法归纳
利用导数求参数的取值范围方法归纳导数在数学中广泛应用，它可以表示函数的变化率。
在求取参数的取值范围时，可以利用导数的性质来推导出函数与参数之间的关系。
下面将介绍利用导数求参数取值范围的一些常见方法。
一、利用导数判断函数的单调性：考虑函数$f(x)$的单调性，可以使用导数来帮助我们判断。
如果函数$f(x)$在其中一区间上的导数恒大于零，那么函数在该区间上是递增的；如果导数恒小于零，那么函数递减。
1.对于一元函数$f(x)$，可以计算其导数$f'(x)$，然后解方程$f'(x)=0$，将问题转化为求解函数的极值点。
如果求解出的极值点满足题目给定的参数范围条件，则参数的取值范围就是极值点的区间。
2.对于二元函数$f(x,y)$，可以将其看作一个以参数$y$为变量的函数$g(x)=f(x,y)$。
然后计算$g'(x)$，利用一元函数的方法来判断参数的取值范围。
3.对于多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，我们可以对其中的一个变量求导，将其它变量视为常数，从而转化为一元函数的问题。
二、利用导数判断函数的极值：考虑函数$f(x)$的极值情况，可以求取其导数$f'(x)$，然后判断导数的正负性。
1.对于一元函数$f(x)$，如果导数$f'(x)$在特定点$x_0$处为零，并且$x_0$处的导数的左右性质相异，那么函数在$x_0$处取得极值。
2.对于二元函数$f(x,y)$，可以将其看作一个以参数$y$为变量的函数$g(x)=f(x,y)$。
然后计算$g'(x)$，判断导数的正负性来确定参数的取值范围。
3.对于多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，我们可以对其中的一个变量求导，将其它变量视为常数。
然后再对求得的一元函数进行求导判断极值。
三、利用导数判断函数的凸凹性：考虑函数$f(x)$的凸凹性质，可以使用导数$f''(x)$来判断。
求含有根式的函数值域的几种方法
解题宝典由于函数的解析式中含有根式，所以含有根式的函数值域问题一般比较复杂.如何处理根式，将问题转化为常规的函数值域问题是解题的关键.其实处理根式的方法有很多，如平方、三角代换、求导、借助向量等.下面介绍求含有根式的函数值域的几种方法.一、平方法当遇到根式时，很多同学的第一个想法是对其平方以去掉根号.在求含有根式的函数值域时，我们可以采用平方法，先对函数式进行平方，通过恒等变形将其转化为常规的函数式，再根据函数的图象和性质求得函数的值域.例1.求函数y =1-x +x +3的值域.解：由y =1-x +x +3可知函数的定义域为[]-3,1，则y 2=4+2-x 2-2x +3，而f ()x =-x 2-2x +3为二次函数，又f ()x =-()x +12+4，当x ∈[]-3,1时，f ()x ∈[]0,4，则y max =M =22，y min =m =2，所以y ∈[]2,22.这里通过平方，将函数式转化为只含有一个根式的式子，而根号下的式子为二次函数，借助二次函数的性质，便可求得根号下式子的值域，进而求得原函数的值域.二、三角代换法三角代换法是将函数式中的变量用三角函数替换，借助三角函数的有界性求得函数值域的方法.运用三角代换法，可将含根式函数的值域问题转化为三角函数的值域问题.例2.求函数f ()x =x +4-x 2的值域.解：由题意可知函数的定义域为x ∈[]-2,2，设x =2sin t ，t ∈éëùû-π2，π2，则y =2sin t +2cos t =22sin æèöøt +π4.而t +π4∈éëùû-π4，3π4,所以sin æèöøt +π4∈éëêùûú,故y ∈[]-2,22，即函数f ()x =x +4-x 2的值域为y ∈[]-2,22.我们由4-x 2联想到4sin 2x +4cos 2x =4，于是令x =2sin t ，通过三角代换，将问题转化为三角函数的值域问题.运用三角代换法求含有根式的函数的值域，需重点关注三角函数的定义域.三、导数法若含有根式的函数在某个区间上可导，便可利用导数法求出函数在该区间上的极值，再将极值与函数的端点值比较，便可确定函数的值域.利用导数法求含有根式的函数的值域，需熟记求导法则：(x α)′=αx α-1以及y x ′=y u ′·u x ′，在求出导函数后根据导函数与0之间的关系判断函数的单调性.例3.求函数y =2x +4-x +3的值域.解：由题意可得{2x +4≥0，x +3≥0，∴x ≥-2，∴函数y =2x +4-x +3]+∞，y ′=12x +4-12x +3=x +3-2x +42x +4∙x +3，又∵2x +3-2x +4=2x +82x +3+2x +4，∴当x ≥-2时，y ′>0，函数y =2x +4-x +3在()-2，+∞上是增函数；又∵f ()-2=-1，∴y =2x +4-x +3的值域为()-1,+∞.函数解析中含有两个根式，较为复杂，需先求出函数的定义域，再对函数进行求导，确定函数的单调性，进而得到函数的极值和最值.含有根式的函数值域问题具有较强的灵活性和特殊性，侧重于考查同学们生的应变能力.因此，在求此类函数的值域时，同学们要熟记初等函数的性质以及求导法则，对根式进行合理的变形，灵活利用初等函数、三角函数、导函数的性质来解题.（作者单位：江苏省泰州实验中学）39Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
利用导数求函数值域
利用导数求函数最值高二苏庭导数是对函数的图像与性质的总结与拓展，导数是研究函数单调性极佳、最佳的重要工具，在掌握求函数的极值和最值的基础上学习用导数解决生产生活中的有关最大最小最有效等类似的应用问题广泛运用在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面。
导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分内容的考查将仍会以导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等，考题不难，侧重知识之意。
导数应用主要有以下三个方面：①运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题，②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率。
函数y=f(x)在x=x0处的导数，表示曲线在点P（x0 , y0）处的切线斜率。
由导数来求最值问题的方法可知，解这类实际问题需先建立函数关系，再求极值点，确定最值点及最值．在设变量时可采用直接法也可采用间接法．求函数极值时，导数值为0的点是该点为极值点的必要条件，但不是充分条件。
运用导数确定函数单调区间的一般步骤为：（1）求出函数y=f(x)的导函数；（2）在函数定义域内解不等式得函数y=f(x)的单调增区间；解不等式得函数y=f(x)的单调减区间。
例题剖析例1、求函数的值域.分析：求函数的值域以前学过一些方法，也可利用求导的方法，根据函数的单调性求解.解答：函数的定义域由求得，即x≥－2.当x>－2时，y′>0，即函数，在（－2，＋∞）上是增函数，又f(－2)=－1，∴所求函数的值域为[－1，＋∞）.点评：（1）从本题的解答过程可以看到，当单调区间与函数的值域相同时，才可使用此法，否则会产生错误.（2）求值域时，当x=－2，函数不可导，但函数在[－2，＋∞）上是连续的，函数图象是连续变化的，因此在x=－2时，取得最小值. 例2、把长度为16cm的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积之和的最小值为多少？分析：建立面积和与一正方形的周长的函数关系，再求最小值．解答：设一段长为xcm，则另一段长(16－x)cm．∴面积和∴S′＝－2，令S′＝0有x＝8．列表：∴当x＝8点评：这是解实际应用题的一般方法．先构造函数关系，再求满足条件的解，极值或最值．例3、如图所示，在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成图形中有个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值。