公式法-平方差公式
15.4.2_公式法--平方差公式
复习
1.计算：
( x 2 y)(x 2 y)
运用了什么知识？
复习
乘法公式 平方差公式：
(a b)(a b) a b
2
2
探究
2
Ⅰ.怎样将多项式a
b
2
进行因式分解？
2 2
(a b)(a b) a b
整式乘法
2 2
a b (a b)(a b)
2
(3)(x y) ( z m)
2
2
• 例3.分解因式：
(1) x y ;
4 4 3
(2)a b ab. 若有公因式，一定
要先提取公因式.
因式分解要分到 每个因式都不能 分为止.
范例
例4.简便计算： 1. 565 435
2 2
1 2 1 2 2. (65 ) (34 ) 2 2
先确定a和b
巩固
2.下列多项式能否用平方差公式分解因 式？
x y
2
2
x y
2
2
2
2
x y
2
2
x y
2 2 特别提醒：a 和b 的符号相反
巩固练习：
1.选择题： 1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ A. 4X² +y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X² -y³
D
）
）
D. - X² + y²
2) -4a²+1分解因式的结果应是 （ A. -(4a+1)(4a-1) C. -(2a +1)(2a+1) 2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1 B. D.
公式法之平方差公式
公式法之平方差公式平法差公式是指在代数运算中，存在一种形如(a+b)(a-b)的乘法运算规则，可以将两个相邻的平方差式表示为一个乘法式，从而简化计算。
平方差公式的推导可以通过展开乘法(a+b)(a-b)的过程进行，具体推导如下：首先，我们假设a和b是任意实数。
那么(a+b)可以看作是一个单位，(a-b)可以看作是一个差数。
我们将其展开：(a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)接下来，我们将展开式中的乘法运算进行分配：=a*a-a*b+b*a-b*b= a^2 - ab + ba - b^2由于ab和ba表示的是相同的乘法运算，所以我们可以将它们合并：= a^2 - ab + ab - b^2=a^2-b^2可以看到，展开式的结果是a^2和b^2的差。
这个差就是平方差公式的核心内容。
因此，平方差公式可以表示为：(a+b)(a-b)=a^2-b^2这个公式在代数运算中非常常用，并且在很多数学问题的解答中都会用到。
通过使用平方差公式，可以将两个相邻的平方差式简化为一个乘法式，从而可以更方便地进行运算。
举例来说，假设我们需要计算(3+2)(3-2)的值。
根据平方差公式，可以得到：(3+2)(3-2)=3^2-2^2=9-4=5因此，(3+2)(3-2)的值等于5平方差公式在解决二次方程、因式分解、简化分数等问题中都有广泛的应用。
通过运用平方差公式，可以将复杂的运算问题转化为简单的代数运算，从而更加容易进行计算和解答。
总结起来，平方差公式是一种代数运算规则，可以将两个相邻的平方差式表示为一个乘法式。
通过使用平方差公式，可以简化计算过程，提高计算效率。
在数学问题的解答中，平方差公式具有广泛的应用价值。
这就是平方差公式的基本原理和推导过程。
沪教版七年级数学上册 公式法—平方差公式(第1课时)
5.观察下列计算过程：
32-12=9-1=8=8×1； 52-32=25-9=16=8×2； 72-52=49-25=24=8×3； 92-72=81-49=32=8×4；
......
你能从上式中得出什么结论？说明理由.
解：根据上列各式得出的结论是
两个连续奇数的平方差是8的整数倍.
设两个连续奇数为2n+1、2n-1(n为正整数)
(2) 16a2-9b2
公式中的a和b 表示单项式
(1)解:原式 =62-(5x)2
(2)解:原式 =(4a)2-(3b)2
=(6+5x)(6-5x)
=(4a+3b)(4a-3b)
★在使用平方差公式分解因式时，步骤为： 1.变形（明确哪个相当于 a , 哪个相当于 b. ） 2.分解
例题2：分解因式：
当堂练习
1.利用因式分解计算:
“数”与“式” 的相互变换
(1) 10122-9882
(2) 9×1222-4×1332
解(1)原式=(1012+988)(1012-988)(2) 原式=(3×122)2 -(2×133)2
=2000×24
=3662 -2662
=4800
=(366+266)(366-266)
可以，因为 4x 2 可写为 (2x) 2 9 y 2可写为 (3y)2
，所以原式可看作两数的平方差，即： 4x2 9y2 (2x)2 (3y)2 (2x 3y)(2x 3y)
a 2 ▲ b 2 ( a ▲ b )( a ▲ b )
（１）公式左边：
★多项式含有两项，且这两项异号，并且能写 成（ ）２－（ ）２的形式。
能
(3)a2 -（-b）2 = a2 - b2 = (a+b)(a-b) 能
运用公式法——平方差公式教案
运⽤公式法——平⽅差公式教案运⽤公式法——平⽅差公式教案教学⽬标（⼀）知识认知要求1.使学⽣了解运⽤公式法分解因式的意义；2.使学⽣掌握⽤平⽅差公式分解因式.3.使学⽣了解，提公因式法是分解因式的⾸先考虑的⽅法，再考虑⽤平⽅差公式分解因式.（⼆）能⼒训练要求1.通过对平⽅差公式特点的辨析，培养学⽣的观察能⼒.2.训练学⽣对平⽅差公式的运⽤能⼒.（三）情感与价值观要求在引导学⽣逆⽤乘法公式的过程中，培养学⽣逆向思维的意识，同时让学⽣了解换元的思想⽅法.教学重点让学⽣掌握运⽤平⽅差公式分解因式.教学难点将单项式化为平⽅形式，再⽤平⽅差公式分解因式；培养学⽣多步骤分解因式的能⼒. 教学过程⼀、创设问题情境,引⼊新课在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把⼀个多项式分解成⼏个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在⼀个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从⽽将多项式化成⼏个因式乘积的形式.如果⼀个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利⽤这种关系找到新的因式分解的⽅法，本节课我们就来学习另外的⼀种因式分解的⽅法——公式法.⼆、新课讲解1.请看乘法公式（a +b ）（a －b ）=a 2－b 2 （1）左边是整式乘法，右边是⼀个多项式，把这个等式反过来就是a 2－b 2=（a +b ）（a －b ）（2）左边是⼀个多项式，右边是整式的乘积.⼤家判断⼀下，第⼆个式⼦从左边到右边是否是因式分解？符合因式分解的定义，因此是因式分解.对，是利⽤平⽅差公式进⾏的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平⽅差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平⽅差公式.2.公式讲解请⼤家观察式⼦a 2－b 2,找出它的特点.公式的特点下⾯按公式分类，⼀⼀进⾏阐述．(1)平⽅差公式：))((22b a b a b a -+=-这⾥a ，b 可以表⽰数、单项式、多项式．公式的特点是：①左侧为两项；②两项都是平⽅项；③两项的符号相反．（是⼀个⼆项式，每项都可以化成整式的平⽅，整体来看是两个整式的平⽅差.如果⼀个⼆项式，它能够化成两个整式的平⽅差，就可以⽤平⽅差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.）如x 2－16=（x ）2－42=（x +4）（x －4）.9 m 2－4n 2=（3 m ）2－（2n ）2=（3 m +2n ）（3 m －2n ）3.例题讲解例1 ：把下列各式分解因式：（1）25－16x 2; （2）9a 2－41b 2. 解：（1）25－16x 2=52－（4x ）2=（5+4x ）（5－4x ）; （2）9a 2－41b 2=（3a ）2－（21b ）2 =（3a +21b ）（3a －21b ）. 例2 ：把下列各式分解因式:（1）9（m +n ）2－（m －n ）2;（2）2x 3－8x .解：（1）9（m +n ）2－（m －n ）2=［3（m +n ）］2－（m －n ）2=［3（m +n ）+（m －n ）］［3（m +n ）－（m －n ）］=（3 m +3n + m －n ）（3 m +3n －m +n ）=（4 m +2n ）（2 m +4n ）=4（2 m +n ）（m +2n ）（2）2x 3－8x =2x （x 2－4）=2x （x +2）（x －2）说明：例1是把⼀个多项式的两项都化成两个单项式的平⽅，利⽤平⽅差公式分解因式；例2的（1）是把⼀个⼆项式化成两个多项式的平⽅差，然后⽤平⽅差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再⽤平⽅差公式分解因式，由此可知，当⼀个题中既要⽤提公因式法，⼜要⽤公式法分解因式时，⾸先要考虑提公因式法，再考虑公式法. 补充例题3：判断下列分解因式是否正确.（1）（a +b ）2－c 2=a 2+2ab +b 2－c 2.（2）a 4－1=（a 2）2－1=（a 2+1）·（a 2－1）.解：（1）不正确.本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进⾏因式分解.（2）不正确.错误原因是因式分解不到底，因为a 2－1还能继续分解成（a +1）（a －1）.应为a 4－1=（a 2+1）（a 2－1）=（a 2+1）（a +1）（a －1）.例4 ：把下列各式分解因式：（1）22b a 9-；（2）22m n 4+-；（3）22b 9a 161-；（4）422c b 25a 16-；（5）09.0y x 4122+-。
平方差公式法分解因式
15.4，1 运用公式法——平方差公式一、学习目标1.了解运用公式法分解因式的意义；2.掌握用平方差公式分解因式.3.了解提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.二、学习重点让学生掌握运用平方差公式分解因式.学习难点将单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力.三、教学过程（一）创设问题情境,引入新课在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.（二）新课1.请看乘法公式（a +b ）（a －b ）=a 2－b 2 （1）左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是a 2－b 2=（a +b ）（a －b ） （2）左边是一个多项式，右边是整式的乘积你判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？2.例题讲解例1把下列各式分解因式：（1）25－16x 2; （2）9a 2－41b 2.例2把下列各式分解因式:（1）9（m +n ）2－（m －n ）2; （2）2x 3－8x .补充例题：判断下列分解因式是否正确.（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2. （2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）·（a2－1）.（三）随堂练习1.判断正误（1）x2+y2=（x+y）（x－y）; （2）x2－y2=（x+y）（x－y）;（3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）; （4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）.2.把下列各式分解因式（1）a2b2－m2（2）（m－a）2－（n+b）2（3）x2－（a+b－c）2（4）－16x4+81y4（5）36（x+y）2－49（x－y）2;（6）（x－1）+b2（1－x）;（8）（x2+x+1）2－1.四.小结我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法.如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行.第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止.五作业习题15.4第2题六.活动与探究学后反思：。
14.3.2 公式法---平方差公式
【例题】
【例1】把下列各式分解因式： （1）25－16x2. 【解析】（1）25－16x2 =52－（4x）2 =（5+4x)(5－4x）. （2）9a2－b2.
（2）9a2－b2
=（3a）2－（b）2 =（3a+b)(3a－b）.
你能由以上知识分解下列几个多项 式吗?
解：(1)、p2-16=(p+4)(p-4) （2）、y2-4=(y+2)(y-2)
1) 38² -37² 2) 213² -87² 3) 229² -171² 4) 91×89
已知，x+ y =7，x-y =5，求代数式 x2y2-2y+2x的值． 解： x2－y2－2y+2x
=x2－y2＋（2x－2y）
=（x +y）（ x －y ）＋2（x－y）
=（ x －y ）（ x ＋y ＋2）
3. -1)=4a(a+1)(a-1) 1原式=4a(a² 5)、 ─ a² 2 =(7a+2b-5c)(-3a+2b+5c) 2
用平方差公式进行简便计算:
解：4） 91×89 解：解： 1） 3 38² ）-37² 229² -171² =（90+1）（90-1 ） =（ 38+37 ）（ 38-37 ）229-171 =75 = （213² 229+171 ）（ ） 2) -87² =90² -1=8100-1=8099 =400×58=23200 =(213+87)(213-87) =300×126=37800
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a²- b²
整式乘法
a²- b² = (a+b)(a-b)
2.3运用公式法
任何一个正奇 你发现了什么规 数都可以表示 律？能用因式分 解来说明你发现 成两个相邻自 的规律吗？ 然数的平方差。 对于正奇数 2n+1(n为自然 2 2 数)，有 n 1 n
1 3 5 7 …
1 12 02
3 22 12
5 32 22
7 42 32
…
ห้องสมุดไป่ตู้
n 1 n n 1 n 2n 1
1.把下列各式分解因式
(1)(a 2 b 2 ) 2 4 a 2 b 2
（1）x -12xy+36y (1)18a2-50 4 2 2 4 (2)16a +24a b +9b (2)-3ax2+3ay4 2 2 (3)-2xy-x -y (3)(a+b)2-4a2 2 (4)4-12(x-y)+9(x-y) (4)-25x2y2+100 2+2a2x+a3; (5) ax 2 2 (5)4(a-b) -9(2a+3b) 2+6xy－3y2. (6) － 3 x 2 2 2 (6)(x +3x) -(x+1)
已知3a+b=10000，3a-b=0.0001， 求 b2-9a2 的值.
3.下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（ ） A、x4+6x2y2+9y4 B、x2n-2xnyn+y2n C、x6-4x3y3+4y6 D、x4+x2y2+y4
4.如果100x2+kxy+y2可以分解为（10x-y)2,那么k的值是（ A、20 B、-20 C、10 D、-10 5.如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ A 、6 B、±6 C、3 D、±3 ） ）
公式法-平方差公式
11.3公式法――平方差公式【教材依据】本节课是冀教版数学七年级下册第十一章因式分解第三节公式法第一课时内容。
【教材分析】因式分解是初中数学的一个重要内容，它贯穿、渗透在各种代数式问题中，为以后学习分式运算、解方程和方程组提供必要的基础。
本节课是在学习了正式的乘法、乘法公式和提公因式因式分解之后，让学生利用逆向思维而得到平方差公式因式分解的方法，而运用平方差公式分解因式又是分解因式的一个重要内容。
它对学习机完全平方式因式分解和后面要学习的分式化简和计算，对九年级学习一元二次方程的解法和二次函数都有着重要的影响，所以学好本节课至关重要，【学情分析】学生在本册第八章已经学习了整式的运算，前一节学习了提公因式法分解因式。
已经初步体会到了乘法公式与因式分解的互逆关系，通过对乘法公式22b -a b -a b a =+））（（的逆向变形，容易得出））（（b -a b a b -a 22+=，但准确理解和掌握公式的结构特征，进行因式分解对学生来说还存在着一定的难度，学生归纳、类比、概括的能力有待加强。
【指导思想】以新课标要求“培养学生的合作探究和归纳总结”的教育理念为指导，引导学生通过复习旧知逐步过渡到新知，贯穿类比、还原的数学思想方法，通过小组讨论和学生讲解习题的过程培养学生数学文字语言应用和准确应用数学符号表达问题的能力。
采取启发式的教学方法，引导学生积极思考问题，从中培养学生的思维品质。
【教学目标】知识与技能：会用平方差公式进行因式分解。
过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维。
情感态度与价值观:在探究的过程中培养学生独立思考的习惯。
【教学重难点】【重点】能说出平方差公式的结构特征。
【难点】能较熟练地应用平方差公式分解因式。
【教学过程】复习导入：在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式成绩的形式。
公式法之平方差公式
公式法之平方差公式平方差公式，又称差平方公式，是数学中常用的一个公式，可以用来计算两个数的平方差。
平方差公式可以简化计算，提高计算的效率。
平方差公式表述为：两个数的平方差等于两个数的和乘以两个数的差。
假设有两个数a和b，那么它们的平方差可以表示为：(a+b)(a-b)也可以使用符号表示为：(a+b)²-(a-b)²具体的推导过程如下：首先，我们可以展开(a+b)²和(a-b)²。
根据乘法公式，(a+b)²可以展开为：(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + 2ab+ b²同样地，(a-b)²可以展开为：(a - b)² = (a - b)(a - b) = a² - 2ab + b²接下来，我们要计算这两个展开式的差：(a + b)² - (a - b)² = (a² + 2ab + b²) - (a² - 2ab + b²)通过去括号运算，可以得到：(a + b)² - (a - b)² = a² + 2ab + b² - a² + 2ab - b²合并同类项，可以得到：(a + b)² - (a - b)² = 4ab也就是说，两个数的平方差等于4倍两个数的乘积。
这就是平方差公式的具体推导过程。
平方差公式的应用非常广泛。
比如，我们可以利用平方差公式来简化计算多项式的乘法或除法运算。
另外，平方差公式也常常用来证明一些数学定理或解析几何问题。
在物理学中，平方差公式也常常用来分析物体的运动变化。
除了平方差公式，还有其他一些类似的公式，比如平方和公式和立方差公式。
平方和公式用来计算两个数的平方和，立方差公式用来计算两个数的立方差。
初中数学教案《公式法-平方差公式》
初中数学教案《公式法-平方差公式》
初中数学教案《公式法-平方差公式》
一、教学目的
【知识与技能】
理解和掌握公式(平方差)的构造特征，会运用公式法(1)因式分解。
【过程与方法】
培养观察、分析^p 才能，深化逆向思维才能和数学应用意识，浸透整体思想。
【情感态度价值观】
让学生在自主学习的过程中探究新知，体验获取新知的喜悦，增强学习数学的兴趣和信心。
二、教学重难点
【教学重点】
会运用公式法(1)因式分解。
【教学难点】
准确理解和掌握公式的构造特征，并灵敏运用公式法因式分解。
三、教学过程
(一)引入新课
提问：
1.我们学过哪些因式分解的方法?
2.我们学过哪些整式乘法的公式?
(二)探究新知
课件展示以下问题，由学生独立完成：
1.还记得七年级学过的整式的乘法公式吗?
2.你能用数学语言描绘平方差公式吗?
3.假如将平方差公式反过来，就可以得到一个什么样的公式：
这种因式分解的方法叫做公式法。
请用数学语言描绘这一公式。
4.考虑：什么样的多项式可以用这一公式因式分解?
(1)公式有什么构造特征?(二次二项式)
(2)两个平方项的符号有什么特点?
(3)公式中的字母a、b可以表示什么?
小组内三分钟内交流答案，把解决不了的难点归纳总结出来由教师帮助解决。
(三)课堂练习
让学生自己尝试完成书上的例1和例2。
(四)小结作业
提问：今天学到了什么?
本节课的课后作业我设计为：完成书后练习题。
四、板书设计。
初二所有数学公式归纳总结
初二所有数学公式归纳总结大家都知道，学习数学，什么都不多，公式最多。
一起来看看初二的公式都有哪些吧。
下面是店铺分享给大家的初二所有数学公式归纳，希望大家喜欢!初二所有数学公式归纳(一)运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
(二)平方差公式1.平方差公式(1)式子： a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
(三)因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
(四)完全平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和 (a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
(2)完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。
③有一项是这两个数的积的两倍。
(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
(4)完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
(5)分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
(五)分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式.如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式.原式=(am +an)+(bm+ bn)=a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义.但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)=a(m+ n)+b(m+ n)=(m +n)•(a +b).这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式.(六)提公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式.当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式;当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式.2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：1.必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数.2.将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：① 列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况;②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数.3.将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式.(七)分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式.3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式.如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分.4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y=-(y-x)，(x-y)2=(y-x)2，(x-y)3=-(y-x)3.5.分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理.当然，简单的分式之分子分母可直接乘方.6.注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减.(八)分数的加减法1.通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形.约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言;约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来.2.通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变.3.一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备.4.通分的依据：分式的基本性质.5.通分的关键：确定几个分式的公分母.通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母.6.类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.7.同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
公式法——平方差公式
(1)a4－9a2b2； (3)2x4－ 1 ；
8
(2)m2x4－16m2y4； (4)3(m＋n)2－27n2.
解： (1) a4－9a2b2
(2) m2x4－16m2y4
＝a2(a2－9b2)
＝m2(x4－16y4)
＝a2(a＋3b)(a－3b)． ＝m2(x2＋4y2)(x2－4y2) ＝m2(x2＋4y2)(x＋2y)(x－2y)．
1 分解因式：
(1)a2－ 1 b2； 25
(2)－(x＋2)2＋16(x－1)2；
(3)m4(m－2)＋4(2－m)；(4)－a4＋16.
2 下列各式不能用平方差公式分解因式的是( )
A．－x2＋y2 C．－m2－n2
B．x2－(－y)2 D．4m2－ 1 n2
9
3 下列各式中，可用平方差公式分解因式的个数有
九、要点梳理（课文回放）。
作者用细腻的笔触、传神的语言介绍了 《蒙娜 丽莎》 画像， 具体介 绍了___ ______ _，___ ______ _，特 别详细 描写了 蒙娜丽 莎的___ ______ _和___ ______ _，以 及她___ ______ _、___ ______ _和___ ______ _；最 后用精 炼而饱 含激情 的语言 告诉大 家，蒙 娜丽莎 给人带 来了心 灵的震 撼，留 下了永 不磨灭 的印象 。 综合能力日日新
4．四周一片（ ），听不到一点声响。 5．越是在紧张时刻，越要保持头脑的（ ）。
八、句子工厂。
1．世界上有多少人能亲睹她的风采呢？ （陈述 句）
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 2．达·芬奇的“蒙娜丽莎”是全人类文 化宝库 中一颗 璀璨的 明珠。 （缩写 句子） ___________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ 3．我在她面前只停留了短短的几分钟。 她已经 成了我 灵魂的 一部分 。（用 关联词 连成一 句话） __________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _____
平方差公式
平方差公式、公式回顾（1）、=-22b a2、公式特征：（1）整体是两项式或可以看作两项式。
（2）两项式的项应为完全平方的形式。
（3）两项的符号相反。
左边为两个数的和与差的积；（2）右边为两个数的平方差．3、注意：a 、b 可表示任意的整式。
（可为单项式，可为多项式，也可为单与多的积）⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-2121x x ()()x y y x +-⋅+ ))((2x y x y x +-+ )2)(2()1(x x x x +-++ )52)(52(---a a )53)(35(ab x x ab ---31×29 108×112 1003×9979.9×10.1 (5+6x)(5-6x) (x-2y)(x+2y)(8)(8)ab ab +-(-m+n)(-m-n) (a+2)(a-2) (3a+2b)(3a-2b) (mn-3n)(mn+3n) (–x-1)(-x+1)11()()44x y x y ---+ 2()()3m n m n n +-+ (-4k+3)(-4k-3) 11(2)(2)44x y x y ---+ (-2b- 5) (2b -5) x 2+(y-x)(y+x) (a n +b)(a n -b) (a+1)(a-1)(a 2+1)(a+5)(a-5)=a 2-5 (3x+2)(3x-2)=3x 2-4 (a-2b)(-a-2b)=a 2-4b 2 11(3)(3)22x y x y +- 2222(0.5)(0.5)a b a b -+--(5m 2-2n 2)(2n 2+5m 2) (x-2y)(x+2y)(x 2+4y 2)探索发现：一、探索平方差公式的几何背景如图，边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形(1) 请表示图1-4中阴影部分的面积_____________________(2) 小颖将阴影部分拼成了一个长方形（如图），这个长方形的长和宽分别是多少？__________，它的面积是___________________(3) 比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？说一说验证的理由、利用平方差公式探索规律(1) 计算下列各组算式，并观察它们的共同特点 7988⨯=⎧⎨⨯=⎩ 11131212⨯=⎧⎨⨯=⎩ 79818080⨯=⎧⎨⨯=⎩ (2) 从以上的过程中，你发现了什么规律？__________________________________________(3) 请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？例1 用平方差公式进行计算10397⨯ 118122⨯ 222()()a a b a b a b +-+ (25)(25)2(23)x x x x -+-- 1007993⨯ 76197120⨯ 11(1)()()33x x x x ---+ x(x+1)+(2-x)(2+x) (3x-y)(3x+y)+y(x+y) 11()()(32)(32)22a b a b a b a b +---+ (1) a 2-4=(a+2)( ) (2) 25-x 2=(5-x)( ) (3) m 2-n 2=( )( ) x 2-25=( )( ) (2) 4m 2-49=( )( )(3) a 4-m 4=(a 2+m 2)( )=(a 2+m 2)( )( )(1) 123452-12346×12344 *(2) (22+1)(24+1)(28+1)(216+1)下列多项式能否用平方差公式来分解因式?为什么?（1）x 2+y 2; （2）x 2-y 2 （3）-x 2+y 2 （4）-x 2-y 2（5）x 4-y 4； （6）4x 2+y 2 （7）a 2-4 （8）a 2+3（9）-4x 2+y 2 （10）-4x 2-y 2 （11）4x 2-（-y ）2可以应用平方差公式分解因式的有例2、把下列各式分解因式：221625b a - x x 333- 125422-y x 22)(9)(16b a b a --+1、下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）A 、4X²+y² B. 4 x - (-y)² C. -4 X²-y³ D.- X²+ y²2、-4a² +1分解因式的结果应是 （ ）A 、-(4a+1)(4a-1) B 、-( 2a –1)(2a –1)C 、-(2a +1)(2a+1)D 、-(2a+1) (2a-1)3、把下列各式分解因式：229n m - 32312x xy - a am 822- 2424y a x a -44m n - ()()2233--+a a 4、利用因式分解进行简便运算2246566535⨯-⨯2271.229.7-5、把下列各式分解因式：① 229b a - ② 362-m ③ 464981y x - ④22)()(y x y x --+ 选择题：－(2a －b)(2a+b)是下列哪一个多项式的分解结果( )A.4a 2－b 2 B.4a 2+b 2 C.－4a 2－b 2 D.－4a 2+b 2（2）、多项式(3a+2b)2－(a －b)2分解因式的结果是( )A.(4a+b)(2a+b)B.(4a+b)(2a+3b)C.(2a+3b)2D.(2a+b)2在一个边长为12.75 cm 的正方形纸板内，割去一个边长为7.25 cm 的正方形，剩下部分的面积等于( )A.100 cm 2B.105 cm 2C.108 cm 2D.110 cm 27、填空题多项式a 2－2ab+b 2，a 2－b 2，a 2b －ab 2的公因式是________.8、分解因式：(1)3x 4－12x 2 144a 2b 2－0.81c 2 9(x －y)2－4(x+y)2 －36x 2+6449y 2;18-2b ² x 4–19、如图1，在一块边长为a 厘米的正方形纸板的四角，各剪去一个边长为b (b ＜2a )厘米的正方形，利用因式分解计算当a =13.2，b =3.4时剩余部分的面积.图110、把下列各式分解因式：16x –x 3; 16x 4y –8x 2y 2; (x 2+y 2)2–(y 2+z 2)2; 2(5m –17)2–128(m –1)2。
平方差公式(提高)知识讲解
平方差公式（提高）【学习目标】1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】要点一、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22a b a b a b -=+-要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.【高清课堂400108 因式分解之公式法 知识要点】 要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】类型一、公式法——平方差公式【高清课堂400108 因式分解之公式法 例1】1、分解因式：（1）2()4x y +-； （2）2216()25()a b a b --+； （3）22(2)(21)x x +--．【思路点拨】（1）把x y +看做整体，变形为22()2x y +-后分解．（2）216()a b -可写成2[4()]a b -，225()a b +可写成2[5()]a b +，4()a b -和5()a b +分别相当于公式里的a 和b ．（3）把(2)x +、(21)x -看作一个整体进行分解． 【答案与解析】解：（1）222()4()2(2)(2)x y x y x y x y +-=+-=+++-． （2）222216()25()[4()][5()]a b a b a b a b --+=--+[4()5()][4()5()]a b a b a b a b =-++--+ (9)(9)a b a b =+-- (9)(9)a b a b =-++．（3）22(2)(21)[(2)(21)][(2)(21)]x x x x x x +--=++-+--(31)(3)x x =+-．【总结升华】注意套用公式时要注意字母的广泛意义，可以是字母，也可以是单项式或多项式. 举一反三：【变式】将下列各式分解因式：（1）()()22259a b a b +--； （2）()22234x y x --（3）33x y xy -+； （4）32436x xy -；【答案】解：（1）原式()()()()5353a b a b a b a b =++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()8228444a b a b a b a b =++=++（2）原式＝()()232232x y x x y x -+-- ＝()343y x y --（3）原式()()()22xy x y xy x y x y =--=-+- （4）原式()()()2249433x x y x x y x y =-=+-2、分解因式： （1）2128x -+； （2）33a b ab -； （3）516x x -； （4）2(1)(1)a b a -+- 【答案与解析】 解：（1）221112(16)(4)(4)888x x x x -+=--=-+-． （2）3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-．（3）5422216(16)(4)(4)(4)(2)(2)x x x x x x x x x x x -=-=+-=++-．（4）222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a a b a a b a b b -+-=---=--=-+-． 【总结升华】（1）如果多项式的各项中含有公因式，那么先提取公因式，再运用平方差公式分解．（2）因式分解必须进行到每一个多项式的因式都不能分解为止． 举一反三： 【变式】分解因式 （1）()()2222aa b a a b --+ （2）481a - （3）()()42a b b a ---【答案】解：（1）原式＝()()222a a b a b ⎡⎤--+⎣⎦()()()223224a a b a b a b a b a a b a b=-++---=⋅⋅-=-（2）原式()()()()()22299933a a a a a =+-=++-（3）原式()()()()()()()42222111a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤=---=---=--+--⎣⎦类型二、平方差公式的应用3、2222211111111......1123420112012⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案与解析】 解：2222211111111......1123420112012⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13242010201220112013 (22332011201120122012120132201220134024)=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=【总结升华】本题考查了因式分解的应用，先利用平方差公式，再两两约分即可求解，解题的关键是应用平方差公式简便计算．4、 根据以下10个乘积，回答问题：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25； 16×24；17×23；18×22；19×21；20×20； （1）试将以上各乘积分别写成一个22-口（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）请将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来.【思路点拨】（1）根据要求求出两数的平均数，再写成平方差的形式即可．（2）减去的数越大，乘积就越小，据此规律填写即可． 【答案与解析】解：（1）11×2922209=-；12×2822208=-； 13×2722207=-； 14×2622206=-； 15×2522205=-； 16×2422204=-； 17×2322203=-； 18×2222202=-； 19×2122201=-； 20×2022200=-； 例如11×29()()22=-=+-口口口，令11,29-=+=口口，解得9=口=20,∴11×2922209=-（2）这10个乘积按照从小到大的顺序排列依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21 ＜20×20.【总结升华】本题考查了公式法分解因式，属于结论开放性题目，通过一系列的式子，找出一般规律，考查了同学们的探究发现的能力． 【巩固练习】 一.选择题1．(2)(2)x y x y --+是下列哪一个多项式的分解结果（ ）A ．224x y - B ．224x y + C ．224x y -- D ．224x y -+ 2. 把()()223232m n m n +--分解因式,结果是( ).A.0B.162n C.362m D.24mn3. 下列因式分解正确的是( ).A.()()2292323a b a b a b -+=+-B.()()5422228199a ab a a b ab -=+-C.()()2112121222a a a -=+- D.()()22436223x y x y x y x y ---=-+- 4. 下列各式，其中因式分解正确的是（ ） ①22933422x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；②()()2933x x x -=-+ ③()()()()2212121m n m n m n +--+=+- ④()()()()2294252a b a c a b c a b c +-+=+-++ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5. 若4821-能被60或70之间的两个整数所整除，这两个数应当是（ ） A ．61，63 B ．61，65 C ．63，65 D ．63，676. 乘积22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭应等于（ ） A ．512 B ．12 C ．1120 D ．23二.填空题 7. 11_________m m aa +--=；()2211x x x --+= .8. 若)2|4|50m -+=，将22mx ny -分解因式为__________.9. 分解因式：2121()()=m m p q q p +--+-_________.10. 若()()()216422n x x x x -=++-，则n 是_________.11.分解因式：()()2244x x x +++-=_____________. 12. 已知2275x =，2544y =，()()22x y x y +--的值为___________. 三.解答题13. 用简便方法计算下列各式：（1） 21999－1998×2000 （2）2253566465⨯-⨯ （3） 222222221009998979695......21-+-+-++-14. 已知：222,2,,m n n m m n =+=+≠求332m mn n -+.15.设22131a =-，22253a =-，……，()()222121n a n n =+--（n 为大于0的自然数）（1）探究n a 是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”.试找出1a ，2a ，……，n a 这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n 满足什么条件时，n a 为完全平方数.【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】D ；【解析】()()()22224422x y x y x y x y -+=--=-+-. 2. 【答案】D ；【解析】()()()()22323232323232m n m n m n m n m n m n +--=++-+-+ 6424m n mn =⋅=. 3. 【答案】C ；【解析】()()22933a b b a b a -+=+-；()()()()()542222228199933a ab a a b ab a a b a b a b -=+-=++-；()()()()()224362232223x y x y x y x y x y x y x y ---=+--+=+--. 4. 【答案】C ；【解析】①②③正确. ()()()()229433223322a b a c a b a c a b a c +-+=++++-- ()()53232a b c a b c =+++-. 5. 【答案】C ；【解析】()()()()()482424241212212121212121-=+-=++-()()()()()()24126624122121212121216563=+++-=++⨯⨯6. 【答案】C ； 【解析】22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111111 (11112233991010314253108119) (2233449910101111121020)⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+- ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=二.填空题7. 【答案】()()111m a a a -+-；()()211x x -+【解析】()()()()()()()22222211111111x x x x x x x x x x --+=---=--=-+.8. 【答案】()()2525x y x y +-；【解析】4,25,m n ==()()222525mx ny x y x y -=+-. 9. 【答案】21()(1)(1)m p q p q p q ---+--；【解析】原式＝()22121()1()(1)(1)m m p q p q p q p q p q --⎡⎤---=--+--⎣⎦. 10.【答案】4； 【解析】()()()()()22244224416x x x x x x++-=+-=-.11.【答案】()()221x x ++；【解析】()()()()()()22442422x x x x x x x +++-=++++- ()()()()242222x x x x x =+++-=++=()()221x x ++. 12. 【答案】23； 【解析】()()()()224x y x y x y x y x y x y xy +--=++-+-+=将2275x =，2544y =代入得：222524475443xy =⨯⨯=. 三.解答题 13.【解析】解：（1）21999－1998×2000 ＝()()222199919991199911999199911--+=-+=（2）()2222535664656535465⨯-⨯=-()()65354655354656100070420000=+-=⨯⨯= （3）222222221009998979695......21-+-+-++-()()()()()()100991009998979897......2121100999897 (21)5050=+-++-+++-=++++++=14.【解析】解：∵222,2,m n n m =+=+∴22m n n m -=-即 ()()()m n m n m n +-=-- 1m n +=-332222m mn n m m mn n n -+=⋅-+⋅()()()2222m n mn n m m n =+-++=+∵1m n +=-， ∴原式＝－2. 15.【解析】解：（1）()()222121(2121)(2121)8n a n n n n n n n =+--=++-+-+= 又n 为非零的自然数， ∴n a 是8的倍数．这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数. （2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．n 为一个完全平方数的2倍时，n a 为完全平方数.。
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11.3 公式法
第1课时 平方差公式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.能说出平方差公式的结构特征．（重点） 2.能较熟练地应用平方差公式分解因式．（难点）
导入新课
复习引入
问题1：上节课我们学习了提公因式法分解因式， 如2x+xy-xz=x(2+y-z). 如果一个多项式的各项不具备公因式，是否就不能因 式分解了呢？
是a,b两数的平方差的形式. 平方差公式：
整式乘法 ( a + b )( a - b ) = a2 - b2 a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
归纳总结
(a+b)(a-b)=a2-b2是整式乘法中的平方差公式； a2-b2=(a+b)(a-b)是因式分解中的平方差公式. 如果一个多项式可化为两个整式的平方差的形式， 那么它就可以用平方差公式分解因式，分解成两 个整式的和与这两个整式的差的积.
典例精析
例1 把下列1)2-9
解：(1)4x2-9y2
(2)(3m-1)2-9=(3m-1)2-32
=(2x)2-(3y)2
=(3m-1+3)(3m-1-3)
=(2x+3y)(2x-3y).
=(3m+2)(3m-4).
方法归纳：平方差公式中的a、b，是形式上的两个 “数”，它们可以表示单项式，也可以表示多项式.
当然不是，还要寻找其他方法.
问题2：观察乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2. 判断一下，把这个式子从左边到右边反过来，是否是 因式分解？
是，式子反过来就是a2-b2=(a+b)(a-b). 左边是一个多项式，右边是几个整式的乘积，所以 是分解因式.
讲授新课
一 用平方差公式分解因式
问题：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
=a(a2-16)
=2ab(b2-1)
=a(a+4)(a-4)
=2ab(b+1)(b-1).
方法归纳：当多项式有公因式时，应先提出公因式， 再看能否利用平方差公式进行因式分解.
例4 已知 a-b=1,求a2-b2-2b的值.
解： 因为 a-b=1 所以a2-b2-2b =(a+b)(a-b)-2b =(a+b)×1-2b =a+b-2b =a-b =1
例2 分解因式：x4-y4 解：x4-y4 = (x2+y2)(x2-y2) = (x2+y2)(x+y)(x-y).
方法归纳：分解因式,必须进行到每一个多项式都不 能再分解为止.
例3 把下列各式分解因式：
(1) a3-16a；
(2) 2ab3-2ab.
解：(1) a3-16a
(2) 2ab3-2ab
课堂小结
平方差公式：a2-b2=( a+b )( a-b )
平
可化为_两___个整式.
方 差 公
多项式 的特征
两项符号__相__反___.
式
每一项都是整式的_平__方___.
分
解
有公因式时，应先提出_公__因__式__.
多 项
注意事项 进行到每一个多项式都
式
不能再分解为止.