【原创教案】二、《曲线的参数方程》教案
曲线的参数方程(教案)
曲线的参数方程教学目标：1. 了解参数方程的定义和特点；2. 学会将直角坐标系下的曲线转换为参数方程；3. 能够利用参数方程分析和解决实际问题。
教学内容：第一章：参数方程的基本概念1.1 参数方程的定义1.2 参数方程的特点1.3 参数方程与直角坐标方程的关系第二章：曲线的参数方程转换2.1 圆的参数方程2.2 椭圆的参数方程2.3 双曲线的参数方程2.4 抛物线的参数方程第三章：参数方程的应用3.1 直线运动的参数方程3.2 曲线运动的参数方程3.3 几何图形的参数方程第四章：参数方程的解法4.1 参数方程的求解方法4.2 参数方程的图像分析4.3 参数方程的优化问题第五章：参数方程的实际应用5.1 参数方程在工程中的应用5.2 参数方程在物理中的应用5.3 参数方程在其他领域的应用教学方法：1. 采用讲授法，讲解参数方程的基本概念和转换方法；2. 利用数形结合法，分析参数方程的图像特点；3. 结合实例，讲解参数方程在实际中的应用；4. 引导学生进行练习和思考，巩固所学知识。
教学评价：1. 课堂问答：检查学生对参数方程基本概念的理解；2. 课堂练习：考察学生对参数方程转换方法的掌握；3. 课后作业：评估学生对参数方程应用的熟练程度；4. 小组讨论：评价学生在团队合作中解决问题的能力。
教学资源：1. 教材或教学参考书；2. 投影仪或白板；3. 数学软件或图形计算器；4. 实例素材和练习题。
教学步骤：第一章：参数方程的基本概念1.1 引入参数方程的概念，解释参数方程的定义；1.2 分析参数方程的特点，与直角坐标方程进行对比；1.3 引导学生思考参数方程的应用场景。
第二章：曲线的参数方程转换2.1 讲解圆的参数方程，展示圆的图像；2.2 引导学生推导椭圆的参数方程，展示椭圆的图像；2.3 讲解双曲线的参数方程，展示双曲线的图像；2.4 讲解抛物线的参数方程，展示抛物线的图像。
第三章：参数方程的应用3.1 分析直线运动的参数方程，举例说明；3.2 分析曲线运动的参数方程，举例说明；3.3 引导学生思考几何图形的参数方程应用。
曲线的参数方程教案
例2、化参数方程 （t≥0,t为参数）为普通方程，说明方程的曲线是什么图形.
解: 由(2)解出t，得t=y－1，代入(1)中，得
(y≥1)即 (y≥1)方程的曲线是顶点为(0,1),对称轴平行于x轴，
(1)求该圆的圆心M的坐标以及圆M的半径。
（2）当R固定， 变化时。求圆心M的轨迹。
解：（1）依题意得圆M的方程为
故圆心的坐标为M（ 。
（2）当 变化时，圆心M的轨迹参数方程为 （其中 为参数）
两式平方相加得 。
所以所有的圆心M的轨迹是圆心在原点。半径为2R的圆
课下练习
1、已知某条曲线的参数方程为： 其中 是参数。则该曲线是（C）
三教学方法及教具使用使用多媒体
四教学过程
1、曲线的参数方程的概念
在选定的直角坐标系中，曲线的参数方程 t （*）
与曲线C满足以下条件：
（1）对于集合D中的每个t0，通过方程组（*）所确定的点（ ）
都在曲线C上；
（2）对于曲线C上任意点（ ），都至少存在一个t0，满足
则 叫曲线C的参数方程t
2、常见曲线常用参数方程
圆 的参数方程为 ( 为参数)
圆心在点 半径为r的圆的参数方程是 （ 为参数）
椭圆 的参数方程。 （ 为参数）
双曲线 的参数方程： （ 为参数）
抛物线 的参数方程。 （t为参数）
例1：已知参数方程 [0,2 )判断点A(1, )和B(2,1)是否在方程的曲线上.
解：把A、B两点坐标分别代入方程得 (1)， (2)，
教学课题
曲线的参数方程
主备人
王金芹
曲线的参数方程(教案)
曲线的参数方程教材 上海教育出版社高中二年级（理科）第十七章第一节 教学目标1、理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程；2、通过对圆和直线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义；3、初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中，形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。
教学重点曲线参数方程的概念。
教学难点曲线参数方程的探求。
教学过程（一）曲线的参数方程概念的引入引例：2002年5月1日，中国第一座身高108米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运营。
并以此高度跻身世界三大摩天轮之列，居亚洲第一。
已知该摩天轮半径为，逆时针匀速旋转一周需时20分钟。
如图所示，某游客现在0P 点（其中0P 点和转轴O 的连线与水平面平行）。
问：经过t 秒，该游客的位置在何处?引导学生建立平面直角坐标系，把实际问题抽象到数学问题，并加以解决（1、通过生活中的实例，引发学生研究的兴趣；2、通过引例明确学习参数方程的现实意义；3、通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了解学习曲线的参数方程的必要性；4、通过具体的问题，让学生找到解决问题的途径，为研究圆的参数方程作准备。
）（二）曲线的参数方程1、圆的参数方程的推导（1）一般的，设⊙O 的圆心为原点，半径为r ，0OP 所在直线为x 轴，如图，以0OP 为始边绕着点O 按逆时针方向绕原点以匀角速度ω作圆周运动，则质点P 的坐标与时刻t 的关系该如何建立呢？（其中r 与ω为常数，t 为变数）结合图形，由任意角三角函数的定义可知：),0[sin cos +∞∈⎩⎨⎧==t tr y t r x ωω t 为参数 ①（2）点P 的角速度为ω，运动所用的时间为t ，则角位移t ωθ=，那么方程组①可以改写为何种形式？结合匀速圆周运动的物理意义可得：),0[sin cos +∞∈⎩⎨⎧==θθθr y r x θ为参数 ② （在引例的基础上，把原先具体的数据一般化，为圆的参数方程概念的形成作准备，同时也培养了学生数学抽象思维能力）（3）方程①、②是否是圆心在原点，半径为r 的圆方程？为什么？由上述推导过程可知：对于⊙O 上的每一个点),(y x P 都存在变数t （或θ）的值，使t r x ωcos =，t r y ωsin =（或θsin r y =，θcos r x =）都成立。
沪教版高中高三数学拓展2《曲线的参数方程》教案及教学反思
沪教版高中高三数学拓展2《曲线的参数方程》教案及教学反思一、教案设计1. 教学目标•理解曲线的参数方程的基本概念和性质；•能够根据题目要求给出曲线的参数方程；•理解参数方程求导的方法和意义；•能够应用参数方程解决相关问题；•发扬数学思维，培养数学素养。
2. 教学内容1.曲线的参数方程的概念和性质；2.曲线的参数方程的求法；3.参数方程在求导和求参数方程精度的应用；4.参数方程解决相关问题的应用。
3. 教学重难点1.重点：曲线的参数方程的概念和性质；2.难点：参数方程在求导和求参数方程精度的应用。
4. 教学过程（1）导入通过引入“椭圆的参数方程”的概念，让学生对参数方程的概念有初步的认识。
同时，让学生了解椭圆的定义和基本性质，引起学生的兴趣。
（2）讲解1.曲线的参数方程的概念和性质讲解曲线的参数方程的定义，同时介绍参数方程的性质和常见的曲线参数方程，提高学生对参数方程的理解。
2.曲线的参数方程的求法通过教给学生如何根据题目要求给出曲线的参数方程，让学生掌握参数方程的求法。
3.参数方程在求导和求参数方程精度的应用讲解参数方程求导的方法和意义，同时教给学生如何利用参数方程求参数方程精度。
通过实例分析，让学生掌握参数方程在求导和求参数方程精度方面的应用技巧。
4.参数方程解决相关问题的应用通过多个实例分析，让学生了解参数方程解决相关问题的应用。
同时，提高学生的举一反三能力，培养其数学思维。
（3）练习通过大量的例题训练，让学生熟练掌握曲线的参数方程及其相关知识。
（4）作业布置课后作业，巩固学生这节课的知识点。
5. 教学方法1.讲授法；2.互动式教学法。
6. 教学资源1.讲义；2.课件；3.实例。
二、教学反思本节课的教学目标是通过讲解曲线的参数方程的概念和性质，让学生掌握参数方程的求法，同时理解参数方程求导的方法和意义，提高学生应用参数方程解决相关问题的能力。
在教学过程中，我采用讲授法和互动式教学法相结合的方法，充分发挥学生的主动性和创造性，取得了良好的效果。
贾立敏《曲线的参数方程》教案
曲线的参数方程教学目标：1．通过度析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
3．会实行参数方程和普通方程的互化。
教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
参数方程和普通方程的互化。
教学难点：根据几何性质选择恰当的参数，建立曲线的参数方程。
参数方程和普通方程的等价互化。
教学过程通过平抛运动的引入，自然的体现出参数方程。
一．参数方程的概念1．探究：平抛运动：为参数）t gt y tx (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-==2．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数{)1()()(t f x t g y ==且对于t 的每一个允许值，由方程组（1）所确定的点（x ，y ）都在这条曲线上，则方程（1）就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称变数。
相对于参数方程来说，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
说明：（1）参数方程中参数能够是有物理意义，几何意义，也能够是没有明显意义。
（2）同一曲线选择参数不同，曲线的参数方程形式也不一样。
（3）在实际问题中要确定参数的取值范围。
例1．已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。
练习：已知曲线C 的参数方程 且点M （5,4）在该曲线上.（1）求常数a, (2)求曲线C 的参数方程.二．圆的参数方程与普通方程的互化通过实际意义引入)(sin cos 为参数t t r y tr x ⎩⎨⎧==ωω)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x总结出圆的参数方程与普通方程的互化)(sin cos )()(sin cos 222222为参数）（为参数θθθθθθ⎩⎨⎧+=+=⇔=-+-⎩⎨⎧==⇔=+r b y r a x r b y a x r y r x r y x说明：（1）随着选择的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。
高三数学下册《曲线的参数方程》教案、教学设计
5.教学资源：
（1）充分利用多媒体教学资源，如PPT、动画、视频等，增强课堂教学的直观性和趣味性。
（2）提供丰富的课后学习资源，如网络课程、数学软件等，方便学生自主学习。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在课堂开始时，我将通过一个生动的实例来导入新课。我会向学生展示一个视频，内容是一个摩天轮的运动过程。摩天轮的运动形成了一个圆的轨迹，这个轨迹实际上就是一个曲线。我会引导学生观察摩天轮的运动，并提出问题：“摩天轮的运动轨迹可以用什么方式来描述？”通过这个问题，学生会自然地联想到我们之前学习的坐标系和方程。接着，我会引入曲线参数方程的概念，告诉学生我们将要通过参数方程来描述这样的曲线运动。
（2）关注学生的学习反馈，及时调整教学进度和教学方法，提高教学效果。
（3）注重培养学生的数学思维能力，引导学生从不同角度分析问题，提高解决问题的能力。
4.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、合作交流、自主学习等方面的表现。
（2）终结性评价：通过课后作业、阶段测试等方式，评价学生对曲线参数方程知识的掌握程度。
1.教学方法：
（1）采用情境导入法，以实际生活中的曲线运动为例，引出曲线参数方程的概念，激发学生的学习兴趣。
（2）运用问题驱动的教学方法，引导学生自主探究、合作交流，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。
（3）通过实例分析和课堂练习，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。
2.教学过程：
（1）导入：以生活中的曲线运动为例，如圆周运动、行星运动等，引出曲线参数方程的概念。
5.创设有趣、富有挑战性的教学情境，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
曲线的参数方程教案
2.1平面直角坐标系下曲线的参数方程教案课题：2.1平面直角坐标系下曲线的参数方程(1)最新考纲1.了解平面直角坐标系下参数方程定义与引入意义。
2.掌握参数方程与普通方程的相互转化。
学习过程复习引入：1.研究平面曲线的方程，我们有哪些途径？今天我们将在直角坐标系下，进一步学习平面曲线的参数方程，什么是曲线的参数方程？有什么作用？新课教学：探究一：平面直角坐标系下曲线的参数方程问题情境：2020年3月29日最新疫情播报：疫情地区现有累计治愈死亡美国121379 124665 1095 2191意大利70065 92472 12384 10023西班牙54968 73235 12285 5982德国48781 57695 8481 433法国30064 38105 5724 2317伊朗21212 35408 11679 2517英国16140 17312 151 1021韩国4398 9583 5033 152日本1383 1810 372 55....... ..... ..... .... .....中国疫情播报：本次疫情最为严重的是湖北武汉，白衣天使与人民解放军成为了最可敬的人。
问题：一架救援军用飞机在离地面500m 高处以100m/s 的速度作水平直线飞行，为了使投放的物资准确地落于指定的地面，飞行员应如何把握投放时间? （1）建立直角坐标系，设出参数。
（2）由参数意义建立横纵坐标的函数关系（3）化解横纵坐标的函数关系并写出参数的范围。
思考：1.s t 6=时,炸弹在什么位置？ 2.x 与y 的函数关系是什么？知识点一（P22）：一般的在平面直角坐标系下某曲线上任意一点),(y x M 的坐标都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ，把这个方程叫曲线的参数方程，t 叫参变数。
相对于参数方程而言，直接给出曲线坐标),(y x M 的关系的方程叫普通方程。
典型例题：例1（P22）：已知曲线C 的参数方程为)(1232为参数t t y tx ⎩⎨⎧+== （1）判断点)4,5(),1,0(21M M 与曲线C 的位置关系； （2）若点),6(3a M 在曲线C 上，求a 的值。
人教课标版高中数学选修4-4：《曲线的参数方程》教案-新版
第二讲 参数方程 2.1 曲线的参数方程一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，了解参数方程的概念、体会参数的意义，会进行参数方程和普通方程的互化，在直观想象、数学抽象中感受不同参数方程的特点． （二）学习目标1．通过实例，了解参数方程的含义，体会参数的意义．2．能求解圆的参数方程并用圆的参数解决有关问题，了解圆的参数方程中参数的意义． 3．掌握基本的参数方程与普通方程的互化，，感受集合语言的意义和作用． （三）学习重点 1．参数方程的概念． 2．圆的参数方程及其应用． 3．参数方程与普通方程的互化． （四）学习难点1．参数方程与普通方程的互化的等价转化．2．根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第21页至第26页，填空：一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数：⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ①且对于t 的每一个允许值，由方程组①确定的点)(y x M ，都在这条曲线上，那么方程组①叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点坐标y x ,之间关系的方程0)(=y x f ，叫普通方程．（2）想一想：参数方程与普通方程如何转化？一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.反之，如果知道变数y x ,中的一个与参数t 的关系，例如)(t f x =，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系)(x g y =，那么就是曲线的参数方程．（3）写一写：圆的一般参数方程是什么？①圆心在原点,半径为r 的圆的参数方程为(θ为参数);②圆心在),(b a ,半径为r 的圆的参数方程为(θ为参数).2．预习自测（1）方程⎩⎨⎧x ＝1＋sin θy ＝sin 2θ(θ是参数)所表示曲线经过下列点中的( )A.(1,1)B.)21,23( C.)23,23(D.)21,232(-+ 【知识点】参数方程的定义【解题过程】将选项中的点一一代入曲线的参数方程中，显然选项C 满足题意 【思路点拨】根据参数方程的定义求解 【答案】C ．（2）下列方程：①⎩⎨⎧ x ＝m ，y ＝m .(m 为参数) ②⎩⎨⎧ x ＝m ，y ＝n .(m ，n 为参数) ③⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.④x ＋y ＝0中，参数方程的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【知识点】参数方程的定义【解题过程】根据参数方程的定义，只有①是参数方程 【思路点拨】由参数方程的定义求解 【答案】A（3）参数方程⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)化成普通方程为_______________.【知识点】参数方程与普通方程互化【解题过程】由⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α变形整理得1sin ,cos -==y x αα，两式分别平方相加得1)1(22=-+y x【思路点拨】利用三角恒等变换消去参数 【答案】1)1(22=-+y x .（4）P (x ，y )是曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos αy ＝sin α(α为参数)上任意一点，则P 到直线x －y ＋4＝0的距离的最小值是________．【知识点】参数方程的应用【解题过程】由P 在曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos αy ＝sin α上可得P 的坐标为(2＋cos α，sin α)，由点到直线的距离公式得d ＝|cos α－sin α＋6|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋62，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1时，d 最小，d min ＝－2＋62＝－1＋3 2.【思路点拨】根据参数方程的应用得到点设置，再转化为三角函数的最值问题求解 【答案】－1＋3 2 (二)课堂设计 1．问题探究探究一 结合实例，认识参数方程★ ●活动① 归纳提炼概念在过去的学习中，我们已经掌握了一些求曲线方程的方法，但在求某些曲线方程时，直接确定曲线上点的坐标y x ,的关系并不容易，我们先看下来的例子：一架救援飞机在离灾区底面500m 高处以100m/s 的速度作水平直线飞行．为使投放的救援物质准确落于灾区指定的地面飞行员应如何确定投放时机？（不计空气阻力，重力加速度2/8.9s m g =）设飞机在点A 将物质投出机舱，在过飞机航线且垂直于底面的平面上建立如右图的平面直角坐标系，其中x 轴为该平面与地面的交线，y 轴经过A 点．记物质从被投出到落地这段时间内的运动曲线为C ，)(y x M ，为C 上任意点，设t 时刻时，x 表示物质的水平位移，y 表示物质距地面的高度.由物理知识，物资投出机舱后，沿Ox 方向以s m /100的速度作匀速直线运动，沿Oy 反方向作自由落体运动，即：221500100gt y t x ⎪⎩⎪⎨⎧-== 令s t y 10.10,0≈=，代入t x 100=，解得m x 1010≈.所以，飞行员在离救援点的水平距离约为m 1010时投放物资，，可以使其准确落在指定地点.由上可知：在t 的取值范围内，给定t 的一个值，就可以惟一确定y x ,的值，反之也成立. 一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数：⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ①且对于t 的每一个允许值，由方程组①确定的点)(y x M ，都在这条曲线上，那么方程组①叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点坐标y x ,之间关系的方程0)(=y x f ，叫普通方程．参数是联系变数y x ,的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义，也可以没有明显实际意义的变数.【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程． ●活动② 巩固基础，检查反馈例1 已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==)(1232为参数t t y tx（1）判断点)4,5(),1,0(21M M 与曲线C 的位置关系； （2）已知点),6(a M 在曲线C 上，求a 的值. 【知识点】参数方程．【解题过程】（1）把点1M 的坐标)1,0(代入方程组，解得0=t ，所以1M 在曲线C ．把点2M 的坐标)4,5(代入方程组，得⎩⎨⎧+==124352t t ，无解，所以2M 不在曲线C . （2）因为点),6(a M 在曲线C 上，所以⎩⎨⎧+==12362t a t，解得9,2==a t 【思路点拨】根据参数方程与曲线的关系来求解．【答案】（1） 1M 在曲线C ，2M 不在曲线C ； （2） 9=a ．同类训练 已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧∈=+=),(212R a t at y tx 为参数且点)4,3(-M 在该曲线上. (1)求常数a 的值；(2)判断点P (1,0)，Q (3，－1)是否在曲线C 上？【知识点】参数方程．【解题过程】(1)将M (－3,4)的坐标代入曲线C 的参数方程⎩⎨⎧ x ＝1＋2t ，y ＝at 2，得⎩⎨⎧－3＝1＋2t ，4＝at 2，消去参数t ，得a ＝1.(2)由上述可得，曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2，把点P 的坐标(1,0)代入方程组，解得t ＝0，因此P 在曲线C 上，把点Q 的坐标(3，－1)代入方程组，得到⎩⎨⎧3＝1＋2t ，－1＝t 2，这个方程组无解，因此点Q 不在曲线C 上． 【思路点拨】根据参数方程和曲线的关系来求解．【答案】(1)1=a ； (2) P 在曲线C 上，点Q 不在曲线C 上． 【设计意图】巩固基础，加深理解与应用． 探究二 探究圆的参数方程 ●活动① 互动交流、初步实践结合以上参数方程的定义，你能的得到圆的参数方程吗？先看下面例子当物体绕定轴作匀速转动时，物体中各个点都作匀速圆周运动(如右图)．那么，怎样刻画运动中点的位置呢？如图1，设圆O 的半径是r ，点M 从初始位置M 0(t ＝0时的位置)出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，点M 绕点O 转动的角速度为ω.以圆心O 为原点，OM 0所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．显然，点M 的位置由时刻t 惟一确定，因此可以取t 为参数．【设计意图】通过现实问题的求解，加深对参数方程中参数的意义的理解．●活动② 建立模型，加深认识如果在时刻t ，点M 转过的角度是θ，坐标是M (x ，y )，那么θ＝ωt .设|OM |＝r ，如何用r 和θ表示x ，y 呢？由三角函数定义，有cos ωt ＝x r ，sin ωt ＝yr ， 即⎩⎨⎧x ＝r cos ωt ，y ＝r sin ωt .(t 为参数) 考虑到θ＝ωt ，也可以取θ为参数，于是有 ⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ.(θ为参数) 这就得到了以原点为圆心，半径为r 的圆参数方程.其中θ的几何意义是OM 0绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．【设计意图】通过对问题的求解，得出圆的参数方程，同时为求圆的标准方程的参数方程作铺垫．●活动③ 归纳梳理、灵活应用若圆的圆心坐标为),(b a ，半径为r 的圆的参数方程是什么呢？此时圆的标准方程为：222)()(r b y a x =-+-，由1cos sin 22=+αα，故令θθsin ,cos =-=-rby r a x ，整理得：图2-1-2)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，另外，要注明参数及参数的取值范围. 【设计意图】由特殊到一般，体会培养学生数学抽象、归类整理意识． 探究三 探究参数方程和普通方程的互化★▲ ●活动① 归纳梳理、体会内在联系我们除了用普通方程表示曲线外，还可以用参数方程表示曲线，它们是同一曲线的两种不同的表达形式.但由参数方程直接判断曲线的类型不太容易，例如⎩⎨⎧=+=θθsin 3cos y x 为何曲线？这就需要我们转化为普通再判断，那么两者如何转化？由⎩⎨⎧=+=θθsin 3cos y x 得⎩⎨⎧=-=yx θθsin 3cos ， 所以1)3(22=+-y x ，表示以)0,3(为圆心，半径为1的圆. 一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.反之，如果知道变数y x ,中的一个与参数t 的关系，例如)(t f x =，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系)(x g y =，那么就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使y x ,的取值范围保持一致，即等价转化.【设计意图】通过实例体会参数方程与普通方程的互化，培养学生数学抽象意识． ●活动② 巩固基础，检查反馈例2 如图，已知点P 是圆x 2＋y 2＝16上的一个动点，定点A (12,0)，当点P 在圆上运动时，求线段P A 的中点M 的轨迹.【知识点】圆的参数方程、点的轨迹方程． 【数学思想】数形结合 【解题过程】设动点M (x ，y )，∵圆x 2＋y 2＝16的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，(θ为参数)，∴设点P (4cos θ，4sin θ)， 由线段的中点坐标公式，得x ＝4cos θ＋122，且y ＝4sin θ2，∴点M 的轨迹方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋6，y ＝2sin θ，转化为普通方程得4)6(22=--y x因此点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心，以2为半径的圆．【思路点拨】借助于圆的参数方程来得到点的轨迹方程，即代入法． 【答案】点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心，以2为半径的圆．同类训练 将例1中的定点A 的坐标改为)0,4(，其它条件不变，求线段P A 的中点M 的轨迹 【知识点】圆的参数方程、点的轨迹方程． 【解题过程】设动点M (x ，y )，∵圆x 2＋y 2＝16的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，(θ为参数)，∴设点P (4cos θ，4sin θ)， 由线段的中点坐标公式，得24cos 4+=θx ，且y ＝4sin θ2， ∴点M 的轨迹方程为2cos 22sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，转化为普通方程得4)2(22=--y x因此点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心，以2为半径的圆．【思路点拨】借助于圆的参数方程来得到点的轨迹方程，即代入法． 【答案】点M 的轨迹是以点(2,0)为圆心，以2为半径的圆． 【设计意图】巩固检查参数方程与曲线的关系．例3 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？（1）⎩⎨⎧-=+=)(211为参数t ty t x （2）⎩⎨⎧+=+=)(2sin 1cos sin 为参数θθθθy x 【知识点】参数方程化为普通方程．【解题过程】（1）由11≥+=t x ，有1-=x t ，代入t y 21-=，得到32+-=x y .又因为11≥+=t x ，所以与参数方程等价的普通方程是)1(32≥+-=x x y ，即以)1,1(为端点的一条射线（包括端点）.（2）把θθcos sin +=x 平方后减去θ2sin 1+=y ，得到 y x =2，又因为)4sin(2cos sin πθθθ+=+=x ，所以]2,2[-∈x ，即与参数方程等价的普通方程是y x =2，]2,2[-∈x ，即开口向上的抛物线的一部分.【思路点拨】先由一个方程求出参数的表达式，再代入另一个方程，或者利用三角恒等变换消去参数．【答案】（1）)1(32≥+-=x x y ；（2）y x =2，]2,2[-∈x ． 同类训练 化下列曲线的参数方程为普通方程,并指出它是什么曲线． (1)⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝3－4t (t 为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝cos θ＋sin θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．【知识点】参数方程化为普通方程． 【解题过程】(1)∵x ＝1＋2t ，∴2t ＝x －1. ∵－4t ＝－2x ＋2，∴y ＝3－4t ＝3－2x ＋2. 即y ＝－2x ＋5(x ≥1)，它表示一条射线． (2)∵x ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，∴x ∈[－2，2]． x 2＝1＋2sin θcos θ，将sin θcos θ＝y 代入，得x 2＝1＋2y .∴普通方程为y ＝12x 2－12()－2≤x ≤2，它是抛物线的一部分．【思路点拨】先由一个方程求出参数的表达式，再代入另一个方程，或者利用三角恒等变换消去参数．【设计意图】巩固检查参数方程与普通方程的互化． ●活动③ 强化提升、灵活应用例4 若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求2x ＋y 的最值． 【知识点】参数方程的应用、三角函数．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2， 故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)． ∴－25≤2x ＋y ≤2 5.即2x ＋y 的最大值为25，最小值为－2 5.【思路点拨】考虑利用圆的参数方程将求2x ＋y 的最值转化为求三角函数最值问题． 【答案】2x ＋y 的最大值为25，最小值为－2 5.同类训练 已知点M (x ，y )是圆x 2＋y 2＋2x ＝0上的动点，若4x ＋3y －a ≤0恒成立，求实数a 的取值范围．【知识点】参数方程的应用、三角函数．． 【数学思想】转化化归思想．【解题过程】由x 2＋y 2＋2x ＝0，得(x ＋1)2＋y 2＝1，又点M 在圆上， ∴x ＝－1＋cos θ，且y ＝sin θ， 因此4x ＋3y ＝4(－1＋cos θ)＋3sin θ＝－4＋5sin(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由tan φ＝43确定) ∴4x ＋3y 的最大值为1.若4x ＋3y －a ≤0恒成立，则a ≥(4x ＋3y )max ， 故实数a 的取值范围是[1，＋∞)．【思路点拨】考虑利用圆的参数方程将恒成立问题转化为最值，在利用求三角函数最值问题． 【答案】[1，＋∞)．【设计意图】熟练利用参数方程求解某些最值问题． 3.课堂总结 知识梳理（1）一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数：⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ①且对于t 的每一个允许值，由方程组①确定的点)(y x M ，都在这条曲线上，那么方程组①叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点坐标y x ,之间关系的方程0)(=y x f ，叫普通方程．（2）一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.反之，如果知道变数y x ,中的一个与参数t 的关系，例如)(t f x =，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系)(x g y =，那么就是曲线的参数方程．（3）①圆心在原点,半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ.)(为参数θ; ②圆心在),(b a ,半径为r 的圆的参数方程为)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x . 重难点归纳（1）参数t （也可用其它小写字母表示）是联系变数y x ,的桥梁，它可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数；参数方程和普通方程都是在直角坐标系之下同一曲线的两种不同表的形式．（2）参数方程和普通方程互化时，一定使y x ,的取值范围保持一致，即等价转化．（三）课后作业基础型 自主突破1．下列方程中能表示曲线参数方程的是( )A.032=-+t y xB.⎩⎨⎧+==t x y ty x 232C.⎩⎨⎧+=-=2342u y t xD.⎩⎨⎧+=+=ky k x 2335 【知识点】参数方程的含义．【解题过程】A 是含参数的方程,B 中的y x ,并不都由参数t 确定,C 中的y x ,不是由同一个参数确定,D 正确.【思路点拨】根据参数方程的含义进行判断．【答案】D2．曲线⎩⎨⎧x ＝1＋t 2y ＝t －1)(为参数t 与x 轴交点的直角坐标是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,0) D ．(±2,0)【知识点】曲线与参数方程．【解题过程】设与x 轴交点的直角坐标为(x ，y )，令y ＝0得t ＝1，代入x ＝1＋t 2，得x ＝2， ∴曲线与x 轴的交点的直角坐标为(2,0)．【思路点拨】根据曲线与参数方程的关系判断．【答案】C3．曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( ) A.在直线y ＝2x 上 B.在直线y ＝－2x 上 C.在直线y ＝x －1上 D.在直线y ＝x ＋1上【知识点】圆的参数方程．【解题过程】由⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎨⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1，2)，在直线y ＝－2x 上.故选B ．【思路点拨】将圆的参数方程化为圆的标准方程．【答案】B4．若x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则x ＋3y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【知识点】参数方程的应用．【解题过程】由于圆x 2＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则x ＋3y ＝3sin θ＋cos θ＝2sin )6(πθ+，故x ＋3y 的最大值为2.故选B. 【思路点拨】利用三角代换求解．【答案】B ．5．圆心在点(-1,2),半径为5的圆的参数方程为________.【知识点】普通方程化为参数方程．【解题过程】因为是圆心在点(-1,2),半径为5的圆，所以参数方程为)(sin 52cos 51为参数θθθ⎩⎨⎧+=+-=y x ． 【思路点拨】根据三角代换公式来求解．【答案】)(sin 52cos 51为参数θθθ⎩⎨⎧+=+-=y x ．6．设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是_________．【知识点】普通方程与参数方程互化．【解题过程】把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0得x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2， ∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2(t 为参数)．【思路点拨】利用代入法求解．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2(t 为参数) 能力型 师生共研7．将参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2θy ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)【知识点】参数方程化为普通方程．【解题过程】消去sin 2θ，得x ＝2＋y ，又0≤sin 2θ≤1，∴2≤x ≤3.【思路点拨】注意三角函数的有界性，参数方程的等价转化．【答案】C8．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)． 判断点A (2,0)，B )23,3(-是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值． 【知识点】曲线与参数方程．【解题过程】把点A (2,0)的坐标代入⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ，得cos θ＝1且sin θ＝0，由于0≤θ<2π，解之得θ＝0，因此点A (2,0)在曲线C 上，对应参数θ＝0.同理，把B )23,3(-代入参数方程，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝2cos θ，32＝3sin θ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝－32，sin θ＝12.又0≤θ<2π，∴θ＝56π，所以点B )23,3(-在曲线C 上，对应θ＝56π. 【思路点拨】利用曲线与参数方程的关系求解．【答案】A ，B 是在曲线C 上，A ，B 对应的参数的值分别为θ＝0、θ＝56π．探究型 多维突破9．在平面直角坐标系xOy 中，动圆x 2＋y 2－8x cos θ－6y sin θ＋7cos 2θ＋8＝0(θ∈R )的圆心为P (x ，y )，求2x －y 的取值范围．【知识点】参数方程的应用．【解题过程】由题设得⎩⎨⎧ x ＝4cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数，θ∈R )． 于是2x －y ＝8cos θ－3sin θ＝73sin(θ＋φ)，⎝ ⎛⎭⎪⎫φ由tan φ＝－83确定所以－73≤2x －y ≤73. 所以2x －y 的取值范围是[－73，73]．【思路点拨】利用参数方程，转化为三角函数的最值来求解．【答案】[－73，73]．10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θy ＝4sin θ(θ为参数，且0≤θ<2π)，点M 是曲线C 1上的动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹的直角坐标方程；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P 到直线l 距离的最大值．【知识点】参数方程、极坐标、点到直线的距离．【解题过程】(1)曲线C 1上的动点M 的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点O (0,0)，设P 的坐标为(x ，y )，则由中点坐标公式得x ＝12(0＋4cos θ)＝2cos θ，y ＝12(0＋4sin θ)＝2sin θ，所以点P 的坐标为(2cos θ，2sin θ)，因此点P 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数，且0≤θ<2π)， 消去参数θ，得点P 轨迹的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.(2)由直角坐标与极坐标关系得直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.又由(1)知，点P 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，因为原点(0,0)到直线x －y ＋1＝0的距离为|0－0＋1|12＋(－1)2＝12＝22， 所以点P 到直线l 距离的最大值为2＋22.【思路点拨】普通方程侧重于判断曲线的形状,参数方程侧重于表示曲线上的点．【答案】（1）P 轨迹的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4；（2）2＋22． 自助餐1．下列点在方程)(2cos sin 2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 所表示的曲线上的是( ) A.)7,2( B.)32,31( C.)21,21( D.)1,1(- 【知识点】曲线与参数方程．【解题过程】选D.由方程(θ为参数),令1sin 2==θx ,得Z k k ∈+=,2ππθ12cos -==θy .【思路点拨】利用曲线点的与参数方程的关系求解．【答案】D2．把方程xy ＝1化为以t 为参数的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 12y ＝t －12B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin t y ＝1sin tC.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos t ，y ＝1cos tD.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝tan t ，y ＝1tan t【知识点】普通方程与参数方程互化．【解题过程】A 显然代入不成立，B,C 选项中1≤x ，不成立，D 选项满足要求．【思路点拨】把选项的参数方程转化为普通方程，注意等价转化．【答案】D3．圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋4cos θ，y ＝－3＋4sin θ(0≤θ<2π)，若圆上一点P 对应参数θ＝43π，则P 点的坐标是________．【知识点】曲线与参数方程．【解题过程】将θ＝43π代入参数方程中，解得33,0-==y x ，所以)33,0(-P ．【思路点拨】利用曲线上的点与参数方程的关系．【答案】(0，－33)．4．点(x ，y )是曲线C ：⎩⎨⎧ x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)上任意一点，则y x 的取值范围是________．【知识点】圆的参数方程、直线斜率．【数学思想】数形结合思想【解题过程】曲线C ：⎩⎨⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ是以(－2,0)为圆心，1为半径的圆，即(x ＋2)2＋y 2＝1.设y x ＝k ，∴y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，k 取得最小值与最大值， ∴|－2k |k 2＋1＝1，k 2＝13，∴y x 的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 【思路点拨】利用数形结合的思想求解．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33． 5．根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程：（1）012=---y x y ，设t t y ,1-=为参数；（2）14922=+y x ，设θθ,cos 3=x 为参数. 【知识点】普通方程与参数方程互化．【解题过程】（1）将,1-=t y 代入方程012=---y x y ，解得132+-=t t x ，所以参数方程为⎩⎨⎧-=+-=)(1132为参数t t y t t x （2）将,cos 3θ=x 代入方程14922=+y x θsin 2±=y ，由于参数θ的任意性，可取θsin 2=y ，所以参数方程为)(sin 2cos 3为参数θθθ⎩⎨⎧==y x ．【思路点拨】普通方程化为参数方程，注意等价转化．【答案】（1）⎩⎨⎧-=+-=)(1132为参数t t y t t x ；（2）)(sin 2cos 3为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 6．在方程⎩⎨⎧ x ＝a ＋t cos θ，y ＝b ＋t sin θ(a ，b 为正常数)中， (1)当t 为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？(2)当t 为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？【知识点】参数方程的含义．【数学思想】分类讨论的思想．【解题过程】（1）方程⎩⎨⎧ x ＝a ＋t cos θ， ①y ＝b ＋t sin θ， ②(a ，b 是正常数)， (1)①×sin θ－②×cos θ得 x sin θ－y cos θ－a sin θ＋b cos θ＝0.∵cos θ、sin θ不同时为零，∴方程表示一条直线．(2)(ⅰ)当t 为非零常数时，原方程组为⎩⎪⎨⎪⎧ x －a t ＝cos θ，③y －b t ＝sin θ. ④③2＋④2得x －a 2t 2＋y －b2t 2＝1，即(x －a )2＋(y －b )2＝t 2，它表示一个圆．(ⅱ)当t ＝0时，表示点(a ，b )．【思路点拨】(1)运用加减消元法，消t ；(2)当t ＝0时，方程表示一个点，当t 为非零常数时，利用平方关系消参数θ，化成普通方程，进而判定曲线形状．【答案】（1）方程表示一条直线；（2）(ⅰ)当t为非零常数时，它表示一个圆，(ⅱ)当t＝0时，表示点(a，b)．。
参数方程的概念曲线的参数方程》教案(新人教选修
《参数方程的概念——曲线的参数方程》教案内容：一、教学目标1. 理解参数方程的概念，掌握参数方程与普通方程的转化方法。
2. 能够运用参数方程解决实际问题，体会参数方程在描述曲线方面的优势。
3. 培养学生的数学思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学重点与难点1. 重点：参数方程的概念，参数方程与普通方程的转化。
2. 难点：参数方程在实际问题中的应用。
三、教学方法与手段1. 采用讲授法、案例分析法、讨论法等教学方法。
2. 使用多媒体课件、黑板、粉笔等教学手段。
四、教学过程1. 引入：通过展示一些实际问题，如物体运动、曲线轨迹等，引发学生对参数方程的思考。
2. 讲解：讲解参数方程的概念，举例说明参数方程在描述曲线方面的优势。
3. 案例分析：分析具体案例，引导学生掌握参数方程与普通方程的转化方法。
4. 练习：让学生独立完成一些有关参数方程的练习题，巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调参数方程的概念和应用。
五、课后作业1. 理解并掌握参数方程的概念，能够熟练运用参数方程解决实际问题。
2. 能够将普通方程转化为参数方程，并分析其优缺点。
3. 完成课后练习题，提高运用参数方程解决问题的能力。
六、教学拓展1. 引导学生思考：参数方程在实际生活中有哪些应用？2. 讲解参数方程在物理学、工程学、计算机图形学等领域的应用实例。
3. 让学生尝试运用参数方程解决自己感兴趣的实际问题。
七、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结参数方程的概念和应用。
2. 强调参数方程在描述曲线方面的优势，以及与普通方程的转化方法。
3. 提醒学生注意参数方程在实际问题中的应用。
八、课后反思1. 学生反思本节课的学习过程，总结自己在parameter equation 方面的收获。
2. 学生思考如何在实际问题中更好地运用参数方程，提高解决问题的能力。
3. 教师通过课后反思，总结教学过程中的优点和不足，为下一步教学做好准备。
高中数学：12.1《曲线的参数方程》教案(沪教版高二下)
2.1（1）曲线的参数方程一、教学内容分析“曲线的参数方程”为本章节的第一部分 .主要让学生了解参数方程的有关概念，通过探索圆的参数方程初步掌握求曲线的参数方程的方法，掌握圆的参数方程并且在此基础上进行简单应用.二、教学目标设计经历体验建立圆和直线的参数方程的过程，理解参数方程的意义，领会建立曲线的参数方程的方法，初步体验用参数思想解决简单的问题.三、教学重点及难点掌握参数方程的概念，领会建立曲线的参数方程的方法.四、教学流程设计五、教学过程设计一、 引入提出问题“已知点(),A x y 在圆22:4C x y +=上运动，求x y +的最大值”，学生解答：①利用22222x y x y ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭求得当x y ==时，x y +的最大值为；②设t x y =+，由直线0x y t +-=与圆22:4C x y +=有公共点求得当x y ==x y +的最大值为. [说明]问题课前布置学生思考解答，通过问题的解决帮助同学复习以前知识，引起学生学习曲线的参数方程的兴趣.二、学习新课1．圆的参数方程的推导（1）如图，一个质点P 开始时位于x 轴正半轴的点0P 处，按逆时针方向绕原点O 以匀角速度ω作圆周运动，其中OP r =，则此质点P 的坐标与时刻t 的关系该如何建立？结合图形，由任意角三角函数的定义知: ()cos ,0sin ,x r t t y r t ωω=⎧≥⎨=⎩① 这就是说，点P 的坐标,x y 都是时间t 的函数.（2）若设t θω=，方程组①又可写成 ()cos ,0sin ,x r y r θθθ=⎧≥⎨=⎩. 由于sin ,cos θθ都是以2π为周期的周期函数，因此上述方程组又可写成 ()cos ,02sin ,x r t y r t ωθπω=⎧≤<⎨=⎩②. 这就是说，点P 的坐标,x y 都是旋转角θ的函数.（3）方程组①②是否是圆心为原点，半径为r 的圆方程？为什么？ 由上述推导可知，对于圆O 上的任意一点(),P x y 都存在t （或θ）使cos ,sin x r t y r t ωω==（或cos ,sin x r y r θθ==）都成立；对于t （或θ）的每一个允许值，由方程组①（或②）所确定的点(),P x y 都在圆O 上.（4）圆的参数方程的定义.把方程组①（或②）叫做圆O 的参数方程，t （或θ）叫做参数.（5）圆的参数方程的理解与认识.课本练习2.1（1）中的第1、2题.2．曲线的参数方程的定义（1）一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点的坐标,x y 都是某个变量t 的函数()()(),,x f t t D y g t =⎧⎪∈⎨=⎪⎩③，并且对于t 的每一个允许值，由方程组③所确定的点(),P x y 都在曲线C 上，那么方程组③就叫做曲线C 的参数方程 .变量t 叫做参变量或参变数，简称参数.（2）相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标,x y 间关系的方程(),0F x y =叫做曲线的普通方程.3．例题分析（1）课本例1：通过选取适当的参数建立直线的参数方程，从而使学生了解参数的选取有多种方法，同一曲线可以用不同的参数方程来表示.（2）课本例2：通过圆的参数方程求得最值，使学生初步体验参数方程的作用与意义.三、巩固练习（1）若圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，写出圆C 的一个参数方程.（2）课本练习2.1（1）中的第3题. 四、课堂小结（1）圆的参数方程和曲线的参数方程的定义；（2）能选取适当的参数建立参数方程；（3）利用参数思想解决问题.五、作业布置数学练习部分第8页，习题，第1、2、3题．。
2022年 《曲线的参数方程》优秀教案
第二讲参数方程曲线的参数方程谷杨华一、教学目标〔一〕核心素养通过这节课学习，了解参数方程的概念、体会参数的意义，会进行参数方程和普通方程的互化，在直观想象、数学抽象中感受不同参数方程的特点．〔二〕学习目标1．通过实例，了解参数方程的含义，体会参数的意义．2．能求解圆的参数方程并用圆的参数解决有关问题，了解圆的参数方程中参数的意义．3．掌握根本的参数方程与普通方程的互化，，感受集合语言的意义和作用．〔三〕学习重点1．参数方程的概念．2．圆的参数方程及其应用．3．参数方程与普通方程的互化．〔四〕学习难点1．参数方程与普通方程的互化的等价转化．2．根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程．二、教学设计〔一〕课前设计1．预习任务〔1〕读一读：阅读教材第21页至第26页，填空：一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标都是某个变数的函数：①且对于的每一个允许值，由方程组①确定的点都在这条曲线上，那么方程组①叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点坐标之间关系的方程叫普通方程．〔2〕想一想：参数方程与普通方程如何转化？一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程反之，如果知道变数中的一个与参数的关系，例如，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系，那么就是曲线的参数方程．〔3〕写一写：圆的一般参数方程是什么？①圆心在原点,半径为的圆的参数方程为θ为参数;②圆心在,半径为的圆的参数方程为θ为参数2．预习自测〔1〕方程错误!θ是参数所表示曲线经过以下点中的A1,1 BC D【知识点】参数方程的定义【解题过程】将选项中的点一一代入曲线的参数方程中，显然选项C满足题意【思路点拨】根据参数方程的定义求解【答案】C．〔2〕以下方程：①错误!m为参数②错误!m，n为参数③错误!④＋＝0中，参数方程的个数为A．1B．2C．3D．4【知识点】参数方程的定义【解题过程】根据参数方程的定义，只有①是参数方程【思路点拨】由参数方程的定义求解【答案】A〔3〕参数方程错误!α为参数化成普通方程为_______________【知识点】参数方程与普通方程互化【解题过程】由错误!变形整理得，两式分别平方相加得【思路点拨】利用三角恒等变换消去参数【答案】〔4〕in＝错误!＝－1＋3错误!【思路点拨】根据参数方程的应用得到点设置，再转化为三角函数的最值问题求解【答案】－1＋3错误!二课堂设计1．问题探究探究一结合实例，认识参数方程★●活动①归纳提炼概念在过去的学习中，我们已经掌握了一些求曲线方程的方法，但在求某些曲线方程时，直接确定曲线上点的坐标的关系并不容易，我们先看下来的例子：一架救援飞机在离灾区底面500m高处以100m/的速度作水平直线飞行．为使投放的救援物质准确落于灾区指定的地面飞行员应如何确定投放时机？〔不计空气阻力，重力加速度〕设飞机在点A将物质投出机舱，在过飞机航线且垂直于底面的平面上建立如右图的平面直角坐标系，其中轴为该平面与地面的交线，轴经过A点．记物质从被投出到落地这段时间内的运动曲线为C，为C上任意点，设时刻时，表示物质的水平位移，表示物质距地面的高度由物理知识，物资投出机舱后，沿方向以的速度作匀速直线运动，沿反方向作自由落体运动，即：令，代入，解得所以，飞行员在离救援点的水平距离约为时投放物资，，可以使其准确落在指定地点由上可知：在的取值范围内，给定的一个值，就可以惟一确定的值，反之也成立一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标都是某个变数的函数：①且对于的每一个允许值，由方程组①确定的点都在这条曲线上，那么方程组①叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点坐标之间关系的方程叫普通方程．参数是联系变数的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义，也可以没有明显实际意义的变数【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程．●活动②稳固根底，检查反应例1 曲线的参数方程是〔1〕判断点与曲线的位置关系；〔2〕点在曲线上，求的值【知识点】参数方程．【解题过程】〔1〕把点的坐标代入方程组，解得，所以在曲线．把点的坐标代入方程组，得，无解，所以不在曲线〔2〕因为点在曲线上，所以，解得【思路点拨】根据参数方程与曲线的关系来求解．【答案】〔1〕在曲线，不在曲线；〔2〕．同类训练某条曲线的参数方程为且点在该曲线上1求常数a的值；2判断点a，故实数a的取值范围是[1，＋∞．【思路点拨】考虑利用圆的参数方程将恒成立问题转化为最值，在利用求三角函数最值问题．【答案】[1，＋∞．【设计意图】熟练利用参数方程求解某些最值问题．3课堂总结知识梳理〔1〕一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标都是某个变数的函数：①且对于的每一个允许值，由方程组①确定的点都在这条曲线上，那么方程组①叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点坐标之间关系的方程叫普通方程．〔2〕一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程反之，如果知道变数中的一个与参数的关系，例如，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系，那么就是曲线的参数方程．〔3〕①圆心在原点,半径为的圆的参数方程为错误!;②圆心在,半径为的圆的参数方程为重难点归纳〔1〕参数〔也可用其它小写字母表示〕是联系变数的桥梁，它可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数；参数方程和普通方程都是在直角坐标系之下同一曲线的两种不同表的形式．〔2〕参数方程和普通方程互化时，一定使的取值范围保持一致，即等价转化．〔三〕课后作业根底型自主突破1．以下方程中能表示曲线参数方程的是A B C D【知识点】参数方程的含义．【解题过程】A是含参数的方程,B中的并不都由参数t确定,C中的不是由同一个参数确定,D正确【思路点拨】根据参数方程的含义进行判断．【答案】D2．曲线错误!与轴交点的直角坐标是A．0,1 B．1,2 C．2,0 D．±2,0【知识点】曲线与参数方程．【解题过程】设与轴交点的直角坐标为，，令＝0得t＝1，代入＝1＋t2，得＝2，∴曲线与轴的交点的直角坐标为2,0．【思路点拨】根据曲线与参数方程的关系判断．【答案】C3．曲线错误!θ为参数的对称中心＝2上＝－2上＝－1上＝＋1上【知识点】圆的参数方程．【解题过程】由错误!得错误!所以＋12＋－22＝1曲线是以－1，2为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为－1，2，在直线＝－．【思路点拨】将圆的参数方程化为圆的标准方程．【答案】B4．假设，满足2＋2＝1，那么＋错误!的最大值为A．1 B．2 C．3 D．4【知识点】参数方程的应用．【解题过程】由于圆2＋2＝1的参数方程为错误!θ为参数，那么＋错误!＝错误!in θ＋co θ＝2in，故＋错误!【思路点拨】利用三角代换求解．【答案】B．5．圆心在点-1,2,半径为5的圆的参数方程为________【知识点】普通方程化为参数方程．【解题过程】因为是圆心在点-1,2,半径为5的圆，所以参数方程为．【思路点拨】根据三角代换公式来求解．【答案】．6．设＝tt为参数，那么圆2＋2－4＝0的参数方程是_________．【知识点】普通方程与参数方程互化．【解题过程】把＝t代入2＋2－4＝0得＝错误!，＝错误!，∴参数方程为错误!t为参数．【思路点拨】利用代入法求解．【答案】错误!t为参数能力型师生共研7．将参数方程错误!θ为参数化为普通方程为A．＝－2 B．＝＋2C．＝－22≤≤3D．＝＋20211【知识点】参数方程化为普通方程．【解题过程】消去in2θ，得＝2＋，又0≤in2θ≤1，∴2≤≤3【思路点拨】注意三角函数的有界性，参数方程的等价转化．【答案】C8．曲线C的参数方程为错误!θ为参数，0≤θ<2π．判断点A2,0，B是否在曲线C上？假设在曲线上，求出点对应的参数的值．【知识点】曲线与参数方程．【解题过程】把点A2,0的坐标代入错误!得co θ＝1且in θ＝0，由于0≤θ<2π，解之得θ＝0，因此点A2,0在曲线C上，对应参数θ＝0同理，把B代入参数方程，得错误!∴错误!又0≤θ<2π，∴θ＝错误!π，所以点B在曲线C上，对应θ＝错误!π【思路点拨】利用曲线与参数方程的关系求解．【答案】A，B是在曲线C上，A，B对应的参数的值分别为θ＝0、θ＝错误!π．探究型多维突破9．在平面直角坐标系O中，动圆2＋2－8co θ－6in θ＋7co2θ＋8＝0θ∈R的圆心为是曲线C1上的动点．1求线段OM的中点的坐标为4co θ，4in θ，坐标原点O0,0，设P的坐标为，，那么由中点坐标公式得＝错误!co θ＝2co θ，＝错误!in θ＝2in θ，所以点P的坐标为2co θ，2in θ，因此点P的轨迹的参数方程为错误!θ为参数，且0≤θ<2π，消去参数θ，得点P轨迹的直角坐标方程为2＋2＝42由直角坐标与极坐标关系得直线的直角坐标方程为－＋1＝0又由1知，点P的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，因为原点0,0到直线－＋1＝0的距离为错误!＝错误!＝错误!，所以点P到直线距离的最大值为2＋错误!【思路点拨】普通方程侧重于判断曲线的形状,参数方程侧重于表示曲线上的点．【答案】〔1〕P轨迹的直角坐标方程为2＋2＝4；〔2〕2＋错误!．自助餐1．以下点在方程所表示的曲线上的是A B C D【知识点】曲线与参数方程．【解题过程】选D由方程θ为参数,令,得【思路点拨】利用曲线点的与参数方程的关系求解．【答案】D2．把方程＝1化为以t为参数的参数方程是错误!错误!错误!【知识点】普通方程与参数方程互化．【解题过程】A显然代入不成立，B,C选项中，不成立，D选项满足要求．【思路点拨】把选项的参数方程转化为普通方程，注意等价转化．【答案】D3．圆的参数方程为错误!0≤θ<2π，假设圆上一点P对应参数θ＝错误!π，那么P点的坐标是________．【知识点】曲线与参数方程．【解题过程】将θ＝错误!π代入参数方程中，解得，所以．【思路点拨】利用曲线上的点与参数方程的关系．【答案】0，－3错误!．4．点，是曲线C：错误!θ为参数，0≤θ＜2π上任意一点，那么错误!的取值范围是________．【知识点】圆的参数方程、直线斜率．【数学思想】数形结合思想【解题过程】曲线C：错误!是以－2,0为圆心，1为半径的圆，即＋22＋2＝错误!＝，∴＝＝与圆相切时，取得最小值与最大值，∴错误!＝1，2＝错误!，∴错误!的范围为错误!【思路点拨】利用数形结合的思想求解．【答案】错误!．5．根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程：〔1〕，设为参数；〔2〕，设为参数【知识点】普通方程与参数方程互化．【解题过程】〔1〕将代入方程，解得，所以参数方程为〔2〕将代入方程，由于参数的任意性，可取，所以参数方程为．【思路点拨】普通方程化为参数方程，注意等价转化．【答案】〔1〕；〔2〕6．在方程错误!a，b为正常数中，1当t为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？2当t为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？【知识点】参数方程的含义．【数学思想】分类讨论的思想．【解题过程】〔1〕方程错误!a，b是正常数，1①×in θ－②×co θ得in θ－co θ－a in θ＋b co θ＝0∵co θ、in θ不同时为零，∴方程表示一条直线．2ⅰ当t为非零常数时，原方程组为错误!③2＋④2得错误!＋错误!＝1，即－a2＋－b2＝t2，它表示一个圆．ⅱ当t＝0时，表示点a，b．【思路点拨】1运用加减消元法，消t；2当t＝0时，方程表示一个点，当t为非零常数时，利用平方关系消参数θ，化成普通方程，进而判定曲线形状．【答案】〔1〕方程表示一条直线；〔2〕ⅰ当t为非零常数时，它表示一个圆，ⅱ当t＝0时，表示点a，b．。
参数方程的概念曲线的参数方程》教案(新人教选修
“参数方程的概念-曲线的参数方程》教案(新人教选修”一、教学目标1. 让学生理解参数方程的概念，了解参数方程与普通方程的区别和联系。
2. 让学生掌握曲线的参数方程的求解方法，能够根据实际问题建立参数方程。
3. 培养学生的数学思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容1. 参数方程的概念2. 曲线的参数方程的求解方法3. 参数方程的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：参数方程的概念，曲线的参数方程的求解方法。
2. 教学难点：参数方程的应用，曲线的参数方程的求解过程。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现参数方程的建立过程。
2. 通过实例讲解，让学生掌握曲线的参数方程的求解方法。
3. 利用数形结合的思想，帮助学生理解参数方程与曲线的关系。
五、教学过程1. 引入：通过一个实际问题，引导学生思考如何用参数方程来表示曲线。
2. 讲解：讲解参数方程的概念，解释参数方程与普通方程的区别和联系。
3. 实例分析：分析一组曲线的参数方程，引导学生掌握求解方法。
4. 练习：让学生尝试求解一些曲线的参数方程，巩固所学知识。
5. 应用：通过一些实际问题，让学生运用参数方程解决实际问题。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调参数方程的概念和求解方法。
7. 作业布置：布置一些有关参数方程的练习题，巩固所学知识。
六、教学评价1. 评价目标：通过课堂讲解、练习和作业，评价学生对参数方程的概念和曲线的参数方程求解方法的掌握程度。
2. 评价方法：课堂提问、练习解答、作业完成情况。
3. 评价内容：参数方程的概念理解、曲线的参数方程求解方法、实际问题分析与解决能力。
七、教学反思1. 在教学过程中，观察学生对参数方程概念的理解程度，是否能够正确区分参数方程与普通方程。
2. 分析学生在求解曲线参数方程时的困难点，是否能够熟练运用求解方法。
3. 反思教学方法的有效性，是否能够激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。
【原创教案】二、《曲线的参数方程》教案
二、《曲线的参数方程》教案时间：2 授课班级：高二（8）班一、教学目标: 理解参数方程的概念；掌握参数方程化为普通方程的几种常见的方法；会选取适当的参数化普通方程为参数方程。
二、重点、难点：能选择适当的参数写出曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化和互化的等价性。
三、课时安排：1课时四、教学过程（一）创设情境一架救援飞机在离灾区地面500m 高处以100m/s 的速度作水平直线飞行.为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？（二）探索研究导出新概念1、参数方程的定义：一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数② ⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ，并且对于t 的每一个允许值，由方程组②所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么方程②就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
例1 已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y t x （t 为参数）. (1)判断点)1,0(1M ，)4,5(2M 与曲线C 的位置关系；(2)已知点),6(3a M 在曲线C 上，求a 的值；(3)将参数方程化为普通方程，并判断曲线C 表示什么图形。
2、参数方程和普通方程的互化：（1）参数方程通过消元法消去参数化为普通方程例2 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：（1）1)1x t t y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩为参数 （2）cos +sin ()1+sin 2x y θθθθ=⎧⎨=⎩为参数练习：将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎨⎧==θθ2cos sin y x (θ为参数) （2）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2211t t y t t x （t 为参数） （2）普通方程化为参数方程需要引入参数练习：曲线y =x 2的一种参数方程是（ ）3、圆的参数方程圆心为原点半径为r 的圆的参数方程：cos ()sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数 圆心为),(b a 原点半径为r 的圆的参数方程: ⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x ()θ为参数 小试牛刀：圆的方程为x 2+y 2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程 题型：参数方程的应用应用一：求轨迹方程例3如图所示，圆O 的半径为2，P 是圆上的动点，Q （6，0）是x 轴上的定点，M 是PQ 的中点.当点P 绕O 作匀速圆周运动时，求点M 的轨迹的参数方程.(备选)应用二：最值问题例4已知x 、y 满足4)2()1(22=++-y x ,求y x S -=3的最大值和最小值．（三）课堂小结1、在参数方程与普通方程的互化中，必须使x, y 的取值范围保持一致。
曲线的参数方程(教案
教案：曲线的参数方程第一章：引言1.1 参数方程的概念解释参数方程的定义强调参数方程在描述曲线上的重要性1.2 参数方程的应用举例说明参数方程在现实生活中的应用引导学生思考参数方程在其他领域的应用潜力第二章：基本概念2.1 曲线的方程回顾曲线的一般方程引入参数方程与一般方程的关系2.2 参数的选取解释参数的选取对曲线形状的影响引导学生探讨如何选择合适的参数第三章：直线参数方程3.1 直线参数方程的基本形式给出直线参数方程的标准形式解释参数t在直线参数方程中的作用3.2 直线参数方程的应用通过实例展示直线参数方程在几何中的应用引导学生思考直线参数方程在实际问题中的应用第四章：圆锥曲线参数方程4.1 椭圆参数方程推导椭圆的参数方程解释参数在椭圆参数方程中的含义4.2 双曲线参数方程推导双曲线的参数方程强调双曲线参数方程的特点4.3 抛物线参数方程推导抛物线的参数方程探讨抛物线参数方程在几何中的应用第五章：参数方程的综合应用5.1 参数方程与图形变换介绍参数方程在图形变换中的应用举例说明参数方程在几何中的变换作用5.2 参数方程与优化问题引导学生思考参数方程在优化问题中的应用通过实例解决实际问题第六章：参数方程与极坐标6.1 极坐标系统回顾极坐标系统的定义和基本概念解释极坐标与直角坐标之间的关系6.2 参数方程与极坐标转换展示如何将参数方程转换为极坐标方程探讨参数方程在极坐标系统中的应用第七章：参数方程在物理学中的应用7.1 物理学中的参数方程介绍物理学中常见的参数方程强调参数方程在描述物理现象中的重要性7.2 参数方程在力学中的应用举例说明参数方程在力学问题中的应用引导学生思考参数方程在其他物理学领域中的应用第八章：参数方程在工程中的应用8.1 工程中的参数方程探讨参数方程在工程领域的应用强调参数方程在设计和分析中的作用8.2 参数方程在电子技术中的应用举例说明参数方程在电子技术中的应用引导学生思考参数方程在其他工程领域中的应用第九章：参数方程在数学分析中的应用9.1 参数方程与微积分介绍参数方程在微积分中的应用强调参数方程在解决极限和导数问题中的重要性9.2 参数方程与优化问题探讨参数方程在优化问题中的应用引导学生思考参数方程在其他数学分析领域中的应用第十章：总结与拓展10.1 参数方程的总结回顾参数方程的重要概念和应用强调参数方程在解决问题中的优势10.2 参数方程的拓展介绍参数方程在其他数学领域的研究进展引导学生思考参数方程在未来发展的潜力重点和难点解析六章：参数方程与极坐标重点：极坐标系统的定义和基本概念，以及极坐标与直角坐标之间的关系。
曲线的参数方程教案_高三数学教案
曲线的参数方程教案_高三数学教案曲线的参数方程教案教学设计说明一、教材分析本节课所用的教材是由上海教育出版社出版的上海市高中三年级(理科)数学课本,内容为第十七章第一节,第一课时。
“参数方程和极坐标方程”这一章节内容是在“圆锥曲线”这一章的基础上进一步展开研究曲线的方程。
学习曲线的参数方程是为了进一步探讨直线、圆锥曲线的性质,也是进一步学习数学、运动学的基础,它在生产实践中有很多实际的应用。
本章主要学习参数方程的基本概念、基本原理、基本方法,因此在教学中要求应适当,难度要控制,基本应以课本例题与习题为主。
通过本章节的教学应使学生感悟到现实世界的问题是多种多样的,仅用一种坐标系,一种方程来研究各种不同的问题是不适合的,有时难以获得满意的效果。
参数方程有其自身的优越性,学习参数方程有其必要性。
通过学习参数方程的有关概念,以及方程之间、坐标之间的互化,使学生感悟到坐标系及各种方程的表示方法是可以视实际需要,主观能动的加以选择的。
“曲线的参数方程”为本章节的第一部分。
主要让学生了解参数方程的有关概念,通过探索圆锥曲线的参数方程初步掌握求曲线的参数方程的方法,并且在此基础上进行参数方程与普通方程的互化及其简单应用。
二、教学目标设计根据以上分析,本节课设置的教学目标为:1、理解曲线参数方程的概念,能选取适当的参数建立参数方程。
2、通过对圆和直线的参数方程的研究,了解某些参数的几何意义和物理意义。
3、初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题,在问题解决的过程中,培养数学抽象思维能力,初步体验参数的基本思想。
三、教学过程设计我校是上海市示范型高中,我校的学生数学基础良好,思维活跃,具备一定的分析问题和自主探究能力。
因此在教学设计中强调学生的自主探究,强调数学思想方法的渗透与运用,希望加深学生对知识本质的理解。
本课设置如下教学环节以体现重点,突破难点,实现教学目标。
1、作为曲线的参数方程的概念课,一味的灌输是不可取的。
高中高三数学《曲线的参数方程》教案、教学设计
2.联系实际：介绍曲线参数方程在现实生活中的应用，如机器人运动、航空航天等领域。激发学生的兴趣，使他们认识到学习曲线参数方程的重要性。
3.教师点评：对各小组的讨论成果进行点评，强调重点，纠正错误，引导学生深入理解曲线参数方程。
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的练习题，涵盖本节课的教学内容，让学生独立完成。
2.针对不同层次的学生，设计难易程度不同的题目，使每个学生都能得到锻炼和提高。
3.教师巡回指导，解答学生的疑问，及时发现问题，进行个别辅导。
-利用数学软件进行曲线绘制和计算，提高学生运用现代技术解决问题的能力。
2.教学过程：
（1）导入新课：通过一个实际问题，如圆的滚动，引出曲线参数方程的概念。
（2）探究新知：引导学生观察曲线图形，探索参数方程的规律，理解参数的几何意义。
（3）巩固知识：通过例题讲解和练习，使学生掌握参数方程的常见形式及其应用。
-例如，一辆汽车沿着一个半径为500米的圆形道路行驶，求汽车行驶半圈（π弧度）时的位移和路程。
3.提高拓展题：
-探讨曲线参数方程在物理学、工程学等领域的应用，举例说明，并简要阐述其原理。
-研究参数方程与极坐标方程之间的联系与区别，给出具体的例子进行说明。
4.创新思维题：
-假设你是一名科学家，请运用曲线参数方程解决一个尚未解决的物理或几何问题，并描述你的思考过程。
-理解参数方程中参数的几何意义，如极径、角度等。
-将曲线参数方程应用于实际问题，培养学生学以致用的能力。
（二）教学设想
曲线的参数方程教学设计
《曲线的参数方程》教学设计《曲线的参数方程》教学设计1.教学目标学生经历了从具体问题中获取曲线的参数方程的过程，初步了解参数方程、参数、普通方程的定义，体会参数的意义。
能选择适当的参数写出圆的参数方程，体会转化化归思想、数形结合思想，体验在知识获取中提升推理能力的快乐。
2.教学重点与难点重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
3.课件的内容引例、例题及其简单的解答；参数方程的有关概念等。
4.教法与学法问题探究法5.教学过程问题引入数学大师笛卡尔让我们步入平面解析几何的殿堂，使点的轨迹（曲线）与二元方程（f(x,y)=0）建立了对应关系。
如何求点的轨迹方程，同学们已积累了很多实战经验，回忆一下，解决下面问题。
出示课件：师生共同解答，重思路剖析，引出课题。
推进新课结合以上回答，推广一般，引出下列概念出示课件：强调参数的意义，范围，优越性等。
曲线是由点构成的，点与曲线有两种位置关系，请解题：出示课件，让学生解：例1 已知曲线C的参数方程（1）判断点M1 (0,1), M2 (5,4)与曲线C的位置关系；（2）已知点M3 (6,a)在曲线C上，求a的值。
出示时钟引出问题（教师直接操作），让学生解答，引出圆的两个参数方程，出示课件并简解。
如果在时刻t，点P转过的角度，坐标是P(x,y)，那么。
设��OP��=r，则或教师继续操作时钟引出例2，出示课件，让学生解并交流。
练习（1）引申例2；（2）写出圆心C(a,b),半径为r的圆的参数方程；小结本节课我们学习了三个概念（参数方程、参数、普通方程），两种思想（转化化归思想、数形结合思想），解决了八个问题。
作业教材P26习题2.1的 1，2题。
思考题：把参数方程化为普通方程。
曲线的参数方程优秀教学设计
曲线的参数方程【教课目的】1．经过剖析抛物运动中时间与运动物体地点的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．剖析曲线的几何性质，选择适合的参数写出它的参数方程。
【教课要点】依据问题的条件引进适合的参数，写出参数方程，领会参数的意义。
【教课难点】依据几何性质选用适合的参数，成立曲线的参数方程。
【教课方法】启迪引诱，研究归纳【教课过程】一、参数方程的观点1．问题提出：铅球运动员扔掷铅球，在出手的一顷刻，铅球的速度为，与地面成y 0 角，怎样来刻画铅球运动的轨迹呢？v=v 02．剖析研究理解：（ 1）、斜抛运动：x v0 cos t O xy v0 sin1gt 2(t为参数）t2（ 2）、抽象归纳：参数方程的观点。
说明：（ 1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。
（ 2）参数是联系变量x，y 的桥梁，能够有实质意义，也可无实质意义。
（ 3）平抛运动：yx 100t 500v=100m/s Ay1gt 2(t为参数）5002 O x（ 4）思虑沟通：把引例中求出的铅球运动的轨迹的参数方程消去参数t 后，再将所得方程与原方程进行比较，领会参数方程的作用。
二、应用举例：x 3t（t 为参数）例 1．已知曲线 C 的参数方程是2t 2y 1（ 1）判断点M1（ 0， 1），M2（5，4）与曲线 C 的地点关系；（ 2）已知点M3（6，a）在曲线 C上，求 a 的值。
剖析：只需把参数方程中的t 消去化成对于x， y 的方程问题易于解决。
学生练习。
反省归纳：给定参数方程要研究问题可化为对于x，y 的方程问题求解。
例 2．设质点沿以原点为圆心，半径为 2 的圆做匀速（角速度）运动，角速度为60rad/s ，试以时间 t 为参数，成立质点运动轨迹的参数方程。
分析：如图，运动开始时质点位于 A 点处，此时 t=0 ，设动点 M（ x， y）对应时辰 t ，x 2cos x 2cos 60 t由图可知 { y 2sin 又60 t ，得参数方程为{y 2sin 60 t (t 0) 。
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二、《曲线的参数方程》教案
时间：2 授课班级：高二（8）班
一、教学目标: 理解参数方程的概念；掌握参数方程化为普通方程的几种常见
的方法；会选取适当的参数化普通方程为参数方程。
二、重点、难点：能选择适当的参数写出曲线的参数方程，参数方程与普通方程
的互化和互化的等价性。
三、课时安排：1课时
四、教学过程
（一）创设情境
一架救援飞机在离灾区地面500m 高处以100m/s 的速度作水平直线飞行.为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻
力），飞行员应如何确定投放时机呢？
即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物
资？
（二）探索研究导出新概念
1、参数方程的定义：
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的
函数② ⎩⎨⎧==)
()(t g y t f x ，
并且对于t 的每一个允许值，由方程组②所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么方程②就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
例1 已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1
232t y t x （t 为参数）. (1)判断点)1,0(1M ，)4,5(2M 与曲线C 的位置关系；
(2)已知点),6(3a M 在曲线C 上，求a 的值；
(3)将参数方程化为普通方程，并判断曲线C 表示什么图形。
2、参数方程和普通方程的互化：
（1）参数方程通过消元法消去参数化为普通方程
例2 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：
（1）1)1x t t y t
⎧=⎪⎨=-⎪⎩为参数 （2）cos +sin ()1+sin 2x y θθθθ=⎧⎨=⎩为参数
练习：将下列参数方程化为普通方程：
(1)⎩⎨⎧==θθ2cos sin y x (θ为参数) （2）⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=2211t t y t t x （t 为参数） （2）普通方程化为参数方程需要引入参数
练习：曲线y =x 2的一种参数方程是（ ）
3、圆的参数方程
圆心为原点半径为r 的圆的参数方程：cos ()sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩
为参数 圆心为),(b a 原点半径为r 的圆的参数方程: ⎩⎨⎧+=+=θ
θsin cos r b y r a x ()θ为参数 小试牛刀：圆的方程为x 2+y 2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程 题型：参数方程的应用
应用一：求轨迹方程
例3如图所示，圆O 的半径为2，P 是圆上的动点，Q （6，0）是x 轴上的定点，M 是PQ 的中点.当点P 绕O 作匀速圆周运动时，求点M 的轨迹的参数方程.
(备选)应用二：最值问题
例4已知x 、y 满足4)2()1(22=++-y x ,求y x S -=3的最大值和最小值．
（三）课堂小结
1、在参数方程与普通方程的互化中，必须使x, y 的取值范围保持一致。
2、参数方程化为普通方程的方法和需要注意的地方：
(1)代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数；
(2)三角法：利用三角恒等式消去参数；
(3)整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。
3、圆的参数方程
（四）布置作业 导学案的课后练习，书本课后练习
2224sin A B C sin x t x t x t x t y t y t y t y t ==⎧⎧=⎧⎧=⎪⎪⎨⎨⎨⎨====⎪⎪⎩⎩⎩⎩、、、、。