最好的线性代数课件【精选】

1、求解线性方程组
例1：明代程大为著的《算法统宗》中记载： 100个和尚分100个馒头。大和尚一人3个，小和 尚3人一个，刚好分完。问大、小和尚各多少人？
解：设有大和尚x人，小和尚y人，于是有
x y 100
用代入法求得：
y

100


x
3x 1 y 100
3
，代入
8
x
线性代数课程简介
线性代数是一门基础数学课程,其核心内容 是研究有限维线性空间的结构和线性变换.其理 论和方法有着广泛的应用. 一.教材与参考书 教材选用：
《线性代数》清华大学出版社 居余马等编
参考教材：《线性代数》吴传生 王卫华编
1.教材内容:
行列式
线性方程组
矩阵的特征值
矩阵
向量空间
2.学习方法与要求;
二次型
预习+课堂学习+小组讨论
本期应完成:15次作业、6个报告、2次考试
线性代数(Linear Algebra)简介
一.代数: 是指由字母或符号来研究数及其结构的科学。 加法与乘法被看成是代数系统中的一般运算。 1.初等代数 代数的起源可以追溯至3000多年前的古埃及 人和古巴比伦人。初期的代数主要源于解方程.
复数域上任意一个一元n次（n>0）方程
an xn an1 xn1 an2 xn2 ... a1 x a0 0
至少有个根,这就是说,至少有个复数x满足这个 等式；
任何一个一元n次方程在复数域上 有且仅有n个根（重根按重数计算）
3.多项式方程的代数解问题
方程的代数解是指:
4、方程根与系数的关系
韦达定理:设一元二次方程 ax2 bx c 0
在复数域上的两个根为x1, x2 ,则有
b x1 x2 a
c x1 x2 a
一般地:设 an xn an1 xn1 an2 xn2 ... a1 x a0 0
在复数域上的n个根为 x1 , x2 , xn ,则有
我国古代的《九章算术》 中就有方程问题。
初等代数研究的对象: 代数式的运算和方程的求解。
整式、分式和根式是初等代数的三大类代数式。 四则运算，乘方和开方运算,通常称为初
等代数的代数运算.
初等代数的十条规则: (1)五条基本运算律：
加法交换律、加法结合律、 乘法交换律、乘法结合律、分配律；
(2)两条等式基本性质:

4x2 3x3 10 x2 4x3 9

x2 x3 3
同理:将2,3方程互换位置,得
x1 x2 x3 4

x2 4x3 9 4 x2 3 x3 10
x2 x3 3
x8
或

y

11
或
z 81
x 12

y

4
z 84
例3求解下列线性方程组
x+2y-z=1
(1)
1 3x + y + 2z = 2
(2)
2x - y + 3z = 1
(3)
解: 由(2)-(1)得(3) 方程组与下列方程组同解
x2yz 1
(4)
3x y 2z 2
(5)
由(5)×2－(4):
x 3k 5
y 1k 3
令: z k k是任意常数
2 x1 2 x2 x3 2
2

2
x1 x2 x3 x1 x2 2 x3
4 1
3 x1 x2 x3 0
x1 x2

xn


an1 an
x1 x2 x1 x3

xn1 xn

an2 an
x1 x2 x3 x1 x2 x4

xn2 xn1 xn


an3 an
… x1 x2
2.高等代数
xn

1n
a0 an
1832年法国数学家伽罗瓦运用“群”的思想彻 底解决了用根式求解代数方程的可能性,由此 代数转变成为研究代数运算结构的科学.

5x 3 y
有（2）×3－（1）得
1 z 100 3
17y4xx2458y
7
21x00
4
因为y是整数，可设 x 4k 代入得：
x 4k

y

25

7k
z 75 3k
又y>0,可知k=1,2,3,由此得
x4

y

18
z 78
等式两边同时加上一个数，等式不变； 等式两边同时乘以一个非零的数，等式不变； (3)三条指数律：
同底数幂相乘，底数不变指数相加； 指数的乘方等于底数不变指数相乘； 积的乘方等于乘方的积。 人们在解方程的研究过程中发现了
无理数、负数和复数， 从而使数的概念得到了扩充。
2、代数的基本定理
1799年高斯（Gauss）证明：
方程经过有限次代数运算得到的解。
例如：ax2 bx c 0 的解.
a

x

b 2a
2

b2 4a

c

0

x

b 2a
2

b2 4ac 4a2
， b b2 4ac
x1,2
，
2a
阿贝尔（Abel）(1802～1829)
证明了五次方程不可能有代数解

200
，解出：
33
x 25, y 75
例2：中国古代算书《张丘建算经》记载百鸡问 题：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱， 小鸡三只值一文钱，现在用一百文钱买一百只 鸡，问：在这一百鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各 有多少只？
解：设有公鸡x只，母鸡y只，小鸡z只，则有
x y z 100
二.线性代数
“线性”的含义是指未知量的一次式。 例如: y=ax表示变量y是变量x的一个线性函数，
y=ax1+bx2表示变量y是x1，x2的线性关系。 一个线性表示不能包含诸如x2和x1x2的二次项， 这些二次项是非线性的。 线性代数的研究对象:
线性方程组、线性空间和线性变换。
行列式和矩阵的是线性代数的两个重要工具.
解:利用高斯（ Gauss ）消元法求解.
x1 x2 x3 4

2 2
x1 x1

2x2 x3 x2 2x3

2 1
3 x1 x2 x3 0
将1,2两个方程 互换位置得
由第1个方程分别乘-2,-2,-3,后与2,3,4Hale Waihona Puke Baidu程相加,得
x1 x2 x3 4