§8.5 Z变换的基本性质ppt课件
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Z变换
z 1
4.左边序列，x lim z 1 1X z
z 1
使用条件： 极点在单位圆外 z=1处只允许有 一阶极点
5.双边序列，x 与 x 无法由X(z)简单确定。
1 z 1 z 2 ，a) z 2 b) z 1 例7：⑴ X z 1 2 1 z 1 2 z
§8.3 Z变换的基本性质 n x n 3 X z [例3]：①
左移：
右移：
z 1 xn 1 X z z z 3 1 3 z 3 z 3 1 1 1 x n 1 X z z 1 z 3 1 3 z 3 z 3 z
z 1n u n z z 解： Z u n ① z 1 Z z 1 z 1 z 2 z cos 0 ② Z cosn 0 u n 2 z 2 z cos 0 1
z z cos 0 n z Z cosn 0 un 2 z z 2 cos 0 1
z Y z 1 3z 2 z 2 z 1 1 z z2 z z 1 1 1 1 z 2z 1 1 z 2 z 1 1 z2 z2 Y z 1 3z 1 2 z 2 1 z 1 1 2 z 1 z3 z2 1 2z 6z 6z 1 z 3z 2z 1 1 z z 1 z 2 z 3 y n (2 62n 6 n )u (n) 3
xn un X z xn mun m z m X z
[例4]：已知 y n 3 y n 1 2 y n 2 xn xn 1，且 x n 3n u n ， 1 1, y 2 1 y Y 。求单边Z变换 z 和 y n n 0 解： z 3z 1 Y z zy 1 2 z 2 Y z zy 1 z 2 y 2 Y
4.左边序列，x lim z 1 1X z
z 1
使用条件： 极点在单位圆外 z=1处只允许有 一阶极点
5.双边序列，x 与 x 无法由X(z)简单确定。
1 z 1 z 2 ，a) z 2 b) z 1 例7：⑴ X z 1 2 1 z 1 2 z
§8.3 Z变换的基本性质 n x n 3 X z [例3]：①
左移：
右移：
z 1 xn 1 X z z z 3 1 3 z 3 z 3 1 1 1 x n 1 X z z 1 z 3 1 3 z 3 z 3 z
z 1n u n z z 解： Z u n ① z 1 Z z 1 z 1 z 2 z cos 0 ② Z cosn 0 u n 2 z 2 z cos 0 1
z z cos 0 n z Z cosn 0 un 2 z z 2 cos 0 1
z Y z 1 3z 2 z 2 z 1 1 z z2 z z 1 1 1 1 z 2z 1 1 z 2 z 1 1 z2 z2 Y z 1 3z 1 2 z 2 1 z 1 1 2 z 1 z3 z2 1 2z 6z 6z 1 z 3z 2z 1 1 z z 1 z 2 z 3 y n (2 62n 6 n )u (n) 3
xn un X z xn mun m z m X z
[例4]：已知 y n 3 y n 1 2 y n 2 xn xn 1，且 x n 3n u n ， 1 1, y 2 1 y Y 。求单边Z变换 z 和 y n n 0 解： z 3z 1 Y z zy 1 2 z 2 Y z zy 1 z 2 y 2 Y
§8.5 Z变换的基本性质
返回
周期序列的z 周期序列的z变换
若周期序列x 的周期为N 若周期序列x(n)的周期为N，即x(n)= x(n+N)。 n+N) 令第一个周期的序列为x 令第一个周期的序列为x1(n)，其z变换为： 变换为：
X1 (z) = ∑x(n)z −n
n=0 N−1
( z > 0)
∞ −m N
由于x )=x 由于x(n)=x1(n)+ x1(n-N)+ x1(n-2N)+……
Z[x(n + 2)] = z2 X(z) − z2 x(0) − zx(1)
返回
证明左移位性质
根据单边 变换的定义， 根据单边z变换的定义，可得 单边z
Z[ x(n + m)u(n)] = ∑x(n + m)z−n
n=0 ∞
= zm ∑x(n + m)z−(n+m)
n=0
∞
k 令 = n+ m zm x(k)z−k ∑
返回
(1)左移位性质 (1)左移位性质
若 Z[x(n)u(n)] = X(z)
m−1 m −k 则 Z[ x(n + m)u(n)] = z X(z) − ∑x(k)z k=0 其中m 其中m为正整数
对于m= 对于m=1、2的情况，可以写作为 m=1 的情况，可以写作为
Z[ x(n + 1)] = zX(z) − zx(0)
1.双边z变换 1.双边 双边z 2.单边z变换 2.单边 单边z
(1) 左移位性质 (2) 右移位性质 根据移位特性，可求周期序列的z变换 根据移位特性，可求周期序列的z
返回
1．双边z变换的位移性质 双边z
Z变换ppt课件
F (s)
C0
C1 s s1
C2 (s D2 ) s2 A2s B2
L
线性常系数微分方程，可以写成传递函数f（s）：
特征值为实数（一阶系统）或者一对共轭复根（二阶系统） f（s）可以分解为一阶和二阶环节之和（部分分式展开），
分别查表，得到z变换式，再求和。
注意：一般不能用 F *(s) s 1 ln z F (z) T 5
f *(t) 11 (t T ) 29 (t 2T ) 67 (t 3T ) 145 (t 4T ) L
得到的是数值解，很难得到解析解，不便于分析
7
2. 查表法(部分分式展开法)
F (z) A1z A2z L An z
z z1 z z2
z zn
例：求
F
(
z
)
11z3 15z (z 2)(z
nm，可实现条件
例： G(z) Y (z) z z , Y (z) zR(z)
R(z)
1
y(t) r(t)=(t)
t -T 0
若r(t)=(t), R(z)=1, 则Y(z)＝z, y(t)= (t+T)
输出信号出现在输入信号之前，非因果的，物理上 不存在
17
2 差分方程与脉冲传递函数
c(k) a1c(k 1) a2c(k 2) L anc(k n)
即
e*(t) r *(t) c*(t)
25
反馈通道有采样开关
G(z)
R(s)
_
E(s) T E(z)
G(s)
Y(s) T
Y(z)
F(s)
T
Y(z)
Y(z) G(z)E(z)
E(z) R(z) F(z)Y (z) R(z) F(z)G(z)E(z)
8.5 Z变换的基本性质
1 1 z z 3 − 3 + z ] + [ z − 2z ] Y ( z) = [ z − 2 z +1 z + 2 z +1 z + 2
1 n 1 y (n) = [ (2) − (−1) n + (−2) n ]u (n) + [( −1) n − 2(−2) n ]u (n) 4 3 3 4444 244444 144 2444 34 1 3 零输入响应
n
Rx1 < z < Rx 2 z Rx1 < < Rx 2 a
−n
ZT [a x(n)] =
n
n = −∞
∑a
∞
n
x(n) z
z −n z = ∑ x(n)( ) = X ( ) a a n = −∞
z > 1即 z > a u (n)] = z −1 z − a a
z z ZT [a x(n)] = X ( ) Rx1 < < Rx 2 a a z z ( − cos ω0 ) β β n ZT [ β cos(nω0 )u (n)] = z 2 z ( ) − 2 cos ω0 + 1 β β
n
z
β
>1
z ( z − β cos ω0 ) ZT [ β cos(nω0 )u (n)] = 2 2 z − 2 zβ cos ω0 + β
X ( z) 3 y (−1) + 2 z −1 y (−1) + 2 y (−2) Y ( z) = − −1 −2 1 + 3z + 2 z 1 + 3 z −1 + 2 z − 2
−1
z变换的定义和收敛域PPT课件
——电子信息工程
第二章 离散系统的变换域分析
——电子信息工程
u( t ) 0
f
t
——电子信息工程
主要内容： • z变换及其收敛域 • 部分分式展开法求z反变换 • z变换的主要性质 • 离散系统的系统函数和频率响应 • 系统函数与差分方程的关系 • 线性时不变系统的基本结构
——电子信息工程
2.1 z变换与z逆变换
n0
n
若有 | a || b |
X(z) z z za zb
| a || z || b |
——电子信息工程
3.典型序列z变换
(1) x(n) (n) 1, 任意z
(2)
x(n)
u(n)
1
1 z 1
,
|z|1
(3)
x(n)
u(n
1)
1
1 z 1
,
|z|1
(4)
x(n)
a n u(n)
x(n) 0
——电子信息工程
例： 求序列 x(n) bnu(n 1) 的 z 变换及收敛域
1
解： X (z) x(n)zn bnzn bnzn 1 bnzn
n
n
n1
n0
当 | z |时1，级数 b
收b 敛n z n
n0
X (z)
1
n0
bnzn
1
1 1 b1z
z zb
| z || b |
注意： 左边序列和右边序列具有相同的z变换形式， 但收敛域不同。
——电子信息工程
（4）.双边序列
双边序列是指n为任意值时x(n)皆有值的序列。
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
第二章 离散系统的变换域分析
——电子信息工程
u( t ) 0
f
t
——电子信息工程
主要内容： • z变换及其收敛域 • 部分分式展开法求z反变换 • z变换的主要性质 • 离散系统的系统函数和频率响应 • 系统函数与差分方程的关系 • 线性时不变系统的基本结构
——电子信息工程
2.1 z变换与z逆变换
n0
n
若有 | a || b |
X(z) z z za zb
| a || z || b |
——电子信息工程
3.典型序列z变换
(1) x(n) (n) 1, 任意z
(2)
x(n)
u(n)
1
1 z 1
,
|z|1
(3)
x(n)
u(n
1)
1
1 z 1
,
|z|1
(4)
x(n)
a n u(n)
x(n) 0
——电子信息工程
例： 求序列 x(n) bnu(n 1) 的 z 变换及收敛域
1
解： X (z) x(n)zn bnzn bnzn 1 bnzn
n
n
n1
n0
当 | z |时1，级数 b
收b 敛n z n
n0
X (z)
1
n0
bnzn
1
1 1 b1z
z zb
| z || b |
注意： 左边序列和右边序列具有相同的z变换形式， 但收敛域不同。
——电子信息工程
（4）.双边序列
双边序列是指n为任意值时x(n)皆有值的序列。
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
信号与系统-08信号的z变换ppt课件
极点z
z
的系数
m
X(z)
A0
A1z z z1
A2z z z2
AN z z zN
x(n) A0 (n) A1(z1)n A2(z2 )n AN (zN )n, n 0
26
第
高阶极点（重根） 页
设
s
X(z)
Bjz
j1 (z zi ) j
z zi为s阶极点。
则
Bj
1 ds j
(s
6
说明
第 页
n 1 z的正幂级数构成左边序列
0n
z的负幂级数构成右边序列
若双边序列取单边z变换，或对因果信号（有起因序
列） n 存0 在的序列取z变换
X (z) x(n)zn , n0
单边z变换
§8.2 z变换的定义、典型序列的 z变换
8
z变换的定义
第 页
单边z变换 X (z) x(n)zn n0
n
对任一信号x(n)的（双边）z变换式为
X (z) x(n)z n n
5
三．对z变换式的理解
第 页
X (z) x(n)z n n
x(2)z2 x(1)z1
z的 正 幂
x(0)z 0 x(1)z1 x(2)z 2 x(n)zn
z的 负 幂
X z是z 1的幂级数 级数的系数是 xn 幂 n中的n指出 xn 的位置
za
za
注意：z 变换相同时，左边序列的定义。 an
第 页
n 1
12
13
第
五．正弦与余弦序列
页
单边余弦序列 cos0nun
因为 cos ω0n
e e jω0n jω0n
专题拉氏变换与Z变换.ppt
证明： L( ( f (t, a))) f (kT , a)zk f (kT , a)zk F (z, a)
a
k 0 a
a k 0
a
例题见课本P21例2.6，自学。
Z反变换
专题1 拉氏变换与Z变换
3 Z反变换
Z反变换，即由象函数F（z）求序列f(kT)或者采样函数f*(t)的 变换。
f
()
lim(1
z 1
z1)F (z)
1
lim
z 1
1
0.2
z
1
1.25
专题1 拉氏变换与Z变换
2 Z变换及其性质
（8）偏微分定理
若 Z[ f (t,a)] F(z,a) ，其中a是一个独立变量或者常数，则有
L( ( f (t, a))) F(z, a)
a
a
z eaT
1 z eaT
（4）复数位移定理
若 Z[ f (t)] F(z) ，则 Z[eat f (t)] F (eaT z)
证明：Z[eat f (t)] eakT f (kT )zk f (kT )(e aT z)k F (e aT z)
k 0
证明： Z[f1 (t) f2 (t)] (f1 (t) f2 (t))z k k 0
f1 (t) z k f2 (t)z k F1 Biblioteka z) F2 (z)k 0
k 0
（2）延迟定理（滞后定理右移定理）
设 kT 0 时， y(kT) 0
z n ( f (0) f (T ) z1 f (2T )z 2 ) z n F (z)
Z变换的基本性质演示文稿
证明：
Z an x(n)
a n x(n)z n
x(n) z n X z
n0
n0
a
a
同理 a n x(n) X az
Rx1 az Rx2
1n x(n) X z
Rx1 z Rx2
五．初值定理
若x(n)为因果序列，已知 X z Zxn xnz n，
n0
则x(0) lim X (z)
Z变换的基本性质演示文稿
优选Z变换的基本性质ppt
主要内容
线性 位移性 序列线性加权 序列指数加权 初值定理 终值定理 时域卷积定理
z域卷积定理（自阅）
一．线性 (表现为叠加性和均匀性）
若 Zx(n) X (z)
Rx1 z Rx2
Zy(n) Y (z)
Ry1 z Ry2
则 Zax(n) by(n) aX (z) bY (z) R1 z R2
例：anu(n), a 1，终值为0 (2)若极点位于单位圆上，只能位于 z 1 ，并且是一阶
极点。 例：u(n)，终值为1
注意：和系统稳定性条件区别，系统稳定性条件只有第 一条。
注意：对于因果序列n 0时，xn 0，则
Zx(n m)u(n) z m X (z)
而左移位序列的单边z变换不变。
三．序列线性加权
若 Zx(n) X (z)
则 nx(n) z d X (z)
推广
Z
n2 xn
dz
Zn nxn
z
d
Znxn
dz
z
d dz
z
d dz
X
z
z2
d
2 X z
dz2
x(n) 4
x(n 2) 4
Z变换定义与性质
z sin0
z2 2z cos0 1
尺度变换性质
如果： f (n) F (z)
则： a n f (n) F ( z )
a
若 a = -1： (1)n f (n) F (z)
a0
a可为实数或复数
例2
f (n) an (n)
(n) z
z 1
an (n)
z
a z 1
z za
a
尺度变换性质
Z变换的性质
线性性质 尺度变换性质 时移性质 z域微分特性 卷积和特性
线性性质
如果： f1(n) F1(z)
f2 (n) F2 (z)
则： af1(n) bf2 (n) aF1(z) bF2 (z)
例1：
Z sin(0n) (n)
1 2 j
z z e j0
z z e j0
故
F(z) z za
za
图1 右边序列的收敛域
右边序列的收敛域是Z平面以原点为圆心，
以 a 为半径的圆外区域。
z变换定义和收敛域
。
例2 已知 f (n) bn(n 1),求其双边Z变换及收敛域
解
1
F(z) bn zn (b1z)n 1 (b1z)n
n
n1
n0
1
lim
n
1 (b1z)n 1 b1z
n0
记为： F (z) Z f (n)
称为序列f (n) 的 双边z变换
称为序列f (n) 的 单边z变换
原函数
Z反变换的定义
Ñ f (n) 1
F (z)zn1dz
2π j c
z变换对： f (n) Z -1 F ( z)
简记为： f (n) F(z)
Z变换 PPT课件
[x(n) Z k1dZ]
c
c n
由柯西定理
c
Z
k 1dZ
2j
0
n
c
k 0(or n m)
k 0(or n m)
得： X (Z )Z m1dZ 2jx(m)
Z逆变换
c
x(n)
1
X (Z )Z n1dZ
Res[X (Z)Z n1在c内的奇点]
x(n n1) 0
n n1
Z
比值值判 x(n 1)z (n1) x(n) z n
1
左边序列
某圆内 0? Z Rx2
X (z)
n2
x(n)z n
x(n n2) 0
Z
n
根值值判Z
1
lim n
n
x(n) R3x2
§4.1 Z变换及收敛域—2.收敛域
az 1
a2 z 2
...
a n
z
...
1 z 1 (a z) z a
a 1 or ROC : z a
z
X2(z)
x2 (n)zn
n
1
(a
n
)z
n
n
(a1z)m
m1
n0
A (n) A,
X (z) 分解为： 多项式 +
真分式
Y(Z) + N'(Z)/D(Z)
X (Z ) A BZ CZ 2 ... kZ hZ ... Z a Z b
第八章z变换
收 敛 域 的 说 明 ： 单 边 变 换 中 序 列 与 变 换 式 、 收 敛 域 唯 一 对 应 ； 双 边 变 换 中 序 列 与 变 换 式 、 收 敛 域 不 唯 一 对 应 。
Z变换的收敛域
级 数 收 敛 的 充 分 条 件 ：
x(n)z-n
n=-
(1)比值判定法：设一个正项级数an , n=- 令其lni m aann+1 则当1时，级数收敛； 当1时，级数发散。
则 X ( z ) Z 1 x (n )=1 X ( z ) zn 1 d z 2j C
其 中 C是 包 围X(z)zn-1所 有 极 点 的 逆 时 针 闭 合 路 线
二、求逆Z变换方法
逆Z变换
1 ) 围 线 积 分 法 ： 借 助 复 变 函 数 的 留 数 定 理
X ( z ) Z 1 x ( n ) =R e s X ( z ) z n 1
二、 典型序列的Z变换
(n)
1 单 位 样 值 序 列 ( n )Z 1
1
2 单 位 阶 跃 序 列 u (n )Z z , z1
z1
0
n
u (n)
1
3 斜 变 序 列 n u (n )Z zz12 , z1 0
n
典型序列的Z变换
4 单 边 指 数 序 列 a n u ( n ) Z z
则 该 级 数 收 敛 .其 中 R x10,R x2< . 可 见 ,
双 边 序 列 的 收 敛 域 是 以 半 径 为 R x 1 和 R x 2 之 间 的 圆 环 部 分 .
作业
P103 8-1，8-2，8-3，8-12
第四节 逆z变换
一、逆Z变换
逆Z变换定义：
Z变换的收敛域
级 数 收 敛 的 充 分 条 件 ：
x(n)z-n
n=-
(1)比值判定法：设一个正项级数an , n=- 令其lni m aann+1 则当1时，级数收敛； 当1时，级数发散。
则 X ( z ) Z 1 x (n )=1 X ( z ) zn 1 d z 2j C
其 中 C是 包 围X(z)zn-1所 有 极 点 的 逆 时 针 闭 合 路 线
二、求逆Z变换方法
逆Z变换
1 ) 围 线 积 分 法 ： 借 助 复 变 函 数 的 留 数 定 理
X ( z ) Z 1 x ( n ) =R e s X ( z ) z n 1
二、 典型序列的Z变换
(n)
1 单 位 样 值 序 列 ( n )Z 1
1
2 单 位 阶 跃 序 列 u (n )Z z , z1
z1
0
n
u (n)
1
3 斜 变 序 列 n u (n )Z zz12 , z1 0
n
典型序列的Z变换
4 单 边 指 数 序 列 a n u ( n ) Z z
则 该 级 数 收 敛 .其 中 R x10,R x2< . 可 见 ,
双 边 序 列 的 收 敛 域 是 以 半 径 为 R x 1 和 R x 2 之 间 的 圆 环 部 分 .
作业
P103 8-1，8-2，8-3，8-12
第四节 逆z变换
一、逆Z变换
逆Z变换定义：
《z变换的性质》课件
通过DFT，我们可以得到信号在各个频率分量 的幅度和相位信息；而通过z变换，我们可以分 析信号的频率响应和稳定性等特性。
z变换在信号处理中的应用
01
z变换在信号处理中有广泛的应用，例如系统分析和设计、滤波 器设计、频谱分析等。
02
通过分析系统的z变换特性，我们可以了解系统的频率响应和稳
定性，从而优化系统的性能。
详细描述
微分性质描述了信号的一阶导数对z变换结果的影响。在信号处理中，微分性质可以用来分析和处理信号的导数 ，从而更好地理解信号的特性。例如，在控制系统和滤波器设计中，微分性质可以帮助我们设计和分析信号处理 算法。
积分性质
总结词
积分性质是指若信号x(n)进行z变换得到 X(z)，则x(n)的积分进行z变换的结果是 1/(1-z)。
控制工程
在控制工程领域，z变换用于分析和设计控制系统的稳定性、性能指标等，为控制系统设计和优 化提供理论支持。
z变换的应用领域
数字信号处理
在数字信号处理中，z变换用于 频谱分析、滤波器设计、频域信
号处理等方面。
控制系统
在控制系统中，z变换用于系统 稳定性分析、控制器设计、状态
估计等方面。
通信工程
在通信工程中，z变换用于调制 解调、信道均衡、信号检测等方
数学基础
基于复数和离散时间函数的数学基础，z变换通过将离散时 间信号映射到复平面的函数，提供了一种方便的数学工具。
z变换的重要性
系统分析
z变换是分析离散时间系统的基本工具，通过它可以将离散时间系统的动态行为表示为复平面上 的函数，进而分析系统的稳定性、频率响应等特性。
信号处理
在信号处理领域，z变换用于分析离散时间信号的频谱、滤波、调制等处理过程，实现信号的频 域分析和处理。
z变换在信号处理中的应用
01
z变换在信号处理中有广泛的应用，例如系统分析和设计、滤波 器设计、频谱分析等。
02
通过分析系统的z变换特性，我们可以了解系统的频率响应和稳
定性，从而优化系统的性能。
详细描述
微分性质描述了信号的一阶导数对z变换结果的影响。在信号处理中，微分性质可以用来分析和处理信号的导数 ，从而更好地理解信号的特性。例如，在控制系统和滤波器设计中，微分性质可以帮助我们设计和分析信号处理 算法。
积分性质
总结词
积分性质是指若信号x(n)进行z变换得到 X(z)，则x(n)的积分进行z变换的结果是 1/(1-z)。
控制工程
在控制工程领域，z变换用于分析和设计控制系统的稳定性、性能指标等，为控制系统设计和优 化提供理论支持。
z变换的应用领域
数字信号处理
在数字信号处理中，z变换用于 频谱分析、滤波器设计、频域信
号处理等方面。
控制系统
在控制系统中，z变换用于系统 稳定性分析、控制器设计、状态
估计等方面。
通信工程
在通信工程中，z变换用于调制 解调、信道均衡、信号检测等方
数学基础
基于复数和离散时间函数的数学基础，z变换通过将离散时 间信号映射到复平面的函数，提供了一种方便的数学工具。
z变换的重要性
系统分析
z变换是分析离散时间系统的基本工具，通过它可以将离散时间系统的动态行为表示为复平面上 的函数，进而分析系统的稳定性、频率响应等特性。
信号处理
在信号处理领域，z变换用于分析离散时间信号的频谱、滤波、调制等处理过程，实现信号的频 域分析和处理。
Z变换的基本性质 ppt课件
x(k1)x(k1)zk
k0
x1x0z1 x1z2 x(2)z3
x(-1)z-1[x0x1z1 x2z2 x3z3
x1z1Xz
X
14
第
Z变换的基本性质
页
根据单边z变换的定义，可得 Zxkm k xkm zk k0 zm xkmzkm k0
令nkmzm xnzn
nm
zmxnzn1xnzn
zRx1
Zx2(k)X2(z)
zRx2
则 Za1x(k)b2x(k)aX 1(z)bX 2(z)
a,b为任意常数。
ROC：一般情况下，取二者的重叠部分
即zmaRxx 1,R (x2)
注意:如相加过程出现零极点抵消情况,收敛域可能变大.
X
3
Z变换求 的c基o本k sh 性0(质k)的 z变换（。 自学）
则 x (k m )(k ) z m X (z ) 1x (k )z k z
k m
x k 1 ( k ) z 1 X z x 1 其中m为正整数
x k 2 ( k ) z 2 X z z 1 x 1 x 2
注意：对k于 0时 因 x， k果 0， 序 则 列
第 页
解：
已知
Zak(k) z
za
并且
cok sω h 0 1 2ekω 0ekω 0
所 Z c以 k o ω 0 ( s k ) h 1 2 Z e k ω 0( k ) 1 2 Z e k ω 0( k )
1z 1 z 2zeω0 2zeω0
z2z(2zzccoossω ω h0h01
X
6
Z变换的基本性质
第
页
1.双边z变换 2.单边z变换
(1) 左移位性质
k0
x1x0z1 x1z2 x(2)z3
x(-1)z-1[x0x1z1 x2z2 x3z3
x1z1Xz
X
14
第
Z变换的基本性质
页
根据单边z变换的定义，可得 Zxkm k xkm zk k0 zm xkmzkm k0
令nkmzm xnzn
nm
zmxnzn1xnzn
zRx1
Zx2(k)X2(z)
zRx2
则 Za1x(k)b2x(k)aX 1(z)bX 2(z)
a,b为任意常数。
ROC：一般情况下，取二者的重叠部分
即zmaRxx 1,R (x2)
注意:如相加过程出现零极点抵消情况,收敛域可能变大.
X
3
Z变换求 的c基o本k sh 性0(质k)的 z变换（。 自学）
则 x (k m )(k ) z m X (z ) 1x (k )z k z
k m
x k 1 ( k ) z 1 X z x 1 其中m为正整数
x k 2 ( k ) z 2 X z z 1 x 1 x 2
注意：对k于 0时 因 x， k果 0， 序 则 列
第 页
解：
已知
Zak(k) z
za
并且
cok sω h 0 1 2ekω 0ekω 0
所 Z c以 k o ω 0 ( s k ) h 1 2 Z e k ω 0( k ) 1 2 Z e k ω 0( k )
1z 1 z 2zeω0 2zeω0
z2z(2zzccoossω ω h0h01
X
6
Z变换的基本性质
第
页
1.双边z变换 2.单边z变换
(1) 左移位性质
Z变换的基本性质
数学上表示为：若x(n)的z变换为X(z) ，则x(n-k)的z变换仍为X(z)，其中k为 非负整数。
举例
• 举例：若x(n)的z变换为X(z)=∑ x(n)z^(-n)，则x(n-1)的z变 换仍为X(z)=∑ x(n-1)z^(-n)。
应用场景
在数字信号处理中，移位性质可以用于信号的延迟和提前操 作，实现信号的时域平移。
应用场景
• 应用场景：线性性质在信号处理、控制系统等领 域中有着广泛的应用。例如，在信号处理中，线 性性质可以用于叠加多个信号的频谱；在控制系 统中，线性性质可以用于分析系统的动态行为。
02
CATALOGUE
移位性质
定义
移位性质是指当一个序列在时间上左 移或右移时，其z变换的结果将保持 不变。
应用场景
• 乘积性质在信号处理、控制系统等领 域有广泛应用。例如，在数字信号处 理中，乘积性质可用于分析信号的频 谱特性和滤波器设计；在控制系统分 析中，乘积性质可用于描述系统的动 态响应和稳定性。
04
CATALOGUE
微分性质
定义
• 微分性质：如果一个序列x(n)的z变换为(z)，那么x'(n)的z变换为zX(z)，其中 x'(n)表示x(n)的差分。
应用场景
• 积分性质在信号处理、控制系统等领域有着广泛的应用，例如在分析线性时不 变系统的传递函数时，可以利用积分性质简化计算。
THANKS
感谢观看
在控制系统分析中，利用移位性质可以方便地分析系统的频 率响应和稳定性。
03
CATALOGUE
乘积性质
定义
• 乘积性质描述的是两个函数相乘 后的z变换与各自z变换的乘积之 间的关系。如果$f(n)$和$g(n)$ 分别是$f(z)$和$g(z)$的z变换， 那么$f(n)g(n)$的z变换是 $f(z)g(z)$。
举例
• 举例：若x(n)的z变换为X(z)=∑ x(n)z^(-n)，则x(n-1)的z变 换仍为X(z)=∑ x(n-1)z^(-n)。
应用场景
在数字信号处理中，移位性质可以用于信号的延迟和提前操 作，实现信号的时域平移。
应用场景
• 应用场景：线性性质在信号处理、控制系统等领 域中有着广泛的应用。例如，在信号处理中，线 性性质可以用于叠加多个信号的频谱；在控制系 统中，线性性质可以用于分析系统的动态行为。
02
CATALOGUE
移位性质
定义
移位性质是指当一个序列在时间上左 移或右移时，其z变换的结果将保持 不变。
应用场景
• 乘积性质在信号处理、控制系统等领 域有广泛应用。例如，在数字信号处 理中，乘积性质可用于分析信号的频 谱特性和滤波器设计；在控制系统分 析中，乘积性质可用于描述系统的动 态响应和稳定性。
04
CATALOGUE
微分性质
定义
• 微分性质：如果一个序列x(n)的z变换为(z)，那么x'(n)的z变换为zX(z)，其中 x'(n)表示x(n)的差分。
应用场景
• 积分性质在信号处理、控制系统等领域有着广泛的应用，例如在分析线性时不 变系统的传递函数时，可以利用积分性质简化计算。
THANKS
感谢观看
在控制系统分析中，利用移位性质可以方便地分析系统的频 率响应和稳定性。
03
CATALOGUE
乘积性质
定义
• 乘积性质描述的是两个函数相乘 后的z变换与各自z变换的乘积之 间的关系。如果$f(n)$和$g(n)$ 分别是$f(z)$和$g(z)$的z变换， 那么$f(n)g(n)$的z变换是 $f(z)g(z)$。
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返回
2．单边z变换的位移性质
若x(n)为双边序列，其单边z变换为 Zx(n)u(n)
x(n)un
4
x(n 2)u(n) 4
x(n 2)u(n) 4
1O 1
n 1O 1
n
1O 1
n
x(n-m)u(n),x(n+m)u(n)较x(n)u(n)的长度有所增减。
返回
(1)左移位性质
若 Zx(n)u(n) X (z)
原序列不变，只影响在时间轴上的位置。
x(n) 4
x(n 2) 4
x(n 2) 4
1O 1 2
n 1O 1 2
n
2 1 O 1 n
若序列x(n)的双边z变换为Z x(n)]=X(z), 则其右移后的z变换为Z x(n-m)]= z -m X(z)
同理，左移后的z变换为:Z x(n+m)]= zm X(z)
1
注意：对于因果序列x(n), xkzk 项都等于零， km
则右移位序列的单边z变换为
Zx(n m)u(n) z m X (z)
而左移位序列的单边z变换不变。 例8-5-3 返回
证明右移位性质
根据单边z变换的定义，可得
Zxn mun xn mzn n0
zm x n m znm n0
例8-5-1 例8-5-2
返回
(二)位移性
由于序列有{左移、右移}两种不同情况， 其变换形式有{双边、单边}z变换之分； 其位移特性基本相同，但又各具不同的特点。 所以分情况讨论：
1.双边z变换 2.单边z变换
(1) 左移位性质 (2) 右移位性质 根据移位特性，可求周期序列的z变换
返回
1．双边z变换的位移性质
所以X(z)=X1(z)[1+z-N +z-2N +……]= X 1 z z mN
m0
要使几何级数收敛，必须使|z-N|<1，即|z|>1
所以
X(z)=
z
z
N
N
1
X1
z
z 1
返回
(三)序列线性加权（z域微分）
若 Zxn X z
则
nxn
z
d
X z
dz
z 1
dX dz
z
1
因为 X z xnz n 两边对z求导数，得
§8.5 z变换的基本性质
一、z变换的基本性质
（一）线性 （二）位移性 （三）序列线性加权
（九）复序列的共扼* （十）时间反转* （十一）帕斯瓦尔定理*
（四）序列指数加权
（五）初值定理
（六）终值定理
（七）时域卷积定理
（八）序列相乘（z域卷积定理）*
二、序列z变换的求法
返回
(一)线性 (叠加性和均匀性）
n0
dX z
xn d z n
z 1 nxnz n z 1 Znxn
dz
n0
dz
n0
所以 Znxn z dxz
dz
推广
nm
x( n)
z
d dz
m
X
(z)
z
d dz
m
表
示
z
d dz
z
d dz
z
d dz
z
d dz
共求导m次
例8-5-4
返回
(四)序列指数加权 （z域尺度变换）
令k n m zm xk zk km
z
m
xk zk
1
x
k
z
k
k0
km
z
m
X
z
1
xk
z
k
km
返回
周期序列的z变换
若周期序列x(n)的周期为N，即x(n)= x(n+N)。
令第一个周期的序列为x1(n)，其z变换为：
N 1
X 1 z xnz n
z 0
n0
由于x(n)=x1(n)+ x1(n-N)+ x1(n-2N)+……
Rx1 z Rx2
例如：对于(-1)nu(n)若取单边z变换应有：
Z 1n un z z 1
例8-5-5
z 1
返回
(五)初值定理 若 x(n)为因果序列，已知X(z)=Z[x(n)]= xnz n ,
则 lim X z x0
n0
z
证明：
lim X z lim xnz n lim x0 x1z 1 x2z2 ...... x0
则
Zx(n
m)u(n)
zm
X
(z)
m1
x(k )z k
k0
其中m为正整数
对于m=1、2的情况，可以写作为
Zxn 1 zX z zx0 Zxn 2 z2 X z z2 x0 zx1
返回
证明左移位性质
根据单边z变换的定义，可得
Zxn mun xn mzn n0 zm x n m znm n0 令k n m zm xk zk km
若 Zx(n) X (z)
Rx1 z Rx2
Zy(n) Y (z)
Ry1 z Ry2
则 Zax(n) by(n) aX (z) bY (z) R1 z R2
其中a,b为任意常数。
ROC：一般情况下，取二者的重叠部分
即 max( Rx1 , Ry1 ) z min( Rx2 , Ry2 ) 某些线性组合中某些零点与极点相抵消， 则收敛域可能扩大。
返回
证明双边z变换的位移性
根据双边z变换的定义可得
Zx(n m) x(n m)zn
令n-m=k，则
n
Zx(n m) zm x(k)zk zm X (z)
k
同理，可证左移序列。
可以看出：1）序列位移只会使z变换在z = 0或 z = 处的零、极点发生变化；
2）位移不会使z变换的收敛域发生变化；
z
m
xk zk
m1
xk zk
k0
k0
zm
X
z
m 1
xk zk
k0
返回
(2)右移位性质
若 Zx(n)u(n) X (z)
则
Zx(n
m)u(n)
z m
X
(z)
1
x(k
)z
k
其中m为正整数
km
对于m=1、2的情况，可以写作为
Zxn 1 z 1 X z x 1 Zxn 2 z 2 X z z 1 x 1 x 2
则 lim xn limz 1X z
z
z n0
z
理解：把X(z)在z足够大时的动态特性与x(n)的初值
联系起来。
推理 x(1)＝？因为
x(1) x(n 1) n0
且x(n 1) zX (z) x(0)
所以 x(1) lim zX (z) x(0) 例8-5-6
z
返回
(六)终值定理
若 x(n)为因果序列，已知X(z)=Z[x(n)]= xnz n ,
若 Zxn X z Rx1 z Rx2
则
a n x( n ) X z a
Rx1
z a
Rx2
（a为非0常数）
证明：Z a n x(n)
a n x(n)z n
x(n) z n
X z
n0
n0
a
a
同理 a n x(n) X az
Rx1 az Rx2
1n x(n) X z