2.2等差数列(优秀课件)

任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项
是唯一的.当 a=b 时，A = a = b .
4、等差数列通项公式的推广
思考：在等差数列{an }中，项an与am有何关系？
解析：由等差数列的通项公式得
an a1 (n 1)d
am a1 (m 1)d
an am (n m)d .
结论
1、已知等差数列的首项与公差，可求得 其任何一项； 2、在等差数列的通项公式中，a1，d，n， an四个量中知三求一.
3．等差中项 如果 a, A, b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的 等差中项 . 由等差中项的定义可知， a, A, b 满足关系：
ab b A Aa A b 2 A a( 或a 2 A b ) 2 意义：
用一下
例2.某出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为 10元，即最初的4km(不含4千米)计费10元。如果 某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且 一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？
例 3、已知数列{ an }的通项公式 an pn q ，其中 p 、 q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是， 首项与公差分别是什么？
第二章 2.2
数列
等差数列
第一课时
复习
一、数列的定义，通项公式:
按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成 a1,a2，a3 ,… an,… 如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个 公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的 通项公式。
二、数列的简单表示:
三、给出数列的方法:
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a a ( n 1) d dn ( a d ), n 1 1 解析: 设p d，q a1 d , 则an pn q.
反之亦成立。 其图象为落在一条直线上的点。
结论: 等差数列的通项公式是关于n的一次形式，
例如：
首项是1，公差是2的无穷等 差数列的通项公式为
（2）以 AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第 9项为边长的正方形的面积是多少？ a9=35 S9=1225
例2
在等差数列{an}中，已知 a5=10,a12=31,求首项a1与公差d .
a1+ 4d = 10 a1+11d=31 这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组，解之得：
解：由题意得：
a1= - 2
d=3 ∴这个数列的首项a1是-2，公差d =3. 小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立 二元一次方程组。这种题型有简便方法吗？
1=0的两个根，则a7 ＋a8 ＋a9＋a10＋a11=
（3）已知等差数列{an}中， a3 ＋a5= －14, 2a2＋ a6 = －15，则a8=
(4)：已知{an}为等差数列， a5 6, a8 15, 求a14
变式1：已知{a n }为等差数列， a 4 a 5 a6 a7 56, a 4 a7 187, 求a1,d
等差数列的性质 数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+， 且m+n=p+q，，则am+an=ap+aq。
判断： (1)a a a a 3 5 1 7
注意：等式两 (3)a1 a 5 a 6 a 2 a 3 a 7 边作和的项数 必须一样多 (4)a3 a 4 a 5 3a4
a2 a1 d， a3 a2 d， a4 a3 d，
an an1 d
}
n 1个
方法二 累加法
将所有等式相加得
an a1 (n 1)d
例1 ⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.
⑵- 401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是， 是第几项？ 解： ⑴由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得 a20=8+(20-1) ×(-3)=-49. ⑵由a1=-5，d =-9-(-5)=-4,得到这个数列的通项公式 为an=-5-4(n-1). 由题意得-401=-5-4(n-1),解这个关于n的方程，得 n=100，即-401是这个数列的第100项.
1.等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7， 求数列{an}的公差
2.
2. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10=
.
3.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，-3a-5，-10a-1， 则 a 等于（ ) A. 1 B. -1
1 C.3
5 D. 11
作业
课本P40(A) 1、3、
例4
例5 已知三个数成等差数列，它们的和是12，积
是48，求这三个数.
解：设三个数为a-d，a，a+d，则
(a d ) a (a d ) 12 (a d )a(a d ) 48 a4 解之得 d 2
故所求三数依次为2，4，6或6，4，2
例6 如图，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等 差数列，且AD＝21cm，这三个正方形的面积之和是 179cm2. （1）求AB，BC，CD的长； 3，7，11
(B) 2
第二章 2.2
数列
等差数列
第二课时
复习
1、等差数列的定义 an1 an d (d是常数）. 2、等差数列的通项公式 an a1 (n 1)d. 通项公式的证明及推广 an am (n m)d. 3、等差数列的中项
a b A 2
100与180
3 1与 3 1
交流
这三个数列有何共同特征 从第2项起，每一项与其前一项之差等 于同一个常数。 请尝试着给具有上述特征的特殊数列 用数学的语言下定义
探究
1、等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差 等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个 常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。 （1）指出定义中的关键词： 从第2项起 每一项与其前一项的差 等于同一个常数
变式2：已知{an }为等差数列， a 2 a 5 a 8 9, a 3a 5a7 21, 求数列通项公式
小结：
1. {an}为等差数列 an+1- an=d an+1=an+d an= a1+(n-1) d an= kn + b （k、b为常数）
2. a、b、c成等差数列 ac b
取数列{an }中的任意相邻两项an 1与a （ n n 2)， an an 1 ( pn q) [ p(n 1) q] pn q ( pn p q) p. 这是一个与n无关的常数，所以{an }是等差数列.
思考
反之：等差数列的通项公式可以表示 为an pn q吗？
2
b为a、c 的等差中项AA
2b= a+c
3.更一般的情形，an=
an am am+(n - m) d ，d= nm
am+an=ap+aq
4.在等差数列{an}中，由 m+n=p+q
注意：上面的命题的逆命题 是不一定成立 的；
5. 在等差数列{an}中a1+an
=
a2+ an-1 = a3+ an-2
练习2：已知{an}为等差数列， a1 a4 a8 a12 a15 2, 求a3 +a13 练习3：已知{an}为等差数列， a1 a8 a13 a18 100, 求a10
跟踪训练
（1）已知等差数列{an}中， a5
2, a10 12, 求a15
（2）已知等差数列{an}中， a3 和a15是方程x2－6x－
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2、等差数列的通项公式
思考：已知等差数列{an }的首项为a1，公差为d，求an . 根据等差数列的定义得到 方法一：不 完全归纳法 a a d， a4 a3 d， a3 a2 d， 2 1
所以a2 a1 d
a3 a2 d (a1 d ) d a1 2d
=…
思考：已知数列{an }是等差数列， 则数列{bn }为等差数列的是（ A、bn an C、bn an
2
D）
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B、bn an D、bn 1- an
巩固练习 1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，-3a-5，-10a-1， 则 a 等于（ ) A. 1 B. -1
提示： (-3a-5 )-(a-6)=(-10a-1) -(-3a-5 ) 提示： d=an+1- an=-4
an ＝2n-1
相应的图象是直线y=2x-1 上均匀排开的无穷多个孤 立的点，如右图
* 性质 ：设 m,n, p,q 若 N m n p q, 则
am an a p aq .
证明：am an a1 ( m 1)d a1 ( n 1)d 2a1 ( n m )d 2d , a p aq a1 ( p 1)d a1 (q 1)d 2a1 ( p q )d 2d , a m a n a p aq .
引入
（观察以下数列）
全国统一鞋号中成年男鞋的各种尺码
（表示鞋底长，单位:cm）分别是： 23 1 ， 24， 24 1 ， 25， 25 1 ， 26， 26 1 ， 27， 27 1 ， 28， 28 1 ， 29， 29 1 ， 30． 2 2 2 2 2 2 2
某此系统抽样所抽取的样本号分别是: 7，19，31，43，55，67，79，91，103，115. 某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：m）是： 7500，8000，8500，9000，10000，10500.
(2)a1 a 4 a 6 a 3 a 8
可推广到三项， 四项等
(5)a3 a 4 a 5 4a3
a1 an a2 an1 a3 an2 ak ank 1
练习1：已知{a n }为等差数列， a4 a6 10, 求a5
1 C.3
5 D. 11
2. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= -35 . 3. 在等差数列{an}中a1=83，a4=98，则这个数列有 多少项在300到500之间？ 40
2 2 提示： 300< 83+5×（n-1）500 44 n 84 5 5
n=45，46，…，84
a4 a3 d (a1 2d ) d a1 3d
由此得到an a1 (n 1)d
(n 2)
当n 1时，上面等式两边均为a1，即等式也成立
等差数列的通项公式为an a1 (n 1)d
2、等差数列的通项公式
思考：已知等差数列{an }的首项为a1，公差为d，求an .
解： an
an1 ( pn q) [ p(n 1) q]
pn q ( pn p q) p 为常数
∴{ an }是等差数列 首项 a1 p q ，公差为 p。
5、等差数列的通项及图象特征
思考： 已知数列的通项公式是an pn q (其中p，q是常数），那么这个数列 是否一定是等差数列？
an1 an ⑵由定义得等差数列的递推公式：
d (d是常数）
说明：此公式是判断、证明一个数列是否为等差 数列的主要依据.
练习：判断下列数列中哪些是等差数列， 哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由。
(1) 1, 1, 1, 1, 1. (2) 4, 7,10,13,16. (3) 3, 2, 1,1, 2,3. (4) 1, 2,3, 4,5, 6. (5) 5,9,13, , 4n 1, .
①
②
① - ②得an am (n m)d .
an am 进一步可以得到 d . nm
思考：已知等差数列{an}中，a3=9,a9=3,求 a12,a3n.
解法一: 依题意得： a1+2d=9 a1+8d=3 解之得 (n-1)=12-n
解法二：
a1 =11
d =-1∴这个数列的通项公式是：an=11故 a12= 0, a 3n = 12 – 3 n.