2.2等差数列(优秀课件)

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高中数学第二章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5

3．在等差数列{an}中，若 a1·a3＝8，a2＝3，则公差 d＝( )
A．1 B．－1 C．±1 D．±2 a1（a1＋2d）＝8，
解析：由已知得 a1＋d＝3，
解得 d＝±1. 答案：C
第九页，共32页。
4. lg( 3 ＋ 2 ) 与 lg( 3 － 2 ) 的等差中项是 ______________．
第十六页，共32页。
[变式训练] (1)已知数列 3，9，15，…，3(2n－1)，…，那么 81 是它的第________项( )
A．12 B．13 C．14 D．15 (2)已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断 153 是不是这个数列的项，如果是，是第几项？解析：(1)an＝3(2n－1)＝6n－3，由 6n－3＝81，得 n ＝14.
第十七页，共32页。
(2)设首项为 a1，公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， a1＋（15－1）d＝33，
由已知 a1＋（61－1）d＝217，
a1＝－23，解得
d＝4. 所以 an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
第十八页，共32页。
令 an＝153，即 4n－27＝153，解得 n＝45∈N*，所以 153 是所给数列的第 45 项．答案：(1)C (2)45
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
第七页，共32页。
2．已知等差数列{an}中，首项 a1＝4，公差 d＝－2，
则通项公式 an 等于( )
A．4－2n
B．2n－4
C．6－2n
D．2n－6
解析：因为 a1＝4，d＝－2，所以 an＝4＋(n－1)×(－
2)＝6－2n.

高中数学人教A版必修5第二章2.2等差数列2课时课件

a2=a1+d,
实际由等差数列定义有
a3=a2+d =a1+2d, a4=a3+d =a1+3d, 由上式猜测: an=a1+(n-1)d.
a2-a1=d, a3-a2=d,
a4-a3=d, ……
an-an-1=d,
联想：形如递推公式a n
- an-1
=
f
(n)，
求通项公式可运用累加法
各式两边分别相加得
问题1. 刚才写出的 4 个数列, 它们有什么共同的规律? 请你给有这种规律的数列设计一个名称.
(1) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, … (2) 18, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.5, 3, 0.5. (3) 10072, 10144, 10216, 10288, 10360. (4) 60, 58, 56, 54, 52, 50, 48, 46, 44, 42.
问题1. 等差数列的应用较为广泛, 如: 能被 7 整除的三位正整数有多少个? 一部梯子有 15 级, 最下一级宽 61cm, 最上一级宽 40cm, 从下到上的第 10 级宽是多少? 你能用等差数列知识解决这类问题吗?
同样, 梯子的各级宽依次构成等差数列. 设这个数列为{bn}, 则 b1=61, b15=40. 由通项公式 b15=b1+(15-1)d 得
(2) 是等差数列, 它的首项是原数列首项a1, 公差是原数列公差的 2 倍, 即2d.
(3) 也是等差数列, 它的首项是原数列首项a7, 公差是原数列公差的 7 倍, 即7d.
5. 已知{an}是等差数列. (1) 2a5=a3+a7 是否成立? 2a5=a1+a9 呢? 为什么? (2) 2an=an-1+an+1 (n>1) 是否成立? 据此你能得出什么结论?

人教A版高中数学必修五2.2《等差数列》课件

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13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。2021/ 8/3202 1/8/320 21/8/3 2021/8/ 38/3/2 021
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14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。2021 年8月3 日星期二2021/ 8/3202 1/8/320 21/8/3
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。。2 021年8 月2021 /8/320 21/8/32 021/8/ 38/3/20 21
a1,an,n,d 知三求一
例2 、在等差数列{an}中，已知a6=12 ，a18=36 ,
求{an}的通项公式解：由题意可得 a1+5d=12
a1+17d=36 ∴ d = 2 ，a1 =2
∴ an = 2+(n-1) ×2 = 2n
求通项公式的关键:
求基本量a1和d
方程思想
等差数列的通项公式为：
通项公式应用
例1（1）求等差数列7，4，1，-2，…的第100项；（2）判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,-13…
的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。
变式：《九章算术•均输章》——等差数列问题今有金箠(chui)，长五尺。斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤。问次一尺各重几何。
a2=a1+d, a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d
a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d
…
归纳： an=a1+(n-1)d
当n=1时，上式也成立。
观察归纳
已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d

【数学】2.2 等差数列及其通项公式课件1

所以等差数列的通项公式是： an=a1+(n-1)d（n∈N*）
…
等差数列的通项公式推导2（叠加）
a2 a1 d
a4 a3 d an1 an2 d
an an1 d
叠加得
a3 a2 d
an a1 (n 1)d
an a1 (n 1)d
…
若p=q呢?
若m n 2 p, 则有am an 2ap
例题分析
练习 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20
分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，
可得a1+a20=10
小结 ★掌握等差数列的通项公式，并能运用公式解决一些简单的问题
an=a1+(n－1)d
★ 提高观察、归纳、猜想、推理等数学能力
等差数列的性质
1. {an}为等差数列 an+1- an=d an+1=an+d an= a1+(n-1) d an= kn + b（k、b为常数） 2. a、b、c成等差数列 b为a、c 的等差中项 ac b 2b= a+c
am an a1 (m 1)d a1 (n 1)d 2a1 (m n 2)d a p aq a1 ( p 1)d a1 (q 1)d
am an a p aq
2a1 ( p q 2)d mn pq
课堂练习
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5，-3a +2，则 a 等于（ B ) A . -1 B. 1 C .-2 D. 2 提示1: 2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6) 2. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= -35 提示： d=an+1—an=4 3. 在等差数列{an}中 (1) 若a59=70，a80=112，求a101； d=2, (2) 若ap= q，aq= p ( p≠q )，求ap+q

人教高中数学必修五第二章 2.2 等差数列求和公式(共55张PPT)

或
跟踪练习
1. 在等差数列{an}中； (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； (2)已知a3＋a15＝40，求S17.
解
5×4 S5＝5a1＋ d＝5， 2 (1) a6＝a1＋5d＝10，
解得 a1＝－5，d＝3. ∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16. 10×9 S10＝10a1＋ d＝10×(－5)＋5×9×3＝85. 2 17×a1＋a17 17×a3＋a15 17×40 (2)S17＝＝＝＝340. 2 2 2
又当 n＝1 时，a1＝21 1＝1≠5，
－
5 ∴an＝ n－1 2
n＝1， n≥2.
(2)法一
an＋12 (消 Sn)；由 Sn＝ (n∈N*)，得 4an＋1＝4(Sn＋ 4
2
1－Sn)＝(an＋1＋1)
－(an＋1)2
化简得(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0，因为an＞0，∴an＋1－an＝2，又4S1＝4a1＝(a1＋1)2得a1＝1，故{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an＝2n－1.
法二
(消 an)：由上可知
2 Sn＝an＋1，∴2 Sn＝Sn－Sn－1＋1(n≥2)，化简可得( Sn－1)2＝Sn－1， ( Sn＋ Sn－1－1)( Sn－ Sn－1－1)＝0，又 S1＝1，{an}的各项都为正数，所以 Sn－ Sn－1＝1. 所以 Sn＝n，从而 Sn＝n2，所以 an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，a1＝1 也适合，故 an ＝2n－1.
4S n 4S1 4S 2 ... Sn 3．已知数列{an}中， a1＝2，a1 2 a2 2 an 2
,
求 an.

高中数学第二章数列2.2等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5

6.等差数列通项公式的变形应用已知等差数列{an}中的任意两项 an,am(n,m∈N*,m≠n),
则
an am
a1 (n 1)d, a1 (m 1)d
⇒
an-am=(n-m)d⇒
d an am , nm an am (n
m)d.
这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差,进而求得其通项公式.
2.对等差数列定义的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. (2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件. (3)求公差d时,可以用d=an-an-1来求,也可以用d=an+1-an来求.注意公差是每一项与其前一项的差,且用an-an-1求公差时,要求n≥2,n∈N*.
解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第2项起; ②差为同一个常数,故选D.
2.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差 d 等于( A )
(A) 1 4
(B) 1 2
(C)2
(D)- 1 2
解析:在等差数列{an}中,由 a4+a8=10,得 2a6=10,a6=5.又 a10=6,则 d= a10 a6 = 6 5 = 1 .故选 A.
2d a14d 105, a1 3d a1 5d
99,
解得
ad1
39, 2,
所以
a20=a1+19d=1.
答案:1
课堂探究
题型一等差数列的通项公式
【例1】已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.

等差数列的概念PPT优秀课件

97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。

必修5课件2.2.2等差数列的通项公式

2在数列 an 中, 如果对于任意的正整数n n 2, 都有
an 1 an 1 an , 那么 an1 an an an1 n 2. 2 这表明, 这个数列从第2 项起 , 后一项减去前一项所得的差始终相等, 所以数列 an 是等差数列.
an1 an 1 所以有 an . 2
2 . 2 . 2 等差数列的通项公式
观察等差数列 an : 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , ,
如何写出它的第项呢 ? 100
我们有 a1 4 , a2 7 4 3 , a3 10 4 3 2 ,
a4 13 4 3 3 ,
an a1 n 1 d .
证因为 an 为等差数列, 所以当n 2时, 有
a2 a1 d , a3 a1 d , an an1 d .
将上面 n 1 个等式的两边分别相加 , 得
an a1 n 1 d , 所以 an a1 n 1 d .
例6 如图, 三个正方形的边 AB, BC , CD的长组成等差数列, 且AD 21cm, 这三个正方形的面积之和是179cm 2 C B A D 21cm 1求AB, BC , CD 的长 ; 2以 AB, BC , CD 的长为等差数列的前三 ,以第10 项为边长项的正方形的面积是多少 ? 解 1 设公差为d d 0, BC x , 则 AB x d , CD x d . x d x x d 21 , x 7, x 7,舍去. 解得则或 2 2 2 x d x x d 179, d 4 d 4 所以 AB 3 cm, BC 7 cm, CD 11 cm.

人教A版数学必修5第二章2.2等差数列课件

解：由题意可知
a1 4d 10 a1 11d 31
这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得
a1 2 d 3 还有什么方法，又能得到什么即这个等差数列的结首论项，是让-２我，们公一差起是看３看。吧！
【精讲点拨】知识延伸：
am a1 (m 1)d a1 am (m 1)d
高斯7岁那年，父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学，读书不久，高斯在数学上就显露出
故了常人难以比较的天赋，最能证明这一点的是高斯十岁那年，教师彪特耐尔布置了一事道很纷杂的计算题，要求学生把1到 100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，高斯
即刻把写着答案的小石板交了上去。彪特耐尔起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一惊。而更使人吃惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，……共有50对这样的数，用101乘以50得到5050。这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教高斯的了。
如果不是，请说明理由． (1)4,7, 10,13,16，…； (2)31,25,19,13,7，…；
(3)0,0,0,0,0，…； (4)a，a－b，a－2b，…；
(5)1,2,5,8,11，….
问题：上述题目中反应出公差的范围？公差对数列的增减性有何影响？
➢课堂展示清单
【合作探究一】
公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0.
最低降至5m。那么从开始放水算起，到
可以进行清算工作的那天，水库每天的水

等差数列的前n项和PPT优秀课件1

（2）100元“零存整取”的月利息为 100×1.725‰=0.1725（元），存3年的利息是
0.1725×(1+2+3+……+36)=114.885(元)，因此李先生多收益
179.82－114.885×(1－20%)=87.912元.
答：李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益87.912元
解：（1）100元“教育储蓄”存款的月利息是 100×2.7‰=0.27（元），第1个100元存36个月，得利息0.27×36（元）; 第2个100元存35个月，得利息0.27×35（元）; ………… 第36个100元存1个月，得利息0.27×1（元），
此时李先生获得利息
0.27×(1+2+3+……+36)=179.82(元)，本息和为3600+179.82=3779.82元；
解得 30AB2
S 3 0 9 0 0 A 3 0 B 3 0 ( 3 0 A B ) 6 0
解法三：设a1+a2+……+a10=A， a11+a12+……+a20=B，
a21+a22+……+a30=C，则A，B，C成等差数列，且A=10，A+B=30, 解得B=20，
2.2.2等差数列的前n项和
如图堆放一堆钢管，最上一层放了4根，下面每一层比上一层多放一根，共8层，这堆钢管共有多少根？
这堆钢管从上到下的数量组成一个等差数列。
其中a1=4，公差d=1. 最下一层中a8=11。
即求4+5+6+……+11=?
我们设想，在这堆钢管旁，如图所示堆放同样数量的钢管，这时每层都有钢管(4+11)根.

2.2 等差数列

2.2 等差数列1、等差数列的概念：1 2,n n d a a n n N d -=-≥∈（）为常数（用来判断数列是否为等差数列）2、等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈，首项:1a ，公差:d ，末项:n a ；推广：d m n a a m n )(-+=，从而mn a a d mn --=。

3、等差中项：（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列-11122(2)2n n n n n n a a a n a a a +++=+≥⇔=+课堂训练一.选择题。

1.2005是数列7,13,19,25,31,, 中的第（）项. A. 332 B. 333 C. 334 D. 3352.若数列{}n a 的通项公式为25n a n =+，则此数列是（）A.公差为2的等差数列B. 公差为5的等差数列C.首项为5的等差数列D. 公差为n 的等差数列3.若a ∈、b 、c R ，则“2b a c =+”是“a 、b 、c 成等差数列”的（） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4.等差数列3,7,11,,--- 的一个通项公式为（）A. 47n -B. 47n --C. 41n +D. 41n -+5.首项为24-的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是（） A. 83d >B. 3d <C. 833d ≤<D. 833d <≤ 6.若{}n a 是等差数列，则123a a a ++，456a a a ++，789a a a ++，，32313n n n a a a --++，是（）A.一定不是等差数列B. 一定是递增数列C.一定是等差数列D. 一定是递减数列二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上. 7.等差数列{}n a 中，350a =，530a =，则7a = . 8.等差数列{}n a 中，3524a a +=，23a =，则6a = .9.已知等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7，则n a = .10.如果等差数列{}n a 的第5项为5，第10项为5-，则此数列的第1个负数项是第项. 【整合提高】三.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，11.判断数52，27()k k N ++∈是否是等差数列{}n a :5,3,1,1,,--- 中的项，若是，是第几项？12.已知(1)2f =，2()1(1)()2f n f n n N +++=∈，求(101)f .同步提升例1若{a n }是等差数列,a 15＝8,a 60＝20,求a 75.【解答】设{a n }的公差为d .方法一由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 15＝a 1＋14d ＝8，a 60＝a 1＋59d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6415，d ＝415.∴a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×415＝24.方法二∵a 60＝a 15＋(60－15)d ,∴d ＝a 60－a 1560－15＝20－860－15＝415,∴a 75＝a 60＋(75－60)d ＝20＋15×415＝24.【总结】方法一.先求出a 1,d ,然后求a 75;方法二.应用通项公式的变形公式a n ＝a m ＋(n －m )d 求解.【变式1】在等差数列{a n }中,已知a m ＝n ,a n ＝m ,求a m ＋n 的值.【变式1】在等差数列{a n }中,已知a m ＝n ,a n ＝m ,求a m ＋n 的值.【解答】方法一设公差为d ,则d ＝a m －a n m －n ＝n －mm －n＝－1, 从而a m ＋n ＝a m ＋(m ＋n －m )d ＝n ＋n ·(－1)＝0.方法二设等差数列的通项公式为a n ＝an ＋b (a ,b 为常数), 则⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝am ＋b ＝n ，a n ＝an ＋b ＝m ，得a ＝－1,b ＝m ＋n .∴a m ＋n ＝a (m ＋n )＋b ＝0. 二.等差数列的性质例2已知等差数列{a n }中,a 1＋a 4＋a 7＝15,a 2a 4a 6＝45,求此数列的通项公式. 【解答】∵a 1＋a 7＝2a 4,a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15, ∴a 4＝5.又∵a 2a 4a 6＝45,∴a 2a 6＝9,即(a 4－2d )(a 4＋2d )＝9, (5－2d )(5＋2d )＝9,解得d ＝±2. 若d ＝2,a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3; 若d ＝－2,a n ＝a 4＋(n －4)d ＝13－2n .【总结】要求通项公式,需要求出首项a 1和公差d ,由a 1＋a 4＋a 7＝15,a 2a 4a 6＝45直接求解很困难,我们可以换个思路,利用等差数列的性质,注意到a 1＋a 7＝a 2＋a 6＝2a 4问题就简单了.【变式2】成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数. 【解答】设这四个数为a －3d ,a －d ,a ＋d ,a ＋3d ,则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝－32.∴这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.三.等差数列的判断例3已知数列{a n }满足a 1＝4,a n ＝4－4a n －1 (n ≥2),令b n ＝1a n －2.(1)求证:数列{b n }是等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式.分析计算b n ＋1－b n ＝常数,然后求出b n ,最后再由a n 与b n 的关系求出a n .(1)证明∵a n ＝4－4a n －1 (n ≥2),∴a n ＋1＝4－4a n(n ∈N *). ∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝12－4a n－1a n －2＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12.∴b n ＋1－b n ＝12,n ∈N *.∴{b n }是等差数列,首项为12,公差为12.(2)解b 1＝1a 1－2＝12,d ＝12.∴b n ＝b 1＋(n －1)d ＝12＋12(n －1)＝n2.∴1a n －2＝n 2,∴a n ＝2＋2n. 【总结】判断一个数列{a n }是否是等差数列,关键是看a n ＋1－a n 是否是一个与n 无关的常数.【变式3】若1b ＋c , 1c ＋a , 1a ＋b 是等差数列,求证:a 2,b 2,c 2成等差数列. 证明∵1b ＋c , 1c ＋a , 1a ＋b 是等差数列,∴1b ＋c ＋1a ＋b ＝2c ＋a .∴(a ＋b )(c ＋a )＋(b ＋c )(c ＋a )＝2(a ＋b )(b ＋c )∴(c ＋a )(a ＋c ＋2b )＝2(a ＋b )(b ＋c )∴2ac ＋2ab ＋2bc ＋a 2＋c 2＝2ab ＋2ac ＋2bc ＋2b 2∴a 2＋c 2＝2b 2,∴a 2,b 2,c 2成等差数列. 【小结】1.证明数列{a n }为等差数列的方法(1)定义法:a n ＋1－a n ＝d (d 为常数,n ≥1)⇔{a n }为等差数列或a n －a n －1＝d (d 为常数, n ≥2)⇔{a n }为等差数列.(2)等差中项法: 2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }是等差数列.(3)通项法:a n ＝pn ＋q (p 、q ∈R )⇔{a n }是等差数列,只要说明a n 为n 的一次函数, 就可下结论说{a n }是等差数列.2.三个数成等差数列可设为:a －d ,a ,a ＋d 或a ,a ＋d ,a ＋2d ;四个数成等差数列可设为: a －3d ,a －d ,a ＋d ,a ＋3d 或a ,a ＋d ,a ＋2d ,a ＋3d . 一.选择题1.在等差数列{a n }中,a 1＋3a 8＋a 15＝120,则2a 9－a 10的值为( ) A.24 B.22 C.20 D.－8 【解答】A2.已知等差数列{a n }中,a 2＝－9, a 3a 2＝－23,则a n 为( )A.14n ＋3B.16n －4C.15n －39D.15n ＋8 【解答】C解析∵a 2＝－9, a 3a 2＝－23,∴a 3＝－23×(－9)＝6,∴d ＝a 3－a 2＝15,∴a n ＝a 2＋(n －2)d ＝－9＋(n －2)·15＝15n －39.3.等差数列{a n }的公差d <0,且a 2·a 4＝12,a 2＋a 4＝8,则数列{a n }的通项公式是( )A.a n ＝2n －2 (n ∈N *)B.a n ＝2n ＋4 (n ∈N *)C.a n ＝－2n ＋12 (n ∈N *)D.a n ＝－2n ＋10 (n ∈N *) 【解答】D解析由⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，d <0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝6，a 4＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ,即a n ＝8＋(n －1)(－2),得a n ＝－2n ＋10.4.等差数列{a n }中,若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450,则a 2＋a 8等于( ) A.45 B.75 C.180 D.300 【解答】C解析方法一设{a n }首项为a 1,公差为d ,a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝a 1＋2d ＋a 1＋3d ＋a 1＋4d ＋a 1＋5d ＋a 1＋6d ＝5a 1＋20d 即5a 1＋20d ＝450,a 1＋4d ＝90,∴a 2＋a 8＝a 1＋d ＋a 1＋7d ＝2a 1＋8d ＝180.方法二∵a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5＝a 2＋a 8,∴a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝52(a 2＋a 8)＝450,∴a 2＋a 8＝180.5.一个等差数列的首项为a 1＝1,末项a n ＝41 (n ≥3)且公差为整数,那么项数n 的取值个数是( )A.6B.7C.8D.不确定【解答】B解析由a n ＝a 1＋(n －1)d ,得41＝1＋(n －1)d ,d ＝40n －1为整数.则n ＝3,5,6,9,11,21,41共7个.二.填空题6.若m ≠n ,两个等差数列m 、a 1、a 2、n 与m 、b 1、b 2、b 3、n 的公差分别为d 1和d 2,则d 1d 2的值为______.【解答】43解析n －m ＝3d 1,d 1＝13(n －m ).又n －m ＝4d 2,d 2＝14(n －m ).∴d 1d 2＝13(n －m )14(n －m )＝43.7.已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列,且a 4＝6,a 6＝4,则a 10＝______.【解答】125解析 1a 6－1a 4＝14－16＝2d ,即d ＝124.∴1a 10＝1a 6＋4d ＝14＋16＝512,∴a 10＝125. 8.已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列,则|m －n |＝______.【解答】12解析由题意设这4个根为14, 14＋d , 14＋2d , 14＋3d .则14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋3d ＝2,∴d ＝12,∴这4个根依次为14, 34, 54, 74, ∴n ＝14×74＝716,m ＝34×54＝1516或n ＝1516,m ＝716,∴|m －n |＝12.三.解答题9.等差数列{a n }的公差d ≠0,试比较a 4a 9与a 6a 7的大小. 【解答】设a n ＝a 1＋(n －1)d ,则a 4a 9－a 6a 7＝(a 1＋3d )(a 1＋8d )－(a 1＋5d )(a 1＋6d )＝(a 21＋11a 1d ＋24d 2)－(a 21＋11da 1＋30d 2)＝－6d 2<0,∴a 4a 9<a 6a 7.10.已知数列{a n }满足a 1＝15,且当n >1,n ∈N *时,有a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ,设b n ＝1a n,n ∈N *.(1)求证:数列{b n }为等差数列.(2)试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明理由.(1)证明当n >1,n ∈N *时, a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ⇔1－2a n a n ＝2a n －1＋1a n －1⇔1a n －2＝2＋1a n －1⇔1a n －1a n －1＝4⇔b n －b n －1＝4,且b 1＝1a 1＝5.∴{b n }是等差数列,且公差为4,首项为5.(2)解由(1)知b n ＝b 1＋(n －1)d ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1.∴a n ＝1b n＝14n ＋1,n ∈N *. ∵a 1＝15,a 2＝19,∴a 1a 2＝145.令a n ＝14n ＋1＝145,∴n ＝11.即a 1a 2＝a 11,∴a 1a 2是数列{a n }中的项,是第11项.2.2 等差数列课堂训练参考答案：1.C2.A3.C4.D5.D6.C7.108.219.23n - 10.811.由题意知27n a n =-,由2752n -=,得29.5n N *=∉,∴52不是该数列中的项. 又由2727n k -=+解得7n k N *=+∈,∴27k +是数列{}n a 中的第7k +项.12.∵(1)2f =，2()1(1)2f n f n ++=，∴1(1)()2f n f n +-=，∴{}()f n 是以2为首项，12为公差的等差数列，∴13()22f n n =+，∴(101)52f =.。

高中数学《2.2等差数列》第2课时课件新人教A版必修

请您根据提供的信息说明，求 (1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数； (2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由． (3)哪一年的规模最大？请说明理由．审题指导本题为图表信息题，综合考查了等差数列的知识和等差数列的函数特征． [规范解答] 由题干图可知，从第1年到第6年平均每个鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1， a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn. (2分)
fx2－fx1 (2) k＝ (x1≠x2)． x2－x1 当k＝0时，对于常数函数f(x)＝b，上式仍然成立． (2)等差数列{an}的公差本质上是相应直线的斜率．如am，an是等差数列{an}的任意两项，由an＝am＋(n－m)d， an－am 类比直线方程的斜率公式得 d＝ . n－m
即a＝1，a2－9d2＝－8， ∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1. 又四个数成递增等差数列，所以d>0， ∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4. 法二若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8， 3 把 a＝1－ d 代入 a(a＋3d)＝－8， 2
解由等差数列{an}的性质知：a3＋a7＝a4＋a6，从而a3a7 ＝－12，a3＋a7＝－4，故a3，a7是方程x2＋4x－12＝0的两根，又d>0，解之，得a3＝－6，a7＝2. a1＋2d＝－6， a1＝－10，再解方程组解得 a1＋6d＝2， d＝2，则an＝a1＋(n－1)d＝－10＋(n－1)×2＝2n－12，即an＝2n－12.

高中数学第二章 2.2(一)等差数列(一)课件新人教A版必修5

第十六页，共25页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高
效例2
已知1a，1b，1c成等差数列，求证：b＋a c，a＋b c，a＋c b也
成等差数列．
证明 ∵1a，1b，1c成等差数列，
本
∴2b＝1a＋1c，即 2ac＝b(a＋c)．
讲栏目
∵b＋a c＋a＋c b＝cb＋c＋acaa＋b＝c2＋a2＋acba＋c
开关
(5)1,2,5,8,11，….
第七页，共25页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更高效
解 (1)是等差数列，a1＝4，d＝3；
(2)是等差数列，a1＝31，d＝－6；
本讲
(3)是等差数列，a1＝0，d＝0；
栏目
(4)是等差数列，a1＝a，d＝－b；
开关
(5)不是等差数列，a2－a1＝1，a3－a2＝3，∴a2－a1≠a3－a2.
高效探究若数列{an}满足：an＋1＝an＋2an＋2，求证：{an}是等差
数列．
证明 ∵an＋1＝an＋2an＋2
本
⇔2an＋1＝an＋an＋2
讲栏
⇔an＋2－an＋1＝an＋1－an
目
开关
∴an＋1－an＝an－an－1＝…＝a2－a1(常数)．
∴{an}是等差数列．

第十三页，共25页。
跟踪训练 2 已知 a，b，c 成等差数列，那么 a2(b＋c)，b2(c
＋a)，c2(a＋b)是否能构成等差数列？
证明 ∵a，b，c 成等差数列，∴a＋c＝2b.
本 ∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝a2b＋a2c＋c2a＋c2b
讲栏
＝(a2b＋c2b)＋(a2c＋c2a)＝b(a2＋c2)＋ac(a＋c)

等差数列的前n项和公式的性质省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件

公式一：Sn
n(a1 2
an )
公
式
二：Sn
na1
n(n 2
1)
d
议（5分钟）
『知识探究（一）——等差数列与前n项和旳关系』
思索1：若数列{an}旳前n和
Sn
n(a1 2
an )
那么数列{an}是等差数列吗？
{an}是等差数列
Sn
n(a1 2
an )
思索2：将等差数列前n项和公式
Sn
讨论二次函数旳性质
措施2：讨论数列{an} 旳通项，找出正负临界项。（1）若a1>0，d<0，则Sn有大值，且Sn最大时旳n
满足an≥0且an+1<0; （2）若a1<0，d>0，则Sn有小值，且Sn最小时旳n
满足an≤0且an+1>0;
『变式探究』
1.首项为正数旳等差数列{an}，它旳前3项和与前11项和相等，则此数列前___7_____项和最大？
na1
n(n 1) 2
d
看作是一种有关n旳函数，这个函数有什么特点？
Sn
d 2
n2
(a1
d )n 2
当d≠0时，Sn是常数项为零旳二次函数.
思索3：一般地，若数列{an}旳前n和Sn＝An2＋Bn，那么数列{an}是等差数列吗？若Sn＝An2＋Bn＋C 呢？（1）数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn （2）数列{an} 旳前n项和是Sn＝An2＋Bn＋C ，则：
解析：当n＝1时，a1＝S1＝12－12＝11；当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝12n－n2－[12(n－1)－(n－1)2]＝13－2n. ∵n＝1时适合上式，∴{an}旳通项公式为an＝13－2n. 由an＝13－2n≥0，得n≤ ，

人教新课标版数学高二A必修5课件2.2等差数列一

2
明目标、知重点
例2 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成
等差数列，求此数列. 解 ∵－1，a，b，c,7成等差数列， ∴b是－1与7的等差中项.∴b＝－12＋7＝3.
－1＋3 又 a 是－1 与 3 的等差中项，∴a＝ 2 ＝1.
明目标、知重点
3＋7 又 c 是 3 与 7 的等差中项，∴c＝ 2 ＝5. ∴该数列为－1,1,3,5,7.
明目标、知重点
跟踪训练4 在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5℃，5 km高度的气温是－17.5℃，求2 km，4 km, 8 km高度的气温. 解用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1 ＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得 d＝－6.5，∴an＝15－6.5n.∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2 km,4 km,8 km高度的气温分别为2℃，－11℃，－37℃.
明目标、知重点
填要点·记疑点
1.等差数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
2.等差中项的概念若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，并且A＝a＋b .
明目标、知重点
例3 在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项
公式an.
a1＋5d＝12，
解
由题意可得
a1＋17d＝36.
解得d＝2，a1＝2.
∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.
反思与感悟像本例中根据已知量和未知量之间的关系，

高中数学第二章数列2.2等差数列第2课时等差数列的性质课件新人教A版必修5

a1n为等差数列
由等差数列通―项―公→式
求a1n
―→
求an
[规范解答] (1)数列a1n是等差数列，理由如下： ∵a1＝2，an＋1＝a2n＋an2，∴an1＋1＝an2＋an2＝12＋a1n， 4分
∴an1＋1－a1n＝12，
6分
即a1n是首项为a11＝12，公差为d＝12的等差数列.
等差数列的性质
• (1)若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列： • ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d ____的等差数列； • ②{c·an}(c为任一常数)是公差为c_d___的等差数列； • ③ 列{．an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差2为d ___的等差数
• (数的2)列等若差{{paa数nn}＋，列q{．bbnn}}(分p，别q是是公常差数为)是pdd11公＋，差qdd22为的_等__差__数__列__，__则_
• 【错解】由已知两等差数列的前三项，容易求得它们的通项公式分别为：
• an＝3n－1，bn＝4n－3(1≤n≤40，且n∈N*)， • 令an＝bn，得3n－1＝4n－3，即n＝2. • 所以两数列只有1个数值相同的项，即第2项．
• 【错因】本题所说的是数值相同的项，但它们的项数并不一定相同，也就是说，只看这个数在两个数列中有没有出现过，而并不是这两个数列的第几项．
•
利用等差数列的定义巧设未知量，可
以的简项化数计n为算奇．数一时般，地可有设如中下间规一律项：为当a等，差再数用列公差{an为} d
向两边分别设项：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋
2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，

a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a

等差数列ppt课件

(4)通项公式可变形为an=dn+(a1-d)，当d≠0时可把an 看作自变量为n的一次函数.
2.等差数列的通项公式常用的推导方法： (1)方法一(叠加法)：因为{an}是等差数列，所以an-an-1=d，an-1-an-2=d， an-2-an-3=d，…， a3-a2=d，a2-a1=d. 将以上各式相加得：an-a1=(n-1)d，所以an=a1+(n-1)d.
2.2 等差数列第1课时等差数列
【知识提炼】
1.等差数列的定义 (1)从第_2_项起
条件 (2)每一项与它的_前__一__项__的差等于_同__一__个__常__数__ 结论这个数列就叫做等差数列有关这个常数叫做等差数列的_公__差__，通常用字母_d_ 概念表示
2.等差中项
(1)条件：三个数a，A，b成等差数列.
2.已知实数m是1和5的等差中项，则m等于( )
A. 5
B.± 5
C.3
D.±3
【解析】选C.由题意得2m=1+5，解得m=3.
3.等差数列{an}中，a2=-4，d=3，则a1为( )
A.-9
B.-8
C.-7
D.-4
【解析】选C.由题意得，a2=a1+d，所以a1=a2-d=-4-3=-7.
(2)结论：A叫做a，b的等差中项. (3)关系：_A___a_2_b_.
3.等差数列的通项公式
(1)条件：等差数列{an}的首项为a1，公差为d. (2)通项公式：an=_a_1+_(_n_-_1_)_d_.
【即时小测】 1.判断 (1)常数列是等差数列.( ) (2)若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( )

等差数列(优秀课件)

星期路程km131619相差3为迎接世界田径锦标赛刘翔的教练为他安排了为期一周的赛前热身逐渐加大慢跑路程前牙反颌和开颌的原因多由于不良喂养方式和吮指等不良习惯造成也可因多颗乳磨牙过早缺失迫使儿童用前牙咀嚼下颌逐渐前伸移位造成
2021/6/27
第二章数列 2.2 等差数列
第一课时
复习
一、数列的定义，通项公式: 按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成 a1,a2，a3 ,… an,… 如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
首项 a1 p q ，公差为 p。
2021/6/27
5、等差数列的通项及图象特征
思考：已知数列的通项公式是an pn q (其中p，q是常数），那么这个数列是否一定是等差数列？
取数列{an}中的任意相邻两项an1与a（n n 2)， an an1 ( pn q) [ p(n 1) q]
2021/6/27
3．等差中项如果 a, A, b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的
等差中项 . 由等差中项的定义可知， a, A, b 满足关系：
b A A a A a b b 2A a( 或a 2A b ) 2
意义：任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项
是唯一的.当 a=b 时，A = a = b .
注意：上面的命题的逆命题是不一定成立的；
= = = 5. 在等差数列{an}中a1+an a2+ an-1 a3+ an-2 …
2021/6/27
思考：已知数列{an}是等差数列，
则数列{bn}为等差数列的是（ D ）
A、bn an B、bn an
C、bn an2